www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN I VÉCTƠ ĐẶC TRƯNG CỬA ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN: Véctơ a = ( a1 ; a ; a ) véc tơ phương (VTCP) (∆) ⇔ (∆) // giá a Nhận xét: Nếu a VTCP (∆) ka (k ≠ 0) VTCP (∆) co m tức (∆) có vô số VTCP II PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN Phương trình tham số: Phương trình đường thẳng (∆) qua M0(x 0, y 0, z0)  x = x + a1t  có VTCP a = ( a1 ; a ; a ) :  y = y + a t ( t ∈ » )   z = z + a t Phương trình tắc: Phương trình đường thẳng (∆) qua M0(x0, y0, z0) x − x0 y − y z − z có VTCP a = ( a1 ; a ; a ) : = = a1 a2 a3 Phương trình tổng quát: Phương trình đường thẳng (∆) tổng quát giao  A1 x + B1 y + C1 z + D1 = với A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B : C tuyến hai mặt phẳng   A2 x + B y + C z + D2 = Phương trình đường thẳng (∆) qua điểm M1 (x1, y1, z1), M2(x 2, y2, z2): ma th x − x1 y − y1 z − z1 = = x − x1 y − y1 z − z1 Chuyển dạng phương trình tổng quát sang dạng tham số, tắc: ( α ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = ( A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B : C ) Cho (∆):  ( β ) : A2 x + B y + C z + D = n1 = ( A1 , B1 , C1 )  ⇒VTPT hai mặt phẳng  ⇒ VTCP a =  n1 , n  n = ( A2 , B , C ) Tìm điểm M0(x0, y0, z0) ∈ (α) ∩ (β) ⇒ x − x0 y − y z − z = = a1 a2 a3 Đặt tỉ số t suy dạng tham số Facebook.com/mathvcom www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN Vị trí tương đối đường thẳng: Cho (∆ 1) qua M1(x 1; y , z1) với VTCP u = ( a1 , a , a ) , (∆2) qua M2(x 2; y 2, z2) với VTCP v = ( b1 , b2 , b3 ) co m Nếu [u , v ] ⋅ M M ≠ ( ∆ ) , ( ∆ ) chéo Nếu [u , v ] ⋅ M M = a1 : a : a ≠ b1 : b2 : b3 (∆1), (∆2) cắt ( ∆ ) [u , v ] ⋅ M M =   Nếu  hệ phương trình  vô nghiệm ( ∆ )  a1 : a : a = b1 : b2 : b3 (∆1), (∆2) song song ( ∆ ) [u , v ] ⋅ M M =   Nếu  hệ phương trình  có nghiệm  a1 : a : a = b1 : b2 : b3 ( ∆ ) (∆1), (∆2) trùng Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng: ma th Cho (∆) qua M0(x0 ; y0, z0) với VTCP u = ( a, b, c ) mp(α): Ax + By + Cz + D = với VTPT n = ( A, B, C ) Nếu n ⋅ u ≠ ⇔ Aa + Bb + Cc ≠ (∆) cắt (α) Nếu n // u ⇔ a : b : c = A : B : C (∆) ⊥ (α)  n ⋅ u =  Aa + Bb + Cc = Nếu  ⇔  (∆) // (α)  M ∉ ( α )  Ax + By + Cz + D ≠  n ⋅ u =  Aa + Bb + Cc = Nếu  ⇔  (∆) ⊂ (α)  M ∈ ( α )  Ax + By + Cz + D = Facebook.com/mathvcom www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam IV GÓC GIỮA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN Góc đường thẳng: Cho (∆1) qua M1(x1; y1, z1) với VTCP u = ( a1 , a , a ) , (∆2) qua M2(x 2; y2, z2) với VTCP v = ( b1 , b2 , b3 ) (( ∆ ) , ( ∆ ) ) = ϕ∈ [0, 90°] xác định bởi: cos ϕ = u ⋅v = u ⋅v a b1 + a b + a b co m Góc a 12 + a 22 + a 32 b12 + b 22 + b 32 Góc đường thẳng mặt phẳng: Cho (∆) qua M0(x0 ; y0, z0) với VTCP u = ( a, b, c ) mp(α): Ax + By + Cz + D = với VTPT n = ( A, B, C ) Góc ( ( ∆ ) , ( α ) ) = ϕ∈ [ 0, 90°] xác định bởi: sin ϕ = u ⋅n = u ⋅ n aA + bB + cC 2 a + b + c2 A2 + B + C Góc hai mặt phẳng: Góc mặt phẳng (α 1): A1 x + B1 y + C1 z + D1 = (α2): A2 x + B y + C z + D = ϕ (0 ≤ ϕ ≤ 90°) thỏa mãn: cos ϕ = n1 n2 n1 n2 = A1 A2 + B1 B2 + C1C2 A12 + B12 + C12 A22 + B22 + C22 ma th V KHOẢNG CÁCH với n1 , n VTPT (α1), (α2) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho (∆) qua M0(x0 ; y0, z0) với VTCP u = ( a, b, c ) Khoảng cách từ điểm M1(x1; y 1, z1) đến đường thẳng (∆) là: d ( M , ( ∆ ) ) = u ⋅ M M  u Khoảng cách đường thẳng chéo nhau: Cho (∆ 1) qua M1(x 1; y , z1) với VTCP u = ( a1 , a , a ) , (∆2) qua M2(x 2; y2, z2) với VTCP v = ( b1 , b2 , b3 ) Giả sử ( ∆ ) , ( ∆ ) chéo nhau, d ( (∆ ),(∆ ) ) = [ u , v ] ⋅ M 1M [u , v ] Facebook.com/mathvcom www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Khoảng cách từ M0(x0, y0 , z0) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = là: d ( M , α) = Ax + By + Cz + D A2 + B + C VI CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xác định vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng ( ∆ ) sử dụng dấu hiệu nhận  ( α ) co m ( ∆ )  Phương pháp: Giải hệ PT tạo  ; ( ∆ ) biết qua hệ thức véctơ Bài Xét vị trí tương đối cách khác nhau:  x = 9t  ( ∆ ) :  y = 5t   z = −3 + t x − y + = ( ∆ ) :   x + y = 2 x − y − 3z − = ( ∆ ) :   x − y + z + = ;  y + 2z − = ( ∆ ) :   x + z − =  x = + 2t  Bài Xác định giao điểm đường thẳng ( ∆ ) :  y = − t ( t ∈ » ) với mặt   z = + t ma th phẳng ( α ) : x + y − z − =  x + y + z − = Bài Xác định giao điểm đường thẳng ( ∆ ) :  với mặt  x + y − z − = phẳng ( α ) : x + y + z − = Bài Cho đường thẳng:  x = 3t y+2  ( ∆ ) :  y = − t , ( ∆ ) : x 1− = = z −3 , z = + t   x − y + 3z − = ( ∆ ) :   x − y + z + = a Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng với b Viết phương trình đường thẳng (∆) song song với (∆1), cắt (∆2) (∆ 3) Facebook.com/mathvcom www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam α) Dạng 2: Xác định hình chiếu vuông góc điểm M lên mặt phẳng (α Phương pháp: Viết phương trình tham số đường thẳng (∆ ) qua M (∆ ) ⊥(α) Giao điểm H (∆ ) (α) hình chiếu vuông góc M lên (α) Bài Tìm hình chiếu vuông góc M(1; 2;−3) lên ( α ) : x + y − z + = Dạng 3: Xác định điểm đối xứng với điểm M cho trước qua mặt phẳng (α α) co m Phương pháp: Tìm hình chiếu vuông góc H M lên (α ) Giả sử M(x1, y , z1), H(x0 , y0, z0), điểm M’ đối xứng M qua (α) M ′ ( x − x1 , y − y1 , z − z1 ) Bài Xác định điểm đối xứng với điểm M(13; 2; 3) qua mặt phẳng (α): x + y – 3z + = Dạng 4: Xác định hình chiếu vuông góc điểm M lên đường thẳng (∆ ∆) Phương pháp 1: Viết PT mặt phẳng (α) qua M (α ) ⊥ (∆ ) Giao điểm H (∆) (α ) hình chiếu vuông góc M lên (∆) Phương pháp 2: Viết PT tham số (∆ ) ⇒ Tọa độ H theo tham số t MH ⊥ u véctơ phương (∆) GPT MH ⋅ u = ⇒ tham số t ⇒ Tọa độ H Bài Xác định hình chiếu vuông góc M(−1; −1; 1) lên đường thẳng (∆): { x = + t ; y = + t ; z = −3 − 3t} ma th Dạng 5: Xác định điểm đối xứng với điểm M cho trước qua đường thẳng (∆ ∆) Phương pháp: Tìm hình chiếu vuông góc H M lên (∆ ) Giả sử M(x1, y , z1), H(x0 , y0, z0), điểm M’ đối xứng M qua (∆) M ′ ( x − x1 , y − y1 , z − z1 ) Bài Xác định điểm đối xứng với điểm M(0; 2; −1) lên đường thẳng (∆): { x = + t ; y = + t ; z = − 3t} Dạng 6: ∆ ) lên mặt phẳng (α α) Xác định hình chiếu vuông góc đường thẳng (∆ Phương pháp: TH1: (∆ ) ⊥ (α ) ⇒ Hình chiếu vuông góc (∆ ) lên (α ) điểm H≡ (∆) ∩ (α ) Facebook.com/mathvcom www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam TH2: (∆ ) ⊂ (α ) ⇒ Hình chiếu vuông góc (∆ ) lên (α ) đường thẳng (∆) TH3: (∆ ) không vuông góc với (α), (∆ ) ⊄ (α ): C1: Viết phương trình mặt phẳng (β ) chứa (∆ ) (β ) ⊥ (α ) Hình chiếu vuông góc (∆) lên (α) đường thẳng (∆ ’) = (β ) ∩ (α ) C2: Lấy điểm A, B phân biệt thuộc (∆ ) Xác định hình chiếu vuông góc A, B lên (α ) H1, H2 C3: co m Hình chiếu vuông góc (∆) lên (α) đường thẳng (∆ ’) ≡ H1 H2 Nếu (∆ ) cắt (α ): Xác định A ≡ (∆ ) ∩ (α ) Lấy M ∉ (∆) M ≠ A Xác định hình chiếu vuông góc H M lên (α) Hình chiếu vuông góc (∆) lên (α) (∆ ’) ≡ AH 5 x − y − z − = Bài Xác định hình chiếu vuông góc (∆):   x + z − = lên mặt phẳng (α): 2x – y + z – = Dạng 7: Xác định hình chiếu song song đường thẳng (∆ ∆ 1) lên (α α) ∆ 2) cắt (α α) theo phương (∆ Phương pháp: TH1: (∆1 ) // (∆ 2) ⇒ Hình chiếu song song (∆1 ) lên (α ) theo phương (∆2 ) điểm H≡ (∆1 ) ∩ (α ) TH2: (∆1 ) (∆2 ) không song song: ma th Viết phương trình mặt phẳng (β ) chứa (∆1 ) // (∆2 ) Hình chiếu song song (∆1) lên (α) theo phương (∆2) (∆) = (β) ∩ (α) 7 x + y − z − = Bài Xác định hình chiếu song song đt (∆1):  lên (α): + + + = x y z  y +1 z + x − y + z − = theo phương (∆ 2): x − = = ∆ ) qua M cắt (∆ ∆ 1), (∆ ∆2) với (∆ ∆ 1), (∆ ∆ 2) chéo Dạng 8: VPT đường thẳng (∆ không qua M Phương pháp 1: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M chứa (∆ 1) Nếu cho (∆1) dạng tổng quát nên viết phương trình (α) dạng chùm Nếu (∆1 ) dạng tham số lấy điểm A, B ∈ (∆1 ) Facebook.com/mathvcom www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam ⇒ Phương trình (α ) qua điểm A, B, M Nếu (α ) // (∆2 ) toán vô nghiệm Nếu (α) cắt (∆2 ) tìm N = (∆ 2) ∩ (α ) Nếu MN // (∆ 1) toán vô nghiệm, MN cắt (∆1 ) suy đường thẳng cần tìm (∆) ≡ MN Phương pháp 2: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M chứa (∆ 1), mặt phẳng (β ) qua M chứa (∆2 ) Xét (∆) = (α ) ∩ (β ) Nếu (∆) cắt (∆1 ) (∆2 ) đường thẳng (∆ ) đường co m thẳng cần tìm Nếu (∆ ) // (∆1 ) (∆ 2) toán vô nghiệm  y − = Bài VPT ĐT (∆) qua M(1; 3; 0) (∆) cắt (∆1):  ,  x − z − = (∆2): { x = + 2t , y = − t , z = + t} ∆ ) cắt (∆ ∆ 1), (∆ ∆ 2) song song với (∆ ∆ 3) Dạng 9: VPT đường thẳng (∆ Phương pháp 1: Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa (∆1 ) // (∆3 ), mặt phẳng (β ) chứa (∆2 ) // (∆3 ) Nếu (α ) // (β ) toán vô nghiệm Nếu (α ) cắt (β ) xét (∆ ) = (α) ∩ (β) Nếu (∆ ) cắt (∆1 ) (∆2 ) đường thẳng (∆) đường thẳng cần tìm Nếu (∆ ) // (∆ 1) (∆2 ) toán vô nghiệm Phương pháp 2: Viết phương trình tham số (∆1 ) theo t1, (∆ 2) theo t2 Lấy M ∉ (∆1 ), N ∉ (∆2 ) ⇒ Tọa độ M, N theo t1, t2 ⇒ MN theo t1, t2 ma th Xác định t1, t2 cho MN // (∆ 3) ⇒ Đường thẳng (∆ ) cắt (∆1 ), (∆ 2) song song với (∆3 ) (∆ ) ≡ MN Phương pháp 3: Gọi M(x0, y0, z0) giao điểm (∆) (∆ 1) (∆) nhận VTCP (∆3) làm VTCP ⇒ Phương trình tham số (∆) theo x0, y0, z0 ( ∆ ) (∆ ) cắt (∆ 2) suy hệ  có nghiệm ⇒ x 0, y0, z0 ⇒ Phương trình (∆ ) ( ∆ )  y − = Bài VPT đường thẳng (∆) cắt (∆1):  , (∆2):  x − z − = { x = + 2t , y = − t , z = + t} // với trục Oz Facebook.com/mathvcom www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam y + z −1 y −3 z −9 = = Bài VPT ĐT (∆) cắt (∆1): x − = , (∆2): x − = 1 y+3 z−2 // (∆3): x + = = −2 ∆ ) qua M vuông góc (∆ ∆ 1), cắt (∆ ∆ 2) 10 Dạng 10: VPT đường thẳng (∆ ∆ 1), (∆ ∆ 2) M ∉ (∆ Phương pháp: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M ⊥ (∆1 ), mặt phẳng co m (β ) qua M chứa (∆ 2) Nếu (α ) // (β ) toán vô nghiệm Nếu (α ) cắt (β ) xét (∆ ) = (α) ∩ (β) Nếu (∆ ) cắt (∆2 ) đường thẳng (∆ ) đường thẳng cần tìm Nếu (∆ ) // (∆ 2) toán vô nghiệm y +1 z + = Bài VPT đường thẳng (∆) qua M(1; 2; 0) ⊥ (∆1): x − = , 2 7 x + y − z − = cắt (∆ 2):   x + y + z + = ∆ 1), (∆ ∆ 2) 11 Dạng 11: VPT đường vuông góc chung đường thẳng (∆ chéo a TH đặc biệt: (∆ 1) ⊥ (∆2): Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa (∆1 ) (α) ⊥ (∆2 ) Tìm M = ( ∆ ) ∩ ( α ) , H hình chiếu vuông góc M lên (∆1 ) ma th ⇒ MH đường vuông góc chung (∆1 ), (∆2) b Phương pháp 1: Viết phương trình (∆1 ), (∆ 2) dạng tham số Lấy M∈ (∆ 1), N∈ (∆ 2) ⇒ Tọa độ M, N theo t1 , t ⇒ MN theo t1 , t MN đường vuông góc chung (∆1 ), (∆ 2) ⇒ MN ⊥ ( ∆ ) , MN ⊥ ( ∆ ) ⇒ t1 , t ⇒ MN c Phương pháp 2: Gọi a1 , a VTCP (∆1 ) (∆ 2) ⇒ Đường vuông góc chung (∆) có VTCP a = a1 , a2  Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa (∆1 ) // (∆), mặt phẳng (β) chứa (∆2 ) // (∆) ⇒ (∆) = (α) ∩ (β) Facebook.com/mathvcom www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Bài Cho A(6; 3; 0), B(−2; 9; 1), S(0; 5; 8) Viết phương trình đường vuông góc chung SB, OA Bài Viết phương trình đường vuông góc chung x + y + z − = ( ∆1 ) :  y + z − =  x − y − 2z + = ( ∆ ) :  y − z +1= Bài Viết phương trình đường vuông góc chung co m x = + t2  x = + 2t1  ( ∆ ) :  y = + t1 ( ∆ ) :  y = −3 + 2t  z = + 3t  z = −3 + 3t   Bài VPT đường vuông góc chung 3 x − y − = ( ∆ ) : 5 x + z − 12 = ( ∆ ) : {x = −1 + 3t; y = −3 − 2t; z = − t}  x = + t x + 2z − =  Bài Cho ( ∆ ) :  y = − t ( ∆ ) :  y − =  z = 2t  Viết phương trình mặt phẳng cách (∆ 1) (∆2) 12 Dạng 12: Các toán khoảng cách 12.1 Tính khoảng cách: y +1 z −1 Bài Tính khoảng cách từ M(1; 2; 3) đến ( ∆ ) : x − = = Bài Cho A(1; 2; 3), B(0; 1; 2), C(4;−1; 1) Tính khoảng cách từ A đến BC ma th Bài Tính khoảng cách đường thẳng x + y = ( ∆ ) :  x − y + z − = ( ∆ ) : { x = + 3t; y = −t; z = + t}  Bài Tính khoảng cách đường thẳng ( ∆ ) : x 1− = y −2 z −3 = , x + y − z = ( ∆ ) : 2 x − y + 3z − =  Bài Tính khoảng cách đường thẳng  x + z + 23 =  x − 2z − =   ( ∆ ) :  y − z + 10 = , ( ∆ ) :  y + z + = Bài Tính khoảng cách mặt phẳng (α): 2x + y + z – = (β):2x + y + z + 10 = Facebook.com/mathvcom www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Bài