CHƯƠNG KHÔNG GIAN VECTƠ - Chương Không gian vectơ Nội dung Không gian vectơ Không gian không gian vectơ Phụ thuộc tuyến tính, ñộc lập tuyến tính Cơ sở, số chiều tọa ñộ KGVT Hệ thức biến ñổi tọa ñộ vectơ sở thay ñổi Ma trận chuyển sở Không gian nghiệm Không gian dòng ma trận Chương Không gian vectơ Không gian vectơ: Định nghĩa 1: Cho V tập khác rỗng, xác định phép toán: i Phép toán cộng (ký hiệu +) u, v ∈ V u + v ∈V (Phép hợp thành trong) ii Phép nhân vô hướng: u ∈ V , k ∈ R, ku ∈ V (Phép hợp thành ngoài) Các phần tử V gọi vectơ V gọi không gian vectơ (KGVT) trường số thực R thỏa mãn tính chất sau phép cộng nhân vô hướng: Chương Không gian vectơ i Tính giao hoán phép cộng ∀u, v ∈ V , u + v = v + u ii Tính kết hợp phép cộng: ∀u, v, w ∈ V , (u + v ) + w = u + (v + w ) iii Tồn phần tử không, ký hiệu 0, thỏa mãn: ∀u ∈ V , u + = u iv ∀u ∈ V tồn phần tử đối, ký hiệu −u , thỏa mãn: u + (−u ) = ( ) v ∀u, v ∈ V , ∀k ∈ R, k u + v = ku + kv vi ∀u ∈ V , ∀k, h ∈ R, h + k u = hu + ku vii ∀u ∈ V , ∀k, h ∈ R, h (ku ) = (hk ) u viii ( ∀u ∈ V ,1.u = u ) Chương Không gian vectơ Phép trừ KGVT định nghĩa sau: u − v = u + (−v ) Tính chất: i Phần tử (iii) phần tử -u (iv) ii ∀u ∈ V , 0.u = (0 vế trái vế phải khác nhau) iii ∀k ∈ R, ∈ V k = (0 hai vế giống nhau) iv Nếu ku = k = u = v −u = (−1) u Chương Không gian vectơ • Ví dụ: Không gian vectơ Rn: k ∈ R; u, v ∈ R n , u = [u1 , u2 , , un ] , v = [ v1 , v2 , , ] ui vi số thực gọi thành phần vec tơ u v u + v = [u1 + v1 , u2 + v2 , , un + ] ku = [ ku1 , ku2 , , kun ] = [ 0, 0, , 0] phần tử không Chương Không gian vectơ Cho X tập khác rỗng, tập hợp hàm số từ X R ký hiệu: F = { f : X → R} Các phép toán cộng nhân vô hướng định nghĩa sau: ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) ∀f ∈ F ; k ∈ R : ( kf )( x ) = kf ( x ) ∀f , g ∈ F : ∀x ∈ X Phần tử không hàm đồng không, tức không với x∈ X Pn tập tất đa thức hệ số thực cấp Phép cộng: cộng đa thức Phép nhân vô hướng: nhân số với đa thức ≤ n −1 Pn KGVT trường số thực Chương Không gian vectơ Tập tất ma trận cấp mxn: Mm×n Phép cộng: cộng ma trận Phép nhân vô hướng: nhân vô hướng với ma trận Mm×n KGVT trường số thực Trường số thực R KGVT Chương Không gian vectơ Không gian vectơ Không gian không gian vectơ Phụ thuộc tuyến tính, ñộc lập tuyến tính Cơ sở, số chiều tọa ñộ KGVT Hệ thức biến ñổi tọa ñộ vectơ sở thay ñổi Ma trận chuyển sở Không gian nghiệm Không gian dòng ma trận Chương Không gian vectơ Không gian KGVT: Định nghĩa 2: Không gian KGVT V trường số thực R (gọi tắt không gian con) tập hợp W khác rỗng V thỏa tích chất sau: i ∀u, v ∈ W , u + v ∈ W ii ∀u ∈ W , ∀k ∈ R, ku ∈ W Nhận xét: Hai tính chất thay tính chất sau: ∀u, v ∈ W , ∀k ∈ R, ku + v ∈ W 10 Chương Không gian vectơ Ví dụ: (45/158) Chứng tỏ rằnge1, e2 , e3 sở KGVT R3: e1 = 1,1,1 , e2 = 1,2, 3 , e3 = 2, −1,1 Giải: Để chứng tỏ hệ n vectơ sở KGVT Rn ta cần chứng minh hệ n vectơ ĐLTT Xét phương trình theo ẩn α1, α2 , α3 α1e1 + α2e2 + α3e3 = 1  α  0    1   ⇒ 1 −1 α2  = 0      1  α3  0 ⇒ α1 = α2 = α3 = Suy hệ vecto ĐLTT Vậy hệ e1, e2 , e3 26 sở R3 Chương Không gian vectơ Không gian vectơ Không gian không gian vectơ Phụ thuộc tuyến tính, ñộc lập tuyến tính Cơ sở, số chiều tọa ñộ KGVT Hệ thức biến ñổi tọa ñộ vectơ sở thay ñổi Ma trận chuyển sở Không gian nghiệm Không gian dòng ma trận 27 Chương Không gian vectơ Hệ thức biến đổi tọa độ vectơ sở thay đổi Ma trận chuyển sở B = {e1, e2, , en } B′ = {f1, f2, , fn } hai sở khác KGVT Rn Tọa độ vectơ sở biểu diễn sở cũ sau: f1 = α11e1 + α12e2 + + α1nen f2 = α21e1 + α22e2 + + α2nen ⋮ (*) fn = αn 1e1 + αn 2e2 + + αnnen 28 Chương Không gian vectơ Ma trận vuông cấp n: PB →B ′ α  11 α =  12  ⋮ α  1n α21 αn  α22 αn  ⋮ ⋮  α2n αnn   gọi ma trận chuyển sở từ sở cũ B sang sở B’ (hoặc ma trận chuyển) Hệ (*) viết dạng ma trận sau: đó: F = PBT→B ′E T   F =  f1, f2, ⋯, fn  T   E = e1,e2 , ⋯,en  29 Chương Không gian vectơ Định lý: PB →B ′ ma trận chuyển từ sở B={ei} sang sở B’={fi} QB ′→B ma trận chuyển sở từ B’ sang sở B Khi PB →B ′ khả nghịch QB ′→B = PB−→1 B ′ 30 Chương Không gian vectơ Định lý: PB →B ′ ma trận chuyển từ sở B={ei} sang sở B’={fi} KGVT V Khi vectơ v V: i) v  = P v    B B →B ′   B ′ ii) v  = P −1 v    B′ B →B ′   B 31 Chương Không gian vectơ Ví dụ: 100-102/164 Cơ sở tắc: E={e1,e2,e3} sở S={w1=[1,1,1], w2=[1,1,0], w3=[1,0,0]} i) Tìm ma trận chuyển từ B sang S ii) Tìm tọa đô vectơ v=[a,b,c] sở S iii) Tìm ma trận chuyển từ S sang B Giải: i) Tìm ma trận chuyển từ B sang S: PB →S Các vectơ sở S biểu diễn sở B: w1 = α11e1 + α12e2 + α13e3 w2 = α21e1 + α22e2 + α23e3 w = α31e1 + α32e2 + α33e3 32 Chương Không gian vectơ ⇒ PB →S Để tìm αij α  α α  11 21 31  = α12 α22 α32    α α α  13 23 33  ta cần giải hệ phương trình: αi 1e1 + αi 2e2 + αi 3e3 = wi i = 1, 1 0 α  1    11    i =1 ⇒ (α11, α12, α13 ) = (1,1,1)  → 0 0 α12  = 1      0   α13  1   α21, α22 , α23 ) = (1,1, 0) (  Tương tự:  (α31, α32 , α33 ) = (1, 0, 0)  33   Chương Không gian vectơ ⇒ PB →S ii) Tìm v    S Ta có: biết 1 1   = 1 0   0   T v  = a, b, c    B   v = α1w1 + α2w + α3w a  1 1  α       1 ⇒ b  = 1 0 α2       c 0     α3  ⇒ T T α , α , α  = c, b − c, a − b      34 Chương Không gian vectơ iii) Tìm QS →B Cách 1: Các vectơ sở B biểu diễn sở S: e1 = β11w1 + β12w2 + β13w e2 = β21w1 + β22w2 + β23w e3 = β31w1 + β32w2 + β33w ⇒ QS →B Để tìm β  11 = β12  β13 βij β21 β22 β23 β31  β32   β33   ta cần giải hệ phương trình: αi 1e1 + αi 2e2 + αi 3e3 = wi i = 1, 35 Chương Không gian vectơ 1 1  β  1    11    i =1 ⇒ (β11, β12 , β13 ) = (0, 0,1)  → 1 0  β12  =  