Mục lục Trang Mở đầu 1 Kỳ vọng có điều kiện Martingale - 13 1.1 Kỳ vọng có điều kiện 1.2 Các đặc tr-ng kỳ vọng có điều kiện 1.3 Thời điểm dừng 10 1.4 Martingale 11 Sự hội tụ hầu đại số von Neumann 14 - 30 2.1 Đại số von Neumann 14 2.2 Dạng khác hội tụ hầu chắn đại số von Neumann 21 2.3 Một dạng không giao hoán Định lý Egoroff 27 Sự hội tụ kỳ vọng có điều kiện martingale đại số von Neumann 31 - 62 3.1 Kỳ vọng có điều kiện đại số von Neumann 31 3.2 Sự hội tụ hầu kỳ vọng có điều kiện martingale 33 Kết luận 63 Tài liệu tham khảo Hệ thống ký hiệu (, F , P) G (Fn , n N) (n , n N) Lp E() = ()dP Không gian xác suất đầy đủ đại số F Dãy không giảm - đại số F Dãy biến ngẫu nhiên t-ơng thích với (Fn , n N) Tập tất biến ngẫu nhiên khả tích cấp p, Kỳ vọng biến ngẫu nhiên G E () = E(|G) T H B(H) C Tập tất toán tử tuyến tính bị chặn H C - đại số A Hoán tập A biết G Không gian Hilbert Đại số von Neumann A 1} Thời điểm dừng bị chặn A P rojA A = W {An ; n Kỳ vọng có điều kiện Tập tất phép chiếu trực giao A Đại số von Neumann sinh Trạng thái A (An ) p Mở Đầu Lý thuyết xác suất thống kê phận toán học, nghiên cứu t-ợng ngẫu nhiên ứng dụng chúng vào thực tế Các khái niệm xác suất nhà toán học tên tuổi Pierre Fermat (1601 - 1665) Bailes Pascal (1623 - 1662) xây dựng từ kỷ thứ 17 dựa việc nghiên cứu quy luật trò chơi may rủi Sau gần kỷ phát triển, lý thuyết xác suất đ-ợc A.N Kolmogorov tiên đề hoá Có thể nói, sách "Các sở lý thuyết xác suất" ông xuất lần tiếng Đức, năm 1933 đ-ợc coi chứng khai sinh xác suất đại Dựa tảng đó, nhiều h-ớng nghiên cứu chuyên sâu xác suất đời, có lý thuyết kỳ vọng có điều kiện martingale Đề tài luận văn tôi: "Sự hội tụ kỳ vọng có điều kiện martingale đại số von Neumann" phần nhỏ thuộc h-ớng nghiên cứu Để hiểu nắm bắt đ-ợc số kết đề tài, xây dựng luận văn theo ch-ơng nh- sau: Ch-ơng 1: Kỳ vọng có điều kiện martingale Ch-ơng 2: Sự hội tụ hầu đại số von Neumann Ch-ơng 3: Sự hội tụ kỳ vọng có điều kiện martingale đại số von Neumann Hai ch-ơng đầu tảng, số đặc tr-ng kỳ vọng có điều kiện không gian Lp dạng hội tụ đại số von Neumann đ-ợc coi quan trọng Nội dung luận văn nằm Ch-ơng đó, Định lý 3.2.9 ; 3.2.11 Định lý 3.2.16 hội tụ hầu kỳ vọng có điều kiện đại số von Neumann đáng ý Hoàn thành đ-ợc luận văn trên, tr-ớc tiên muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Phan Viết Th-, ng-ời tận tình h-ớng dẫn, bảo cho suốt trình thực luận văn Tôi muốn đ-ợc gửi lời cảm ơn đến thầy cô thuộc Khoa Toán - Cơ - Tin học, Bộ môn Xác suất thống kê, Phòng Đào tạo, Phòng Sau đại học tr-ờng ĐHKHTN - ĐHQGHN thầy bên Viện Toán học giảng dạy, rèn luyện suốt thời gian học tập tr-ờng, nh- tất bạn lớp cao học khóa 2007 - 2009 tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành luận văn Luận văn quà nhỏ dành kính tặng bố mẹ, vợ ng-ời thân gia đình dành tình cảm yêu th-ơng cho Cuối cùng, khả thời gian có hạn nên luận văn tránh khỏi sai sót Vì vậy, mong nhận đ-ợc h-ớng dẫn, bảo thầy cô, hợp tác bạn để hoàn thiện Hà Nội, ngày 10 tháng 12 năm 2009 Học viên: Đinh Thanh Tuấn Ch-ơng kỳ vọng có điều kiện martingale 1.1 Kỳ vọng có điều kiện Kỳ vọng có điều kiện công cụ hữu hiệu lý thuyết xác suất Vì vậy, phần xin trình bày vắn tắt tính chất toán