Thông tin tài liệu
1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Vectơ suy rộng lần đầu tiên được nhà toán học nổi tiếng Ucraina Iu.M.Beredanxki đưa ra và nghiên cứu khi xét bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng 7,8,9 Tuy nhiên các vấn đề lân cận với hướng đó đã được các nhà toán học M.G.Krein 10 , J.Leray 6 , P.D.Lax 5 đưa ra và nghiên cứu sớm hơn Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn, trên cơ sở sơ đồ tích tenxơ và những nhận xét về tích tenxơ các không gian Hilbert của Giáo sưViện sĩ Yu.M.Berezanxki, và nhằm trình bày lại các kết quả một cách tổng quan , nghiên cứu thêm về các bao hàm thức không gian Hilbert tách và áp dụng các kết quả, cùng với sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của PGS_TS_GVCC Nguyễn Phụ Hy, tôi mạnh dạn chọn đề tài: “Tích tenxơ các không gian Hilbert tách” 2. Mục đích nghiên cứu Trình bày một cách hệ thống khái niệm về tích tenxơ các không gian Hilbert tách, tích tenxơ các không gian Hilbert của các vectơ suy rộng, các bao hàm thức giữa các không gian đó và các toán tử tuyến tính bị chặn tác dụng trên chúng 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài này nhằm nghiên cứu và trình bày một cách có hệ thống ,chi tiết về không gian Hilbert tách, khái niệm tích tenxơ các không gian Hilbert tách, về toán tử và phiếm hàm tuyến tính liên tục tác dụng trên tích tenxơ các không gian Hilbert 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả của về không gian Hilbert tách và tích tenxơ các không gian Hilbert tách Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước liên quan đến tích tenxơ các không gian Hilbert tách 5. Phương pháp nghiên cứu Thu thập tài liệu và các bài báo về tích tenxơ các không gian Hilbert tách Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn 6. Dự kiến đóng góp của đề tài Trình bày một cách hệ thống những kiến thức về “Tích tenxơ các không không gian Hilbert tách” và toán tử tuyến tính bị chặn tác dụng trong các tích tenxơ đó.Vận dụng vào không gian ℝ , l2 n Chương 1 KHÔNG GIAN HILBERT 1.1.Khái niệm không gian Hilbert 1.1.1. Các định nghĩa Định nghĩa 1.1.1. Cho không gian tuyến tính X trên trường P ( P là trường số thực ℝ hoặc trường số phức ℂ ). Ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X vào trường , kí hiệu .,. , thỏa mãn P tiên đề: 1) x, y X y, x x, y ; 2) x, y, z X x y, z x, z y, z ; 3) x, y X P x, y x, y ; 4) x X x, x nếu x , x, x nếu x ,( là ký hiệu phần tử không của không gian X ) Các phần tử x, y, z gọi là các nhân tử của tích vô hướng x y Số x, y gọi là tích vô hướng của hai nhân tử và Các tiên đề 1), 2), 3), 4) gọi là hệ tiên đề tích vô hướng Định nghĩa 1.1.2. Không gian tuyến tính X trên trường P cùng với một tích vô hướng trên X gọi là không gian tiền Hilbert Định nghĩa 1.1.3. Ta gọi một tập H gồm những phần tử x, y, z nào đấy là không gian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn các điều kiện: 1) H là không gian tuyến tính trên trường P ; 2) H được trang bị một tích vô hướng .,. ; 3) H là không gian Banach với chuẩn x ( x, x) , x H Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là không gian Hilbert con của không gian H Định lý 1.1.1: (Bất dẳng thức schwartz): Đối với mỗi x X ta dặt : x ( x, x ) (1.1.1) Khi đó x, y X ta có bất đẳng thức Schwarz: ( x, y ) x y (1.1.2) Hệ quả1.1.12. Không gian tiền Hilbert là không gian định chuẩn với chuẩn xác định bởi công thức(1.1.1) Chứng minh: Nếu ( x, y ) thì bất đẳng thức (1.1.2) hiển nhiên đúng Nếu ( x, y ) thì ℝ ta có: x ( x, y ) y , x ( x, y ) y x ( x, y )( y, x) ( x, y )( y, x) ( x, y )( x, y )( y, y ) 2 x 2 ( x , y ) ( x , y ) y Từ bất đẳng thức trên ta nhận được một tam thức bậc hai không âm với ℝ Do đó ( x, y ) ( x, y ) x 2 y ( x, y ) x 2 y ( x, y ) x y Vậy ( x, y ) x y (x, y X ) Hệ quả 1.1.21. Tích vô hướng ( x, y ) là môt hàm liên tục của hai biến x và y theo chuẩn (1.1.1) x Chứng minh: Giả sử dãy điểm xn X bất kỳ hội tụ tới , dãy điểm bất kỳ yn Y hội tụ tới y Khi đó, C n N * yn C xn , yn ( x, y ) xn , yn ( x, yn ) x, yn ( x, y ) xn x yn x