Hàm Số Liên Tục và Bài Tập Liên Quan

Hàm số liên tục và bài tập liên quan B. NỘI DUNG CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT HÀM SỐ LIÊN TỤC . Hàm số liên tục Các khái niệm cơ bản Định nghĩa 1: Liên tục tại một điểm Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a;b) và xo∈ (a;b). Hàm số f được gọi là liên tục tại điểm xo nếu: lim┬(x→x_0 )⁡〖f(x)=f(x_0 )〗 Hàm số không liên tục tại điểm xo được gọi là gián đoạn tại điểm xo. Ví dụ 1: a) Hàm số f(x)=x2 liên tục tại mọi điểm xo ∈R vì : lim┬(x→x0)⁡f(x) = xo2 =f (xo) b) Hàm số f(x)={█(1x (x≠0)0 (x=0))┤ gián đoạn tại điểm x=0 vì không tồn tại lim┬(x→0)⁡f(x)= lim┬(x→0)⁡〖1x〗 Định nghĩa 2: Liên tục tại một khoảng, đoạn. Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp J, trong đó J là một khoảng hoặc tập hợp của nhiều khoảng. Ta nói rằng hàm số f liên tục trên J nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc tập hợp đó. Hàm số f xác định trên đoạn a;b được gọi là liên tục trên đoạn a;b nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và lim┬(x→a+)⁡〖f(x)〗= f(a), lim┬(x→b)⁡〖f(x)〗= f(b). Ví dụ 2:Xét tính liên tục của hàm số f(x)=√(1x2 )trên đoạn −1;1. Giải: Hàm số đã cho xác định trên đoạn −1;1. Vì với mọi xo∈(−1;1) ta có: lim┬(x→x_0 )⁡f(x)= lim┬(x→x_0 )⁡√(1x2 )= √(1〖x_o〗2 )= f(xo) Nên hàm số f liên tục trên khoảng (−1;1). Ngoài ra, ta có: lim┬(x→〖(1)〗+ )⁡〖f(x)〗= lim┬(x→〖(1)〗+ )⁡√(1x2 )= 0 = f(1), Và lim┬(x→1 )⁡〖f(x)〗= lim┬(x→1 )⁡√(1x2 ) = 0 = f(1). Do đó, hàm số liên tục trên đoạn −1;1. Nhận xét: 1) Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó (Trong trường hợp thương, giá trị của mẫu tại điểm đó phải khác 0). 2) Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng (tức là liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định của chúng). Định lí 1: Các hàm số lượng giác y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx liên tục trên tập xác định của chúng. 1.2. Hàm số liên tục trên đoạn, liên tục đều 1.2.1. Các tính chất của hàm sốliên tục trên đoạn 1.2.1.1. Tính chất 1 Định lí 2: (Định lí giá trị trung gian của hàm số liên tục ) Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn a;b. Nếu f(a)≠f(b) thì với mỗi số thực M nằm giữa f(a) và f(b), tồn tại ít nhất một điểm c∈(a;b) sao cho f(c)=M. Ý nghĩa hình học của định lí: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn a;b và M là một số thực nằm giữa f(a)và f(b) thì đường thẳng y=M cắt đồ thị của hàm số y=f(x) ít nhất tại một điểm có hoành độ c ∈(a;b). Hệ quả: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn a;b và f(a)f(b) 0, tập { x R: f(x) ≥ ε} hữu hạn a b Chứng minh với khoảng mở (a,b) ⊂ R, tồn (a,b) cho f() = Hãy chứng minh f liên tục thỏa mãn f() = Giải: a Với n N, đặt = { x R: f(x) ≥ } Vì hữu hạn nên tồn , (a,b), 0, ta có tập = { x R: f(x) ≥ ε} hữu hạn không ∈ Vì tồn δ > 0, cho [- δ, + δ] ∩= Ø Khi đó, ≤ f() ≤ ε với < δ , tức f liên tục Bài tập 14: Cho f : R → R liên tục thỏa mản f(f(x)) = - với x ∈ R Chứng minh f(x) ≤ với x ∈ R Giải : Với x ≤0, gọi y ∈ R cho x = - Khi F(x) = f(-) = f(f(f(y))) = - [f(-≤ Ta chứng minh thêm f(x) ≤ với x > Thật vậy, từ giả thiết suy f đơn ánh ( 0, + ∞), đơn điệu khoảng Giả sử tồn ∈( 0, + ∞) cho f() > Gọi số thực thỏa mản Tương tự, ta tìm cấp số cộng , ,mà f( + f( + f(< Với t [0, 1], xét cấp số cộng a(t), b(t), c(t) cho a(t) = ( – t) + t Bài tập 17: Hàm y = liên tục khoảng (0,1) không liên tục khoảng Thật vậy, ∃= 1, ∃ = , = Khi = → 0, = =n≥1=ε Bài tập 18: Chứng minh hàm f(x) = x liên tục toàn trục số Thật ∀ ε > lấy δ = ε ta thấy ∀ x, ∈ R mà < δ = = cho ta ,ta cần chọn δ = ε ∀ x, ∈ R, < δ ta có< ε Bài tập 19: Chứng minh f(x) = liên tục khoảng (−1,1) Thật vậy, lấy hai điểm ∀ x,∈ ( -1,1), = = = nhỏ tùy ý, ta cần chọn δ = , ∀x, ∈ ( -1,1) mà = δ < 2δ = = ε Nhận xét: Để chứng minh hàm f(x) không liên tục tập A ta cần chứng minh mệnh đề sau: ∃ε > 0, ∃∈ A cho → ≥ε C KẾT LUẬN Hàm số khái niệm giải tích toán học Nói riêng, hàm số liên tục sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác khoa học kỹ thuật Nhiều tính chất đáng quí hàm số khai thác triệt để giả thiết thiếu nhiều nghiên cứu: tính liên tục, tính khả vi tinh chất cực trị hàm Luận văn nhằm tập trung tìm hiểu kiến thức giải tích tối ưu hóa liên quan đến hàm số liên tục, cần dùng phân tích nghiên cứu kinh tế mặt lượng(bổ sung cho nghiên cứu định tính) Chương 1: Trình bày khái quát hàm số liên tục điểm, hàm số liên tục khoảng, đoạn liên tục Chương 2: Áp dụng với tập liên quan đến hàm số liên tục Tác giả cố gắng xếp trình bày vấn đề theo cách hiểu rõ ràng trực quan có thể, đưa tập áp dụng cho nhiều khái niệm kiện đề cập tới tiểu luận Hi vọng tiểu luận tài liệu tham khảo bổ ích cho đối tượng không chuyên sâu toán muốn tìm hiểu vận dụng công cụ giải tích, đặc biệt phương pháp tối ưu chuyên môn D TÀI LIỆU THAM KHẢO NgôThànhPhong - Giáotrìnhtoáncaocấp ĐHKHTN 2003 NguyễnĐìnhTrívànhiềutácgiảkhác Trangwed Google.com [...]... nghiên cứu: tính liên tục, tính khả vi và tinh chất cực trị của hàm Luận văn này nhằm tập trung tìm hiểu những kiến thức giải tích và tối ưu hóa cơ bản liên quan đến hàm số liên tục, cần dùng trong phân tích và nghiên cứu kinh tế về mặt lượng(bổ sung cho các nghiên cứu định tính) Chương 1: Trình bày khái quát về hàm số liên tục tại 1 điểm, hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn và liên tục đều Chương... đều Chương 2: Áp dụng với những bài tập liên quan đến hàm số liên tục Tác giả đã cố gắng sắp xếp và trình bày vấn đề theo cách hiểu rõ ràng và trực quan nhất có thể, đưa ra các bài tập áp dụng cho nhiều khái niệm và sự kiện đề cập tới trong tiểu luận Hi vọng bài tiểu luận này sẽ là một tài liệu tham khảo bổ ích cho các đối tượng không chuyên sâu về toán muốn tìm hiểu và vận dụng công cụ giải tích, đặc.. .Bài tập 18: 1 2 Chứng minh rằng hàm f(x) = x liên tục trên toàn trục số Thật vậy ∀ ε > 0 lấy δ = ε ta thấy ∀ x, ∈ R mà < δ thì = = 0 cho ta bất kì ,ta chỉ cần chọn δ = ε thì khi ∀ x, ∈ R, < δ ta có< ε Bài tập 19: Chứng minh rằng f(x) = liên tục đều trên khoảng (−1,1)... ε Nhận xét: Để chứng minh hàm f(x) không liên tục đều trên tập A ta chỉ cần chứng minh mệnh đề sau: ∃ε > 0, ∃∈ A sao cho → 0 thì ≥ε C KẾT LUẬN Hàm số là một trong những khái niệm cơ bản của giải tích toán học Nói riêng, hàm số liên tục được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học và kỹ thuật Nhiều tính chất đáng quí của hàm số được khai thác triệt để và là giả thiết không thể thiếu... về toán muốn tìm hiểu và vận dụng công cụ giải tích, đặc biệt là các phương pháp tối ưu trong chuyên môn của mình D TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 NgôThànhPhong - Giáotrìnhtoáncaocấp ĐHKHTN 2003 2 NguyễnĐìnhTrívànhiềutácgiảkhác 3 Trangwed Google.com ... cách hiểu rõ ràng trực quan có thể, đưa tập áp dụng cho nhiều khái niệm kiện đề cập tới tiểu luận Hi vọng tiểu luận tài liệu tham khảo bổ ích cho đối tượng không chuyên sâu toán muốn tìm hiểu vận... Xét trường hợp f đơn điệu tăng ( , +∞) Khi ta có 0, ∃∈ A cho → ≥ε C KẾT LUẬN Hàm số khái niệm giải tích toán học Nói riêng, hàm số liên tục sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh