"Phương trình đường thẳng mặt phẳng" MỤC LỤC Trang CÁC KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG Phần thứ nhất: ĐẶT VẤN ĐỀ I Lí chọn đề tài II Phạm vi thời gian thực đề tài Phần thứ hai: QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI I Cơ sở lý luận II Cơ sở thực tiễn III Nội dung đề tài A Lý thuyết B Bài tập .5 VẤN ĐỀ 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VẤN ĐỀ 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ GIẢI TAM GIÁC TRONG MẶT PHẲNG 19 VẤN ĐỀ 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN KẾT HỢP CÁC ĐƯỜNG KHÁC NHAU 23 Phần thứ ba: KẾT LUẬN 26 "Phương trình đường thẳng mặt phẳng" CÁC KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG Để tiện cho trình đặt giải toán tam giác mặt phẳng (xác định yếu tố chưa biết thông qua yếu tố biết tam giác), ta gọi trình giải toán tam giác (hay giải tam giác) mặt phẳng ta coi toán giải xong xác định tọa độ đỉnh phương trình ba cạnh tam giác đó, tập áp dụng phương pháp giải toán đưa phần tập tự luyện Trong tài liệu ta sử dụng số kí hiệu sau: A, B, C: đỉnh tam giác ABC AB, BC, CA: cạnh phương trình cạnh tam giác ABC G, H: trọng tâm trực tâm tam giác ABC M = d1 ∩ d2: Tọa độ M giao điểm d1 d2 VTCP: vectơ phương VTPT: vectơ pháp tuyến PTTQ: Phương trình tổng quát PTTS: Phương trình tham số PTCT: Phương trình tắc "Phương trình đường thẳng mặt phẳng" Phần thứ nhất: ĐẶT VẤN ĐỀ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình toán học THPT cụ thể phân môn hình học 10, em học sinh tiếp cận với kiến thức: Phương pháp tọa độ mặt phẳng Với “ Phương pháp tọa độ mặt phẳng ” em trang bị số kiến thức phương trình đường thẳng , phương trình đường tròn, phương trình đường E líp… Nếu gặp toán mà có đầy đủ giả thiết em cần áp dụng công thức có kết Song thực tế kỳ thi Đại học, Cao đẳng – THCN em gặp phải toán giải tam giác (Xác định điểm, viết phương trình đường thẳng biết số yếu tố ) Thực tế gặp dạng toán có số em biết cách giải, song cách trình bày lời giải chưa gọn gàng sáng sủa Tại lại xảy tình trạng đó? Lý : Trong chương trình SGK lớp 10 hành, kiến thức phương pháp tọa độ mặt phẳng trình bày học kỳ với thời lượng lượng tập dạng chưa đề cập thường xuyên chưa đề cập đến Mặt khác , dạy , thầy cô giáo không đưa thêm tập dạng phương pháp giải tương ứng em học sinh giải toán nói Với lý , với kinh nghiệm sau thời gian giảng dạy, khai thác, hệ thống hóa lại kiến thức khuôn khổ nhỏ mảng kiến thức “ Phương pháp tọa độ mặt phẳng ” phần: “ Phương trình đường thẳng mặt phẳng ” để trao đổi với đồng nghiệp làm tài liệu tham khảo cho học sinh, giúp em có nhìn toàn diện việc viết phương trình đường thẳng phương pháp giải toán giải tam giác mặt phẳng II PHẠM VI VÀ THỜI GIAN THỰC HIỆN ĐỀ TÀI: Đề tài sử dụng để giảng dạy bồi dưỡng cho em học sinh khối 10 hệ THPT làm tài liệu tham khảo cho thầy cô giảng dạy môn Toán Các thầy cô học sinh sử dụng toán đề tài làm toán gốc để đặt giải tập cụ thể Trong đề tài đưa giải khối lượng lớn toán với tương ứng tập tự luyện phân loại Sau toán tác giả có phương pháp giúp thầy cô học sinh chọn cho phương pháp giải tối ưu để có lời giải gọn gàng Gv Trần Thị Bình - Trường THPT Xuân Hòa "Phương trình đường thẳng mặt phẳng" Phần thứ hai: QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI I CƠ SỞ LÝ LUẬN Những toán hình học với phát triển không ngừng dẫn đến chuyển hóa số hướng thành lĩnh vực tính chất hình học Cùng vấn đề toán ta sử dụng phương pháp hình học phương pháp giải tích kết hợp hai để giải Với phương pháp tọa độ mặt phẳng làm cho hình học thoát khỏi lối tư trực quan nhằm hướng tới khái quát hóa toán học lĩnh vực khác Phương pháp tọa độ mặt phẳng với kiến thức gọn nhẹ, đơn giản giúp học sinh giải toán giải tam giác cách nhẹ nhàng Phương pháp tọa độ mặt phẳng cung cấp cho học sinh công cụ để giải toán mà tập cho học sinh làm quen với phương pháp tư nâng cao khả suy luận, biết nhìn nhận việc tượng xung quanh với vận động biến đổi chúng để nghiên cứu tìm tòi khám phá tạo sở cho đời phát minh tương lai II CƠ SỞ THỰC TIỄN Có nhiều cách khác để tiếp cận tìm hiểu kiến thức thực tế học sinh trước thực đề tài Khi giảng dạy lớp bồi dưỡng học sinh, đưa vào số toán nhằm kiểm tra kiến thức em học sinh Các kiến thức đưa vào vừa có tác dụng củng cố kiến thức đồng thời trang bị cho học sinh kỹ giải toán Từ em có cách nhìn toàn diện vấn đề giải toán “ Phương trình đường thẳng mặt phẳng” để em đạt kết cao kỳ thi Đại học, Cao đẳng Gv Trần Thị Bình - Trường THPT Xuân Hòa "Phương trình đường thẳng mặt phẳng" III NỘI DUNG ĐỀ TÀI PHƯƠNG PHÁP PHÁP TOẠ TOẠ ĐỘ ĐỘ TRONG TRONG MẶT MẶT PHẲNG PHẲNG PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH TRÌNH ĐƯỜNG ĐƯỜNG THẲNG THẲNG PHƯƠNG A Lý Lý thuyết thuyết A Vectơ phương đường thẳng r r Vectơ u ≠ gọi vectơ phương đường thẳng ∆ giá song song trùng với ∆ r r Nhận xét: – Nếu u VTCP ∆ ku (k ≠ 0) VTCP ∆ – Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm VTCP Vectơ pháp tuyến đường thẳng r r Vectơ n ≠ đgl vectơ pháp tuyến đường thẳng ∆ giá vuông góc với ∆ r r Nhận xét: – Nếu n VTPT ∆ kn (k ≠ 0) VTPT ∆ – Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm VTPT r r r r – Nếu u VTCP n VTPT ∆ u ⊥ n Phương trình tham số đường thẳng r Cho đường thẳng ∆ qua M0 ( x0 ; y0 ) có VTCP u = (u1; u2 )  x = x + tu Phương trình tham số ∆:  y = y + tu1 (1) ( t tham số)  x2 = x0 + tu1  Nhận xét: – M(x; y) ∈ ∆ ⇔ ∃ t ∈ R:  y = y + tu  – Gọi k hệ số góc ∆ thì: + k = tanα, với α = ·xAv , α ≠ 900 u + k = , với u1 ≠ u1 Phương trình tắc đường thẳng r Cho đường thẳng ∆ qua M0 ( x0 ; y0 ) có VTCP u = (u1; u2 ) x − x y − y0 = Phương trình tắc ∆: (2) (u1 ≠ 0, u2 ≠ 0) u1 u2 Chú ý: Trong trường hợp u1 = u2 = đường thẳng phương trình tắc Phương trình tổng quát đường thẳng Gv Trần Thị Bình - Trường THPT Xuân Hòa "Phương trình đường thẳng mặt phẳng" Phương trình ax + by + c = với a2 + b2 ≠ gọi phương trình tổng quát đường thẳng Nhận xét: – Nếu ∆ có phương trình ax + by + c = ∆ có: r r r u = (−b; a) u = (b; −a) VTPT n = (a; b) VTCP r – Nếu ∆ qua M0 ( x0 ; y0 ) có VTPT n = (a; b) phương trình ∆ là: a( x − x0 ) + b( y − y0 ) = x y • ∆ qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b ≠ 0): Phương trình ∆: + = a b (phương trình đường thẳng theo đoạn chắn) • ∆ qua điểm M0 ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k: Phương trình ∆: y − y0 = k ( x − x0 ) (phương trình đường thẳng theo hệ số góc) Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = ∆2: a2 x + b2 y + c2 = Toạ độ giao điểm ∆1 ∆2 nghiệm hệ phương trình:  a1 x + b1y + c1 =  a x + b y + c = (1) a b  2 • ∆1 cắt ∆2 ⇔ hệ (1) có nghiệm ⇔ ≠ (nếu a2 , b2 , ≠ ) a ab2 bc2 a ,b ,c ≠ ) • ∆1 // ∆2 ⇔ hệ (1) vô nghiệm ⇔ = a1 ≠ b1 (nếu • a2 b21 c21 c1 2 = = ∆1 ≡ ∆2 ⇔ hệ (1) có vô số nghiệm ⇔ (nếu a2 , b2 , c2 ≠ ) a2 b2 c2 Góc hai đường thẳng r Cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = (có VTPT n1 = (a1; b1 ) ) r ∆2: ra2 rx + b2 y + c2 = r(cór VTPT0 n2 = (a2 ; b2 ) ) (n1, n2 ) ≤ 90 (n , n ) (·∆1 , ∆2 ) =  r r r r n1.(nnr2 , nr ) > 90 a10b1 + a2 b2 r r 180 − ( n , n ) · ·  cos(∆1 , ∆2 ) = cos(n1,1n2 )2 = r r1 =2 n1 n2 a12 + b12 a22 + b22 Chú ý: • ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ a1a2 + b1b2 = • Cho ∆1: y = k1x + m1 , ∆2: y = k2 x + m2 thì: + ∆1 // ∆2 ⇔ k1 = k2 + ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ k1 k2 = –1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng • Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = điểm M0 ( x0 ; y0 ) d ( M0 , ∆) = ax0 + by0 + c a2 + b • Vị trí tương đối hai điểm đường thẳng Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = hai điểm M ( x M ; yM ), N ( x N ; yN ) ∉ ∆ – M, N nằm phía ∆ ⇔ (ax M + byM + c)(ax N + byN + c) > – M, N nằm khác phía ∆ ⇔ (ax M + byM + c)(ax N + byN + c) < • Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng Cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = ∆2: a2 x + b2 y + c2 = cắt Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng ∆1 Gv Trần Thị Bình - Trường THPT Xuân Hòa "Phương trình đường thẳng mặt phẳng" ∆2 là: a1 x + b1y + c1 a12 + b12 =± a2 x + b2 y + c2 a22 + b22 Gv Trần Thị Bình - Trường THPT Xuân Hòa "Phương trình đường thẳng mặt phẳng" B Bài Bài tập tập B VẤN ĐỀ 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Bài toán 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM VÀ BIẾT MỘT VÉC TƠ PHÁP TUYẾN Phương pháp giải: r Nếu ∆ qua M0 ( x0 ; y0 ) có VTPT n = (a; b) phương trình ∆ là: PTTQ: a( x − x0 ) + b( y − y0 ) = x − x y − y0 = , (a, b ≠ 0) PTCT: PTTS: a bx = x0 +−tb  y = y − ta  Bài tập Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ đường thẳng qua điểm r M có VTPT n biết : r r a) M(–2; 3) , n = (5; −1) b) M(–1; 2), n = (−2;3) Hướng dẫn: *Với tập 1: câu hỏi là toán có phương pháp giải tổng quát Cách giải sử dụng phương trình đường thẳng qua điểm có vectơ pháp tuyến Giải Gọi (d) đường trung trực đoạn thẳng AB uuur (d) qua trung điểm I(2;-2) đoạn thẳng AB có véc tơ pháp tuyến AB = (2; −6) Phương trình đường thẳng (d) là: 2( x − 2) − 6( y + 2) = ⇔ x − y − = Bài tập Viết phương trình đường thẳng trường hợp sau: Là đường trung trực AB biết A(1;1); B(3;-5) Là đường trung trực tam giác ABC biết A(1;1); B(2;-1); C(-1;2) Là đường trung trực tam giác ABC biết M(-1;-1); N(1;9); P(9;1) trung điểm AB; BC; AC Hướng dẫn:Chỉ cần xác định vectơ pháp tuyến ta có kết Lời giải 1.Gọi (d) đường trung trực đoạn thẳng AB uuur(d) qua trung điểm M(2;-2) đoạn thẳng AB có véc tơ pháp tuyến AB = (2; −6) Phương trình đường thẳng (d) là: 2( x − 2) − 6( y + 2) = ⇔ x − y − = Phương trình đường thẳng trung trực đoạn thẳng AB là: x − y − = Phương trình đường thẳng trung trực đoạn thẳng BC là: x − y = Phương trình đường thẳng trung trực đoạn thẳng AC là: x − y + = Gv Trần Thị Bình - Trường THPT Xuân Hòa "Phương trình đường thẳng mặt phẳng" Gọi (d) đường trung trực đoạn thẳng AB (d) qua trung điểm uuur M(-1;1) đoạn thẳng AB có véc tơ pháp tuyến NP = (8; −8) Phương trình đường thẳng (d) là: 8( x + 1) − 8( y − 1) = ⇔ x − y + = ĐS: Phương trình đường thẳng trung trực BC là: x + y − 14 = Phương trình đường thẳng trung trực AC là: x + y − 14 = Bài tập 3: Cho tam giác ABC có A(5;6); B( −3; 2); C (2; −3) Viết phương trình đường cao tam giác Hướng dẫn:Chỉ cần xác định vectơ pháp tuyến ta có kết Giải Gọi H trực tâm tam giác ABC - Đường cao AH qua A(5;6) vuông góc với BC nên có véc tơ pháp tuyến uuur BC = (5; −5) Phương trình đường cao AH là: x − y + = - Tương tự :Phương trình đường cao BH là: x + 3y − = Phương trình đường cao CH là: x + y − = Bài toán 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM VÀ BIẾT MỘT VÉC TƠ CHỈ PHƯƠNG r Đường thẳng d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ) có véc tơ phương u = (u1; u2 ) x − x y − y0 = + Phương trình tắc ∆: (2) (u1 ≠ 0, u2 ≠ 0) u1x = x +u2tu + Phương trình tham số ∆:  y = y + tu (1) ( t tham số)  Bài tập 1: Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ đường thẳng qua điểm r M có VTCP u biết : r r a) M(–2; 3) , u = (5; −1) b) M(–1; 2), u = (−2;3) Hướng dẫn: Thay vào công thức phương trình đường thẳng qua điểm có véc tơ phương Bài tập 2: Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ đường thẳng qua hai điểm A, B: a) A(–2; 4), B(1; 0) b) A(5; 3), B(–2; –7) Hướng dẫn: Cách 1: Thay vào công thức phương trình đường thẳng qua hai điểm uuu r Cách 2: - Đường thẳng AB có véc tơ phương AB - Thay vào công thức phương trình đường thẳng qua điểm có véc tơ phương Gv Trần Thị Bình - Trường THPT Xuân Hòa "Phương trình đường thẳng mặt phẳng" Bài tập 3: Cho tam giác ABC có A(−2; 2); B(−3; 4); C (7;5) Viết phương trình cạnh tam giác Viết phương trình đường trung tuyến tam giác ABC Viết phương trình đường phân giác góc A tam giác ABC Hướng dẫn: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm Bài tập Viết phương trình cạnh tam giác ABC biết M(1;1); N(2;-1); P(-1;2) trung điểm cạnh tam giác uuur Hướng dẫn: - Cạnh AB qua M có VTCP PN Bài tập Cho tam giác ABC có M(2;1); N(5;3); P(3;-4) trung điểm cạnh AB; AC; BC.Tìm tọa độ đỉnh A,B,C Hướng dẫn: Cách 1:Viết phương trình cạnh AB,BC,AC tìm tọa độ điểm A, B, C Cách 2: Sử dụng kết tứ giác AMPN hình bình hành để suy tọa độ điểm A Làm tương tự ta có tọa độ điểm B,C Bài tập Cho hình vuông ABCD, có hai đỉnh A(2;0); B(-1;4) Viết phương trình cạnh hình vuông Giải - Phương trình đường thẳng AB là: x + 3y − = uuu r - Cạnh AD nằm đường thẳng qua A nhận AB = (−3; 4) làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình: x − y − = uuu r - Cạnh BC nằm đường thẳng qua B nhận AB = (−3; 4) làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình: x − y + 19 = - Ta có AB =   xD = - Do tứ giác ABCD hình vuông nên điểm D thỏa mãn:   ytọa=độ 3 x − y − =  D  D ∈ AD D ⇔  D  AD = AB ⇔  2   xD = −2  ( x D − 2) + ( yD ) = 25 - Với D(6;3)thì phương trình đường thẳng CD x + 3y − 33 =  yD = −3 - Với D(-2;-3)thì phương trình đường thẳng CD x + 3y + 17 = Bài tập Cho A(1;-3) đường thẳng ∆ : x − y − = Dựng hình vuông ABCD cho B,C thuộc ∆ tọa độ điểm C không âm Tìm tọa độ điểm B, C, D Tính chu vi diện tích hình vuông ABCD Giải Gv Trần Thị Bình - Trường THPT Xuân Hòa "Phương trình đường thẳng mặt phẳng" - Viết phương trình đường thẳng MN Tìm tọa độ điểm N Viết phương trình đường trung trực đoạn thẳng MN Tìm tọa độ điểm A Viết phương trình đường thẳng AC( qua A M) Giải Cách 1: r Đường thẳng AC qua M có véc tơ pháp tuyến n = (a; b) , ( a + b ≠ ) Phương trình đường thẳng AC có dạng a( x − 1) + b( y − 1) = ⇔ ax + by − a − b = ⇔ a + b = 8a − 24ab + 18b Do tam giác ABC cân đỉnh |A2.1nên − 3.1| | a.2 + b.(−3) | cos( ⇔ 7AB a −, BC 24ab ) =+c17 os(bAC =,0BC ) ⇔ = 13 13 a + b 2| 2a − 3b | 2 ⇔  a= a ⇔ a + b = | 2a − 3b | ⇔ 2 ÷ −a24 + b 2+ 17 = b b  a a=b Do a + b ≠ nên chọn b=1 a=1 Phương trình đường thẳng AC - Với a = b b =1  ⇔ x+y-2=0 ⇔(không là:  17 thỏa mãn song song với AB) a 17  = 17  a = 2b - Với  b a =7 b  Do 7a + b ≠ nên chọn b=7 a=17 Phương trình đường thẳng AC là: 17x+7y-24=0 Cách 2: HS tự làm Bài Viết phương trình đường thẳng qua điểm P(2;-1) cho đường thẳng lập với hai đường thẳng (d1 ) : x − y + = 0;(d ) : x + y − = tam giác cân có đỉnh giao điểm (d1 );(d ) Hướng dẫn: Làm tương tự Bài Viết phương trình cạnh hình vuông ABCD biết đỉnh A(-1;2)  x = −1 + 2t phương trình đường chéo là:   y = −2t Hướng dẫn: Đường chéo hình vuông tạo với cạnh góc 450 nên yêu cầu toán viết phương trình đường thẳng qua điểm A(-1; 2) tạo với đường chéo hình vuông góc 450 Bài toán 6: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG SỬ DỤNG PHƯƠNG TRÌNH ĐOẠN CHẮN Phương pháp giải - Định dạng phương trình đường thẳng cần tìm - Sử dụng giả thiết để tìm yếu tố chưa biết - Kết luận phương trình đường thẳng cần tìm Gv Trần Thị Bình - Trường THPT Xuân Hòa 15 "Phương trình đường thẳng mặt phẳng" Bài 1: Viết phương trình đường thẳng qua điểm M(8;6) tạo với trục Ox, Oy tam giác có diện tích 12 Giải Gọi ∆ đường thẳng cắt trục Ox, Oy A(a; 0), B(0; b) (a, b ≠ 0): x y Phương trình ∆ có dạng : + = a8 b6 8a + = ⇔ 8a + 6b = ab ⇔ b = ,(a ≠ 6) - Do ∆ qua M(8;6) ta có: a b a−6 = OA OB = 12 ⇔| a | | b |= 24 -SDo ∆ tạo với trục Ox, Oy tam giác có diện tích 12 nên ⇔ 6a2 = 24 | a − |  a = −8 Với ⇔  a= - b=3 Phương trình đường thẳng ∆ là: 3x-8y+24=0 a = Với a= b= - Phương trình đường thẳng ∆ là: 3x-2y -12=0 Bài 2: Viết phương trình đường thẳng qua điểm M(4;1) tạo với chiều dương trục Ox, Oy tam giác có diện tích Hướng dẫn: Làm tương tự điều kiện a, b > Bài Viết phương trình đường thẳng qua điểm M(- 4; 10) chắn hai trục toạ độ đoạn Hướng dẫn: Làm tương tự điều kiện diện tích thay |a|=|b| BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Viết phương trình đường thẳng qua điểm M(3;2) tạo trục Ox, Oy tam giác có diện tích Bài Viết phương trình đường thẳng qua điểm M(2;1) chắn hai trục toạ độ đoạn Bài Viết phương trình đường thẳng qua điểm M(–4; 10) với hai trục toạ độ tạo thành tam giác có diện tích S=2 Bài Viết phương trình đường thẳng qua điểm M(2; 1) với hai trục toạ độ tạo thành tam giác có diện tích S=4 Bài toán 7: TÍNH KHOẢNG CÁCH VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PHÂN GIÁC Phương pháp giải: Áp dụng công thức tính khoảng cách công thức phương trình đường phân giác Gv Trần Thị Bình - Trường THPT Xuân Hòa 16 "Phương trình đường thẳng mặt phẳng" Bài 1: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (d) trường hợp sau: 1, M(1; −1);(d) : x + y − = 2, M(−3;2);(d) : 2x =  x = −2 + 2t 3, M(5; −2);(d) :  y = − t 4, M(−3;2);(d) : 3y − = x −1 y + = 5, M (2;1), (d ) : Hướng dẫn Áp dụng công thức tính khoảng cách Áp dụng công thức tính khoảng cách Chuyển PT đường thẳng (d) PTTQ áp dụng công thức tính khoảng cách Áp dụng công thức tính khoảng cách Chuyển PT đường thẳng (d) PTTQ áp dụng công thức tính khoảng cách Bài 2: Tính khoảng cách hai đường thẳng sau (d1 ) : 3x + 4y − = 0;(d ) : 3x + 4y + = 3 Ta có: = ≠ − → (d1 ) P (d2 ) 4 Chọn A(-5;4) thuộc (d1 ) Giải Gọi d khoảng cách hai đường thẳng (d1 ),(d2 ) d = d ( A,(d2 )) = Bài 3: Viết Phương trình đường phân giác góc hợp hai đường thẳng (d1 ), (d ) biết: 1, (d1 ) : 2x + 3y − = 0;(d ) : 3x + 2y + = x = − 5t 2, (d1 ) : 4x + 3y − = 0;(d ) :  y = −3 + 12t Hướng dẫn Đây toán việc áp dụng công thức phương trình đường phân giác Bài 4: Cho tam giác ABC có A(1;1); B(−1; − ); C (4; −3) Viết phương trình đường phân giác góc A Hướng dẫn Cách 1: Tìm tọa độ chân đường phân giác góc A viết phương trình đường thẳng qua hai điểm Cách 2: - Viết phương trình đường thẳng AB, AC - Viết phương trình đường phân giác góc hai đường thẳng AB, AC Gv Trần Thị Bình - Trường THPT Xuân Hòa 17 "Phương trình đường thẳng mặt phẳng" - Xác định đường phân giác góc hai đường thẳng AB, AC BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (d) trường hợp sau: 1, M(−3;2);(d) : 3x + 4y − = 2, M ( 3;2 ) ; (d): Trục Ox x = 3, M(3;2);(d) :  y = + t Bài 2: Viết phương trình đường phân giác góc hợp hai đường thẳng ∆1 , ∆ biết : 1, ∆1 : x + y + = 0, ∆ : x − y + = x = t , ∆2 : x + y − = 2, ∆1 :  y = 4+ t 3, ∆1 : 3x + y − = 0, ∆ : x − y − = x = + t x = u ; ∆2 :  4, ∆1 :   y = 1+ t  y = −1 − 2u Bài 3: Viết phương trình đường phân giác góc nhọn hợp hai đường thẳng ∆1 , ∆ biết : ∆1 : 3x − y + 12 = 0, ∆ :12 x + y − 20 = 0, Bài 4: Cho tam giác ABC có AB : x + y − = 0, BC:y =0; AC:3x + y − = Viết phương trình đường phân giác góc A 2,Tính diện tích tam giác ABC Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Bài 5: Cho tam giác ABC có A(−6; −3); B(−4;3); C (9; 2) 1, Viết phương trình đường thẳng ∆ phân giác góc A 2, Tìm điểm P ∈ ∆ cho tứ giác ABPC hình thang Bài 6: Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC biết AB : x − y + = 0, BC : x − 4y − 8=0; AC:x + y − = Bài toán 8: HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA ĐIỂM TRÊN ĐƯỜNG THẲNG ĐIỂM ĐỐI XỨNG CỦA ĐIỂM QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG 1) Tìm hình chiếu vuông góc điểm M đường thẳng ∆ Phương pháp giải H ∈ ∆ Gọi H hình chiếu vuông góc điểm M đường thẳng ∆  MH ⊥ ∆ →  Tọa độ điểm H 2) Tìm điểm đối xứng điểm M qua đường thẳng ∆ Phương pháp giải Cách 1: - Tìm hình chiếu vuông góc điểm M đường thẳng ∆ điểm H Gv Trần Thị Bình - Trường THPT Xuân Hòa 18 "Phương trình đường thẳng mặt phẳng" - M’ điểm đối xứng điểm M qua đường thẳng ∆ H trung điểm MM’ Cách 2: Gọi M '( x0 ; y0 ) điểm đối xứng điểm M qua đường thẳng ∆ trung điểm I MM’ thuộc ∆ MM ' ⊥ ∆ Từ suy tọa độ điểm M’ Bài x 1: Tìm hình chiếu vuông góc điểm M(3;1) đường thẳng = −2 − 2t ∆:  y = + 2t Giải + Gọi H hình chiếu vuông góc điểm M đường thẳng ∆ H ∈ ∆ → H(-2-2t;1+2t) r + Đường thẳng ∆ có véc tơ phương u = (−2; 2) uuuur MH = (−5 − 2t; 2t ) + H hình chiếu vuông góc điểm M đường thẳng ∆ uuuu rr MH ⊥ ∆ ⇔ MH u = ⇔ (−5 − 2t )2 + 2t.(−2) = ⇔ t = − 1 3 Vậy H  ; − ÷ 2 2 Bài 2: Tìm hình chiếu vuông góc điểm M(1;4) đường thẳng ∆ : 3x + y − = Bài 3: Tìm hình chiếu vuông góc điểm M(-3;4) đường thẳng ∆: x−2 y+2 = −1 Hướng dẫn Chuyển phương trình đường thẳng ∆ dạng PTTS làm Bài 4: Tìm điểm đối xứng điểm M(1;2) qua đường thẳng ∆ : 3x + y − = Giải Gọir ∆1 đường thẳng qua M vuông góc với ∆ ∆1 có véc tơ pháp tuyến n = (1; −3) Phương trình đường thẳng ∆1 là: x − y + =  Gọi H hình chiếu vuông góc củađiểm M đường thẳng ∆ tọa độ điểm  x = 10 x − 3y + =  17  ⇔ →H ; ÷ H nghiệm hệ phương trình:   10 10   y = 17  3 x + 4y − = x = − ∆ Gọi M’ điểm xđối+ xứng M qua đường thẳng H trung điểm M '  10   xM ' = x H M ⇔ MM’ Khi   7 yM + yM ' = yH y = Vậy M '  − ; ÷  M '  5 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm hình chiếu vuông góc điểm M(-4;5) đường thẳng ∆ biết:  x = + 2t x −1 y +1 = ∆ : x − y + = ∆ :  ∆ :  y = −1 − t Bài 2: Tìm điểm M′ đối xứng với M qua đường thẳng d với: Gv Trần Thị Bình - Trường THPT Xuân Hòa 19 "Phương trình đường thẳng mặt phẳng" a) M(2; 1), d : x + y − = b) M(3; – 1), d : x + 5y − 30 = Bài 3: Cho đường thẳng (d):3x+4y-12=0 Xác định A,B giao điểm (d) , trục Ox, Oy Tìm tọa độ hình chiếu H điểm O đường thẳng d Viết phương trình đường thẳng (d’) đối xứng với (d) qua O Bài 4: Cho điểm M(-5;13) đường thẳng ∆ : x − y + = Tìm điểm đối xứng điểm M qua đường thẳng ∆ Viết phương trình đường thẳng qua M song song với ∆ VẤN ĐỀ 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ GIẢI TAM GIÁC TRONG MẶT PHẲNG Đó toán xác định toạ độ đỉnh phương trình cạnh tam giác biết số yếu tố tam giác Để giải loại toán ta thường phải làm sau: + Vẽ phác hình sau khai thác hình vẽ + Dựa vào bước ta tìm mối liên hệ để lập phương trình Chú ý: Nếu cho đường cao, trực tâm sử dụng tính vuông góc,Nếu cho trung tuyến, trọng tâm sử dụng tính chất trung điểm, hệ thức trọng tâm,Nếu cho đường phân giác sử dụng tính đối xứng Dạng 1: Dựng tam giác ABC, biết đường thẳng chứa cạnh BC hai đường cao BH,CK Cách giải: - Tìm tọa độ điểm B, C ( B = BC ∩ BH , C = BC ∩ CK ) -Viết phương trình đường thẳng AB qua B vuông góc CK - Viết phương trình đường thẳng AC qua C vuông góc BH -Tìm tọa độ điểm A = AB ∩ AC Ví dụ: Cho tam giác ABC, biết phương trình cạnh hai đường cao Viết phương trình hai cạnh đường cao lại, với: a) AB : x + y − 12 = 0, BH : x − y − 15 = 0, CK : x + y − = b) BC : x − 3y + = 0, BH : x − 3y + = 0, CK : x + y − 22 = Dạng 2: Dựng tam giác ABC, biết đỉnh A hai đường thẳng chứa hai đường Gv Trần Thị Bình - Trường THPT Xuân Hòa 20 "Phương trình đường thẳng mặt phẳng" cao BH,CK Cách giải: – Dựng AB qua A vuông góc với CK ⇒ B = AB ∩ BH – Dựng AC qua A vuông góc với BH ⇒ C = AC ∩ CK Ví dụ : Cho tam giác ABC, biết toạ độ đỉnh phương trình hai đường cao Viết phương trình cạnh tam giác đó, với a) A(3; 0), BH : x + y − = 0, CK : x − 12 y − = b) A(1; 0), BH : x − y + = 0, CK : x + y − = Dạng 3: Dựng tam giác ABC, biết đỉnh A hai đường thẳng chứa hai đường trung tuyến BM, CN Cách giải + Gọi G la trọng tâm tam giác E trung điểm BC ⇒ G = BM ∩ CN ⇒ E + B ∈ BM ⇒ tham số hóa tọa độ B theo tham số t sau tính tọa độ C theo t + Vì C ∈ CN nên tọa độ C thỏa mãn pt CN ta tìm dc t Ví dụ : Cho tam giác ABC, biết toạ độ đỉnh phương trình hai đường trung tuyến Viết phương trình cạnh tam giác đó, với: a) A(1;3), BM : x − y + = 0, CN : y − = b) A(3;9), BM : 3x − y + = 0, CN : y − = Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, biết phương trình cạnh hai đường trung tuyến Viết phương trình cạnh lại tam giác đó, với: a) AB : x − y + = 0, AM : x + y − = 0, BN : x + y − 11 = Dạng 4: Dựng tam giác ABC, biết hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC trung điểm M cạnh BC Ví dụ : Cho tam giác ABC, biết phương trình hai cạnh toạ độ trung điểm cạnh thứ ba Viết phương trình cạnh thứ ba, với: a) AB : x + y − = 0, AC : x + 3y − = 0, M (−1;1) b) AB : x − y − = 0, AC : x + y + = 0, M (3; 0) c) AB : x − y + = 0, AC : x + y − = 0, M (2;1) d) AB : x + y − = 0, AC : x + y + = 0, M (−1;1) Dạng 5: Dựng tam giác ABC, biết đỉnh A hai đường phân giác đỉnh lại BD, CE Gv Trần Thị Bình - Trường THPT Xuân Hòa 21 "Phương trình đường thẳng mặt phẳng" Cách giải: +Gọi A1 ; A2 điểm đối xứng A qua BD CE +BC qua A1; A2 + B = BC ∩ BD , C = BC ∩ CE Ví dụ 1: Cho ∆ ABC điểm A ( 2; −1) hai đường phân giác góc B, C BD: x − y + = 0, CE : x + y + = , TÌm tọa độ B, C Ví dụ 2: Cho ∆ ABC có BC : x − y + = hai đường phân giác góc B, C BD: x − y + = 0, CE : x + y + = , TÌm tọa độA,B, C Dạng 6: Dựng tam giác ABC, biết đỉnh A đường cao BH đường phân giác CE Cách giải: + Viết phương trình đường thẳng AC qua A vuông góc với BH + Tìm tọa độ điểm C = AC ∩ CE + Tìm điểmi A1 điểm đối xứng A qua CE +BC qua A1; C + B = BC ∩ BH , Ví dụ 1: Cho ∆ ABC điểm A ( −1;3) , đường phân giác CK có phương trình: x + 3y + = , đường cao BH có phương trình: x − y = Viết phương trình cạnh AB Ví dụ 2: Cho ∆ ABC điểm B ( −3; −4 ) , đường phân giác góc A là: y-6=0, đường cao AH có phương trình: x + y − 10 = , TÌm tọa độ điểm A, C Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có C(4;-1), phương trình đường cao BH:x-2y-6=0, đường phân giác AD x-1=0 Tìm tọa độ đỉnh A,B? Dạng 7: Dựng tam giác ABC, biết đỉnh A đường cao BH đường trung tuyến CE Cách giải: + Viết phương trình đường thẳng AC qua A vuông góc với BH + Tìm tọa độ điểm C = AC ∩ CE + Tọa độ hóa điểm B ( B thuộc BH) + Tọa độ hóa điểm E ( E thuộc CE) + Sử dụng giả thiết E trung điểm AC Gv