Đang tải... (xem toàn văn)
Phản xạ 1: Khi gặp các góc lớn (từ 3x trở lên) thì thƣờng có 3 hƣớng đi Hƣớng 1 “Ghép bộ cùng tên” để giảm góc và tạo tích bằng việc dùng công thức tổng (hiệu) thành tích. • cos a cos b 2 cos a b cos a b 2 2 • sin a sin b 2sin a b cos a b 2 2 ; cos a cos b 2sin a b sin a b 2 2 ; sin a sin b 2 cos a b sin a b 2 2 (ưu tiên kết hợp các góc cùng chẵn hoặc cùng lẻ)
GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan 10 PHẢN XẠ HAY DÙNG KHI GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC GV: Nguyễn Thanh Tùng Phản xạ 1: Khi gặp góc lớn (từ 3x trở lên) thƣờng có hƣớng Hƣớng “Ghép tên” để giảm góc tạo tích việc dùng công thức tổng (hiệu) thành tích ab a b ; cos 2 ab a b ; sin a sin b 2sin cos 2 ab a b sin 2 ab a b sin a sin b 2cos sin 2 cos a cos b 2cos cos a cos b 2sin (ưu tiên kết hợp góc chẵn lẻ) Giải phương trình sau: (D – 2013): sin 3x cos x sin x (B – 2007): 2sin 2 x sin x 1 sin x (D – 2002): cos3x 4cos 2x 3cos x (D – 2012): sin 3x cos3x sin x cos x cos x (D – 2006): cos3x cos x cos x 1 (B – 2002) sin 3x cos2 x sin 5x cos2 x Hướng dẫn giải: (D – 2013): sin 3x cos x sin x (sin 3x sin x) cos x 2cos x sin x cos x cos x(2sin x 1) (D – 2012): sin 3x cos3x sin x cos x cos x (sin 3x sin x) (cos3x cos x) cos x 2cos x sin x 2cos xcos x cos x cos x 2(sin x cos x) 1 (B – 2007): 2sin 2 x sin x 1 sin x (sin x sin x) sin 2 x 2cos x sin 3x cos x cos x(2sin 3x 1) (D – 2006): cos3x cos x cos x 1 (cos3x cos x) (1 cos x) 2sin x sin x 2sin x 4sin x cos x 2sin x 2sin x(2cos x 1) (D – 2002): cos3x 4cos 2x 3cos x (cos 3x cos x) 4(1 cos x) 2cos x 2cos x cos x 8cos2 x 2cos x 2cos x(cos x 4cos x 1) 2cos x(2cos2 x 4cos x) 4cos x(cos x 2) (B – 2002) sin 3x cos2 x sin 5x cos2 x cos x cos8 x cos10 x cos12 x 2 2 cos6x cos8x cos10x cos12x 2cos7 x cos x 2cos11x cos x cos x(cos11x cos x) 2cos x sin x sin x sin x sin x Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN Hƣớng Chuyển phương trình dạng sin u sin v (hoặc cos u cos v ) dạng a sin x b cos x c (hoặc mở rộng) facebook.com/ThayTungToan Chú ý: Cách khử dấu “–” hàm lượng giác: sin u sin(u) ; cos u cos( u) tan u tan(u) ; cot u cot( u) Cách đổi tên hàm: sin u cos u ; cos u sin u ; tan u cot u ; cot u tan u 2 2 2 2 Giải phương trình sau: (B – 2013): sin 5x 2cos2 x 3 sin x 2sin 5x 2cos 3x cos x 4sin x sin x 4sin x 4 Hướng dẫn giải: (B – 2013): sin 5x 2cos2 x sin 5x cos x cos x sin x sin x sin(5 x) 2 sin x 2sin 5x 2cos 3x sin x 2sin 5x cos x sin x cos x 2sin x 3 sin x cos x sin x sin x sin x … 2 6 cos x 4sin x sin x 4sin x 4 cos x 4sin x sin x 1 cos x cos x 4sin x sin x 2(1 sin x) cos x 2sin x(1 2sin x) cos x 2sin x cos x cos x sin x k cos x sin x cos x x 2 3 12 Hƣớng Khử giảm số lượng góc lớn việc “sử dụng công thức cộng tạo tích thành tổng” “đánh giá” Giải phương trình sau: cos x(2sin 3x cos x) sin x(sin x 1) sin x(1 cos5x cos x) sin 3x 2sin 3x cos2 x cos x Hướng dẫn giải: Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng cos x(2sin 3x cos x) sin x(sin x 1) HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan sin 3x cos 4x sin x cos 4x cos x sin 4x sin x sin x sin x sin x cos 3x sin x sin 3x 2 sin x(1 cos5x cos x) sin 3x 2sin 3x cos2 x cos x sin x(1 2cos3x cos x) sin 3x(2cos2 x 1) cos x sin x cos3x sin x sin 3x cos x cos x sin x cos x sin 3x cos x cos3x sin x 1 sin x cos x sin x 2sin x sin x (*) 3 2 2sin x (*) sin x Do 3 sin x sin x 1 CHÚ Ý: Chương trình học khóa cthức sin 3x 3sin x 4sin x ; cos3x 4cos3 x 3cos x xuất đề thi “ý đồ” người đề sử dụng chúng (nếu bạn dùng phải chứng minh) nghĩa bạn nên theo hướng tư Phản xạ 2: Khi xuất thƣờng chuyển dạng a sin x b cos x c dạng mở rộng Cách giải chung: a sin u b cos u c Chia hai vế phương trình cho a a b2 sin u b a b2 a b2 ta được: cos u c a b2 (đưa công thức nghiệm) với cos sin(u ) a a b2 sin c a b2 b a b2 Chú ý 1: Điều kiện phương trình có nghiệm a b2 c2 Ta đưa phương trình dạng công thức nghiệm với cos Thường a b2 (để số liệu toán “đẹp”) Chú ý 2: Ngoài dạng nguyên gốc trên, gặp dạng mở rộng sau a sin u b cos u a b2 sin v a sin u b cos u a b2 cos v a sin u b cos u a 'sin v b 'cos v Cách giải tương tự, ta chia hai vế phương trình cho a b2 Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Giải phương trình sau: (A,A1 – 2012): sin x cos x 2cos x (B – 2012): 2(cos x sin x) cos x cos x sin x (1 2sin x) cos x (A – 2009): (B – 2009): sinx cos x sin x cos3x 2(cos x sin x) (1 2sin x)(1 sin x) x x (D – 2009): cos5x 2sin 3x cos x sin x (D – 2007): sin cos cos x 2 2 6 3 2 (B – 2008): sin x cos x sin x cos x sin x cos x 8 sin x cos x 3 sin x 10 2sin 3x sin x cos x 2cos x sin x cos x(4sin x 1) Hướng dẫn giải: (A,A1 – 2012) sin x cos x 2cos x sin x cos x 2cos x 1 2cos x 1 cos x 2cos x( sin x cos x 1) sin x cos x (B – 2012): 2(cos x sin x) cos x cos x sin x 2cos2 x sin x cos x cos x sin x cos x sin x cos x sin x 3 cos x sin x cos x sin x cos x cos x … 3 3 2 2 sin x Điều kiện (*) sin x Với điều kiện (*) phương trình tương đương: (1 2sin x) cos x 3 (A – 2009): (1 2sin x)(1 sin x) (1 2sin x) cos x 3(1 2sin x sin x) cos x sin x 3(cos x sin x) cos x sin x cos x sin x 3 cos x sin x cos x sin x cos x cos x … 3 6 2 2 (B – 2009): sin x cos x sin x cos3x 2(cos x sin x) sin x (1 2sin2 x ) cos x sin 2x cos 3x 2cos 4x sin x cos 2x cos x sin 2x cos 3x 2cos 4x cos 3x cos x cos 3x cos x … sin 3x cos 3x 2cos 4x sin 3x 2 6 (D – 2009): cos5x 2sin 3x cos x sin x cos5x (sin 5x sin x) sin x cos x sin x sin x sin( x) … sin 5x cos5x 2sin x sin x 3 2 Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan x x x x x x (D – 2007): sin cos cos x sin cos 2sin cos cos x 2 2 2 2 cos x sin x sin … sin x cos x sin x cos x sin x 2 3 (B – 2008): sin3 x cos3 x sin x cos2 x sin x cos x sin x(cos2 x sin x) cos x(cos2 x sin x) cos x … sin x cos x cos x cos x cos x(sin x cos x) sin x co s x 8 sin x cos6 x 3 sin x 1 sin 2 x 3 sin x 3(1 cos x) 1 3 sin x cos x sin x 1 1 2 cos x sin x cos x cos … 2 3 sin x cos x(4sin x 1) sin x cos x 2sin x sin x cos x sin x sin x cos cos x sin sin x sin x sin x 6 2 6 2sin 3x sin x 2sin 3x sin x 2sin 3x sin x cos x sin x cos x 2(cos x sin x) cos x (sin x 3cos x) cos x sin x cos x sin x cos x 10 2sin 3x sin x cos x 2cos x 2 2 2 sin x cos x sin x cos x 2sin 3x sin x cos x sin x cos x 2sin 3x Phản xạ 3: Khi nhóm đƣợc “cùng tên, góc” nghĩ tới việc phân tích thành tích ( 2sin x sin x (sin x 1)(2sin x 1) ; cos3 x 3cos2 x 4cos x (cos x 1)(cos2 x 2cos x 2)…) ( nhẩm nghiệm em dùng máy tính để trợ giúp sử dụng thêm lược đồ Horner – phương trình từ dạng bậc trở lên có nghiệm “đẹp” để tạo tích) Giải phương trình sau: 1.(D – 2010): sin x cos x 3sin x cos x 1 (2sin x 1)(cos x 1) cos x 2cos x 7sin x 9sin x 6cos x 3sin x cos x 2cos3 x 3cos x 2sin x 4cos x 4sin x 5 sin x cos6 x 3 sin x 3 cos x 9sin x 11 Hướng dẫn giải: 1.(D – 2010): sin x cos x 3sin x cos x 1 sin x (1 2sin x) 3sin x cos x 1 Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN 2sin x 3sin x sin x cos x facebook.com/ThayTungToan (2sin x 1)(sin x 2) cos x(2sin x 1) (2sin x 1)(sin x cos x 2) 9sin x 6cos x 3sin x cos x 9sin x 6cos x 6sin x cos x 2sin x (6sin x cos x 6cos x) (2sin x 9sin x 7) 6cos x(sin x 1) (sin x 1)(2sin x 7) (sin x 1)(6cos x 2sin x 7) sin x 2sin x 6cos x (vô nghiệm 22 62 72 ) x k 2 (k ) (2sin x 1)(cos x 1) cos x 2cos x 7sin x 2sin x cos x 2sin x cos x 2sin x 2cos x 7sin x (2sin x cos x cos x) (2sin x 9sin x 5) cos x(2sin x 1) (2sin x 1)(sin x 5) (2sin x 1)(sin x cos x 5) 2cos3 x 3cos x 2sin x 4cos x 4sin x 2cos3 x 3(2cos2 x 1) 2sin x 4cos x 4sin x (cos3 x 3cos2 x 2cos x 4) (sin x 2sin x) (cos x 1)(cos2 x 2cos x 4) 2sin x(cos x 1) (cos x 1)(cos2 x 2cos x 2sin x) cos x 1 (1) cos2 x 2(sin x cos x) (2) Giải (1) x k2 Giải (2) cos x 2 sin x 4 Ta có: 4 cos x 2 sin x 2 , suy (2) vô nghiệm 4 Vậy phương trình có nghiệm x k 2 (k ) sin x cos6 x 3 sin x 3 cos x 9sin x 11 Ta có: sin x cos6 x (sin x cos2 x)3 3sin x cos2 x(sin x cos2 x) sin 2 x Khi phương trình tương đương: 1 sin 2 x 3 sin x 3 cos x 9sin x 11 ( sin x cos x) (2sin 3x 3sin x 1) cos x(2sin x 1) (2sin x 1)(sin x 1) (2sin x 1)( cos x sin x 1) CHÚ Ý: Các Ví dụ 1,2,3,4,5 có cách tiếp cận khác Các em xem tiếp phản xạ sau ! Phản xạ 4: Khi phƣơng trình lƣợng giác có nhiều biểu thức chứa nhân tử chung, nghĩ tới việc chuyển phƣơng trình dạng tích (hoặc để giản ƣớc nhân tử chung dƣới mẫu số) Sau thầy giới thiệu tới bạn bảng biểu thức chứa nhân tử chung thƣờng gặp: Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Bảng Tổng Kết Một Số Nhân Tử Chung Thƣờng Gặp STT Nhân tử Chung sin x cos x sin x cos x sin x cos x 2sin x 2cos x Biểu Thức Chứa Nhân Tử Chung tan x ; sin 2x ; tan 2x ; cos 2x ; sin 3x … cot x ; sin 2x ; tan 2x ; cos 2x ; cos3x … cos 2x ; tan x ; cot x ; tan x ; cot x ; sin3 x cos3 x ; sin x ; cos x 4 4 x x x x cos2 x ; cot x ; sin ; cos ; tan ; cot ; 2cos x sin x … 2 4 2 4 2 4 2 4 x x x x sin x ; tan x ; sin ; tan ; cos ; cot ; 2sin x sin x … 2 2 2 cos x sin x ; 4sin x ; 4cos x ; 2cos x 1 ; cot x 2cos x ; cos3x … sin x sin x ; 4cos2 x ; 4sin x ; 2cos x 1; tan x 2sin x ; sin 3x … Giải phương trình sau: (D – 2004): (2cos x 1)(2sin x cos x) sin x sin x (B – 2004): 5sin x 3(1 sin x) tan x cos x x x sin x sin x (A – 2003): cot x (D – 2003): sin tan x cos tan x 2 2 4 sin x cos x sin x sin x (A – 2011): (B – 2005): sin x cos x sin x cos x cot x sin x 2cos x sin x (D – 2011) : (D – 2010) : sin x cos x 3sin x cos x 1 tan x 9.(A – 2007): (1 sin x) cos x (1 cos2 x)sin x sin x 10 (A,A1 – 2013): tan x 2 sin x 4 11 (B – 2011): sin x cos x sin x cos x cos x sin x cos x 12 (A,A1 – 2014): sin x 4cos x sin x Hướng dẫn giải: (D – 2004): (2cos x 1)(2sin x cos x) sin 2x sin x (2cos x 1)(2sin x cos x) sin x(2 cos x 1) (2cos x 1)(sin x cos x) (B – 2004): 5sin x 3(1 sin x) tan x Điều kiện: cos x x n (n ) sin x Khi phương trình đương đương: 5sin x 3(1 sin x) (1 sin x)(1 sin x) (1 sin x)(5sin x 2) 3sin x 2sin x 3sin x (A – 2003): cot x cos x sin x sin x tan x sin x Điều kiện: , phương trình tương đương: tan x 1 Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan cos x (cos x sin x)(cos x sin x) 1 sin x sin x cos x sin x sin x 1 cos x cos x sin x cos x(cos x sin x) sin x(sin x cos x) (cos x sin x)(1 sin x cos x sin x) sin x x x (D – 2003): sin tan x cos 2 4 Điều kiện: cos x x n (n ) cos x 2 sin x cos x Khi phương trình tương đương: 0 cos x sin x (1 cos x)(1 cos x) cos x 0 (1 sin x)(1 sin x) cos x (1 cos x) 1 (1 cos x)(sin x cos x) sin x sin x cos x sin x sin x (A – 2011): cot x Điều kiện: sin x x n (n ) Ta có cot x , phương trình tương đương: sin x sin x(1 sin x 2cos2 x 1) 2 sin x cos x cos x … cos x(sin x cos x) 2 cos x (vì sin x ) 2cos x(sin x cos x 2) sin x cos x (B – 2005): sin x cos x sin x cos x sin x sin x cos x cos2 x sin x (sin x cos x )2 sin x cos x (cos x sin x )(cosx sinx ) (sin x cos x)(sin x cos x cos x sin x) (sin x cos x )(2cos x 1) 0… (D – 2011) : sin x 2cos x sin x tan x cos x Điều kiện: (*) tan x Khi phương trình tương đương: sin x 2cos x (sin x 1) 2cos x(sin x 1) (sin x 1) (sin x 1)(2cos x 1) (D – 2010) : sin x cos2 x 3sin x cos x 1 0 sin x cos x cos x(2sin x 1) Ta có cos x 3sin x 2sin x 3sin x (2sin x 1)(sin x 2) Khi phương trình tương đương: cos x(2sin x 1) (2sin x 1)(sin x 2) (2sin x 1)(sin x cos x 2) Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN 2 9.(A – 2007): (1 sin x) cos x (1 cos x)sin x sin x facebook.com/ThayTungToan sin x cos x sin x cos x(sin x cos x) (sin x cos x)2 (sin x cos x)(1 sin x cos x sin x cos x) sin x (1 cos x)(1 sin x) 4 10 (A,A1 – 2013): tan x 2 sin x 4 Điều kiện: cos x sin x cos x Phương trình tương đương: 2(sin x cos x) (sin x cos x)(1 2cos x) cos x 11 (B – 2011): sin x cos x sin x cos x cos x sin x cos x 2sin x cos2 x sin x cos x cos x 2sin x sin x 2sin x(1 sin x)(1 sin x) cos x(1 sin x) (1 sin x)(1 2sin x) (1 sin x) 2sin x(1 sin x) cos x 2sin x) (1 sin x) 2sin x cos x (1 sin x)(cos x cos x) 12 (A,A1 – 2014): sin x 4cos x sin x sin x sin 2x 4cos x sin x(1 2cos x) 2(1 2cos x) (1 2cos x)(sin x 2) Phản xạ 5: Khi phƣơng trình có mặt cos 2x ta dựa vào dấu hiệu kèm để biến đổi: cos2x = cos2 x sin x (cos x sin x)(cos x sin x) : Nếu có yếu tố sin x cos x = 2cos2 x 1: Nếu việc tạo “ –1” giúp ta khử số tự = 1 2sin x : Nếu việc tạo “ +1” giúp ta khử số tự = cos2x (Giữ nguyên): Nếu có 2cos3 x cos x ; sin x 2sin3 x ; sin 2x cos x sin x ; cos x sin x sin 2x Giải phương trình sau: (ĐHY – 2000) sin3 x cos3 x cos 2x (A,A1 – 2012) : sin 2x cos 2x 2cos x 1 (D – 2006): cos3x cos 2x cos x (B – 2010): (sin 2x cos 2x ) cos x cos 2x sin x 2cos3 x sin x cos 2x 4sin x cos x 2 (A – 2003): cot x cos x sin x sin x t anx Hướng dẫn giải: (ĐHY – 2000) sin3 x cos3 x cos 2x (sin x cos x) (1 sin x cos x) (cos x sin x)(cos x sin x) (sin x cos x)(1 sin x cos x sin x cos x) sin x (1 cos x)(1 sin x) 4 (A,A1 – 2012) : sin 2x cos 2x 2cos x sin x cos x 2cos2 x 2cos x 1 2cos x( sin x cos x 1) (D – 2006): cos3x cos 2x cos x cos3x 2sin x cos x 1 2sin x sin x 2sin x 4sin x cos x 2sin x 2sin x(2cos x 1) (B – 2010): (sin 2x cos 2x ) cos x cos 2x sin x Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN sin x cos x sin x cos x cos x 2cos x sin x(2cos2 x 1) cos x(cos x 2) cos x(sin x cos x 2) facebook.com/ThayTungToan 2cos3 x sin x cos x 4sin x cos x cos x(2cos2 x 1) sin x cos x 2(1 2sin x) cos x cos x sin x cos x cos x cos x(cos x sin x 2) (A – 2003): cot x cos x sin x sin x tan x sin x Điều kiện: , phương trình tương đương: tan x 1 cos x (cos x sin x)(cos x sin x) 1 sin x sin x cos x sin x sin x 1 cos x cos x sin x cos x(cos x sin x) sin x(sin x cos x) (cos x sin x)(1 sin x cos x sin x) sin x Phản xạ 6: Khi gặp biểu thức “đồng dạng” nghĩ tới việc nhóm để tạo tích gặp phƣơng trình chứa sin x; cos2 x; sin 2x ; cos 2x nghĩ tới dạng tích chúng : +) sin x (1 cos x)(1 cos x) +) cos2 x (1 sin x)(1 sin x) ; sin x (sin x cos x)2 +) cos x (cos x sin x)(cos x sin x) ( Xem thêm Phản xạ ) Chú ý: Với sin x , cos2 x cách phân tích ta nghĩ tới việc hạ bậc theo công thức cos x cos 2x ; cos2 x sin x 2 Giải phương trình sau: 2cos3 x cos x sin x sin x 4cos x sin x 4 sin x (1 tan x).sin x 4 Hướng dẫn giải: 2cos3 x cos x sin x 2cos3 x 2cos2 x 1 sin x cos2 x(1 cos x) (1 sin x) 2(1 sin x)(1 sin x)(1 cos x) (1 sin x) (1 sin x) 2(1 sin x)(1 cos x) 1 (1 sin x) 2(sin x cos x) 2sin x cos x 1 (1 sin x) 2(sin x cos x) (sin x cos x)2 (1 sin x)(sin x cos x)(sin x cos x 2) … Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan sin x cos x sin x 4 cos x sin 2x sin x 4 cos 2x (1 sin 2x ) sin x 2(cos x sin x)(cos x sin x ) (sin x cos x)2 4( sin x cos x) (cos x sin x)(3sin x cos x 4) sin x (1 tan x).sin x 4 Điều kiện : cos x x n (n ) Khi phương trình tương đương : sin x cos x (1 tan x)sin x (sin x cos x)2 (cos x sin x)(cos x sin x) sin x cos x sin x cos x sin x (sin x cos x) 2sin x sin x (sin x sin x) … cos x 4 Phản xạ 7: Khi phƣơng trình có dạng: a sin 2x b cos 2x c sin x d cos x e ta nghĩ tới việc biến đổi phƣơng trình dạng tích hai kĩ thuật sau: I Nhóm, tách ghép để làm xuất nhân tử chung ( xem lại kĩ thuật qua phản xạ 1, 3, 4, 6) II Đưa phương trình dạng: A sin x B sin x C A cos2 x B cos x C ( A, B, C chứa hàm lượng giác) , quan niệm phương trình bậc với sin x cos x (phương pháp số biến thiên) Giải phương trình sau: 1.(D – 2010) sin x cos x 3sin x cos x 1 sin x cos6 x 3 sin x 3 cos x 9sin x 11 (B – 2005): sin x cos x sin x cos x 9sin x 6cos x 3sin x cos x Hướng dẫn giải: 1.(D – 2010) sin 2x cos 2x 3sin x cos x 1 2sin x cos x (1 2sin x) 3sin x cos x 1 sin x (2cos x 3) sin x cos x sin x (2cos x 3)2 8(cos x 2) (2cos x 5)2 Suy ra: sin x (2cos x 3) 2cos x (2cos x 3) 2cos x sin x cos x 4 5 k 2 (k ) x k 2 x 6 +) Với sin x cos x 2 sin x cos x 2 (vô nghiệm) +) Với sin x Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan 5 Vậy phương trình có nghiệm x k 2 ; k 2 k 6 sin x cos6 x 3 sin x 3 cos x 9sin x 11 sin x cos6 x 3 sin x 3 cos x 9sin x 11 1 sin 2 x sin x cos x 3 cos x 9sin x 11 sin 2x (2 cos x 3) sin 2x cos x sin x (2 cos x 3)2 8( cos x 1) (2 cos x 1)2 sin x cos x cos x cos x cos x 1 cos x (1) sin x 4 Giải (1) (2) 1 2 cos x sin x cos 2 x cos … 2 6 5 x k x k 12 12 (B – 2005): sin x cos x sin x cos x Giải (2) sin x sin x cos x 2sin x cos x 2cos2 x 1 cos2 x (2sin x 1) cos x sin x cos x (2sin x 1)2 8sin x (2sin x 1)2 (2sin x 1) 2sin x 1 (2sin x 1) 2sin x 1 sin x (2) (1) cos x 4 2 2 Giải (1) cos x cos x k 2 3 Giải (2) sin x cos x sin x x k 4 Suy ra: cos x 2 Vậy phương trình có nghiệm x k 2 ; k k 9sin x 6cos x 3sin x cos x 9sin x 6cos x 6sin x cos x 2sin x 2sin x (6cos x 9)sin x 6cos x 2sin x (6cos x 9)sin x 6cos x sin x (6cos x 9)2 8(6cos x 7) (6cos x 5) Suy ra: sin x 6cos x 6cos x 6cos x 6cos x 6cos x (1) sin x 4 (2) … CHÚ Ý: +) Các Ví dụ 1, em xem lại cách giải khác phản xạ +) Cách giải Ví dụ chứng tỏ điều có góc nhìn khác, dài – theo I nhìn thấy ngắn gọn +) Cách tiếp cận thứ II làm delta có “hình thức” số phương ( u ), không ta chuyển phương trình bậc với sin x sang cos x ngược lại Nếu không ổn ta theo cách I (Cách I Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng “mạnh” cách II) HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan k k k ; ; k với k Z ) khử cách ( gồm “dùng bảng công thức chuyển góc nhọn công thức cộng, tích, hạ bậc” Phản xạ 8: Khi xuất góc cộng thêm k6 ; Giải phương trình sau: 1 7 4sin x (A – 2008): 3 sin x sin x (D – 2005): cos4 x sin x cos x sin 3x 4 4 x x (D – 2003): sin tan x cos2 2 4 (ĐHXD – 1997): 2sin x 4sin x 6 sin x cos x 4 sin x cos x cos 4 x tan x tan x 4 4 Hướng dẫn giải: 7 4sin x 3 sin x 3 Ta có: sin x sin x 2 sin x cos x 2 1 sin x 1 7 (sin x cos x) sin x sin 2 x sin x 4 sin x n Khi ta có điều kiện: (n ) sin x x 2 cos x Phương trình viết lại: 1 sin x cos x 2 2(sin x cos x) 2 2(sin x cos x ) sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x(sin x cos x) (sin x cos x)(1 sin x) 3 7 bạn khử việc sử dụng công thức tổng: 3 3 3 sin x cos x sin x cos cos x sin 2 1 7 7 7 cos x sin x (sin x cos x) sin x sin cos x cos sin x 4 2 Chú ý: Ngoài cách khử lượng 1 cos4 x sin x cos x sin 3x 2sin x cos2 x sin x sin x 4 4 2 2 Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN 2 sin 2x cos x sin x 3 sin x (1 2sin 2 x) sin x 1 sin 2 x sin x sin x sin x 2 (vô nghiệm) x facebook.com/ThayTungToan k (k ) x x (D – 2003): sin tan x cos2 2 4 Điều kiện: cos x x n (n ) Khi phương trình tương đương: cos x sin x (1 cos x)(1 cos x) cos x sin x cos x 0 0 2 (1 sin x)(1 sin x) 2 cos x cos x (1 cos x) 1 (1 cos x)(sin x cos x) sin x (ĐHXD – 1997): sin x cos x cos 4 x tan x tan x 4 4 Ta tan x tan x theo cách biến đổi sau: 4 4 tan x tan x Cách 1: tan x tan x 1 4 4 tan x tan x Cách 2: tan x tan x tan x cot x 4 4 4 2 1 sin x sin x cos cos x 4 4 2 cos x Cách 3: 1 cos x cos x cos x cos cos x 2 4 4 n Khi ta có điều kiện: cos x x (n ) (*) Phương trình viết lại thành: sin4 2x cos4 2x cos4 4x sin x cos 4 x (loại) k k , đối chiếu với điều kiện (*) ta nghiệm phương trình là: x (k ) sin x x (1 cos2 x) 2cos4 x 2cos4 x cos2 x 1 cos2 x cos x 2sin x 4sin x sin x cos cos x sin 4sin x 6 6 sin x cos x 4sin x sin x cos x 4sin x 2sin x 2sin x cos x sin x Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan cos x 2 2 cos x cos x sin x 4 sin x cos x 2 2 4 2 1 cos x 1 sin x sin x cos x sin x 4 Phản xạ 9: Khi giải phƣơng trình lƣợng giác không quên việc cho điều kiện phƣơng trình chứa ẩn dƣới mẫu (không thiết phải giải chi tiết điều kiện) phải kiểm tra lại điều kiện Vì ta cần nắm đƣợc phƣơng pháp loại nghiệm để giải tốt dạng toán sau Dạng 1: Phương trình chứa ẩn mẫu Phương pháp giải: 2l (l , m) m 2k Bước 2: Giải phương trình nghiệm x (k , n ) n Bước 3: Kiểm tra điều kiện cách sau: +) Cách (Phương pháp hình học): 2l Biểu diễn x đường tròn đơn vị gồm m điểm m 2k C {C1; C2 ; ; Cm } ; biểu diễn x đường tròn đơn vị gồm n điểm D {D1; D2 ; ; Dn } Xét n hiệu E D \ C E1; E2 ; ; Er Bước 1: Cho điều kiện, ta x Khi nghiệm phương trình ban đầu là: x Ei k 2 (i 1; r , k ) +) Cách 2(Phương pháp đại số - cách mang tính chất tham khảo): k 2l k 2l ( x chấp nhận ) x bị loại n m n m Ví dụ: Giải phương trình cot x cos x sin 2 x Giải: m (m) (1) sin x cos x cos x cos x Khi phương trình tương đương: sin x (1 cos x)(1 cos x) sin x cos x sin x cos x (sin x cos x)cos x sin x Điều kiện: sin x x cos x cos x cos x(sin x cos x 1) 1 sin x cos x 1 sin x 4 Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN k x k x k x (k ) (2) x k 2 x k 4 x k 2 x x k k 2 4 x≠ mπ = m2π π kπ π k2π x= + = + ; 4 facebook.com/ThayTungToan π π k2π x = + kπ = + 2 k (k ) Chú ý: Khi gặp dạng phương trình chứa ẩn mẫu, ta không quên việc cho điều kiện (không