Tài liệu ơn thi vào lớp 10 PHẦN I: ĐẠI SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ CÁC DẠNG TỐN THƢỜNG GẶP CHUN ĐỀ I: BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CHỨA CĂN I Kiến thức KiÕn thøc 6, 7, quan träng cÇn nhí a, TÝnh chÊt vỊ ph©n sè (ph©n thøc): A.M A  ( M  0, B  0) B.M B b, C¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí: +) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 +) (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 +) A2 - B2 = (A - B)(A + B) +) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 +) (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 +) A3 + B3 =(A + B)(A2 - AB + B2) +) A3 - B3 =(A - B)(A2 + AB + B2) C¸c kiÕn thøc vỊ c¨n bËc hai 1) NÕu a ≥ 0, x ≥ 0, a = x  x2 = a A cã nghÜa th× A ≥ 2) §Ĩ 3) A2  A 4) AB  A B ( víi A  vµ B  ) A A ( víi A  vµ B > )  B B 5) 6) A B  A B (víi B  ) 7) A B  A2 B ( víi A  vµ B  ) A B   A2 B ( víi A < vµ B  ) 9) 10) 11) 12) A  B A AB ( víi AB  vµ B  ) B  A B ( víi B > ) B B C C ( A B)  ( Víi A  vµ A  B2 ) A B AB C C( A B)  ( víi A  0, B  vµ A  B ) A B A B >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Tài liệu ơn thi vào lớp 10 II Các dạng tốn thƣờng gặp Dạng tốn rút gọn biểu thức khơng chứa ẩn *) Phương pháp: Sử dụng cơng thức biến đổi biểu thức chứa dấu đẳng thức học lớp Dạng tốn tổng hợp ( Rút gọn biểu thức chứa biến tốn liên quan ) *) Phương pháp: B-íc 1: T×m §KX§ biểu thức (NÕu bµi to¸n ch-a cho)(Ph©n tÝch mẫu thµnh nh©n tử, t×m ®iỊu kiƯn ®Ĩ c¨n cã nghÜa, c¸c nh©n tư ë mÉu kh¸c vµ phÇn chia kh¸c 0) B-íc 2:Ph©n tÝch tử mẫu thành nh©n tử (rồi rót gọn ®-ỵc) B-íc 3:Quy đồng, gồm c¸c bước: + Chọn mẫu chung : lµ tÝch cđc nh©n tử chung vµ riªng, nh©n tử lấy số mũ lớn + T×m nh©n tử phụ: lấy mẫu chung chia cho mẫu để nh©n tử phụ tương ứng + Nh©n nh©n tử phụ với tử – Giữ nguyªn mẫu chung B-íc 4: Bỏ ngc: c¸ch nh©n đa thức dïng h»ng đẳng thức B-íc 5: Thu gọn: lµ cộng trừ c¸c hạng tử đồng dạng B-íc 6: Ph©n tÝch tử thµnh nh©n tử (mẫu giữ nguyªn) B-íc 7:Rót gọn L-u ý: Bµi to¸n rót gän tỉng hỵp th-êng cã c¸c bµi to¸n phơ: tÝnh gi¸ trÞ biĨu thøc cho gi¸ trÞ cđa Èn; t×m ®iỊu kiƯn cđa biÕn ®Ĩ biĨu thøc lín h¬n (nhá h¬n) mét sè nµo ®ã; t×m gi¸ trÞ cđa biÕn ®Ĩ biĨu thøc cã gi¸ trÞ nguyªn; t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, lín nhÊt cđa biĨu thøc Do vËy ta ph¶i ¸p dơng c¸c ph-¬ng ph¸p gi¶i t-¬ng øng, thÝch hỵp cho tõng lo¹i to¸n * Các dạng tốn phụ: +) Dạng 1: Tìm giá trị biến để biểu thức đạt giá trị cho trước *) Phương pháp: Cho biểu thức đạt giá trị cho trước giải phương trình để tìm giá trị ẩn +) Dạng 2: Cho giá trị biến Tìm giá trị biểu thức *) Phương pháp: Thay giá trị biến vào biểu thức +) Dạng 3: Tìm giá trị biến để biểu thức đạt giá trị ngun >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Tài liệu ơn thi vào lớp 10 *) Phương pháp: Chia tư cho mÉu, t×m a ®Ĩ mÉu lµ -íc cđa phÇn d- (mét sè), chó ý ®iỊu kiƯn x¸c ®Þnh +) Dạng 4: Tìm giá trị biến để biểu thức nhỏ ( lớn hơn) giá trị cho trước *) Phương pháp: Chun vÕ vµ thu gän ®-a vỊ d¹ng M M < (hc > 0) N N ®ã dùa vµo ®iỊu kiƯn ban ®Çu ta ®· biÕt ®-ỵc M hc N d-¬ng hay ©m, tõ ®ã dƠ dµng t×m ®-ỵc ®iỊu kiƯn cđa biÕn +) Dạng 5: Tìm GTNN – GTLN biểu thức *) Phương pháp: Dùa vµo ®iỊu kiƯn ban ®Çu vµ c¸c bÊt ®¼ng thøc III Bài tập tổng hợp Bµi 1: Cho biĨu thøc   A  : x 3 x 3  x 3 a) T×m ®iỊu kiƯn x¸c ®Þnh, rót gän biĨu thøc A b) Víi gi¸ trÞ nµo cđa x th× A > c) T×m x ®Ĩ A ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt    Bµi Cho biĨu thøc P   : x 1 x 1 1 x a) Nªu ®iỊu kiƯn x¸c ®Þnh vµ rót gän biĨu thøc P b) T×m c¸c gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ P = c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc: M  x  12 x 1 P  x x 3x   x      1 Bµi Cho biĨu thøc: D    x  x  x  x     a) T×m §KX§, rót gän biĨu thøc b) T×m x ®Ĩ D < - c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa D >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Tài liệu ơn thi vào lớp 10 a2 a  a a  Bµi Cho biĨu thøc: P    1 :   1  a 2   a 1  a) T×m §KX§, rót gän P b) T×m a  Z ®Ĩ P nhËn gi¸ trÞ nguyªn Bµi Cho biĨu thøc B     2 x  1  x  1 a) T×m x ®Ĩ B cã nghÜa vµ rót gän B b) T×m x nguyªn ®Ĩ B nhËn gi¸ trÞ nguyªn x2  x 2x  x  x  1 Bµi Cho biĨu thøc P    x  x 1 x x 1 a) T×m §KX§, rót gän P b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa P c) T×m x ®Ĩ biĨu thøc Q  x nhËn gi¸ trÞ nguyªn P  x 1  Bµi Cho biĨu thøc: P    :  x  x 1 x  1 x  a) T×m §KX§ vµ rót gän P  b) T×m x ®Ĩ P >   a 1 a 2    Bµi Cho biĨu thøc P    : a   a 2 a 1   a 1 a) T×m §KX§, rót gäp P b) T×m gi¸ trÞ cđa a ®Ĩ P > Bµi (§Ị thi tun sinh vµo líp 10 - N¨m häc 2011 - 2012) Cho A  x 10 x   , với x  x  25 x  x  25 x 5 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tìm giá trị A x = 3) Tìm x để A < Bµi 10 Cho biĨu thøc: P  x x 4   x 1 x 1 x 1 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Tài liệu ơn thi vào lớp 10 a) T×m §KX§, rót gän P b) T×m x ®Ĩ P <  x  Bµi 11 Cho biĨu thøc A    :  x 1 x  x  x 1 a) T×m §KX§ vµ rót gän A b) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cđa x cho A <      1 víi a > vµ a  Bµi 12 Cho biĨu thøc: P      a  a  a  a) Rót gän biĨu thøc P b) Víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cđa a th× P > Bµi 13 Cho biểu thức : A = x 2x  x với ( x > x ≠ 1)  x 1 x  x 1) Rót gän biĨu thøc A 2) TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc x   2  x  x : Bµi 14 Cho biĨu thøc P =   x   x  x  x a) Rót gän P b) TÝnh GT cđa P x= c) T×m GT cđa x ®Ĩ P = 13 (§Ị thi Hà Nội năm 2008-2009) Bµi 15 Cho biểu thức : A = x 1 x x  x  x 1 x 1 1) T×m §KX§ vµ rót gän biĨu thøc A 2) Víi gi¸ trÞ nµo cđa x th× A < -1 Bµi 16 Cho biểu thức : A = (1  x x x x )(1  ) x 1 x 1 (Với x  0; x  ) a) Rót gän A b) T×m x ®Ĩ A = - >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Tài liệu ơn thi vào lớp 10 Bµi 17 Cho biểu thức : B = x 2  x x  1 x  a) T×m §KX§ vµ rót gän biĨu thøc B b) TÝnh gi¸ trÞ cđa B víi x = c) TÝnh gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ A  Bµi 18 Cho biểu thức : x 1 P= x 2  x x 2  25 x 4 x a) T×m TX§ råi rót gän P b) T×m x ®Ĩ P = Bµi 19 Cho biểu thức : Q = ( 1 a 1 a 2  ):(  ) a 1 a a 2 a 1 a) T×m TX§ råi rót gän Q b) T×m a ®Ĩ Q d-¬ng c) TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc a = -  a  a  a a  a    Bµi 20 Cho biểu thức : M =       2 a  a  a 1  a) T×m TX§ råi rót gän M b) T×m gi¸ trÞ cđa a ®Ĩ M = - CHUN ĐỀ II: HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ I Hệ phương trình bậc hai ẩn a1 x  b1y  c1 (1)  a2 x  b2 y  c2 Dạng : Cách giải biết: Phép thế, phép cộng Giải biện luận hệ phương trình : Quy trình giải biện luận Bước 1: Tính đònh thức : +) D  a1 b1 a2 b2  a1b2  a b1 (gọi đònh thức hệ) +) Dx  c1 c2 b1  c1b2  c2 b1 b2 (gọi đònh thức x) +) D y  a1 c1 a2 c2 (gọi đònh thức y)  a1c2  a c1 Bước 2: Biện luận >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Tài liệu ơn thi vào lớp 10   x  +) Nếu D  hệ có nghiệm  y   Dx D Dy D +) Nếu D = Dx  D y  hệ vô nghiệm +) Nếu D = Dx = Dy = hệ có vô số nghiệm vô nghiệm *) Ý nghóa hình học: Giả sử (d1) đường thẳng a1x + b1y = c1 (d2) đường thẳng a2x + b2y = c2 Khi đó: Hệ (I) có nghiệm  (d1) (d2) cắt Hệ (I) vô nghiệm  (d1) (d2) song song với Hệ (I) có vô số nghiệm  (d1) (d2) trùng II Hệ phương trình bậc hai hai ẩn: Hệ gồm phương trình bậc phương trình bậc hai hai ẩn: Ví dụ : Giải hệ: x  y  a)  2  x  y  xy  x  2y  b)  2 x  14y   4xy Cách giải: Giải phép Hệ phương trình đối xứng : 2.1 Hệ phương trình đối xứng loại I: a.Đònh nghóa: Đó hệ chứa hai ẩn x,y mà ta thay đổi vai trò x,y cho hệ phương trình không thay đổi b.Cách giải: Bước 1: Đặt x+y=S xy=P với S  4P ta đưa hệ hệ chứa hai ẩn S,P Bước 2: Giải hệ tìm S,P Chọn S,P thoả mãn S  4P Bước 3: Với S,P tìm x,y nghiệm phương trình : X  SX  P  ( đònh lý Viét đảo ) Chú ý: Do tính đối xứng, (x0;y0) nghiệm hệ (y0;x0) nghiệm hệ 2.2 Hệ phương trình đối xứng loại II: a.Đònh nghóa: Đó hệ chứa hai ẩn x,y mà ta thay đổi vai trò x,y cho phương trình nầy trở thành phương trình hệ b Cách giải:  Trừ vế với vế hai phương trình biến đổi dạng phương trình tích số  Kết hợp phương trình tích số với phương trình hệ để suy nghiệm hệ >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Tài liệu ơn thi vào lớp 10 III XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ HỆ CĨ NGHIỆM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƢỚC Phƣơng pháp giải:  Giải hệ phương trình theo tham số  Viết x, y hệ dạng: n + k với n, k ngun f (m)  Tìm m ngun để f(m) ước k Ví dụ1: Định m ngun để hệ có nghiệm nghiệm ngun: mx  y  m   2 x  my  2m  HD Giải: 2mx  y  2m   2 2mx  m y  2m  m (m  4) y  2m  3m   (m  2)(2m  1)  2 x  my  2m  để hệ có nghiệm m2 –  hay m   Vậy với m   hệ phương trình có nghiệm (m  2)(2m  1) 2m     2  y  m2 m2 m 4  x  m     m2 m2 Để x, y số ngun m +  Ư(3) = 1;1;3;3 Vậy: m + =  1,  => m = -1; -3; 1; -5 mx  y  m    2 x  my  2m  Bài Tập: Bài 1: Định m ngun để hệ có nghiệm nghiệm ngun: (m  1) x  y  m   2 m x  y  m  2m Bài 2: a) Định m, n để hệ phương trình sau có nghiệm (2; -1) 2mx  (m  1) y  m  n  (m  2) x  3ny  2m  HD: Thay x = ; y = -1 vào hệ ta hệ phương trình với ẩn m, n b) Định a, b biết phương trình ax2 -2bx + = có hai nghiệm x = x = -2 HD: thay x = x = -2 vào phương trình ta hệ phương trình với ẩn a, b c) Xác định a, b để đa thức f(x) = 2ax2 + bx – chia hết cho 4x – x + >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Tài liệu ơn thi vào lớp 10 HD: f(x) = 2ax + bx – chia hết cho 4x – x + nên Biết f(x) chia hết b a cho ax + b f(- ) = a b    3 f( ) 0 Giải hệ phương trình ta a = 2; b = 11  8  18a  3b    f (3)  d) Cho biểu thức f(x) = ax2 + bx + Xác định hệ số a b biết f(2) = , f(-1) = HD:  f (2)  4a  2b      f (1)  a  b  4 a  1  b  Bài 3: Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) HD: Đường thẳng y = ax + b qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) ta có hệ phương 2 a  b   a  b  trình  a  1  b  Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b qua hai điểm a) M(1 ; 3) ; N(3 ; 2) b) P(1; 2) ; Q(2; 0) Bài 4: Định m để đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m x + 2y = đồng quy DH giải: - Tọa độ giao điểm M (x ; y) hai đường thẳng 3x + 2y = x + 2y = 3x  y   x  0,5 Vậy M(0,2 ; 1,25)  x  y   y  1,25 nghiệm hệ phương trình:  Để ba đường thẳng đồng quy điểm M thuộc đường thẳng 2x – y = m, tức là: 2.0,2- 1,25 = m  m = -0,85 Vậy m = -0,85 ba đường thẳng đồng quy Định m để đường thẳng sau đồng quy a) 2x – y = m ; x - y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m – b) mx + y = m + ; (m +2)x – (3m + 5)y = m – ; (2 – m)x – 2y = -m2 + 2m – Bài 5: Định m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn hệ thức cho trước mx  y   x  my  Cho hệ phương trình:  Với giá trị m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: 2x + y + 38 =3 m 4 HD Giải: - Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm nhất: m   - Giải hệ phương trình theo m >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Tài liệu ơn thi vào lớp 10 mx  y  mx  y      x  my  mx  m y  8m - Thay x = (m  4) y  8m     x  my  8m    y  m    x  9m  32  m2  9m  32 8m  ;y= vào hệ thức cho ta được: m 4 m 4 9m  32 8m  38 2 + + =3 m 4 m 4 m 4 => 18m – 64 +8m – + 38 = 3m2 – 12  3m – 26m + 23 =  m1 = ; m2 = Vậy m = ; m = 23 (cả hai giá trị m thỏa mãn điều kiện) 23 IV Các hệ phương trình khác: Ta sử dụng phương pháp sau: Đặt ẩn phụ: Ví dụ : Giải hệ phương trình :  xy  x  y  3 1)  2  x  y  x  y  xy   x  y2  x  y  3)  2   x  x y  xy  y   x  y  x  y  12 2)   x( x  1) y ( y  1)  36 x2   y(y  x)  4y 4)   (x  1)(y  x  2)  y Sử dụng phép cộng phép thế: Ví dụ: Giải hệ phương trình : x2  y2  10x    2  x  y  4x  2y  20  Biến đổi tích số: Ví dụ : Giải hệ phương trình sau: x  x  y  y 1)  2   x  y  3( x  y ) 1  x  x  y  y 3)  2 y  x   x  x  y  y 2)  2  x  y  x  y  V Bà i tập tổng hợp Bài 1: mx  y  10  m (m tham số)  x  my  Cho hệ phương trình  a) Giải hệ phương trình m = b) Giải biện luận hệ phương trình theo m c) Xác định giá trị ngun m để hệ có nghiệm (x;y) cho x> 0, y > >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 10 Tài liệu ơn thi vào lớp 10  a   a  0; x>0   a        x   x  c i/ Pt(2) có nghiệm dương     x       S   x x 0   b   P    x1   x   P0    S   a   a  0; x0  c  x        l/ Pt(2) có nghiệm dương   x1   x2    b  S  x  x   P     P    S   a  b x  m/Pt(2) có nghiệm kép   2a    a  a    a  0; x>0  c   x       n/ Pt(2) có nghiệm âm   x1   x2    b   S  x  x   P    P    S   Hệ thức vi – ét ứng dụng  Hai số x1; x2 hai nghiệm phương trình ax2  bx  c  0(2) chúng thỏa hệ thức: x1  x2   b c va` x1.x2  a a  Một số ứng dụng hệ thức Vi-ét: - Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai - Tìm hai số biết tổng tích chúng: Nếu hai số có tổng S tích P hai số hai nghiệm phương trình: X2  SX  P  ( Điều kiện tồn hai số S2  4P  ) - Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử: Nếu đa thức f(x)  ax2  bx  c có hai nghiệm x1; x2 phân tích thành nhân tử f(x)  a(x  x1 )(x  x2 ) - Tính giá trị biểu thức đối xứng hai nghiệm phương trình bậc hai: b a c a + S  x1  x2   ; P  x1.x2  + x12  x22  S2  2P >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 13 Tài liệu ơn thi vào lớp 10 + x13  x32  S3  3SP 3.1 NHẨM NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH : 3.1.1 Dạng đặc biệt: Xét phương trình (*) ta thấy : a) Nếu cho x = ta có (*)  a.12 + b.1 + c =  a + b + c = c a b) Nếu cho x =  ta có (*)  a.(  1)2 + b(  1) + c = 0 a  b + c = c Như phương trình có nghiệm x1  1 nghiệm lại x2  a Như vây phương trình có nghiệm x1  nghiệm lại x2  Ví dụ: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm phương trình sau: 1) x2  5x   (1) 2) 3x2  8x 11  (2) Ta thấy : 3 11 Phương trình (2) có dạng a + b + c = nên có nghiệm x1  x2  Phương trình (1) có dạng a  b + c = nên có nghiệm x1  1 x2  Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm phương trình sau: 35x2  37 x   x2  500 x  507  x2  49 x  50  4321x2  21x  4300  3.1.2 Cho phương trình , có hệ số chưa biết, cho trước nghiệm tìm nghiệm lại hệ số phương trình : Vídụ: a) Phương trình x2  px   Có nghiệm 2, tìm p nghiệm thứ hai b) Phương trình x2  5x  q  có nghiệm 5, tìm q nghiệm thứ hai c) Cho phương trình : x2  x  q  , biết hiệu nghiệm 11 Tìm q hai nghiệm phương trình d) Tìm q hai nghiệm phương trình : x2  qx  50  , biết phương trình có nghiệm có nghiệm lần nghiệm Bài giải: a) Thay x1  v phương trình ban đ ầu ta đ ợc : 44p 5   p  T x1 x2  suy x2  5  x1 b) Thay x1  v phương trình ban đ ầu ta đ ợc 25  25  q   q  50 T x1 x2  50 suy x2  50 50   10 x1 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 14 Tài liệu ơn thi vào lớp 10 c) Vì vai trò x1 x2 bình đẳng nên theo đề giả sử x1  x2  11 theo VI x1  x2  11  x1    x1  x2   x2  2 ÉT ta có x1  x2  , ta giải hệ sau:  Suy q  x1 x2  18 d) Vì vai trò x1 x2 bình đẳng nên theo đề giả sử x1  x2 theo VI-ÉT ta có x1 x2  50 Suy  x  5 x22  50  x22  52    x2  Với x2  5 th ì x1  10 Với x2  th ì x1  10 3.2 LẬP PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI 3.2.1 Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x1; x2 Ví dụ : Cho x1  ; x2  lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm  S  x1  x2  x1; x2 nghiệm phương trình có  P  x1 x2  Theo hệ thức VI-ÉT ta có  dạng: x2  Sx  P   x2  5x   Bài tập áp dụng: x1 = x1 = 3a x1 = 36 x1 =  vµ vµ vµ x2 = -3 x2 = a x2 = -104 vµ x2 =  3.2.2 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trình cho trước: V í dụ: Cho phương trình : x2  3x   có nghiệm phân biệt x1; x2 Khơng giải phương trình trên, lập phương trình bậc có ẩn y thoả mãn : y1  x2  y2  x1  x1 x2 Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: 1 1 x x 1  x1   ( x1  x2 )      ( x1  x2 )     x1 x2 x1 x2 2  x1 x2  1 1 P  y1 y2  ( x2  )( x1  )  x1 x2     11  x1 x2 x1 x2 2 S  y1  y2  x2  Vậy phương trình cần lập có dạng: hay y  Sy  P  9 y2  y    y2  y   2 Bài tập áp dụng: >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 15 Tài liệu ơn thi vào lớp 10 1/ Cho phương trình 3x2  5x   có nghiệm phân biệt x1; x2 Khơng giải phương trình, Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm y1  x1  y2  x2  x2 1 (Đáp số: y  y   hay y  y   ) x1 2/ Cho phương trình : x2  5x 1  có nghiệm x1; x2 Hãy lập phương trình bậc có ẩn y thoả mãn y1  x14 y2  x24 (có nghiệm luỹ thừa bậc nghiệm phương trình cho).(Đáp số : y  727 y   ) 3/ Cho phương trình bậc hai: x2  x  m2  có nghiệm x1; x2 Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm y1; y2 cho : a) y1  x1  y2  x2  b) y1  x1  y2  x2  (Đáp số a) y  y   m2  b) y  y  (4m2  3)  ) 3.3 TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG Nếu hai số có Tổng S Tích P hai số hai nghiệm phương trình : x2  Sx  P  (điều kiện để có hai số S2  4P  ) Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b =  tích P = ab =  Vì a + b =  ab =  n ên a, b nghiệm phương trình : x2  3x   giải phương trình ta x  x2  4 Vậy a = b =  a =  b = Bài tập áp dụng: Tìm số a b biết Tổng S Tích P S = P=2 S =  P=6 S = P = 20 S = 2x P = x2  y2 Bài tập nâng cao: Tìm số a b biết a + b = a2 + b2 = 41 a  b = ab = 36 a2 + b2 = 61 v ab = 30 Hướng dẫn: 1) Theo đề biết tổng hai số a b , để áp dụng hệ thức VI- ÉT cần tìm tích a v b T a  b    a  b   81  a  2ab  b  81  ab  2 81   a  b2   20  x1   x2  Suy : a, b nghiệm phương trình có dạng : x  x  20    Vậy: Nếu a = b = a = b = 2) Đã biết tích: ab = 36 cần tìm tổng : a + b Cách 1: Đ ặt c =  b ta có : a + c = a.c =  36 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 16 Tài liệu ơn thi vào lớp 10  x1  4  x2  Suy a,c nghiệm phương trình : x  x  36    Do a =  c = nên b =  a = c =  nên b = 2 2 Cách 2: Từ  a  b    a  b   4ab   a  b    a  b   4ab  169  a  b  13   a  b   132    a  b  13 *) Với a  b  13 ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình :  x  4 x  13x  36     x2  9 Vậy a = 4 b = 9 *) Với a  b  13 ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình : x  x  13x  36     x2  Vậy a = b = 3) Đã biết ab = 30, cần tìm a + b:  a  b  11  a  b  11 T ừ: a2 + b2 = 61   a  b   a  b2  2ab  61  2.30  121  112   *) Nếu a  b  11 ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình:  x  5 x  11x  30     x2  6 Vậy a = 5 b = 6 ; a = 6 b = 5 *) Nếu a  b  11 ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình : x  x  11x  30     x2  Vậy a = b = ; a = b = 3.4 TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM Đối tốn dạng điều quan trọng phải biết biến đổi biểu thức nghiệm cho biểu thức có chứa tổng nghiệm S tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị biểu thức 3.4.1 Biến đổi biểu thức để làm xuất : ( x1  x2 ) x1 x2 Ví dụ a) x12  x22  ( x12  x1 x2  x22 )  x1 x2  ( x1  x2 )2  2x1 x2 b) x13  x23   x1  x2   x12  x1 x2  x22    x1  x2   x1  x2   3x1 x2  c) x14  x24  ( x12 )2  ( x22 )2   x12  x22   x12 x22  ( x1  x2 )2  x1 x2   x12 x22 1 x1  x2   x1 x2 x1 x2 d) Ví dụ 2 x1  x2  ? Ta biết  