Cho A(5; 7;−2), B(3;1;1), C(9; 4;−4) Tính khoảng cách từ D(−1; 5; 0) đến (ABC) 12.2 Tìm điểm biết khoảng cách cho trước: Bài Cho (α): x + 2y – 2z – = Tìm M∈Oy cho khoảng cách từ M đến (α) Bài Cho A(1;−2; 0) Tìm M∈Oz cho khoảng cách từ M đến (α): 3x – 2y + 6z + = MA co m Bài Cho (α): x + y + z + = 2 x + y + z − = Tìm M∈(∆):  cho d ( M , ( α ) ) = x + y + 2z + = Bài Cho (α): 12x – 16y + 15z + = (β): 2x + 2y – z – = Tìm M∈Ox cách (α) (β) 12.3 Các toán tổng, hiệu khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất: a Dạng 1: Cho điểm A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x , y , z ) Tìm M∈(P): ax + by + cz + d = để (MA + MB) Phương pháp: Xác định vị trí tương đối A, B mặt phẳng (P) cách tính đại lượng: t A = ax1 + by + cz1 + d ; t B = ax + by + cz + d Nếu t A t B < ⇔ A, B khác phía (P) Gọi M ≡ (AB)∩ (P), MA + MB ≥ AB = M 0A + M0 B ma th Nếu t A t B > ⇔ A, B phía (P) Lấy A1 đối xứng A qua (P) Gọi M0 ≡ (A1 B)∩ (P) Khi MA + MB = MA1 + MB ≥ A1 B = M 0A1 + M B b Dạng 2: Cho điểm A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x , y , z ) Tìm M∈(P): ax + by + cz + d = để |MA – MB| max Phương pháp: Xác định vị trí tương đối A, B mặt phẳng (P) cách tính đại lượng: t A = ax1 + by + cz1 + d ; t B = ax + by + cz + d Nếu t A t B > ⇔ A, B phía (P) Gọi M ≡ (AB)∩ (P), |MA – MB| ≤ AB = | M0 A – M 0B| Nếu t A t B < ⇔ A, B khác phía (P) Lấy A1 đối xứng A qua (P) Gọi M0 ≡ (A1B)∩ (P).Khi |MA – MB| = |MA1 – MB| ≤ A1B = | M0A1 – M0B| Facebook.com/mathvcom www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam b Dạng 3: Cho điểm A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x , y , z ) Tìm M∈(∆) cho trước cho (MA + MB) Phương pháp: Xác định tọa độ điểm A’, B’ hình chiếu tương ứng điểm A, B lên (∆ ) Gọi M0 điểm chia đoạn A’B’ theo tỉ số k= M A' M 0B' =− AA ' Ta chứng minh MA + MB ≥ M 0A + M0 B BB ' co m Thật vậy, gọi A1 ∈(P) = ((∆), B) cho A khác phía B so với (∆ ) thỏa mãn  A1 A ' = AA ' A A′ M A′ ⇒ = ⇒ A1, M ,B thẳng hàng  B1 B ′ M B ′  A1 A ' ⊥ ( ∆ ) ⇒ MA + MB = MA1 + MB ≥ A1 B = M 0A1 + M 0B = M0 A + M 0B Bài Cho A(−7; 4; 4), B(−6; 2; 3) Tìm M∈(P): 3x – y – 2z + 19 = để (MA + MB) min;|MA – MB| max Bài Cho A(1; 2; 3), B(4; 4; 5) Tìm M∈ mặt phẳng Oxy cho: (MA + MB) min; |MA – MB| max Bài Cho A(1; 0; 2), B(2; −1; 3) Tìm M∈ ( P ) : x − y + z − = để (MA + MB) min; |MA – MB| max Bài Cho A(1; 3; −2), B(13; 7; −4) Tìm M∈ ( P ) : x − y + z − = để (MA + MB) min; |MA – MB| max ma th Bài Cho A(1; 2;−1), B ( − 2; 2; −3) x + y + z − = Tìm M∈ ( ∆ ) :  cho (MA + MB) y + z − = Bài Cho A(1; 1; 0), B(3;−1; 4) y −1 z + cho (MA + MB) Tìm M∈ ( ∆ ) : x + = = −1 y−2 z −2 A(1;2; −1) Bài Cho  Tìm M∈ ( ∆) : x + = cho (MA + MB) = −2 B ( 7; −2;3) Bài Cho A(2; 3; 0) B ( 0; − 2; ) x + y + z − = cho (MA + MB) Tìm M∈ ( ∆ ) :  x − y + z − = Facebook.com/mathvcom www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam 13 Dạng 13: Các toán góc Bài Xác định góc mặt phẳng ( P1 ) : x + y + 2z + = 0, ( P2 ) : 2x + y + z + = Bài Cho tứ diện ABCD với A(1; 0; 1), B(2; 1; 0), C(−1; 0;−2), D(−2; 1; 1) Tính góc cặp cạnh đối ABCD; Tính góc ((AB); (BCD)) Bài Cho ( P1 ) : x − y − z + = , ( P2 ) : x + y + z − = , ( P3 ) : − x + y − z + = Gọi (∆) giao tuyến (P1) (P2) co m Tính góc (∆) với giao tuyến (P1), (P3) với mặt phẳng (P3) x = + t 3 x − y − =  Bài Cho ( ∆ ) :  ( ∆ ) :  y = −1 Tìm m để: − − = z y   z = + mt  a Góc (∆1) (∆2) 45° b Góc (∆1) (∆2) 60° Khi tính góc (P) với (∆2) biết (P) ⊥ (∆1) ( ) Bài Cho A(0;−2; −2), B(−1; −1; 0), C(−2; −2; 0), D − ; −1; a Tính góc ((ABC); (ABD)) b Tính góc khoảng cách đường thẳng (AD) (BC) 14 Bài mẫu Trong hệ Oxyz cho A(1; 4; 2); B(−1; 2; 4) ( d ) : x − = −1 y+2 z = Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) cho: a) MA + MB nhỏ nhất; d) Diện tích tam giác AMB nhỏ ma th c) MA + MB nhỏ b) MA + MB nhỏ nhất; VPT mặt phẳng (P) chứa (d) cho khoảng cách từ A đến (P) lớn VPT mặt phẳng (Q) chứa (d) tạo với mặt phẳng (xOy) góc nhỏ VPT mặt phẳng (R) chứa đường thẳng (d) tạo với trục Oy góc lớn Trong số đường thẳng qua A cắt đường thẳng (d), viết phương trình đường thẳng cho khoảng cách từ B đến lớn nhất? nhỏ nhất? Giải M (1 − t ; − + t ; 2t ) ∈ d ⇒ MA = ( t ; − t ; − 2t ) , MB = ( −2 + t ; − t ; − 2t ) a MA + MB = ( −2 + 2t ; 10 − 2t ; − 4t ) Suy MA + MB = 24 ( t − ) + 44 Do MA + MB nhỏ t = lúc M ( −1; 0; ) Facebook.com/mathvcom www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam b Ta có MA + MB = 12t − 48t + 76 = 12 ( t − ) + 28 Vậy MA + MB nhỏ t = M ( −1; 0; ) c Ta xác định hình chiếu A1 , B1 hai điểm A, B lên đường thẳng (d) ) ( − 14t + 18 ) ⇔ t = ⇔ M ≡ B ( − ; ; 14 ) với BB ⊥ ( d ) 3 3 MA = ( 3t − 10t + 20 ) ⇔ t = ⇔ M ≡ A1 − ; − ; 10 với AA1 ⊥ ( d ) 3 3 MB = ( 3t 1 số k = − co m AA1 = 210 ; BB1 = 30 Điểm M cần tìm điểm chia đoạn A1 B1 theo tỉ 3  −2 (1 + ) 10 − 14  ; − 1; = − nên tọa độ M    3 (1 + )  BB1  (1 + ) AA1 d AM ( −t ; − + t ; − + 2t ) ; AB ( −2; − 2; 2) ;  AM ; AB  = ( 6t −16; − 2t + 4; 4t −12) 2 S AMB =  AM ; AB  = ( 6t − 16 ) + ( −2t + ) + ( 4t − 12 ) = 56t − 304t + 416 2 304 19 38 12 Dễ thấy S AMB nhỏ t = = , M − ; ; 112 7 7  x + y + = PT tổng quát (d)  Vì mặt phẳng (P) chứa đường thẳng  y − z + = ) ( (d) nên (P) có phương trình a ( x + y + 1) + b ( y − z + ) = với a + b ≠ 2.4 − + = 10 = 5 + ( −1) • Nếu a ≠ giả sử a = Khi ( P ) : x + (1 + 2b ) y − bz + + 4b = ma th • Nếu a = (P): y − z + = Khi d ( A; ( P ) ) = Suy d ( A; ( P ) ) = 5b + Xét hàm số f ( b ) = 2 ( 5b + 3) 5b + 4b + 5b + 4b + 2 Ta có f ′ ( b ) = −50b + 10b + 24 = ⇔ b = ∨b = − 5 ( 5b + 4b + ) Do f = 35 ; f − = ; lim f ( b ) = nên d ( A; ( P ) ) lớn 35 b →∞ 6 () ( ) Kết luận: So sánh hai trường hợp ta có Max d ( A; ( P ) ) = 35 b = , lúc phương trình (P) có dạng x + 13 y − z + 21 = , hay ( P ) : x + 13 y − z + 21 = 5 Do (Q) chứa (d) nên PT (Q): a ( x + y + 1) + b ( y − z + ) = với a + b ≠ Mặt phẳng (xOy) có phương trình z = Facebook.com/mathvcom www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam • Nếu a = (Q): y − z + = cos α = • Nếu a ≠ ta giả sử a = Khi (Q): x + (1 + 2b ) y − bz + + 4b = b Từ cos α = Xét hàm số g ( b ) = b2 = cos α 5b + 4b + 2 b = −1 co m 5b + 4b + 4b + 4b = ⇔ b = ∨ b = −1 Ta có g ′ ( b ) = ( 5b + 4b + ) Do g ( ) = 0; g ( −1) = ; lim g ( b ) = nên cos α lớn b→∞ Kết luận: So sánh hai trường hợp ta thấy cos α lớn hay (Q) tạo với mặt phẳng (xOy) góc nhỏ b = −1 Lúc (Q) x − y + z − = PT (R): a ( x + y + 1) + b ( y − z + ) = Trục Oz có VTCP v ( 0; 1; ) Nếu a = (R): y − z + = β = ((Q), Oy) thỏa mãn sin β = Nếu a ≠ ta giả sử a = Khi (R): x + (1 + 2b ) y − bz + + 4b = Xét hàm số h ( b ) = 4b2 + 4b + = sin β 5b + 4b + 5b + 4b + 2 Ta có h ′ ( b ) = −4b + 6b + 42 = ⇔ b = ∨ b = − ( 5b + 4b + ) Khi sin β = + 2b ( ) Do h ( ) = ; h − = ; lim h ( b ) = nên sin β lớn , b = b →±∞ 6 Kết luận: So sánh hai trường hợp ta thấy sin β lớn b = Khi mặt ma th phẳng (R) có phương trình x + y − z + = Giả sử d đường thẳng qua A cắt d M (1 − t ; − + t ; 2t ) Khi d ( B; d ) =  AM ; AB  AM = 56t − 304t + 416 6t − 20t + 40 = 28t − 152t + 208 3t − 10t + 20 16 (11t − 8t − 60 ) = ⇔ t = −2 ; t = 30 Xét u ( t ) = 28t − 152t + 208 Ta có u ′ ( t ) = 11 3t − 10t + 20 ( 3t − 10t + 20 ) ( ) Do u ( −2 ) = 48; u 30 = ; lim u ( t ) = 28 nên khoảng cách từ B đến d lớn 11 35 b→∞ 48 t = −2 nhỏ t = 30 Khi d tương ứng 35 11 − y y−4 z−2 = z − d : x − = = có phương trình d : x − = −4 −3 −19 15 18 Facebook.com/mathvcom [...]... khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất 3 VPT mặt phẳng (Q) chứa (d) và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc nhỏ nhất 4 VPT mặt phẳng (R) chứa đường thẳng (d) và tạo với trục Oy góc lớn nhất 5 Trong số các đường thẳng đi qua A và cắt đường thẳng (d), viết phương trình các đường thẳng sao cho khoảng cách từ B đến nó là lớn nhất? nhỏ nhất? Giải 1 M (1 − t ; − 2 + t ; 2t ) ∈ d ⇒ MA = ( t ; 6 − t ; 2 − 2t ) , MB... hai trường hợp ta có Max d ( A; ( P ) ) = 2 35 khi b = 4 , lúc đó 5 6 phương trình (P) có dạng x + 13 y − 4 z + 21 = 0 , hay ( P ) : 5 x + 13 y − 4 z + 21 = 0 5 5 5 3 Do (Q) chứa (d) nên PT (Q): a ( x + y + 1) + b ( 2 y − z + 4 ) = 0 với a 2 + b 2 ≠ 0 Mặt phẳng (xOy) có phương trình z = 0 Facebook.com/mathvcom www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam • Nếu a = 0 thì (Q): 2 y − z + 4 = 0 và khi đó cos α... 3 2 −2 B ( 7; −2;3) Bài 8 Cho A(2; 3; 0) và B ( 0; − 2; 0 ) x + y + z − 2 = 0 sao cho (MA + MB) min Tìm M∈ ( ∆ ) :  x − y + z − 2 = 0 Facebook.com/mathvcom www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam 13 Dạng 13: Các bài toán về góc Bài 1 Xác định góc giữa 2 mặt phẳng ( P1 ) : x + y + 2z + 4 = 0, ( P2 ) : 2x + y + z + 1 = 0 Bài 2 Cho tứ diện ABCD với A(1; 0; 1), B(2; 1; 0), C(−1; 0;−2), D(−2; 1; 1) Tính... 5 Cho A(0;−2; −2), B(−1; −1; 0), C(−2; −2; 0), D − 1 ; −1; 0 2 a Tính góc giữa ((ABC); (ABD)) b Tính góc và khoảng cách giữa 2 đường thẳng (AD) và (BC) 14 Bài mẫu Trong hệ Oxyz cho A(1; 4; 2); B(−1; 2; 4) và ( d ) : x − 1 = −1 y+2 z = 1 2 1 Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho: a) MA + MB nhỏ nhất; d) Diện tích tam giác AMB nhỏ nhất ma th c) MA + MB nhỏ nhất b) MA 2 + MB 2 nhỏ nhất; 2 VPT... 1 56t 2 − 304t + 416 2 2 2 304 19 5 38 12 Dễ thấy S AMB nhỏ nhất khi t = = , khi đó M − ; ; 112 7 7 7 7  x + y + 1 = 0 2 PT tổng quát của (d) là  Vì mặt phẳng (P) chứa đường thẳng  2 y − z + 4 = 0 ) ( (d) nên (P) có phương trình a ( x + y + 1) + b ( 2 y − z + 4 ) = 0 với a 2 + b 2 ≠ 0 2.4 − 2 + 4 = 10 = 2 5 5 2 + ( −1) • Nếu a ≠ 0 thì có thể giả sử a = 1 Khi đó ( P ) : x + (1 + 2b ) y − bz +... = 0 ; lim h ( b ) = 4 nên sin β lớn nhất bằng 5 , khi b = 2 b →±∞ 6 6 2 5 Kết luận: So sánh hai trường hợp ta thấy sin β lớn nhất khi b = 2 Khi đó mặt ma th phẳng (R) có phương trình x + 5 y − 2 z + 9 = 0 5 Giả sử d 2 là đường thẳng bất kì đi qua A và cắt d tại M (1 − t ; − 2 + t ; 2t ) Khi đó d ( B; d 2 ) =  AM ; AB  AM = 56t 2 − 304t + 416 6t 2 − 20t + 40 2 = 28t 2 − 152t + 208 3t − 10t +... 44 Do đó MA + MB nhỏ nhất khi t = 2 và lúc đó M ( −1; 0; 4 ) Facebook.com/mathvcom www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam 2 b Ta có MA 2 + MB 2 = 12t 2 − 48t + 76 = 12 ( t − 2 ) + 28 Vậy MA 2 + MB 2 nhỏ nhất khi t = 2 và khi đó M ( −1; 0; 4 ) c Ta sẽ xác định hình chiếu A1 , B1 của hai điểm A, B lên đường thẳng (d) ) ( − 14t + 18 ) min ⇔ t = 7 ⇔ M ≡ B ( − 4 ; 1 ; 14 ) với BB ⊥ ( d ) 3 3 3 3 MA 2 = 2 ( 3t...www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam b Dạng 3: Cho 2 điểm A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x 2 , y 2 , z 2 ) Tìm M∈(∆) cho trước sao cho (MA + MB) min Phương pháp: Xác định tọa độ các điểm A’, B’ là hình chiếu tương ứng của các điểm A, B lên (∆ ) Gọi M0 là điểm chia đoạn A’B’ theo tỉ số k=... 30 = 4 ; lim u ( t ) = 28 nên khoảng cách từ B đến d 2 lớn 11 35 b→∞ 3 nhất bằng 48 khi t = −2 và nhỏ nhất bằng 4 khi t = 30 Khi đó d 2 tương ứng 35 11 − y y−4 z−2 4 = z − 2 và d 2 : x − 1 = = có phương trình là d 2 : x − 1 = −4 −3 −19 1 15 18 Facebook.com/mathvcom ... M 0 A' M 0B' =− AA ' Ta chứng minh MA + MB ≥ M 0A + M0 B BB ' vn co m Thật vậy, gọi A1 ∈(P) = ((∆), B) sao cho A 1 khác phía B so với (∆ ) và thỏa mãn  A1 A ' = AA ' A A′ M A′ ⇒ 1 = 0 ⇒ A1, M 0 ,B thẳng hàng  B1 B ′ M 0 B ′  A1 A ' ⊥ ( ∆ ) ⇒ MA + MB = MA1 + MB ≥ A1 B = M 0A1 + M 0B = M0 A + M 0B Bài 1 Cho A(−7; 4; 4), B(−6; 2; 3) Tìm M∈(P): 3x – y – 2z + 19 = 0 để (MA + MB) min;|MA – MB| max ... phẳng (xOy) góc nhỏ VPT mặt phẳng (R) chứa đường thẳng (d) tạo với trục Oy góc lớn Trong số đường thẳng qua A cắt đường thẳng (d), viết phương trình đường thẳng cho khoảng cách từ B đến lớn nhất?... By + Cz + D = Facebook.com/mathvcom www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam IV GÓC GIỮA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN Góc đường thẳng: Cho (∆1) qua M1(x1; y1, z1) với VTCP u = ( a1... z + x − y + z − = theo phương (∆ 2): x − = = ∆ ) qua M cắt (∆ ∆ 1), (∆ ∆2) với (∆ ∆ 1), (∆ ∆ 2) chéo Dạng 8: VPT đường thẳng (∆ không qua M Phương pháp 1: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua