Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số không gian thường dùng 1.1.1 Không gian metric 1.1.2 Không gian định chuẩn 1.1.3 Không gian Hilbert 1.1.4 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff 1.2 Nón 1.3 Ánh xạ đa trị 1.3.1 Tính liên tục ánh xạ đa trị 1.3.2 Tính lồi ánh xạ đa trị 10 1.4 Một số định lý điểm bất động ánh xạ KKM 11 Bài toán tựa cân hỗn hợp tổng quát ứng dụng 13 2.1 Giới thiệu toán 13 2.2 Một số toán liên quan 14 2.3 Sự tồn nghiệm 16 2.4 Ứng dụng 21 Kết luận 23 Tài liệu tham khảo 24 Mở đầu Lý chọn đề tài Từ xa xưa lịch sử toán học người ta quan tâm đến toán tìm giá trị nhỏ (cực tiểu) hay lớn (cực đại), gọi toán tối ưu Vào năm 30-40 kỷ 20 nhu cầu phát triển kinh tế, kỹ thuật lý thuyết giá trị Edgeworth Pareto người ta xây dựng lên lý thuyết tối ưu véctơ Sau nhiều công trình lý thuyết tối ưu ứng dụng xuất nhiều lĩnh vực khác ngành khoa học kỹ thuật, kinh tế như: Lý thuyết trò chơi Borel (1921), Von Neuman (1926); Lý thuyết lưu thông hàng hóa Koopman (1947) Ta biết toán lý thuyết tối ưu vô hướng bao gồm: 1) Bài toán tối ưu: Cho hàm số f : D → R Tìm x ∈ D cho f (x) ≤ f (x), với x thuộc D 2) Bài toán bất đẳng thức biến phân: Gọi X ∗ không gian đối ngẫu X Cho ánh xạ T : D → X ∗ Tìm x ∈ D cho T (x) , x − x ≥ 0, với x thuộc D 3) Bài toán cân (Blum-Oettli đưa năm 1994): Cho f : D × D → R Tìm x ∈ D cho f (x, x) ≥ với x ∈ D Bài toán điểm cân biết đến từ công trình Arrow-Debreu, Nash Nó mở rộng toán bất đẳng thức biến phân, tối ưu vô hướng đồng thời bao gồm toán điểm bất động, toán bù, bất đẳng thức minimax trường hợp đặc biệt Do nhu cầu phát triển thân toán học lĩnh vực khoa học khác, toán cân toán tối ưu kể phát triển mở rộng cho trường hợp véctơ đa trị như: Bài toán tựa cân với biến buộc phụ thuộc vào tham số, tựa biến phân bao hàm thức tựa biến phân nhiều ánh xạ đa trị Với mong muốn hiểu biết thêm toán tựa cân đa trị nên chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn là: “Bài toán tựa cân hỗn hợp tổng quát ứng dụng” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu mở rộng toán cân ánh xạ đơn trị sang toán tựa cân loại I, tựa cân loại II toán tựa cân hỗn hợp tổng quát ánh xạ đa trị Mục đích luận văn nghiên cứu tồn nghiệm toán tựa cân hỗn hợp tổng quát số ứng dụng lý thuyết tối ưu đa trị Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đọc tài liệu liên quan tới toán lý thuyết tối ưu véctơ viết luận văn tồn nghiệm, số ứng dụng toán tựa cân hỗn hợp mối liên quan toán quen biết lý thuyết tối ưu Nhiệm vụ nghiên cứu Các dạng khác loại toán tựa cân bằng, số toán liên quan khác lý thuyết tối ưu véctơ liên quan tới ánh xạ đa trị số ứng dụng chúng Những đóng góp đề tài Một nhìn cụ thể toán tựa cân bằng, điều kiện để toán tựa cân tổng quát có nghiệm toán liên quan lý thuyết tối ưu đa trị số ứng dụng Phương pháp nghiên cứu Để chứng minh tồn nghiệm toán tựa cân hỗn hợp tổng quát, sử dụng phương pháp nghiên cứu định lý điểm bất động Ky Fan, Fan-Browder định lý dạng KKM Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số không gian thường dùng 1.1.1 Không gian metric 1.1.2 Không gian định chuẩn 1.1.3 Không gian Hilbert 1.1.4 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff Trong mục này, ta xét lớp không gian mà không cần metric nói tới khoảng cách điểm từ nói tới hội tụ, liên tục, , lớp không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff Các khái niệm giới hạn, lân cận, tập đóng, tập mở sinh cấu trúc tôpô Định nghĩa 1.1.4.1 1) Cho tập hợp X Một họ G tập X gọi là tôpô X nếu: (i) Hai tập ∅, X thuộc họ G ; (ii) G kín phép giao hữu hạn, tức giao số hữu hạn tập thuộc họ G thuộc họ G; (iii) G kín phép hợp bất kì, tức hợp số hữu hạn hay vô hạn tập thuộc họ G thuộc họ G 2) Tập X với tôpô G X, gọi không gian tôpô (X, G) (hay không gian tôpô X ); 3) Các tập thuộc họ G gọi tập mở ; 4) Khi có hai tôpô G, G X, G ⊆ G , ta nói tôpô G yếu (thô hơn) tôpô G hay tôpô G mạnh (mịn hơn) tôpô G Trường hợp quan hệ đó, ta nói hai tôpô không so sánh Định nghĩa 1.1.4.3 Cho không gian tôpô (X, G), A ⊆ X Tập U không gian X gọi lân cận A U bao hàm tập mở chứa A; Lân cận phần tử x ∈ X lân cận tập {x}; Họ tất lân cận điểm gọi hệ lân cận điểm Định nghĩa 1.1.4.4 Dãy {xn } ⊆ X hội tụ tới x ∈ X xn − x → Định nghĩa 1.1.4.5 Cho X, Y hai không gian tôpô 1) Một ánh xạ f : X → Y gọi liên tục điểm x ∈ X với lân cận U f (x) Y, tồn lân cận V x X thỏa mãn f (V ) ⊆ U ; 2) Ánh xạ f gọi liên tục không gian tôpô X f liên tục điểm thuộc X Từ sở tôpô ta xác định tôpô khác không gian Định nghĩa 1.1.4.6 Cho không gian tôpô (X, G): 1) Cho x ∈ X, họ Vx gồm lân cận điểm x gọi sở địa phương tôpô G điểm x (hay sở lân cận x), với lân cận U điểm x tồn tập V ∈ Vx cho x ∈ V ⊆ U ; 2) Họ V phần tử G gọi sở tôpô G X phần tử G hợp phần tử thuộc V; 3) Họ M phần tử G gọi tiền sở tôpô G X họ giao hữu hạn có tập thuộc M sở tôpô G Định nghĩa 1.1.4.8 Không gian tôpô (X, G) gọi không gian Hausdorff hai điểm khác tùy ý x, y ∈ X tồn lân cận U x, V y cho U ∩ V = ∅ Một không gian véctơ đồng thời trang bị cấu trúc tôpô, cấu trúc đại số, hai cấu trúc tôpô đại số có mối liên hệ định làm nảy sinh nhiều tính chất không gian Định nghĩa 1.1.4.9 1) Cho X không gian véctơ trường K, tôpô τ X gọi tương thích với cấu trúc đại số X ánh xạ + : X × X → X, (x, y) → x + y; :K×X →X (λ, x) → λx, liên tục; 2) Một không gian véctơ tôpô X trường K cặp (X, τ ), X không gian véctơ trường K, τ tôpô tương thích với cấu trúc đại số (hay tôpô véctơ) X; 3) Mọi lân cận gốc ∈ X gọi 0−lân cận hay vắn tắt lân cận Mệnh đề 1.1.4.10 Các phép tịnh tiến f (x) = x + a, a cố định tùy ý cho trước phép vị tự g(x) = αx, α tùy ý cho trước, phép đồng phôi từ X lên X Từ đó, V 0−lân cận V + a lân cận a; V 0−lân cận ∀α = 0, αV 0−lân cận Dưới ta đưa điều kiện đặc trưng cho sở lân cận không gian véctơ tôpô Định nghĩa 1.1.4.11 Trong không gian véctơ tôpô X có sở lân cận B gốc, cho: 1) Mỗi V ∈ B cân đối hấp thu; 2) Mỗi V ∈ B αV ∈ B với α = 0; 3) Mỗi V ∈ B bao hàm tập W ∈ B cho W + W ⊆ V ; 4) Mỗi cặp V1 , V2 ∈ B tồn W ∈ B cho W ⊆ V1 ∩ V2 Ngược lại, không gian véctơ X lấy họ B(= ∅) tập X thỏa mãn điều kiện có tôpô X tương hợp với cấu trúc đại số, nhận B làm sở lân cận gốc Định lí 1.1.4.13 Cho B sở lân cận không gian véctơ tôpô X Không gian X Hausdorff với x = có V ∈ B không chứa x, tức V = {0} V ∈B Trong số không gian véctơ tôpô, lớp không gian đặc biệt quan trọng không gian véctơ tôpô lồi địa phương Định nghĩa 1.1.4.14 Một không gian véctơ tôpô X gọi không gian véctơ tôpô lồi địa phương (và tôpô tôpô lồi địa phương) X có sở lân cận (của gốc) gồm toàn tập lồi Định nghĩa 1.1.4.16 Một sơ chuẩn hàm số thực hữu hạn p(x) xác định không gian tuyến tính X thỏa mãn hai điều kiện sau: 1) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), ∀x, y ∈ X; 2) p(αx) = |α|p(x), ∀x ∈ X, ∀ số α (Nghĩa chuẩn sơ chuẩn p(x) mà p(x) > 0, ∀x = 0) 1.2 Nón Để xác định thứ tự không gian xét toán liên quan đến ánh xạ có giá trị véctơ, người ta đưa khái niệm nón, từ mở rộng khái niệm biết không gian số thực số phức không gian tôpô tuyến tính Mục dành cho khái niệm, tính chất nón Định nghĩa 1.2.1 Cho Y không gian tuyến tính C tập Y C gọi nón (hay nón có đỉnh gốc) Y với c ∈ C , t ≥ tc ∈ C Nếu Y không gian tôpô tuyến tính C nón Y, ký hiệu clC, intC, convC theo thứ tự bao đóng, phần bao lồi nón C Ký hiệu l(C) = C ∩ −C : Nếu C tập lồi C gọi nón lồi Nếu C tập đóng C gọi nón đóng Nếu l(C) = {0} C gọi nón nhọn Nếu clC nón nhọn C gọi nón sắc Nếu clC + C\l(C) ⊆ C C gọi nón Cho Y không gian tôpô tuyến tính, C nón Y Ta định nghĩa quan hệ sau: 1) x, y ∈ Y, x C y x − y ∈ C , ta kí hiệu đơn giản x 2) Ký hiệu x y x − y ∈ C\l(C) x y y x − y ∈ intC Nếu C nón lồi quan hệ thứ tự tuyến tính quan hệ quan hệ thứ tự phần Y Nếu C nón nhọn quan hệ quan hệ có tính phản đối xứng, nghĩa x y, y x x = y Định nghĩa 1.2.3 Cho C nón không gian tuyến tính Y, B ⊆ Y, B gọi tập sinh nón C, ký hiệu C = cone(B) C = {tb|b ∈ B, t ≥ 0} Nếu B không chứa gốc với c ∈ C, c = tồn b ∈ B cho c = tb, t ≥ B gọi sở nón C Hơn B tập hữu hạn phần tử tập C = cone(convB) gọi nón đa diện Khi ta xây dựng nón không gian tuyến tính tức ta xây dựng quan hệ thứ tự nó, từ ta có khái niệm điểm hữu hiệu Định nghĩa 1.2.4 Cho Y không gian tôpô tuyến tính, C nón Y A tập Y Khi đó: (i) x ∈ A gọi điểm hữu hiệu lí tưởng tập A nón C y − x ∈ C với y ∈ A Tập tất điểm hữu hiệu lí tưởng tập A nón C ký hiệu IM in(A/C) (ii) x ∈ A gọi điểm hữu hiệu pareto tập A nón C không tồn điểm y ∈ A cho x − y ∈ C\{0} Tập điểm hữu hiệu pareto A ký hiệu M in(A/C) (iii) Giả sử intC = ∅, x ∈ A gọi điểm hữu hiệu yếu A nón C không tồn y ∈ A cho x − y ∈ intC Tập điểm hữu hiệu yếu A ký hiệu W M in(A/C) (iv) Điểm x ∈ A gọi điểm hữu hiệu thực tập A nón C, tồn nón lồi C˜ ˜ Tập điểm hữu khác toàn không gian chứa C\l(C) phần để x ∈ P M in(A/C) hiệu thực tập A nón C, ký hiệu P rM in(A/C) 1.3 Ánh xạ đa trị Như biết, ánh xạ đơn trị cho ta với điểm cho trước tương ứng với giá trị Nhưng thực tế nói chung toán học nói riêng, với điểm cho trước ta cần tập hợp tương ứng, phép tương ứng ánh xạ đa trị Cho X tập hợp bất kỳ, ký hiệu 2X tập tất tập X Định nghĩa 1.3.1 Với X, Y tập hợp Một ánh xạ F từ X vào 2Y gọi ánh xạ đa trị từ X vào Y Ký hiệu F : X → 2Y Như x ∈ X, F (x) tập Y (F (x) tập rỗng) F ánh xạ đơn trị từ X vào Y F (x) gồm phần tử Y Khi ta sử dụng ký hiệu F : X → Y thay cho F : X → 2Y Với D ⊆ X, K ⊆ Y Miền định nghĩa, đồ thị miền ảnh ánh xạ đa trị F ký hiệu sau: domF = {x ∈ D|F (x) = ∅}; GrF = {(x, y) ∈ D × K|y ∈ F (x)}; rgeF = {y ∈ Y |∃x ∈ X để y ∈ F (x)} Định nghĩa 1.3.2 Cho X, Y, Z, W tập hợp bất kỳ, F, F1 , F2 : X → 2Y ; G : Y → 2Z ánh xạ đa trị (i) Ánh xạ hợp, giao hai ánh xạ F1 , F2 ; Ánh xạ bù ánh xạ F từ X vào Y xác định sau: (F1 ∪ F2 )(x) = F1 (x) ∪ F2 (x); (F1 ∩ F2 )(x) = F1 (x) ∩ F2 (x); F c (x) = Y \F (x) Hợp ánh xạ F G ánh xạ G ◦ F : X → 2Z xác định công thức (G ◦ F )(x) = G(F (x)) x∈X Tích đề F : X → 2Y G : W → 2Z ánh xạ F × G : X × W → 2Y ×Z cho công thức (G × F )(x, y) = G(x) × F (y) (ii) Khi Y không gian tôpô tuyến tính Tổng đại số hai ánh xạ F1 , F2 phép nhân số với ánh xạ F ánh xạ đa trị từ X vào Y xác định bởi: (F1 + F2 )(x) = F1 (x) + F2 (x); (λF )(x) = λF (x); Định nghĩa 1.3.3 Cho Y không gian tôpô tuyến tính, F : X → 2Y ánh xạ đa trị, ký hiệu F , F o theo thứ tự ánh xạ bao đóng, phần ánh xạ F xác định bởi: (F )(x) = F (x); (F o )(x) = (F (x))o Nếu X, Y không gian tôpô tuyến tính, ánh xạ bao lồi bao lồi đóng ánh xạ F (coF )(x) = coF (x); (coF ˜ )(x) = coF ˜ (x) 1.3.1 Tính liên tục ánh xạ đa trị Định nghĩa 1.3.4 Cho X, Y không gian tôpô, F : X → 2Y ánh xạ đa trị (i) F gọi nửa liên tục x ∈ domF tập mở V chứa Y thỏa mãn F (x) ⊂ V tồn lân cận U x X cho F (x) ⊂ V với x ∈ U (ii) F gọi nửa liên tục x ∈ domF tập mở V chứa Y thỏa mãn F (x) ∩V = ∅ tồn lân cận U x X cho F (x) ∩ V = ∅ với x ∈ U (iii) F gọi liên tục x ∈ X vừa nửa liên tục vừa nửa liên tục x F gọi liên tục X liên tục x ∈ X Định nghĩa 1.3.6 Cho X, Y không gian tôpô, F : X → 2Y ánh xạ đa trị F ánh xạ đa trị đóng GrF đóng X × Y Nếu F (x) compact Y F ánh xạ compact Từ định nghĩa cho thấy, F ánh xạ đóng với dãy {xα }, {yα }, xα → x, yα → y, yα ∈ F (xα ) y ∈ F (x) Nếu F (x) tập đóng với x ∈ X F gọi ánh xạ có giá trị đóng Các mệnh đề sau cho ta điều kiện cần đủ để ánh xạ đa trị nửa liên tục nửa liên tục Bổ đề 1.3.7 [7] Cho X, Y không gian tôpô, D chứa X, F : D → 2Y ánh xạ đa trị Nếu F nửa liên tục với giá trị đóng, F ánh xạ đóng Ngược lại F ánh xạ đóng Y compact, F nửa liên tục Mệnh đề 1.3.8 (i) [6] Cho F : D → 2Y ánh xạ đa trị F nửa liên tục x ∈ domF với y ∈ F (x) với dãy xα ∈ D, xα → x, tồn dãy {yβ }β∈Λ , yβ ∈ F (xβ ) cho yβ → y , Λ tập số (ii) Nếu F có nghịch ảnh mở coF có nghịch ảnh mở Mệnh đề 1.3.9 [10] Một ánh xạ đa trị có nghịch ảnh mở ánh xạ nửa liên tục Ngược lại không Định nghĩa 1.3.11 F C-liên tục trên(hay C-liên tục dưới) x ∈ domF với lân cận V gốc Y tồn lân cận U x Y cho: F (x) ⊂ F (x) + V + C(x) (tương ứng F (x) ⊂ F (x) + V − C(x)) với x ∈ U ∩ domF Trong phần sau, ta sử dụng khái niệm C -liên tục (dưới) với C ánh xạ nón (ánh xạ có tập giá trị nón) Định nghĩa 1.3.12 Cho F : K × D × D → 2Y , C : K × D → 2Y ánh xạ nón F gọi C - liên tục (hoặc C - liên tục dưới) (y, x, z) ∈ domF với lân cận V Y tồn lân cận U (y, x, z) cho: F (y, x, z) ⊆ F (y, x, z) + V + C(y, x), (Hay F (y, x, z) ⊆ F (y, x, z) + V − C(y, x) tương ứng với (y, x, z) ∈ U ∩ domF Các khái niệm C -liên tục điểm D định nghĩa trường hợp C nón Mệnh đề 1.3.13 [5] Cho F : K × D × D → 2Y , C : K × D → 2Y ánh xạ đa trị (i) Nếu C nửa liên tục với giá trị nón lồi khác rỗng F C - liên tục (y0 , x0 , z0 ) ∈ domF với F (y0 , x0 , z0 ) + C(y0 , x0 ) đóng, với dãy tùy ý (yβ , xβ , zβ ) → (y0 , x0 , z0 ), tβ ∈ F (yβ , xβ , zβ ) + C(yβ , xβ ), tβ → t0 kéo theo t0 ∈ F (y0 , x0 , z0 ) + C(y0 , x0 ) Ngược lại, F ánh xạ compact với dãy tùy ý (yβ , xβ , zβ ) → (y0 , x0 , z0 ), tβ ∈ F (yβ , xβ , zβ ) + C(yβ , xβ ), tβ → t0 kéo theo t0 ∈ F (y0 , x0 , z0 ) + C(y0 , x0 ) Thì F C - liên tục (y0 , x0 , z0 ) (ii) Nếu F ánh xạ compact C - liên tục (y0 , x0 , z0 ) ∈ domF với dãy tùy ý (yβ , xβ , zβ ) → (y0 , x0 , z0 ), t0 ∈ F (y0 , x0 , z0 ) + C(y0 , x0 ) tồn dãy {tβ }, tβ ∈ F (yβ , xβ , zβ ) + C(yβ , xβ ), cho có dãy {tβγ }, tβγ − t0 → c ∈ C(y0 , x0 ) (nghĩa tβγ → t0 + c ∈ t0 + C(y0 , x0 ) Ngược lại, F ánh xạ compact với dãy tùy ý (yβ , xβ , zβ ) → (y0 , x0 , z0 ), t0 ∈ F (y0 , x0 , z0 ) + C(y0 , x0 ), tồn dãy {tβ }, tβ ∈ F (yβ , xβ , zβ ) cho có dãy {tβγ }, tβγ − t0 → c ∈ C(y0 , x0 ) F C - liên tục (y0 , x0 , z0 ) 1.3.2 Tính lồi ánh xạ đa trị Cho F : D → 2Y ánh xạ đa trị C nón Y Trong chương sau luận văn, ta cần tới khái niệm sau: Định nghĩa 1.3.14 1) F gọi C -lồi (dưới) D với x1 , x2 ∈ D, α ∈ [0, 1] , ta có αF (x1 ) + (1 − α)F (x2 ) ⊆ F (αx1 + (1 − α)x2 ) + C (tương ứng, F (αx1 + (1 − α)x2 ) ⊆ αF (x1 ) + (1 − α)F (x2 ) − C); 2) F gọi C -lõm (dưới) D −F C -lồi (dưới) D Từ ta suy : với x1 , x2 ∈ D, α ∈ [0, 1] , ta có αF (x1 ) + (1 − α)F (x2 ) ⊆ F (αx1 + (1 − α)x2 ) − C (tương ứng, F (αx1 + (1 − α)x2 ) ⊆ αF (x1 ) + (1 − α)F (x2 ) + C) Định nghĩa 1.3.15 F C -giống tựa lồi (dưới) D với x1 , x2 ∈ D, α ∈ [0, 1] hoặc, F (x1 ) ⊆ F (αx1 + (1 − α)x2 ) + C hoặc, F (x2 ) ⊆ F (αx1 + (1 − α)x2 ) + C (tương ứng, hoặc, F (αx1 + (1 − α)x2 ) ⊆ F (x1 ) − C hoặc, F (αx1 + (1 − α)x2 ) ⊆ F (x2 ) − C) Trong trường hợp F ánh xạ đơn trị, khái niệm C -lồi (dưới) (hoặc, C -giống tựa lồi (dưới)) ta nói F C -lồi (hoặc, C -giống tựa lồi) Các khái niệm ánh xạ C -lồi (dưới) hay C -giống tựa lồi (dưới) tổng quát khái niệm tương ứng ánh xạ đơn trị Có thể thấy rằng, ánh xạ C -lồi (dưới) ánh xạ C -giống tựa lồi (dưới) ngược lại Định nghĩa 1.3.17 Cho F : D × D → 2Y ánh xạ đa trị: 1) F gọi C -lồi (dưới) theo đường chéo biến thứ hai với tập hữu hạn n {x1 , , xn } ⊆ D, x ∈ co{x1 , , xn }, x = n αj xj , αj ≥ 0, j=1 αj = 1, ta có j=1 n αj F (x, xj ) ⊆ F (x, x) + C j=1 n ( tương ứng, F (x, x) ⊆ αj F (x, xj ) − C); j=1 2) F gọi C -giống tựa lồi (dưới) theo đường chéo biến thứ hai với tập hữu n hạn {x1 , , xn } ⊆ D, x ∈ co{x1 , , xn }, x = n αj xj , αj ≥ 0, j=1 αj = 1, tồn số j ∈ {1, , n} j=1 cho F (x, xj ) ⊆ F (x, x) + C, 10 ( tương ứng, F (x, x) ⊆ F (x, xj ) − C) Định nghĩa 1.3.19 Cho ánh xạ đa trị F : K ×D ×D → 2Y , Q : D ×D → 2K Cho C : K ×D → 2Y ánh xạ nón đa trị: 1) F gọi (Q, C)-giống tựa lồi theo đường chéo biến thứ ba với tập hữu hạn {x1 , , xn } ⊆ D, x ∈ co{x1 , , xn } tồn số j ∈ {1, , n} cho F (y, x, xj ) ⊆ F (y, x, x) + C(y, x), với y ∈ Q(x, xj ); 2) F gọi (Q, C)-giống tựa lồi theo đường chéo biến thứ ba với tập hữu hạn {x1 , , xn } ⊆ D, x ∈ co{x1 , , xn } tồn số j ∈ {1, , n} cho F (y, x, x) ⊆ F (y, x, xj ) − C(y, x), với y ∈ Q(x, xj ) Định nghĩa 1.3.20 1) Cho R quan hệ hai K × D Ta nói quan hệ R quan hệ đóng với lưới (yα , xα ) hội tụ tới (y, x) R(yα , xα ) xảy với α R(y, x) xảy ra; 2) Cho R quan hệ ba K × D × D Ta nói R quan hệ Q- KKM với tập hữu hạn {t1 , , tn } ⊂ D x ∈ co{t1 , , tn }, tồn tj ∈ {t1 , , tn } cho R(y, x, tj ) xảy ra, với y ∈ Q(x, tj ) 1.4 Một số định lý điểm bất động ánh xạ KKM Mục trình bày số định lý điểm bất động ánh xa KKM, công cụ để chứng minh tồn nghiệm toán tựa cân chương Định lý 1.4.1(KyFan) [9] Cho X không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương, K ⊂ X tập lồi compact F : K → 2K ánh xạ đa trị nửa liên tục với giá trị khác rỗng lồi, đóng Khi tồn x ∈ K cho x ∈ F (x) Định lí 1.4.2(Fan-Browder ) Cho X không gian véctơ tôpô, K ⊂ X tập khác rỗng lồi, compact F : K → 2K ánh xạ đa trị thỏa mãn điều kiện: (i) Với x ∈ K, F (x) tập lồi; (ii) Với y ∈ K, F −1 (y) tập mở K Thì tồn điểm x ∈ K cho x ∈ F (x) Định lý sau dạng khác định lí Fan-Browder Định lí 1.4.3 Cho X không gian véctơ tôpô, K ⊂ X tập khác rỗng lồi, compact F : K → 2K ánh xạ đa trị thỏa mãn điều kiện: (i) Với x ∈ K, x ∈ / F (x) F (x) tập lồi; (ii) Với y ∈ K, F −1 (y) tập mở K Thì tồn điểm x ∈ K cho F (x) = ∅ Bổ đề 1.4.4 [5] Cho D, K tập khác rỗng, lồi, compact không gian véctơ tôpô 11 lồi địa phương Hausdorff X, Y Cho ánh xạ đa trị S : D × K → 2D , H : D × K → 2K , M : D → 2D Ta giả sử rằng: (i) S ánh xạ đa trị với tập giá trị khác rỗng, lồi có nghịch ảnh mở; (ii) H ánh xạ nửa liên tục với tập giá trị khác rỗng, lồi, đóng tập A = {(x, y)|x ∈ S(x, y), y ∈ H(x, y)} tập khác rỗng, đóng; (iii) M có phần mở với x ∈ A, x ∈ / coM (x) Thì tồn (x, y) ∈ D × K cho x ∈ S(x, y), y ∈ H(x, y) S(x, y) ∩ M (x) = ∅ Định nghĩa 1.4.5 1) Cho X không gian véctơ, D ⊆ X Một ánh xạ F : D → 2X gọi ánh xạ KKM Nếu n với tập {t1 , , tn } ⊂ D có co{t1 , , tn } ⊆ F (tj ) j=1 2) Cho X, Z không gian tôpô D ⊆ X, K ⊆ Z, F : K × D × D → 2X , Q : D × D → 2K ánh xạ đa trị F gọi Q-KKM với tập hữu hạn {t1 , , tn } ⊂ D x ∈ co{t1 , , tn }, tồn j ∈ {1, , n} cho ∈ F (y, x, tj ) với y ∈ Q(x, tj ) Xem [4] Định nghĩa 1.4.6 Cho X, Z, W không gian tôpô D ⊆ X, K ⊆ Z, E ⊂ W, F : K × D × E → 2X , Q : D × E → 2K ánh xạ đa trị F gọi Q-KKM suy rộng với tập hữu hạn {t1 , , tn } ⊂ E tồn tập hữu hạn {x1 , , xn } ⊆ D cho với x ∈ co{xi1 , , xik }, tồn tij ∈ {ti1 , , tin } thỏa mãn ∈ F (y, x, tij ) với y ∈ Q(x, tij ) Định lý 1.4.7 (Bổ đề Fan-KKM ) [8] Cho X không gian véctơ tôpô, D ⊂ X khác rỗng, lồi F : D → 2X ánh xạ KKM Nếu với x ∈ D, F (x) tập đóng, đồng thời có điểm x ∈ D cho F (x) tập compact, F (x) = ∅ x∈D 12 Chương Bài toán tựa cân hỗn hợp tổng quát ứng dụng Ta thấy toán tối ưu đơn trị có buộc, nghiệm chúng phụ thuộc vào nhiều điều kiện khác nhau, điều xảy với ánh xạ đa trị Chương ta nghiên cứu toán tựa cân hỗn hợp tổng quát, số toán liên quan đến toán tựa cân hỗn hợp tổng quát, định lí tồn nghiệm số ứng dụng Kết chương trình bày sở báo [5] 2.1 Giới thiệu toán Phần ta giới thiệu toán tựa cân hỗ hợp tổng quát 2.1.1 Bài toán tựa cân tổng quát loại I Cho X, Y, Z không gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff Giả sử D ⊂ X, K ⊂ Z tập khác rỗng Cho ánh xạ đa trị S : D × K → 2D , T : D × K → 2K , F : K × K × D × D → 2Y Ta xét toán sau: Tìm (x, y) ∈ D × K cho: 1) x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y); 2) ∈ F (y, y, x, t) với t ∈ S(x, y) Bài toán gọi toán tựa cân tổng quát loại I Bài toán T.T.T Dương N.X Tấn nghiên cứu chi tiết báo [4] đăng tạp chí J.Global Optim 2.1.2 Bài toán tựa cân tổng quát loại II Cho X, Y, Z không gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff Giả sử D ⊂ X, K ⊂ Z tập khác rỗng Cho ánh xạ đa trị Pi : D → 2D (i = 1, 2), Q : D × D → 2K F : K × D × D → 2Y Bài toán tìm x ∈ D cho: 1) x ∈ P1 (x); 2) ∈ F (y, x, t) với t ∈ P2 (x), y ∈ Q(x, t) Bài toán gọi toán tựa cân tổng quát loại II Bài toán T.T.T Dương N.X Tấn nghiên cứu chi tiết báo [4] đăng 13 tạp chí J.Global Optim 2.1.3 Bài toán tựa cân hỗn hợp tổng quát Cho X, Y1 , Y2 , Z không gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff Giả sử D ⊂ X, K ⊂ Z tập khác rỗng Cho ánh xạ đa trị S : D × K → 2D , T : D × K → 2K , P : D → 2D , Q : D × D → 2K F : K × K × D × D → 2Y1 , G : K × D × D → 2Y2 Ta xét toán sau Tìm (x, y) ∈ D × K cho: 1) x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y); 2) ∈ F (y, y, x, t) với t ∈ S(x, y); 3) ∈ G(y, x, t) với t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t) Bài toán gọi toán tựa cân hỗn hợp tổng quát T.T.T Dương N.X Tấn công bố báo [5] đăng tạp chí J.Global Optim 2.2 Một số toán liên quan Mục ta trình bày số toán liên quan đến toán tựa cân 2.2.1 Bài toán tựa cân vô hướng tổng quát Cho X, Y không gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff, D ⊂ X, K ⊂ Y tập khác rỗng S : D×K → 2D ; T : D×K → 2K ; Pi : D → 2D , i = 1, 2; Q : D × D → 2K R(R+ ) tập số thực (số thực không âm) Φi : K × D × D → R, i = 1, hàm thỏa mãn Φi (y, x, x) = 0, i = 1, với y ∈ K, x ∈ D Bài toán tìm (x, y) ∈ D × K cho: 1) x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y); 2) Φ1 (y, x, t) ≥ 0, ∀t ∈ S(x, y), x ∈ P1 (x); 3) Φ2 (y, x, t) ≥ 0, ∀t ∈ P2 (x) y ∈ Q(x, t) 2.2.2 Bất đẳng thức tựa biến phân Minty tổng quát Cho , : X × Z → R dạng song tuyến tính Bài toán tìm (x, y) ∈ D × K cho 1) y, t − x ≥ 0, ∀t ∈ S(x, y), x ∈ P1 (x); 2) y, t − x ≥ 0, ∀t ∈ P2 (x) y ∈ Q(x, t) Đặt F (y, x, t) = y, t − x − R+ , Bài toán trở thành, tìm (x, y) ∈ D × K cho 1) ∈ F (y, x, t), ∀t ∈ S(x, y), x ∈ P1 (x); 2) ∈ F (y, x, t), ∀t ∈ P2 (x); y ∈ Q(x, t) 2.2.3 Bất đẳng thức tựa biến phân lý tưởng tổng quát Cho X, Y, D, K, S, T, Pi , i = 1, Q C : K ×D → 2Y , Gi , Hi : K ×D ×D → 2Y Bài toán tìm (x, y) ∈ D ×K cho 1) G1 (y, x, t) ⊆ H1 (y, x, x) + C(y, x), x ∈ P1 (x), ∀t ∈ S(x, y) 2) G2 (y, x, t) ⊆ H2 (y, x, x) + C(y, x), ∀t ∈ P2 (x), ∀y ∈ Q(x, t) Định nghĩa Mi : K × D → 2X ; Fi : K × D × D → 2Y , i = 1, sau: Mi (y, x) = {t ∈ D|G(y, x, t) ⊆ Hi (y, x, x) + C(y, x)}, (y, x) ∈ K × D Fi (y, x, t) = t − Mi (y, x), (y, x, t) ∈ K × D × D 1) ∈ F1 (y, x, t), x ∈ P1 (x) với t ∈ S(x, y); 14 2) ∈ F2 (y, x, t), với t ∈ P2 (x) y ∈ Q(x, t) 2.2.4 Bài toán tựa cân lý tưởng tổng quát Cho D, K, Y, S, T, Pi , i = 1, Q Ánh xạ nón C : K × D → 2Y , Gi : K × D × D → 2Y Bài toán tìm (x, y) ∈ D × K cho 1) G1 (y, x, t) ⊆ C(y, x), x ∈ P1 (x), ∀t ∈ S(x, y); 2) G2 (y, x, t) ⊆ C(y, x) với t ∈ P2 (x) y ∈ Q(x, t) 2.2.5 Bài toán quan hệ tựa biến phân loại II Cho D, K, Pi , i = 1, R(y, x, t) quan hệ y ∈ K, x ∈ D t ∈ E Bài toán tìm x ∈ D cho x ∈ P1 (x) R(y, x, t) xảy với t ∈ P2 (x) y ∈ Q(x, t) gọi toán quan hệ biến phân Định nghĩa M : K × D → 2X ; F : K × D × D → 2Y sau M (y, x) = {t ∈ D|R(y, x, t) xảy } F (y, x, t) = t − M (y, x), (y, x, t) ∈ K × D × D Bài toán tìm x ∈ D cho x ∈ P1 (x) ∈ F (y, x, t), ∀t ∈ P2 (x) y ∈ Q(x, t) toán trở thành t ∈ M (y, x), ∀t ∈ P2 (x) y ∈ Q(x, t) tìm x ∈ D cho x ∈ P1 (x) R(y, x, t) xảy với t ∈ P2 (x) y ∈ Q(x, t) 2.2.6 Bao hàm thức đạo hàm Cho C[a, b] C [a, b] không gian hàm số liên tục đạo hàm liên tục đoạn [a.b], D ⊂ C [a, b] tập khác rỗng Giả sử P1 , P2 Cho Ω = ∅ U : D × D → 2Ω ánh xạ đa trị, K = Ω × R Q : D × D → 2Y xác định Q(x, t) = U (x, t) × [a, b]; G : K × [a, b] × D × D → 2C[a,b] Bài toán tìm x ∈ D cho x ∈ P1 (x) x (t) ∈ G(y, ξ, x, t), ∀t ∈ P2 (x), ∀(y, ξ) ∈ Q(x, t) gọi bao hàm thức đạo hàm 2.2.7 Quan hệ biến phân hỗn hợp Cho R1 , R2 quan hệ x ∈ X, t ∈ Z, y ∈ Y Bài toán quan hệ biến phân hỗn hợp toán tìm (x, y) ∈ D × K cho: 1) x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y) 2) R1 (y, x, t) xảy với t ∈ S(x, y) 3) R2 (y, x, t) xảy với t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t) dạng đơn giản toán tìm (x, y) ∈ D × K cho: 1) x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y) 2) ∈ F (y, y, x, t) với t ∈ S(x, y) 3) ∈ G(y, x, t) với t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t) Ở ánh xạ đa trị M : D × K → 2Z , F : K × K × D × D → 2Z , N : K × D → 2X , G : 15 K × D × D → 2X xác định M (x, y) = {z ∈ T (x, y)|R1 (z, x, y) xảy với ∀t ∈ S(x, y)} F (y, z, x, t) = z − M (x, y), (y, z, x, t) ∈ K × K × D × D; N (y, x) = {t ∈ D|R2 (y, x, t) xảy ra}; G(y, x, t) = t − N (y, x), (y, x, t) ∈ K × D × D Khi toán đưa toán tựa cân hỗn hợp tổng quát 2.2.8 Bao hàm thức tựa biến phân véctơ suy rộng Cho C : K ×D → 2Y H1 , H2 : K ×D ×D → 2Y ánh xạ đa trị với tập giá trị khác rỗng Bài toán tìm (x, y) ∈ D × K cho: 1) x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y); 2) αi (H1 (y, x, t), C(y, x)), ∀t ∈ S(x, y); 3) αi (H2 (y, x, t), C(y, x)), ∀t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t); với α1 = {(A, B) ∈ 2Y × 2Y |A B}; α2 = {(A, B) ∈ 2Y × 2Y |A ⊆ B}; α3 = {(A, B) ∈ 2Y × 2Y |A ∩ B = ∅}; α4 = {(A, B) ∈ 2Y × 2Y |A ∩ B = ∅} gọi bao hàm thức tựa biến phân véctơ suy rộng Ta phát biểu ngắn gọn toán sau: Tìm (x, y) ∈ D × K cho: 1) x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y); 2) ∈ F (y, y, x, t) với t ∈ S(x, y); 3) ∈ G(y, x, t) với t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t) Với ánh xạ đa trị M : D×K → 2Z , F : K ×K ×D×D → 2Z , N : K ×D → 2X , G : K ×D×D → 2X xác định M (x, y) = {z ∈ T (x, y)|αi (H1 (z, x, t), C(y, x))∀t ∈ S(x, y)}; F (y, z, x, t) = z − M (x, y), (y, z, x, t) ∈ K × K × D × D; N (y, x) = {t ∈ D|αi (H2 (z, x, t), C(y, x))}; G(y, x, t) = t − N (y, x), (y, x, t) ∈ K × D × D Khi toán đưa toán tựa cân hỗn hợp tổng quát 2.3 Sự tồn nghiệm Cho D, K tập compact, Các ánh xạ đa trị S, T, P, F G có tập giá trị khác rỗng Trước hết ta chứng minh định lí sau tồn nghiệm toán tựa cân hỗn hợp tổng quát Định lí 2.2.1 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: 16 (i) S ánh xạ đa trị với tập giá trị khác rỗng, lồi có nghịch ảnh mở; (ii) T nửa liên tục với tập giá trị khác rỗng, lồi, đóng tập A = {(x, y)|x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y)} đóng; (iii)P có nghịch ảnh mở P (x) ⊆ S(x, y) với x ∈ D, y ∈ K ; (iv) Với điểm cố định (x, y) ∈ D × K tồn z ∈ T (x, y) cho ∈ F (y, z, x, t), ∀t ∈ S(x, y); (va ) F ánh xạ đa trị đóng; (vb ) Với điểm cố định (x, y) ∈ D × K tập {z ∈ T (x, y)|0 ∈ F (y, z, x, t), ∀t ∈ S(x, y)} lồi; (vii) Với điểm cố dịnh t ∈ D tập B = {x ∈ D|0 ∈ / G(y, x, t) với vài y ∈ Q(x, t)} mở D G ánh xạ Q-KKM toán tựa cân hỗn hợp tổng quát có nghiệm Định lí 2.2.3 Ta giả sử tất giả thiết định lí 2.2.1 thỏa mãn, với (i), (ii) (iii) thay (i’) S liên tục với tập giá trị khác rỗng, lồi, đóng; (ii’) T nửa liên tục với tập giá trị khác rỗng, lồi, đóng; (iii’) P nửa liên tục P (x) ⊆ S(x, y), ∀x ∈ D, y ∈ K toán tựa cân hỗn hợp tổng quát có nghiệm Định lí 2.2.5 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn (i) S ánh xạ đa trị với tập giá trị khác rỗng, lồi có nghịch ảnh mở; (ii) T ánh xạ đa trị nửa liên tục với tập giá trị khác rỗng, lồi, đóng tập A = {(x, y)|x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y)} đóng; (iii) P ánh xạ đa trị nửa liên tục P (x) ⊆ S(x, y), ∀x ∈ D, y ∈ K ; (iv) Với điểm cố định (x, y) ∈ D × K , tồn z ∈ T (x, y) cho ∈ F (y, z, x, t), ∀t ∈ S(x, y); (va ) F ánh xạ đa trị đóng; (vb ) Với điểm cố định (y, x) ∈ K × D tập {z ∈ T (x, y)|0 ∈ F (y, z, x, t), ∀t ∈ S(x, y)} lồi; (vi) Q nửa liên tục theo biến thứ nhất, với điểm cố định t ∈ D, G(., , t) ánh xạ đa trị đóng G Q-KKM Thì tồn (x, y) ∈ D × K cho: x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y); ∈ F (y, y, x, t) với t ∈ S(x, y); ∈ G(y, x, t) với t ∈ P (x) với vài y ∈ Q(x, t), Định lí 2.2.6 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn (i) S ánh xạ đa trị với tập giá trị khác rỗng, lồi có nghịch ảnh mở; (ii) T ánh xạ đa trị nửa liên tục với tập giá trị khác rỗng, lồi, đóng tập A = {(x, y)|x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y)} đóng; (iii) P ánh xạ đa trị nửa liên tục P (x) ⊆ S(x, y), ∀x ∈ D, y ∈ K ; (iv) Với điểm cố định (x, y) ∈ D × K , tồn z ∈ T (x, y) cho ∈ / F (y, z, x, t), ∀t ∈ S(x, y); (va ) F ánh xạ đa trị đóng; (vb ) Với điểm cố định (y, x) ∈ K × D tập {z ∈ T (x, y)|0 ∈ / F (y, z, x, t), ∀t ∈ S(x, y)} lồi; 17 (vi) Với điểm cố định tùy ý t ∈ D tập B = {x ∈ D|0 ∈ / G(y, x, t), với vài y ∈ Q(x, y)} tập mở D G Q-KKM Thì tồn (x, y) ∈ D × K cho: x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y); 0∈ / F (y, y, x, t) với t ∈ S(x, y); ∈ G(y, x, t) với t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t), Hệ 2.2.7 Cho S, T, P, Q giống định lí 2.2.3 Nếu điều kiện sau thỏa mãn: (i) C : D → 2Y ánh xạ nón với tập giá trị khác rỗng, lồi, đóng cho với x ∈ D ánh xạ đa trị C˜ : D → 2Y xác định C˜ = Y \(−intC(x)) ánh xạ đa trị đóng; (ii) F ánh xạ đa trị với tập giá trị khác rỗng, lồi, compact; (iiia ) với điểm cố định (x, y) ∈ D × K tồn z ∈ T (x, y) cho F (z, x, t) −intC(x) với t ∈ S(x, y); (iiib ) Với (x, t) ∈ D × D, F (., x, t) : K → 2Y (−C(x)) - giống tựa lồi trên; (iva ) Với t ∈ D, G(., , t) ánh xạ đa trị đóng, G có tập giá trị khác rỗng, lồi, compact G(y, x, x) −intC(x) với (x, y) ∈ D × K ; (ivb ) G (Q, C )- lồi theo đường chéo (hoặc (Q, C )- giống lồi theo đường chéo) theo biến thứ ba Thì tồn (x, y) ∈ D × K cho: x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y); F (y, x, t) −intC(x) với t ∈ S(x, y); G(y, x, t) −intC(x) với t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t) Hệ 2.2.8 Cho S, T, P, Q thỏa mãn điều kiện định lí 2.2.3 Giả sử (i) C : D → 2Y ánh xạ đa trị nón đóng với tập giá trị khác rỗng, lồi, đóng; (ii) F ánh xạ đa trị đóng với tập giá trị khác rỗng lồi compact; (iiia ) Với điểm cố định (x, y) ∈ D × K tồn z ∈ T (x, y) cho F (z, x, t) ∩ C(x) = ∅; (iiib ) Với (x, t) ∈ D × D, F (., x, t) : K → 2Y (−C(x)) - lồi trên; (iva ) Với t ∈ D, G(., , t) ánh xạ đa trị đóng G có tập giá trị khác rỗng lồi compact, G(y, x, x) ∩ C(x) = ∅ với (x, y) ∈ D × K ; (ivb ) G (Q, C ) - giống tựa lồi theo đường chéo, theo biến thứ ba Thì tồn (x, y) ∈ D × K cho x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y); F (y, x, t) ∩ C(x) = ∅, ∀t ∈ S(x, y); G(y, x, t) ∩ C(x) = ∅, ∀t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t) Hệ 2.2.9 Cho S, T, P, Q giống hệ 2.2.7 Giả sử (i) C : D → 2Y ánh xạ đa trị nón với tập giá trị khác rỗng, lồi, đóng intC(x) = ∅ Với ˜ x ∈ D, C˜ : D → 2Y xác định C(x) = Y \ − intC(x) ánh xạ đa trị nửa liên tục trên; (ii) F ánh xạ đa trị (-C ) - liên tục với tập giá trị khác rỗng lồi compact; (iiia ) Với điểm cố định (x, y) ∈ D × K , tồn z ∈ T (x, y) cho F (z, x, t) ∩ −intC(x) = ∅, ∀t ∈ S(x, y); 18 (iiib ) Với điểm cố định (x, t) ∈ D × D, F (., x, t) (−C(x)) - giống tựa lồi dưới; (iva ) Với điểm cố định t ∈ D, G(., , t) ánh xạ đa trị (-C ) - liên tục dưới, G có tập giá trị khác rỗng lồi compact G(y, x, x) ∩ −intC(x) = ∅, ∀(x, y) ∈ D × K ; (ivb ) G (Q, C ) - giống tựa lồi theo đường chéo theo biến thứ ba Thì tồn (x, y) ∈ D × K cho x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y); F (y, x, t) ∩ −intC(x) = ∅, ∀t ∈ S(x, y); G(y, x, t) ∩ −intC(x) = ∅, ∀t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t) Hệ 2.2.10 Cho S, T, P, C giống hệ 2.2.9 Nếu điều kiện sau thỏa mãn: (i) Q : D → 2K nửa liên tục dưới; (ii) Ánh xạ đa trị F (-C ) - liên tục với tập giá trị khác rỗng lồi compact Ánh xạ đa trị N : K × D → 2Y xác định sau: N (y, x) = F (y, x, x) (-C ) - liên tục dưới; (iiia ) Với điểm cố định (x, y) ∈ D × K tồn z ∈ T (x, y) cho (F (z, x, t) − F (y, x, x)) ∩ −intC(x) = ∅, ∀t ∈ S(x; y); (iiib ) Với điểm cố định (x, y) ∈ D × K tập {z ∈ T (x, y)|(F (z, x, t) − F (y, x, x)) ∩ −intC(x) = ∅, ∀t ∈ S(x; y)} tập lồi; (iva ) Với điểm cố định x, t ∈ D Ánh xạ đa trị G(., , t) (-C ) - liên tục, Ánh xạ đa trị G(., , x) (-C ) - liên tục G có tập giá trị khác rỗng lồi compact (G(y, x, t) − G(y, x, x)) ∩ −intC(x) = ∅, ∀(x, y) ∈ D × K ; (ivb ) G (Q, C ) - giống tựa lồi theo đường chéo theo biến thứ ba Thì tồn (x, y) ∈ D × K cho x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y); (F (y, x, t) − F (y, x, x)) ∩ −intC(x) = ∅, ∀t ∈ S(x, y); G(y, x, t) − G(y, x, x) ∩ −intC(x) = ∅, ∀t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t) 1) Trong hệ 2.2.7 ta thay (i) (iv) điều kiện tương đương (i’) (iv’) với (i’) C1 , C : D → 2Y ánh xạ đa trị nón với tập giá trị khác rỗng lồi compact, C1 : D → 2Y ˜ đóng với x ∈ D ánh xạ đa trị C˜ : D → 2Y xác định C(x) = Y \(−intC(x)) đóng; (iv a ) Ánh xạ đa trị G(., , t) đóng với tập giá trị khác rỗng lồi compact G(y, x, x) ∩ C1 (x) = ∅, ∀(x, y) ∈ D × K ; (iv b ) G (Q, C1 ) - giống tựa lồi theo đường chéo theo biến thứ ba Thì tồn (x, y) ∈ D × K cho: x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y); F (y, x, t) −intC(x), ∀t ∈ S(x, y); G(y, x, t) ∩ C1 (x) = ∅, ∀t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t) 2) Trong hệ 2.2.7 ta thay (i), (ii) (iii) điều kiện tương đương (i’), (ii’) (iii’) với (i’) C1 , C : D → 2Y ánh xạ đa trị nón với tập giá trị khác rỗng lồi compact, C1 : D → 2Y đóng ˜ với x ∈ D ánh xạ đa trị C˜ : D → 2Y xác định C(x) = Y \(−intC(x)) đóng; (ii’) F ánh xạ đa trị đóng với tập giá trị khác rỗng lồi compact; 19 (iiia ) Với điểm cố định (x, y) ∈ D × K tồn z ∈ T (x, y) cho F (z, x, t) ∩ C1 (x) = ∅, ∀t ∈ S(x, y); (iiib ) Với (x, t) ∈ D × D, F (., x, t) (−C1 (x)) - lồi Thì tồn (x, y) ∈ D × K cho: x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y); F (y, x, t) ∩ C1 (x) = ∅, ∀t ∈ S(x, y); G(y, x, t) −intC(x), ∀t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t) 3) Trong hệ 2.2.8 ta thay (i), (ii) (iii) điều kiện tương đương (i’), (ii’) (iii’) với (i’) C1 , C : D → 2Y ánh xạ đa trị nón với tập giá trị khác rỗng lồi compact, C1 : D → 2Y đóng ˜ với x ∈ D ánh xạ đa trị C˜ : D → 2Y xác định C(x) = Y \(−intC(x)) nửa liên tục trên; (ii’) Ánh xạ đa trị đóng F (−C1 ) - liên tục với tập giá trị khác rỗng lồi compact; (iiia ) Với điểm cố định (x, y) ∈ D × K tồn z ∈ T (x, y) cho F (z, x, t) ∩ −intC1 (x) = ∅, ∀t ∈ S(x, y); (iiib ) Với (x, t) ∈ D × D, F (., x, t) (−C1 (x)) - giống lồi Thì tồn (x, y) ∈ D × K cho: x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y); F (y, x, t) ∩ −intC1 (x) = ∅, ∀t ∈ S(x, y); G(y, x, t) ∩ C(x) = ∅, ∀t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t) 4) Trong hệ 2.2.8 ta thay (i) (iv) điều kiện tương đương (i’) (iv’) với (i’) C1 , C : D → 2Y ánh xạ đa trị nón với tập giá trị khác rỗng lồi compact, C : D → 2Y đóng ˜ với x ∈ D ánh xạ đa trị C˜ : D → 2Y xác định C(x) = Y \(−intC1 (x)) nửa liên tục trên; (iv a ) Với t ∈ D Ánh xạ đa trị G(., , t) (−C1 ) - liên tục với tập giá trị khác rỗng lồi compact G(y, x, x) ∩ −intC1 (x) = ∅, ∀(x, y) ∈ D × K ; (iv b ) G (Q, C1 ) - giống tựa lồi theo đường chéo theo biến thứ ba Thì tồn (x, y) ∈ D × K cho: x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y); F (y, x, t) ∩ C(x) = ∅, ∀t ∈ S(x, y); G(y, x, t) ∩ −intC1 (x) = ∅, ∀t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t) 5) Trong hệ 2.2.9 ta thay (i), (ii) (iii) điều kiện tương đương (i’), (ii’) (iii’) với (i’) C1 , C : D → 2Y ánh xạ đa trị nón với tập giá trị khác rỗng lồi compact, C1 : D → 2Y đóng ˜ với x ∈ D ánh xạ đa trị C˜ : D → 2Y xác định C(x) = Y \(−intC(x)) nửa liên tục trên; (ii’) Ánh xạ đa trị đóng F đóng với tập giá trị khác rỗng lồi compact; (iiia ) Với điểm cố định (x, y) ∈ D × K tồn z ∈ T (x, y) cho F (z, x, t) ∩ C1 (x) = ∅, ∀t ∈ S(x, y); (iiib ) Với (x, t) ∈ D × D, F (., x, t) (−C1 (x)) - lồi 20 Thì tồn (x, y) ∈ D × K cho: x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y); F (y, x, t) ∩ C1 (x) = ∅, ∀t ∈ S(x, y); G(y, x, t) ∩ −intC(x) = ∅?, ∀t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t) 6) Trong hệ 2.2.9 ta thay (i) (iv) điều kiện tương đương (i’) (iv’) với (i’) C1 , C : D → 2Y ánh xạ đa trị nón với tập giá trị khác rỗng lồi compact, C1 : D → 2Y đóng ˜ với x ∈ D ánh xạ đa trị C˜ : D → 2Y xác định C(x) = Y \(−intC1 (x)) nửa liên tục trên; (iv a ) G ánh xạ đa trị đóng với tập giá trị khác rỗng lồi compact G(y, x, x)∩C1 (x) = ∅, ∀(x, y) ∈ D × K; (iv b ) G (Q, C1 ) - giống tựa lồi theo đường chéo theo biến thứ ba Thì tồn (x, y) ∈ D × K cho: x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y); F (y, x, t) ∩ −intC(x) = ∅, ∀t ∈ S(x, y); G(y, x, t) ∩ C1 (x) = ∅, ∀t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t) 2.4 Ứng dụng Trong mục ta giới thiệu số toán có ứng dụng toán tựa cân tổng quát hỗn hợp 4.1 Bài toán điều khiển tối ưu Cho Ω tập mở, bị chặn Rn , n ≥ với biên Γ thuộc C Xét toán tìm hàm điều khiển u ∈ Lp (Ω), < p < +∞ tương ứng với y ∈ W 1,p (Ω) hàm tiện ích J(y, u) = (1.1) L(x, y(x), u(x))dx Ω tương ứng với phương trình sau: n − (1.2) (Dj (aij (x)) Dj (y)) + h(x, y) = u, Ω, y = 0, Γ i,j=1 với ràng buộc sau: 1) Trường hợp 1: Ràng buộc hỗn hợp gi (x, y(x), u(x)) ≤ hầu khắp nơi, x ∈ Ω, i = 1, , n (1.3) 2) Trường hợp 2: Ràng buộc đồng (1.4) g(x, y(x)) ≤ với x ∈ Ω u(x) ∈ U hầu khắp nơi, x ∈ Ω 3) Trường hợp 3: Ràng buộc hỗn hợp (1.5) g(x, y(x)) ≤ với x ∈ Ω fi (x, y(x), u(x)) ≤ hầu khắp nơi, x ∈ Ω, i = 1, , n 1 1 (1.6) Giả sử > ≥ − , u ∈ W1,r (Ω) , y ∈ W01,r (Ω) nghiệm (1.2) n r p n   n  Ω i,j=1 h(y, x)ϕdx = u, ϕ , ∀ϕ ∈ W01,r (Ω) ai,j Di yDj ϕ dx + Ω Sử dụng bất đẳng thức (1.6) định lý Sobolev Rellich, ta kết luận Lp (Ω) → W 1,r (Ω) Do đó, u ∈ Lp (Ω) Phương trình (1.2) cho ta nghiệm y ∈ W01,r (Ω) → C(Ω) Ta định nghĩa 21 K(y, u) = Ay + h(., y) = u; Gi (y, u) = gi (., y, u) Nếu gi (., y, u) ∈ C(Ω), ta định nghĩa φi (y, u) = max gi (x, y(x), u(x)) x∈Ω Bài toán (1.1)-(1.3) có dạng min(y, x), với buộc K(y, u) = 0, φ(y, u) ≤ Đặt F (y, u, z, w) = J(y, u) − J(z, w) + R+ ; n G(y, u, z, w) = (K(y, u), Π Φi (y, u) − R+ ) Bài toán tương đương với toán tìm (y, u) ∈ i=1 W01,r (Ω) n × Lp (Ω) cho ∈ F (y, u, z, w) × (K(y, u), Π Φi (y, u) − R+ ) i=1 Điều có nghĩa J(y, u) ≤ J(z, w) với z, w ∈ W01,r (Ω) × Lp (Ω); K(y, u) = 0; φ(y, u) ≤ 0, i = 1, , m 4.2 Cân Nash trò chơi không hợp tác Cho Xi , i ∈ I, Y không gian tôpô lồi địa phương Hausdorff, I tập hữu hạn số (số lượng người chơi), C ⊆ Y nón nhọn lồi Với i ∈ I, Di ⊆ Xi tập khác rỗng (tập người huy người chơi thứ i) Đặt n D = Π Di i=1 Với i ∈ I ánh xạ đa trị Sij : D → 2Di , j = 1, ràng buộc người chơi thứ i Hàm số fi : D → Y hàm tổn thất người chơi thứ i Hàm phụ thuộc vào người huy toàn trò chơi Với x = (xi )i∈I ∈ D Ta ký hiệu xi = (xj )j∈I\{i} x = (xi )i∈I gọi điểm cân trò chơi (Di , fi , Si1 , Si2 )i∈I i ∈ I ta có xi ∈ Si1 fi (xi , yi ) − fi (x) ∈ / −(C\{0}), ∀yi ∈ Si2 (x), i ∈ I Ta đặt n G(x, t) = (fi (xi , ti ) − fi (x)); i=1 M (x) = {t ∈ D|G(x, t) ∈ / −(C\{0})} F (x, t) = t − M (x), (t, x) ∈ D × D n Nếu x ∈ S (x) = Π Si (x) cho ∈ F (x, t) với ti ∈ Si2 (x), i ∈ I Ta có xi ∈ Si1 G(x, t) ∈ / i=1 −(C\{0}), ∀yi ∈ Si2 (x), i ∈ I Khi ta có n xi ∈ Si1 (x), ∀i = 1, , n; fi (xi , ti ) − fi (x) ∈ / −(C\{0}) i=1 Lần lượt thay t = (xi , ti ) ∈ Si2 (x), ta suy fi (xi , ti ) ∈ / fi (x) − (C\{0}), với ti ∈ Si2 (x) Do x = (xi )i∈I điểm cân Pareto trò chơi Nash 22 Kết luận Luận văn trình bày cách có hệ thống kết báo Mixed generalized quasiequilibrium problems ứng dụng Cụ thể luận văn trình bày vấn đề sau: Các kiến thức cần dùng cho toán tựa cân hỗn hợp tổng quát Các điều kiện đủ để toán tựa cân tổng quát có nghiệm Tám toán liên quan đến toán tựa cân hỗn hợp tổng quát như: Bài toán tựa cân vô hướng tổng quát; Bất đẳng thức tựa biến phân Minty tổng quát; Bất đẳng thức tựa biến phân lý tưởng tổng quát; Bài toán tựa cân lý tưởng tổng quát; Bài toán quan hệ tựa biến phân loại II; Quan hệ biến phân hỗn hợp Bao hàm thức tựa biến phân véctơ suy rộng Hai ứng dụng toán tựa cân hỗn hợp tổng quát Bài toán điều khiển tối ưu Cân Nash trò chơi không hợp tác Mặc dù tác giả cố gắn, xong khản kiến thức hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp Thầy, Cô giáo bạn đọc Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả Trần Huy Mạnh 23 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bá Minh (2005), Một số vấn đề lý thuyết tối ưu đa trị NXB Giáo dục [2] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực & giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Đông Yên (2007), Giải tích đa trị, NXB Khoa học tự nhiên công nghệ [B] Tài liệu Tiếng Anh [4] Truong Thi Thuy Duong - Nguyen Xuan Tan (2011), "On the existence of solutions to generalized quasi-equilibrium problems", J Global Optim 52 (2012), no 4, 711–728 [5] Truong Thi Thuy Duong (2012), "Mixed generalized quasi-equilibrium problems",J Global Optim 56 (2013), no 2, 647–667 [6] Nguyen Xuan Tan (1985), "Quasi-variational inequa lities in topological linear locally convex Hausdorff space", Math Nachrichten, 122, 231-245 [7] Aubin,J.P., Cellina, A (1994),"Differential Inclusion", Springer Verlag, Berlin, Gemany [8] Fan, K (1972), "A Generalization of Tychonoffs Fixed Point Theorem", Mathematische Annalen, 142, 305-310 [9] S Park (2000), "Fixed Points and Quasi-Equilibrium Problems", Nonlinear Operator Theory Mathematical Methods and Computer Modelling, 32, 1297-1304 [10] Yannelis, N C., and Prabhaker, N D (1983), "Existence of maximal elements and equilibria in linear topological spaces", Jour of Math Eco., 12, 233-245 24 [...]... problems và ứng dụng của nó Cụ thể luận văn trình bày các vấn đề sau: Các kiến thức cơ bản cần dùng cho bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát Các điều kiện đủ để bài toán tựa cân bằng tổng quát có nghiệm Tám bài toán liên quan đến bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát như: Bài toán tựa cân bằng vô hướng tổng quát; Bất đẳng thức tựa biến phân Minty tổng quát; Bất đẳng thức tựa biến phân lý tưởng trên tổng. .. Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và ứng dụng Ta thấy rằng trong các bài toán tối ưu đơn trị có rằng buộc, nghiệm của chúng phụ thuộc vào nhiều điều kiện khác nhau, điều này cũng có thể xảy ra với ánh xạ đa trị Chương này ta sẽ nghiên cứu bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát, một số bài toán liên quan đến bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát, định lí về sự tồn tại nghiệm và một số ứng dụng. .. tổng quát; Bất đẳng thức tựa biến phân lý tưởng trên tổng quát; Bài toán tựa cân bằng lý tưởng trên tổng quát; Bài toán quan hệ tựa biến phân loại II; Quan hệ biến phân hỗn hợp và Bao hàm thức tựa biến phân véctơ suy rộng Hai ứng dụng của bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát là Bài toán điều khiển tối ưu và Cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác Mặc dù tác giả đã hết sức cố gắn, xong do khản năng... 2D (i = 1, 2), Q : D × D → 2K và F : K × D × D → 2Y Bài toán tìm x ∈ D sao cho: 1) x ∈ P1 (x); 2) 0 ∈ F (y, x, t) với mọi t ∈ P2 (x), y ∈ Q(x, t) Bài toán này được gọi là bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II Bài toán này đã được T.T.T Dương và N.X Tấn nghiên cứu khá chi tiết trong bài báo [4] đăng trên 13 tạp chí J.Global Optim 2.1.3 Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát Cho X, Y1 , Y2 , Z là các... đó bài toán trên được đưa về bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát 2.3 Sự tồn tại nghiệm Cho D, K là các tập compact, Các ánh xạ đa trị S, T, P, F và G có tập giá trị khác rỗng như trên Trước hết ta chứng minh định lí sau về sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát Định lí 2.2.1 Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn: 16 (i) S là ánh xạ đa trị với tập giá trị khác rỗng, lồi và. .. được trình bày trên cơ sở bài báo [5] 2.1 Giới thiệu bài toán Phần này ta giới thiệu về bài toán tựa cân bằng hỗ hợp tổng quát 2.1.1 Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I Cho X, Y, Z là các không gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff Giả sử rằng D ⊂ X, K ⊂ Z là các tập con khác rỗng Cho các ánh xạ đa trị S : D × K → 2D , T : D × K → 2K , và F : K × K × D × D → 2Y Ta xét bài toán sau: Tìm (x, y) ∈... y) ∈ D × K sao cho: 1) x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y); 2) 0 ∈ F (y, y, x, t) với mọi t ∈ S(x, y) Bài toán trên được gọi là bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I Bài toán này đã được T.T.T Dương và N.X Tấn nghiên cứu khá chi tiết trong bài báo [4] đăng trên tạp chí J.Global Optim 2.1.2 Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II Cho X, Y, Z là các không gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff Giả sử rằng D... → 2K và F : K × K × D × D → 2Y1 , G : K × D × D → 2Y2 Ta xét bài toán sau Tìm (x, y) ∈ D × K sao cho: 1) x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y); 2) 0 ∈ F (y, y, x, t) với mọi t ∈ S(x, y); 3) 0 ∈ G(y, x, t) với mọi t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t) Bài toán này được gọi là bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và được T.T.T Dương và N.X Tấn công bố trong bài báo [5] đăng trên tạp chí J.Global Optim 2.2 Một số bài toán liên... D × K; (iv b ) G là (Q, C1 ) - giống như tựa lồi dưới theo đường chéo theo biến thứ ba Thì tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho: x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y); F (y, x, t) ∩ −intC(x) = ∅, ∀t ∈ S(x, y); G(y, x, t) ∩ C1 (x) = ∅, ∀t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t) 2.4 Ứng dụng Trong mục này ta giới thiệu một số bài toán có ứng dụng của bài toán tựa cân bằng tổng quát hỗn hợp 4.1 Bài toán điều khiển tối ưu Cho Ω là một tập... bài toán liên quan đến bài toán tựa cân bằng 2.2.1 Bài toán tựa cân bằng vô hướng tổng quát Cho X, Y là các không gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff, D ⊂ X, K ⊂ Y là các tập con khác rỗng S : D×K → 2D ; T : D×K → 2K ; Pi : D → 2D , i = 1, 2; Q : D × D → 2K R(R+ ) là tập số thực (số thực không âm) và Φi : K × D × D → R, i = 1, 2 là hàm thỏa mãn Φi (y, x, x) = 0, i = 1, 2 với mọi y ∈ K, x ∈ D Bài ... dùng cho toán tựa cân hỗn hợp tổng quát Các điều kiện đủ để toán tựa cân tổng quát có nghiệm Tám toán liên quan đến toán tựa cân hỗn hợp tổng quát như: Bài toán tựa cân vô hướng tổng quát; Bất... văn là: Bài toán tựa cân hỗn hợp tổng quát ứng dụng Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu mở rộng toán cân ánh xạ đơn trị sang toán tựa cân loại I, tựa cân loại II toán tựa cân hỗn hợp tổng quát ánh... tựa cân hỗn hợp tổng quát, số toán liên quan đến toán tựa cân hỗn hợp tổng quát, định lí tồn nghiệm số ứng dụng Kết chương trình bày sở báo [5] 2.1 Giới thiệu toán Phần ta giới thiệu toán tựa cân