0      0    β13   0 Tương tự:   (α21, α22 , α23 ) = (0,1, −1)   α31, α32 , α33 ) = (1, −1, 0) (    ⇒ QS →B 0    = 0 −1   −   36 Chương Không gian vectơ Cách 2: QS →B = PB−→1 S 0    = 0 −1   0  −1  37 Chương Không gian vectơ Không gian vectơ Không gian không gian vectơ Phụ thuộc tuyến tính, ñộc lập tuyến tính Cơ sở, số chiều tọa ñộ KGVT Hệ thức biến ñổi tọa ñộ vectơ sở thay ñổi Ma trận chuyển sở Không gian nghiệm Không gian dòng ma trận 38 Chương Không gian vectơ Định nghĩa: với dòng i = 1,2, , m A = aij    m×n đặt u = a , a , ⋯, a  W KG Rn sinh i in  A  i1 i vector u1, u2 , ⋯, um Cho ma trận Ta gọi u1, u2, ⋯, um vector dòng WA KG dòng ma trận A Định lý: Cho hai ma trận A, B i) A tương đương (dòng) với B ii) WA = WB dimWA = r (A) 39 Chương Không gian vectơ Nhận xét: KG dòng ma trận không thay đổi ta áp dụng phép biến đổi sơ cấp dòng ma trận Hệ quả: Cho ma trận A B ma trận dạng bậc thang A Khi chọn vector dòng khác B làm sở cho KG dòng WA 40 [...]... phải chứng minh 0 0 11 Chương 3 Không gian vectơ 1 Không gian vectơ 2 Không gian con c a không gian vectơ 3 Phụ thu c tuyến tính, ñ c lập tuyến tính 4 C sở, số chiều và tọa ñộ c a KGVT 5 Hệ th c biến ñổi tọa ñộ c a vectơ khi c sở thay ñổi Ma trận chuyển c sở 6 Không gian nghiệm 7 Không gian dòng c a ma trận 12 Chương 3 Không gian vectơ 3 Phụ thu c tuyến tính, đ c lập tuyến tính: Định nghĩa 3: V... Hệ c nghiệm tầm thường suy ra hệ c c vectơ ĐLTT ii Hệ c vô số nghiệm (c nghiệm không tầm thường) suy ra hệ c c vectơ PTTT X = α1 α2 ⋯ αm    17 Chương 3 Không gian vectơ 1 Không gian vectơ 2 Không gian con c a không gian vectơ 3 Phụ thu c tuyến tính, ñ c lập tuyến tính 4 C sở, số chiều và tọa ñộ c a KGVT 5 Hệ th c biến ñổi tọa ñộ c a vectơ khi c sở thay ñổi Ma trận chuyển c sở 6 Không gian. .. một c sở gồm n vectơ, số nguyên này là duy nhất và đư c gọi là số chiều c a KGVT Ký hiệu: n = dimV Nhận xét: i) Số chiều c a một KGVT chính là số vectơ c a mọi c sở c a V và c ng là số tối đại c c vectơ đ c lập tuyến tính c a KGVT V ii) KGVT c số chiều hữu hạn thì gọi là KGVT hữu hạn chiều KGVT trong đó c thể tìm đư c vô số vectơ đ c lập tuyến tính đư c gọi là KGVT vô hạn chiều 24 Chương 3 Không gian. ..    c =   B 1   2) Trong KGVT R3: mọi vectơ đều c thể biểu diễn thông qua 3 vectơ không đồng phẳng (không nằm trên c ng mặt phẳng) Và 3 vectơ không đồng phẳng thì ĐLTT Vậy c sở c a R3 là một hệ gồm 3 vectơ không đồng phẳng 22 Chương 3 Không gian vectơ Chú ý: i) Mỗi vectơ v trong Rn đư c khai triển thành c c thành phần một c ch duy nhất ii) Với mỗi c sở kh c nhau, một vectơ đư c khai...   15 Chương 3 Không gian vectơ và vectơ X c dạng: X = α1 α2 ⋯ αm    Bư c 2: Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất trên ta đư c: i Hệ c nghiệm tầm thường suy ra hệ c c vectơ ĐLTT ii Hệ c vô số nghiệm (c nghiệm không tầm thường) suy ra hệ c c vectơ PTTT 16 Chương 3 Không gian vectơ Ví dụ: 27/156 u = 1 − 3t + 2t 2 − 3t 3 , v = 3 + 9t − 6t 2 + 9t 3 X c định c c đa th c u và v c ĐLTT?... Tìm QS →B C ch 1: C c vectơ trong c sở B đư c biểu diễn trong c sở S: e1 = β11w1 + β12w2 + β13w 3 e2 = β21w1 + β22w2 + β23w 3 e3 = 31 w1 + 32 w2 + 33 w 3 ⇒ QS →B Để tìm c c β  11 = β12  β 13 βij β21 β22 β 23 31  32   33   ta c n giải c c hệ phương trình: αi 1e1 + αi 2e2 + αi 3e3 = wi i = 1, 3 35 Chương 3 Không gian vectơ 1 1 1  β  1    11    i =1 ⇒ (β11, β12 , β 13 ) = (0,... thu c tuyến tính, ñ c lập tuyến tính 4 C sở, số chiều và tọa ñộ c a KGVT 5 Hệ th c biến ñổi tọa ñộ c a vectơ khi c sở thay ñổi Ma trận chuyển c sở 6 Không gian nghiệm 7 Không gian dòng c a ma trận 27 Chương 3 Không gian vectơ 5 Hệ th c biến đổi tọa độ c a vectơ khi c sở thay đổi Ma trận chuyển c sở B = {e1, e2, , en } B′ = {f1, f2, , fn } là hai c sở kh c nhau c a KGVT Rn Tọa độ c a c c vectơ. .. n vectơ là một c sở trong KGVT Rn ta c n chứng minh hệ n vectơ này ĐLTT Xét phương trình theo ẩn α1, α2 , 3 α1e1 + α2e2 + α3e3 = 0 1 1 2  α  0    1   ⇒ 1 2 −1 α2  = 0      1 3 1   3  0 ⇒ α1 = α2 = 3 = 0 Suy ra hệ c c vecto ĐLTT Vậy hệ e1, e2 , e3 26 là một c sở c a R3 Chương 3 Không gian vectơ 1 Không gian vectơ 2 Không gian con c a không gian vectơ 3. .. tính đư c gọi là đ c lập tuyến tính 13 Chương 3 Không gian vectơ Định lý: C c vectơ v1, v 2 , , vm ∈ V phụ thu c tuyến tính khi và chỉ khi c ít nhất một vectơ là tổ hợp tuyến tính c a c c vectơ c n lại Chú ý: i C c vectơ v1, v 2 , , vm m nếu ∈V đ c lập tuyến tính nếu và chỉ α1, , αm ∈ R, ∑ αivi = 0 ⇒ αi = 0, ∀i = 1, m i =1 ii Mọi hệ hữu hạn c c vectơ, trong đó c vectơ 0 đều phụ thu c tuyến tính iii... 7 Không gian dòng c a ma trận 18 Chương 3 Không gian vectơ 4 C sở, số chiều và tọa độ c a KGVT Rn: Tập gồm m vectơ B = {f1, f2 , , fm } c a KGVT Rn lập thành một hệ c c phần tử sinh c a Rn, nếu với mọi vectơ v bất kỳ trong Rn là một tổ hợp tuyến tính c a c c vectơ f1, f2 , , fm , t c là c thể biểu diễn v dưới dạng: v = α1 f1 + α2 f2 + + αm fm trong đó α1, α2 , , αm là c c vô hướng 19 Chương 3 Không ...  36 Chương Không gian vectơ C ch 2: QS →B = PB−→1 S 0    = 0 −1   0  −1  37 Chương Không gian vectơ Không gian vectơ Không gian không gian vectơ Phụ thu c tuyến tính, ñ c lập... Chương Không gian vectơ Không gian vectơ Không gian không gian vectơ Phụ thu c tuyến tính, ñ c lập tuyến tính C sở, số chiều tọa ñộ KGVT Hệ th c biến ñổi tọa ñộ vectơ sở thay ñổi Ma trận chuyển.. .Chương Không gian vectơ Nội dung Không gian vectơ Không gian không gian vectơ Phụ thu c tuyến tính, ñ c lập tuyến tính C sở, số chiều tọa ñộ KGVT Hệ th c biến ñổi tọa ñộ vectơ sở thay