Đại số C Số tiết: 30 tiết Nội dung • Chương 1: Ma trận hệ phương trình ñại số tuyến tính • Chương 2: Định thức hệ phương trình ñại số tuyến tính • Chương 3: Không gian vector • Chương 4: Trị riêng Vector riêng Chéo hóa ma trận Hình thức tính ñiểm • Thi học kỳ chiếm 30% • Thi cuối học kỳ chiếm 70% • Điểm thưởng tích cực tập: +5% • Chú ý: Điểm kì cuối kỳ ñạt tối ña làm tốt nhóm tập Chia nhóm giải tập • Mỗi nhóm từ 10-15 sinh viên • Các nhóm giải tất tập từ C1 – C4 giáo trình: Ngô Thành Phong, Đại số tuyến tính quy hoạch tuyến tính, ĐHQG TP HCM, 2003 • Thời gian nộp: hai tuần sau kết thúc chương Chia nhóm giải tập • Hình thức viết báo cáo nộp bài: – Nhóm trưởng chia tập chương cho thành viên – Yêu cầu tất tv phải tham gia – Viết báo cáo: • Viết tay, không ñánh máy • Thành viên làm phần phải tự viết tay phần làm • Báo cáo viết giấy A4, không viết bút chì Chia nhóm giải tập • Công việc nhóm trưởng: – Lập danh sách tv nhóm – Phổ biến hình thức viết báo cáo, hạn nộp, cách trình bày cách tính ñiểm – Phân công công việc – Tập hợp báo cáo thành viên – Trình bày trang bìa báo cáo – Theo dõi ñánh giá công việc thành viên Chia nhóm giải tập • Công việc thành viên nhóm: – Hoàn thành công việc nhóm trưởng giao – Viết báo cáo (viết tay, không ñánh máy) rõ ràng, sẽ, không gạch xóa lung tung – Dòng ñầu tiên trang ñầu, viết rõ họ tên, MSSV, danh sách tập ñược giao Chia nhóm giải tập • Tính ñiểm: – Điểm cho nhóm hoàn thành tốt công việc: tv ñược +10%/tổng ñiểm ñược chia sau: • +10%/tổng ñiểm thi kì • +10%/tổng ñiểm thi cuối kì – Thành viên không hoàn thành công việc bị trừ ñiểm, tối ña 10% cách tính – Nhóm có 30% tv không hoàn thành tốt công việc, nhóm bị trừ ñiểm Chia nhóm giải tập • Hình thức áp dụng cho K2010: – Bắt buộc – Sv không tham gia ñạt tối ña 90% tổng ñiểm môn học • Hình thức áp dụng cho K2009 trở trước: – Tự nguyện Tài liệu tham khảo • Ngô Thành Phong, Đại số tuyến tính quy hoạch tuyến tính, ĐHQG TP HCM, 2003 • Bùi Xuân Hải, Đại số tuyến tính, ĐHQG TP HCM, 2001 • Gilbert Strang, Linear Algebra and Its Applications, 4th Indian edition, Brooks/Cole INDIA, 2005 • Trang web môn học: – http://thangbuikhtn.tk/ • Địa email: – bxthang071@yahoo.com.vn 10 – thangkhtn071@gmail.com Chương Ma trận – Định thức – Hệ pttt  x1   0,3 0,   x1   d1  ⇔ = +       x2   0,1 0,   x2   d   0,3 0,   −2  Đặt A =  ⇒ I − A=    0,1 0, − 10     6 2 −1 ⇒ ( I − A) =   1 7  x1     