Đang tải... (xem toàn văn)
Định nghĩa: Cho A là ma trận cấp mxn khác không. Hạng của ma trận A là số tự nhiên r, thỏa mãn các điều kiện sau:Tồn tại ít nhất một định thức con cấp r của ma trận A khác 0.Mọi định thức con cấp lớn hơn r (nếu có) của ma trận A đều bằng 0.Nói cách khác hạng của ma trận chính là cấp cao nhất của các định thức con khác không của ma trận A. Hạng của ma trận A, ký hiệu là r(A) và rank(A).Quy ước: Hạng của ma trận 0 bằng 0.2. Ví dụ: Tìm hạng của ma trận A sau: Ma trận A có duy nhất một định thức cấp 4 và nó bằng 0. Tồn tại một định thức con cấp 3 của A là . Vậy rank(A)=3
BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THỰC PHẨM TP.HCM _HCM, Tháng 2/2014_ Naêm hoïc 2011 - 2012 Đại Học Công Nghiệp Thực Phẩm HCM Hệ Thống Bài Tập Hạng Ma Trận Lớp 04DHQT3 Hạng ma trận, cách tính hạng ma trận Định nghĩa: Cho A ma trận cấp mxn khác không Hạng ma trận A số tự nhiên ≤ r ≤ min{m, n} r, thỏa mãn điều kiện sau: Tồn định thức cấp r ma trận A khác Mọi định thức cấp lớn r (nếu có) ma trận A A≠0 Nói cách khác hạng ma trận cấp cao định thức khác không ma trận A Hạng ma trận A, ký hiệu r(A) rank(A) Quy ước: Hạng ma trận Ví dụ: Tìm hạng ma trận A sau: A= 2 0 0 Ma trận A có định thức cấp Tồn định thức cấp A 3 = −20 ≠ 0 Vậy rank(A)=3 Các tính chất: 3.1 Tính chất 1: Hạng ma trận không đổi qua phép biến đổi sau: rank ( A) = rank ( AT ) Phép chuyển vị ma trận Tức Các phép biến đổi sơ cấp dòng cột Bỏ dòng cột gồm toàn số Bỏ dòng cột tổ hợp tuyến tính dòng hay cột khác 3.2 Tính chất 2: Nếu A ma trận vuông cấp n thì: rank ( A) = n ⇔ det A ≠ rank ( A) < n ⇔ det A = Nếu xảy trường hợp đầu ta nói ma trận vuông A không suy biến Toán cao cấp C2 Trang Đại Học Công Nghiệp Thực Phẩm HCM Hệ Thống Bài Tập Hạng Ma Trận Lớp 04DHQT3 Nếu xảy trường hợp hai ta nói ma trận vuông A suy biến 3.3 Tính chất 3: rank ( A + B ) ≤ rankA + rankB Nếu A, B ma trận cấp rank ( AB ) ≤ min{rankA, rankB} Cho A, B ma trận cho tồn tích AB Khi đó, Nếu A tương đương dòng (cột) với B rank (A ) = rank (B ) Cách tính hạng ma trận: 4.1 Tìm hạng ma trận phương pháp định thức Từ định nghĩa hạng ma trận ta suy thuật toán sau để tính hạng ma ( A ≠ 0) trận A cấp mxn Bước 1: Tìm định thức cấp k khác Số k lớn tốt Giả sử định thức cấp k Dk khác không Bước 2: Dk Xét tất định thức cấp k+1 A chứa định thức Xảy khả sau: Không có định thức cấp k+1 A Khả xảy k =min{m, n} Khi rankA = k Thuật toán kết thúc Dk Tất định thức cấp k+ chứa định thức thuật toán kết thúc Khi rankA = k Dk +1 Nếu tồn ,một định thức cấp k+1 A Dk +1 Ví dụ: Tính hạng ma trận sau: 3 1 4 2 1 Giải: Toán cao cấp C2 chứa định thức khác Dk Khi ta lập lại bước với thay cho vị trí trường hợp thuật toán kết thúc 1 −1 A= 1 2 Dk Trang Tiếp tục đến xảy Đại Học Công Nghiệp Thực Phẩm HCM Hệ Thống Bài Tập Hạng Ma Trận Xét ma trận tạo hai dòng đầu Lớp 04DHQT3 2 A= −1 có định thức detA = 1 B = −1 1 Ta xét tiếp ma trận tạo cột 1, 2, dòng 1, 2, ta có ma trận chứa ma trận A có detB = Tiếp tục xét ma trận cấp chứa ma trận B có hai ma trận B1 B2 1 −1 B1 = 1 2 3 1 2 0 1 −1 B2 = 1 2 1 4 2 1 Vậy detB1 detB2 Cả hai định thức Do rankA = 3.■ Nhận xét: Việc tính hạng ma trận sử dụng định thức phức tạp nên thực tế ta thường sử dụng phương pháp này, mà người ta thường sử dụng phương pháp tìm hạng ma trận cách sử dụng phép biến đổi tương đương ma trận 4.2 Tìm hạng ma trận cách sử dụng phép biến đổi sơ cấp (PP Gauss) 4.2.1 Nhận xét: Ma trận A cấp mxn khác không gọi ma trận bậc thang tồn ≤ r ≤ min{m, n} số tự nhiên r thỏa thỏa điều kiện sau: (1) r dòng đầu khác Các dòng thứ r +1 trở (nếu có) (2) Xét dòng thứ k với 1≤ k ≤ r akik Nếu phần tử bên trái (tính từ trái sang phải) khác không dòng k ta phải có i1 < i2 < < ir akik Các phần tử gọi phần tử đánh dấu ma trận A Các cột chứa {i1 , i2 , , ir } phần tử đánh dấu gọi cột đánh dấu ma trận A Điều kiện (2) phát biểu lại: Nếu từ xuống phần tử đánh dấu phải lùi dần bên phải Do đó, ma trận bậc thang có dạng sau: Toán cao cấp C2 Trang Đại Học Công Nghiệp Thực Phẩm HCM Hệ Thống Bài Tập Hạng Ma Trận Lớp 04DHQT3 0 a1i1 0 0 a2i2 A = arir 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4.2.2 Nhận xét: Nếu A ma trận bậc thang số r dòng khác định nghĩa rankA Hay rankA = r Dr Thật có định thức cấp r A khác định thức tạo r dòng {i1 , i2 , , ir } đầu r cột đánh dấu cột Ngoài ra, định thức cấp r +1 A tạo r + dòng nên có dòng không Do đó, chúng 4.2.3 Ví dụ: Các ma trận bậc thang 1 0 A= 0 0 3 0 1 0 B = 0 0 1 0 0 8 1 0 0 −3 0 0 Khi rankA = (bằng số dòng khác A) 0 0 0 6 7 Khi rank B = (Bằng số dòng khác B) 4.2.4 Nhắc lại phép biến đổi sơ cấp ma trận Ba phép biến đổi sau gọi phép biến đổi sơ cấp dòng ma trận: Đổi chổ hai dòng cho nhau; Nhân dòng cho số khác 0; Nhân dòng cho số cộng vào dòng khác Nếu thay từ dòng từ cột, ta có phép biến đổi sơ cấp cột Toán cao cấp C2 Trang Đại Học Công Nghiệp Thực Phẩm HCM Hệ Thống Bài Tập Hạng Ma Trận Lớp 04DHQT3 4.2 Tìm hạng ma trận phương pháp sử dụng phép biến đổi sơ cấp Nội dung phương pháp dựa nhận xét sau: Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng ma trận; Một ma trận khác ma trận đưa dạng ma trận bậc thang sau số hữu hạn phép biến đổi sơ cấp dòng Vậy muốn tìm hạng ma trận A, ta lung phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận A dạng bậc thang, từ suy hạng ma trận A hạng ma trận bậc thang lung số dòng khác Tìm điều kiện m để hạng ma trận sau 1 A = m 12 Giải Nhận thấy ma trận A có hai dòng tỉ lệ với nhau, để ma trận có hạng m = rank ( A) = rank ( AT ) Nhận xét: Do nên ta thay phép biến đổi dòng phép biến đổi cột để đưa ma trận A dạng bậc thang từ suy hạng ma trận A Toán cao cấp C2 Trang Đại Học Công Nghiệp Thực Phẩm HCM Hệ Thống Bài Tập Hạng Ma Trận Lớp 04DHQT3 Dạng 1: Tính hạng ma trận dựa phép biến đổi sơ cấp Nhận xét: Ma trận A cấp mxn khác không gọi ma trận bậc thang tồn ≤ r ≤ min{m, n} số tự nhiên r thỏa thỏa điều kiện sau: (1) r dòng đầu khác Các dòng thứ r +1 trở (nếu có) (2) Xét dòng thứ k với 1≤ k ≤ r akik Nếu phần tử bên trái (tính từ trái sang i1 < i2 < < ir phải) khác không dòng k ta phải có akik Các phần tử gọi phần tử đánh dấu ma trận A Các cột chứa {i1 , i2 , , ir } phần tử đánh dấu gọi cột đánh dấu ma trận A Điều kiện (2) phát biểu lại: Nếu từ xuống phần tử đánh dấu phải lùi dần bên phải Do đó, ma trận bậc thang có dạng sau: 0 a1i1 0 0 a2i2 A = arir 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4.2.2 Nhận xét: Nếu A ma trận bậc thang số r dòng khác định nghĩa rankA Hay rankA = r Dr Thật có định thức cấp r A khác định thức tạo r dòng {i1 , i2 , , ir } đầu r cột đánh dấu cột Ngoài ra, định thức cấp r +1 A tạo r + dòng nên có dòng không Do đó, chúng 4.2.3 Ví dụ: Các ma trận bậc thang Toán cao cấp C2 Trang Đại Học Công Nghiệp Thực Phẩm HCM Hệ Thống Bài Tập Hạng Ma Trận 1 0 A= 0 0 3 0 1 0 B = 0 0 1 0 0 8 1 0 0 −3 0 0 Lớp 04DHQT3 Khi rankA = (bằng số dòng khác A) 0 0 0 6 7 Khi rank B = (Bằng số dòng khác B) Bài 1: Tính hạng ma trận: a) b) c) A= d) D= e) E= B= C= f) F= Bài Giải: a) A= = A’ Ma trận bậc thang A’ có bốn dòng khác nên rank (A) =4 b) B = = B’ Toán cao cấp C2 Trang Đại Học Công Nghiệp Thực Phẩm HCM Hệ Thống Bài Tập Hạng Ma Trận Lớp 04DHQT3 Ma trận bậc thang B’ có hai dòng khác nên rank (B) = c) C = = C’ Ma trận bậc thang C’ có hai dòng khác nên rank C = d) D = = D’ Ma trận bậc thang D’ có bốn dòng khác nên rank (D) =4 e) E = = E’ g) Ma trận bậc thang E’ có bốn dòng khác nên rankE=4 F = F’ Ma trận bậc thang F’ có bốn dòng khác nên rank (F) =4 Toán cao cấp C2 Trang Đại Học Công Nghiệp Thực Phẩm HCM Hệ Thống Bài Tập Hạng Ma Trận Lớp 04DHQT3 