Đang tải... (xem toàn văn)
BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ THẨM ĐỊNH ( PHẦN 3)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ THẨM ĐỊNH ( PHẦN 3)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ THẨM ĐỊNH ( PHẦN 3)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ THẨM ĐỊNH ( PHẦN 3)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ THẨM ĐỊNH ( PHẦN 3)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ THẨM ĐỊNH ( PHẦN 3)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ THẨM ĐỊNH ( PHẦN 3)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ THẨM ĐỊNH ( PHẦN 3)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ THẨM ĐỊNH ( PHẦN 3)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ THẨM ĐỊNH ( PHẦN 3)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ THẨM ĐỊNH ( PHẦN 3)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ THẨM ĐỊNH ( PHẦN 3)
BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) ĐỀ SỐ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP - Năm học 2015-2016 MÔN :TOÁN Thời gian làm : 150 phút (Đề thi gồm câu, trang) Câu (2.0 điểm) 1.1 Rút gọn biểu thức A = x − 4( x − 1) + x + 4( x − 1) ⋅ 1 − x −1 x − 4( x − 1) (Với a > a ≠ 2) 1.2 Tính giá trị biểu thức B = (5 + 6)(49 − 20 6) − − 11 Câu (2.0 điểm) 2.1 Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = (1) a/ Giải phương trình (1) m = b/ Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 cho x1 − x2 ≥ 2.2 Giải phương trình hệ phương trình sau: a/ x + = x − x + x + y = b/ x y 13 y + x = 16 Câu (2.0 điểm) 3.1 Tìm số có ba chữ số cho tỷ số số tổng chữ số có giá trị lớn 3.2 Cho ba số a, b, c đôi khác Chứng minh: ( a + b) ( b + c ) ( c + a ) + + ≥2 ( a − b ) (b − c ) ( c − a ) Câu (3.0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Đường tròn đường kính AB cắt BC D Trên cung AD lấy điểm E Nối BE kéo dài cắt AC F Chứng minh CDEF nội tiếp Kéo dài DE cắt AC K Tia phân giác góc CKD cắt EF CD M N Tia phân giác góc CBF cắt DE CF P Q Tứ giác MPNQ hình gì? Tại ? Gọi r1, r2, r3 theo thứ tự bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, ADB, ADC Chứng minh: r2 = r12 + r22 Trang BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) Câu (1.0 điểm) Bên đường tròn tâm O bán kính R = có điểm phân biệt Chứng minh rằng; tồn hai điểm số chúng mà khoảng cách điểm nhỏ Hết - ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ(ĐỀ SỐ 1) LỚP - Năm học 2015-2016 MÔN :TOÁN Thời gian làm : 150 phút (Hướng dẫn chấm gồm trang) Chú ý: - Thí sinh làm theo cách khác cho điểm - Điểm thi: 10 Câu Đáp án 1.1 (1.0 điểm) (2.0 x − 4( x − 1) + x + 4( x − 1) điểm) A = ⋅ 1 − x − 4( x − 1) = Điểm x −1 ( x − − 1) + ( x − + 1) x − × ÷ (Với a > a ≠ 2) x − ( x − 2) x −1 −1+ x −1 +1 x − × x−2 x −1 x −1 = x −1 = x −1 = 0,25 0,25 0,25 0,25 1.2 (1.0 điểm) (5 + 6)(5 − 6) ( − 2) (5 + 6)(49 − 20 6) − B= = − 11 − 11 (25 − 24)( − 2) ( − 2) = − 11 ( − 2)3 = − 11 0,25 0,25 0,25 0,25 Trang BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) = (2.0 điểm) − 11 =1 − 11 2.1 (1.0 điểm) a Khi m = phương trình (1) có dạng x2 – 6x + = Xét ∆ ' = – = > Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 0,25 x1 = − 7; x2 = + b + Nếu m = ⇒ phương trình (1) có nghiệm x = 0,25 + Nếu m ≠ Xét ∆ ' = (m + 1) − m(m − 1) = 3m + Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ∆ ' > 2(m + 1) m Theo hệ thức vi-ét ta có : x1 + x2 = x1.x2 = m−2 m −1 2 Ta có x1 − x2 ≥ ⇔ ( x1 − x2 ) ≥ ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 ≥ ⇒ 3m + > ⇔ m > − ⇒ 4(m + 1)2 4m 4( m + 1) − 4m(m − 1) − 4(m − 1) ⇔ − ≥4 ≥0 (m − 1)2 m − (m − 1) ⇔ 4m2 + 8m + – 4m2 + 4m – 4m2 + 8m – ≥ ⇔ 20m – 4m2 ≥ ⇔ m(5 – m) ≥ 0,25 0,25 m ≥ m ≤ m ≥ m ≤ (loại) ⇔ ⇔ 5 − m ≥ 5 − m ≤ m ≤ m ≥ Kết hợp với điều kiện : ≤ m ≤ m ≠ 2.2 (1.0 điểm) a x3 + = x − x + Điều kiện: x3 + ≥ ⇔ x ≥ -2 Ta có: x3 + = (x + 2)(x2 – 2x + 4) Đặt: x + = u x − x + = t ⇒ u ≥ 0, t > ⇒ t2 – u2 = (x2 – 2x + 4) – (x + 2) = x2 – 3x + Phương trình cho tương đương với: 3ut = 2(t2 – u2) ⇔ 2t2 – 2u2 – 3ut = ⇔ 2t2 + ut – 2u2 – 4ut = ⇔ t(2t + u) – 2u(2t + u) = ⇔ (2t + u)(t – 2u) = ⇔ t – 2u = (vì 2t + u > 0) ⇔ x − x + = x + ⇔ x2 – 2x + = 4x + ⇔ x2 – 6x – = Phương trình có hai nghiệm: x1 = + 13; x2 = − 13 b Từ: x y 13 13 + = ⇒ x + y = xy y x 6 13 ⇒ ( x + y )2 − xy − xy = ( x; y ≠ 0) Trang 0,25 0,25 0,25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) ⇒ ( x + y )2 − 25 xy = 25 xy = ⇒ xy = 6 x + y = x = x = ⇔ Ta có hệ: x y = y = y = ⇒ 25 − 0,25 Vậy nghiệm hệ phương trình: (3; 2) ; (2; 3) (2.0 điểm) 3.1 (1.0 điểm) Gọi số cần tìm là: abc = 100a + 10b + c abc 100a + 10b + c 9(11a + b) = = 1+ a +b+c a+b+c a +b+c Nhận thấy k bé c lớn ⇒ c = 9(11a + b) 9(10a − 9) ⇒ k = 1+ = 10 + a+b+9 a+b+9 ⇒ k bé b lớn ⇒ b = 9(10a − 9) 9.180 ⇒ k = 10 + = 100 − a + 18 a + 18 ⇒ k bé a bé ⇒ a = ⇒ abc = 199 0,25 k= 0,25 0,25 0,25 Vậy số cần tìm 199 3.2 (1.0 điểm) a+b a+b a +b+a −b 2a ⇒ x+1= +1 = = a −b a −b a −b a −b a+b a+b−a+b 2b −1 = = x–1= a −b a −b a −b b+c b+c b+c+b−c 2b ⇒ y+1= +1 = = y= b−c b−c b−c b−c b+c b+c−b+c 2c −1 = = y–1= b−c b−c b−c c+a c+a c+a+c−a 2c ⇒ z+1= +1 = = z= c−a c−a c−a c−a c+a c+a−c+a 2a −1 = = z–1= c−a c−a c−a 2a 2b 2c (x + 1)(y + 1)(z + 1) = = (x – 1)(y – 1)(z – 1) a −b b −c c − a Đặt: x= Khai triển vế rút gọn: xy + yz + zx = -1 Từ (x + y + z)2 ≥ ⇒ x2 + y2 + z2 ≥ -2(xy + yz + zx) = (a + b) (b + c) (c + a ) ⇒ + + ≥2 (a − b) (b − c) (c − a ) (1.0 điểm) Trang 0,25 0,25 0,25 0,25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) (3.0 điểm) Hình vẽ A K 0,25 F E O M Q P B D C N · · » ) Ta có BAD (cùng chắn BD = BED · µ (cùng phụ DAC · ) BAD =C 0,25 µ = DEB · µ + DEF · ⇒C ⇒C = 1800 0,25 0,25 Nên tứ giác CDEF nội tiếp (1.0 điểm) · · · · ⇒ KPQ ∆ BEP ∞ ∆ BCQ (g-g) ⇒ BPE = BQC = KQP Hay ∆ KPQ cân K · · · · ⇒ BNM ∆ CNK ∞ ∆ EMK (g-g) ⇒ EMK = CNK = BMN Hay ∆ BMN cân B Suy MN ⊥ PQ MN cắt PQ trung điểm đường Nên tứ giác MPNQ hình thoi (1.0 điểm) Ta có: ∆ ABC ∞ ∆ DBA ∞ ∆ DAC 0,25 0,25 0,25 0,25 r r r = = BC AB AC r1 r2 r2 ⇒ = = BC AB AC r12 + r2 r12 + r2 r2 ⇔ = = BC AB2 + AC BC ⇔ r2 = r12 + r22 ⇒ đpcm ⇒ (1.0 điểm) 0,25 0,25 0,25 0,25 A2 A1 O Nhận xét: Ít điểm số điểm cho khác tâm O Gọi 0,25 Trang BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) điểm A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 , A7 , A8 Ta có góc nhỏ số góc ·A1OAk ( i ≠ k ; ≤ i, k ≤ 8) 3600 < 600 không lớn · Giả sử A1OA2 bé Xét ∆A1OA2 ·A OA < 600 0,25 0,25 · A > 600 OA · A > 600 ⇒ OA 2 ⇒ OA2 > A1 A2 OA1 > A1 A2 Mà OA1 ≤ OA2 ≤ ⇒ A1 A2 < 0,25 - Hết - ĐỀ SỐ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP - Năm học 2015-2016 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút x +1 x −1 − +4 x÷ x − Câu (2.0 điểm) Cho biểu thức: P = ÷ ÷ x +1 x x −1 1.1 Rút gọn P 1.2 Tính giá trị P x = ( + ) ( − 1) − Câu (2 điểm) 2.1 Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 + px + q = 0biết p + q = 2.2 Giải phương trình: x − + − x = 3x − 12 x + 14 Câu (2 điểm) 3.1 Tính giá trị biểu thức P= + 20132 + 20132 2013 + 20142 2014 3.2 Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh: ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca ) Trang BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) Câu (3điểm) Cho hai đường tròn (O) (O /) Đường nối tâm OO/ cắt đường tròn ( O ) (O/) điểm A, B, C, D theo thứ tự đường thẳng Kẻ tiếp tuyến chung EF, E ∈ ( O ) F ∈ (O/) Gọi M giao điểm AE DF; N giao điểm EB FC Chứng minh rằng: Tứ giác MENF hình chữ nhật MN ⊥ AD ME.MA = MF.MD Câu (1điểm ) Một học sinh viết dãy số sau: 49,4489,444889, 44448889,… (Số đứng sau viết 48 vào số đứng trước) Chứng minh tất số viết theo quy luật số phương Hết ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ(ĐỀ SỐ 2) Lớp - Năm học 2015 - 2016 MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu Đáp án 1.1 (1điểm ) Điều kiện ( P= (2điểm) = = ) ( x +1 − = (2điểm) 0,25 x − + x ( x − 1) x − x−1 x 0,25 x + x ( x − 1) 0,25 x x (1 + x − 1) = 4x x 0,25 x= 0,25 ( + ) ( − ) ( + ) ( − 1) ( + ) ( − 1) = ( + ) ( − 1) = ( + ) ( − ) 2( + ) ( − ) = 1.2 (1điểm ) = ) Điểm x ≥ x > x ≠1 ⇔ x ≠ x ≠0 0,25 Vậy x = P = x = 2.1 (1điểm ) Phương trình có nghiệm ∆ ≥ ⇔ p2 + 4q ≥ x1 + x = − p x1.x = q Gọi x1 x2 nghiệm phương trình Theo viet ta có Mà p + q = ⇒ x1.x2 – (x1 + x2) = ⇔ (x1 – 1)(x2 – 1) = = 5.1 = (-5)(-1) Nên ta có Trang 0,25 0,25 0,25 0,25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) x1 - 1 -1 -5 x2 - -5 -1 x1 -4 x2 -4 Vậy phương trình có nghiệm nguyên (x1 ; x2) (2;6); (0;-4); (6;2); (4;0) 2.2 (1điểm ) x − + − x = x − 12 x + 14 (ĐK: ≤x≤ ) 2 0,25 0,25 0,25 Áp dụng BĐT Bunnhiacopski: VT: x − + − x ≤ (12 + 12 )(2 x − + − x) = (1) VP: x − 12 x + 14 = 3( x − 2) + ≥ ⇒ Phương trình: ∀x 0,25 (2) x − + − x = x − 12 x + 14 có nghiệm Dấu “=” xảy (1) (2) đồng thời xảy 0,25 x − = − x ⇔ ⇔ x=2 x − = 3.1 (1điểm ) P= + a + 0,25 a2 ( a + 1) + a = a +1 a a ( a + 1) − 2a + ÷ + a +1 a +1 2 a a a a a = ( a + 1) − + = ( a + 1) − 2.(a + 1) + ÷ + a + 1 a +1 a +1 a +1 a +1 = ( a + 1) − 0,25 a a + = a +1 a +1 a +1 Vậy P = 2014 (2điểm) 3.2 (1điểm ) Ta có: ( a - b ) + ( b - c ) + ( c - a ) ≥ 0,25 0,25 0,25 0,25 ⇔ ( a + b + c ) ≥ ( ab + bc + ca ) ⇔ a + b + c ≥ ab + bc + ca (1) 0,25 Vì a, b, c độ dài cạnh tam giác nên ta có: a2 < a.(b + c) ⇒ a2 < ab + ac Tương tự: b2 < ab + bc; c2 < ca + bc Suy ra: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) (2) Từ (1) (2) suy : ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca ) 0,25 Trang 0,25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) Vẽ hình M E I F A O H B C D O/ N (3điểm) 4.1 (1điểm ) Ta có OE ⊥ EF O’F ⊥ EF => OE // O’/F · / · · / C (góc đồng vị) => EAO · = FCO = FO => EOA Do MA // FN, mà EB ⊥ MA => EB ⊥ FN · Hay ENF = 90 ˆ =N ˆ = Fˆ = 90O , nên MENF hình chữ nhật Tứ giác MENF có E 4.2 (1điểm ) Gọi I giao điểm MN EF; H giao điểm MN AD · · Vì MENF hình chữ nhật, nên IFN = INF · · » = FDC = sđ FC Mặt khác, đường tròn (O ): IFN · · => FDC = HNC 0,25 0,25 02,5 0,25 0,25 0,25 / · · Suy ∆FDC đồng dạng ∆HNC (g – g)=> NHC = DFC = 90O hay MN ⊥ AD · · 4.3 (1điểm ) Do MENF hình chữ nhật, nên MFE = FEN · · » => · · = EAB = sđ EB Trong đường tròn (O) có: FEN MFE = EAB Suy ∆MEF đồng dạng ∆MDA (g – g) => ME MF = , MD MA hay ME.MA = MF.MD 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Ta có: 4.44 488 89 A = = + 8.10 + 8.102 +…+ 8.10n + 4.10n+1 + +10n+2… (1điểm) +4.102n+1 0,25 Ta viết = 1+4+4 = 4+4 ta được: A=1+4+4+(4+4).10+(4+4).102+…+(4+4).10n+4.10n+1+4.10n+2+… Trang BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) +4.102n+1 = 1+(4+4.10+4.102+…+4.10n)+(4+4.10+4.102+…+4.102n+1) = 1+4.(1+10+102+…+10n)+4.(1+10+102+…+102n+1) 10 n +1 − 10 n + − + 4.10 n+1 − + 4.10 n+ − = 1+4 +4 = 9 n +1 n+ n +1 4.10 + 4.10 + 2.10 + = = 0,5 Ta có: 2.10n+1+1 3 (Có tổng chữ số chia hết cho 3) Nên số ngoặc tạo thành số phương Suy A số phương Chú ý: - Thí sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa ứng với câu - Điểm thi tổng điểm câu làm không làm tròn Hết ĐỀ SỐ Trang 10 0,25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) -Hết ĐỀ SỐ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP 9-Năm học 2015-2016 MÔN: Toán Thời gian làm : 150 phút ( Đề thi gồm câu,01 trang) Bài (2,0 điểm) a +1 a a −1 a2 − a a + a −1 Cho biểu thức: M = với a > 0, a ≠ + + a a− a a −a a 1.1 Chứng minh M > 1.2 Với giá trị a biểu thức N = nhận giá trị nguyên? M Bài (2,0 điểm) 2.1 Cho phương trình x2 - 2mx + 2m - = Với m = 2, gọi x1 ; x2 (nếu có) nghiệm phương trình Tính P = x1 x2 + x2 x1 17x + 2y = 2011 xy 2.2 a) Giải hệ phương trình: x − 2y = 3xy Bài (2,0 điểm) x y x y2 3.1 Cho số x y khác Chứng minh : + + ≥ + ÷ y x y x ( 3.2 Với x = 5+2 ) 17 − 38 + 14 − Tính giá trị biểu thức: B = ( x + x − ) 2015 Bài (3,0 điểm) Cho đường tròn (C ) với tâm O đường kính AB cố định Gọi M điểm di động ( C ) cho M không trùng với điểm A B Lấy C điểm đối xứng O qua A Đường thẳng vuông góc với AB C cắt đường thẳng AM N Đường thẳng BN cắt đường tròn ( C ) điểm thứ hai E Các đường thẳng BM CN cắt F 4.1 Chứng minh điểm A, E, F thẳng hàng 4.2 Chứng minh tích AM⋅AN không đổi 4.3 Chứng minh A trọng tâm tam giác BNF NF ngắn Trang 32 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) Bài (1,0 điểm) Một hình lập phương có cạnh 15 chứa 11000 điểm Chứng minh có hình cầu bán kính chứa sáu điểm số 11000 điểm cho -HẾT - ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ (ĐỀ SỐ ) LỚP 9-Năm học 2015-2016 MÔN: Toán ( Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Câu a) Do a > 0, a ≠ nên: Đáp án a a − ( a − 1)(a + a + 1) a + a + = = a− a a ( a − 1) a Điểm 0,25 a − a a + a − (a + 1)(a − 1) − a (a − 1) (a − 1)(a − a + 1) −a + a − = = = a −a a a (1 − a) a (1 − a) a a +1 +2 ⇒ M= a Do a > 0; a ≠ nên: ( a − 1) > ⇔ a + > a (2 điểm) ⇒ M> a +2=4 a b) Ta có < N = N=1 ⇔ 0,25 < N nhận giá trị M 0,25 a = ⇔ a − a + = ⇔ ( a − 2) = a +1+ a ⇔ a = + hay a = − (phù hợp) 2 (2 điểm) 0,25 0,25 nguyên Mà 0,25 Vậy, N nguyên ⇔ a = (2 ± 3) 2.1 +) ∆’ = m2 – 2m + = (m – 1) + > với m => phương trình có hai nghiệm phân biệt với m Gọi nghiệm x1 ; x2 Để hai nghiệm dấu x 1x2 = c > 2m – > a 0,25 0,25 0.5 0,25 Trang 33 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) m> 3 phương trình có hai nghiệm dấu Xét x1 + x2 = 2m Với m > => 2m > Vậy m > Vậy nghiệm dương +) Khi m = => phương trình có nghiệm dương x +x2 =4 x1 x2 =1 Theo Viet ta có : ⇔ Xét P2 = x1x2 (x1 + x2 + x1 x2 ) = mà P > => P = 0.25 17 1007 x= y + x = 2011 y = 490 ⇔ ⇔ 2.2 Nếu xy > (1) ⇔ (phù 1 − = = 490 y = y x x 1007 hợp) 0,5 17 −1004 y + x = −2011 y = ⇔ ⇒ xy > (loại) Nếu xy < (1) ⇔ 1 − = = − 1031 y x x 18 Nếu xy = (1) ⇔ x = y = (nhận) 9 ; KL: Hệ có nghiệm (0;0) ÷ 490 1007 3.1 Đặt 0,25 x y x y2 + = a ⇒ + + = a Dễ dàng chứng minh y x y x x y2 + ≥ nên a2 ≥ 4, y x (2 điểm) 0,25 0,25 | a | ≥ (1) Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với : a2 – + ≥ 3a ⇔ a2 – 3a + ≥ ⇔ (a – 1)(a – 2) ≥0 (2) Từ (1) suy a ≥ a ≤ -2 Nếu a ≥ (2) Nếu a ≤ -2 (2) Bài toán chứng minh 3.2 Ta có x = ( −2 )( 5+2 + (3 − 5) ) =( −2 )( 5+2 +3− Do B = - ) = 0.5 0.25 0.25 0.75 0.25 Trang 34 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) F M C A B O E (C ) N a) MN ⊥ BF BC ⊥ NF (3 điểm) ⇒ A trực tâm tam giác BNF ⇒ FA ⊥ NB Lại có AE ⊥ NB Nên A, E, F thẳng hàng · · b) CAN , nên hai tam giác ACN AMB đồng dạng = MAB 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 AN AC = AB AM Hay AM ×AN = AB ×AC = 2R không đổi (với R bán kính đường tròn 0,25 (C )) 0,25 Suy ra: c) Ta có BA = BC nên A tâm tam giác BNF ⇔ C trung điểm NF (3) · · Mặt khác: , nên hai tam giác CNA CBF đồng CAN = CFM dạng CN AC = ⇒ CN ×CF = BC ×AC = 3R BC CF Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: NF = CN + CF ≥ CN ×CF = 2R ⇒ không đổi Nên: (4) (1 điểm) 0,25 0,25 0,25 NF ngắn ⇔ CN =CF ⇔ C trung điểm NF 0,25 (3) (4) cho ta: A tâm tam giác BNF ⇔ NF ngắn 0,25 Chia cạnh hình lập phương thành 13 phần Như hình lập phương cho chia thành 133 = 2197 hình lập phương nhỏ Do 11000>5.2197 = 10985, nên tồn hình lập phương nhỏ, mà hình lập phương chứa sáu điểm Như biết gọi cạnh hình vuông 0,5 Trang 35 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) băng a, hình càu ngoại tiếp có bán kinh R, với R = cầu ngoại tiếp hình lập phương nhỏ ( cạnh a Vì hình 15 ) 13 15 15 675 676 R= 3= 3 ÷ = < = =1 13 13 196 169 Hình cầu bán kính dĩ nhiên chứa sáu điểm số 11000 điểm cho Đó đpcm 0,25 0,25 - Hết - ĐỀ SỐ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP - Năm học 2015-2016 MÔN:TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề thi gồm câu, 1trang) Bài 1: (2,0 điểm) 1.1 Cho: x= 2 +1 −1 − +1 +1 Tính giá trị biểu thức sau A = ( x − x − x + x − 1) 2016 1.2 Tìm số a, b, c biết: a + 2015 + b − 2016 + c − = (a + b + c) Bài 2: (2,0 điểm) 2.1 Tìm m để phương trình: x − x + 5(m − 1) = có hai nghiệm phân biệt nhỏ 2.2 Giải phương trình: x + x + + x + 10 x + 14 = − x − x (1) Bài 3: (2,0 điểm) 3.1 Tìm số tự nhiên n cho: 28 + 211 + 2n số phương? 3.2 Cho a, b, c >0 a+b+c = abc a b c Chứng minh rằng: + + ≥ b c a Trang 36 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) R tròn (O) lấy điểm B cho AB = R Gọi M điểm thuộc cung lớn AB (O), tia MA cắt đường tròn (I) điểm thứ hai N Qua N kẻ đường thẳng song song với AB cắt đường thẳng MB P 4.1 Chứng minh OM//IN 4.2 Chứng minh độ dài đoạn NP không phụ thuộc vào vị trí M 4.3 Xác định vị trí M để S ABPN đạt giá trị lớn Tính giá trị theo R Bài 5: (1 điểm) Cho 13 điểm khác nằm cạnh tam giác có cạnh cm Chứng minh tồn hai điểm số 13 điểm cho mà khoảng cách chúng không vượt cm Bài 4: (3,0 điểm): Cho đường tròn (O;R) đường tròn ( I ; ) tiếp xúc A Trên đường Hết ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ(ĐỀ SỐ ) Lớp - Năm học 2015 - 2016 MÔN:TOÁN Bài Đáp án Điểm 1.1 (1 điểm) x= 2 +1 −1 − = 2 +1 +1 A = ( x − x − x + x − 1) 2016 = (4 − 2 − + 2 − 1) 2016 = 12016 = 1.2 (1 điểm) Điều kiện:: x ≥ −2015; b ≥ 2016; c ≥ (2,0 điểm) 0.5 điểm a + 2015 + b − 2016 + c − = (a + b + c) ⇔ a + 2015 + b − 2016 + c − = a + b + c 0.5 điểm 0.25 điểm Ta có: ⇔ (a + 2015) − a + 2015 + 1 + (b − 2016) − b − 2016 + 1 0.5 điểm + (c − 2) − c − + 1 = ⇔ ( a + 2015 − 1) + ( b − 2016 − 1) + ( c − − 1) = a = −2014 ⇔ b = 2017 c = 2.1 (1 điểm) Trang 37 0.25 điểm BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) Phương trình: x − x + 5(m − 1) = có hai nghiệm phân biệt nhỏ ∆ ' > 15 − 10m > ⇔ x1 < ⇔ ( x1 − 3)( x2 − 3) > x < ( x − 3) + ( x − 3) < m > −1 −1 ⇔ m > ⇔ a+b+c = abc nên BĐT cần chứng minh tương đương với: a c b a c 2b + + ≥ a + b + c (*) b2 c a Áp dụng BĐT Côsi ta có : Trang 38 0.5 điểm BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) 0.5 điểm a 2c b2a a 2c b a + + c ≥ c = 3a b2 c b c b a c 2b a c c 2b + ≥ b ; + ≥ 3c c2 a2 b2 a Cộng ba BĐT ta có BĐT (*) đpcm Đẳng thức xảy ⇔ a = b = c = Tương tự ta có: 0.25 điểm 4.1 (1 điểm) M +Ta có:OA = OM = R ⇒ ∆MOA cân O (1) · · ⇒ OMA = OAM A I O H 0.25 điểm N B P + Lại có: IA = IN = Mà (O;R) (I: R · · ⇒ ∆IAN cân I ⇒ IAN (2) = INA R · · ) tiếp xúc A ⇒ O, A, I thẳng hàng ⇒ OAM ( đối = IAN đỉnh) (3) · · Từ (1); (2) (3) ⇒ OMA = INA ⇒ OM//IN (đpcm) 4.2 (1 điểm) AM OM R = = =2 +Ta có: OM//IN ⇒ (3 điểm) AN IN R AM 2 ⇒ = = AM + AN + 0.25 điểm 0.25 điểm 0.25 điểm 0.5 điểm + Do AB//PN ( gt) ⇒ 0.5 điểm 4.3 (1 điểm) +Từ A kẻ AH ⊥ PN H 1 S ABPN = ( AB + PN ) AH = ( R + R ) AH = R AH 2 0.25 điểm AB AM 3 = = ⇒ NP = AB = R NP MN 2 Vậy độ dài đoạn PN không đổi Trang 39 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) Vì R không đổi nên S ABPN lớn ⇔ AH lớn Do AH ≤ AN nên AH lớn AH = AN ⇔ H ≡ N ⇔ AN ⊥ PN ⇒ AM ⊥ AB A ( AB//PN) ∆AMB vuông A nên ta có: AM = MB − AB = (2 R )2 − R ⇒ AM = R AM 1 = mà AN = AM ⇒ AN = R Do MN 2 ⇒ S ABPN đạt giá trị lớn = R R = 3R (đvdt) Khi M thuéc cung lín AB vµ AM ⊥ AB + Kẻ đường trung bình tam giác cho để chia tam giác thành tam giác + Từ tâm tam giác nhỏ, kẻ đường vuông góc đến cạnh đề chia tam giác đề nhỏ thành tứ giác + Sau hai bước ta chia tam giác cho thành 12 tứ giác nhau, (1 điểm) tứ giác có hai góc đối góc vuông, nội tiếp đường tròn đường kính cm + Khi cho 13 điểm vào tam giác cho 13 điểm thuộc 12 tứ giác nội tiếp Theo nguyên tắc Đi-rích-lê có hai điểm thuộc tứ giác nội tiếp khoảng cách chúng không vượt cm 0.25 điểm 0.25 điểm 0.25 điểm 0.25 điểm 0.25 điểm 0.25 điểm 0.25 điểm Hết ĐỀ SỐ 10 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP - Năm học 2015-2016 MÔN:Toán Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề thi gồm 5câu,1.trang) Bài 1( điểm) Cho ( x + x + 3).( y + y + 3) = Tính E = x+y Cho biết a = xy + (1 + x )(1 + y ) b = x + y + y + x Giả sử xy >0 Tính b theo a Bài (2 điểm) Giả sử x1, x2 nghiệm phương trình x2+kx+a = 0( a ≠ 0) Tìm tất giá trị k để x1 x2 có bất đẳng thức ( ) + ( ) ≤ 52 ( a k số thực) x2 x1 Trang 40 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) 1 x + y + x + y = Giải hệ phương trình sau xy + = xy Bài 3( điểm) abc = n − 1 Tìm số tự nhiên có chữ số abc thỏa: cba = ( n − 2) (n ∈ N ; n > 2) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác có chu vi Chứng minh ≤ a + b3 + c3 + 3abc < Bài ( điểm) 1) Cho đường tròn (O) đường kính BD=2R, dây cung AC đường tròn (O) thay đổi vuông góc cắt BD H Gọi P,Q,R,S chân đường vuông góc hạ từ H xuống AB,AD,CD,CB a) CMR: HA2 + HB + HC + HD không đổi b) CMR : PQRS tứ giác nội tiếp 2) Cho hình vuông ABCD MNPQ có bốn đỉnh M,N,P,Q thuộc cạnh AB,BC,CD,DA hình vuông CMR: S ABCD ≤ AC MN + NP + PQ + QM Bài ( điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm A(x0,y0) gọi điểm nguyên x0, y0 ∈ Z Giả sử A1A2A3….An n – giác lồi có đỉnh A1, A2 ,… ,An điểm nguyên Biết miền đa giác ( bao gồm điểm thuộc miền thuộc biên đa giác ) không chứa điểm nguyên đỉnh A1, A2 ,…., An Chứng minh n ≤ -Hết ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ (ĐỀ SỐ 10 ) Lớp - Năm học 2015 - 2016 MÔN: Toán Trang 41 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) Câu Nội dung ( điểm) Nhân vế đẳng thức với x − x + ta Điểm 0.25 −3( y + y + 3) = 3( x − x + 3)(1) Nhân vế đẳng thức với y − 0.25 y + ta −3(x + x + 3) = 3(y − y + 3)(2) Câu (2điểm) Cộng (1) (2) vế theo vế ta 6(x+y)=0=> x+y=0 0,25 Vậy E = 0,25 ( điểm) Bình phương số a, b cho, suy b2 = a2 -1 0.25 Do x.y >0 nên ta có 0.25 x > Trường hợp y > Khi a = xy + (1 + x )(1 + y ) >1 0.25 0.25 b = x + y + y + x2 > Nên b = a − 0.25 x < Trường hợp ta có a>1 b ( x ) + ( x ) < với giá trị k =>điều phải chứng minh *) Nếu a>0 x1 x2 x1 x2 x1 x2 Ta có ( ) + ( ) = ( + )[( + ) − 3] x2 x1 x2 x1 x2 x1 x1 x2 x12 + x2 ( x1 + x2 )2 − x1 x2 k + = = = − ( Theo viet) Mà x2 x1 x1 x2 x1 x2 a Do ( x1 x2 k2 k2 ) + ( ) = ( − 2)[( − 2) − 3] ≤ 52 x2 x1 a a Trang 42 (1) 0.25 0.25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) k2 = t ta có (t-2)[(t-2)2-3]≤52 a (t -6)(t2 +9)≤0 t - 6≤0 k2 Vậy − ≤ Mà a> nên suy k ≤ 6a ⇔ − 6a ≤ k ≤ 6a a a > Kết luận : Vậy a ⇒ ab + bc + ca) − 2abc > (3) P = a3 + b3 + c3 + 3abc = (a + b + c)(a + b + c − ab − bc − ac ) + 6abc 0.25 = a + b + c − ab − bc − ac + 6abc = ( a + b + c ) − ( ab + bc + ca ) + 6abc 1 = − ( ab + bc + ca − 2abc ) < − = 4 ( điểm) Trang 44 0.25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) A Q Câu (3điểm) P B H S D O R C a) theo Pitago HA + HB = AB ; HC + HB = BC ; HC + HD = CD ; HA + HD = AD ; suy đpcm b)Tứ giác HPBS nội tiếp ⇒ ∠HPS = ∠HBS = ∠DBC Tứ giác HPAQ hình chữ nhật ⇒ ∠HPQ = ∠HAQ = ∠CAD = ∠CBD Do ∠SPQ = ∠HPS + ∠HPQ = 2∠CBC Tương tự ∠SQR = 2∠BDC 0.5 0.5 0.5 Do ∠DBC + ∠BDC = 180 ⇔ ∠SPQ + ∠SRQ = 180 nên tứ giác 0 PQRS nội tiếp ( đ/lí đảo) 0.5 2(1điểm) M A B I N K Q L D C P Ta có theo Pitago ( BM + BN ) BM + BN MN = BN + BM ≥ ⇔ MN ≥ 2 2 ( áp dụng 0.25 BĐT Bunhiacoopsky Tương Tự NP ≥ CN + NP DP + DQ AQ + AM ; PQ ≥ ; MQ ≥ 2 Trang 45 0.25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 1) Nên MN + NP + PQ + QM ≥ = BM + NB + NC + CP + PD + DQ + QA + AM 4a = 2a 2 a ( MN + NP + PQ + QM ) = a ⇔ dpcm Câu (1 điểm) 0.25 Dấu “=” xảy MNPQ hình chữ nhật Giả sử n≥5 Vì đỉnh đa giác nguyên nên tọa độ (x,y) đỉnh có dạng ( chẵn, chẵn), (lẻ, lẻ), ( lẻ, chẵn), ( chẵn, lẻ) Do tồn đỉnh có dạng Giả sử đỉnh A(x1,y1) B( x2, y2) với x1, y1 x2, y2 tương ứng có tính chẵn lẻ Do đa giác cho đa giác lồi nên trung điểm M AB nằm cạnh AB nằm đường chéo AB Suy M thuộc miền đa giác cho x1 + x2 x = Mà M( x,y) với Nên x ∈Z y ∈ Z y + y y = Vậy M có tọa độ nguyên Điều trá với giả thiết , n ≤ -Hết Trang 46 0.25 [...]... cho 8 Nhng trong 9 s x1 , x2 , , x9 ch cú ba s l ac, bc, cc nờn 8 s bt k trong 9 s x1 , x2 , , x9 luụn cú hai s cú cựng s d khi chia cho 8, mõu thun Tng t, trng hp trong ba s a, b, c cú hai s l, mt s chn cng khụng xy ra Trang 31 1 B THI HC SINH GII TON 9 Cể P N MI NHT( PHN 1) -Ht S 8 THI CHN HC SINH GII THNH PH LP 9- Nm hc 2015-2016 MễN: Toỏn Thi gian lm bi : 150 phỳt ( thi gm 5 cõu,01... t c hh v 1 b ỳ t m c Cú s cỏch ly l:6.5.4=120 Xỏc sut An ly c c hai loi bỳt l: P= 150 + 120 27,3% 99 0 Trang 26 0,25 0,25 0,25 0,25 B THI HC SINH GII TON 9 Cể P N MI NHT( PHN 1) S 7 THI HC SINH GII THNH PH LP 9 Nm hc 2015 2016 MễN : TON Thi gian lm bi: 150 phỳt ( Khụng k thi gian giao ) ( thi gm 05 cõu, 01 trang) Cõu 1 (2 im) 1.1.Cho A = 2012 2011; B= 2013 2012 So sỏnh A v B? 1.2.Tớnh giỏ... nhau cựng mt ti -Ht Trang 11 B THI HC SINH GII TON 9 Cể P N MI NHT( PHN 1) P N THI CHN HC SINH GII THNH PH( S 3) Lp 9 - Nm hc 2015 - 2016 MễN:TON HC Bi 1(2im) 1.(1im) a) ỏp ỏn im x 9 x + 4 + x +2 x + 1 x P= ữ ữ ữ: ( x -2)( x -3) x +1 ữ x -3 P= ữ ữ x + 1 ( x -2)( x -3) ( ) 0,25 x +1 x 2 P= 0,25 x +1 0 => P = 6 0.25 17 2 1 1007 9 x= y + x = 2011 y = 9 490 2.2 Nu xy > 0 thỡ (1) (phự 1 2 = 3 1 = 490 y = 9 y x x 1007 9 hp) 0,5 17 2 1 1004 y + x = 2011 y = 9 xy > 0 (loi) Nu xy < 0 thỡ (1) 1 2 = 3 1 = 1031 y x x 18 Nu xy = 0 thỡ (1) x = y = 0 (nhn) 9 9 ; KL: H cú ỳng 2 nghim l (0;0) v ữ 490 1007 3.1 t 0,25 x y x 2 y2 + = a 2 + 2 + 2 = a 2... khụng ớt 3 ngi vit th cho nhau v cựng mt ti Lu ý : - Hc sinh lm cỏch khỏc ỳng cho im tng ng 0,25 5 (1 im) - Bi hỡnh khụng cú hỡnh v hoc hỡnh v sai khụng cho im -Ht S 4 Trang 15 0,25 0,25 0,25 0,25 B THI HC SINH GII TON 9 Cể P N MI NHT( PHN 1) THI CHN HC SINH GII THNH PH LP 9 - Nm hc 2015-2016 MễN: TON Thi gian lm bi: 150 phỳt ( thi gm 3 cõu, 2 trang) Cõu 1 (2,0 im): 1.1- Chng minh rng...B THI HC SINH GII TON 9 Cể P N MI NHT( PHN 1) THI CHN HC SINH GII THNH PH LP 9 - Nm hc 2015-2016 MễN: TON HC Thi gian lm bi: 150 phỳt ( thi gm 05 cõu 01 trang) Bi 1: (2,0 im) x +3 x +2 x +2 x + + : 1ữ ữ ữ x +1 ữ x -2 3- x x-5 x +6 1.Cho P= vi ( x 0, x 4, x 9) a Rỳt gn P b Vi giỏ tr nguyờn ca x P < 0 2 Cho A= 2016- 2015;... ca BPQ ct nhau ti trung im ca bỏn kớnh OA 4 .3) Gi s ng kớnh AB c nh, ng kớnh MN thay i Tớnh giỏ tr nh nht ca din tớch tam giỏc BPQ theo R Cõu 5 (1,0 im): Tỡm tt c cỏc tam giỏc vuụng cú s o cỏc cnh l cỏc s nguyờn dng v s o din tớch bng s o chu vi Ht Trang 16 B THI HC SINH GII TON 9 Cể P N MI NHT( PHN 1) P N THI CHN HC SINH GII THNH PH( S 5) Lp 9 - Nm hc 2015 - 2016 MễN: TON Cõu ỏp ỏn 1.1... Min P = 1 4 3 x+ z 2 z y+x = 4 y + x Trang 29 0,5 B THI HC SINH GII TON 9 Cể P N MI NHT( PHN 1) 4 4.1 V tia CH ct AB ti E v tia BH ct AC ti D ã ã Ta cú: BAK (gúc ni tip cựng chn = BCK ã ã ằ ) v BCH cung BK (CI l ng cao = BCK ca tam giỏc cõn HCK, va l phõn giỏc gúc C) ã ã Suy ra: BAK = BCE ã ã ã M BAK + ãABC = 90 0 nờn BCE + ABC = 90 0 ã Do ú: BEC = 90 0 , nờn CE l ng cao th hai ca tam giỏc ABC H l ... THI HC SINH GII TON Cể P N MI NHT( PHN 1) Ta cú: abc = 100a + 10b + c = n Cõu ( 2im) (1) cba = 100c + 10b + a = n 4n + (2) T (1) v (2) ta cú 99 (a-c)=4n 4n 5M 99 (3) Mt khỏc: 100 n 99 9... c abc 100a + 10b + c 9( 11a + b) = = 1+ a +b+c a+b+c a +b+c Nhn thy k nht c ln nht ú c = 9( 11a + b) 9( 10a 9) k = 1+ = 10 + a+b +9 a+b +9 k nht b ln nht ú b = 9( 10a 9) 9. 180 k = 10 + = 100... 120 27,3% 99 0 Trang 26 0,25 0,25 0,25 0,25 B THI HC SINH GII TON Cể P N MI NHT( PHN 1) S THI HC SINH GII THNH PH LP Nm hc 2015 2016 MễN : TON Thi gian lm bi: 150 phỳt ( Khụng k thi gian giao