Bộ giáo dục đào tạo TRường đại học vinh - DƯƠNG XUÂN GIáP CáC ĐịNH Lý ERGODIC Và LUậT Số LớN Đối với mảng biến ngẫu nhiên ĐA TRị Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất Thống kê toán học Mã số: 62 46 01 06 TóM TắT Luận án tiến sĩ toán học NGHệ AN - 2016 Luận án hoàn thành Trường Đại học Vinh Người hướng dẫn khoa học: GS TS Nguyễn Văn Quảng GS Charles Castaing Phản biện 1: GS TSKH Đặng Hùng Thắng Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội Phản biện 2: PGS TS Trần Hùng Thao Viện Toán học - Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam Phản biện 3: TS Lê Hồng Sơn Đại học Sư phạm Kỹ thuật Vinh Luận án bảo vệ Hội đồng chấm luận án cấp trường họp Trường Đại học Vinh Vào hồi ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Trung tâm Thông tin - Thư viện Nguyễn Thúc Hào thuộc Trường Đại học Vinh M U Lý chn ti Thi gian gn õy, nh lý ergodic v lut s ln i vi cỏc bin ngu nhiờn a tr ó c nhiu nh toỏn hc quan tõm nghiờn cu v cú nhiu ng dng ti u ngu nhiờn, thng kờ, toỏn kinh t, y hc v mt s lnh vc khỏc Bin ngu nhiờn a tr l s m rng ca phn t ngu nhiờn Chớnh vỡ vy, vic nghiờn cu nh lý ergodic v lut s ln cho cỏc bin ngu nhiờn a tr khụng ch cú ý ngha lý thuyt m cũn cú ý ngha thc tin Thc tin ũi hi chỳng ta nghiờn cu v mng nhiu chiu cỏc bin ngu nhiờn i vi cu trỳc nhiu chiu, quan h th t thụng thng trờn cỏc ch s khụng cú tớnh cht tuyn tớnh Do ú, m rng cỏc nh lý gii hn i vi cỏc bin ngu nhiờn a tr t trng hp dóy sang trng hp mng nhiu ch s ng vi nmax hoc nmin , chỳng ta s gp nhiu iu bt thng iu ny gúp phn lm cho cỏc kt qu nghiờn cu v cỏc nh lý gii hn a tr dng lut s ln v dng nh lý ergodic i vi cu trỳc nhiu chiu cú nhiu ý ngha Lý thuyt ergodic bt ngun t ngnh c hc thng kờ Nghiờn cu cỏc nh lý ergodic c bt u vo nhng nm 1931-1932 bi G D Birkhoff v J v Neumann Trong my thp k gn õy, nh lý ergodic Birkhoff ó c m rng theo hai hng chớnh: cho cu trỳc nhiu chiu v cho cỏc hm a tr Theo hng th nht, u tiờn l vo nm 1951, N Dunford v A Zygmund ó thit lp nh lý ergodic Birkhoff i vi h khụng giao hoỏn cỏc phộp bin i bo ton o tng ng cho cỏc trng hp tham s ri rc v tham s liờn tc Kt qu ny sau ú c N Dunford, J T Schwartz (nm 1956) v N A Fava (nm 1972) tng quỏt lờn cho trng hp toỏn t Cỏc kt qu trờn tip tc c m rng cho trng hp tng cú trng s cỏc cụng trỡnh ca R L Jones v J Olsen (nm 1994), M Lin v M Weber (2007), F Mukhamedov, M Mukhamedov v S Temir (nm 2008), Theo hng th hai, vo nm 1991, J Ban thit lp nh lý ergodic Birkhoff cho cỏc bin ngu nhiờn nhn giỏ tr compact hoc giỏ tr m trờn khụng gian Banach ng vi hi t theo khong cỏch Hausdorff Cho ti nm 2003, C Choirat, C Hess v R A Seri thu c nh lý ergodic Birkhoff cho cỏc bin ngu nhiờn a tr nhn giỏ tr li ng vi hi t Kuratowski Gn õy, vo nm 2011, H Ziat chng minh nh lý ergodic Birkhoff cho cỏc bin ngu nhiờn a tr theo cỏc loi hi t: Mosco, Wijsman v Slice Do ú, nghiờn cu nh lý ergodic Birkhoff cho c cu trỳc nhiu chiu v cho cỏc hm a tr ang l cú tớnh thi s Lut s ln a tr c chng minh ln u tiờn vo nm 1975 bi Z Artstein v R A Vitale cho cỏc bin ngu nhiờn c lp cựng phõn phi, nhn giỏ tr trờn khụng gian cỏc compact ca Rd , ng vi hi t theo khong cỏch Hausdorff Kt qu ny sau ú c m rng theo hai hng chớnh: cho cỏc bin ngu nhiờn nhn giỏ tr compact v cho cỏc bin ngu nhiờn nhn giỏ tr úng Theo hng th nht, chỳng ta cú th tham kho cỏc cụng trỡnh ca N Cressie (nm 1978), C Hess (nm 1979), M L Puri v D A Ralescu (nm 1983), F Hiai (nm 1984), Z Artstein v J C Hansen (nm n v I Molchanov (nm 2006), Theo hng th hai, lut s ln 1985), P Tera c chng minh u tiờn vo nm 1981 bi Z Artstein v S Hart cho hi t Kuratowski i vi cỏc bin ngu nhiờn c lp cựng phõn phi, nhn giỏ tr trờn khụng gian cỏc úng ca Rd Sau ú nú c tip tc nghiờn cu bi F Hiai v C Hess cho hi t Mosco v Wijsman Cho n nay, nghiờn cu v lut s ln cho cỏc bin ngu nhiờn a tr l mt cú tớnh thi s ca lý thuyt xỏc sut Lut s ln a tr ch yu trung nghiờn cu cỏc bin ngu nhiờn c lp Tuy nhiờn, thc t khụng phi lỳc no chỳng ta cng cú th gi thit c rng cỏc bin ngu nhiờn l c lp Mt hng phỏt trin ca lut s ln a tr l nghiờn cu lut s ln i vi dóy v mng cỏc bin ngu nhiờn a tr m iu kin c lp c thay th bi cỏc iu kin ph thuc nh c lp ụi mt, ph thuc hoỏn i c, ph thuc 2-hoỏn i c õy l mt hng nghiờn cu cú giỏ tr v mt thc tin Cỏc nh lý gii hn dng lut s ln v dng nh lý ergodic xỏc sut a tr thng c nghiờn cu cho cỏc bin ngu nhiờn nhn giỏ tr trờn khụng gian cỏc compact hoc khụng gian cỏc li hoc khụng gian cỏc úng, ca mt khụng gian Banach Do ú, cỏc kt qu theo hng nghiờn cu ny v cỏc chng minh ca chỳng cú s kt hp v giao thoa gia lý thuyt xỏc sut, gii tớch li v gii tớch hm Hi t theo khong cỏch Hausdorff thng c s dng nghiờn cu cỏc bin ngu nhiờn nhn giỏ tr compact i vi cỏc bin ngu nhiờn a tr nhn giỏ tr l úng, ngi ta thng s dng cỏc loi hi t: Kuratowski, Mosco v Wijsman Hi t Kuratowski phự hp cho vic thit lp lut s ln a tr i vi cỏc khụng gian hu hn chiu Hi t Mosco l mt m rng ca hi t Kuratowski i vi khụng gian Banach Loi hi t ny phự hp cho cỏc khụng gian phn x v cú ng dng thỳ v cỏc bt ng thc bin phõn Vi m rng phự hp cho cỏc khụng gian khụng phn x, hi t Wijsman ó c gii thiu v thớch hp cho vic nghiờn cu v tc hi t v cũn c s dng chng minh lut s ln cho hi t Slice-mt loi hi t cú nhiu ng dng ti u ngu nhiờn Do vy, nghiờn cu cỏc nh lý gii hn cho cỏc bin ngu nhiờn a tr theo cỏc loi hi t Mosco v Wijsman mang ti nhiu iu thỳ v v ý ngha Vi cỏc lý nờu trờn, chỳng tụi chn ti nghiờn cu cho lun ỏn ca mỡnh l: Cỏc nh lý ergodic v lut s ln i vi mng cỏc bin ngu nhiờn a tr Mc ớch nghiờn cu Mc ớch ca lun ỏn l thit lp nh lý ergodic Birkhoff dng nhiu chiu, thit lp lut s ln i vi mng hai ch s v mng tam giỏc cỏc bin ngu nhiờn a tr nhn giỏ tr trờn khụng gian cỏc úng ca khụng gian Banach thc, kh ly vi cỏc gi thit khỏc i tng nghiờn cu - nh lý ergodic Birkhoff dng nhiu chiu - Lut s ln i vi mng cỏc bin ngu nhiờn a tr Phm vi nghiờn cu Lun ỏn trung nghiờn cu nh lý ergodic Birkhoff dng nhiu chiu, lut s ln i vi mng hai ch s v mng tam giỏc cỏc bin ngu nhiờn a tr nhn giỏ tr trờn khụng gian cỏc úng ca mt khụng gian Banach thc, kh ly Cỏc loi hi t c xột n l hi t Mosco v hi t Wijsman i vi lut s ln a tr, cỏc bin ngu nhiờn a tr c gi thit c lp, hoc c lp ụi mt, hoc ph thuc 2-hoỏn i c Phng phỏp nghiờn cu Chỳng tụi s dng phi hp cỏc phng phỏp nghiờn cu lý thuyt thuc cỏc chuyờn ngnh lý thuyt xỏc sut, gii tớch li v gii tớch hm nh: k thut li húa, dng nh lý Stolz, í ngha khoa hc v thc tin Cỏc kt qu ca lun ỏn gúp phn lm phong phỳ thờm cho hng nghiờn cu v cỏc nh lý gii hn xỏc sut a tr Lun ỏn l ti liu tham kho cho sinh viờn, hc viờn cao hc v nghiờn cu sinh chuyờn ngnh Lý thuyt xỏc sut v Thng kờ toỏn hc Tng quan v cu trỳc lun ỏn 7.1 Tng quan v lun ỏn Trong lun ỏn ny, chỳng tụi thit lp cỏc nh lý gii hn ng vi tụpụ Mosco v tụpụ Wijsman theo dng nh lý ergodic Birkhoff v dng lut s ln i vi mng cỏc bin ngu nhiờn a tr nhn giỏ tr trờn khụng gian cỏc úng ca khụng gian Banach thc, kh ly Trc ht chỳng tụi gii thiu mt s khỏi nim c bn v xỏc sut trờn khụng gian cỏc úng ca mt khụng gian Banach Sau ú, chỳng tụi chng minh mt s kt qu v hi t Mosco v hi t Wijsman i vi mng nhiu chiu cỏc úng ca khụng gian Banach v i vi mng nhiu chiu cỏc bin ngu nhiờn a tr i vi nh lý ergodic, chỳng tụi thit lp nh lý ergodic Birkhoff i vi cu trỳc nhiu chiu cho cỏc trng hp: n tr v a tr Núi riờng, nh lý ergodic Birkhoff a tr c chỳng tụi thit lp cho cu trỳc hai chiu i vi lut s ln cho mng hai ch s cỏc bin ngu nhiờn a tr, chỳng tụi nghiờn cu cho trng hp m n Kt hp dng nh lý Stolz cho mng hai ch s, tớnh cht v s hi t m n , k thut li húa cho mng hai ch s v cỏc b chng minh trc ú, chỳng tụi thit lp c lut s ln theo cỏc loi hi t Mosco v Wijsman cho mng hai chiu cỏc bin ngu nhiờn a tr Cỏc bin ngu nhiờn c gi thit c lp ụi mt v cựng phõn phi, hoc c lp v nhn giỏ tr trờn khụng gian cỏc úng ca khụng gian Rademacher dng p, hoc ph thuc 2-hoỏn i c i vi lut s ln cho mng tam giỏc cỏc bin ngu nhiờn a tr, chỳng tụi thit lp lut s ln theo cỏc loi hi t Mosco v Wijsman cho cỏc bin ngu nhiờn tha món: c lp theo hng v nhn giỏ tr trờn khụng gian cỏc úng ca khụng gian Rademacher dng p thu c cỏc kt qu trờn, chỳng tụi thit lp dng nh lý Stolz cho trng hp mng tam giỏc thit lp nh lý ergodic Birkhoff v lut s ln cho bin ngu nhiờn a tr ng vi hi t Mosco v hi t Wijsman, chỳng tụi m rng k thut li húa t trng hp dóy sang cỏc trng hp mng hai ch s v mng tam giỏc 7.2 Cu trỳc ca lun ỏn Ngoi cỏc phn Mt s ký hiu thng dựng lun ỏn, M u, Kt lun chung v kin ngh, Danh mc cụng trỡnh liờn quan trc tip n lun ỏn v Ti liu tham kho, ni dung chớnh ca lun ỏn c trỡnh by bn chng Chng c dnh gii thiu mt s kin thc c bn ca khụng gian cỏc úng ca khụng gian Banach, cỏc tớnh cht v gii tớch li v gii tớch hm, thit lp cỏc kt qu hi t i vi cỏc tụpụ Mosco v Wijsman cho mng cỏc úng ca mt khụng gian Banach v cho mng cỏc bin ngu nhiờn a tr Mc 1.1 trỡnh by phn kin thc chun b bao gm cỏc ký hiu, cỏc nh ngha v cỏc khỏi nim c bn liờn quan n ni dung ca c lun ỏn Mc 1.2 trỡnh by nh ngha cỏc loi hi t thng gp trờn khụng gian cỏc úng ca khụng gian Banach v chng minh mt s tớnh cht v hi t Mosco v hi t Wijsman cho mng nhiu ch s Mc 1.3 c dnh thit lp cỏc kt qu hi t theo cỏc tụpụ Mosco v Wijsman i vi mng nhiu ch s cỏc bin ngu nhiờn a tr Cỏc kt qu ny c s dng chng minh nh lý ergodic Birkhoff v lut s ln a tr cỏc chng tip theo Chng trỡnh by v nh lý ergodic Birkhoff i vi cu trỳc nhiu chiu cho bin ngu nhiờn n tr v a tr Mc 2.1 gii thiu mt s khỏi nim v tớnh cht c bn ca lý thuyt ergodic phc v cho ni dung chớnh ca chng Trong mc 2.2, chỳng tụi thit lp nh lý ergodic Birkhoff dng nhiu chiu cho phn t ngu nhiờn nhn giỏ tr trờn khụng gian Banach thc v kh ly õy l kt qu quan trng thit lp nh lý ergodic Birkhoff a tr cú cu trỳc nhiu chiu Mc 2.3 trỡnh by nh lý ergodic Birkhoff dng hai chiu cho bin ngu nhiờn a tr theo cỏc loi hi t Mosco v Wijsman Trong mc ny, chỳng tụi cũn chng minh nh lý ergodic Birkhoff a tr dng nhiu chiu i vi trng hp phộp bin i bo ton o khụng c gi thit l ergodic Mc 2.4 trỡnh by nh lý ergodic Birkhoff dng hai chiu cho bin ngu nhiờn m theo hi t Mosco Chng c dnh nghiờn cu lut s ln i vi mng hai chiu cỏc bin ngu nhiờn a tr theo cỏc loi hi t Mosco v Wijsman Mc 3.1 trỡnh by cỏc b cn thit cho chng minh cỏc kt qu chớnh ca Chng Mc 3.2 c dnh thit lp lut s ln i vi mng hai ch s cỏc bin ngu nhiờn a tr cho cỏc trng hp: c lp ụi mt cựng phõn phi, hoc c lp v nhn giỏ tr trờn khụng gian cỏc úng ca khụng gian Rademacher dng p, hoc ph thuc 2-hoỏn i c Chng trỡnh by v lut s ln i vi mng tam giỏc cỏc bin ngu nhiờn a tr theo cỏc loi hi t Mosco v Wijsman Mc 4.1 thit lp dng nh lý Stolz cho trng hp mng tam giỏc Mc 4.2 nghiờn cu lut s ln cho mng tam giỏc cỏc bin ngu nhiờn a tr tha món: c lp theo hng v nhn giỏ tr trờn khụng gian cỏc úng ca khụng gian Rademacher dng p CHNG MT S TNH CHT V HI T MOSCO V HI T WIJSMAN Trong chng ny, chỳng tụi gii thiu mt s khỏi nim c bn v xỏc sut trờn khụng gian cỏc úng ca mt khụng gian Banach, nghiờn cu cỏc loi hi t v cỏc tớnh cht cn thit v gii tớch hm, gii tớch li trờn khụng gian ny Chỳng tụi thit lp mt s kt qu hi t liờn quan ti cỏc tụpụ Mosco v Wijsman i vi mng nhiu ch s cỏc úng ca mt khụng gian Banach thc, kh ly v i vi mng nhiu ch s cỏc bin ngu nhiờn a tr Cỏc kt qu chớnh ca chng c vit da trờn bi bỏo [1] 1.1 Mt s kin thc chun b Trong lun ỏn ny, nu khụng núi gỡ thờm, ta luụn gi thit rng (, A, P) l mt khụng gian xỏc sut, F l mt -i s ca A, (X, ã ) l khụng gian Banach thc v kh ly, BX l -i s Borel ca X, X l khụng gian i ngu ca X Ký hiu c(X) l h tt c cỏc khỏc rng v úng ca X Ký hiu N l cỏc s nguyờn dng, Q l cỏc s hu t, R l cỏc s thc v R+ l cỏc s thc khụng õm Vi mi d N, trờn hp Nd , cỏc phn t (1, 1, , 1), (2, 2, , 2), (m1 , m2 , , md ), (n1 , n2 , , nd ) ln lt c ký hiu bi 1, 2, m, n Gi s n = (n1 , n2 , , nd ) Nd , ta ký hiu |n| = d ni , nmax = max{ni : i = 1, 2, , d} v i=1 nmin = min{ni : i = 1, 2, , d} Vi hai s thc m v n, giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca chỳng tng ng c ký hiu bi m n v m n Vi mi a R, lụgarit c s ca a c ký hiu l log+ a Vi m, n Nd , ta vit m ng, m n) nu mi n (tng ni (tng ng, mi < ni ) vi mi i = 1, 2, , d Vi A, B X, clA v coA tng ng ký hiu bao úng v bao li úng ca A; hm khong cỏch d(ã, A) ca A, khong cỏch Hausdorff dH (A, B) ca A v B , hm ta s(ã, A) ca A, chun A ca A tng ng c nh ngha bi d(x, A) = inf{ x y : y A}, (x X), dH (A, B) = max{sup d(x, B), sup d(y, A)}, xA yB s(x , A) = sup{ x , y : y A}, (x X ), A = sup{||x|| : x A} t B = {x X : x 1} v S = {x X : x = 1} Khi ú, B v S tng ng gi l hỡnh cu n v úng v mt cu n v ca X Ký hiu P(X) l tt c cỏc khỏc rng ca X Trờn P(X), ta trang b cỏc phộp toỏn sau A + B = {a + b : a A, b B}, A = {a : a A}, ú A, B P(X), R Núi chung, khụng tn ti phn t i ca A P(X) nờn P(X) khụng phi l mt khụng gian tuyn tớnh ng vi phộp toỏn ly tng v ly tớch vụ hng nờu trờn -i s trờn c(X) sinh bi cỏc U := {C c(X) : C U = } vi U l m ca X, c gi l -i s Effră os v c ký hiu l Bc(X) 1.1.1 nh ngha nh x F : c(X) c gi l F -o c nu vi mi B Bc(X) , F (B) F nh x F -o c F cũn c gi l bin ngu nhiờn a tr F -o c Nu F = A thỡ ta núi gn F l bin ngu nhiờn a tr Cỏc phộp toỏn i vi cỏc bin ngu nhiờn a tr c nh ngha tng ng l cỏc phộp toỏn trờn P(X) cho mi Vi mi bin ngu nhiờn a tr F , ta ký hiu AF = {F (B) : B Bc(X) } Khi ú AF l -i s nht ca A m F o c Phõn phi xỏc sut ca F l o xỏc sut PF trờn Bc(X) c xỏc nh bi PF (B) = P(F (B)), B Bc(X) 1.1.3 nh ngha Mt h cỏc bin ngu nhiờn a tr {Fi : i I} c gi l c lp (tng ng, c lp ụi mt) nu h cỏc -i s sinh bi chỳng {AFi : i I} l c lp (tng ng, c lp ụi mt), v c gi l cựng phõn phi nu tt c cỏc phõn phi xỏc sut PFi , i I u bng 1.1.4 nh ngha Mt h hu hn cỏc bin ngu nhiờn a tr {F1 , F2 , , Fn } c gi l hoỏn i c nu vi mi phộp th ca {1, 2, , n} v mi {B1 , B2 , , Bn } ca Bc(X) , P(F1 B1 , , Fn Bn ) = P(F(1) B1 , , F(n) Bn ) Mt h m c cỏc bin ngu nhiờn a tr c gi l hoỏn i c nu mi h hu hn ca nú u hoỏn i c 1.1.5 nh ngha H cỏc bin ngu nhiờn a tr {Fi : i I} c gi l 2-hoỏn i c nu vi mi i1 , i2 , j1 , j2 I , i1 = i2 , j1 = j2 v mi B1 , B2 Bc(X) , P(Fi1 B1 , Fi2 B2 ) = P(Fj1 B1 , Fj2 B2 ) Mi quan h gia tớnh c lp cựng phõn phi, tớnh c lp ụi mt cựng phõn phi, tớnh hoỏn i c, tớnh 2-hoỏn i c v tớnh cựng phõn phi ca h cỏc bin ngu nhiờn a tr c th hin bi s sau: / c lp cựng phõn phi c lp ụi mt cựng phõn phi  / hoỏn i c  2-hoỏn i c  cựng phõn phi Vi mi p 1, ký hiu Lp (F, X) l khụng gian Banach cỏc phn t ngu nhiờn F -o c f : X cho f p= (E f p) p < Nu F = A thỡ Lp (A, X) c vit gn l Lp (X) Nu X = R thỡ ta vit gn Lp thay cho Lp (R) Vi mi p v mi bin ngu nhiờn a tr F -o c F , t SFp (F) = {f Lp (F, X) : f () F () h.c.c.} Trong trng hp F = A ta vit SFp (A) gn li l SFp 1.1.8 nh ngha Bin ngu nhiờn a tr F : c(X) c gi l kh tớch nu SF1 khỏc rng Nm 1965, R J Aumann ó gii thiu khỏi nim k vng ca bin ngu nhiờn a tr nh sau 1.1.9 nh ngha K vng ca bin ngu nhiờn a tr kh tớch F , ký hiu EF , c nh ngha bi EF := {Ef : f SF1 }, ú Ef l tớch phõn Bochner ca phn t ngu nhiờn f Ngoi ra, vi mi bin ngu nhiờn a tr F -o c F , ta nh ngha E(F, F) := {Ef : f SF1 (F)} 11 1.2.7 nh lý Gi s {A, An : n Nd } c(X) v gi s D l mt m c, trự mt ca B cho d(x, coA) = sup { x , x s(x , coA)}, vi mi x X Khi ú, nu vi mi x D , lim sup nmax x D s(x , An ) s(x , A) thỡ vi mi x X lim inf d(x, An ) d(x, coA) nmax Nghiờn cu mi liờn h gia hi t Wijsman v hi t Kuratowski cho trng hp mng nhiu chiu, chỳng tụi thu c kt qu th hin qua nh lý sau õy 1.2.8 nh lý Gi s {A, An : n Nd } c(X) Khi ú, nu Wijsthỡ s- lim nmax lim nmax An = A An = A 1.3 Mt s tớnh cht ca hi t Mosco v hi t Wijsman i vi mng cỏc bin ngu nhiờn a tr Trong nh ngha 1.2.1, nu ta thay An bi Fn () v A bi F () vi thuc vo mt cú xỏc sut 1, ú F , Fn , n Nd l cỏc bin ngu nhiờn a tr, thỡ ta cú khỏi nim hi t hu chc chn cho cỏc bin ngu nhiờn a tr Da trờn cỏc kt qu thu c mc 1.2, chỳng tụi thu c hai nh lý sau õy v phn lim sup ca hi t Wijsman cho trng hp mng nhiu ch s cỏc bin ngu nhiờn a tr 1.3.2 nh lý Gi s D l mt m c, trự mt trờn X v F, Fn (n Nd ) l cỏc bin ngu nhiờn a tr Nu vi mi x D, lim sup d(x, Fn ()) d(x, F ()) h.c.c., thỡ nmax lim sup d(x, Fn ()) d(x, F ()) vi mi x X h.c.c nmax 1.3.3 nh lý Gi s F, Fn (n Nd ) l cỏc bin ngu nhiờn a tr Nu F () s- lim inf Fn () h.c.c., thỡ nmax lim sup d(x, Fn ()) d(x, F ()) vi mi x X h.c.c nmax Sau õy l tớnh cht v hi t Wijsman i vi mng nhiu chiu cỏc bin ngu nhiờn a tr 1.3.4 nh lý Gi s D l mt m c, trự mt trờn X v F, Fn (n Nd ) l cỏc bin ngu nhiờn a tr Khi ú, mng {Fn : n Nd } hi t Wijsman ti F h.c.c nmax v ch vi mi x D, d(x, Fn ()) d(x, F ()) h.c.c nmax 12 1.4 Nhn xột Cỏc kt qu chng ny u c xột cho trng hp hi t nmax i vi trng hp hi t nmin , ta cú cỏc kt qu tng t Kt lun ca Chng Trong chng ny, lun ỏn ó gii quyt c nhng sau: - Chng minh mt s tớnh cht v hi t Mosco v hi t Wijsman i vi mng nhiu ch s cỏc úng ca khụng gian Banach thc, kh ly - Thit lp mt s kt qu hi t cho mng nhiu ch s cỏc bin ngu nhiờn a tr i vi hi t Mosco v hi t Wijsman 13 CHNG NH Lí ERGODIC BIRKHOFF DNG NHIU CHIU Trong chng ny, chỳng tụi gii thiu mt s khỏi nim liờn quan ti lý thuyt ergodic, thit lp nh lý ergodic Birkhoff dng nhiu chiu trờn khụng gian Banach thc, kh ly v thu c nh lý ergodic Birkhoff a tr dng hai chiu cho bin ngu nhiờn a tr v cho bin ngu nhiờn m Cỏc kt qu chớnh ca chng c vit da trờn bi bỏo [3] 2.1 Mt s kin thc chun b 2.1.1 nh ngha (i) Mt phộp bin i T : c gi l o c nu T (A) A, vi mi A A (ii) Mt phộp bin i T : c gi l bo ton o nu T l o c v ng thi P(T (A)) = P(A), vi mi A A Khi ú, ta núi P l o T -bt bin (iii) Mt A A c gi l T -bt bin nu T (A) = A (iv) Mt bin ngu nhiờn f c gi l T -bt bin nu f T = f (v) Mt phộp bin i bo ton o T : c gi l ergodic nu cỏc T -bt bin ch cú xỏc sut hoc 1; ngha l, vi mi A A, iu kin T (A) = A kộo theo P(A) = hoc P(A) = 2.1.2 Nhn xột H tt c cỏc T -bt bin lp thnh mt -i s ca -i s A Ta ký hiu -i s ny l IT Nu T1 , T2 : l cỏc phộp bin i bo ton o thỡ tớch T1 T2 (cũn c vit gn l T1 T2 ) cng l phộp bin i bo ton o c bit, nu T : l mt phộp bin i bo ton o thỡ phộp lp T n (n N) cng l mt phộp bin i bo ton o Tip theo, chỳng tụi gii thiu mt s khỏi nim c s ca bin ngu nhiờn m õy l mt m rng ca khỏi nim bin ngu nhiờn a tr nh x u : X [0, 1] c gi l mt m trờn X 14 Vi mi m u, -mc L u ( (0, 1]) c nh ngha bi L u = {x X : u(x) } Ta cũn nh ngha L+ u = {x X : u(x) > } , [0, 1) Ký hiu F(X) l khụng gian cỏc m u : X [0, 1] tha (1) u l chun tc, ngha l, 1-mc L1 u khỏc rng, (2) u l na liờn tc trờn, ngha l, vi mi (0, 1], -mc L u l úng ca X Trờn F(X), ta trang b cỏc phộp toỏn sau (u + v)(x) = sup min{u(y), v(z)}, y+z=x (u)(x) = u(1 x) nu = 0, I{0} (x) nu = 0, ú u, v F(X), R Bao li úng cou ca u F(X) c nh ngha nh sau cou(x) = sup { (0, 1] : x co(L u)} 2.1.3 nh ngha nh x F : F(X) c gi l bin ngu nhiờn m nu {(, x) : x L (F ())} A ì BX , vi mi (0, 1] Nm 1991, J Bỏn ó ch rng F l bin ngu nhiờn m thỡ L F l bin ngu nhiờn a tr, vi mi (0, 1] 2.1.4 nh ngha K vng ca bin ngu nhiờn m F , ký hiu EF , l mt m trờn X tha L EF = E L F vi mi (0, 1] 2.2 nh lý ergodic Birkhoff dng nhiu chiu i vi phn t ngu nhiờn nhn giỏ tr trờn khụng gian Banach thc, kh ly Nm 1951, N Dunford chng minh nh lý ergodic Birkhoff dng nhiu chiu cho trng hp thc, ú gii hn l mt hm kh tớch Kt qu ny sau ú c N Dunford, J T Schwartz (nm 1956) v N A Fava (nm 1972) m rng cho trng hp cỏc toỏn t co Trong phn tip theo, chỳng tụi thit lp nh lý ergodic Birkhoff dng nhiu chiu cho trng hp phn t ngu nhiờn nhn giỏ tr trờn khụng gian Banach thc, kh ly Kt qu ny ch rng hm gii hn l k vng cú iu kin ng vi -i s cỏc bt bin 15 2.2.2 nh lý Gi s T1 , T2 , , Td l cỏc phộp bin i giao hoỏn, bo ton o Khi ú, nu phn t ngu nhiờn f tha E n1 nd log+ f d1 < , thỡ nd n1 f (T1i1 Tdid ) E(f |I) h.c.c nmin ããã i1 =0 f id =0 d ú I = ITi Hn na, nu Ts l ergodic vi s no ú thuc {1, 2, , d}, i=1 thỡ E(f |I) = Ef h.c.c 2.3 nh lý ergodic Birkhoff dng nhiu chiu i vi bin ngu nhiờn a tr Sau õy l phn lim inf ca hi t Mosco cho nh lý ergodic Birkhoff dng hai chiu i vi bin ngu nhiờn a tr 2.3.3 Mnh Gi s F l mt bin ngu nhiờn a tr tha E( F log+ F ) < Gi s T1 , T2 l hai phộp bin i giao hoỏn cho vi mi i {1, 2} v mi s 1, Tis l ergodic Khi ú, cl coEF s- lim inf mn mn m n F (T1i T2j ()) h.c.c i=1 j=1 Nu cỏc phộp bin i bo ton o khụng c gi thit l ergodic, chỳng tụi thu c kt qu sau õy 2.3.4 nh lý Gi s T1 , T2 , , Td l cỏc phộp bin i giao hoỏn, bo ton o Khi ú, nu F l bin ngu nhiờn a tr tha E F log+ F d1 < , thỡ E(F |I) s- lim inf cl nmin n1 nd n1 nd F (T1i1 Tdid ()) h.c.c., ããã i1 =0 id =0 d ú I = ITi i=1 Mnh sau õy l phn lim sup ca hi t Mosco ca nh lý ergodic Birkhoff dng hai chiu i vi bin ngu nhiờn a tr 2.3.5 Mnh Gi s F l mt bin ngu nhiờn a tr tha E( F log+ F ) < v T1 , T2 l hai phộp bin i giao hoỏn, bo ton o cho Ti l ergodic vi i no ú thuc {1, 2} Khi ú, w- lim sup cl mn mn m n F (T1i T2j ()) coEF h.c.c i=1 j=1 16 Sau õy l nh lý ergodic Birkhoff dng hai chiu i vi bin ngu nhiờn a tr theo cỏc loi hi t Mosco v Wijsman 2.3.6 nh lý Gi s F l mt bin ngu nhiờn a tr tha E F log+ F < Gi s T1 , T2 l hai phộp bin i giao hoỏn cho Tis l ergodic vi mi i {1, 2} v mi s Khi ú cl mn m n F T1i T2j () coEF h.c.c m n i=1 j=1 theo cỏc loi hi t Mosco v Wijsman 2.4 nh lý ergodic Birkhoff dng hai chiu i vi bin ngu nhiờn m Trong mc ny, s dng nh lý 2.3.6, chỳng tụi thu c nh lý ergodic Birkhoff cho bin ngu nhiờn m ng vi hi t Mosco 2.4.1 nh lý Gi s T1 , T2 l hai phộp bin i giao hoỏn cho Tis l ergodic vi mi i {1, 2} v mi s nguyờn dng s Khi ú, nu F : F(X) l mt bin ngu nhiờn m tha SL1 1F = , E cl(L0+ F ) log+ cl(L0+ F ) L (coEF ) = cl(L+ (coEF )) vi mi [0, 1] \ Q, < v (2.4.1) thỡ M- lim mn mn m n F T1i T2j () = coEF h.c.c., i=1 j=1 ngha l, tn ti mt N A cú xỏc sut cho M- lim mn L mn m n F T1i T2j () = L coEF i=1 j=1 vi mi (0, 1] v mi \ N Hai vớ d sau õy ch rng tt c cỏc gi thit ca nh lý 2.4.1 u tha 2.4.2 Vớ d Cho X = R v a < b vi a, b R Gi s rng u : R [0, 1] l mt m trờn R tha u l hm tng ngt trờn on [a, b], u(x) = vi mi x (, a) (b, +) v u(b) = Chng hn, u(x) = xa ba nu x [a, b], nu x (, a) (b, +) 17 Bin ngu nhiờn m F : F(R) c xỏc nh bi F () = u vi mi Khi ú, F tha tt c cỏc gi thit ca nh lý 2.4.1 2.4.3 Vớ d Cho X = R Tp m u : R [0, 1] c nh ngha bi nu x < 0, 2x nu x 21 , u(x) = 2(1 x) nu 12 < x < 1, nu x Khi ú, F tha tt c cỏc gi thit ca nh lý 2.4.1, ú bin ngu nhiờn m F : F(R) c xỏc nh bi F () = u vi mi Vớ d tip theo chng t rng nh lý 2.4.1, iu kin (2.4.1) khụng c suy t cỏc iu kin cũn li 2.4.4 Vớ d Cho X = R Ta nh ngha m u : R [0, 1] nh sau nu x < 0, nu x 41 , 2x u(x) = nu 14 < x < 43 , (4 2)x + 2 nu 34 x 1, nu x > Tip tc, bin ngu nhiờn m F c nh ngha bi F () = u vi mi Cú th kim tra c rng L u = cl(L+ u) vi = 2 Do ú, iu kin (2.4.1) ca nh lý 2.4.1 khụng tha Cú th kim tra c rng cỏc iu kin khỏc u tha Do ú, iu kin (2.4.1) khụng c suy t cỏc iu kin cũn li Kt lun ca Chng Trong chng ny, lun ỏn ó gii quyt c nhng sau: - Thit lp nh lý ergodic Birkhoff dng nhiu chiu trờn khụng gian Banach thc, kh ly - Thit lp nh lý ergodic Birkhoff dng hai chiu cho bin ngu nhiờn a tr v cho bin ngu nhiờn m - Thit lp nh lý ergodic Birkhoff a tr dng nhiu chiu i vi trng hp phộp bin i bo ton o khụng c gi thit l ergodic - a mt s vớ d minh kt qu chớnh ca chng 18 CHNG LUT S LN I VI MNG HAI CHIU CC BIN NGU NHIấN A TR Trong chng ny, chỳng tụi thit lp mt s lut s ln i vi mng hai chiu cỏc bin ngu nhiờn a tr theo cỏc loi hi t Mosco, Wijsman Cỏc kt qu chớnh ca chng c vit da trờn cỏc bi bỏo [1] v [2] 3.1 Mt s kt qu b tr Sau õy, chỳng tụi a mt b quan trng v l chỡa khúa thit lp lut s ln i vi mng hai chiu cỏc bin ngu nhiờn a tr ng vi s hi t m n 3.1.4 B Gi s {xij : i 1, j 1} l mt mng hai chiu cỏc phn t trờn khụng gian Banach Nu ba iu kin sau õy c tha (i) vi mi m 1, n (ii) vi mi n 1, (iii) mn m m n xmj x n , j=1 m xin x m , i=1 n xij x m n , i=1 j=1 thỡ mn m n xij x m n i=1 j=1 p dng B 3.1.4, chỳng tụi chng minh dng hai ch s ca nh lý Stolz 3.1.5 B Gi s {xij : i 1, j 1} l mt mng cỏc phn t trờn khụng gian Banach Nu lim xij = x thỡ ij lim mn mn m n xij = x i=1 j=1 19 3.2 Lut s ln i vi mng hai chiu cỏc bin ngu nhiờn a tr nh lý sau õy m rng cỏc kt qu ca C Hess (cỏc nm 1985 v 1999) v ca F Hiai (nm 1985) t trng hp dóy sang trng hp mng hai ch s 3.2.1 nh lý Nu {Fij : i 1, j 1} l mng hai chiu cỏc bin ngu nhiờn a tr c lp ụi mt cựng phõn phi cho SF111 = v E( F11 log+ F11 ) < , thỡ cl mn n m Fij () coEF11 h.c.c m n i=1 j=1 theo cỏc loi hi t Mosco v Wijsman nh lý sau thit lp lut s ln cho mng hai chiu cỏc bin ngu nhiờn a tr c lp, nhn giỏ tr trờn khụng gian cỏc úng ca khụng gian Rademacher dng p Trng hp dóy c chng minh bi F Hiai vo nm 1985 3.2.2 nh lý Gi s X l mt khụng gian Rademacher dng p (p [1, 2]) Nu {Fij : i 1, j 1} l mng hai chiu cỏc bin ngu nhiờn c lp v tha (a) i=1 j=1 E Fij (ij)p p < , (b) tn ti X c(X) cho X s- lim inf (cl(E(Fij , AFij ))), ij lim sup s(x , cl(EFij )) s(x , X), vi mi x X , ij thỡ ta thu c lut s ln theo cỏc loi hi t Mosco v Wijsman cl mn m n Fij () coX h.c.c m n i=1 j=1 thit lp lut s ln cho mng hai chiu cỏc bin ngu nhiờn a tr 2-hoỏn i c, chỳng tụi chng minh mt s kt qu sau õy v mng nhiu chiu cỏc phn t ngu nhiờn 2-hoỏn i c 3.2.6 nh lý Gi s {fn : n Nd } l mt mng cỏc phn t ngu nhiờn 2-hoỏn i c, nhn giỏ tr trờn X Nu E( f1 (log+ f1 )d1 ) < thỡ |n| n fi f h.c.c v L1 nmax , i=1 20 ú f l mt phn t ngu nhiờn no ú tha Ef = Ef1 Kt qu sau õy th hin gii hn l tt nh 3.2.7 nh lý Gi s {fn : n Nd } l mt mng cỏc phn t ngu nhiờn 2-hoỏn i c thuc L2 (X) v gi s khụng gian i ngu X l kh ly (ng vi tụpụ sinh bi chun trờn X ) Nu Cov( x , f1 , x , f2 ) = vi mi x X , thỡ |n| n fi Ef1 h.c.c v L1 nmax i=1 Khi nghiờn cu m rng nh lý 3.2.6 cho mng hai chiu cỏc bin ngu nhiờn a tr, chỳng tụi thu c kt qu sau 3.2.8 nh lý Gi s rng {Fij : i 1, j 1} l mt mng hai chiu cỏc bin ngu nhiờn a tr 2-hoỏn i c cho SF111 = v E( F11 log+ F11 ) < t Smn = m i=1 n j=1 Fij Khi ú, (a) coEF11 cl(EF ), ú F l bin ngu nhiờn a tr tha F () = s- lim inf cl mn Smn () mn h.c.c (b) Nu X l khụng gian phn x v sup Fmn () < h.c.c., thỡ m,n1 cl(EY ) coEF11 , ú Y l bin ngu nhiờn a tr tha Y () = w- lim sup cl mn Smn () mn h.c.c Kt lun ca Chng Trong chng ny, lun ỏn ó gii quyt c nhng sau: - Chng minh mt iu kin v s hi t ca trung bỡnh cng cỏc phn t thuc m hng u tiờn v n ct u tiờn ca mng hai chiu cỏc phn t thuc vo mt khụng gian Banach m n , da trờn s hi t trờn mi hng, s hi t trờn mi ct v s hi t m n - Thit lp lut s ln i vi mng nhiu ch s cỏc phn t ngu nhiờn 2-hoỏn i c, nhn giỏ tr trờn khụng gian Banach thc, kh ly - Thit lp cỏc lut s ln theo hi t Mosco v hi t Wijsman cho mng hai ch s cỏc bin ngu nhiờn a tr cho cỏc trng hp: c lp ụi mt cựng phõn phi, hoc c lp v nhn giỏ tr trờn khụng gian cỏc úng ca khụng gian Rademacher dng p, hoc ph thuc 2-hoỏn i c - a vớ d minh kt qu chớnh 21 CHNG LUT S LN I VI MNG TAM GIC CC BIN NGU NHIấN A TR Trong chng ny, chỳng tụi thit lp mt s lut s ln i vi mng tam giỏc cỏc bin ngu nhiờn a tr c lp theo hng, nhn giỏ tr trờn khụng gian cỏc úng ca khụng gian Rademacher dng p Cỏc loi hi t c xột l hi t Mosco v hi t Wijsman Cỏc kt qu chớnh ca chng c vit da trờn bi bỏo [4] 4.1 Dng nh lý Stolz cho trng hp mng tam giỏc Vi {xni : n 1, i n} R, ký hiu lim inf xni = sup inf xni , i k1 kin lim sup xni = inf sup xni k1 kin i 4.1.1 nh ngha (a) Mng tam giỏc {xni : n 1, i n} R c gi l hi t ti x R i v ký hiu l lim xni = x, nu i lim inf xni = lim sup xni = x i i (b) Mng tam giỏc {xni : n 1, i n} X c gi l hi t ti x X i v ký hiu l lim xni = x, nu lim xni x = i i B sau õy l dng nh lý Stolz cho trng hp mng tam giỏc 4.1.3 B Gi s {xni : n 1, i n} l mt mng tam giỏc cỏc phn t trờn mt khụng gian Banach v tha hai iu kin: (a) lim xni = x, i (b) tn ti hng s C > cho xni C, vi mi n 1, i n Khi ú n n xni x n i=1 22 Trong mc ny, chỳng tụi cũn a vớ d chng t rng B 4.1.3 khụng cũn ỳng nu iu kin (b) khụng c tha 4.2 Lut s ln i vi mng tam giỏc cỏc bin ngu nhiờn a tr Ta núi rng h cỏc bin ngu nhiờn a tr {Fi : i I} cú k vng b chn nu tn ti hng s dng C cho EFi C vi mi i I nh lý sau õy l mt s tng t kt qu ca F Hiai (nm 1985) cho trng hp mng tam giỏc 4.2.1 nh lý Gi s X l mt khụng gian Rademacher dng p (p (1, 2]) v {Fni : n 1, i n} l mt mng tam giỏc cỏc bin ngu nhiờn a tr c lp theo hng, cú k vng b chn Gi thit rng (t) : R R l mt hm s liờn tc, li, chn, nhn giỏ tr dng cho (|t|) (|t|) v r+p1 |t| r |t| |t| (4.2.1) vi r l s nguyờn khụng õm no ú v tn ti hng s dng C1 tha (a + b) C1 ((a) + (b)) vi mi a, b R (4.2.2) Khi ú, nu cỏc iu kin sau c tha n E(( Fni )) +) (n) n=1 i=1 n +) n=1 E Fni i=1 p np < , (4.2.3) p.k < , (4.2.4) vi k l hng s nguyờn dng no ú v tn ti X c(X) cho +) X s- lim inf cl(E(Fni , AFni )), i +) lim sup s(x , cl(EFni )) s(x , X), vi mi x X i thỡ chỳng ta thu c lut s ln cl n n Fni () coX h.c.c n i=1 i vi hi t Mosco v hi t Wijsman 4.2.2 Chỳ ý Trong nh lý 4.2.1, nu iu kin (4.2.1) c tha vi r = hoc r = thỡ cú th lc b iu kin (4.2.4) 23 Chỳng tụi cũn a vớ d chng t iu kin k vng b chn nh lý 4.2.1 khụng c suy t cỏc iu kin cũn li nh lý tip theo l mt m rng cỏc kt qu ca A Bozorgnia, R F Patterson v R L Taylor (nm 1997) cho trng hp cỏc bin ngu nhiờn a tr 4.2.3 nh lý Gi s {Fni : n 1, i n} l mt mng tam giỏc cỏc bin ngu nhiờn a tr c lp theo hng, nhn giỏ tr trờn khụng gian cỏc úng ca mt khụng gian Rademacher dng p (p (1, 2]) Gi s {an : n 1} l dóy tng ngt cỏc s thc dng cho lim an = + v gi s (t) l hm s liờn tc, n chn, nhn giỏ tr dng cho (|t|) (|t|) v r+p1 |t| r |t| |t| (4.2.23) vi r l s nguyờn khụng õm no ú Khi ú, nu +) E(Fni , AFni ), n E(( Fni )) +) (an ) n=1 i=1 n +) n=1 (4.2.24) E Fni p < , p.k < , apn i=1 (4.2.25) (4.2.26) vi k l mt s nguyờn dng no ú, thỡ s- lim inf cl n an n Fni () h.c.c i=1 4.2.4 Chỳ ý Trong nh lý 4.2.3, nu iu kin (4.2.23) c tha vi r = thỡ cú th lc b iu kin (4.2.26), v nu iu kin (4.2.23) c tha vi r = thỡ cú th lc b cỏc iu kin (4.2.24), (4.2.26) Chỳng tụi cũn a vớ d chng t kt lun ca nh lý 4.2.3 khụng th thay th bi kt lun mnh hn M- lim cl an n Fni () = {0} h.c.c i=1 Kt lun ca Chng Trong chng ny, lun ỏn ó gii quyt c nhng sau: - Thit lp dng nh lý Stolz cho trng hp mng tam giỏc - Thit lp lut s ln theo hi t Mosco v hi t Wijsman i vi mng tam giỏc cỏc bin ngu nhiờn a tr tha món: c lp theo hng v nhn giỏ tr trờn khụng gian cỏc úng ca khụng gian Rademacher dng p - a mt s vớ d minh kt qu chớnh 24 KT LUN CHUNG V KIN NGH Kt lun chung Lun ỏn ó thu c cỏc kt qu chớnh sau õy: - Thit lp mt s kt qu hi t i vi cỏc tụpụ Mosco v Wijsman cho mng nhiu ch s cỏc úng ca khụng gian Banach v cho mng nhiu ch s cỏc bin ngu nhiờn a tr - Thit lp nh lý ergodic Birkhoff dng nhiu chiu cho phn t ngu nhiờn nhn giỏ tr trờn khụng gian Banach thc, kh ly - Thit lp nh lý ergodic Birkhoff a tr theo cỏc loi hi t Mosco v Wijsman i vi cu trỳc mng hai chiu - Thit lp lut s ln cho mng cỏc phn t ngu nhiờn 2-hoỏn i c - Thit lp lut s ln theo hi t Mosco v hi t Wijsman i vi mng hai ch s cỏc bin ngu nhiờn a tr cho cỏc trng hp: c lp ụi mt cựng phõn phi, hoc c lp v nhn giỏ tr trờn khụng gian cỏc úng ca khụng gian Rademacher dng p, hoc ph thuc 2-hoỏn i c - Thit lp lut s ln ng vi hi t Mosco v hi t Wijsman i vi mng tam giỏc cỏc bin ngu nhiờn a tr tha món: c lp theo hng v nhn giỏ tr trờn khụng gian cỏc úng ca khụng gian Rademacher dng p Kin ngh v nhng hng nghiờn cu tip theo Trong thi gian ti, chỳng tụi d nh nghiờn cu cỏc sau õy: - Cỏc nh lý gii hn dng lut yu s ln theo hi t Mosco v hi t Wijsman i vi dóy v mng cỏc bin ngu nhiờn a tr - Cỏc nh lý ergodic a tr theo cỏc loi hi t: Mosco, Wijsman, Slice, Hausdorff, i vi trng hp mt chiu v trng hp nhiu chiu 25 DANH MC CễNG TRèNH LIấN QUAN TRC TIP N LUN N C Castaing, N V Quang and D X Giap (2012), Mosco convergence of strong law of large numbers for double array of closed valued random variables in Banach space, Journal of Nonlinear and Convex Analysis, 13(4), 615-636 C Castaing, N V Quang and D X Giap (2012), Various convergence results in strong law of large numbers for double array of random sets in Banach spaces, Journal of Nonlinear and Convex Analysis, 13(1), 1-30 D X Giap and N V Quang (2016), Multidimensional and multivalued ergodic theorems for measure-preserving transformations, Set-Valued and Variational Analysis, DOI 10.1007/s11228-016-0361-z (Available online January 2016 ) N V Quang and D X Giap (2013), Mosco convergence of SLLN for triangular arrays of rowwise independent random sets, Statistics and Probability Letters, 83, 1117-1126 Cỏc kt qu ca lun ỏn ó c bỏo cỏo ti: - Hi ngh Toỏn hc phi hp Vit-Phỏp (i hc S phm Hu, 20-24/08/2012), - i hi Toỏn hc Vit Nam ln th (Trng S quan Thụng tin, 10-14/08/2013), - Hi ngh ton quc ln th 5: Xỏc sut - Thng kờ: nghiờn cu, ng dng v ging dy (i hc S phm Nng, 23-25/05/2015), - Seminar ca B mụn Xỏc sut thng kờ v Toỏn ng dng thuc Khoa S phm Toỏn hc-Trng i hc Vinh (t nm 2011 n nm 2015) [...]... chiều cho biến ngẫu nhiên đa trị và cho biến ngẫu nhiên mờ - Thiết lập định lý ergodic Birkhoff đa trị dạng nhiều chiều đối với trường hợp phép biến đổi bảo toàn độ đo không được giả thiết là ergodic - Đưa ra một số ví dụ minh họa kết quả chính của chương 18 CHƯƠNG 3 LUẬT SỐ LỚN ĐỐI VỚI MẢNG HAI CHIỀU CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN ĐA TRỊ Trong chương này, chúng tôi thiết lập một số luật số lớn đối với mảng hai... lập một số kết quả hội tụ đối với các tôpô Mosco và Wijsman cho mảng nhiều chỉ số các tập con đóng của không gian Banach và cho mảng nhiều chỉ số các biến ngẫu nhiên đa trị - Thiết lập định lý ergodic Birkhoff dạng nhiều chiều cho phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Banach thực, khả ly - Thiết lập định lý ergodic Birkhoff đa trị theo các loại hội tụ Mosco và Wijsman đối với cấu trúc mảng hai... cho mảng hai chỉ số các biến ngẫu nhiên đa trị cho các trường hợp: độc lập đôi một cùng phân phối, hoặc độc lập và nhận giá trị trên không gian các tập con đóng của không gian Rademacher dạng p, hoặc phụ thuộc 2-hoán đổi được - Đưa ra ví dụ minh họa kết quả chính 21 CHƯƠNG 4 LUẬT SỐ LỚN ĐỐI VỚI MẢNG TAM GIÁC CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN ĐA TRỊ Trong chương này, chúng tôi thiết lập một số luật số lớn đối với mảng. .. đối với mảng tam giác các biến ngẫu nhiên đa trị thỏa mãn: độc lập theo hàng và nhận giá trị trên không gian các tập con đóng của không gian Rademacher dạng p 2 Kiến nghị về những hướng nghiên cứu tiếp theo Trong thời gian tới, chúng tôi dự định nghiên cứu các vấn đề sau đây: - Các định lý giới hạn dạng luật yếu số lớn theo hội tụ Mosco và hội tụ Wijsman đối với dãy và mảng các biến ngẫu nhiên đa trị. .. lập luật số lớn cho mảng các phần tử ngẫu nhiên 2-hoán đổi được - Thiết lập luật số lớn theo hội tụ Mosco và hội tụ Wijsman đối với mảng hai chỉ số các biến ngẫu nhiên đa trị cho các trường hợp: độc lập đôi một cùng phân phối, hoặc độc lập và nhận giá trị trên không gian các tập con đóng của không gian Rademacher dạng p, hoặc phụ thuộc 2-hoán đổi được - Thiết lập luật số lớn ứng với hội tụ Mosco và. .. mn m n xij = x i=1 j=1 19 3.2 Luật số lớn đối với mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên đa trị Định lý sau đây mở rộng các kết quả của C Hess (các năm 1985 và 1999) và của F Hiai (năm 1985) từ trường hợp dãy sang trường hợp mảng hai chỉ số 3.2.1 Định lý Nếu {Fij : i ≥ 1, j ≥ 1} là mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên đa trị độc lập đôi một cùng phân phối sao cho SF111 = ∅ và E( F11 log+ F11 ) < ∞, thì 1... ta có khái niệm hội tụ hầu chắc chắn cho các biến ngẫu nhiên đa trị Dựa trên các kết quả thu được ở mục 1.2, chúng tôi thu được hai định lý sau đây về phần “ lim sup” của hội tụ Wijsman cho trường hợp mảng nhiều chỉ số các biến ngẫu nhiên đa trị 1.3.2 Định lý Giả sử D là một tập con đếm được, trù mật trên X và F, Fn (n ∈ Nd ) là các biến ngẫu nhiên đa trị Nếu với mỗi x ∈ D, lim sup d(x, Fn (ω)) ≤ d(x,... với mọi x∗ ∈ X∗ , i∨j→∞ thì ta thu được luật số lớn theo các loại hội tụ Mosco và Wijsman 1 cl mn m n Fij (ω) → coX h.c.c khi m ∨ n → ∞ i=1 j=1 Để thiết lập luật số lớn cho mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên đa trị 2-hoán đổi được, chúng tôi chứng minh một số kết quả sau đây về mảng nhiều chiều các phần tử ngẫu nhiên 2-hoán đổi được 3.2.6 Định lý Giả sử {fn : n ∈ Nd } là một mảng các phần tử ngẫu nhiên. .. chiều các biến ngẫu nhiên đa trị theo các loại hội tụ Mosco, Wijsman Các kết quả chính của chương được viết dựa trên các bài báo [1] và [2] 3.1 Một số kết quả bổ trợ Sau đây, chúng tôi đưa ra một bổ đề quan trọng và là chìa khóa để thiết lập luật số lớn đối với mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên đa trị ứng với sự hội tụ khi m ∨ n → ∞ 3.1.4 Bổ đề Giả sử {xij : i ≥ 1, j ≥ 1} là một mảng hai chiều các phần... (ω)) với mọi x ∈ X h.c.c nmax →∞ 1.3.3 Định lý Giả sử F, Fn (n ∈ Nd ) là các biến ngẫu nhiên đa trị Nếu F (ω) ⊂ s- lim inf Fn (ω) h.c.c., thì nmax →∞ lim sup d(x, Fn (ω)) ≤ d(x, F (ω)) với mọi x ∈ X h.c.c nmax →∞ Sau đây là tính chất về hội tụ Wijsman đối với mảng nhiều chiều các biến ngẫu nhiên đa trị 1.3.4 Định lý Giả sử D là một tập con đếm được, trù mật trên X và F, Fn (n ∈ Nd ) là các biến ngẫu nhiên ... nh lý gii hn a tr dng lut s ln v dng nh lý ergodic i vi cu trỳc nhiu chiu cú nhiu ý ngha Lý thuyt ergodic bt ngun t ngnh c hc thng kờ Nghiờn cu cỏc nh lý ergodic c bt u vo nhng nm 1931-1932 bi... chiu cỏc bin ngu nhiờn a tr i vi nh lý ergodic, chỳng tụi thit lp nh lý ergodic Birkhoff i vi cu trỳc nhiu chiu cho cỏc trng hp: n tr v a tr Núi riờng, nh lý ergodic Birkhoff a tr c chỳng tụi thit... Trong mc ny, chỳng tụi cũn chng minh nh lý ergodic Birkhoff a tr dng nhiu chiu i vi trng hp phộp bin i bo ton o khụng c gi thit l ergodic Mc 2.4 trỡnh by nh lý ergodic Birkhoff dng hai chiu cho bin