Đang tải... (xem toàn văn)
tài liệu này có thể giúp các bạn ôn thi tốt trong kì thi tốt nghiệp và tuyển sinh thpt sắp tới.
HèNH HC PHNG TUYN CHN Bi 1: Cho ng trũn tõm O, v hai dõy cung AB v CD vuụng gúc vi ti M ng trũn (O) Qua A k ng thng vuụng gúc BC ti H v ct ng thng CD ti E Gi F l im i xng ca C qua AB Tia AF ct BD ti K Chng minh: a) T giỏc AHCM ni tip b) Tam giỏc ADE cõn c) AK vuụng gúc BD d) H, M, K thng hng E a) Xột t giỏc AHCM cú: H C _ A M B _ F O K ãAHC = ãAMC = 900 ã ã (gt) Suy AHC + AMC = 180 ã ã ã b) T AHCM ni tip suy ra: HAM (cựng bự HCM ) = MCB ã ã ằ ) Nờn HAM ã ã M MCB ( cựng chn BC = MAD = MAD ã ã - ADE cú AM DE v HAM nờn ADE cõn ti A = MAD ã ã c) F l i xng ca C qua AB => CBF cõn ti B=> CBM = FBM - Gi N l giao im BF vi AD ta cú: AHB = ANB ( g-c-g) => ãANB = ãAHB = 900 - ADB cú DM v BN l hai ng cao nờn F l trc tõm => AF BD hay AK BD d) - T giỏc AHBK ni tip ( ãAHB = ãAKB = 900 )=> ãAKH = ãABH ã ã ã - T giỏc FMBK ni tip ( FKM = FBM = 900 ) => ãAKM = FBM D ã ã - M FBM ( FBC cõn ti B) nờn ãAKM = ãAKH = MBH - Suy ra: K, M, H thng hng Bi 2: Cho t giỏc ABCD ni tip ng trũn ng kớnh AD Hai ng chộo AC v BD ct ti E K EF vuụng gúc vi AD ti F Chng minh rng: a) Chng minh: T giỏc DCEF ni tip c b) Chng minh: Tia CA l tia phõn giỏc ca BC F C a)Ta cú: ACD = 900 (gúc ni tip chn na ng trũn ng kớnh AD) B Xột t giỏc DCEF cú: E ECD = 900 (cm trờn) v EFD = 900 (vỡ EF AD (gt)) => ECD + EFD = 1800 => T giỏc DCEF l t giỏc ni tip (pcm) A F D b) Vỡ t giỏc DCEF l t giỏc ni tip ( cm phn a ) => C = D ( gúc ni tip cựng chn cung EF) (1) M: C = D (gúc ni tip cựng chn cung AB) (2) T (1) v (2) => C = C hay CA l tia phõn giỏc ca BC F ( pcm ) N Bi 3: Cho na ng trũn (O) ng kớnh AB im M nm trờn na ng trũn (M A; B) Tip tuyn ti M ct tip tuyn ti A v B ca ng trũn (O) ln lt ti C v D a) Chng minh rng: t giỏc ACMO ni tip ã ã b) Chng minh rng: CAM = ODM c) Gi P l giao im CD v AB Chng minh: PA.PO = PC.PM d) Gi E l giao im ca AM v BD; F l giao im ca AC v BM Chng minh: E; F; P thng hng E F D M C P A O B a T giỏc ACMO ni tip ã ã b Chng minh rng: CAM = ODM ã ã - Chng minh c CAM = ABM - Chng minh t giỏc BDMO ni tip ã ã - Chng minh c ABM = ODM ã ã Suy CAM = ODM c Chng minh: PA.PO = PC.PM Chng minh c PAM ng dng vi PCO (g.g) Suy PA PM = =>PA.PO=PC.PM PC PO d Chng minh E; F; P thng hng Chng minh c CA = CM = CF; DB = DM = DE Gi G l giao im ca PF v BD, cn cm G trựng E Da vo AC//BD chng minh c FC PC PC AC AC CF = ; = ; = DG PD PD BD BD DE => DE = DG hay G trựng E.Suy E; F; P thng hng Bi 4: T im A ngoi ng trũn (0;2cm) K hai tip tuyn AB, AC v cỏt tuyn AMN vi ng trũn ú (M nm gia A v N), cho gúc BAC cú s o bng 600 a) Chng minh t giỏc ABOC ni tip ng trũn Xỏc nh tõm v bỏn kớnh ca ng trũn ngoi tip t giỏc ABOC b) Chng minh: AB = AM AN Tớnh din tớch phn hỡnh gii hn bi cỏc on AB, AC v cung nh BC núi trờn B A O M N C a)T giỏc ABOC cú ẳ ABO = ẳ ACO = 900 (tớnh cht ca tip tuyn ) ẳ ABO + ẳ ACO = 1800 T giỏc ABOC ni tip ng trũn VABC cú AB = AC (tớnh cht hai tip tuyn giao ) v ẳ = 600 suy VBAC l tam giỏc u ẳ BAC ACB = 600 ẳ AOB = ẳ ACB = 600 (hai gúc ni tip cựng chn cung) OA = OB = = cm ẳ cos 600 cos AOB Vy t giỏc ABOC ni tip trung ng trũn tõm l trung im ca OA bỏn kớnh bng cm b) Xột hai tam giỏc VABM v VANB ẳ ẳ ) ABM v ẳ ANB (gúc to bi tia tip tuyn v gúc ni tip cựng chn cung BM ) A chung Suy ABM ng dng ANB(g.g) AB AM = AB = AM AN AN AB ẳ + BOC ẳ = 1800 BAC T giỏc ABOC ni tip ẳ = 1800 BAC ẳ = 1800 600 = 1200 BOC R 4.120 = = (cm ) Squt OBMC = 3600 3600 AB.OB SOBAC = 2SOBA = = 3.2 = 4 12 4(3 ) Scn tỡm = SOBAC Squt = = = cm 3 S Bi 5: T im M bờn ngoi ng trũn (O; R) v hai tip tuyn MA, MB ( A, B l cỏc tip im) Gi E l im nm gia M v A ng trũn ngoi tip tam giỏc AOE ct AB ti im H Ni EH ct MB ti F a) Tớnh s o gúc EHO b) Chng minh rng t giỏc OHBF ni tip c) Chng minh rng tam giỏc EOF cõn d) Gi I l trung im ca AB Chng minh rng OI OF = OB.OH Gii ã Lớ lun c EHO = 90 A ã ã Lớ lun c OHF = OBF = 900 suy c t giỏc OHBF ni tip E ãOEF = OAH ã ( cựng chn cung OH ca trũn ng kớnh OE) I M ã ã O ( AOB cõn) OAH = OBH ã ã ( cựng chn cung OH ca ng trũn ng OBH = OEF H kớnh OF) B ã ã Suy OEF hay OEF cõn ti O = OFE Chng minh c OIB OHF F Suy OI OB = nờn OI.OF = OB.OH OH OF Bi 6: Cho na ng trũn (O; R), ng kớnh AB, Gi C l im chớnh gia ca cung AB Ly M thuc cung BC cho AM ct OC ti N v MB = MN a) Chng minh: T giỏc OBMN ni tip C b) Chng minh: BA M = MN B T ú tớnh s o BA M c) Tớnh di cnh ON d) Tớnh th tớch ca hỡnh c sinh quay tam giỏc AON quanh AO Gii Hỡnh v ỳng a/ Nờu c NM B = 90 v NO B = 90 Suy T giỏc OBMN ni tip b/ Nờu c: BN M = BO M ( cựng chn cung MB) M N A B O -Nờu c BA M = BO M ( Gúc ni tip v gúc tõm cựng chn cung MB) - Suy BA M = MN B -MBN cú MB = MN (gt), NM B = 90 (Gúc nt chn na ng trũn) Nờn MBN vuụng cõn ti M Suy BN M = 45 v tớnh c : BA M = MN B = 22 30' c) ON = OA tanA = R tan 22030 R2h 3 2 V = R tan 22 30'.R = R tan 22 30' (vtt) 3 d) Vit c V = Tỡm c: Bi Cho ng trũn (O), dõy AB v mt im C ngoi ng trũn v nm trờntia BA T mt im chớnh gia P ca cung ln AB k ng kớnh PQ ca ng trũn ct dõy AB ti D Tia CP ct ng trũn (O) ti im th hai l I Cỏc dõy AB v QI ct ti K a) Chng minh rng t giỏc PDKI ni tip b) Chng minh CI.CP = CK.CD c) Chng minh IC l phõn giỏc ngoi nh I ca tam giỏc AIB d) Gi s A, B, C c nh, chng minh rng ng trũn (O) thay i nhng i qua A, B thỡ ng thng QI luụn i qua mt im c nh Gii a) Xột t giỏc PDKI cú: ã = 900 (gúc ni tip chn na ng trũn) PIQ Vỡ P l im chớnh gia ca cung ln AB nờn ã AB PQ hay PDK = 900 ã ã Suy PIQ + PDK = 1800 Vy t giỏc PDKI ni tip chung nờn b) Xột hai tam giỏc vuụng CIK v CDP cú C CIK ng dng CDP (g.g) CI CK = CD CP CI CP = CK CD ã ằ ) Mt khỏc CIK ã c) Ta cú BIQ = ãAIQ (hai gúc ni tip chn hai cung bng ằAQ = QB = 900 nờn CI l phõn giỏc ngoi nh I ca AIB d) T giỏc ABPI ni tip nờn suy ra: CIA ng dng CBP (g.g) => CI.CP = CA.CB (1) M theo cõu b), ta cú CI.CP = CK.CD (2) T (1) v (2) suy ra: CK.CD = CA.CB hay CK = CA.CB khụng i v K thuc tia CB CD Vy K c nh v QI qua K c nh Bi 8: Cho ABC nhn ni tip (O;R), AB CNB => T giỏc BNMC cú hai nh lin k M, N cựng nhỡn BC di gúc 900 nờn ni tip ng trũn = 900 ) Tõm O l trung im ca BC ( (do CNB b/ Chng minh : AB.NM = AM.BC Xột AMN v ABC cú : chung, ANM ( BNMC ni tip ng trũn) = ACB BAC => AMN ng dng ABC ( g.g) => M N H B K O MN AM = AB.MN = BC.AM BC AB C I c/ Tớnh din tớch hỡnh qut trũn gii hn bi cung nh MC, bỏn kớnh OC, bỏn kớnh OM ca (O) theo R = 600 Ta cú : OM=OC=MC (=R)=> OMC u => MOC R n R 60 R = = Din tớch ca qut trũn cn tỡm: S = ( vdt) 360 360 d) Chng minh : IM BC Xột tam giỏc ABC cú : BM, CN l hai ng cao ct ti H => H l trc tõm => AH vuụng gúc vi BC + BKH = 1800 => T giỏc BKHN ni tip BNH = NBH ( cựng chn cung NH) => NKH = NBH ( cựng chn cung NB ca (O)) Li cú : NIM = NKH => AK // IM => NIM Li cú AK BC => IM BC Bi 10: Cho ABC u ni tip ng trũn (O; R) Trờn AB ly im M (khỏc A, B), trờn AC ly im N ( khỏc A, C ) cho BM = AN a) Chng minh OBM bng OAN b) Chng minh t giỏc OMAN ni tip c ng trũn Tớnh din tớch viờn phõn gii hn bi dõy BC v cung BC theo R Gii a) Xột OBM v OAN cú: OA = OB ( bỏn kớnh) ; BM = AN ( gt) ; MB O = NA O (Cựng bng 30 ) Vy OBM = OAN b) Ta cú: AM O + BM O = 180 (k bự) M: AN O = BM O ( OBM = OAN ) Suy ra: AM O + AN O = 180 Vy t giỏc OMAN ni tip c ng trũn Vỡ BC l cnh tam giỏc u ni tip (O; R) BC = R ; OH = R v s BC = 120 R n R 120 R = = 360 360 1 R R S BOC = BC.OH = R = 2 2 R R Vy S viờnphõn = = R2 ( S OB C = n (vdt) (vdt) ) (vdt) Bi 11: Cho tam giỏc ABC cõn ti A, ni tip ng trũn (O); tia AO ct ng trũn (O) ti D ( D khỏc A) Ly M trờn cung nh AB ( M khỏc A, B ) Dõy MD ct dõy BC ti I Trờn tia i ca tia MC ly im E cho ME = MB Chng minh rng: a/ MD l phõn giỏc ca gúc BMC b/ MI song song BE c/ Gi giao im ca dng trũn tõm D, bỏn kớnh DC vi MC l K (K khỏc C ) Chng minh rng t giỏc DCKI ni tip A A E M O K B N C I D ã ã ằ = BD ằ a) Ta cú O l tõm ng trũn ngoi tip ABC cõn ti A BAD = CAD DC ã ã ( Hai gúc ni tip chn hai cung bng nhau) BMD = CMD Vy MD l phõn giỏc ca gúc BMC ã b) Ta cú MD l phõn giỏc ca gúc BMC BMC = ãDMC (1) M MEB cõn ti M ( Vỡ theo gi thit ME = MB ) ã BMC = ãMEB (2) ( Tớnh cht gúc ngoi tam giỏc ) ã T (1) v (2) DMC = ãMEB M chỳng v trớ ng v Nờn suy : MI // EB ằ + sd BD ằ sd MB ã ã ẳ c) Ta cú : DCK ( Gúc ni tip chn MBD ) = MCD = ằ ằ sd MB + sdCD ã Cú : DIC ( gúc cú nh bờn ng trũn ) = ã ã ằ = CD ằ DCK = DIC M theo C/m trờn : BD (3) ã ã Ta cú DK = DC ( bỏn kớnh ca ng trũn tõm D) DCK cõn ti D DKC (4) = DCK ã ã T (3) v (4) : DKC Suy : T giỏc DCKI ni tip (pcm) = DIC Bi 12: Cho hỡnh vuụng ABCD, ly mt im M bt k trờn cnh BC (M khỏc B v C) Qua B k ng thng vuụng gúc vi ng thng DM ti H, kộo di BH ct ng thng DC ti K a) Chng minh t giỏc BHCD ni tip ng trũn Xỏc nh tõm I ca ng trũn ú b) Chng minh KM DB c) Chng minh KC.KD = KH KB d) Gi s hỡnh vuụng ABCD cú l a Tớnh th tớch ca hỡnh na hỡnh trũn tõm I quay mt vũng quanh ng kớnh Gii a) Chng minh t giỏc BHCD ni tip B A H ã Ta cú BCD = 900 (vỡ ABCD l hỡnh vuụng) ã BHD = 900 (vỡ BH DM ) H, C cựng thuc ng trũn ng kớnh BD I D M C K Vy t giỏc BHCD ni tip c ng trũn ng kớnh BD, cú tõm I l trung im on BD b) Chng minh KM DB DH BK ( gt ) KM DB (ng cao th ba) BC DK ( gt ) c) Chng minh KC.KD = KH KB Trong KBD cú: Xột KCB v KHD cú: C = H = 900; K l gúc chung KCB KHD (g-g) KC KB = KH KD d) Na hỡnh trũn tõm I quay mt vũng quanh ng kớnh, ta c mt hỡnh cu cú bỏn kớnh: R = BD 2 Trong ú: BD = a + a = a R = a Vy th tớch ca hỡnh cu l: V = R 3 2 = a = a (n v th tớch) ữ ữ Bi 13: Cho tam giỏc ABC cõn ti A ni tip ng trũn (O) cỏc ng cao AG, BE, CF ct ti H : a Chng minh t giỏc AEHF ni tip Xỏc nh tõm (I) ca ng trũn ngoi tip t giỏc ú b Chng minh AE AC = AH AG c Chng minh GE l tip tuyn ca ng trũn tõm (I) d Cho bỏn kớnh ca ng trũn tõm (I) l cm Gúc BAC = 500 Tớnh din tớch hỡnh qut IEHF Bi 14: Cho ABC nhn ni tip (O;R) Cỏc ng cao AD; BE; CF ct ti H a) Chng minh : T giỏc AEHF ni tip b) Chng minh : T giỏc BFEC ni tip c) Chng minh : OA EF d) Bit s o cung AB bng 90 v s o cung AC bng 120 Tớnh theo R din tớch phn hỡnh trũn gii hn bi dõy AB; cung BC v dõy AC a) Chng minh : T giỏc AEHF ni tip ã ã = 90 ; AFH = 90 ( gt ) + T giỏc AEHF cú: AEH ã ã + AEH + AFH = 900 + 90 = 180 + Vy t giỏc AEHF ni tip ng trũn ng kớnh AH b) Chng minh : T giỏc BFEC ni tip F v E l hai nh k cựng nhỡn BC di gúc 900 ã ã = 90 ; BEC = 90 ( gt ) + T giỏc BFEC cú: BFC + Vy t giỏc BFEC ni tip ng trũn ng kớnh BC c) Chng minh : OA EF ã + K tip tuyn xAx ca (O) xã ' AB = ACB ( Cựng chn cung AB ) ã ã + AFE ( BFEC ni tip ) = ACB ã ã + x ' AB = AFE ị x 'x //FE + Vy : OA EF d) Tớnh theo R din tớch phn hỡnh trũn gii hn bi dõy AB; cung BC v dõy AC + Gi SCt l din tớch phn hỡnh trũn gii hn bi dõy AB; cung BC v dõy AC SCt = S( O) - SVFAB - SVFAC + SVFAB = SquatOAB - SD OAB = pR R (vdt) pR R (vdt) ổ ổ pR R R2 5pR - 6R - 3R ữ ỗpR ữ ữ ữ - ỗ = ữ + SCt = S( O) - SVFAB - SVFAC = pR - ỗỗỗỗ (vdt) ữ ữ ữ ỗ 2ứ ứ 12 ữ ỗ ố ố + SVFAC = SquatOAC - SDOAC = ... tõm O ca ng trũn ú = 90 0 ( doCN AB ) CNB = 90 0 (do BM AC ) CMB A = CMB (= 90 0 ) => CNB => T giỏc BNMC cú hai nh lin k M, N cựng nhỡn BC di gúc 90 0 nờn ni tip ng trũn = 90 0 ) Tõm O l trung... AEH ã ã + AEH + AFH = 90 0 + 90 = 180 + Vy t giỏc AEHF ni tip ng trũn ng kớnh AH b) Chng minh : T giỏc BFEC ni tip F v E l hai nh k cựng nhỡn BC di gúc 90 0 ã ã = 90 ; BEC = 90 ( gt ) + T giỏc BFEC... (O) thay i nhng i qua A, B thỡ ng thng QI luụn i qua mt im c nh Gii a) Xột t giỏc PDKI cú: ã = 90 0 (gúc ni tip chn na ng trũn) PIQ Vỡ P l im chớnh gia ca cung ln AB nờn ã AB PQ hay PDK = 90 0