Nội dung chương Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Chương MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Lê Văn Luyện lvluyen@yahoo.com http://lvluyen.wordpress.com/dstt Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com / 84 Nội dung chương Nội dung Chương MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dịng Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com / 84 Ma trận Ma trận 1.1 Định nghĩa ký hiệu 1.2 Ma trận vuông 1.3 Các phép toán ma trận Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com / 84 Ma trận 1.1 Định nghĩa ký hiệu Định nghĩa Một ma trận cấp m × n R bảng chữ nhật gồm m dòng, n cột với mn hệ số R có dạng Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com / 84 Ma trận 1.1 Định nghĩa ký hiệu Định nghĩa Một ma trận cấp m × n R bảng chữ nhật gồm m dòng, n cột với mn hệ số R có dạng   a11 a12 a1n  a21 a22 a2n   A=   am1 am2 amn Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com / 84 Ma trận 1.1 Định nghĩa ký hiệu Định nghĩa Một ma trận cấp m × n R bảng chữ nhật gồm m dòng, n cột với mn hệ số R có dạng   a11 a12 a1n  a21 a22 a2n   A=   am1 am2 amn Viết tắt: A = (aij )m×n hay A = (aij ), aij ∈ R Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com / 84 Ma trận 1.1 Định nghĩa ký hiệu Định nghĩa Một ma trận cấp m × n R bảng chữ nhật gồm m dòng, n cột với mn hệ số R có dạng   a11 a12 a1n  a21 a22 a2n   A=   am1 am2 amn Viết tắt: A = (aij )m×n hay A = (aij ), aij ∈ R aij hay Aij phần tử vị trí dịng i cột j A Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com / 84 Ma trận 1.1 Định nghĩa ký hiệu Định nghĩa Một ma trận cấp m × n R bảng chữ nhật gồm m dòng, n cột với mn hệ số R có dạng   a11 a12 a1n  a21 a22 a2n   A=   am1 am2 amn Viết tắt: A = (aij )m×n hay A = (aij ), aij ∈ R aij hay Aij phần tử vị trí dịng i cột j A Ký hiệu Mm×n (R) tập hợp tất ma trận cấp m × n R Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com / 84 Ma trận 1.1 Định nghĩa ký hiệu Ví dụ A= Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com / 84 Ma trận 1.1 Định nghĩa ký hiệu Ví dụ A= Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) ∈ M2×3 (R); Chương Ma trận Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com / 84 Phương trình ma trận Ví dụ Giải phương trình X = −2 Giải Phương trình có dạng XA = B Ta có A khả nghịch, nên X = BA−1 = −2 Ví dụ Tìm ma trận X thỏa   1  2 X Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) −1 −5 = −19 11 −21 13   −2  = −1 Chương Ma trận Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 81 / 84 Phương trình ma trận Ví dụ Giải phương trình X = −2 Giải Phương trình có dạng XA = B Ta có A khả nghịch, nên X = BA−1 = −2 Ví dụ Tìm ma trận X thỏa   1  2 X −1 −5 = −19 11 −21 13   −2  = −1 Giải Phương trình có dạng AXB = C Ta có A, B khả nghịch, nên X = A−1 CB −1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 81 / 84 Phương trình ma trận X = A−1 CB −1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 82 / 84 Phương trình ma trận  X = A−1 CB −1   −1 −2 −1    =  −1 −1 −1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận Hệ PTTT −2 −4 lvluyen@yahoo.com 82 / 84 Phương trình ma trận  X = A−1 CB −1   −1 −2 −1    =  −1 −1 −1   −1 −5 −2   = −4 −1 −2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận Hệ PTTT −2 −4 lvluyen@yahoo.com 82 / 84 Phương trình ma trận  X = A−1 CB −1   −1 −2 −1    =  −1 −1 −1   −1 −5 −2   = −4 −1 −2   17 −13  =  −11 −4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận Hệ PTTT −2 −4 lvluyen@yahoo.com 82 / 84 Phương trình ma trận  X = A−1 CB −1   −1 −2 −1    =  −1 −1 −1   −1 −5 −2   = −4 −1 −2   17 −13  =  −11 −4 Ví dụ Tìm ma trận X thỏa Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) −1 −2 −3 Chương Ma trận Hệ PTTT X= −2 −4 −2 −1 lvluyen@yahoo.com 82 / 84 5 Phương trình  ma trận x1 x2 Giải Đặt X =  x3 x4  x5 x6 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 83 / 84 5 Phương trình  ma trận x1 x2 Giải Đặt X =  x3 x4  Ta có x5 x6 −1 x1 + 2x3 − x5 x2 + 2x4 − x6 X= −2 −3 −2x1 − 3x3 + x5 −2x2 − 3x4 + x6 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 83 / 84 5 Phương trình  ma trận x1 x2 Giải Đặt X =  x3 x4  Ta có x5 x6 −1 x1 + 2x3 − x5 X= −2 −3 −2x1 − 3x3 + x5  x1 + 2x3 − x5    x2 + 2x4 − x6 Suy hệ phương trình −2x  − 3x3 + x5   −2x2 − 3x4 + x6 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) x2 + 2x4 − x6 −2x2 − 3x4 + x6 = 1; = −2; = −1 = Chương Ma trận Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 83 / 84 5 Phương trình  ma trận x1 x2 Giải Đặt X =  x3 x4  Ta có x5 x6 −1 x1 + 2x3 − x5 x2 + 2x4 − x6 X= −2 −3 −2x1 − 3x3 + x5 −2x2 − 3x4 + x6  x1 + 2x3 − x5 = 1;    x2 + 2x4 − x6 = −2; Suy hệ phương trình −2x1 − 3x3 + x5 = −1    −2x2 − 3x4 + x6 =   1 −1  −1 −2   A˜ =   −2 −3 −1  −2 −3 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 83 / 84 5 Phương trình  ma trận x1 x2 Giải Đặt X =  x3 x4  Ta có x5 x6 −1 x1 + 2x3 − x5 x2 + 2x4 − x6 X= −2 −3 −2x1 − 3x3 + x5 −2x2 − 3x4 + x6  x1 + 2x3 − x5 = 1;    x2 + 2x4 − x6 = −2; Suy hệ phương trình −2x1 − 3x3 + x5 = −1    −2x2 − 3x4 + x6 =   1 −1  −1 −2   A˜ =   −2 −3 −1  −2 −3 1   0 −1  0   ∼  0 −1  0 −1 −3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 83 / 84 Phương trình ma trận     0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) 0 0  −1 0    −1 −1 −3 Chương Ma trận Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 84 / 84 Phương trình ma trận     0 0 0  −1 0    −1 −1 −3 Suy  x1     x2    x3 x4      x   x6 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) = = = = = = −1 − t; − s; + t; −3 + s; t; s t, s ∈ R Chương Ma trận Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 84 / 84 Phương trình ma trận     0 0 0  −1 0    −1 −1 −3 Suy  x1     x2    x3 x4      x   x6 −1 − t; − s; + t; t, s ∈ R −3 + s; t; s   −1 − t 4−s Vậy X =  + t −3 + s  với t, s tự t s Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) = = = = = = Chương Ma trận Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com 84 / 84 ...Nội dung chương Nội dung Chương MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận Lê Văn Luyện... (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com / 84 Ma trận Ma trận 1. 1 Định nghĩa ký hiệu 1. 2 Ma trận vng 1. 3 Các phép tốn ma trận Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com... Chương Ma trận Hệ PTTT lvluyen@yahoo.com / 84 Ma trận 1. 1 Định nghĩa ký hiệu Định nghĩa Một ma trận cấp m × n R bảng chữ nhật gồm m dòng, n cột với mn hệ số R có dạng   a 11 a12 a1n  a21