yn y * C xn x x yn y n N Suy ra, n lim xn , yn ( x, y ) □ Hệ quả1.1.2. Không gian tiền Hilbert là không gian định chuẩn với chuẩn xác định bởi công thức(1.1.1) Chứng minh: Thật vậy, ta kiểm tra các tiên đề sau: 1) x X x x x, x 0, x, x x là ký hiệu phần tử không của không gian tiền Hilbert X (Do cách xây dựng x, x ); 2) x X P x ( x, x) x, x 3) x, y X x y ( x y, x y ) x, x y y , x y x, x y , x x, y y , y x 2 x y y Vậy không gian tiền Hilbert X là không gian định chuẩn Chuẩn sinh bởi công thức (1) gọi là chuẩn sinh bởi tích vô hướng Định nghĩa 1.1.4. Cho không gian Hilbert H Hai phần tử x, y H gọi là trực giao, ký hiệu x y, nếu x, y Định nghĩa 1.1.5. Cho không gian Hilbert H và tập con A H , A Phần tử x H gọi là trực giao với tập A , nếu x y (y A), và ký hiệu x A Định nghĩa 1.1.6. Cho không gian Hilbert H và không gian con E H Tập con F H gồm các phần của không gian H trực giao với tập E gọi là phần bù trực giao của tập E trên không gian H và ký hiệu : F H E Định nghĩa 1.1.7. Cho không gian Hilbert H Một tập ( còn gọi là hệ thống) gồm hữu hạn hay đếm được các phần tử en n1 H gọi là một hệ trực chuẩn, nếu e , e i j ij ij là ký hiệu Kroneckes, ij với i j , ij với i j , i, j 1, 2, Định nghĩa 1.1.7. Hệ trực chuẩn en n1 trong không gian Hilbert gọi là cơ sở trực chuẩn của không gian H , nếu trong không gian H không tồn tại vectơ khác không nào trực giao với hệ đó Định nghĩa 1.1.8. Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert X và không gian Hilbert Y Toán tử B ánh xạ không gian Y vào không gian X gọi là toán tử liên hợp với toán tử A , nếu H Ax, y x, By , x X , y Y Toán tử liên hợp B được ký hiệu là A Định nghĩa 1.1.9. Toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert H vào chính nó gọi là tự liên hợp, nếu Ax, y x, Ay , x, y H Toán tử tự liên hợp còn gọi là toán tử đối xứng 1.1.2. Một số tính chất cơ bản 1) x X , x Thật vậy, x X , x 0.x, x x, x 2) x, y X P x, y ( x, y ) Thật vậy, với x, y X P ta có x, y y, x y, x ( x, y ) 3) x, y, z X x, y z ( x, z ) ( y, z ) Chứng minh. Thật vậy, với x, y, z X ta có x, y z y z, x ( y, x) ( x, z ) ( x, y) ( x, z ) 4) x x H ( là ký hiệu phần tử không của không gian) Chứng minh. Vì x H ta có , x nên x 5) x H mà x x thì x Chứng minh. Vì x x ta có x, x , nên x 6) Nếu các phần tử x, y j H ( j 1, 2,3, , n) thỏa mãn điều kiện x y j ( j 1, 2, , n ), j P ( j 1, 2,3, , n) n x j y j j 1 thì ta có Chứng minh Thật vậy, nhờ các tính chất của tích vô hướng n n n x , y ( x , y ) j ( x, y j ) j j j j j 1 j 1 j 1 xH yn H 7) Cho phần tử và dãy các phần tử hội tụ tới y H theo chuẩn x ( x, x) Nếu x yn (n N ) thì x y Thật vậy, theo tính liên tục của tích vô hướng, ta có : yn lim x, yn x, y x, nlim n Chú ý. Theo tính chất 7) và định nghĩa (1.1.6) thì F là không gian con của không gian H Khi đó không gian H biểu diễn được dưới dạng tổng trực tiếp: H F E x x1 x2 : x1 F , x2 E Trong trường hợp hai tập E , F mà tập này là phần bù trực giao của tập kia trên không gian H , thì tổng trực tiếp F E gọi là tổng trực giao 8) Cho A là tập con trù mật khắp nơi trong không gian H . Khi đó, nếu x H và x A thì x Thật vậy, giả sử x H và x A Do A là tập con trù mật khắp nơi trong không x H H gian , nên tồn tại dãy phần tử xn A hội tụ tới trong không Áp dụng tính chất 7) ta được x x, do đó x 1.2.Một số định lý quan trọng 1.2.12. Định lý về hình chiếu lên không gian con Định lý 1.2.1. Cho không gian Hilbert H và H là không gian con của H Khi đó phần tử bất kỳ x H biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng x y z , y H , z H (1.2.1) Phần tử y trong biểu diễn (1.2.1) gọi là hình chiếu của phần tử x lên không gian con H 1.2.2. Bất đẳng thức Bessel Định lý 1.2.2. Nếu en n1 là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert , thì H x H ta đều có bất đẳng thức (1.2.2) Bất đẳng thức (1.2.2) gọi là bất ( x, en ) x đẳng thức Bessel n 1 Chứng minh. Đặt d inf x u , theo tính chất cận dưới đúng tồn tại một dãy uH lim x un d u H0 phần tử n sao cho n Ta có: x un Đặt d k x uk (k 1, 2,3 ) x um u um 4 x n 2 u u H0 Do n m , nên ta có: un um 2d n2 2d m2 4d (n, m 1, 2, ) un um lim un um Suy ra n,m không gian con H0 Mặt khác do H lim un y H , ta có n là không gian Banch và tính đóng của , nghĩa là x y lim x un d Đặt z x y do đó v n ,ta chứng minh z H Thật vậy, giả sử v H mà z, v c 0, Suy ra phần tử w y c v H0 v, v và d xw 2 c c c x y v z v, z v v, v v, v v, v c c c c.c z c c d 2, v, v z v, v v, v v, v v, v điều này vô lý. Suy ra ( z, u ) 0, u H hay z H Cuối cùng ta chứng minh tính duy nhất của biểu diễn (1.2.1) Giả sử phần tử x H có thể biểu diễn dưới dạng (1.2.1) bằng hai cách x y z y ' z ' , y, y ' H , z H , z ' H ' ' ' ' Khi đó y y ( z z ) 0, y y H , z z H Áp dụng định lý Pythagore ta được y y' z z' y y' , z z' , Vậy biểu diễn (1.2.1) là duy nhất Định lý được chứng minh. □ 1.2.32. Định lý về đẳng thức Paseval và phương trình đóng H Định lý 1.2.32. Cho en n1 là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert . Khi đó năm mệnh đề sau là tương đương: H 1) Hệ en n1 là cơ sở trực chuẩn của không gian ; 2) 3) x H x ( x, en )en ; n 1 ; x, y H x, y ( x, en )(en , y) n 1 x H x ( x, en ) (Đẳng thức Paseval); 4) ( Phương trình đóng); n 1 H 5) Bao tuyến tính của hệ en n1 trù mật khắp nơi trong không gian ( nghĩa là, tập tất cả tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn bất kỳ các H phần tử thuộc hệ en n1 trù mật khắp nơi trong không gian ) Lưu ý. Tích vô hướng ( x, en ) gọi là hệ số Fourier của phần tử x H đối với hệ en n1 H ( x, e ) Theo bất đẳng thức Bessel n x trực chuẩn chuỗi số gồm n 1 các bình phương modun các hệ số Fourier của một phần tử bất kỳ thuộc không gian Hilbert H theo một hệ trực chuẩn tùy ý trong không gian H bao giờ cũng ( x, e ).e n n hội tụ. Từ đó suy ra chuỗi n1 hội tụ và gọi là chuỗi Fourier của phần tử xH theo hệ trực chuẩn en n1 H ( x, e ).e 1) 2) n n Chứng minh. Theo nhận xét trên, chuỗi n1 hội tụ trong không H x H gian đối với phần tử bất kỳ Ký hiệu tổng của chuỗi đó là z. Khi đó m N và k m ta có: k z x, em z, em x, em lim ( x, en ).en ,em x, em x, em x, em k n 1 zx en n1 Vậy zx x ( x, en ).en trực giao với cơ sở trực chuẩn . Do đó hay n 1 2) 3) Áp dụng tính chất tích vô hướng ( x, y ) là một hàm liên tục của hai biến x và y theo chuẩn (1.1.1) ta có: k k ( x, y ) lim ( x, en ).en , lim ( y, e j ).e j k j 1 k n 1 k k lim ( x, en ).en , ( y, e j ).e j k j 1 n 1 k k lim ( x, en )( y, e j )(en , e j ) k n 1 j 1 k Vậy lim ( x, en )( y, en ) ( x, en ).(en , y ) k ( x, y ) ( x, en ).(en , y ) n 1 n 1 n 1 3) 4) Cho y x thay vào đẳng thức Paseval ta được x x, x ( x, en ) n 1 4) 5) ( x, e ).e n n Theo chứng minh trên ta biết chuỗi n1 hội tụ trong không gian H xH đối với phần tử bất kỳ . Mặt khác vì ( x, en ).en ( x, en ) , n , nên ta có: k k k x ( x , e ) e , x ( x , e ) e x n n n n x, ( x, en ).en n 1 n 1 n 1 ( x, en ).en , x ( x, en ).en , ( x, en ).en n 1 n1 n1 x ( x, en ) ( x, en ) ( x, en ) 2 n 1 Vậy n 1 n 1 x ( x, en ).en n 1 k Suy ra x lim ( x, en ).en , x H , k n 1 10 nghĩa là x giới hạn của một dãy các tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn bất kì các phần tử thuộc hệ en n1 H Vì vậy bao tuyến tính của hệ en n1 trù mật trong không gian H 5) 1) Giả sử x H và x en , n 1, 2,3 Khi đó, theo tính chất 6), x trực giao với bao tuyến tính của hệ en n1 . Nhưng bao tuyến tính của hệ en n1 trù mật khắp nơi trong không gian H , (nghĩa là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn bất kỳ các phần tử thuộc hệ en n1 trù mật khắp nơi trong không gian H H ), nên x Vậy hệ en n1 là cơ sở trực chuẩn của không gian Định lý được chứng minh. □ 1.2.43. Điều kiện cần và đủ để một không gian Hilbert là không gian tách Định lý 1.2.43. Không gian Hilbert có cơ sở trực chuẩn khi và chỉ khi không gian đó là không gian tách được Chứng minh. Điều kiên cần H Y Giả sử không gian Hilbert có cơ sở trực chuẩn en n1 Ký hiệu là bao tuyến Y tính của hệ en n1 . Theo định lý (1.2.2) tập trù mật khắp nơi trong không gian H Ký hiệu A là tập tất cả tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn tùy ý vectơ thuộc cơ sở trực chuẩn với hệ số hữu tỉ hoặc với hệ số phức có phần thực và phần ảo hữu tỉ. Dễ dàng thấy tập A đếm được . Mặt khác , với phần tử bất kỳ y Y ta có y a1en1 a2 en a p enp Với cho trước tùy ý, với mỗi j 1, 2,3, , p tìm được số rj hữu tỉ hoặc số phức rj có phần thực và phần ảo hữu tỉ tùy theo số a j thực hoặc phức sao cho a j rj p z rj en A, p Ta nhận được phần tử j 1 và p y z rj en j 1 Từ đó suy ra tập A trù mật trong tập Y , do đó tập A trù mật khắp nơi trong H Vậy H là không gian Hilbert tách được Điều kiện đủ Giả sử không gian Hilbert H tách được và A là tập đếm được trù mật khắp nơi trong không gian H Khi đó các phần tử của tập A viết được dưới dạng một dãy, giả sử A zn n1 Nếu một phần tử nào đó zn A là tổ hợp tuyến tính của các vectơ z1 , z2 , , zn 1 , thì vectơ đó bị loại bỏ. Ta nhận được dãy mới xn n1 gồm các vectơ độc lập tuyến tính (hữu hạn hay đếm được). Như vậy bao tuyến tính của hệ trùng với bao tuyến tính của hệ zn n1 Nhờ quá trình trực giao hóa HilbertSchmidt, ta nhận được hệ trực chuẩn en n1 Bằng phép quy nạp toán học, ta thấy bao tuyến tính của các vectơ e1 , e2 , , en trùng với bao tuyến tính của n các vectơ x1 , x2 , , xn với mỗi số nguyên dương. Do đó bao tuyến tính của các hệ en n1 trùng với bao tuyến tính của hệ xn n1 Từ đó suy ra bao tuyến tính của 16 Suy raThật vậy,giả sử xn n1 ℝ là các vectơ hữu hạn hay đếm được phần tử n x1 e1 x1 thì độc lập tuyến tính . Đặt Đặt y2 x2 x2 , e1 e1 thì y2 , e1 x2 , e1 x2 , e1 e1 , e1 e1 Hiển nhiên, y2 vì y2 sẽ kéo theo x1 , x2 phụ thuộc tuyến tính, điều này y2 e2 , e1 e2 y2 ta được mâu thuẫn với giả thiết. Đặt , k Giả sử đã xây dựng được phần tử e1 , e2 , , ek sao cho ei , e j ij i, j 1, 2, , k e2 jk k Đặt yk 1 xk 1 xk 1 , ei ei i 1 thì với và yk 1 , vì yk 1 sẽ kéo theo x1 , x2 , , xk phụ thuộc tuyến tính, điều này mâu ek 1 yk 1 ek 1 ek 1 , e j 0( j 1, 2, , k ) yk 1 ta được và thuẫn với gỉa thiết . Đặt m Nếu dãy xn n1 gồm vectơ độc lập tuyến tính, thì quá trình trên dừng lại ở bước thứ m(m ℕ ) ; còn nếu dãy xn n1 gồm vô hạn vectơ độc lập tuyến tính ( n 1, 2, ), thì quá trình trên có thể tiếp tục mãi mãi. Cuối cùng ta nhận được hệ trực chuẩn cần tìm en n1 n x Giả sử x ℝ và x en n 1, 2,3 Khi đó trực giao với bao tuyến tính của hệ en n1 . Ký hiệu M là bao tuyến tính của hệ en n1 Khi đó M trù mật khắp nơi trong không gian ℝ n (nghĩa là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của một số hữu n hạn bất kỳ các phần tử thuộc hệ en n1 trù mật khắp nơi trong không gian ℝ ) n nên x Vậy hệ en n1 là cơ sở trực chuẩn của không gian ℝ Ký hiệu A là tập tất cả tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn số tùy ý thuộc cơ sở trực chuẩn en n1 với hệ số hữu tỉ. Khi đó A là tập đếm được Mặt khác, với một số bất kỳ y M ta có: p y a1en1 a2 en a p enp a j enj j 1 Với cho trước, j 1, 2, , p ta tìm được số rj : a j rj p p p z rj en A y z a j rj j 1 j 1 Ta nhận được phần tử và n A trù mật trong ℝ A trù mật khắp nơi trong ℝ n Suy ra A trù mật trong M Do đó không gian ℝ n là không gian tách được Vậy không gian ℝ n là không gian Hilbert tách được 1.4.2. Không gian. l2 17 l2 x xk k 1 \ xk ℂ , xk k 1 Ký hiệu Tập hợp Không gian l2 cùng với hai phép toán: l2 l2 l2 Phép cộng: “+”: x, y x y xk yk k 1 ℂ l2 l2 Phép nhân: “ . ”: , x x xk k 1 là không gian tuyến tính phức Thật vậy, hai phép toán trên đều tồn tại vì với x xk k 1 , y yk k 1 l2 , ℂ thì xk yk k 1 l2 và xk k 1 l2 Hơn nữa, 8 tiên đề về không gian tuyến tính phức được thoả mãn vì: 1) x, y l2 ta có: x y xk k 1 yk k 1 xk yk k 1 yk xk k 1 yk k 1 xk k 1 y x; 2) x, y, z l2 x y z xk k 1 yk k 1 zk k 1 xk yk k 1 zk k 1 ta có: xk yk zk k 1 xk k 1 yk zk k 1 xk k 1 yk k 1 zk k 1 x ( y z ); 3) x l2 k 1, 2, tồn tại 0k k 1 l2 , 0k thỏa mãn: x xk k 1 0k k 1 ( xk 0k ) xk k 1 x ( là phần tử không của không gian l2 ) ; 4) x l2 tồn tại phần tử x xk k 1 l2 thỏa mãn: x ( x) xk k 1 xk k 1 xk xk k 1 k 1 x chính là phần tử đối của x trong không gian l2 ; 5) x l2 6) x l2 , a, b ℂ ta có: 1.x xk k 1 1.xk k 1 xk k 1 x; ta có: a(bx) a bxk k 1 abxk k 1 ab xk k 1 (ab) x; 18 7) x l2 , a, b ℂ ta có: (a b) x (a b) xk k 1 a b xk k 1 a b xk k 1 axk bxk k 1 axk k 1 bxk k 1 a xk k 1 b xk k 1 ax bx; 8) x, y l2 , a ℂ a ( x y ) a xk k 1 yk k 1 a xk yk k 1 axk byk k 1 ta có: axk k 1 byk k 1 a xk k 1 b yk k 1 ax ay; Ta xét ánh xạ .,. : l2 l2 ℂ ( x, y ) ↦ f ( x, y ) xk yk ( x, y ) k 1 Khi đó, ánh xạ .,. là một tích vô hướng trên không gian l2 l2 Không gian được trang bị một tích vô hướng ( x, y ) xk yk k 1 Vậy không gian l2 là một không gian tuyến tính phức l2 Không gian được trang bị tích vô hướng ( x, y ) xk yk x 1 Thật vậy, ta kiểm tra các tiên đề: 1) 2) k 1 x 1 x, y l2 y, x yk xk xk yk ( x, y ); k 1 k 1 x, y, z l2 x y, z xk yk .zk xk zk yk zk xk zk yk zk ( x, z ) ( y, z ); k 1 3) k 1 4) k 1 k 1 x, y l2 ℂ x, y xk yk xk yk ( x, y ); x l2 x, x xk k 1 x, x xk k 1 2 0 x , với xk k 1, 2, x ; l2 Vậy, không gian là không gian tiền Hilbert với tích vô hướng Không gian l2 là không gian Hilbert: ( x, y ) xk yk x 1 19 Thật vậy, chuẩn trên l2 được xác định bởi hệ thức x ( x, x), x l2 ; (Hệ quả 1.1.2). Nên ta chỉ còn cần chứng minh l2 là không gian Banach Ta xét dãy cơ bản bất kỳ x n n 1 l2 với x n xk n k 1 n 1, 2, Khi đó, n0 ℕ n, m n0 : x n x m k 1 xk n xk m Suy ra với mỗi n, m n0 : p xk n xk m , p 1, 2, k 1 và xk xk n m (1.4.1) , k 1, 2, (1.4.2) Các bất đẳng thức (1.4.2) chứng tỏ với mỗi cố định tùy ý, dãy số phức xk n là dãy cơ bản, do đó tồn tại giới hạn: n n lim xk n xk , k 1, 2, p Đặt x xk xk k 1 Vì bất đẳng thức (1.4.1) không phụ thuộc nên ta có thể cho qua giới hạn trong bất đẳng thức (1.4.1) khi m , khi đó ta được: p x x k 1 n k k , n n0 , p 1, 2, (1.4.3) Cho qua giới hạn trong đẳng thức (1.4.3) khi p ta được: x x k 1 n k k , n n0 (1.4.4) Mặt khác, xk xk xk n xk n 2 x n k xk xk n 2 xk n xk n xk , k , n 1, 2, Từ bất đẳng thức (1.4.4) và (1.4.5) suy ra: (1.4.5) 20 p k 1 p p 2 xk 2 xk 2 xk xk 2 xk 2 xk xk n k 1 n k 1 n k 1 n k 1 2 xk n1 2 , p 1, 2, , n1 n0 k 1 xk 2 xk 2 , n1 n0 k 1 n k 1 Do đó x xk l2 Từ kết quả trên đây và hệ thức (1.4.4) suy ra x n x x x k 1 n k k , n n0 Nên dãy cơ bản đã cho hội tụ tới x trong không gian l2 Suy ra Kkhông gian l2 là một không gian Banach với chuẩn x ( x, x ) x k 1 k Do đó, Vậy, không gian l2 là một không gian Hilbert Mặt khác, l2 là không gian là không gian tách Thật vậy,giả sử x xn n1 là phần tử bất kì thuộc l2 và là số dương cho trước l2 , tùy ý. Theo định nghĩa p chuỗi số n 1 0 xn hội tụ, nghĩa là với đã cho, tồn tại số nguyên dương sao cho n p 1 Đối với mỗi số xn ta tìm được số rn (n 1, 2, , p), sao cho: xn xn rn 2 ; 4p (ở đây, nếu xn là số thực thì số rn là số hữu tỉ, còn nếu xn là số phực thì số rn được hiểu là số phức với phần thực và phần ảo đều hữu tỉ) Suy ra x n 1 Đặt x ( p) ( x1 , x2 , , x p , 0, 0, , 0), y d ( p) dy n ( y1 , y2 , , y p , 0, 0, , 0) , thì x ( p ) , y ( p ) l2 và ( p) 2 x( p) x 2 , x( p) d x( p) , x y ( p) x y ( p) x( p) Điều này chứng tỏ tập B gồm tất cả các dãy số dạng 21 y ( p ) ( y1 , y2 , , y p , 0, 0, , 0), Do đó không gian l2 là không gian tách được Suy ra, Vậy l2 là không gian Hilbert tách được Chương 2 TÍCH TENXƠ CÁC KHÔNG GIAN HILBERT TÁCH 2.1.Khái niệm tích tenxơ các không gian Hilbert tách 2.1.1. Sơ đồ thành lập tích tenxơ các không gian Hilbert tách Trong cuốn sách 9 Giáo sư_Viện sĩ Yu.M.Berezanxki đã đưa ra sơ đồ thành lập tích tenxơ hai không gian Hilbert như sau: Giả sử H ' và H " là hai không gian Hilbert trên trường K ( K là trường số phức ℂ hoặc trường số thực ℝ ). Các phần tử của H ' và H " lần lượt được ký hiệu 22 f ' , g ' và f " , g " Ký hiệu f ' f " được gọi là tích tenxơ của hai phần tử f ' H ' , f " H " nếu ký hiệu đó thỏa mãn các điều kiện: T f ' g ' f " f ' f " g ' f " ; T f ' f " g " f ' f " f ' g " ; (2.1.1) T f ' f " f ' f " f ' f , K ' " Ký hiệu L là bao tuyến tính các tích tenxơ của hai phần tử dạng f f với f ' H ' , f " H " và đưa vào L tích vô hướng dạng: f ' f ", g ' g" L , f ' f " , g ' g " f ' , g ' ' f " , g " H H" (2.1.2) Ta nhận được không gian tiền Hilbert L Làm đầy không gian tiền Hilbert L theo chuẩn sinh bởi tích vô hướng (2.1.2) và thác triển tích vô hướng (2.1.2) từ L lên toàn bộ không gian đã được làm đầy theo tính liên tục của tích vô hướng đó, ta nhận được không gian Hilbert mới. Không gian Hilbert mới nhận được gọi là tích tenxơ của hai không gian Hilbert H ' và H " , ký hiệu là H ' H " Tuy nhiên, đối với không gian Hilbert nói chung việc chứng minh hệ thức (2.1.1) là một tích vô hướng không phải dễ. Trong luận văn này, tôi chỉ xét các không gian Hilbert tách. 2.1.2. Tích tenxơ các không gian Hilbert tách Giả sử H ' và H " là hai không gian Hilbert tách trên trường K ( K là trường số thực ℝ hay trường số phức ℂ ) ) , (e j ) j 1 và (ek ) k 1 là các cơ sở trực ' " chuẩn tương ứng trong các không gian H ' và H " , các phần tử của H ' và H " ' ' " " được ký hiệu lần lượt là f , g và f , g Giả sử tập hợp kí hiệu e j ek thỏa mãn điều kiện (2.1.1) ' Định lý 2.1.1. Với " f ' H ' , f ' f j'e'j j 1 , f " H " , f " f k"ek" k 1 thức tập hợp các tích hình 23 f' f" j , k 1 f j' f k"e'j ek" , (2.1.32) thỏa mãn các điều kiện (2.1.1) ' " ' ' ' " Kí hiệu L L f f là bao tuyến tính các tích hình thức f f với f H , f " H " ' " K Khi đó, L L f f trở thành không gian vectơ trên trường ' " ' " Định lý 2.1.2. Với f f L , g g L đặt f ' f " , g ' g " f ' , g ' ' f " , g " H , (2.1.23) H" xác định một tích vô hướng trên không gian L Giả sử, các phần tử f ' , g ' và f " , g " tương ứng thuộc H ' và H " có biểu diễn: f ' f j'e'j , g ' g 'j e'j , f " f k"ek" , g " g k" ek" , j 1 trong đó j 1 j 1 k 1 k 1 f j' , g 'j , f k" , g k" 2 j 1 k 1 k 1 ' " ' " ' ' " " Khi đó, f f , g g f , g H f , g H ' f j' g 'j f k" g k" j 1 k 1 j , k 1 " f j' f k" g 'j g k" (2.1.4) Không gian L cùng với tích vô hướng (2.1.23) trở thành không gian tiền Hilbert. Làm đầy không gian tiền Hilbert L theo chuẩn sinh bởi tích vô hướng (2.1.2) và thác triển tích vô hướng (2.1.2) từ L lên toàn bộ không gian đã được làm đầy theo tính liên tục của tích vô hướng đó, ta nhận được không gian Hilbert mới. Không gian Hilbert mới nhận được gọi là tích tenxơ của hai không gian Hilbert H ' và H " , ký hiệu là H ' H " Làm đầy không gian tiền Hilbert đó theo chuẩn sinh bởi tích vô hướng (2.1.2) ta nhận được tích tenxơ của hai không gian Hilbert tách H ' H " ,kí hiệu là H ' H " H ' H " là không gian Hilbert trên trường K Định lý 2.1.3. Hệ e j ek j ,k 1 lập thành hệ trực chuẩn đủ trong không gian ' " H' H" 24 ' " ' " ' " Định lý 2.1.4. Với F f f , G g g H H ta có các hệ thức sau: F Fjk e'j ek" ; (2.1.5) (2.1.5) G G jk e'j ek" ; (2.1.6) (2.1.6) F , G Fjk G jk (2.1.7) (2.1.7) ' ' ' " " Định lý 2.1.5. Nếu f n f n trong không gian H , f m f m trong " ' " ' " ' " không gian H thì f n f m f f trong không gian H H Định lý 2.1.6. Không gian tích tenxơ H ' H " được thành lập không phụu thuộc việc chọn các cơ sở trực chuẩn e'j j 1 H' , ek k 1 H " " 2.2. Toán tử tuyến tính liên tục 2.2.1. Khái niệm tích tenxơ các toán tử tuyến tính liên tục ' " ' " GiảGỉa sử H , H , G , G là các không gian Hilbert tách trên cùng trường K , A' : H ' G ' , A" : H " G " , là các toán tử tuyến tính liên tục. Tích hình thức A' A" xác định như sau: A' A" : H ' H " G ' G " f j 1 ' j f j" ↦ A' A" f j' f j" A' f j' A" f j" j 1 j 1 (2.2.1) 2.2.2. Một số định lí ' " ' " Giả sử H , H , G , G là các không gian Hilbert tách trên cùng trường K , các hệ e ' j j 1 , e " k k 1 là các cơ sở trực chuẩn tương ứng trong các không gian H ' , H " A' : H ' G ' , B ' : H ' G ' , A" : H " G " , B" : H " G " là các toán tử tuyến tính liên tục. Định lý 2.2.12. Toán tử (2.2.1) là tuyến tính liên tục và có thể thác triển liên tục từ toàn bộ không gian H ' H " lên toàn bộ không gian G ' G" Hơn nữa, A' A" A' A" 25 Định lý 2.2.21. Ta cóChứng minh rằng: ' ' " ' " ' " 1) A B A A A B A ; ' " " ' " ' " 2) A A B A A A B ; ' " ' " ' " 3) A A A A A A Định lý 2.2.2. Toán tử (2.2.1) là tuyến tính liên tục và có thể thác triển liên tục từ toàn bộ không gian H ' H " lên toàn bộ không gian G ' G" Hơn nữa, A' A" A' A" ' " ' " ' " ' " ' " Định lý 2.2.3. Tồn tại toán tử A A : G G H H và A A A A 26 KẾT LUẬN Bước đầu tìm hiểu đề tài “Tích tenxơ các không gian Hilbert tách” , với mục đích đề ra , luận văn đã trình bày chi tiết các vấn đề nghiên cứu trong từng chương : Chương 1: Hệ thống các kiến thức cơ bản về không gian Hilbert .Giới thiệu và chứng minh chi tiết một số định lí quan trọng trong không gian Hilbert, n giới thiệu các một số không gian Hilbert tách ℝ , l2 Chương 2 : Đưa ra được khái niệm tích tenxơ haicác không gian Hilbert tách,khái niệm tích tenxơ các toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert tách. Từ đó đưa ra một số định lý quan trọng liên quan đến tích tenxơ hai các không gian Hilbert tách và tích tenxơ các toán tử tuyến tính liên tục trong không gian đó Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn của tôi được hoàn thiện hơn 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO A. Tài liệu tiếng Việt [1]. Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội [2] Nguyễn Phụ Hy (2007), Bài tập Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội [3] Nguyễn Phụ Hy (1989), Về một lớp phương trình phi tuyến, Thông tin khoa học trường ĐHSP Hà Nội 2, số 2, (2330) [4]. Hoàng Tụy (2003), Hàm thực và giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia Hà Nội B. Tài liệu tiếng nước ngoài [5]. Lax P.D.( 1954), Symmetrizable linear transformations đối xứng tuyến Comm. Pure a Appl. Math, T.7, số 4, tr. 633647 [6]. Leray J(1952), Lectures on hyperbolic equations with variable coefficients, Princeton, Inst. For Adv. Study [7]. Berezanxki Yu.М.(1958), Về các bài toán biên đối với toán tử vi phân tổng quát trong đạo hàm riêng, DNA Liên Xô,Т.122, số 6, tr.959962 [8]. Berezanxki Yu.М. (1963),Các không gian với chuẩn âm, UМN, Т.18, số1, tr.6396 28 [9] Berezanxki Yu.М. (1965), Khai triển theo hàm riêng của các toán tử tự liên hợp, Nxb Khoa học, Kiev [10] Krein М.G.(1947), Về các toán tuyến tính liên tục trong các không gian hàm ,Tuyển tập các công trình của viện toán học Ukraina,Т.9, tr 104– 129 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng Việt [1]. Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội [2] Nguyễn Phụ Hy (2007), Bài tập Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội [3] Nguyễn Phụ Hy (1989), “Về một lớp phương trình phi tuyến”, Thông tin khoa học trường ĐHSP Hà Nội 2, (số 2), (2330) [4]. Hoàng Tụy (2003), Hàm thực và giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia Hà Nội B. Tài liệu tiếng nước ngoài 29 [5] Крейн М.Г.(1947), Об линейных непрерывных операторахв функциональных пространствах, (Về các toán tuyến tính liên tục trong các không gian hàm) Зборник трудов института математика АН УРСР, Т.9,104– 129 [6]. Leray J(1952), Lectures on hyperbolic equations with variable coefficients (Các bài giảng về hyperbolic tương đương với hệ số biến thiên ), Princeton, Inst. For Adv. Study, [7]. Lax P.D.( 1954), Symmetrizable linear transformations,( (Phép biến đổi đối xứng tuyến tính) Comm. Pure a Appl. Math., T.7, №4, , 633647 [8] Березанский Ю.М.(1958), О красивых задачах для общих дифференциальных оператороы в частных производных ДАН СССР, (Về các bài toán bờ đối với toán tử vi phân tổng quát trong đạo hàm riêng)Т.122, № 6, 959962 [9]. Березанский Ю.М. (1963)Пространства с негативской нормы,(Các không gian với chuẩn âm) УМН, Т.18, №1, 6396, [10] Березанский Ю.М.(1965) Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов, (Khai triển theo hàm riêng của các toán tử liên hợp)Наукова дупка, Киев 30 [...]... gồm tất cả các dãy số dạng 1 21 y ( p ) ( y1 , y2 , , y p , 0, 0, , 0), Do đó không gian l2 là không gian tách được Suy ra, Vậy l2 là không gian Hilbert tách được Chương 2 TÍCH TENXƠ CÁC KHÔNG GIAN HILBERT TÁCH 2.1.Khái niệm tích tenxơ các không gian Hilbert tách 2.1.1. Sơ đồ thành lập tích tenxơ các không gian Hilbert tách Trong cuốn sách 9 Giáo sư_Viện sĩ Yu.M.Berezanxki đã đưa ra sơ đồ thành lập tích tenxơ hai không gian Hilbert như sau:... lên toàn bộ không gian đã được làm đầy theo tính liên tục của tích vô hướng đó, ta nhận được không gian Hilbert mới. Không gian Hilbert mới nhận được gọi là tích tenxơ của hai không gian Hilbert H ' và H " , ký hiệu là H ' H " Tuy nhiên, đối với không gian Hilbert nói chung việc chứng minh hệ thức (2.1.1) là một tích vô hướng không phải dễ. Trong luận văn này, tôi chỉ xét các không gian Hilbert tách. 2.1.2. Tích tenxơ các không gian Hilbert tách ... trong không gian ℝ n Nên không gian ℝ n là một không gian Banach với chuẩn x ( x, x ) n x k 1 k 2 ℝn Không gian được trang bị một tích vô hướng n ( x, y ) xk yk k 1 Không gian ℝ n là một không gian Banach với chuẩn x ( x, x ) n x k 1 2 k Do đó, không gian ℝ n là một không gian Hilbert Mặt khác, ℝ n là không gian là không gian tách Vậy, không gian ℝ n là một không gian Hilbert. .. (2.1.4) Không gian L cùng với tích vô hướng (2.1.23) trở thành không gian tiền Hilbert. Làm đầy không gian tiền Hilbert L theo chuẩn sinh bởi tích vô hướng (2.1.2) và thác triển tích vô hướng (2.1.2) từ L lên toàn bộ không gian đã được làm đầy theo tính liên tục của tích vô hướng đó, ta nhận được không gian Hilbert mới. Không gian Hilbert mới nhận được gọi là tích tenxơ của hai không gian Hilbert ... Chương 1: Hệ thống các kiến thức cơ bản về không gian Hilbert .Giới thiệu và chứng minh chi tiết một số định lí quan trọng trong không gian Hilbert, n giới thiệu các một số không gian Hilbert tách ℝ , l2 Chương 2 : Đưa ra được khái niệm tích tenxơ haicác không gian Hilbert tách, khái niệm tích tenxơ các toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert tách. Từ đó đưa ra một số định lý quan trọng liên quan đến tích tenxơ ... trù mật trong M Do đó không gian ℝ n là không gian tách được Vậy không gian ℝ n là không gian Hilbert tách được 1.4.2. Không gian. l2 1 17 2 l2 x xk k 1 \ xk ℂ , xk k 1 Ký hiệu Tập hợp Không gian l2 cùng với hai phép toán: l2 l2 l2 Phép cộng: “+”: x, y x y xk yk k 1 ℂ l2 l2 Phép nhân: “ . ”: , x x xk k 1 là không gian tuyến tính phức... Làm đầy không gian tiền Hilbert đó theo chuẩn sinh bởi tích vô hướng (2.1.2) ta nhận được tích tenxơ của hai không gian Hilbert tách H ' và H " ,kí hiệu là H ' H " H ' H " là không gian Hilbert trên trường K Định lý 2.1.3. Hệ e j ek j ,k 1 lập thành hệ trực chuẩn đủ trong không gian ' " H' H" 1 24 ' " ' " ' " Định lý 2.1.4. Với F f f , G g g H H ta có các hệ thức sau:... Từ kết quả trên đây và hệ thức (1.4.4) suy ra x n x x x k 1 n k k 2 , n n0 Nên dãy cơ bản đã cho hội tụ tới x trong không gian l2 Suy ra Kkhông gian l2 là một không gian Banach với chuẩn x ( x, x ) x k 1 k 2 Do đó, Vậy, không gian l2 là một không gian Hilbert Mặt khác, l2 là không gian là không gian tách Thật vậy,giả sử x xn n1 là phần tử bất kì thuộc l2 và là số dương cho trước l2 ,... Định lý 2.1.5. Nếu f n f n trong không gian H , f m f m trong " ' " ' " ' " không gian H thì f n f m f f trong không gian H H Định lý 2.1.6. Không gian tích tenxơ H ' H " được thành lập không phụu thuộc việc chọn các cơ sở trực chuẩn e'j j 1 H' , ek k 1 H " " 2.2. Toán tử tuyến tính liên tục 2.2.1. Khái niệm tích tenxơ các toán tử tuyến tính liên tục... là bao tuyến tính các tích tenxơ của hai phần tử dạng f f với f ' H ' , f " H " và đưa vào L tích vô hướng dạng: f ' f ", g ' g" L , f ' f " , g ' g " f ' , g ' ' f " , g " H H" (2.1.2) Ta nhận được không gian tiền Hilbert L Làm đầy không gian tiền Hilbert L theo chuẩn sinh bởi tích vô hướng (2.1.2) và thác triển tích vô hướng (2.1.2) từ L lên toàn bộ không gian đã được làm đầy theo tính liên tục của tích vô hướng ... là không gian Hilbert tách được Chương 2 TÍCH TENXƠ CÁC KHÔNG GIAN HILBERT TÁCH 2.1.Khái niệm tích tenxơ các không gian Hilbert tách 2.1.1. Sơ đồ thành lập tích tenxơ các không gian Hilbert tách. .. Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước liên quan đến tích tenxơ các không gian Hilbert tách 5. Phương pháp nghiên cứu Thu thập tài liệu và các ... (2.1.1) là một tích vô hướng không phải dễ. Trong luận văn này, tôi chỉ xét các không gian Hilbert tách. 2.1.2. Tích tenxơ các không gian Hilbert tách Giả sử H ' và H " là hai không gian Hilbert tách trên trường
Ngày đăng: 13/04/2016, 09:19
Xem thêm: tóm tắt tích tenxơ các không gian hilbert tách