thiết phải giải chi tiết điều kiện) phải kiểm tra lại điều kiện Trong trình giải “linh hoạt” loại nghiệm không cần thiết để rút ngắn lời giải Kết hợp (1) (2) (biểu diễn đường tròn đơn vị), ta nghiệm phương trình: x Dạng 2: Tìm nghiệm thuộc khoảng, đoạn Phương pháp giải: Bước 1: Giải phương trình nghiệm x Bước 2: Khai thác điều kiện x D 2k (k , n ) n 2k 2k k ,n D (k0 , n0 ) nghiệm x0 n n0 l (l , m) +) Cách 2: Có thể dùng đường tròn đơn vị đầu mút D có dạng m +) Cách (Chặn điều kiện): x D Ví dụ 1: Tìm x thuộc đoạn [0;14] nghiệm phương trình: cos3x 4cos 2x 3cos x Giải: Phương trình tương đương: cos3x cos x 4(2cos x 1) 2cos x 2cos x cos x 8cos2 x 2cos x 2cos x(cos x 4cos x 1) 2cos x(2cos2 x 4cos x) 4cos2 x(cos x 2) cos x cos x (loại) x k ( k ) 28 3,96 k {0;1; 2;3} 2 3 5 7 Hay nghiệm phương trình: x ; ; ; 2 2 Với x [0;14] 0 k 14 0,5 k Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan cos3x sin 3x Ví dụ (A – 2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2 ) phương trình: s inx cos x 2sin x Giải: 7 Điều kiện: sin x x m x l (m, l ) 12 12 Khi phương trình tương đương: 5sin x.(1 2sin x) cos3x sin 3x (1 2sin x)(cos x 3) 5(sin x cos x cos 3x cos3x sin 3x) (1 2sin x)(cos x 3) 5(2sin x cos x cos x) (1 2sin x)(cos x 3) 5cos x(2sin x 1) (1 2sin x)(cos x 3) 5cos x cos x (vì sin x ) 2cos2 x 5cos x cos x (loại) cos x x k 2 (k ) Cách k 2 2 k k x 3 6 5 +) Với x 2k (k ) , ta có: x (0; 2 ) k 2 2 k k x 3 6 Cách : Sử dụng đường tròn đơn vị : +) Với x 2k (k ) , ta có: x (0; 2 ) π π 2π 5π Vì x (0;2 ) nên ta x x 5 Phản xạ 10: Khi đứng trƣớc toán giải phƣơng trình lƣợng giác kì thi Đại Học – Cao Đẳng “Hãy ghi nhớ phản xạ đầu tiên” (chi tiết xem lại phản xạ trước) Phản xạ 1: Khi gặp góc lớn (từ 3x trở lên) thƣờng có hƣớng đi…………………… Phản xạ 2: Khi xuất thƣờng chuyển dạng a sin x b cos x c dạng mở rộng ……………………………………………………… Phản xạ 3: Khi nhóm đƣợc “cùng tên, góc” nghĩ tới việc phân tích thành tích……………………………………………………………… Phản xạ 4: Khi phƣơng trình lƣợng giác có nhiều biểu thức chứa nhân tử chung, nghĩ tới việc chuyển phƣơng trình dạng tích (hoặc để giản ƣớc nhân tử chung dƣới mẫu số)………………………………………………… Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Bảng Tổng Kết Một Số Nhân Tử Chung Thƣờng Gặp…… Phản xạ 5: Khi phƣơng trình có mặt cos 2x ta dựa vào dấu hiệu kèm để biến đổi…………………………………………………………………… Phản xạ 6: Khi gặp biểu thức “đồng dạng” nghĩ tới việc nhóm để tạo tích gặp phƣơng trình chứa sin x; cos2 x; sin 2x ; cos 2x nghĩ tới dạng tích chúng……………………………………………………………… Phản xạ 7: Khi phƣơng trình có dạng: a sin 2x b cos 2x c sin x d cos x e Phản xạ ta nghĩ tới việc biến đổi phƣơng trình dạng tích hai kĩ thuật… 8: Khi xuất góc cộng thêm k ; k ( gồm k ; k ; k với k Z ) tìm cách khử chúng……………………………………………………………… Phản xạ 9: Nhớ cho điều kiện phƣơng trình chứa ẩn dƣới mẫu………………………… Phản xạ 10: Khi đứng trƣớc toán giải phƣơng trình lƣợng giác kì thi Đại Học – Cao Đẳng “Hãy ghi nhớ phản xạ đầu tiên” …………… CẢM ƠN CÁC BẠN ĐÃ QUAN TÂM ! GV: Nguyễn Thanh Tùng Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! [...]