Trần Thị Bình - Trường THPT Xuân Hòa 22 "Phương trình đường thẳng mặt phẳng" Ví dụ 1: Cho tam giác ABCcó A(4;6) Phương trình đường cao đường trung tuyến kẻ từ đỉnh có phương trình x − 3y + 12 = 0;2 x + 3y = Viết phương trình cạnh tam giác ABC Ví dụ 2: Cho tam giác ABCcó A(4;6) Phương trình đường cao đường trung tuyến kẻ từ C có phương trình x − y + 13 = 0;6 x − 13y + 29 = Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Ví dụ 3: Lập phương trình cạnh tam giác ABC biết đỉnh C(3;5), đường cao, đường trung tuyến kẻ từ đỉnh có phương trình (d):5x+4y-1=0 (d’):8x+y-7=0 Ví dụ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có C(0;-2), đường cao AH:x-2y+1=0 ,đường trung tuyến BK có phương trình 2x-y+2=0 Tìm tọa độ đỉnh A,B Ví dụ 5: Cho tam giác ABCcó B(-4;0) Đường cao Ahcó phương trình: x − 3y − = , đường trung tuyến CM có phương trình x + y + = Tính diện tích tam giác ABC Dạng 8: Dựng tam giác ABC, biết đỉnh A đường trung tuyến BM đường phân giác CE Cách giải: + Tọa độ hóa điểm C ( C thuộc CE) + Tọa độ hóa điểm M ( M thuộc BM) + Sử dụng giả thiết M trung điểm AC tìm tọa độ điểm C + Tìm điểmi A1 điểm đối xứng A qua CE +BC qua A1; C Ví dụ 1: Cho tam giác ABCcó C(2;0), đường trung tuyến đường phân giác xuất phát từ đỉnh A là: 24 x + 25y − 27 = 0; x − y + = Tìm tọa độ điểm A, B Dạng 9: Một số toán liên quan đến trọng tâm G,trực tâm H tâm đường tròn ngoại tiếp I tam giác Để giải tập cần nhớ hệ thức trung điểm trọng tâm ta có uuur uuu r + AH = IM ( với M trung điểm BC) uur uur + IH = 3IG + d( A;BC ) = 3d( G;BC ) + Gọi H1; H2 ; H3 điểm đối xứng H qua cạnh AB, BC, CA chúng thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác Gv Trần Thị Bình - Trường THPT Xuân Hòa 23 "Phương trình đường thẳng mặt phẳng" 4 2 Ví dụ 1: Cho ∆ ABC có A(0;4), trọng tâm G  ; ÷, trực tâm H trùng với gốc tọa 3 3 độ Tìm tọa độ B, C biết xB < xC Ví dụ 2: Cho ∆ ABC có A ( 3; −7 ) , trực tâm H ( 3; −1) , tâm đường tròn ngoại tiếp I ( −2; ) Xác định tọa độ C biết xC >  −9  Ví dụ 3: Cho ∆ ABC có M  ; ÷là trung điểm cạnh AB, điểm H ( −2; ) , I ( −1;1) 2 chân đường cao đỉnh B tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Tìm tọa độ đỉnh C Ví dụ 4: Cho ∆ ABC biết đường cao AH: x − y − = , đường phân giác BD: x − y − = tìm tọa độ đỉnh biết M ( 0;2 ) ∈ AB AB=2BC VẤN ĐỀ 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN KẾT HỢP CÁC ĐƯỜNG KHÁC NHAU Bài 1: Cho ∆ ABC với A ( 2; −1) , B ( 1; −2 ) trọng tâm G nằm đường thẳng 27 x + y − = Tìm tọa độ C biết S∆ ABC = Đáp án: C ( 15; −9 ) hoacC ( −12;18) Bài 2: Cho ∆ ABC cân A(6;6), đương thẳng qua trung điểm AB, AC có phương trình x + y − = Tìm tọa độ B, C biết E ( 1; −3) nằm đường cao đỉnh C  B ( 0; −4 ) ; C ( −4; ) Đáp án:  B −6;2 ; C 2; −6 ) ( )  ( Bài Cho A ( −1;2 ) đường thẳng ( d ) : x − y + = Tìm d hai điểm B, C cho ∆ ABC vuông C AC = 3BC  −3   −13 16   −1  ; ÷hoac B  ; ÷ Đáp án: C  ; ÷va B   5  15 15   3 Bai 4: Cho tam giác ∆ ABC đường cao đỉnh A d : x + y + = đường phân giác góc B d ' : x − y = biết AB qua I ( 0; −1) CB = 2IB VIết phương trình đường thẳng AC Bài 5: Cho hình thang vuông ABCD vuông A, D, phương trình cạnh AD: x + y + = , điểm M ( 2;5) trung điểm BC CD = BC = AB Tìm tọa độ đỉnh hình thang biết A có y A > Bài 6: Cho A ( 2;1) lấy B thuộc ox có hoành độ không âm C ∈ oy có tung độ không âm cho ∆ ABC vuông A Tìm B, C cho ∆ ABC có diện tích lớn Bài 7: Cho đường thẳng d : x − 3y − = hai điểm A 1; ; B ∉ d Lập phương trình đường thẳng AB biết khoảng cách từ B đến giao điểm Ab đường thẳng d lần khoảng cách từ B đến đường thẳng d Bài 8: Cho ∆ ABC có diện tích 2, đường thẳng AB có phương trình: x − y = Điểm I(2;1) trung điểm BC TÌm tọa độ trung điểm M AC Bài 9: Cho ∆ ABC có A ( 4; −1) đường cao BH:2x-3y+12=0, trrung tuyến BM: 2x+3y=0 TÌm tọa độ B, C ( Gv Trần Thị Bình - Trường THPT Xuân Hòa ) 24 "Phương trình đường thẳng mặt phẳng" ∆ ABC đường cao AH, trung tuyến CM phân giác BD Biết Bài 10: Cho  17  H ( −4;1) , M  ;12 ÷, phương trình BD : x + y − = Tìm tọa độ điểm A   Bài 11: Cho ∆ ABC cân A B ∈ d : x − y − = , cạnh AC song song với d Đường cao đỉnh A có phương trình: x + y + = , điểm M ( 1;1) ∈ AB Tìm tọa độ đỉnh ∆ ABC Bài 12: Cho ∆ ABC có cân A có chu vi 16, biết A, B ∈ d : 2 x − y − 2 = B, C thuộc ox Xác định tọa độ trọng tâm tam giác Bài 13: Cho A ( 1; ) , B ( −2; ) , C ( −1; ) , D ( 3;5 ) đường thẳng d : x − y − = Tìm M thuộc d cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích Bài 14: Cho ∆ ABC với A ( 1;1) ,B ( −2;5) đỉnh C ∈ d : x − = trọng tâm G ∈ ∆ : x − 3y + = Bài 15: Cho ∆ ABC với A ( 2; −1) , B ( 1; −2 ) trọng tâm G ∈ d : x − y − = Tìm tọa độ 27 C biết S∆ ABC = Bài 16: Cho ∆ ABC có phương trình trung trực BC trung tuyến CM là: x + y − = 0,2 x − y + = ,tìm tọa độ đỉnh tam giác biết A(5;2) Bài 17: Viết phương trình cạnh ∆ ABC biết trực tâm H ( 1; ) , chân đường cao hạ tự B K ( 0;2 ) , trung điểm cạnh AB M ( 3;1) Bài 18: Cho ∆ ABC có đường phân giác góc A d1 : x − y + = , đường cao BK có phương trình d2 : x + 3y − = Tìm tọa độ đỉnh biết chân đường cao đỉnh C H(-1;-1) Bài 19: Cho ∆ ABC cân A, cạnh đáy BC : x − 5y + = , cạnh AB : 12 x − y − 23 = Viết phương trình cạnh AC biết qua I ( 3;1) Bài 20: Cho ∆ ABC có B ( 2; −1) đường cao AH phân giác CE là: x − y + 27 = 0, x + y − = Viết phương trình cạnh Bài 21: Cho hình chữ nhật ABCD có AB : x − y − = 0, BD : x − y + 14 = đường chéo AC qua M ( 2;1) Tìm tọa độ đỉnh Bài 22: Cho ∆ ABC biết A ( 1; −2 ) đuờng cao CH: x-y+1=0, phân giác BN: 2x+y+5=0 Tìm tọa độ B, C tính diện tích tam giác Bài 23: Cho ∆ ABC biết A(3;0), đường cao BH : x + y + = , trung tuyến CM : x − y − = Tính diện tích tam giác Bài 24: Cho ∆ ABC vuông cân A, cạnh huyền BC : x + 7y − 31 = , điểm N ( 7; ) ∈ AC , điểm M ( 2; −3) ∈ AB nằm đoạn AB Tìm đỉnh Bài 25: Cho hai điểm A ( 2;1) , B(−1; −3) hai đường thẳng d1 : x + y + = 0, d2 : x − 5y − 16 = Tìm C, D thuộc d1 , d2 cho ABCD hình bình hành  13 13  Bài 26: Cho ∆ ABC trực tâm H  ; ÷, phương trình cạnh AB, AC  5 là: y − = 0; x + y − = VIết phương trình cạnh BC Gv Trần Thị Bình - Trường THPT Xuân Hòa 25 "Phương trình đường thẳng mặt phẳng" Bài 27: Cho ∆ ABC với A ( 1;1) , B ( −2;5) , C ∈ x − = , trọng tâm G ∈ x − 3y + = Tìm tọa độ đỉnh C Bài 28: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d1 : x + y − = 0; d : x − y + = 0; d3: x − y − = Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD biết A, C ∈ d1 , B ∈ d , D ∈ d3 Bài 29: : Cho tam giác ABC vuông cân A Biết cạnh huyền thuộc đường  5 thẳng d : x + y − 31 = , điểm N 1; ÷thuộc AC, M ( 2; −3) ∈ AB Xác định tọa độ  2 đỉnh tam giác B ài 30: Cho tam giác ABC cân A, H ( 2;1) trung điểm BC, AB = BC AC : x − y + = Tìm tọa độ A Bài 31: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(1;2) Gọi H trực tâm tam giác ABC Biết đường tròn qua ba trung điểm ba đoạn thẳng HA, HB, HC có phương trình là: x + y2 − 2x + 4y + = Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 32: (Đề thi HSG 10 Vinh phúc) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I Các đường thẳng AI, BI, CI cắt đường tròn ngoại    13  tiếp tam giác ABC điểm M ( 1; −5 ) , N  ; ÷, P  − ; ÷ (M, N, P không 2 2  2 trùng với đỉnh tam giác ABC) Tìm tọa độ đỉnh A, B, C biết đường thẳng AB qua điểm Q ( −1; 1) điểm A có hoành độ dương Đáp án: Kẻ đường kính AD, tứ giác BHCD hình bình hành nên trung điểm K BC trung điểm HD, tam giác AHD có OK đường trung uuur uuur uuu r uuur uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur bình nên 2OK = AH ⇔ OB + OC = OH − OA ⇔ OA + OB + OC = OH uuur uuur uuur uuuu r Ta có OB + OC = 2OK = OM đẳng thức tương tự ta được: uuuu r uuur uuur uuu r uuu r uuur uuur ( ) OM + ON + OP = OA + OB + OC = 2OH uuu r uuur ⇒ 3OL = 2OH suy O, H, L thẳng hàng Gv Trần Thị Bình - Trường THPT Xuân Hòa 26 "Phương trình đường thẳng mặt phẳng" Bài: 33: (Đề thi thử chuyên LHP) 7ª Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác có đỉnh A(5; –3), trọng tâm G(3; 1), đỉnh B thuộc đường thẳng (∆): 2x + y – = Tìm tọa độ đỉnh B C biết BC = 2 B có tọa độ nguyên 7b: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3; 4), B(1; 2), đỉnh C thuộc đường thẳng (d): x + 2y + = 0, trọng tâm G Biết diện tích tam giác GAB đơn vị diện tích, tìm tọa độ đỉnh C Gv Trần Thị Bình - Trường THPT Xuân Hòa 27 "Phương trình đường thẳng mặt phẳng" Phần thứ ba : KẾT LUẬN Đứng trước yêu cầu em học sinh cần có phương pháp cho số toán tổng quát giải tam giác mặt phẳng yêu cầu cao có phương pháp giải tối ưu để có lời giải gọn gàng tường minh nhất, đề tài “Phương trình đường thẳng mặt phẳng” đời đáp ứng yêu cầu Đề tài đời kết trình nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo phương pháp tọa độ mặt phẳng nói chung mảng kiến thức nhỏ phương trình đường thẳng nói riêng Đó động viên, góp ý bạn đồng nghiệp tổ Toán- Trường THPT Xuân Hòa – Thị xã Phúc Yên- Tỉnh Vĩnh Phúc Hy vọng đề tài đời giúp em học sinh bạn đồng nghiệp có nhìn toàn diện toán liên quan đến tam giác mặt phẳng, là: xác định tọa độ đỉnh, trung điểm, trọng tâm, trực tâm, chân đường cao, chân đường phân giác, xác định phương trình cạnh, đường cao, đường trung tuyến, trung trực, phân giác, Trong đề tài trình bày số toán tổng quát, có số toán xuất kỳ thi hết cấp tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng Mặc dù có đầu tư thời gian công sức thân đề tài, song phần trình bày lượng không nhỏ kiến thức liên quan, lượng tương đối lớn dạng tập khác dạng tổng quát nên phần thiếu sót xẩy Tôi mong nhận góp ý bảo chân thành từ quý thầy cô bạn đồng nghiệp Xuân Hòa ngày 30 tháng 03 năm 2015 Người viết Trần Thị Bình Gv Trần Thị Bình - Trường THPT Xuân Hòa 28 "Phương trình đường thẳng mặt phẳng" TÀI LIỆU THAM KHẢO 1/ Sách giáo khoa Hình học 10 NC – NXB Giáo Dục 2/ Sách giáo khoa Hình học 10 - NXB Giáo Dục 3/ Báo toán học tuổi trẻ 4/ Phân dạng phương pháp giải Hình Học 10 – Trần Đình Thì 5/ Bồi Dưỡng Toán Hình Học 10 – Trần Bá Hà, Nguyễn Sinh Nguyên 6/ Các giảng luyện thi môn Toán tập - Phan Đức Chính - NXB Giáo dục 7/ Toán ôn thi Đại học - Doãn Minh Cường - NXB Đại học Sư phạm 8/ Đề thi tuyển sinh Đại học - Cao đẳng Gv Trần Thị Bình - Trường THPT Xuân Hòa 29 [...]