Elip và các bài toán liên quan

Phương trình chính tắc đường Ellipse:sửa | sửa mã nguồn Cho hình elip (E) như trong định nghĩa trên. Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc là trung điểm đoạn thằng F1F2. Trục Oy là đường trung trực của F1F2 và F2 nằm trên tia Ox. Đường elipse E Giả sử điểm M(x; y) nằm trên elipse (E). Tính MF21 MF22 rồi sử dụng định nghĩa MF1 + MF2 để tính MF1 MF2. Từ đó suy ra: MF1 = a + frac{cx}{a} và MF2 = a frac{cx}{a}. Các đoạn thẳng MF1, MF2 được gọi là bán kính qua tiêu của điểm M. Bây giờ ta lập phương trình của elip (E) đối với hệ trục tọa độ đã chọn như trên. Ta có MF1 = a + frac{cx}{a} = sqrt {(x + c)2 + y2} hay(a + frac {cx}{a})2 = (x + c)2 + y2. Rút gọn đẳng thức trên ta được (1 frac{c2}{a2}) x2 + y2 = a2 c2, hay frac{x2}{a2} + frac {y2}{a2 c2} = 1. Vì a2 c2 > 0 nên ta có thể đặt a2 c2 = b2 (với b > 0) và được phương trình chính tắc của elip đã cho: frac {x2}{a2} + frac {y2}{b2} = 1 (với a > b > 0). Ngược lại ta có thể chứng minh rằng: Nếu điểm M có tọa độ (x; y) thỏa mãn phương trình trên thì MF1 = a + frac{cx}{a} và MF2 = a frac{cx}{a} do đó MF1 + MF2 = 2a, tức là M thuộc elip (E).