1 PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán học môn khoa học, tảng cho môn khoa học khác, có ứng dụng hầu hết lĩnh vực sống Toán học giữ vai trò quan trọng bậc học, làm để học toán, học giỏi toán vấn đề đặt mà lúc giải cách dễ dàng Với cương vị sinh viên học chuyên ngành toán, nhận thấy cần phải đầu tư suy nghĩ để tìm phương pháp tốt phù hợp với đơn vị kiến thức, giúp em tiếp thu kiến thức cách chủ động nhẹ nhàng, hiệu Trong chương trình Đại số lớp 8, dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử nội dung quan trọng Nó có mối liên hệ mật thiết kiến thức với nhau, liên quan đến dạng toán như: Tính nhanh giá trị biểu thức, toán tìm x, rút gọn phân thức đại số, giải phương trình tích, Có thể nói, phân tích đa thức thành nhân tử sở để giải số dạng toán khác Nhưng, điều đáng nói đây, hầu hết em học sinh biết giải số toán sách giáo khoa, nhiều em làm sai, chưa thực được, em chưa nắm vững phương pháp giải, chưa vận dụng kĩ biến đổi cách linh hoạt, sáng tạo vào toán cụ thể Chính vậy, việc nhận dạng, phân loại có phương hướng giải cho dạng phân tích đa thức thành nhân tử, giúp học sinh định hướng giải hầu hết dạng cần thiết.Và lý mà lựa chọn đề tài: “Đa thức toán phân tích đa thức thành nhân tử” Mục tiêu, nhiệm vụ, giới hạn đề tài 2.1 Mục tiêu Mục tiêu đề tài là: - Nắm rõ củng cố lại kiến thức đa thức Xây dựng phương pháp giải phân tích đa thức thành nhân tử Củng cố phương pháp phân tích Sắp xếp toán theo mức độ, dạng 2.2 Nhiệm vụ giới hạn đề tài 2.2.1 Nhiệm vụ Với phạm vi nghiên cứu khóa luận, sở xác định mục tiêu, nhiệm vụ đề tài đề tài tập trung nghiên cứu giải vấn đề sau: đa thức toán phân tích đa thức thành nhân tử 2.2.2 Giới hạn đề tài Đa thức toán phân tích đa thức thành nhân tử trường số thực chương trình Đại số Phương pháp nghiên cứu Trong trình triển khai đề tài, sử dụng kết hợp phương pháp nghiên cứu sau: - Phương pháp nghiên cứu lí luận Phương pháp quan sát Phương pháp điều tra Phương pháp thống kê Phương pháp thực nghiệm Cấu trúc đề tài Cấu trúc đề tài gồm phần: - Phần mở đầu Phần nội dung: Chương 1: Cơ sở lí luận thực tiễn 1.1 Cơ sở lí luận 1.2 Cơ sở thực tiễn Chương 2: Đa thức toán phân tích đa thức thành nhân tử 2.1 Đa thức 2.2 Bài toán phân tích đa thức thành nhân tử 2.3 Bài tập áp dụng Chương 3: Kết thực đề tài 3.1 Kết 3.2 Phạm vi áp dụng Chương 4: Ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử - Phần kết luận PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Cơ sở lí luận Nhằm đáp ứng mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh Đảng Nhà nước đề theo Nghị số 40/2000/QH10 Quốc hội, đường nâng cao chất lượng học tập học sinh từ nhà trường phổ thông Do để học sinh tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư sáng tạo, rèn tính tự học, môn toán môn học đáp ứng đầy đủ yêu cầu Việc học toán học SGK, không làm tập thầy cô ra, mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quát hóa vấn đề rút điều bổ ích Dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử dạng toán quan trọng chương trình Đại số đáp ứng yêu cầu này, tảng, sở để học sinh học tiếp chương sau này, học rút gọn phân thức đại số, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức việc giải phương trình, Tuy nhiên lí sư phạm khả nhận thức học sinh đại trà mà chương trình đề cập đến bốn phương pháp trình phân tích đa thức thành nhân tử thông qua ví dụ cụ thể, việc phân tích không phức tạp không ba nhân tử Vấn đề đặt làm để học sinh giải toán phân tích đa thức thành nhân tử cách xác, nhanh chóng đạt hiệu Vì vậy, cần phải có phương pháp làm toán phân tích đa thức thành nhân tử để xây dựng cho học sinh có kĩ quan sát, nhận xét, đánh giá toán, đặc biệt kĩ giải toán, kĩ vận dụng toán để học tập tốt 1.2 Cơ sở thực tiễn Do học sinh yếu tính toán, kĩ quan sát, nhận xét, biến đổi thực hành giải toán, nên gặp tập, em thường lúng túng, chưa tìm hướng giải thích hợp CHƯƠNG 2: ĐA THỨC VÀ BÀI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 2.1 Đa thức Đa thức khái niệm trung tâm toán học Trong chương trình phổ thông, làm quen với khái niệm đa thức từ bậc trung học sở, từ phép cộng, trừ, nhân đa thức đến phân tích đa thức thừ số, dùng sơ đồ Horner để chia đa thức, giải phương trình đại số Vì vậy, đề tài hệ thống hóa lại kiến thức đa thức biến trường số thực 2.1.1 Đa thức phép toán đa thức 2.1.1.1 Định nghĩa Đa thức trường số thực biểu thức có dạng: Trong đó: gọi hệ số đa thức gọi hệ số cao gọi hệ số tự n: bậc đa thức kí hiệu n = deg(P) Quy ước: bậc đa thức Để tiện lợi cho việc viết công thức, ta quy ước với đa thức bậc n có hệ số với k >n, chúng Kí hiệu:: tập hợp tất đa thức biến trường số thực , : tập hợp đa thức biến số hữu tỉ số nguyên 2.1.1.2 Đa thức Hai đa thức và m = n (với k =0, 1, 2, , m) 2.1.1.3 Phép cộng, trừ đa thức Cho hai đa thức Khi phép cộng, trừ hai đa thức P(x) Q(x) thực theo hệ số Tức là: Ví dụ: 2.1.1.4 Phép nhân đa thức Cho hai đa thức Khi phép nhân hai đa thức P(x) Q(x) đa thức có bậc m + n có hệ số xác định bởi: Ví dụ: a, b, (x+3)(x – 7) = - 7x + 3x – 21 = - 4x – 21 2.1.1.5 Bậc tổng, hiệu, tích đa thức Định lí 1: Cho P(x), Q(x) đa thức bậc m, n tương ứng Khi đó: a, deg(P Q) max {m, n} đó: deg(P) deg(Q) dấu “=” xảy Trong trường hợp, m = n deg(P Q) nhận giá trị m b, deg(P.Q) = m + n 2.1.1.6 Phép chia có dư Định lí 2: Cho hai đa thức P(x), Q(x) bất kì, với deg(Q) Các đa thức S(x) R(x) thỏa mãn đồng thời điều kiện: i) P(x) = Q(x) S(x) + R(x) ii) deg(R) < deg (Q) Ví dụ: Thực phép chia cho ? Lời giải: Sau thực phép chia đa thức cho ta thương 3x – dư 20x + Hay: ) = ) 2.1.1.7 Sự chia hết Trong phép chia P(x) cho Q(x), số dư R(x) đồng ta nói đa thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x) Như vậy, P(x) chia hết cho Q(x) tồn đa thức S(x) cho: P(x) = Q(x).S(x) Trong trường hợp này, ta nói Q(x) chia hết P(x), Q(x) ước P(x) P(x) bội Q(x) Kí hiêu: P(x) Q(x) Q(x) | P(x) 2.1.2 Nghiệm đa thức 2.1.2.1 Định nghĩa Số thực a gọi nghiệm đa thức: P(a) = Tức 2.1.2.2 Định lí Định lí 3: Số dư phép chia đa thức P(x) cho (x-a) P(a) Hệ Quả: a nghiệm đa thức P(x)  P(x) (x – a) Từ hệ trên, ta có định nghĩa khác cho nghiệm đa thức sau: “ a nghiệm đa thức P(x) P(x) = (x – a)Q(x)” (với Q(x) đa thức đó) Mở rộng: a nghiệm bội r đa thức P(x) P(x) = Q(x) với Q(a) 2.1.3 Đa thức bất khả quy 2.1.3.1 Đa thức với hệ số nguyên Định nghĩa: Đa thức với hệ số nguyên đa thức có dạng: với Kí hiêu: : tập hợp đa thức biến với hệ số nguyên Một số ý: - Nếu P(x) có nghiệm nguyên x = a phân tích P(x) = (x – a)Q(x) (với Q(x) đa thức với hệ số nguyên) Nếu a, b a b P(a) – P(b) (a -b) - Nếu x = p/q nghiệm P(x) (với (p, q) = 1) p ước q ước Đặc biệt nghiệm hữu tỉ nghiệm nguyên - Nếu nghiệm P(x) với m, n nguyên; n số phương nghiệm P(x) - Nếu nghiệm P(x) với m, n nguyên; n số phương (với ) - Đa thức với hệ số nguyên nhận giá trị nguyên với giá trị x nguyên Điều ngược lại không Ví dụ: - Các đa thức nhận giá trị nguyên với x nguyên - Đa thức với hệ số hữu tỉ nhận giá trị nguyên với x nguyên gọi đa thức nguyên - Một đa thức với hệ số hữu tỉ P(x) biểu diễn dạng : 2.1.3.2 Đa thức bất khả quy Định nghĩa: • Cho đa thức P(x) đa thức với hệ số nguyên Ta gọi P(x) bất khả quy P(x) không phân tích thành tích hai đa thức thuộc với bậc lớn hay Định lí: • với Nếu tồn số nguyên p cho không chia hết cho p i ii iii Thì đa thức P(x) bất khả quy Định lí: Quan hệ bất khả quy • Nếu đa thức P(x) bất khả quy bất khả quy * Ví dụ tập bất khả quy: Bài 1: Chứng minh đa thức sau bất khả quy: a, b, Bài 2: Cho p số nguyên tố Chứng minh đa thức: bất khả quy Bài 3: Cho n số Chứng minh: a) b) bất khả quy bất khả quy 2.2 Bài toán phân tích đa thức thành nhân tử 2.2.1 Phân tích đa thức thành nhân tử 2.2.1.1 Định nghĩa Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) biến đổi đa thức thành tích đơn thức đa thức có bậc nhỏ 2.2.1.2 Ví dụ a) 1) b) c) d) 2.2.2 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp khác nhau, thường sử dụng số phương pháp sách giáo khoa giới thiệu áp dụng cho tất học sinh đại trà Do vậy, cần phải có phương pháp giải phù hợp với khả học sinh, phù hợp với mức độ toán Đề tài giới thiệu phương pháp, phù hợp với đối tượng học sinh sau:  Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức Dùng phương pháp bản:  Phương pháp đặt nhân tử chung  Phương pháp dùng đẳng thức  Phương pháp nhóm nhiều hạng tử  Đối với học sinh đại trà: Vận dụng phát triển kĩ  Phối hợp nhiều phương pháp ( Các phương pháp trên)  Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử  Đối với học sinh giỏi: Phát triển tư  Phương pháp nhẩm nghiệm  Phương pháp thêm bớt hạng tử  Phương pháp đổi biến  Phương pháp hệ số bất định  Phương pháp xét giá trị riêng  Phương pháp đưa số đa thức đặc biệt Cần phải linh hoạt sử dụng phương pháp phù hợp cho toán, để có cách giải thích hợp 2.2.2.1 Các phương pháp a) Phương pháp đặt nhân tử chung  Tìm nhân tử chung đơn, đa thức có mặt tất hạng tử  Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung nhân tử khác  Viết nhân tử chung dấu ngoặc, viết nhân tử lại hạng tử vào dấu ngoặc (kể dấu chúng)  Nhằm đưa dạng: A.B+A.C+A.D = A (B+C+D) Chú ý:Nhiều để làm xuất nhân tử ta cần đổi dấu hạng tử • Ví dụ Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = B = 2x (3y-7z) + 6y (7z-3y) C = ( Lời giải: A = Ta thấy: hạng tử đa thức chứa thừa số chung 5xy Ta có: A=5 B = 2x (3y-7z) + 6y (7z-3y) Đối dấu hạng tử 6y(7z-3y) = -6y(3y – 7z), ta có thừa số chung (3y-7z) Có: B = 2x (3y-7z) + 6y (7z-3y) = 2x (3y-7z) - 6y (3y – 7z) = (3y – 7z)(2x- 6y) = 2(3y – 7z)(x- 3y) C = ( Đổi dấu: , ta có thừa số chung Có: C=( =( =( =( =( = ( Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A= Lời giải: Ta có: A= 10 Áp dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A= 2x(y B = C = D = E = b) Phương pháp dùng đẳng thức •  Dùng đẳng thức đáng nhớ “dạng tổng hiệu” để đưa “dạng tích” để phân tích đa thức thành nhân tử  Cần ý vận dụng đẳng thức đẳng thức đáng nhớ : • í dụ • Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử ? (Bài 28a- SBT-T.6) Lời giải: Ta có: Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = B = C = D = Lời giải: Ta có: A= Ta có: B= = 18 Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử? Lời giải: Có:1+(-5)+8+(-4) = Nên x = nghiệm đa thức Hay đa thức có nhân tử (x – 1) Ta phân tích sau: Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử? Lời giải: (áp dụng hệ 2) Có: 1+3 = (-5)+9 nên x = -1 nghiệm đa thức Hay đa thức có nhân tử (x+1) Ta phân tích sau: (áp dụng hệ 3) Các ước 18 là: f(1) = -18, f(-1) = -44 nên nghiệm f(x) Dễ thấy, thử số f(x) không số nguyên nên -3, , , không nghiệm f(x) Chỉ lại -2 Kiểm tra ta thấy nghiệm f(x) Do đó, ta tách hạng tử sau: (áp dụng hệ 4) Các ước là: {-1, 1, 5, -5} Thử trực tiếp ta thấy số không nghiệm f(x) Như f(x) nghiệm nguyên Xét số ta thấy nghiệm đa thức f(x) Do đó, đa thức có nhân tử (3x – 1) Ta phân tích: • Áp dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử? 19 29 +310 2.2.2.4 Phương pháp thêm bớt hạng tử • Phương pháp: Thêm bớt hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử có dạng đẳng thức dùng phương pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung để tiếp tục phân tích Thông thường hay đưa dạng đẳng thức đáng nhớ sau thêm bớt  Thêm bớt hạng tử làm xuất hiệu hai bình phương Bìa 1: Phân tích đa thức thành nhân tử? Lời giải: Cách 1: Cách 2: Cách 3: Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử? Lời giải: x-4 + Cách 1: Cách 2: Ta có: )  Thêm bớt hạng tử làm xuất nhân tử chung 20 Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử? Lời giải: Cách 1: Cách 2: Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử? Lời giải: Lưu ý: Các đa thức dạng: chứa nhân tử là: ( • Áp dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử? +1 2.2.2.5 Phương pháp đổi biến (đặt ẩn phụ)  Trong số toán, ta nên đưa biến phụ vào để việc giải toán gọn gàng, tránh nhầm lẫn  Đặt ẩn phụ để đưa dạng tam thức bậc hai sử dụng phương pháp  Đa thức dạng: Phương pháp giải: Đặt biến phụ đưa đa thức dạng bậc hai ẩn y  Đa thức dạng: với a+b = c+d Phương pháp giải; Đặt biến phụ y = (x+a)(x+b) y = (x+c)(x+d) Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử? f(x) = x(x+4)(x+6)(x+10)+128 21 Lời giải: Ta có: f(x) = x(x+4)(x+6)(x+10)+128 = ( Đặt: Đa thức có dạng: Hay: Tổng quát: Nếu đa thức dạng: thỏa mãn đặt y  Đa thức dạng: thỏa mãn Phân tích đa thức sau thành nhân tử? Lời giải: Ta có: Đặt: (y Đa thức có dạng: Hay  Đa thức dạng: với k Phương pháp giải: Đặt biến đổi P(x) dạng chứa hạng tử sử dụng đẳng thức để giải • Áp dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử? Lời giải: Đặt Có: (*)  22 Hay  Đa thức dạng: với Phương pháp giải: Đặt biến đổi P(x) dạng chứa hạng tử sử dụng đẳng thức để giải • Áp dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử? Lời giải: Dễ thấy: b =1, d = 2, e = Đặt Ta có: Hay (*)  Vậy Lưu ý: Nếu đa thức P(x) chứa a xét đa thức Q(x) = P(x)/a theo  Đa thức dạng: Phương pháp giải: Đặt biến đổi P(x) dạng chứa hạng tử • Áp dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử? (*) Lời giải: Đặt t = y+ = y - (*)  Hay A • Áp dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử? A 23 B C 2.2.2.6 Phương pháp hệ số bất định Nếu tập hợp số mà hai đa thức f(x) g(x) đồng với nhau, tức ứng với giá trị biến lấy tập hợp số cho mà f(x) g(x) có giá trị hệ số hạng tử bậc - Lưu ý: Đa thức bậc hai biểu diễn dạng tích đa thức bậc là: (x + a)(x + b) Đa thức bậc ba biểu diễn dạng tích hai đa thức bậc bậc - hai là: ( Đa thức bậc biểu diễn dạng tích hai đa thức bậc hai: • Ví dụ: • - Phân tích đa thức sau thành nhân tử? Lời giải: Ta có: A phân tích dạng: A Đồng hệ số ta được: Vì a, c , ac = -30 Do dó a, c ước -30 Hay a, c a = 2, c = 15 Khi b = -2 thỏa mãn hệ Vậy A Thử với x không nghiệm đa thức Do đó, đa thức nghiệm nguyên nghiệm hữu tỉ Như vậy, đa thức phân tích thành nhân tử phải có dạng: 24 Đồng hệ số ta được: Xét bd = với b, d Với b = d = hệ (I) trở thành: Vậy B = • Áp dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử? 2.2.2.7 Phương pháp xét giá trị riêng Trong phương pháp này, trước hết ta xác định dạng nhân tử chứa biến đa thức, gán cho biến giá trị cụ thể để xác định nhân tử lại • Áp dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử? Lời giải: Thay x y Như vậy, P chứa thừa số (x-y).Ta thấy, thay x y, thay y z, thay z x P không đổi (đa thức P hoán vị vòng quanh) Do đó, P chứa thừa số (x-y) chứa thừa số (y-z), (z-x) Vậy P có dạng k(x-y)(y-z)(z-x) Lại thấy: k số P có bậc tập hợp biến x, y, z tích (x-y)(y-z)(z-x) có bậc tập hợp biến x, y, z Vì đẳng thức : với x, y, z nên ta gán cho biến x, y, z giá trị riêng Chẳng hạn x = 2, y = 1, z = ta được: 4.1 + 1.(-2) + = k.1.1.(-2) => k = Vậy 2.3 Bài tập áp dụng Phân tích đa thức sau thành nhân tử? 25 10 11 12 13 14 15.4 16 17 12 19 4( 18 20 21 (x+2)(x+4)(x+6)(x+8)+16 22 23 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24 24 25 \ 26 26 Chương 3: Ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử 3.1 Ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử vào số dạng toán 3.1.1 Bài toán giải phương trình Phương pháp giải • Sử dụng số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để đưa vế có chứa ẩn phương trình dạng: A.B=0 Ví dụ: • Giải phương trình sau: a, b, Lời giải: a,     Ta có: (a)  x = (b)       Vậy phương trình có nghiệm x = x = - x = -7 b, Với phương trình này, để phân tích vế trái phương trình thành tích đa thức, ta sử dụng phương pháp dùng đẳng thức đáng nhớ dạng: Ta có:  ( 27    Vậy phương trình có nghiệm x = x = 3.1.2 Bài toán giải phương trình • Phương pháp giải  Đối với phương trình bậc cao, ta nên phân tích vế có chứa ẩn thành nhân tử để để đưa bất phương trình dạng bất phương trình tích  Đối với bất phương trình chứa ẩn mẫu, ta nên phân tích tử mẫu thành nhân tử để rút gọn biểu thức sau giải bất phương trình đơn giản (A.B < A.B > 0) hay bất phương trình thường • Ví dụ: Giải bất phương trình sau: a, b, Lời giải: a, (1) Ta thấy VT bpt (1) đa thức bậc hai, ta phân tích Việc giải bpt (1) ta đưa giải bpt:  Vậy bpt (1) có nghiệm x > x < - b, (2) Ta có: 2x +10 = 2(x + 5) Việc giải bpt (2) ta giải bpt:  x +2 < (vì 2> 0) x[...]... nhân tử chung và dùng hằng đẳng thức) = (Đặt nhân tử chung) 2 Ta có: (Nhóm các hạng tử) 13 = (Đặt nhân tử chung và dùng hằng đẳng thức) = (Đặt nhân tử chung) = 3 Ta có: = (Nhóm các hạng tử) = (Đặt nhân tử chung) (Đặt nhân tử chung và dùng hằng đẳng thức) = =(Đặt nhân tử chung) = Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử? 1 2 Lời giải: 1 Ta có: 2 Ta có: =( • Áp dụng Phân tích các đa thức thành nhân tử? ... dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử? Lời giải: 15 Ta có: Hoặc: Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử? 1 2 Lời giải: 1 Ta có: 2 Ta có: Hoặc: • Áp dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử (bằng nhiều cách khác nhau)? 1 2 3 4 5 6 7  Đối với đa thức bậc 3 trở lên (Xem ở phương pháp nhẩm nghiệm)  Đối với đa thức nhiều biến • Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử? 16 1) 2) Lời giải: 1) (Phân. .. Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử? 1 2 Lời giải: 1 x-4 + 4 Cách 1: Cách 2: 2 Ta có: )  Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung 20 Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử? Lời giải: Cách 1: Cách 2: Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử? Lời giải: Lưu ý: Các đa thức dạng: đều chứa nhân tử là: ( • Áp dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử? 1 4 2 5 3 6 4 +1 8 2.2.2.5... dụ: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử? Lời giải: Lần lượt kiểm tra với x = Ta thấy: Đa thức f(x) có một nghiệm x = -2 Do đó, nó chứa một nhân tử là x+2 Từ đó, ta tách như sau: Cách 1: Cách 2: Cách 3: 18 Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử? Lời giải: Có:1+(-5)+8+(-4) = 0 Nên x = 1 là 1 nghiệm của đa thức Hay đa thức có một nhân tử là (x – 1) Ta phân tích như sau: Bài 3: Phân tích đa thức. .. tích cực học tập và hứng thú hơn khi giải các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử Và đặc biệt là vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào làm một dạng bài toán liên quan một cách hiệu quả Với việc các em nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và kết hợp đổi mới phương pháp giảng dạy bộ môn toán ở khối 8 và khối 9, tôi thấy chất lượng môn toán ngày càng tiến... < x < 3 3.1.3 Bài toán rút gọn biểu thức • Phương pháp giải Dựa trên cơ sở tính chất cơ bản của phân thức đại số, ta phân tích tử và mẫu thức thành nhân tử để xuất hiện nhân tử chung rồi rút gọn, đồng thời tìm tập xác định của biểu thức thông qua các nhân tử nằm dưới mẫu • Ví dụ: Rút gọn phân thức sau: Lời giải: Ta phân tích tử và mẫu của phân thức thành nhân tử: Có:  Vậy A 3.1.4 Bài toán chứng minh... ( Đặt: Đa thức có dạng: Hay: Tổng quát: Nếu đa thức dạng: thỏa mãn và thì đặt y  Đa thức dạng: thỏa mãn và Phân tích đa thức sau thành nhân tử? Lời giải: Ta có: Đặt: (y Đa thức có dạng: Hay  Đa thức dạng: với k 1 Phương pháp giải: Đặt và biến đổi P(x) về dạng chứa hạng tử rồi sử dụng hằng đẳng thức để giải • Áp dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử? Lời giải: Đặt Có: (*)  22 Hay  Đa thức dạng:... có: D=8= =(= Áp dụng Phân tích các đa thức sau thành nhân tử? 1 2 3 4 5 c) Phương pháp nhóm nhiều hạng tử •  Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm  Áp dụng liên tiếp các phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức • Ví dụ: Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử? 1 2 Lời giải: 1 Ta có: = = 2x( =( 2 Ta có: =(==( • Áp dụng Phân tích các đa thức sau thành nhân tử? 1 2 3 4 5 6 12 7... Thêm và bớt cùng hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử hơn có dạng hằng đẳng thức rồi dùng phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung để tiếp tục phân tích Thông thường hay đưa về dạng các hằng đẳng thức đáng nhớ sau khi thêm bớt  Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu hai bình phương Bìa 1: Phân tích đa thức thành nhân tử? Lời giải: Cách 1: Cách 2: Cách 3: Bài 2: Phân tích các đa thức. .. (Phân tích đa thức này tương tự như phân tích đa thức bậc hai) Ta tách hạng tử thứ 2: 2) Nhận xét: Vì vậy, ta tách hạng tử thứ 2 của đa thức: Chú ý: - Ở câu 2, ta có thể tách Đa thức ở 2 là một trong những đa thức có dạng đa thức đặc biệt Khi ta thay x = y (y = z hoặc z = x) vào đa thức thì giá trị của đa thức đó bằng 0 Vì vậy, ngoài cách phân tích bằng cách tách như trên, ta còn cách phân tích bằng ... toán phân tích đa thức thành nhân tử 2.2.1 Phân tích đa thức thành nhân tử 2.2.1.1 Định nghĩa Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) biến đổi đa thức thành tích đơn thức đa thức có bậc nhỏ... 1: Cơ sở lí luận thực tiễn 1.1 Cơ sở lí luận 1.2 Cơ sở thực tiễn Chương 2: Đa thức toán phân tích đa thức thành nhân tử 2.1 Đa thức 2.2 Bài toán phân tích đa thức thành nhân tử 2.3 Bài tập áp... dụng phân tích đa thức thành nhân tử 3.1 Ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử vào số dạng toán 3.1.1 Bài toán giải phương trình Phương pháp giải • Sử dụng số phương pháp phân tích đa thức thành