40   100  Vậy   =  = (đơn vị)      x2     80   150  Lượng đơn vị đầu vào lấy từ ngành nước là: y3 = 1,0 x1 + 1, x2 = 100 + 1, 2.150 = 280 (đơn vị) 96 Chương Ma trận – Định thức – Hệ pttt VD 18 Trong mô hình I/O Leontief (3 ngành), cho  0,3 0, 0,1  ma trận hệ số đầu vào A =  0, 0,3 0,     0, 0,1 0,    1) Nếu nhu cầu ngành kinh tế mở ngành tăng thêm đơn vị đầu ngành tăng thêm (sản xuất thêm) đơn vị? Giải  −4 −1  1 Ta có: I − A = −2 −2   10   − − 97   Chương Ma trận – Định thức – Hệ pttt  40 25 15   −1  ⇒ ( I − A) = 16 40 16  20   16 15 41   Từ cột ( I − A) −1 cho ta biết: 25 Đầu ngành tăng thêm đơn vị; 20 40 Đầu ngành tăng thêm đơn vị; 20 15 Đầu ngành tăng thêm đơn vị 20 98 Chương Ma trận – Định thức – Hệ pttt 2) Cho biết nhu cầu ngành mở đối với ngành giảm đơn vị; ngành tăng đơn vị; ngành giảm đơn vị mức sản lượng (đầu ra) ngành tăng hay giảm bao nhiêu? −1 Giải Từ dòng ( I − A) cho ta biết: Mức thay đổi sản lượng (theo đơn vị) ngành là: −1 × 40 + × 25 − × 15 ∆x1 = = − (giảm); 20 Mức thay đổi sản lượng (theo đơn vị) ngành là: −1 × 16 + × 40 − × 16 12 ∆x2 = = (tăng); 20 Mức thay đổi sản lượng (theo đơn vị) ngành là: −1 × 16 + × 15 − × 41 27 ∆x3 = =− (giảm) 99 20 20 Bài tập mẫu Giải biện luận hệ phương trình có chứa tham số 100 • Bài 119: Cho hệ phương trình kx1 + x x1 + kx x1 + x2 + + x3 = x3 = + kx = Xác ñịnh hệ số k cho: hệ có nghiệm hệ vô nghiệm hệ có vô số nghiệm 101 PP Gauss-Jordan k 1 1   1 k 1   1 k 1   d2 −kd1 d3 −d1   → d2 /(1−k )  → k≠±1 1  0  0  1 k 1   d2 ↔d1 → k 1 1   1 k 1   k 1  − k − k − k  − k k −   1 k 1      1 0    1 + k + k   0 − k k −    102 d1 −kd2 →  d3 +(k −1)d2  1  1+k   0  1+k   k − 1)(k + 2) ( 0  1+k  + k    1+k  k − 1  k +  103  1  1   1+k 1+k  (k −1)(k +2)     d3 /   1+k 1    →   0  k ≠−2  1+k 1+k   0 k + 2     d1 − d3 1+k →  0 −1     −1     0 k + 2   104 • Biện luận: • Nhận xét tổng quan: Hệ có nghiệm  k ≠ −2    k ≠ −1     k ≠ • Nhận xét trường hợp cụ thể: k = −2 Phương trình trở thành: 0x = Hệ vô nghiệm k =1 Phương trình trở thành: x Hệ có vô số nghiệm + x2 + x3 = 105 k = −1 • Kết luận: Ta có:  −1 1   0  2   0 −2 0   Hệ có nghiệm hệ có nghiệm nhất: k ≠ −2 & k ≠ hệ vô nghiệm k = −2 hệ có vô số nghiệm k =1 106 Phương pháp Gauss k 1 1   1 k 1   1 k 1   d2 −kd1 d3 −d1   → d ↔d  → 1 k 1   k 1 1   1 k 1   1  k 1   0 − k − k − k    0 − k k −    107 d2 d3 − 1+k →  k k≠−   k 1  0 − k   0     1   1−k 1−k   (k − 1)(k + 2) k −  + k  1+k • Nhận xét: Hệ có nghiệm hai vế phương trình cuối ñồng thời khác 108 • Biện luận: • Nhận xét tổng quan: Hệ có nghiệm  k ≠ −2    k ≠ −1     k ≠ • Nhận xét trường hợp cụ thể: k = −2 k =1 Phương trình trở thành: Hệ vô nghiệm Phương trình trở thành: Hệ có vô số nghiệm 0x = x1 + x + x = 109 k = −1 • Kết luận: Ta có:  −1 1   0  2   0 −2 0   Hệ có nghiệm hệ có nghiệm nhất: hệ vô nghiệm hệ có vô số nghiệm k ≠ −2 & k ≠ k = −2 k =1 110 [...]...CHƯƠNG 1 MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH - 11 Chương 1 Ma trận – Hệ PT ĐSTT 1 MA TRẬN (Matrix) 1. 1 Định nghĩa a) Ma trận A c p m × n trên ℝ là 1 hệ thống gồm m × n số aij ∈ ℝ i = 1, m; j = 1, n và đư c sắp thành bảng:  a 11 a 21  A=    am1 ( ) a12 a22 am 2 a1n   a2 n  (gồm m dòng và n c t)   amn  • aij là c c phần tử c a A ở dòng thứ i và c t thứ j • C p số (m,... kích thư c của A 12 Chương 1 Ma trận – Hệ PT ĐSTT • Khi m = 1: A = (a 11 a12 … a1n) là ma trận dòng;  a 11    n = 1: A = là ma trận c t;   a   m1  m = n = 1: A = (a 11 ) là ma trận gồm 1 phần tử • Tập hợp c c ma trận A là M m ,n (ℝ ) , để cho gọn ta viết là A = (aij ) m×n b) Hai ma trận A và B bằng nhau, ký hiệu A = B khi và chỉ khi chúng c ng kích thư c và aij = bij , ∀i, j 13 Chương 1 Ma. .. a1k bkj , j = 1 p k =1 24 Chương 1 Ma trận – Hệ PT ĐSTT C c phần tử hàng 1 c a D:  n  ∑ a1k bk1   k =1  ⋮  n ∑ a1k bk 2 k =1 Tính Emxq?: Tính e 11:  ⋯ ∑ a1k bkp  k =1   ⋯ ⋮  n ⋯  n  e 11 = ∑ d1l cl1 = ∑ ∑ a1k bkl cl1   l =1 l =1  k =1  n  ∑ a1k bk1 E =  k =1  ⋮  p p n ∑ a1k bk 2 k =1 ⋯  c1 1 ⋯ n   ⋯ ∑ a1k bkp   c2 1 ⋮  k =1   ⋮ ⋮   ⋯ ⋮  c  ⋯  p1... c a A, đường chéo c n lại là đường chéo phụ 14 Chương 1 Ma trận – Hệ PT ĐSTT C c ma trận vuông đ c biệt: • Ma trận vuông c tất c c c phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0 là ma trận đường chéo (diagonal matrix) Ký hiệu: dig(a 11, a22, …, ann) • Ma trận chéo c p n gồm tất c c c phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1 là ma trận đơn vị c p n (Identity matrix) Ký hiệu In  3 0 0  1 0 0  VD... 34 Chương 1 Ma trận – Hệ PT ĐSTT  1 1  2009 VD 10 Cho A =  , tính A  0 1   1 1  1 1  1 −2  2 = Giải A =  ,     0 1  0 1   0 1   1 1  1 −2   1 −3  A = =     0 1  0 1   0 1   1 −n  n * ⇒ A = , ∀ n ∈ ℕ (*)  0 1  3  1 −k  Thật vậy, giả sử (*) đúng với n = k: A =    0 1 35 k Chương 1 Ma trận – Hệ PT ĐSTT Khi n = k +1, ta c :  1 1  1 − k   1 −(k... 16 Chương 1 Ma trận – Hệ PT ĐSTT • Ma trận đối xứng c p n là ma trận c c c phần tử đối xứng qua đường chéo chính bằng nhau (aij = aji) • Ma trận phản đối xứng c p n là ma trận c c c phần tử đối xứng qua đường chéo chính đối nhau và tất c c c phần tử trên đường chéo chính đều bằng 0 3  VD 4 A = 4   1  0 B= 4   1  4 1  1 0 là ma trận đối xứng;  0 2  −4 1  0 0  là ma trận phản đối... c c ma trận: • Định lý 4: A m×n , B n×p ,C p×q , Dn 1 ( AB) C = A (BC) 2 C ( A + B) = CA + CB 2 ' ( A + B) C = AC + BC 3 λ ( AB) = (λ A ) B = A (λB) λ vô hướng 4 Dn I = IDn = Dn 23 Chương 1 Ma trận – Hệ PT ĐSTT Chứng minh (1) Ký hiệu: Dmxp=AmxnBnxp, Emxq=(AB )C= DmxpCpxq Fnxq=BnxpCpxq, Gmxq=A(BC)=AmxnFnxq Ta c n cm: E=G Tính : Dmxp? n Phần tử d 11? d 11 = ∑ a1k bk1 k =1 n C c phần tử hàng 1 c a D: d1 j... 0 1  1 1 1   4 −4 5   c)  1 1 2 =      − 2 0 3    1 3 −2   −7 9 −8    29 Chương 1 Ma trận – Hệ PT ĐSTT 1 VD 8 Tính a)  2  3   1 b)  0  2  0 −2 0 −2 −3 1 1  1 0  0  −3   2 1  1 1  2  0   3 −2 1  −3 1  ;  1 0  0 1  −2 0   0 −3  30 Chương 1 Ma trận – Hệ PT ĐSTT  1 0 1  1   Giải a) 2 −2 0 0    3 0 −3  2    1 −2 1. .. MT chéo      0 0 6  0 0 0     1 0 0 1 0   I2 =  , I 3 = 0 1 0 là MT đơn vị    15 0 1 0 0 1   Chương 1 Ma trận – Hệ PT ĐSTT • Ma trận tam gi c trên (dưới) c p n là ma trận c c c phần tử nằm phía dưới (trên) đường chéo chính đều bằng 0 1  VD 3 A = 0  0  3 B= 4   1  0 1 0 0 1 5 −2   1 là ma trận tam gi c trên;  0  0 0  là ma trận tam gi c dưới  2  16 Chương. .. Chương 1 Ma trận – Hệ PT ĐSTT −5 7   1 3      1 −2  = −6 8  C3 ×2 =  2 4      −2 3   −9 11   5 7      3   1 −2  4  c1 1 = 1. 1 + 3.(−2) = −5  −2 3    7 3   1 −2   c = 2 .1 + 4.( − 2) = − 6 4  21  −2 3   7   1 3    1 −2   C3 ×2 =  2 4    −2 3    5 7    c3 1 = 5 .1 + 7.(−2) = −9 22 Chương 1 Ma trận – Hệ PT ĐSTT • Tính chất c a tích c c ... dung • Chương 1: Ma trận hệ phương trình ñại số tuyến tính • Chương 2: Định th c hệ phương trình ñại số tuyến tính • Chương 3: Không gian vector • Chương 4: Trị riêng Vector riêng Chéo hóa ma trận. .. nghịch tích chúng khả nghịch (A1A2…An )-1 =An-1An- 1-1 …A 1-1 46 Chương Ma trận – Hệ PT ĐSTT • Tìm ma trận nghịch đảo phép biến đổi sơ c p dòng: Cho ma trận vuông A c p n: Bư c 1: Lập ma trận c dạng... hướng c tính phân phối phép c ng ma trận • Ma trận –A ma trận đối A 19 Chương Ma trận – Hệ PT ĐSTT c) Nhân hai ma trận Cho A = ( aij ) m×n , B = (b jk ) n× p ta c : AB = (cik ) m× p , cik =