tử kỳ vọng có điều kiện Tr-ớc hết, ta có định nghĩa sau: 1.1.1 Định nghĩa Cho F (, F , P) L1 không gian xác suất đầy đủ, Ta gọi biến ngẫu nhiên, ký hiệu vọng có điều kiện i) E(|G) ii) G G Với với đo đ-ợc A G, G E(|G) đại số hay EG () kỳ cho, thoả mãn: E(|G) L1 ta có: E(|G)dP = A dP A Chú ý: 1) Nếu = 1A , A F kiện biến cố 2) Nếu A P(A|G) := E(1A |G) với điều kiện đại số biến ngẫu nhiên cho E(|) := E(|G) đ-ợc gọi xác suất có điều G cho G = () đại số sinh đ-ợc gọi kỳ vọng có điều kiện biết 1.1.2 Ví dụ Cho (, F , P) không gian xác suất, hoạch , G = (Bi )iK (Bi )iK , K N phân L1 Khi đó: EG () = EBk ()1Bk với EBk () = kK P(Bk ) dP, Bk k K 1.1.3 Các tính chất kỳ vọng có điều kiện Trong suốt mục ta giả thiết (, F , P) không gian xác suất đầy đủ cố định, biến ngẫu nhiên khả tích số (h.c.c) đại Khi đó, kỳ vọng điều kiện có tính chất sau: F Nếu c số Nếu G F E(c|G) = c E(|G) Nếu a, b số ; (h.c.c) E(|G) , (h.c.c) biến ngẫu nhiên thì: E(a + b|G) = aE(|G) + bE(|G) E(|{, }) = E() E(|F ) = E E(|G) = E() (h.c.c) (h.c.c) (h.c.c) (h.c.c) Tính t-ơng thích: Nếu G1 , G2 đại số F G1 G thì: E E(|G2 )|G1 = E(|G1 ) = E E(|G1 )|G2 (h.c.c) Tính không giãn: E(|G) Nếu 10 Nếu G E || G (h.c.c) độc lập G đo đ-ợc, E(|G) E(|G) = E() E || < E(|G) = E(|G) ||||1 (h.c.c) E || < thì: (h.c.c) Đối với kỳ vọng có điều kiện, tính chất có số tính chất quan trọng sau đây: Nhóm tính chất chuyển qua giới hạn: 11 Định lý hội tụ đơn điệu Levy: a) Nếu n (h.c.c) tồn nN E(n |G) E(|G) b) Nếu n (h.c.c) tồn 12 Bổ đề Fatou: Giả sử E(n ) < thì: E(n+ ) < thì: (h.c.c) nN E(n |G) E(|G) cho cho (h.c.c) biến ngẫu nhiên khả tích, đó: a) Nếu n (h.c.c) E(lim n |G) lim E(n |G) (h.c.c) b) Nếu n (h.c.c) E(lim n |G) lim E(n |G) (h.c.c) 13 Định lý bị chặn Lebesgue: Giả sử khả tích, |n | (h.c.c) h.c.c n , n N E(limn |G) = limE(n |G) n n Khi đó: (h.c.c) 14 Bất đẳng thức Jensen: Giả sử :I R hàm lồi d-ới, nhận giá trị I Khi đó, E(|G) I R () biến ngẫu nhiên khả tích thì: E ()|G Vì khuôn khổ có hạn luận văn, nh- chứng minh chi tiết tìm đ-ợc [1] , [9] nên xin phép đ-ợc bỏ qua giải thích cụ thể mà b-ớc sang phần quan trọng sau 1.2 Các đặc tr-ng kỳ vọng có điều kiện Tr-ớc tiên, ta nghiên cứu không gian gian L2 , L2 Trong không ta định nghĩa tích vô h-ớng nh- sau: .dP = E(.) < , >= , L2 Rõ ràng, tích vô h-ớng xác định ||||2 = < , > L2 chuẩn = || dP ||.||2 có: Vì L2 , ||.||2 không gian Banach nên L2 , < > không gian Hilbert Từ kết thuộc giải tích hàm ta thu đ-ợc khẳng định sau đây: 1.2.1 Định lý Nếu L2 M không gian véc tơ đóng không gian Hilbert phần tử L2 đ-ợc biểu diễn d-ới dạng : M ; M với M = H L2 :< H, M >= 0, M M = +, Từ sau, ta gọi gian hình chiếu trực giao không M 1.2.2 Bổ đề Kỳ vọng điều kiện không gian Hilbert EG (.), L2 hạn chế phép chiếu vuông góc từ L2 xuống không gian véc tơ đóng L2 (G) nó, đó: L2 (G) = L2 : G- đo đ-ợc Chứng minh Dễ thấy, đó, Với L2 (G) theo Định lý ta có L2 BG không gian vectơ đóng không gian ta thấy 1B L2 (G) = + , L2 (G) L2 Khi L (G) nên: hay 1B dP =< 1B , >= 0, dP = 0, B suy dP = B ( + )dP = B L2 B G B Do đó, theo định nghĩa dP, E(.|G) ta có : = E(|G) phép chiếu trực giao từ không gian nghĩa là, L2 L2 (G) L2 Vậy EG (.) thu hẹp lên không gian L2 (G), thì: E(|G) L2 (G), và: EG ()dP = dP 1.2.3 Định lý Để toán tử tuyến tính T : L2 L2 toán tử kỳ vọng điều kiện, điều kiện cần đủ là: T phép chiếu trực giao, không âm bất biến hàm Chứng minh () Cho T : L2 L2 điều kiện E(.|G) với toán tử tuyến tính Giả sử kỳ vọng G đại số F Lúc đó, theo Bổ đề 1.2.2 phải phép chiếu trực giao từ T chất 1.1.3 T L2 lên L2 (G), theo Tính phải toán tử không âm bảo toàn số () Để chứng minh điều kiện đủ định lý, ta đặt: M = L2 : T = Từ giả thiết T , dễ dàng kiểm tra đ-ợc giả thiết Hệ I.1.2- [6], tức là, tồn F cho Vậy T M thỏa mãn đại số G M = L2 (G) có hai tính chất bản: 1) T () L2 (G), 2) T ()dP = Đặc biệt với L2 với dP, L2 , L2(G) = 1A , A G 1A L2 (G), T ()dP = A nh- nên từ đẳng thức trên, ta có: T ()1A dP = 1A dP = dP, A T () = E(|G) Định lý đ-ợc chứng minh Sau đây, ta nghiên cứu kỳ vọng có điều kiện không gian Lp 1.2.4 Định lý Cho tr-ớc số vào Lp p Khi toán tử tuyến tính liên tục T từ toán tử kỳ vọng có điều kiện (tức số i) T dP = F dP, T = E(.|G)) với G T thoả mãn hai tính chất sau: Lp Lp đại ii) Lp , L với T (.T ) = T .T Chứng minh Điều kiện cần suy từ định nghĩa tính chất kỳ vọng có điều kiện Để chứng minh điều kiện đủ ta tiến hành theo hai b-ớc sau: B-ớc 1: Ta chứng minh Thật vậy, với L , T (L ) L ta lập dãy = ; n+1 = .T (n ) Rõ ràng n Lp Với n (n , n N) n với Lp nh- sau: theo (ii) ta có: T n+1 = T (.T (n)) = T .T (n ) Lại tiếp tục biểu diễn Vì (T )n Lp n nh- vậy, cuối ta đ-ợc với n, nên suy T n+1 = T (.T n) T T Ls với s < T n = (T )n Hơn nữa, liên tục nên: T n+1 T .T n p T p T n p Vì: T T T p p , nên: n (T )n p = T n T p Nh-ng: n (T )n = T np p n nên n T T np , suy ra: T T np Vì ta có Ls T , họ chuẩn với s s T T s< n , suy ra, L với {hi } i=1 dãy phần tử H, cho: xhi < iv) Một tôpô yếu B(H) không gian tôpô lồi địa ph-ơng liên kết với nửa chuẩn khác, dãy với {x } x |(x(h), g)|, hội tụ yếu đến với x B(H) x B(H) h, g H Nói cách (x x)(h), g h, g H v) Một tôpô yếu (hay siêu yếu) B(H) đ-ợc xác định nửa chuẩn: x| (xhi , gi )|, i=1 i=1 với hi < , i=1 gi < 2.1.5 Định nghĩa Với tập A B(H), ta ký hiệu A hoán tập A, tứclà: A = {y B(H) : xy = yx, x A} Dễ dàng đ-ợc C đóng yếu Nếu A tự liên hợp đại số Từ sau ta ký hiệu A thay cho A A (A ) 2.1.6 Định nghĩa Một C đại số đóng yếu Neumann Nói cách khác, Neumann A=A A B(H) C đ-ợc gọi đại số von đại số A B(H) đại số von A 2.1.7 Định lý Nếu A đại số von Neumann A = A Chứng minh Cho A tác động không gian Hilbert H, với n nguyên d-ơng, ta đặt H(n) = H H (n lần) Mọi phần tử B(H(n)) đ-ợc cho ma trận A(n) (bij )nxn phần tử thuộc B(H) Với x A, đặt x = ij x cho tập tất toán tử thỏa mãn điều kiện Rõ ràng đại số von Neumann Cho (bij ) B(H(n)) 16 Khi bij A(n) A(n) (hoán tập A(n) ) y = (ij y) A(n) ký hiệu trực giao lên tử zA A(n)g y An cho với i, j Vì vậy, {xg; x A} Khi đó, theo (A2) - [7], Cho p A(n) Điều có nghĩa là, với A(n)g Điều chứng tỏ thỏa mãn A yg zy < , trù mật trong tôpô toán tử yếu, ta có A=A A p yA phần tử cố định g = h1 h2 hn bao đóng tập A(n)g theo y, với Cho bij A , H(n) , phép chiếu > 0, tức là: A(n)g bất biến tồn toán n i=1 yhi zhi < tôpô toán tử mạnh, Định lý đ-ợc chứng minh 2.1.8 Định nghĩa Một phiếm hàm tuyến tính với x = 0, x A+ với Phiếm hàm A đ-ợc gọi d-ơng đ-ợc gọi xác (x) (x) = 0, suy x A+ 2.1.9 Nhận xét i) Dễ dàng kiểm tra đ-ợc rằng, phiếm hàm tuyến tính d-ơng (x ) = (x) A x, y A, Nếu phiếm hàm d-ơng A, với ta có: (y x) () Thật vây, với C, (y y)(xx) ta có: (x + y) (x + y) Với = t(xy)|(y x)|1 t R, ta có: t2(xx) + 2t(y x) + (xy) Điều suy ii) () Mọi phiếm hàm tuyến tính d-ơng Thật vậy, ta có: xx (1), |(x)| |(x)| (1)1/2(xx)1/2, (1) x 17 bị chặn x x x x = (1) Do đó: (xx) 2.1.10 Định lý GNS (Gelfand - Naimark - Segal) (xem [7]) Với phiếm hàm tuyến tính d-ơng cyclic {, K} A với vectơ cyclic , A, có biểu diễn cho: với (x) , = (x) x A Chứng minh Với x, y A, đặt < x, y >= (y x) Khi A trở thành không gian tiền Hilbert Từ : |(y x)|2 tập M phần tử cho (y x) = 0, th-ơng A/M xA cho với (xx) = xA A tập phần tử Đây ideal trái y A T A lên A/M tích trái xác định (tức x y xy ) không gian th-ơng có toán tử tuyến tính y (x) = (y xy) (y x xy) = Khi y (xx) không gian Thật vậy, với yA K mở K Hơn nữa, với xác định cách qua x A/M Cho yA phiếm hàm tuyến tín nên x x y (1) Từ bất đẳng thức suy toán tử xA ánh xạ tuyến lên không gian tuyến tính trù mật cố định, đặt A không gian tiền Hilbert Hausdorff Đặt rộng ánh xạ tắc tính (y y)(xx), x xx (y y) = có chuẩn ta có: < xy, xy >= (y x xy) x x (y y) = x < y, y > Do x mở rộng tới toán tử tuyến tính liên tục (x) tác động K Dễ dàng kiểm tra đ-ợc x (x) Chẳng hạn, với x, y, z A thì: < (x)T y, T z > = đồng cấu thoả mãn < T y, (x)T z > 18 = < y, xz > 1H 1K = (z x y) Do (x) = (x) < x x, z > = Hơn nữa, đặt: < (x )T y, T z > = = T (1H ) K , ta có: (x) = T (1) = T (x), nên cyclic đại diện cho (A) Cuối cùng: < (x) , > = < T (1H ), T (1H ) > = < x, 1H > = (x) Định lý đ-ợc chứng minh 2.1.11 Nhận xét Nếu xác, x M, nghĩa là: tách Biểu diễn A từ M =0 x = suy (x) = Nh- vậy, tr-ờng hợp này, hiển nhiên {K , } điều kiện đẳng cấu từ A lên T (x) = 0, (A) xây dựng đ-ợc gọi biểu diễn cyclic liên kết với Nó đ-ợc ký hiệu {K , , } để vectơ cyclic 2.1.12 Định lý Cho phiếm hàm tuyến tính B(H) Khi điều kiện sau t-ơng đ-ơng: i) (x) = n k=1 (xhk , gk ) , với gk , hk H, k = 1, , n với x B(H); ii) iii) liên tục yếu; liên tục mạnh Chứng minh Rõ ràng (i) (ii) (iii) Ta chứng minh liên tục mạnh Vì vậy, tồn vectơ (iii) (i) h1 , h2 , , hn H n x(hk ) < 1, suy k=1 19 |(x)| Giả sử cho: Điều cho ta: n () |(x)| x(hk ) 2)1/2 ( k=1 Xét H(n) x = ij x B(H(n) ) () nh- Định lý 2.1.7, ta có, với B(H(n) ) Cho h(n) = h1 h2 hn , với hj x B(H), đặt xác định t-ơng tự nh- Đặt: (xh(n) ) = (x) Công thức cho ta phiếm hàm tuyến tính không gian đóng H(n) sinh véctơ xh(n) , |(xh(n) )| xH thỏa mãn: xh(n) Từ định lý biểu diễn Riesz, có véctơ g = g1 g2 gn H cho: n (x) = (xh(n) , g(n) ) = (xhk , hk ) k=1 Định lý đ-ợc chứng minh 2.1.13 Định nghĩa Một phiếm hàm tuyến tính d-ơng thái A đ-ợc gọi trạng (1) = 2.1.14 Định lý Cho H trạng thái đại số von Neumann A, tác động Khi đó, điều kiện sau t-ơng đ-ơng: i) chuẩn, ii) iii) liên tục yếu hình cầu đơn vị A, liên tục yếu, iv) Có toán tử v) (x) = (xhi , hi ), x lớp vết với hi < 20 H cho (y) = tr(xy), y A, Chứng minh (i) (ii) (.p) 0, Từ Định lý 2.1.12, ta tìm phép chiếu liên tục yếu (p ) < Nếu (xi ) p A, cho dãy bị chặn hội tụ yếu đến thì: (xi ) (xi p) + (xi (1 p)) (xi p) + (xi xi )1/2(1 p)1/2 (xi p) + xi Nghĩa là: Vì liên tục tôpô yếu 1/2 1/2 hội tụ đến {(xi )} (ii) (iii) liên tục yếu hình cầu đơn vị A, nên yếu trên hình cầu xung quanh điểm gốc Nh-ng A tôpô yếu liên kết với A nên đủ để áp dụng Định lý Krein - Smulian Từ A.24 - [7] ta có (iii) minh đ-ợc tính t-ơng đ-ơng (iii) d-ơng đ-ờng chéo từ riêng đơn vị) k > 0, với k (iv) Chứng (iv) đủ để có lớp toán tử vết ek , x= với k (ek ) giá trị riêng (vectơ = trx < Dễ dàng kiểm tra đ-ợc (iv) k (ii) Từ (ii) (i) hiển nhiên Định lý đ-ợc chứng minh 2.2 Dạng khác hội tụ hầu chắn đại số von Neumann Cho A A đại số Von Neuman không gian Hilbert phức H hoán tập A trạng thái A d-ơng A Ký hiệu Proj A Với p Proj A A ứng Z Cho xA A ta có ta kí hiệu ta đặt lớp phần tử tập tất phép chiếu trực giao p = p A Với tập Borel tử tự liên hợp A+ | x |2 = x x Z eZ (x) Ta viết toán tử đồng đ-ờng thẳng thực toán phép chiếu phổ x t-ơng Ta bắt đầu với vài so sánh sau 21 Trong không gian xác suất (, F , P), đặt L (, F , P) đại số (hoặc lớp t-ơng đ-ơng) hàm bị chặn cốt yếu nhận giá trị phức Nó xem nh- đại số von Neumann ta đồng hàm với toán tử nhân g L thức P (f ) = dãy f dP (fn ) Theo định lý Egoroff hội tụ từ A f L2 Đại cho công P P đo đ-ợc L2 (, F , P) với ag : f fg số A = L (, F , P) có trạng thái vết chuẩn xác F hầu chắn t-ơng đ-ơng với hội tụ hầu Rõ ràng biểu diễn hộ tụ hầu chắn nh- phần tử đại số mà không xem xét không gian sở Chúng ta A khẳng định lại hội tụ hầu chắn theo nghĩa thái P L chuẩn, trạng hàm đặc tr-ng (của tập "lớn") Từ quan điểm ta xem xét định nghĩa sau: 2.2.1 Định nghĩa Cho đại số von Neumann với trạng thái chuẩn xác A Ta nói dãy phần tử xA (1 p) < (xn ) với thoả mãn phần tử >0 A hội tụ hầu tới tồn phép chiếu (xn x)p pA cho n 2.2.2 Nhận xét Ta ý định nghĩa không phụ thuộc vào việc chọn Và từ hội tụ hầu đ-ợc định nghĩa t-ơng đ-ơng với hai điều kiện sau: () Với lân cận mạnh toán tử đồng phép chiếu () p cho (xn x)p Với trạng thái chuẩn xác phép chiếu pA cho (1 p) < A tồn n thoả mãn A >0 tồn (xn x)p n Các điều kiện đ-ợc suy từ giả thiết 22 trạng thái chuẩn xác tôpô mạnh hình cầu đơn vị S A đ-ợc metric hoá công thức: dist(x, y) = [(x y)(x y)] 2.2.3 Định lý Cho A đại số von Neumann với trạng thái chuẩn xác Với dãy bị chặn toán tử (xn ) từ hội tụ hầu A (xn ) hiểu nh- hội tụ mạnh dãy Chứng minh Cho xn hầu Biểu diễn GNS A liên kết với trạng thái chuẩn xác Không tính tổng quát ta giả sử A tác động lên không gian H biểu diễn GNS theo cách chuẩn Trong tr-ờng hợp đặc biệt ta có một vectơ cyclic tách phép chiếu hoán tập A pA cho với chuẩn xn y H (x) = (x, ) Cho >0 (1 p) < H ), và x xn p xA Khi đó, tồn Đặt yA (A ta có: xn py + xn (1 p)y xn p y 0, có phép chiếu p xn x A: A, với (1 p) < nguyên d-ơng cho: với (xn x)p < , ii) Với > 0, n có phép chiếu N p A, với (1 p) < , cho: (xn x)p 0, iii) Với dần đến > 0, n có dãy phép chiếu A tăng (trong tôpô mạnh), cho: với (xn x)pn < , n = 1, 2, iv) Với phép chiếu p khác không q (pn ) khác không A cho q p A có phép chiếu và: (xn x)q 0, n Hiển nhiên, điều kiện (ii) có nghĩa dãy (xn ) hội tụ hầu đến x Nếu điều kiện (i) (iii) (iv) thỏa mãn hội tụ đến x xn đ-ợc gọi đóng tập lớn hội tụ hầu khắp nơi tựa Rõ ràng, tr-ờng hợp đại số von Neumann giao hoán L (, F , P) bốn điều kiện