TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I ĐỀ THI MÔN TOÁN_KHỐI 12 (lần 1) Năm học: 2015-2016 Thời gian: 180 phút Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y  x3  3x  Câu (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số  f  x  x    x   đoạn  12 ; 2 2 Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình sin x  cos x   2sin x cos x b) Giải phương trình log  x   log  x  x  1  Câu (1,0 điểm) Tìm y x 1 x 1 hai điểm m A, B để đường thẳng cho d  : y  x  m cắt đồ thị  C  hàm số AB  Câu (1,0 điểm) a) Cho cot a  Tính giá trị biểu thức P sin a  cos a sin a  cos a b) Một xí nghiệp có 50 công nhân, có 30 công nhân tay nghề loại A, 15 công nhân tay nghề loại B, công nhân tay nghề loại C Lấy ngẫu nhiên theo danh sách công nhân Tính xác suất để người lấy có người tay nghề loại A, người tay nghề loại B, người tay nghề loại C Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABC có đường cao SA 2a , tam giác   30 Gọi H hình chiếu vuông A ABC vuông C có AB  2a, CAB SC Tính theo a thể tích khối chóp H ABC Tính cô-sin góc hai mặt phẳng  SAB  ,  SBC  Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang OABC ( O gốc tọa độ) có diện tích 6, OA song song với BC , đỉnh A  1;  , đỉnh B thuộc đường thẳng  d1  : x  y   , đỉnh C thuộc đường thẳng  d  : x  y   Tìm tọa độ đỉnh B, C Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A có phương trình AB, AC x  y   0, x  y   , điểm M 1;  thuộc   đoạn thẳng BC Tìm tọa độ điểm D cho tích vô hướng DB.DC có giá trị nhỏ Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình x2  x   x2  x3 2 1 tập số x 3 thực Câu 10 (1,0 điểm) Cho số thực x, y thỏa mãn  x  2   y  2  xy  32 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  x3  y   xy  1 x  y   -Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: .; Số báo danh Câu ĐÁP ÁN TOÁN 12, lần 1, 2015-2016 Nội dung  Tập xác đinh: D    Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y '  x  x ; y '   x  0; x  2 Các khoảng đồng biến  ; 2   0;   ; khoảng nghịch biến  2;  - Cực trị: Hàm số đạt cực đại x  2, yCD  ; đạt cực tiểu Điểm 0,25 x  0, yCT  4 - Giới hạn vô cực: lim y  ; lim y   x  x  0,25  Bảng biến thiên 2  x y'   y    4  0,25  Đồ thị f x = x3+3x2-4 -15 -10 -5 10 15 -2 -4 -6 -8 0,25 Ta có f  x   x  x  ; f  x  xác định liên tục đoạn   ; 0 ;  f '  x  4x  x  0,25 Với x    ; 2 , f '  x    x  0; x    1 Ta có f     , f    4, f    0, f     2 16 0,25 0,25 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f  x  đoạn     ;  sin x  cos x   2sin x cos x  sin x  cos x   sin x  sin x a)  cos x   sin x 0,25 0,25   x  k sin x    x    k 2   2sin x   sin x    sin x     5 x   k 2  b) Điều kiện x  0, x  0,25 Với điều kiện đó, pt cho tương đương với :   x  x  1   16  x  x  1   x2  x  x  1  4 x 1 Pt hoành độ giao điểm  x  m  x    x  m  x  1 (vì x  không x 1 nghiệm pt)  x   m   x  m   (1) 2 log  x   x  1  0,25 0,25 Pt (1) có nghiệm phân biệt x1 , x2    m    m   x  x  m  Khi A  x1 ; x1  m  , B  x2 ; x2  m  Theo hệ thức Viet ta có   x1 x2  m  2 0,50 AB   AB  18   x1  x2   18   x1  x2    2   x1  x2   x1 x2    m     m  1   m  1 a) P  4 0,50 4 sin a  cos a sin a  cos a sin a  cos a   2 2 2 sin a  cos a  sin a  cos a  sin a  cos a  sin a  cos a 0,25  cot a  17   4  cot a  15 b) Số phần tử không gian mẫu n     C503  19600 Chia tử mẫu cho sin a , ta P  0,25 0,25 Số kết thuận lợi cho biến cố “trong người lấy ra, người thuộc loại” C301 C151 C51  2250 Xác suất cần tính p 2250 45  19600 392 0,25 S K H A B I C Trong mặt phẳng  SAC  , kẻ HI song song với SA HI   ABC  Ta có CA  AB cos 30  a Do 1 a2 AB AC.sin 30  2a.a 3.sin 30  2 HI HC HC.SC AC AC 3a Ta có        HI  a 2 2 2 SA SC SC SC SA  AC 4a  3a 7 a 1 a Vậy VH ABC  S ABC HI  a 3 7 (Cách khác: VH ABC  VB AHC  S AHC BC ) Gọi K hình chiếu vuông góc A lên SB Ta có AH  SC , AH  CB (do CB   SAC  ), suy AH   SBC   AH  SB 0,25 S ABC  0,25 Lại có: SB  AK , suy SB   AHK  Vậy góc giữa hai mặt phẳng  SAB  ,  SBC   HKA 1 1 a.2  2  2   AH  ; 2 AH SA AC 4a 3a 12 a 1 1 1  2     AK  a 2 AK SA AB a 4a 2a Tam giác HKA vuông H (vì AH   SBC  ,  SBC   HK ) a.2   cos HKA   AH   sin HKA AK a OA : x  y  0,50 OA  BC  BC : x  y  m   m   Tọa độ điểm B nghiệm hệ x  y 1  x  1 m   B 1  m; m    2 x  y  m  y  m  Tọa độ điểm C nghiệm hệ 3 x  y   x  m    C  m  2;  3m   2 x  y  m   y   3m SOABC   OA  BC  d  O, BC   m 1 2 1  22   2m     4m    6   22  12  0,50   2m   1 m  12 Giải pt cách chia trường hợp để phá dấu giá trị tuyệt đối ta m   7; m  Vậy B  7; 1   , C  1  7;1   B  2;1 , C 1; 5  0,50 Gọi vec tơ pháp tuyến AB, AC , BC    n1 1;  , n2  2;1 , n3  a; b  Pt BC có dạng a  x  1  b  y    , với a  b  Tam giác ABC cân A nên     cos B  cos C  cos n1 , n3  cos n2 , n3   a  2b a  b2  2a  b a  b2    a  b  a  b  0,50 Với a  b Chọn b  1  a   BC : x  y    B  0;1 , C   ;  , 3   không thỏa mãn M thuộc đoạn BC Với a  b Chọn a  b   BC : x  y    B  4; 1 , C  4;  , thỏa mãn M thuộc đoạn BC Gọi trung diểm BC I  I  0;3       Ta có DB.DC   DI  IB  DI  IC   DI  BC BC  4 Dấu xảy D  I Vậy D  0;3  Điều kiện x  3 Bất pt cho tương đương với x  x2  x3 x  2  x2    x 3 0,25 x2  x   x3 x   x2   x2  x  2  x3 x 3  1 x  x    x    x  3 x  x2  x3  x2   0,50 x 3       x2  x    x  1   1  2    x  x2   x  x             x  x       x    1  x  (Với x  3 biểu thức ngoặc vuông dương) Vậy tập nghiệm bất pt S   1;1 10 0,25 2 Ta có  x  4   y    xy  32   x  y    x  y     x  y  A   x  y    x  y   xy    x  y    x  y    x  y   Xét hàm số: f  t   t  t  3t  đoạn  0;8 1 1 Ta có f '  t   3t  3t  3, f '  t    t  t  (loại) 2    17  5 17  5 Ta có f    6, f  , f    398 Suy A    4   Khi x  y  17  5 0,50 0,25 0,25 0,25 1 dấu xảy Vậy giá trị nhỏ A 0,25 ... x  0, yCT  4 - Giới hạn vô cực: lim y  ; lim y   x  x  0,25  Bảng biến thiên 2  x y'   y    4  0,25  Đồ thị f x = x3+3x2 -4 -15 -10 -5 10 15 -2 -4 -6 -8 0,25... 1   m  1 a) P  4 0,50 4 sin a  cos a sin a  cos a sin a  cos a   2 2 2 sin a  cos a  sin a  cos a  sin a  cos a  sin a  cos a 0,25  cot a  17   4  cot a  15 b) Số phần... x  y    B  4; 1 , C  4;  , thỏa mãn M thuộc đoạn BC Gọi trung diểm BC I  I  0;3       Ta có DB.DC   DI  IB  DI  IC   DI  BC BC  4 Dấu xảy D  I