Bài 2: Tính hạng ma trận: a) b) c) A= h) i) B= j) k) C= l) m) n) e) o) p) q) r) s) d) Toán cao cấp C2 Trang 10 t) Giải: A= v) w) x) y) z) u) aa) ab) Ma trận bậc thang A’ có bốn dòng khác nên rank (A) =4 ac) B= ad) ae) af) ag) ah) Ma trận bậc thang B’ có ba dòng khác nên rank (B) = ai) C= ak) aj) al) am) Ma trận bậc thang C’ có hai dòng khác nên rank € = an) ao) D= ap) aq) Ma trận bậc thang D’ có hai dòng khác nên rank (D) = ar) as) E= at) au) av) aw) ax) ay) az) ba) bb) bc) bd) be) bf) Ma trận bậc thang A’ có ba dòng khác nên rank € = cd) ce) + Phương pháp: cf) Dùng phép biến đổi sơ cấp, để đưa ma trận dạng bậc thang cg) + Nhắc lại phép biến đổi sơ cấp ma trận ch) Ba phép biến đổi sau gọi phép biến đổi sơ cấp dòng ma trận: ci) Đổi chổ hai dòng cho nhau; cj) ● Nhân dòng cho số khác 0; ck) ● Nhân dòng cho số cộng vào dòng khác ● Nếu thay từ dòng từ cột, ta có phép biến đổi sơ cấp cột cm) cn) Bài tập: co) cp) Bài 1: Tìm m để hạng A 3: A = cq) cr) Giải: cs) ct) A = cu) r(A) = 22 -2m ≠ m ≠ cv) cw) Bài 2: Tìm hạng B = tùy theo m cl) bg) bh) bi) bj) bk) bl) bm) bn) bo) bp) bq) br) bs) bt) bu) bv) bw) bx) by) bz) ca) cb) cc) Dạng 2: Biện luận theo tham số m hạng ma trận cx) cy) Giải: cz) B= db) dc) Biện Luận: r(B) = -2m =0 m =2 r(B) = -2m ≠ m ≠ dd) de) Bài 3: Biện luận theo tham số m hạng ma trận A = df) dg) Giải: dh) di) A = dj) dk) dl) dm) Vậy r(A) = dn) do) Bài 4: Biện luận theo tham số m hạng ma trận B = dp) dq) Giải: dr) ds) B = dt) du) dv) dw) dx) Vậy: Nếu m ≠ r(A) = Nếu m = r(A) = dy) dz) ea) Bài 5: Biện luận theo tham số m hạng ma trận A = eb) ec) Giải: ed) ee) A= ef) eg) eh) ei) r(A) =3 ej) ek) el) Bài 6: Cho ma trận A = Tìm giá m để hạng ma trận nhỏ em) en) Giải: da) eo) ep) A= eq) er) Ta có : Nếu m ≠ r(A) = Nếu m = => r(A) = es) Vậy để r(A) nhỏ m= et) eu) Bài 7: Biện luận theo tham số m hạng ma trận A = ev) ew) Giải: ex) ey) A = ez) fa) fb) fc) m - =0 m =5 m–5≠0m≠5 fd) fe) Bài 8: Biện luận theo tham số m hạng ma trận B = ff) Giải: fg) fh) B= fj) fk) fl) Nếu => fm) Nếu ≠ fn) fo) Bài 9: Tìm điều kiện m để ma trận A= có hạng fi) fp) Giải: fq) Theo suy luận: fr) Ma trận có hạng có dòng khác sau thực phép biến đổi sơ cấp dòng Suy hai dòng lại ma trận phải tỉ lệ với dòng thứ suy m = fs) ft) Theo toán học: fu) fv) A= fw) Để hạng ma trận r(A) = –m = m = Vậy với m=0 ma trận A có hặng fy) fz) Bài 10: Biện luận theo tham số m hạng ma trận B = fx) Giải: ga) gb) B= gc) gd) ge) gf) gg) gh) Biện luận: gi) Nếu m = r(A) = Nếu m + 80 = m = -80 r(A) = gj) gk) gl) Bài 