... Hướng dẫn Cách 1: Tìm tọa độ chân đường phân giác trong của góc A rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm Cách 2: - Viết phương trình đường thẳng AB, AC - Viết phương trình đường phân giác của góc giữa hai đường thẳng AB, AC Gv Trần Thị Bình - Trường THPT Xuân Hòa 17 "Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng" - Xác định đường phân giác trong của góc giữa hai đường thẳng AB, AC BÀI TẬP TỰ LUYỆN... hai đường thẳng Cách 2: - Kẻ MN song song với BC Gv Trần Thị Bình - Trường THPT Xuân Hòa 14 "Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng" - Viết phương trình đường thẳng MN Tìm tọa độ điểm N Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng MN Tìm tọa độ điểm A Viết phương trình đường thẳng AC( đi qua A và M) Giải Cách 1: r Đường thẳng AC đi qua M và có véc tơ pháp tuyến n = (a; b) , ( a 2 + b 2 ≠ 0 ) Phương. .. công thức phương trình đường thẳng qua một điểm và có hệ số góc k Bài toán 4: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM VÀ SONG SONG HOẶC VUÔNG GÓC VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC Phương pháp giải: - Xác định một điểm thuộc đường thẳng -Xác định véc tơ pháp tuyến hoặc véc tơ chỉ phương của đường thẳng - Viết phương trình đường thẳng Bài tập 1 Cho tam giác ABC có A(3;-4) và phương trình hai đường cao... đó viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với đường thẳng có phương trình cho trước 1 2 3 1 tập 2 Cho tam giác ABC có H Bài tập 3 Cho đường thẳng d có phương trình x-y-1=0 từ điểm A(0;2) người ta dựng đường thẳng ∆ ⊥ d Viết phương trình đường thẳng ∆ Tính chu vi tam giác giới hạn bởi d , ∆ và Oy Viết phương trình các đường trung tuyến của tam giác trên Hướng dẫn: Áp dụng phương. .. 12 "Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng" 2 Tính chu vi tam giác 3 Viết phương trình đường cao của tam giác đi qua giao điểm của ∆1; ∆ 2 4 Viết phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của ∆1;Ox biết d song song với đường thẳng có phương trình 4x - 3y + 5=0  x = 2 − 3t  x = −1 − 2t ' d':  Bài 5 Cho hai đường thẳng d :   y = 1+ t y = 3−t ' 1 Tìm tọa độ giao điểm M của d và d’ 2 Viết phương. .. −1;3) , đường phân giác trong CK có phương trình: x + 3y + 2 = 0 , đường cao BH có phương trình: x − y = 0 Viết phương trình cạnh AB Ví dụ 2: Cho ∆ ABC điểm B ( −3; −4 ) , đường phân giác trong của góc A là: y-6=0, đường cao AH có phương trình: 2 x + y − 10 = 0 , TÌm tọa độ điểm A, C Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có C(4;-1), phương trình đường cao BH:x-2y-6=0, đường phân... Viết phương trình các cạnh của hình vuông Bài 6 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(1;1) và giao điểm của hai đường thẳng ∆1 : 3x − 4 y − 2 = 0; ∆ 2 : 2 x + 3 y + 4 = 0 Bài 7 Cho tam giác ABC có A(1;-1); B(-2;1); C(3;5) 1 Viết phương trình đường trung tuyến BI 2 Lập phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với BI Bài toán 3: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM VÀ CÓ HỆ SỐ GÓC Phương. .. H của điểm O trên đường thẳng d Viết phương trình đường thẳng (d’) đối xứng với (d) qua O Bài 4: Cho điểm M(-5;13) và đường thẳng ∆ : 2 x − 3 y + 3 = 0 Tìm điểm đối xứng của điểm M qua đường thẳng ∆ Viết phương trình đường thẳng đi qua M và song song với ∆ VẤN ĐỀ 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ GIẢI TAM GIÁC TRONG MẶT PHẲNG Đó là các bài toán xác định toạ độ các đỉnh hoặc phương trình các cạnh của... tìm các yếu tố chưa biết - Kết luận về phương trình đường thẳng cần tìm Gv Trần Thị Bình - Trường THPT Xuân Hòa 15 "Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng" Bài 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(8;6) và tạo với trục Ox, Oy một tam giác có diện tích bằng 12 Giải Gọi ∆ là đường thẳng cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A(a; 0), B(0; b) (a, b ≠ 0): x y Phương trình của ∆ có dạng : + = 1 a8 b6 8a... dường thẳng Gv Trần Thị Bình - Trường THPT Xuân Hòa 13 "Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng" Để xác định góc giữa hai đường thẳng cần xác định véc tơ pháp tuyến hoặc VTCP của hai đường thẳng Giải | 3.1 + 2.(−1) | 1 = 1 cos(∆1 , ∆ 2 ) = 9 + 4 1 + 1 26 Vậy góc giữa hai đường thẳng ∆1; ∆ 2 là 780 41' ur ∆1 có véc tơ pháp tuyến là n1 = (1; −2) nên có véc tơ chỉ phương 2 Đường thẳng ur u1 = (2;1) uu r Đường ... TOẠ ĐỘ ĐỘ TRONG TRONG MẶT MẶT PHẲNG PHẲNG PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH TRÌNH ĐƯỜNG ĐƯỜNG THẲNG THẲNG PHƯƠNG A Lý Lý thuyết thuyết A Vectơ phương đường thẳng r r Vectơ u ≠ gọi vectơ phương đường thẳng ∆... đường thẳng phương trình tắc Phương trình tổng quát đường thẳng Gv Trần Thị Bình - Trường THPT Xuân Hòa "Phương trình đường thẳng mặt phẳng" Phương trình ax + by + c = với a2 + b2 ≠ gọi phương trình. .. cận với kiến thức: Phương pháp tọa độ mặt phẳng Với “ Phương pháp tọa độ mặt phẳng ” em trang bị số kiến thức phương trình đường thẳng , phương trình đường tròn, phương trình đường E líp… Nếu