x1  x2    x1  x2   x1 x2  x1  x2    x1  x2   4x1x2 2 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 17 Tài liệu ơn thi vào lớp 10 Từ biểu thức biến đổi biến đổi biểu thức sau: x12  x22 (   x1  x2  x1  x2  =…….) x13  x23 x14  x24 ( =  x1  x2   x12  x1 x2  x22    x1  x2   x1  x2   x1 x2  =…… ) ( =  x12  x22  x12  x22  =…… ) x16  x26 ( = ( x12 )3  ( x22 )3   x12  x22  x14  x12 x22  x24  = …… ) Bài tập áp dụng x16  x26 x17  x27 x15  x25 1  x1  x2  3.4.2 Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức nghiệm a) Cho phương trình : x2  8x  15  Khơng giải phương trình, tính x12  x22 x1 x2  x2 x1 8    15  1  x1 x2 (34)  34     15   x1  x2  (46) b) Cho phương trình : 8x2  72 x  64  Khơng giải phương trình, tính: 1  x1 x2 9   8 x12  x22 (65) c) Cho phương trình : x2 14 x  29  Khơng giải phương trình, tính: 1  x1 x2  14     29  x12  x22 (138) d) Cho phương trình : x2  3x   Khơng giải phương trình, tính: 1  x1 x2 (3)  x1  x2  x1 x2 (1) x12  x22 (1) x1 x  x2  x1  5   6 e) Cho phương trình x2  3x   có nghiệm x1 ; x2 , khơng giải phương trình, tính Q  x12  10 x1 x2  x22 x1 x23  x13 x2 x12  10 x1 x2  x22 6( x1  x2 )  x1 x2 6.(4 3)  2.8 17    HD: Q  3 2 x1 x2  x1 x2 x1 x2  x1  x2   x1 x2  5.8 (4 3)  2.8 80   3.5 TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHƠNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ Để làm tốn loại này, ta làm theo bước sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 (thường a    0) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 18 Tài liệu ơn thi vào lớp 10 - Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x1 + x2 v P = x1 x2 theo tham số - Dùng quy tắc cộng để tính tham số theo x1 x2 Từ đưa hệ thức liên hệ nghiệm x1 x2 Ví dụ 1: Cho phương trình :  m  1 x2  2mx  m   có nghiệm x1; x2 Lập hệ thức liên hệ x1; x2 cho chúng khơng phụ thuộc vào m Để phương trình có nghiệm x1 x2 th ì : m  m  m   m       m  '0 5m   m  (m  1)(m  4)    Theo hệ th ức VI- ÉT ta có : 2m   x  x  x  x   (1) 2   m 1 m 1   m   x x   x x   (2)  m   m 1 Rút m từ (1) ta có : 2  x1  x2   m   m 1 x1  x2  (3) Rút m từ (2) ta có : 3   x1 x2  m   m 1  x1 x2 (4) Đồng vế (3) (4) ta có:   1  x1 x2    x1  x2     x1  x2   x1 x2   x1  x2   x1 x2 Ví dụ 2: Gọi x1; x2 nghiệm phương trình :  m  1 x2  2mx  m   Chứng minh biểu thức A   x1  x2   x1x2  khơng phụ thuộc giá trị m Để phương trình có nghiệm x1 x2 th ì : m  m  m   m       m  '0 5m   m  (m  1)(m  4)    Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó : 2m   x1  x2  m    x x  m  m 1  thay v A ta c ó: A   x1  x2   x1 x2   2m m4 6m  2m   8(m  1)  8   0 m 1 m 1 m 1 m 1 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 19 Tài liệu ơn thi vào lớp 10 Vậy A = với m  m  Do biểu thức A khơng phụ thuộc vào m Nhận xét: - Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình cho có nghiệm - Sau dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đồng vế ta biểu thức chứa nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số Bài tập áp dụng: Cho phương trình : x2   m  2 x   2m  1  có nghiệm x1; x2 Hãy lập hệ thức liên hệ x1; x2 cho x1; x2 độc lập m Hướng dẫn: Dễ thấy    m  2   2m  1  m2  4m    m  2   2 phương trình cho ln có nghiệm phân biệt x1 x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có m  x1  x2  2(1)  x1  x2  m     x x 1 m  (2)  x1.x2  2m    Từ (1) (2) ta có: x1  x2   x1 x2    x1  x2   x1 x2   2 Cho phương trình : x2   4m  1 x   m  4  Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 cho chúng khơng phụ thuộc vào m Hướng dẫn: Dễ thấy   (4m  1)2  4.2(m  4)  16m2  33  phương trình cho ln có nghiệm phân biệt x1 x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có  x1  x2  (4m  1) 4m  ( x1  x2 )  1(1)    x1.x2  2(m  4) 4m  x1 x2  16(2) Từ (1) (2) ta có: ( x1  x2 )   x1 x2  16  x1 x2  ( x1  x2 )  17  3.6 TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƢƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM Đà CHO Đối với tốn dạng này, ta làm sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 (thường a    0) - Từ biểu thức nghiệm cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn tham số) - Đối chiếu với điều kiện xác định tham số để xác định giá trị cần tìm >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 20 Tài liệu ơn thi vào lớp 10 Ví dụ 1: Cho phương trình : mx2   m  1 x   m  3  Tìm giá trị tham số m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1  x2  x1.x2 Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó nghiệm x1 x2 l : m  m  m  m       2  '  3  m  21  9(m  3)m   '   m  2m  1  9m  27   '   m  1  m  1 6(m  1)   x1  x2  m Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:  từ giả thiết: x1  x2  x1 x2  x x  9(m  3)  m Suy ra: 6(m  1) 9(m  3)   6(m  1)  9(m  3)  6m   9m  27  3m  21  m  m m (thoả mãn điều kiện xác định ) Vậy với m = phương trình cho có nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1  x2  x1.x2 Ví dụ 2: Cho phương trình : x2   2m  1 x  m2   Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : 3x1 x2   x1  x2    Bài giải: Điều kiện để phương trình có nghiệm x1 & x2 :  '  (2m  1)2  4(m2  2)   4m2  4m   4m2    4m    m   x1  x2  2m  Theo hệ thức VI-ÉT ta có:   x1 x2  m  từ giả thiết 3x1 x2   x1  x2    Suy 3(m  2)  5(2m  1)    3m   10m     m  2(TM )  3m  10m      m  ( KTM )  Vậy với m = phương trình có nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : 3x1 x2   x1  x2    3.7 TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 21 Tài liệu ơn thi vào lớp 10 Áp dụng tính chất sau bất đẳng thức: trường hợp ta ln phân tích được: A m C k  B (trong A, B biểu thức khơng âm ; m, k số) Thì ta thấy : C  m (v ì A  ) (*)  C  m  A  C  k (v ì B  )  max C  k  B  Ví dụ 1: Cho phương trình : x   2m  1 x  m  Gọi x1 x2 nghiệm phương trình Tìm m để : A  x12  x22  x1 x2 có giá trị nhỏ  x1  x2  (2m  1)  x1 x2  m Bài giải: Theo VI-ÉT:  A  x12  x22  x1 x2   x1  x2   x1 x2 Theo đ ề b ài :   2m  1  8m  4m  12m   (2m  3)   8 Suy ra: A  8  2m   hay m  Ví dụ 2: Cho phương trình : x2  mx  m 1  Gọi x1 x2 nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức sau: B x1 x2  x  x22   x1 x2  1  x1  x2  m  x1 x2  m  Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT :  B x1 x2  x1 x2  2(m  1)  2m     2 x  x2   x1 x2  1 ( x1  x2 )  m2  m 2 Cách 1: Thêm bớt để đưa dạng phần (*) hướng dẫn Ta biến đổi B sau: B m2    m2  2m  1 m2  Vì  m  1    m  1  1  m  1 m2  2 m2    B 1 Vậy max B=1  m = Với cách thêm bớt khác ta lại có: >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 22 Tài liệu ơn thi vào lớp 10 1 m  2m   m m  4m     m    m    2 B 2   2 m 2 m 2  m  2 Vì  m      m  2 2  m  2 0 B 2 Vậy B    m  2 Cách 2: Đưa giải phương trình bậc với ẩn m B tham số, ta tìm điều kiện cho tham số B để phương trình cho ln có nghiệm với m 2m   Bm2  2m  B   m 2 Ta có:    B(2B  1)   2B2  B B (Với m ẩn, B tham số) (**) Để phương trình (**) ln có nghiệm với m   hay 2B2  B    2B2  B     2B  1 B  1    B    2 B       B  B 1       B 1  2 B     B       B    B   Vậy: max B=1  m = 1 B    m  2 Bài tập áp dụng Cho phương trình : x2   4m  1 x   m  4  Tìm m để biểu thức A   x1  x2  có giá trị nhỏ 2 Cho phương trình x2  2(m  1) x   m  Tìm m cho nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện x12  x22  10 Cho phương trình : x2  2(m  4) x  m2   xác định m để phương trình có nghiệm x1; x2 thỏa mãn a) A  x1  x2  3x1 x2 đạt giá trị lớn b) B  x12  x22  x1x2 đạt giá trị nhỏ Cho phương trình : x2  (m 1) x  m2  m   Với giá trị m, biểu thức C  x12  x22 dạt giá trị nhỏ Cho phương trình x2  (m  1)  m  Xác định m để biểu thức E  x12  x22 đạt giá trị nhỏ II Bài tập tổng hợp C¸c bµi tËp tµi liƯu «n thi vµo líp 10 Bµi Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh : >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 23 Tài liệu ơn thi vào lớp 10 a / x  5x   b / x  29x  100  c / x  3x  x    d /11x  8x   18x   e / 4x    8x  x x Bµi Cho ph-¬ng tr×nh x2 + px - = cã nghiƯm x1; x2 H·y lËp ph-¬ng tr×nh cã hai nghiƯm lµ hai sè ®-ỵc cho mçi tr-êng hỵp sau a /  x1 vµ  x b / x12 vµ x 22 Bµi Cho ph-¬ng tr×nh : x  3y2  2xy  2x 10y   (1) 2 a/ T×m nghiƯm (x; y) cđa ph-¬ng tr×nh (1) tháa m·n x + y = 10 b/ T×m nghiƯm nguyªn cđa ph-¬ng tr×nh (1) Bµi Cho ph-¬ng tr×nh : (x  k  3)  x  2(k  3)x  3k  9  (1) a/ Gi¶i ph-¬ng tr×nh (1) k = b/ T×m c¸c gi¸ trÞ cđa k ®Ĩ ph-¬ng tr×nh (1) cã hai nghiƯm d-¬ng vµ mét nghiƯm ©m Bµi Gi¶i ph-¬ng tr×nh : a / x  2x   x  2x   b / 6x  15x  2x  5x   c / 8x  8x   12x  12x   2(2x  2x  1) Bµi Cho ph-¬ng tr×nh Èn x, tham sè t : x  2(t  1)x  t   (1) a/ T×m t ®Ĩ ph-¬ng tr×nh (1) cã nghiƯm b/ T×m t ®Ĩ ph-¬ng tr×nh (1) cã hai nghiƯm cho tỉng hai nghiƯm b»ng tÝch hai nghiƯm Bµi Cho ph-¬ng tr×nh Èn x, tham sè m : mx  5x  (m  5)  (1) a/ Gi¶i ph-¬ng tr×nh (1) m = b/ Chøng tá r»ng ph-¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiƯm víi mäi gi¸ trÞ cđa m c/ Trong tr-êng hỵp ph-¬ng tr×nh (1) cã hai nghiƯm ph©n biƯt x 1; x2 H·y tÝnh theo m gi¸ trÞ cđa biĨu thøc A  16x1x  3(x12  x 22 ) T×m m ®Ĩ A = Bµi Cho ph-¬ng tr×nh Èn x, tham sè m : (m  3)x  2(m2  3m)x  m3  12  (1) a/ T×m sè nguyªn m nhá nhÊt cho ph-¬ng tr×nh (1) cã hai nghiƯm ph©n biƯt b/ Gäi x1; x2 lµ hai nghiƯm cđa ph-¬ng tr×nh (1) T×m sè nguyªn m lín nhÊt cho x12  x 22 lµ mét sè nguyªn C¸c bµi tËp ®Ị thi vµo líp 10 cđa B¾c Ninh Bµi (B¾c Ninh 1997 - 1998) Cho ph-¬ng tr×nh bËc hai Èn x, m lµ tham sè : x2  2(m  3) x  2m   (1) a/ Chøng tá r»ng ph-¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiƯm víi mäi m >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 24 Tài liệu ơn thi vào lớp 10 b/ Gäi hai nghiƯm cđa ph-¬ng tr×nh (1) lµ x1; x2 H·y t×m m ®Ĩ 1  m x1  x2  Bµi (B¾c Ninh 1998 - 1999) 1 ;b  2 2 a/ H·y tÝnh : ab vµ Cho a  a b b/ H·y lËp mét ph-¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiƯm lµ x1  a b ; x2  b 1 a 1 Cho ph-¬ng tr×nh bËc hai Èn x, m lµ tham sè : x2  3mx  3m   (1) a/ Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cđa m ph-¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiƯm ph©n biƯt ? b/ H·y t×m m ®Ĩ ph-¬ng tr×nh (1) cã mét nghiƯm x1   Khi ®ã h·y t×m nghiƯm x2 cđa ph-¬ng tr×nh ®ã Bµi (B¾c Ninh 1999 - 2000)  a b  a b Cho biĨu thøc P   (víi a  0, b  0, a  b )   :  ab  b a  ab  a b  b a a/ Rót gän biĨu thøc P b/ TÝnh sè trÞ cđa biĨu thøc P biÕt a vµ b lµ hai nghiƯm cđa ph-¬ng tr×nh x2  8x   Cho ph-¬ng tr×nh bËc hai Èn x, m lµ tham sè : x2  x  m  (1) a/ T×m m ®Ĩ ph-¬ng tr×nh (1) cã nghiƯm b/ Chøng minh r»ng víi mäi m ph-¬ng tr×nh (1) kh«ng thĨ cã hai nghiƯm cïng lµ sè ©m c/ T×m m ®Ĩ ph-¬ng tr×nh (1) cã hai nghiƯm x1, x2 tháa m·n x1 - 2x2 = Bµi (B¾c Ninh 1999 - 2000) Cho hai ph-¬ng tr×nh bËc hai Èn x (a lµ tham sè) : x  3x  a   (1) x  ax   (2) a/ Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh (1) vµ (2) tr-êng hỵp a = -1 b/ Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cđa a hai ph-¬ng tr×nh trªn lu«n cã Ýt nhÊt mét hai ph-¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiƯm ph©n biƯt Bµi (B¾c Ninh 2000 - 2001) Cho ph-¬ng tr×nh bËc hai Èn x (m, n lµ c¸c tham sè) : x2  (m  n) x  (m2  n2 )  (1) a/ Gi¶i ph-¬ng tr×nh (1) m = n = b/ Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cđa m, n th× ph-¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiƯm c/ T×m m, n ®Ĩ ph-¬ng tr×nh (1) t-¬ng ®-¬ng víi ph-¬ng tr×nh x2  x   >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 25 Tài liệu ơn thi vào lớp 10 Bµi (B¾c Ninh 2001 - 2002) Cho ph-¬ng tr×nh : x2  2(m  1) x  2m   a/ Gi¶i ph-¬ng tr×nh m  b/ T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ ph-¬ng tr×nh ®· cho cã nghiƯm Bµi (B¾c Ninh 2001 - 2002) Cho ph-¬ng tr×nh bËc hai : x2  2(m  1) x  m2  3m   (1) a/ T×m c¸c gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ ph-¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiƯm ph©n biƯt b/ T×m gi¸ trÞ cđa m tháa m·n x12  x22  12 (Trong ®ã x1 , x2 lµ hai nghiƯm cđa ph-¬ng tr×nh) ? Bµi (B¾c Ninh 2002 - 2003) Cho hai ph-¬ng tr×nh : x2  3x  2m   (1) vµ x2  x  2m  10  (2) a/ Gi¶i hai ph-¬ng tr×nh trªn víi m = - b/ T×m c¸c gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ hai ph-¬ng tr×nh trªn cã nghiƯm chung c/ Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cđa m Ýt nhÊt mét hai ph-¬ng tr×nh trªn cã nghiƯm Bµi (B¾c Ninh 2003 - 2004) a/ Chøng minh r»ng : NÕu ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2  bx  c  cã hai nghiƯm lµ x1 , x2 th× x1  x2   b c vµ x1.x2  a a b/ T×m hai sè biÕt tỉng cđa chóng b»ng vµ tÝch cđa chóng - c/ T×m sè nguyªn a ®Ĩ ph-¬ng tr×nh x2  ax  a2   cã nghiƯm Bµi 10 (B¾c Ninh 2004 - 2005) Cho ph-¬ng tr×nh: x2 - ( m + 1)x + m2 - 2m + = Gi¶i ph-¬ng tr×nh víi m = 2 T×m m ®Ĩ ph-¬ng tr×nh cã nghiƯm kÐp; v« nghiƯm; cã hai nghiƯm ph©n biƯt Bµi 11 (B¾c Ninh 2005 - 2006) Cho ph-¬ng tr×nh: x2 - 2(m + 1)x + m - = (1) (m lµ tham sè) 1) Gi¶i ph-¬ng tr×nh (1) víi m = 2) T×m c¸c gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ ph-¬ng tr×nh (1) cã hai nghiƯm tr¸i dÊu 3) Víi x1, x2 lµ nghiƯm cđa (1) TÝnh theo m gi¸ trÞ cđa biĨu thøc: A = x1(1 - x2) + x2(1 - x1) Bµi 12 (B¾c Ninh 2006 - 2007) Cho ph-¬ng tr×nh (Èn x) : 2x2 + mx + m - = (1) 1) Gi¶i ph-¬ng tr×nh (1) m = -1 2) Chøng minh r»ng ph-¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiƯm ph©n biƯt víi mäi gi¸ trÞ cđa m >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 26 Tài liệu ơn thi vào lớp 10 3) T×m c¸c gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ ph-¬ng tr×nh (1) cã hai nghiƯm tr¸i dÊu vµ nghiƯm ©m cã gi¸ trÞ tut ®èi lín h¬n nghiƯm d-¬ng Bµi 13 (B¾c Ninh 2007 - 2008) Cho ph-¬ng tr×nh bËc hai x2  2(2m  1) x  3m2   (x lµ Èn) (1) a/ Chøng minh r»ng ph-¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiƯm ph©n biƯt víi mäi m b/ Gäi x1; x2 lµ hai nghiƯm ph©n biƯt cđa ph-¬ng tr×nh (1) H·y t×m m ®Ĩ x1  x2  2 Bµi 14 (B¾c Ninh 2008 - 2009) Cho ph-¬ng tr×nh x2 - 2x - = cã hai nghiƯm lµ x1, x2 TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc : S  x2 x1  x1 x2 Bµi 15 (B¾c Ninh 2009 - 2010) Cho ph-¬ng tr×nh : (m  1) x2  2(m 1) x  m   (1) (m lµ tham sè) a/ Gi¶i ph-¬ng tr×nh (1) víi m = b/ T×m m ®Ĩ ph-¬ng tr×nh (1) cã hai nghiƯm ph©n biƯt x1; x2 tháa m·n : 1   x1 x2 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 27 [...]... nhất sao cho x12 x 22 là một số nguyên 2 Các bài tập trong đề thi vào lớp 10 của Bắc Ninh Bài 1 (Bắc Ninh 1997 - 1998) Cho ph-ơng trình bậc hai ẩn x, m là tham số : x2 2(m 3) x 2m 7 0 (1) a/ Chứng tỏ rằng ph-ơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi m >> Truy cp trang http://tuyensinh247.com/ hc Toỏn - Lý Húa Sinh Vn Anh tt nht! 24 Ti liu ụn thi vo lp 10 b/ Gọi hai nghiệm của ph-ơng trình (1)... 1) m 0 Xỏc nh m biu thc E x12 x22 t giỏ tr nh nht II Bi tp tng hp 1 Các bài tập trong tài liệu ôn thi vào lớp 10 Bài 1 Giải các ph-ơng trình : >> Truy cp trang http://tuyensinh247.com/ hc Toỏn - Lý Húa Sinh Vn Anh tt nht! 23 Ti liu ụn thi vo lp 10 a / x 2 2 5x 4 0 b / x 4 29x 2 100 0 c / x 2 3x x 1 2 0 d /11x 2 2 8x 9 18x 6 0 e / 4x 2 1 4 7 8x 2 x x Bài 2 Cho ph-ơng trình... 4 v t gi thit 3x1 x2 5 x1 x2 7 0 Suy ra 3(m 2 2) 5(2m 1) 7 0 3m 2 6 10m 5 7 0 m 2(TM ) 3m 10m 8 0 m 4 ( KTM ) 3 2 Vy vi m = 2 thỡ phng trỡnh cú 2 nghim x1 v x2 tho món h thc : 3x1 x2 5 x1 x2 7 0 3.7 TèM GI TR LN NHT HOC GI TR NH NHT CA BIU THC NGHIM >> Truy cp trang http://tuyensinh247.com/ hc Toỏn - Lý Húa Sinh Vn Anh tt nht! 21 Ti liu ụn thi vo lp 10 p dng... hai ẩn x (a là tham số) : x 2 3x a 2 0 (1) x ax 1 0 (2) 2 a/ Giải các ph-ơng trình (1) và (2) trong tr-ờng hợp a = -1 b/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của a trong hai ph-ơng trình trên luôn có ít nhất một trong hai ph-ơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt Bài 5 (Bắc Ninh 2000 - 2001) Cho ph-ơng trình bậc hai ẩn x (m, n là các tham số) : x2 (m n) x (m2 n2 ) 0 (1) a/ Giải ph-ơng trình (1)... Tìm t để ph-ơng trình (1) có hai nghiệm sao cho tổng hai nghiệm bằng tích hai nghiệm Bài 7 Cho ph-ơng trình ẩn x, tham số m : mx 2 5x (m 5) 0 (1) a/ Giải ph-ơng trình (1) khi m = 5 b/ Chứng tỏ rằng ph-ơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m c/ Trong tr-ờng hợp ph-ơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 Hãy tính theo m giá trị của biểu thức A 16x1x 2 3(x12 x 22 ) Tìm m để A = 0... 10 3 Cho phng trỡnh : x2 2(m 4) x m2 8 0 xỏc nh m phng trỡnh cú 2 nghim x1; x2 tha món a) A x1 x2 3x1 x2 t giỏ tr ln nht b) B x12 x22 x1x2 t giỏ tr nh nht 4 Cho phng trỡnh : x2 (m 1) x m2 m 2 0 Vi giỏ tr no ca m, biu thc C x12 x22 dt giỏ tr nh nht 5 Cho phng trỡnh x2 (m 1) m 0 Xỏc nh m biu thc E x12 x22 t giỏ tr nh nht II Bi tp tng hp 1 Các bài tập trong tài liệu ôn thi. .. hai nghiệm là hai số đ-ợc cho trong mỗi tr-ờng hợp sau a / x1 và x 2 b / x12 và x 22 Bài 3 Cho ph-ơng trình : x 2 3y2 2xy 2x 10y 4 0 (1) 2 2 a/ Tìm nghiệm (x; y) của ph-ơng trình (1) thỏa mãn x + y = 10 b/ Tìm nghiệm nguyên của ph-ơng trình (1) Bài 4 Cho ph-ơng trình : (x k 3) x 2 2(k 3)x 3k 9 0 (1) a/ Giải ph-ơng trình (1) khi k = 3 b/ Tìm các giá trị của k để ph-ơng trình (1) có hai... mọi giá trị của m, n thì ph-ơng trình (1) luôn có nghiệm c/ Tìm m, n để ph-ơng trình (1) t-ơng đ-ơng với ph-ơng trình x2 x 5 0 >> Truy cp trang http://tuyensinh247.com/ hc Toỏn - Lý Húa Sinh Vn Anh tt nht! 25 Ti liu ụn thi vo lp 10 Bài 6 (Bắc Ninh 2001 - 2002) Cho ph-ơng trình : x2 2(m 1) x 2m 5 0 a/ Giải ph-ơng trình khi m 5 2 b/ Tìm tất cả các giá trị của m để ph-ơng trình đã cho có... bậc hai : x2 2(m 1) x m2 3m 2 0 (1) a/ Tìm các giá trị của m để ph-ơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt b/ Tìm giá trị của m thỏa mãn x12 x22 12 (Trong đó x1 , x2 là hai nghiệm của ph-ơng trình) ? Bài 8 (Bắc Ninh 2002 - 2003) Cho hai ph-ơng trình : x2 3x 2m 6 0 (1) và x2 x 2m 10 0 (2) a/ Giải hai ph-ơng trình trên với m = - 3 b/ Tìm các giá trị của m để hai ph-ơng trình trên có nghiệm... http://tuyensinh247.com/ hc Toỏn - Lý Húa Sinh Vn Anh tt nht! 26 Ti liu ụn thi vo lp 10 3) Tìm các giá trị của m để ph-ơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm d-ơng Bài 13 (Bắc Ninh 2007 - 2008) Cho ph-ơng trình bậc hai x2 2(2m 1) x 3m2 4 0 (x là ẩn) (1) a/ Chứng minh rằng ph-ơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m b/ Gọi x1; x2 là hai nghiệm phân ... liệu ơn thi vào lớp 10 II Các dạng tốn thƣờng gặp Dạng tốn rút gọn biểu thức khơng chứa ẩn *) Phương pháp: Sử dụng cơng thức biến đổi biểu thức chứa dấu đẳng thức học lớp Dạng tốn tổng hợp ( Rút... ơn thi vào lớp 10 Vậy A = với m  m  Do biểu thức A khơng phụ thuộc vào m Nhận xét: - Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình cho có nghiệm - Sau dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng. .. CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM Đối tốn dạng điều quan trọng phải biết biến đổi biểu thức nghiệm cho biểu thức có chứa tổng nghiệm S tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị biểu thức