11: Biện luận theo tham số m hạng ma trận E = gm) gn) Giải: go) gp) Với E = gq) DetE = -m + m + m -1 gr) Biện luận: Nếu detE r(E) =3 Nếu detE = gs) Với m =1, E trở thành: gt) gu) E= gv) gw) Hạng ma trận r(E) =3 gx) Với m = -1, E trở thành: gy) gz) E= ha) hb) Hạng ma trận r(E) = hc) hd) Bài 12: Biện luận theo tham số m hạng ma trận F = he) hf) Giải: hg) hh) F = hi) hj) hk) hl) Biện luận: hm) Nếu r(F) = m – =0 => m = Nếu r(F) = m – => m hn) ho) Bài 13: Biện luận theo tham số m hạng ma trận A = hp) hq) Giải: hr) hs) A = ht) hu) Biện luận: Nếu r(A) = hv) Nếu r(A) = hw) hx) Bài 14: Với giá trị m ma trận A = có hạng nhỏ hy) hz) Giải: ia) ib) A= ic) id) ie) if) ig) Để ma trận A có hạng nhỏ nhất, tương đương với: r(A)min = m + 38 =0 m = -38 ih) ii) Bài 15: Với giá trị m ma trận C = có hạng nhỏ ij) ik) Giải: il) im) C= in) io) Vậy r(A)min = m =15 ip) iq) Bài 16: Biện luận theo tham số m hạng ma trận A= ir) is) Giải: it) iu) A= iv) iw) ix) iy) iz) ja) Vậy: jb) Khi m+ = m = -6 r(A) = Khi m+ ≠ m ≠ -6 r(A) ≠ jc) Bài 17: Biện luận theo tham số m hạng ma trận A= jd) je) Giải: jf) jg) A= jh) ji) jj) jk) jl) jm) jn) Vậy : Nếu m = r(A) = Nếu m ≠ r(A) = jo) jp) jq) jr) js) jt) Dạng 3: Biện luận, tìm hạng ma trận vuông cấp n ju) jv) Bài 18: Biện luận theo tham số a hạng ma trận B = jw) jx) Giải: jy) B= ka) kb) = B’ kc) kd) Nếu a (1 - n), a C ma trận bậc thang Khi đó, rankB = rankB’ =n ke) Nếu a =1 ma trận bậc thang Khi rankB = rankB’ =1 Nếu a =1 –n thì, đó: kf) kg) B’ = Khi C ma trận bậc thang có định thức cấp n - kh) n-1 ki) khác 0, định thức = (-n) detB’ = kj) kk) Do đó, rankB = rank B’ = n -1 kl) km) Bài 19:Biện luận theo tham số m hạng ma trận C = kn) ko) Giải: kp) kq) C= jz) kr) ks) kt) ku) Nếu a ≠ Khi đó: + na ≠ r(A) = n kv) A = Khi đó: = na = r(A) = n - kw) kx) Vì có định thức cấp n -1 gồm n -1 dòng cuối, cột cuối ky) kz) Dn-1 = ≠ la) lb) Định thức cấp n lc) ld) Bài 20: Tìm hạng ma trận ( n ≥ 2) A = le) lf) Giải: lg) Nếu x ≠ lh) A = li) lj) lk) Vậy r(A) = n Nếu x =0 => A = lm) Vậy: r(A) = n x ≠ r(A) = x = ll) ln) lo) Bài 21: Tìm biện luận hạng ma trận theo tham số m,n: A = (m,n thuộc R) lp) lq) Giải: lr) Trường hợp 1: m = n = => r (A) = Trường hợp : n= 0, m ≠ => A trở thành: A’ = ls) lt) A ma trận bậc thang có hàng khác nên hạng ma trận r(A) = + Nếu n khác M=0 : Ma trận trở thành : lu) A’ = lv) lw) Đổi hàng xuống cuối, ma trận trở thành : Tương tự hạng ma trận + Nếu n khác m khác : Dùng phép biến đổi sơ cấp đưa dạng bậc thang ta ma trận cuối dạng bậc thang : lx) ly) Vì n m khác nên số hạng , , khác không nên hạng ma trận Kết luận : lz) Hạng ma trận n m đồng thời Hạng ma trận trường hợp lại ma) mb) Bài 22: Tìm hạng ma trận vuông cấp n: A = mc) md) Giải: me) mf) A = mg) mh) mi) Nếu a ≠ ( - n)b, a ≠ b rankA = n Nếu a = b ≠ rank A =1 mj) a = b = rank A =0 Nếu a = ( n-1)b =0 rankA = n -1 mk) ml) Vì có định thức cấp n – 1( bỏ dòng đầu, cột đầu) mm) mn) mo) Định thức cấp n mp) [...]... hạng của ma trận này r(A) = 4 + Nếu n khác 0 M=0 : Ma trận trở thành : lu) A’ = lv) lw) Đổi hàng 1 xuống cuối, ma trận trở thành : Tương tự như trên hạng của ma trận này là 4 + Nếu n khác 0 và m khác 0 : Dùng các phép biến đổi sơ cấp đưa về dạng bậc thang ta được ma trận cuối dạng bậc thang : lx) ly) Vì n và m khác 0 nên các số hạng , , khác không nên hạng của ma trận này là 4 Kết luận : lz) Hạng. .. fn) fo) Bài 9: Tìm điều kiện của m để ma trận A= có hạng bằng 1 fi) fp) Giải: fq) Theo suy luận: fr) Ma trận trên có hạng bằng 1 khi có duy nhất một dòng khác 0 sau khi thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Suy ra hai dòng còn lại của ma trận phải tỉ lệ với dòng thứ 1 suy ra m = 0 fs) ft) Theo toán học: fu) fv) A= fw) Để hạng ma trận r(A) = 1 thì –m = 0 m = 0 Vậy với m=0 thì ma trận A có... = 4 hw) hx) Bài 14: Với giá trị nào của m thì ma trận A = có hạng nhỏ nhất hy) hz) Giải: ia) ib) A= ic) id) ie) if) ig) Để ma trận A có hạng nhỏ nhất, tương đương với: r(A)min = 2 m + 38 =0 m = -38 ih) ii) Bài 15: Với giá trị nào của m thì ma trận C = có hạng nhỏ nhất ij) ik) Giải: il) im) C= in) io) Vậy r(A)min = 1 m =15 ip) iq) Bài 16: Biện luận theo tham số m hạng của ma trận A= ir) is)... hạng của ma trận A = df) dg) Giải: dh) di) A = dj) dk) dl) dm) Vậy r(A) = 3 dn) do) Bài 4: Biện luận theo tham số m hạng của ma trận B = dp) dq) Giải: dr) ds) B = dt) du) dv) dw) dx) Vậy: Nếu m ≠ 1 thì r(A) = 4 Nếu m = 1 thì r(A) = 3 dy) dz) ea) Bài 5: Biện luận theo tham số m hạng của ma trận A = eb) ec) Giải: ed) ee) A= ef) eg) eh) ei) r(A) =3 ej) ek) el) Bài 6: Cho ma trận A = Tìm giá của m để hạng. .. E trở thành: gt) gu) E= gv) gw) Hạng ma trận r(E) =3 gx) Với m = -1, E trở thành: gy) gz) E= ha) hb) Hạng ma trận r(E) = 2 hc) hd) Bài 12: Biện luận theo tham số m hạng của ma trận F = he) hf) Giải: hg) hh) F = hi) hj) hk) hl) Biện luận: hm) Nếu r(F) = 2 m – 3 =0 => m = 3 Nếu r(F) = 3 m – 3 0 => m 3 hn) ho) Bài 13: Biện luận theo tham số m hạng của ma trận A = hp) hq) Giải: hr) hs) A =... thì r(A) ≠ 3 jc) Bài 17: Biện luận theo tham số m hạng của ma trận A= jd) je) Giải: jf) jg) A= jh) ji) jj) jk) jl) jm) jn) Vậy : Nếu m = 0 thì r(A) = 2 Nếu m ≠ 0 thì r(A) = 3 jo) jp) jq) jr) js) jt) Dạng 3: Biện luận, tìm hạng của ma trận vuông cấp n ju) jv) Bài 18: Biện luận theo tham số a hạng của ma trận B = jw) jx) Giải: jy) B= ka) kb) = B’ kc) kd) Nếu a (1 - n), a C là ma trận bậc thang Khi... = Tìm giá của m để hạng của ma trận là nhỏ nhất em) en) Giải: da) eo) ep) A= eq) er) Ta có : Nếu m ≠ 7 thì r(A) = 3 Nếu m = 7 => r(A) = 2 es) Vậy để r(A) nhỏ nhất thì m= 7 et) eu) Bài 7: Biện luận theo tham số m hạng của ma trận A = ev) ew) Giải: ex) ey) A = ez) fa) fb) fc) m - 5 =0 m =5 m–5≠0m≠5 fd) fe) Bài 8: Biện luận theo tham số m hạng của ma trận B = ff) Giải: fg) fh) B=... ld) Bài 20: Tìm hạng của ma trận ( n ≥ 2) A = le) lf) Giải: lg) Nếu x ≠ 0 lh) A = li) lj) lk) Vậy r(A) = n Nếu x =0 => A = lm) Vậy: r(A) = n nếu x ≠ 0 r(A) = 2 nếu x = 0 ll) ln) lo) Bài 21: Tìm và biện luận hạng của ma trận theo tham số m,n: A = (m,n thuộc R) lp) lq) Giải: lr) Trường hợp 1: nếu m = n = 0 => r (A) = 0 Trường hợp 2 : nếu n= 0, m ≠ 0 => A trở thành: A’ = ls) lt) A là ma trận. .. u) aa) ab) Ma trận bậc thang A’ có bốn dòng khác 0 nên rank (A) =4 ac) B= ad) ae) af) ag) ah) Ma trận bậc thang B’ có ba dòng khác 0 nên rank (B) = 3 ai) C= ak) aj) al) am) Ma trận bậc thang C’ có hai dòng khác 0 nên rank € = 2 an) ao) D= ap) aq) Ma trận bậc thang D’ có hai dòng khác 0 nên rank (D) = 2 ar) as) E= at) au) av) aw) ax) ay) az) ba) bb) bc) bd) be) bf) Ma trận bậc thang... cuối dạng bậc thang : lx) ly) Vì n và m khác 0 nên các số hạng , , khác không nên hạng của ma trận này là 4 Kết luận : lz) Hạng của ma trận bằng 0 khi n và m đồng thời là 0 Hạng của ma trận bằng 4 trong các trường hợp còn lại ma) mb) Bài 22: Tìm hạng của ma trận vuông cấp n: A = mc) md) Giải: me) mf) A = mg) mh) mi) Nếu a ≠ ( 1 - n)b, a ≠ b thì rankA = n Nếu a = b ≠ 0 thì rank A =1 mj) a = ... Học Công Nghiệp Thực Phẩm HCM Hệ Thống Bài Tập Hạng Ma Trận Lớp 04DHQT3 Hạng ma trận, cách tính hạng ma trận Định nghĩa: Cho A ma trận cấp mxn khác không Hạng ma trận A số tự nhiên ≤ r ≤ min{m,... đổi cột để đưa ma trận A dạng bậc thang từ suy hạng ma trận A Toán cao cấp C2 Trang Đại Học Công Nghiệp Thực Phẩm HCM Hệ Thống Bài Tập Hạng Ma Trận Lớp 04DHQT3 Dạng 1: Tính hạng ma trận dựa phép... cấp r ma trận A khác Mọi định thức cấp lớn r (nếu có) ma trận A A≠0 Nói cách khác hạng ma trận cấp cao định thức khác không ma trận A Hạng ma trận A, ký hiệu r(A) rank(A) Quy ước: Hạng ma trận