t-ơng đ-ơng với hội tụ P - hầu chắn 2.2.5 Định lý Cho A đại số von Neumann với trạng thái chuẩn 24 xác Với dãy bị chặn A, điều kiện từ (i) đến (iv) (xn ) (2.2.4) t-ơng đ-ơng Chứng minh Chúng ta giả sử yA (p q) x=0 (p|y|2p) < < yq < 1, xn Tiếp theo, đặt: Thật vậy, rõ ràng: với n = 1, 2, Cho q = pe[p,2 ]{p|y|2 y} q p p Proj A, Ta có: p, q Tuy nhiên: 2(p|y|2 p) < , (p q) và: yq Ta ý rằng: Với yq < , = q|y|2q = qp|y|p < y A, yr < + y q, r Proj A, yq r + yqr Từ thực tế vừa chứng minh ta dễ dàng suy điều kiện Với r q, Thật vậy, cho với (rn ) < n m > mn >0 q Proj A, có phép chiếu (q r) < < n Từ (i), xn r < q ta cố định với n rA m(n) cho > n0 cho: đủ lớn cho: Proj A Khi đó, từ tính chuẩn n0 (i) ta tìm dãy dãy nguyên d-ơng Cho tr-ớc Điều đủ để đánh giá: yr () qr < (qrn q) < (rn ) Proj A, xm rn < n , với (qrn q) Đặt: r = qeqrnq [0, 2) Ta có: (q r) < Hơn nữa: >0 xm r < với m > m(n0) giả sử có (i) Từ rn r < Để chứng minh (), 25 (i) (ii), tìm dãy ta cố định (pn ) Proj A cho: = p1 Đặt p2 p = inf pk (pn pn+1 ) < 2n ., với xm pn < m > m(n) Khi đó: k (p ) = (pn pn+1 ), n và: xm p Điều có nghĩa với xm pn0 < xm m > m(n0 ) hầu Chỉ với điều chỉnh dễ dàng (i) (iv) chứng minh ta đ-ợc 0=p Proj A > 0, = p1 p2 Đó là, cho tr-ớc ta tìm đ-ợc dãy phép chiếu: , với với xm pn < m > m(n), và: (pn pn+1 ) < 2(n+1) (p) Đặt đủ để có điều cần Định lý Chứng minh q = inf pk k (ii) (i) tầm th-ờng (iii), Bây giờ, giả sử ta có pn n A, mà: m, pn nghĩa ta có (i) xn pn < , cho > 0, tồn phép chiếu với n Từ đó: Do ta có: < k Để chứng minh (iii), (p k ) < k (Chúng ta đặt để rằng, q Proj A và l >l q p, (nk ), (qk ) xn qk < k với n xn p < , với xn q < 26 A nk n > l, p cho: (q ) < Proj cho: p1 = = pn1 = 0, pn1 +1 = = p2 = q1, etc) 0 với > 0, < k < k+1 ta tìm dãy tăng dãy tăng số nguyên d-ơng , (iii) (i) Tiếp theo, ta chứng minh (iv) (iii) Cho (pm ) với n>l Nh- đủ Proj A tồn Cho (pt , t T ) họ maximal phép chiếu trực giao lẫn A, cho: p pt xn pt 0, với n , t T Họ hầu hết đếm đ-ợc ( có trạng thái chuẩn xác A) Vì chuẩn xác, nên từ (iv) có tồn dãy (pk ) phép chiếu tự trực giao A, cho: pk = p xn pk 0, n , k = 1, 2, k=1 Lấy N đủ lớn, ta đạt đ-ợc: N (p pk ) < , k=1 và, đó: (q ) < với N k=1 q = p+ pk Hơn nữa, xn q < với n đủ lớn Định lý đ-ợc chứng minh Để kết thúc phần này, ta đ-a khái niệm sau: 2.2.6 Định nghĩa Một dãy với (xn ) > 0, A đ-ợc gọi hội tụ hai phía hầu đến tồn phép chiếu (1 p) < p A, p(xn x)p 0, xA cho: n 2.3 Một dạng không giao hoán Định lý Egoroff Chúng ta bắt đầu với mệnh đề sau: 2.3.1 Mệnh đề Cho A đại số von Neumann tác động không gian Hilber H Nếu dãy dãy (xi ) (pi ) P rojA A cho hội tụ mạnh tới pi mạnh 27 x0 với (xi x0 )pi < >0 tồn với i = 1, 2, Chứng minh Ta giả sử xi x0 = Đặt yi = xi xi xi xi h Khi với hH ta có: yih = xi xi h Do đó(yi ) hội tụ mạnh tới Đặt yi xi h pi = ei ([0, 2]) với ei (1) độ đo phổ Khi yi = uei (du) [2 ,1] Điều có nghĩa xipi (pi ) u (du) 2(1 pi ), hội tụ mạnh tới Hơn nữa, ta có: = pi xi xi pi xi xi pi = yi pi < Mệnh đề đ-ợc chứng minh 2.3.2 Định lý không giao hoán Egoroff Cho A (xn ) đại số von Neumann với trạng thái chuẩn xác dãy với phép chiếu A A pA dãy xn k hội tụ tới và (p q) < tôpô toán tử mạnh Khi tồn phép chiếu >0 x q p thoả mãn: xn (xnk x)q k Chứng minh Ta giả sử p = x = dãy(pn ) phép chiếu Chọn số (1 q1) < l-ợng , n1 cho xn1 q1 < (1) yn = q1xn xn q1 Theo Mệnh đề 2.3.1, tồn A thoả mãn (1 pn ) < tất nhiên xn pn < n > n1 Đặt xn q1 q1 = pn1 số n2 > n1 q1 Aq1 Khi ta có dãy bị chặn cho thoả mãn (1) (1) qn q1 (q1 qn ) < 22 (1) (1) mạnh (1) yn2 q2 < 28 22 yn qn mạnh Nh- mạnh Ta đ-a đại mạnh Cũng với cách đặt ta tìm đ-ợc dãy chiếu pn < 22 q1Aq1 (1) (qn ) hội tụ phép Ta chọn (1) Tiếp tục, đặt: q2 = qn2 , q2 ta đ-ợc: q1 , (q2 q1) < 22 yn(1) q < 2 22 Mặt khác: xn q2 = q2 xn xn q2 = q2q1xn xn q1q2 = q2yn(1)q2 Từ xm q2 < 22 A dãy số xnk qk < p = inf q k 22 với Nh- ta xây dựng đ-ợc dãy giảm phép chiếu Đặt yn(1)q2 < n1 < n2 < n > n2 (qn ) thoả mãn: , (qk qk+1 ) < k k 2 ta đ-ợc: (1 q) xn k q < 2k Định lý đ-ợc chứng minh 2.3.3 Nhận xét Sự hội tụ điểm đại số von Neumann đ-ợc giới thiệu I Segal đ-ợc sử dụng có hệ thống lý thuyết không giao hoán tích phân Lý thuyết đ-ợc phát triển độc lập Segal Dixmier vết nửa hữu hạn Hiện nay, có tồn lý thuyết không vết mà trạng thái cao Chúng ta ý mối quan hệ loại hội tụ đại số von Neumann đ-ợc thảo luận Segal, Ogasawara, Yoshinaga, Padmanabhan, Lance, Stinespring, Batty gần Petz Paszkiewicz Đặc biệt, D Petz giới thiệu khái niệm hội tụ tựa A Paszkiewicz thảo luận mối quan hệ loại hội tụ điểm dãy toán tử không bị chặn Ông chứng minh đ-ợc dãy bị chặn hội tụ hầu trùng với hội tụ tựa Định lý Egoroff dạng không giao hoán đ-ợc chứng minh Saito Các vấn 29 đề thảo luận phần đ-ợc liên hệ chặt chẽ Radin, có nêu khái niệm trạng thái vết A almost C đại số, với (song hoán tập) Ông chứng minh đ-ợc tự đẳng cấu A đ-ợc thực số phép biến đổi điểm không gian trạng thái A, xác định tổng quát (khi almost Một dạng trạng thái tùy ý) đ-ợc xem xét Luczak 30 [...]... hạn của luận văn, nhiều tính chất và đặc tr-ng khác của toán tử kỳ vọng có điều kiện cũng nh- martingale ch-a đ-ợc nhắc đến Những ai quan tâm có thể tìm đọc thêm trong [1] , [6] , [9] 13 Ch-ơng 2 Sự hội tụ hầu đều trong đại số von Neumann 2 .1 Đại số von Neumann Trong phần này tôi trình bày một số vấn đề liên quan đến đại số von Neumann Tr-ớc hết ta nhắc lại một số định nghĩa cơ bản sau: 2 .1. 1 Định... trong tôpô toán tử mạnh Khi bất kì tồn tại một phép chiếu >0 của x q p thoả mãn: xn khi (xnk x)q 0 k Chứng minh Ta giả sử rằng p = 1 và x = 0 dãy(pn ) của các phép chiếu trong Chọn chỉ số (1 q1) < l-ợng 2 , n1 sao cho xn1 q1 < (1) yn = q1xn xn q1 1 2 Theo Mệnh đề 2.3 .1, tồn tại một A thoả mãn khi 2 (1 pn ) < và tất nhiên rằng xn pn < n > n1 Đặt xn q1 0 1 2 và q1 = pn1 số n2 > n1 q1 Aq1... ta có một dãy bị chặn trong sao cho thoả mãn (1) (1) qn q1 (q1 qn ) < 22 và (1) (1) mạnh và (1) yn2 q2 < 28 1 22 yn qn mạnh Nh- vậy mạnh Ta đ-a ra đại mạnh về 0 Cũng với cách đặt trên ta tìm đ-ợc một dãy chiếu trong pn 1 < 1 22 q1Aq1 (1) (qn ) hội tụ các phép Ta chọn chỉ (1) Tiếp tục, đặt: q2 = qn2 , q2 ta đ-ợc: q1 , (q2 q1) < 22 và yn (1) q < 2 2 1 22 Mặt khác: xn q2 2 = q2 xn xn q2 = q2q1xn... (1 p) 1 = xn y [ (1 p)] 2 Điều này chỉ ra rằng trù mật trong xn H và xn y 0 (xn ) với mọi xn y (1 p) 1 xn y 2 y A Vì tập các vectơ {y, y A } bị chặn đều nên sự hội tụ mạnh ( mạnh) của dần về 0 2.2.4 Nhận xét Trong Định nghĩa 2.2 .1, chúng ta đã giới thiệu tổng quát khái niệm hội tụ hầu đều trong đại số von Neumann trong phạm vi khái niệm của 23 sự hội tụ hầu chắc chắn Chúng ta cũng có thể xem... q2q1xn xn q1q2 = q2yn (1) q2 Từ đó xm q2 < 1 22 A và một dãy các chỉ số xnk qk < p = inf q k 1 22 với Nh- vậy ta xây dựng đ-ợc một dãy giảm các phép chiếu trong Đặt yn (1) q2 < n1 < n2 < n > n2 (qn ) của thoả mãn: 1 , (qk qk +1 ) < k k 2 2 ta đ-ợc: (1 q) và xn k q < 1 0 2k Định lý đ-ợc chứng minh 2.3.3 Nhận xét Sự hội tụ điểm trong đại số von Neumann đã đ-ợc giới thiệu đầu tiên bởi I Segal và đã đ-ợc... (1) là độ đo phổ của Khi đó 1 yi = 2 uei (du) [2 ,1] 0 Điều này có nghĩa là xipi (pi ) 2 u (du) 2 2 (1 pi ), hội tụ mạnh tới 1 Hơn nữa, ta có: = pi xi xi pi xi xi pi = yi pi < 2 Mệnh đề đ-ợc chứng minh 2.3.2 Định lý không giao hoán Egoroff Cho và A (xn ) là một đại số von Neumann với trạng thái chuẩn chính xác là một dãy trong đó với mọi phép chiếu trong A A pA và một dãy con xn k hội tụ tới và và... là đại số von Neumann cùng với trạng thái chuẩn chính xác Ta xem xét bốn điều kiện sau của i) Với mọi số N > 0, có một phép chiếu p và xn x trong A: trong A, với (1 p) < và nguyên d-ơng sao cho: với (xn x)p < , ii) Với mọi > 0, n có một phép chiếu N p trong A, với (1 p) < , sao cho: (xn x)p 0, iii) Với mọi dần đến > 0, n có một dãy các phép chiếu trong A tăng (trong tôpô mạnh), sao cho: 1. .. , n = 1, 2, iv) Với mọi phép chiếu p khác không trong q (pn ) khác không trong A sao cho q p A có một phép chiếu và: (xn x)q 0, n Hiển nhiên, điều kiện (ii) có nghĩa là dãy (xn ) hội tụ hầu đều đến x Nếu các điều kiện (i) hoặc (iii) hoặc (iv) thỏa mãn thì hội tụ đến x xn đ-ợc gọi là đóng trên các tập lớn hơn hoặc hội tụ hầu khắp nơi hoặc tựa đều Rõ ràng, trong tr-ờng hợp một đại số von Neumann. .. định lý Egoroff thì sự hội tụ từ A f L2 nếu Đại cho bởi công P P đo đ-ợc L2 (, F , P) với ag : f fg số A = L (, F , P) có một trạng thái vết chuẩn chính xác F hầu chắc chắn là t-ơng đ-ơng với sự hội tụ hầu đều của nó Rõ ràng rằng có thể biểu diễn sự hộ tụ hầu chắc chắn nh- các phần tử của đại số mà không xem xét trên không gian cơ sở Chúng ta có thể A khẳng định lại sự hội tụ hầu chắc chắn theo... minh 2.2 Dạng khác của hội tụ hầu chắc chắn trong đại số von Neumann Cho A A là một đại số Von Neuman trong không gian Hilbert phức H là hoán tập của A là một trạng thái trên A d-ơng trong A Ký hiệu Proj trong A Với p Proj A A ứng Z Cho xA A ta luôn có ta kí hiệu ta đặt là lớp các phần tử là tập tất cả các phép chiếu trực giao p = 1 p nhất trong A Với mỗi tập con Borel tử tự liên hợp trong A+ | x |2 ... Ch-ơng 1: Kỳ vọng có điều kiện martingale Ch-ơng 2: Sự hội tụ hầu đại số von Neumann Ch-ơng 3: Sự hội tụ kỳ vọng có điều kiện martingale đại số von Neumann Hai ch-ơng đầu tảng, số đặc tr-ng kỳ vọng. .. vọng có điều kiện không gian Lp dạng hội tụ đại số von Neumann đ-ợc coi quan trọng Nội dung luận văn nằm Ch-ơng đó, Định lý 3.2.9 ; 3.2 .11 Định lý 3.2 .16 hội tụ hầu kỳ vọng có điều kiện đại số von. .. toán tử kỳ vọng có điều kiện nh- martingale ch-a đ-ợc nhắc đến Những quan tâm tìm đọc thêm [1] , [6] , [9] 13 Ch-ơng Sự hội tụ hầu đại số von Neumann 2 .1 Đại số von Neumann Trong phần trình