Tốn kỹ thuật Giải tích Fourier II Phép biến đổi Laplace III.Hàm phức ứng dụng I Hàm phức ứng dụng Hàm giải tích Tích phân phức Chuỗi hàm phức Lý thuyết thặng dư Ứng dụng lý thuyết thặng dư Phép biến đổi bảo giác Tích phân phức a Tích phân đường phức b Cơng thức tích phân Cauchy c Cơng thức tích phân Poisson Tích phân phức Tích phân phức Ví dụ: 2 j  2 j zdz  z 2  2  j Nhận xét: Không phải hàm phức dễ dàng tìm nguyên hàm => cần tìm phương pháp khác để giải: - Chuyển sang tích phân đường biến x,y - Dùng định lý 2 Tích phân phức a Tích phân đường phức Định nghĩa:  f ( z )dz  C  f  z  z n lim zk 0 k k 1 k Hàm giải tích Một số tính chất định lý liên quan i  f ( z )dz   u ( x, y)  jv( x, y) (dx  jdy) C C   u ( x, y )dx  v( x, y )dy   j  v( x, y )dx  u ( x, y )dy  C C Tích phân phức mang tính chất tích phân thực (xem tài liệu) Ví dụ: Tính tích phân: z  dz C với C đoạn AD Hàm giải tích Một số tính chất định lý liên quan Giải:     I   z dz    x  y dx  xydy   j   xydx  x  y dy  C C I AB   1 C  x  dx  j  x dx  36  j 24 1 I BD   10 y dy  j    124 25  y dy  40  j 1 I  I AB  I BD 196  4  j Hàm giải tích Một số tính chất định lý liên quan ii Định lý 3.1: Nếu f(z) liên tục C, |f(z)| ≤ M, thì:  f ( z )dz  ML; L  length(C ) C iii Định lý 3.2 (bổ đề Green):Nếu miền D có biên C trơn đoạn, P(x,y), Q(x,y), ∂P/∂y ∂Q/∂x liên tục biên D thì:  C  Q P  Pdx  Qdy      dxdy x y  D  Hàm giải tích Một số tính chất định lý liên quan iv Định lý 3.5 (Định lý Cauchy): Nếu f(z) giải tích điểm thuộc miền D giới hạn đường cong C trơn đoạn thì:  f ( z )dz  C Hàm giải tích Một số tính chất định lý liên quan v Định lý 3.6 (Nguyên lý biến dạng chu tuyến): Nếu đường cong C1 biến dạng thành C2 mà không vượt qua điểm mà f(z) khơng giải tích thì:  f ( z )dz  C1  f ( z )dz C2  Ví dụ: Tính tích phân dz với C đường cong bất z kỳ: C a Không chứa gốc tọa độ b Chứa gốc tọa độ? Hàm giải tích Một số tính chất định lý liên quan Giải: a Nếu C không chứa gốc tọa độ, theo định lý Cauchy ta có  C dz  z (gốc tọa độ z0 = điểm mà f(z) khơng giải tích) b Nếu C chứa gốc tọa độ, theo nguyên lý biến dạng chu tuyến, chọn C đường tròn z = reiθ (0 ≤ θ ≤ 2π) Khi đó: dz  jre j d  C dz  z 2  2 j jre d  j  d  2 j j re Kết mở rộng cho tích phân  C dz z  z0 Hàm giải tích Một số tính chất định lý liên quan vi Định lý 3.7: Nếu f(z) giải tích miền đơn liên D z1 tích phân  f ( z )dz z0 phân D không phụ thuộc vào đường lấy tích Hàm giải tích Một số tính chất định lý liên quan iv Nếu đường cong kín C bao quanh n điểm khơng giải tích f(z) thì:  C f ( z )dz   f ( z )dz   f ( z )dz    f ( z )dz 2 n Trong γi đường cong bao quanh (duy nhất) điểm khơng giải tích zi 1 Hàm giải tích Một số tính chất định lý liên quan Ví dụ: Tính tích phân: I  C z dz ( z  1)( z  j ) C đường cong chứa hai điểm 1, -2j b C chứa -2j, không chứa điểm Giải: a dz dz I  (1  j )   (4  j )   I1  I z 1 z2j C C 1 a I  (1  j )2 j  (4  j )2 j  2 b I   (4  j )2 j  2 2 4 j  j  5 5 4  17 j  j  15   15 Hàm giải tích b Cơng thức tích phân Cauchy Nếu f(z) giải tích điểm thuộc miền D, C đường kín, trơn đoạn D, z0 ∈ D thì: f ( z0 )  2 j  C f ( z) dz z  z0 Nếu đạo hàm bậc n f(z) tồn thì: f (n) n! ( z0 )  2 j f ( z)  z  z  C n 1 dz Hàm giải tích b Cơng thức tích phân Cauchy Ví dụ: Tính tích phân sau: I1   C ez dz z 1 C đường trịn bán kính có tâm là: i z = j; ii z = -j I   C 2z dz ( z  1)( z  2)( z  j ) C đường cong kín chứa điểm z = 1; -2 –j I   C z4 dz ( z  1) C đường cong kín chứa điểm z = 1 Hàm giải tích b Cơng thức tích phân Cauchy Giải: Tham khảo tài liệu 2z dz I    ( z  2)( z  j ) z   C1  C3 C2 2z dz ( z  1)( z  j ) z  2z dz ( z  1)( z  2) z  j Trong C1, C2, C3 đường cong kín chứa (duy một) điểm 1; - -j Theo cơng thức tích phân Cauchy:   4 2 j I  2 j     3(1  j ) (  3)(   j ) (  j  1)(  j  2)   Hàm giải tích b Cơng thức tích phân Cauchy Giải: I3   C f1 ( z ) dz ; f ( z )  z ( z  1)3   d2 I  2 j  f1 ( z )    j 12 z 2!  dz  z 1   z 1  12 j Hàm giải tích b Cơng thức tích phân Cauchy Định lý Morera: Nếu f(z) liên tục miền D  f ( z )dz  C với đường kín C D f(z) giải tích D Bất đẳng thức Cauchy: Nếu f(z) giải tích miền D, C đường trịn tâm z0 bán kính r nằm D thì: n!M f ( z0 )  n r M  max f ( z ) (n) zC Hàm giải tích c Cơng thức tích phân Poisson Cơng thức tích phân Poisson: u (r , )  2 2  R2  r u ( R,  ) d  2 R  Rr cos(   )  r Hàm giải tích Bài tập: Tính trực tiếp tích phân sau: 1 j 1 j a   e z dz b   c  e z dz j   cos z dz 3 j d   z dz Kiểm tra lại kết câu 1d cách chuyển sang tích phân thực với biến x,y đường lấy tích phân đường thẳng nối liền điểm 0, + j 1 Hàm giải tích Bài tập: j x  jy dz Tính tích phân sau: Với đường lấy tích phân:  j a Nữa đường tròn |z| = bên phải mặt phẳng phức b Dọc theo trục tung  ( z   3z )dz  Tính tích phân sau: C Với C là: a Đường thẳng nối điểm z = z = j2 b đoạn thẳng, đoạn từ z = đến z = + j2, đoạn từ z = + j2 đến z = j2 c Một phần tư đường tròn |z| = từ điểm z = đến z = j2 1 Hàm giải tích Bài tập: Áp dụng định lý Cauchy hệ liên quan tính tích phân sau: Với C là: a Đường tròn |z| = zdz b Đường tròn |z| = (2 z  1)( z  2)  C  C  C zdz Với C là: a Đường tròn |z| = ( z  1)( z  2)( z  j ) b Đường tròn |z| = sin zdz z2  4z  Với C là: a Đường tròn |z| = b Đường tròn |z - 2j| = c Đường tròn |z – + 2j| = Hàm giải tích Bài tập:  C zdz ( z  1)( z  2) Với C là: a Đường tròn |z| = b Đường tròn |z| =  .. .Hàm phức ứng dụng Hàm giải tích Tích phân phức Chuỗi hàm phức Lý thuyết thặng dư Ứng dụng lý thuyết thặng dư Phép biến đổi bảo giác Tích phân phức a Tích phân đường phức b Cơng thức tích phân. .. tích phân Cauchy c Cơng thức tích phân Poisson Tích phân phức Tích phân phức Ví dụ: 2 j  2 j zdz  z 2  2  j Nhận xét: Không phải hàm phức dễ dàng tìm nguyên hàm => cần tìm phương pháp khác... zC Hàm giải tích c Cơng thức tích phân Poisson Cơng thức tích phân Poisson: u (r , )  2 2  R2  r u ( R,  ) d  2 R  Rr cos(   )  r Hàm giải tích Bài tập: Tính trực tiếp tích phân