Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 02 TÍCH CÓ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Tích có hướng hai véc tơ:  y Cho hai véc tơ: u = ( x1 ; y1 ; z1 ), v = ( x2 ; y2 ; z2 )  → u; v  =   y2 z1 z1 ; z2 z y1   y2  x1 x1 ; x2 x2 Ví dụ 1: [ĐVH] Tính tích có hướng véc tơ sau: u = (1;1;2) a)   → u; v  = ( −6; −4;5) v = ( − 2;3;0)  u = (−1;3;1) b)   → u; v  = ( −7;0;5) v = (−2;1; −2) u = (2;0; −1) c)   → u; v  = ( 2;4;4 ) v = (−2;2; −1) Ví dụ 2: [ĐVH] Cho u = (1;1;2 ) , v = ( −1; m; m − ) Tìm m để a)  u; v  ⊥ a , với a = ( 3; −1; −2 ) ( ) c)  u; v  ; a = 600 , với a = ( −1;2;0 ) b)  u; v  = Hướng dẫn giải: u = (1;1;2 ) Ta có   → u; v  = ( −m − 2; − m; m + 1) v − 1; m ; m − ( )  a) u; v  ⊥ a ⇔ u; v  a = ⇔ ( −m − 2; − m; m + 1) ( 3; −1; −2 ) = ⇔ −3m − + m − 2m − = ⇔ 4m = −8 ⇔ m = −2 b) u; v  = ⇔ ( ) ( −m − ) ( + ( −m ) + ( m + 1) 2 m = = ⇔ 5m + 6m + = ⇔ 5m + 6m − 11 = ⇔   m = − 11  2 ) m + − 2m c) u; v  ; a = 600 ⇔ cos u; v  ; a = ⇔ = ⇔ ( − m ) = 5m2 + 6m + 2 5m + 6m + 5 m ≤  − m ≥ m ≤ 227 − 23  ⇔ ⇔ ⇔ →m = −23 ± 227  2 − m = 5 m + m + 42 ) ( ) 21m + 46m + = m = 42  (  Các ứng dụng tích có hướng: +) Ứng dụng 1: Xét đồng phẳng ba véc tơ (hoặc tính đồng phẳng bốn điểm phân biệt A, B, C, D) Ba véc tơ a; b; c đồng phẳng  a; b  c = không đồng phẳng  a; b  c ≠ Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng  AB; AC  AD = không đồng phẳng  AB; AC  AD ≠ +) Ứng dụng 2: Tính diện tích tam giác Ta có S∆ABC = 1  AB; AC  =  BC ; BA = CA; CB       2 2 Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Từ S∆ABC = Facebook: LyHung95  AB; AC   AB; AC  1      AB; AC  = a.ha  h → = = a   2 a BC +) Ứng dụng 3: Tính thể tích khối chóp tam giác tứ diện Ta có VABCD = 1 3V  AB; AC  AD = S ∆ABC h  →h =   S∆ABC ⇒ thể tích khối hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' V =  AB; AC  AA ' Ví dụ 3: [ĐVH] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1), D(4; 1; 0) a) Chứng minh A, B, C, D đỉnh tứ diện b) Tính thể tích tứ diện ABCD c) Tính đường cao tứ diện hạ từ đỉnh A d) Tính góc hai đường thẳng AB CD Hướng dẫn giải: a) AB = (−6;3;3), AC = (−4; 2;4), AD = (−2;3; −3)  3 −6 −6  Ta có  AB, AC  =  ; ;  = (−18; −36;0)  −4 −4 −4 −4  ⇒  AB, AC  AD = −18.(−2) − 36.3 = −72 ≠ nên ba vectơ AB, AC , AD không đồng phẳng Vậy A, B, C, D đỉnh tứ diện b) VABCD = 1  AB, AC  AD = 72 = 12 (đvtt)   6 c) BC = (2; −1; −7), BD = (4;0; −6)  −1 −7 −7 2 −1  1  BC , BD  =  ; ; → S BCD =  BC , BD  = + 162 + 42 = 77  = (6; −16; 4)    − − 4 2   Gọi AH đường cao hạ từ đỉnh A xuống (BCD) ta có V 12 36 VABCD = S BDC AH  → AH = ABCD = = S BDC 77 77 d) AB = (−6;3;3), CD = (2;1;1) Gọi góc đường thẳng AB CD φ ta có: cos φ = −6.2 + 3.1 + 3.1 + + +1+1 Vậy góc hai đường thẳng AB CD φ cho cos φ = 2 = = 324 3 Ví dụ 4: [ĐVH] Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Biết A(1; 2; –1), B(–1; 1; 3), C(–1; –1; 2) D’(2; –2; –3) a) Tìm tọa độ đỉnh lại b) Tính thể tích hình hộp c) Tính thể tích tứ diện A.A’BC Tính tỉ số V ABCD A' B 'C ' D ' V A A ' B ' C ' d) Tính thể tích khối đa diện ABCDD’ Hướng dẫn giải: Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 a) Đặt D(a; b; c) ta có AD = ( a − 1; b − 2; c + 1) ; BC = (0; −2; −1) a − = a =   AD = BC ⇔ b − = −2 ⇔ b =  → D (1;0; −2) c + = −1 c = −2   Làm tương tự A ' B ' = AB ⇒ B '(0; −1;2); B ' C ' = BC ⇒ C '(0; −3;1); AA ' = DD ' ⇒ A ' = (2;0; −2) , ;  −1 4 −2 −2 −1  b)  AB, AD  =  ; ;  = (9; −2; 4) ⇒  AB, AD  AA ' = 9.1 − 2.(−2) + 4.(−1) =  −2 −1 −1 0 −2  VABCD A ' B ' C ' D ' =  AB, AD  AA ' = (đvtt) 1 V c) VA ' ABC = VA A ' B ' C ' = VABCD A ' B ' C ' D ' = = ⇒ ABCD A ' B ' C ' D ' = 6 VA A ' B ' C ' d) VABCDD ' = VD ACD ' + VB ACD ' = 9 + = (đvtt) 6 Ví dụ 5: [ĐVH] Cho ba vectơ a = (1;1; ) , b = ( 2; −1; ) , c = ( m; m − 3; ) Tìm m để a)  a; c  = (Đ/s: m = 1) b) b; c  = (Đ/s: m = 2) Ví dụ 6: [ĐVH] Cho ba vectơ a = (1; 3; −2 ) , b = ( 2m; m − 1; m ) Tìm m để a) a b = b)  a; b  c = 0, với c = (3;1;1) c)  a; b  = 10 (Đ/s: m = –1) Ví dụ 7: [ĐVH] Cho u = ( −2;1;3) , v = (1; m + 1;2m − 1) Tìm m để a) u; v  ⊥ a, với a = (1;1; −3) b) u; v  = 2 ( ) c) u; v  ; a = 300 , với a = ( −2;1;1) Ví dụ 8: [ĐVH] Cho ba vectơ a = ( −3; 2;1) , b = (0;1; −3), c = ( m + 3; 2m − 1;1) Tìm m để a)  a; c  = (Đ/s: m = 0) b) b; c  = 26 (Đ/s: m = –1) c) ba véc tơ cho đồng phẳng Ví dụ 9: [ĐVH] Cho ba vectơ a = ( 2m + 3; m + 1; 3) , b = (1;1; −2), c = ( 2; 3; −1) Tìm m để a)  a; b  = 110 ( ) b) a + b c = (Đ/s: m = 0) (Đ/s: m = –1) c)  a; b  c = Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Ví dụ 10: [ĐVH] Cho ba vectô a , b , c Tìm m, n biết c =  a , b  : a) a = ( 3; −1; −2 ) , b = (1; 2; m ) , c = ( 5;1;7 ) b) a = ( 6; −2; m ) , b = ( 5; n; −3) , c = ( 6;33;10 ) c) a = ( 2;3;1) , b = ( 5;6;4 ) , c = ( m; n;1) Ví dụ 11: [ĐVH] Xét đồng phẳng ba véc tơ a , b , c cho đây: a) a = (1; −1;1) , b = ( 0;1;2 ) , c = ( 4;2;3) b) a = ( 4;3;4 ) , b = ( 2; −1;2 ) , c = (1;2;1) c) a = ( −3;1; −2 ) , b = (1;1;1) , c = ( −2;2;1) d) a = ( 4;2;5) , b = ( 3;1;3) , c = ( 2;0;1) Ví dụ 12: [ĐVH] Tìm m để ba véc tơ a , b , c đồng phẳng: a) a = (1; m; ) , b = ( m + 1; 2;1) , c = ( 0; m − 2; ) b) a = (2m + 1;1; 2m − 1); b = (m + 1;2; m + 2), c = (2m; m + 1; 2) d) a = (1; −3; ) , b = ( m + 1; m − 2;1 − m ) , c = ( 0; m − 2; ) BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(–4; 4; 0), B(2; 0; 4), C(1; 2; –1); D(7; –2; 3) a) Chứng minh A, B, C, D đồng phẳng b) Tính diện tích tứ giác ABDC Bài 2: [ĐVH] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1), D(4; 1; 0) a) Chứng minh A, B, C, D đỉnh tứ diện b) Tính thể tích tứ diện ABCD c) Tính đường cao tứ diện hạ từ đỉnh A d) Tính góc hai đường thẳng AB CD Bài 3: [ĐVH] Trong không gian cho điểm A(1; –1; 1), B(2; –3; 2), C(4; –2; 2), D(1; 2; 3) a) Chứng tỏ A, B, C không thẳng hàng b) Chứng tỏ bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng c) Tính diện tích tam giác ABC d) Tính thể tích tứ diện ABCD Bài 4: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có A(2; –1; 1), B(2; –3; 2), C(4; –2; 2), D(1; 2; –1), S(0; 0; 7) a) Tính diện tích tam giác SAB b) Tính diện tích tứ giác ABCD c) Tính thể tích hình chóp S.ABCD Từ tính khoảng cách từ S đến (ABCD) d) Tính khoảng cách từ A đến (SCD) Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! ... −2 −1 −1 0 −2  VABCD A ' B ' C ' D ' =  AB, AD  AA ' = (đvtt) 1 V c) VA ' ABC = VA A ' B ' C ' = VABCD A ' B ' C ' D ' = = ⇒ ABCD A ' B ' C ' D ' = 6 VA A ' B ' C ' d) VABCDD ' = VD ACD... 36 VABCD = S BDC AH  → AH = ABCD = = S BDC 77 77 d) AB = (−6;3;3), CD = (2;1;1) Gọi góc đường thẳng AB CD φ ta có: cos φ = −6.2 + 3.1 + 3.1 + + +1+1 Vậy góc hai đường thẳng AB CD φ cho cos... Từ S∆ABC = Facebook: LyHung95  AB; AC   AB; AC  1      AB; AC  = a.ha  h → = = a   2 a BC +) Ứng dụng 3: Tính thể tích khối chóp tam giác tứ diện Ta có VABCD = 1 3V  AB; AC 