... và x 5 3 Phản xạ 10: Khi đứng trƣớc một bài toán giải phƣơng trình lƣợng giác trong kì thi Đại Học – Cao Đẳng “Hãy ghi nhớ 9 phản xạ đầu tiên” (chi tiết xem lại các phản xạ trước) Phản xạ 1: Khi gặp các góc lớn (từ 3x trở lên) thì thƣờng có 3 hƣớng đi…………………… Phản xạ 2: Khi xuất hiện 3 thƣờng chuyển về dạng a sin x b cos x c hoặc dạng mở rộng của nó ……………………………………………………… Phản xạ 3: Khi nhóm đƣợc... sin x d cos x e 0 Phản xạ ta nghĩ tới việc biến đổi phƣơng trình về dạng tích bằng một trong hai kĩ thuật… 8: Khi xuất hiện góc cộng thêm k ; k ( gồm cả k ; k ; k với k Z ) 6 4 3 2 thì tìm cách khử chúng……………………………………………………………… Phản xạ 9: Nhớ cho điều kiện khi phƣơng trình chứa ẩn dƣới mẫu………………………… Phản xạ 10: Khi đứng trƣớc một bài toán giải phƣơng trình lƣợng giác trong kì thi Đại Học... để làm xuất hiện nhân tử chung ( xem lại kĩ thuật này qua các phản xạ 1, 3, 4, 5 và 6) II Đưa phương trình về dạng: A sin 2 x B sin x C 0 hoặc A cos2 x B cos x C 0 ( A, B, C có thể chứa hàm lượng giác) , quan niệm là phương trình bậc 2 với sin x hoặc cos x (phương pháp hằng số biến thiên) Giải các phương trình sau: 1.(D – 2 010) sin 2 x cos 2 x 3sin x cos x 1 0 2 8 sin 6 x cos6... kiện, ta được x Khi đó nghiệm của phương trình ban đầu là: x Ei k 2 (i 1; r , k ) +) Cách 2 (Phương pháp đại số - cách này mang tính chất tham khảo): 2 k 2l 2 k 2l ( x chấp nhận khi ) x bị loại khi n m n m Ví dụ: Giải phương trình 1 cot 2 x 1 cos 2 x sin 2 2 x Giải: m (m) (1) 2 sin 2 x cos 2 x 1 cos 2 x 1 cos 2 x Khi đó phương trình tương đương: 1... Nhân Tử Chung Thƣờng Gặp…… Phản xạ 5: Khi trong phƣơng trình có mặt cos 2x thì ta dựa vào các dấu hiệu đi kèm để biến đổi…………………………………………………………………… Phản xạ 6: Khi gặp các biểu thức “đồng dạng” hãy nghĩ tới việc nhóm để tạo tích và gặp phƣơng trình chứa sin 2 x; cos2 x; 1 sin 2x ; cos 2x hãy nghĩ tới các dạng tích của chúng……………………………………………………………… Phản xạ 7: Khi phƣơng trình có dạng: a sin 2x b... cho điều kiện (không nhất thiết phải giải chi tiết điều kiện) và phải kiểm tra lại điều kiện Trong quá trình giải có thể “linh hoạt” loại đi nghiệm không cần thiết để rút ngắn lời giải Kết hợp (1) và (2) (biểu diễn trên đường tròn đơn vị), ta được nghiệm phương trình: x Dạng 2: Tìm nghiệm thuộc một khoảng, một đoạn Phương pháp giải: Bước 1: Giải phương trình được nghiệm x Bước 2: Khai... nếu phƣơng trình chứa ẩn dƣới mẫu (không nhất thiết phải giải chi tiết điều kiện) và phải kiểm tra lại điều kiện Vì vậy ta cần nắm đƣợc phƣơng pháp loại nghiệm để giải quyết tốt 2 dạng toán sau Dạng 1: Phương trình chứa ẩn dưới mẫu Phương pháp giải: 2l (l , m) m 2k Bước 2: Giải phương trình được nghiệm x (k , n ) n Bước 3: Kiểm tra điều kiện bằng 2 cách sau: +) Cách 1 (Phương pháp... bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan cos3x sin 3x Ví dụ 2 (A – 2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2 ) của phương trình: 5 s inx cos 2 x 3 1 2sin 2 x Giải: 1 7 Điều kiện: sin 2 x x m và x l (m, l ) 2 12 12 Khi đó phương trình tương đương: 5sin x.(1 2sin 2 x) cos3x sin 3x ... 4 4 2 (2) … CHÚ Ý: +) Các Ví dụ 1, 2 các em xem lại cách giải khác ở phản xạ 4 +) Cách giải ở Ví dụ 3 chỉ chứng tỏ một điều có một góc nhìn khác, nhưng hơi dài – khi đi theo I có thể nhìn thấy luôn và khá ngắn gọn +) Cách tiếp cận thứ II chỉ làm được khi delta có “hình thức” là số chính phương ( u 2 ), nếu không được ta chuyển phương trình bậc 2 với sin x sang cos x hoặc ngược lại Nếu vẫn không... thành tích……………………………………………………………… Phản xạ 4: Khi phƣơng trình lƣợng giác có nhiều biểu thức cùng chứa nhân tử chung, chúng ta nghĩ tới việc chuyển phƣơng trình về dạng tích (hoặc để giản ƣớc nếu nhân tử chung ở dƣới mẫu số)………………………………………………… Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan