Bài giảng toán kỹ thuật hàm phức và ứng dụng hàm giải tích

21 582 2
Bài giảng toán kỹ thuật  hàm phức và ứng dụng   hàm giải tích

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Tốn kỹ thuật Giải tích Fourier II Phép biến đổi Laplace III.Hàm phức ứng dụng I Hàm phức ứng dụng Hàm giải tích Tích phân phức Chuỗi hàm phức Lý thuyết thặng dư Ứng dụng lý thuyết thặng dư Phép biến đổi bảo giác Hàm giải tích a Hàm biến phức b Giới hạn liên tục c Đạo hàm d Điều kiện Cauchy – Riémann e Các tính chất hàm giải tích f Cám hàm phức sơ cấp Hàm giải tích a Hàm biến phức Định nghĩa: w = f(z) với z = x + jy w = u(x,y) + jv(x, y) Ví dụ: w  f ( z )   u ( x, y )  jv( x, y ) z x y f ( z)   j 2 x  jy x  y x  y2 x y  u ( x, y )  ; v ( x, y )   2 x y x  y2 Hàm giải tích b Giới hạn liên tục Định nghĩa: Giới hạn: lim f ( z )  w0 z  z0    0,  ( ) : f ( z )  w0   , z  0  z  z0   ( ) Liên tục: Hàm f(z) gọi liên tục z0 nếu: lim f ( z )  f ( z0 ) z  z0 Hàm giải tích c Đạo hàm Định nghĩa: dw f ( z  z )  f ( z )  w '  f '( z )  lim z 0 dz z Với điều kiện hàm biến phức f(z) có đạo hàm? Hàm giải tích d Điều kiện Cauchy – Riémann w = f(z) = u(x,y) + jv(x,y)  u v   Điều kiện Cauchy – Riémann:  x y   u   v  y x - - f(z) có đạo hàm z = z0  f(z) thỏa điều kiện Cauchy – Riémann z0 f(z) có đạo hàm z = z0 điểm lân cận z0: f(z) giải tích z0 z0 điểm thường f(z) f(z) giải tích D  f(z) giải tích điểm D 1 Hàm giải tích d Điều kiện Cauchy – Riémann Đạo hàm hàm giải tích: u v v u f '( z )  j  j x x y y Ví dụ: Khảo sát điều kiện Cauchy – Riémann cho hàm số sau: a f ( z )  z b f ( z )  z.Re  z c f ( z )  z Giải: a, c: xem sách d f ( z )  e z Hàm giải tích d Điều kiện Cauchy – Riémann b f ( z )  ( x  jy ) x  x  jxy  u ( x, y )  x ; v( x, y )  xy u v u v  x;  x;  0;  y x y y x f(z) tồn đạo hàm z = x  u  e cos  y  ( x  jy ) x d f ( z)  e  e  cos  y  j sin  y    x v  e sin  y  u v   e x cos  y;   e x cos  y; x y u v x   e sin  y;   e x sin  y y x u v f '( z )   j   e x (cos  y  j sin  y )   e z x x Hàm giải tích d Điều kiện Cauchy – Riémann Ví dụ: cho u(x,y) = x2 – y2 + 2x; tìm hàm v(x,y) cho f(z) = u(x,y) + jv(x,y) hàm giải tích Giải: Điều kiện Cauchy – Riemann: v u   x   v  xy  y  F ( x) y x u v dF    2 y   y   F ( x)  C y x dx Có thể chọn C bất kỳ, giả sử C = 0: f(z) = x2 – y2 + 2x + j(2xy + 2y) = z2 + 2z Hàm giải tích e Các tính chất hàm giải tích: Khái niệm Hàm điều hịa: Φ(x,y) gọi hàm điều hịa thỏa phương trình Laplace:  2  2  0 x y Tính chất 1: Nếu f(z) = u + jv hàm giải tích u, v hai hàm điều hịa Trong trường hợp u, v gọi hai hàm điều hịa liên hợp Ví dụ: xét hàm: f(z) = x2 – y2 + 2x + j(2xy + 2y) = z2 + 2z Hàm giải tích e Các tính chất hàm giải tích: Tính chất 2: Nếu f(z) = u + jv hàm giải tích miền D đường cong u(x,y) = c1 quỹ đạo trực giao với đường cong v(x,y) = c2 Tính chất 3: Nếu f(z) = u(x,y) + jv(x,y) hàm giải tích, thay zz zz x ; y 2i ta thu hàm theo biến z 1 Hàm giải tích f Các hàm phức sơ cấp i Hàm mũ ez: e z  e x cos y  je x sin y Các tính chất:  e0   e z w  e z ew  e z  0; z  e  z  1/ e z  e jt  e  jt ; t   e z   z  2n j; n   e z  n j  e z  de z / dz  e z Hàm giải tích f Các hàm phức sơ cấp i Hàm mũ ez: Ví dụ: Giải phương trình ez = + 2j Giải: e z  e x cos y  je x sin y   j  e x cos y   e x   x  e sin y   tan y    x  ln   z  ln  j arctan(2) 2  y  arctan(2) Hàm giải tích f Các hàm phức sơ cấp ii Hàm lượng giác cosz, sinz: e jz  e  jz e jz  e  jz cos z  ; sin z  2j  cos z  sin z   cos jy  cosh y; sin jy  j sinh y  cos z  cos( x  jy )  cos x cosh y  j sin x sinh y  sin z  sin( x  jy )  sin x cosh y  j cos x sinh y  cos( z1  z2 )  cos z1 cos z2 sin z1 sin z2  sin( z1  z2 )  sin z1 cos z2  cos z1 sin z2  d (cos z ) / dz   sin z; d (sin z ) / dz  cos z  sin z   z  n ; cos z   z  (2n  1) / 2; n   sin( z  2n )  sin z; cos( z  2n )  cos z; n  Hàm giải tích f Các hàm phức sơ cấp iii Hàm hyperbol: e z  e z e z  e z cosh z  ; sinh z  2 sinh z cosh z z  ; coth z  cosh z sinh z Các tính chất:  cosh jy  cos y; sinh jy  j sin y  cosh z  cosh x cos y  j sinh x sin y  sinh z  sinh x cos y  j cosh x sin y Hàm giải tích f Các hàm phức sơ cấp iv Hàm logarithm lnz :  ln z  ln r  j (  2n )   j z  re (     )  ln z  ln | z |  j arg z w  ln z  e w  z Nhánh chính: Lnz = lnr + iθ (n = 0) Các tính chất:  ln( z1 z2 )  ln z1  ln z2 z1  ln  ln z1  ln z2 z2  ln z m  m ln z Hàm giải tích f Các hàm phức sơ cấp iv Hàm logarithm lnz : Ví dụ:    j   n     ln(1  j )  ln  2e    ln          j   2n  4   ln(3)  ln 3e j  n 1  ln  j (2n  1) Hàm giải tích f Các hàm phức sơ cấp v Hàm lũy thừa zs: z s  e s ln z ; s  s  z zs Nhánh chính: z s  e sLnz ; | z | 0;    arg z   Ví dụ:  j 2 j  e 2 j ln j  e  j   n    2 j ln 1e       (1  j )1 j  e(1 j )ln(1 j )  e  2e  2e    n  n e   2 j j   n  2      (1 j ) ln  j    n       e(4 n 1) e  ln   n e   j  ln   n         cos ln   n   j sin ln   n       4            cos ln   j sin ln       4      Hàm giải tích f Các hàm phức sơ cấp vi Hàm lượng giác ngược hypebolic ngược:  arccos z   j ln  z   1 arcsin z   j ln z   z z2 jz arctan z  j ln jz  arccosh z  ln  z   1 arcsinh z  ln z  z  1 1 z arctanh z  ln 1 z z2 Hàm giải tích g Các ví dụ Kiểm tra xem hàm sau có phải hàm giải tích? a ze z b.sin z c.cos z Tìm a, b để hàm sau hàm giải tích, tính dw/dz w  x  ay  xy  j (bx  y  xy ) Viết lại hàm w dw/dz theo biến z? Cho u = 2x(1 – y), tìm hàm v(x,y) để f(z) = u + jv hàm giải tích? .. .Hàm phức ứng dụng Hàm giải tích Tích phân phức Chuỗi hàm phức Lý thuyết thặng dư Ứng dụng lý thuyết thặng dư Phép biến đổi bảo giác Hàm giải tích a Hàm biến phức b Giới hạn liên tục c Đạo hàm. .. z z2 Hàm giải tích g Các ví dụ Kiểm tra xem hàm sau có phải hàm giải tích? a ze z b.sin z c.cos z Tìm a, b để hàm sau hàm giải tích, tính dw/dz w  x  ay  xy  j (bx  y  xy ) Viết lại hàm. .. + 2z Hàm giải tích e Các tính chất hàm giải tích: Khái niệm Hàm điều hịa: Φ(x,y) gọi hàm điều hịa thỏa phương trình Laplace:  2  2  0 x y Tính chất 1: Nếu f(z) = u + jv hàm giải tích

Ngày đăng: 14/04/2016, 12:42

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan