Đang tải... (xem toàn văn)
Phương pháp 7 : Đặt biến phụ (đổi biến) Hướng giải : Khi ta gặp biểu thức trong đề bài xuất hiện nhiều lần ta đặt biểu thức ấy làm biến phụ từ đó đưa về dạng đơn giản hơn ta phân tích dạng đơn giản này thành nhân tử rồi thay biến cũ vào và tiếp tục giải cho đến kết quả Ví dụ: Phân tích thành nhân tử đa thức A = (x2+3x+1)(x2+3x3)5. Hướng suy nghĩ để giải: Ta dễ dàng thấy rằng x2+3x được lặp lại nhiều lần ta đặt y=x2+3x, ta có A = (y+1)(y3)5 = y22y8. Ta giải như sau: A = y22y8 = y24y+2y8=y(y4)+2(y4)=(y4)(y+2) Cuối cùng ta thế biến củ vào biểu thức A = (y4)(y+2)=(x2+3x4)(x2+3x+2) Đa thức trên vẫn chưa triệt để là nhân tử, ta tiếp tục phân tích đa thức bằng phương pháp tách hạng tử, ta nhận được kết quả sau: A = (x1)(x+4)(x+1)(x+2) Chú ý một số dạng điển hình như sau: Phân tích đa thức dạng: ax4+bx2+c. Ta đặt t=x2≥0. Phân tích đa thức dạng: ax4+bx3+cx2+dx+e. Ta đặt t=x+1x. Phân tích đa thức dạng: ax4+bx3+cx2+dx+e trong đó ea=(db)2. Ta đặt t=x+dbx. Phân tích đa thức dạng: (x+a)4+(x+b)4=c. Ta đặt t=x+(a+b)2. Phân tích đa thức thành nhân tử dạng: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)+ex2, trong đó ad=bc. Ta đặt t=x+adx. Phương pháp 8 : Dùng định lý Bezout (Bơdu) Cho đa thức f(x)=a_n xn+a_(n1) x(n1)+⋯+a_0. Nếu f(x) có nghiệm nguyên thì nghiệm đó phải là ước số của hạng tử độc lập a_0 . Khi đã tìm được nghiệm x = a, ta chỉ việc chia f( x) cho (x − a) để tìm thương g(x) và việc phân tích đa thức lại tiếp tục nếu có thể. Ví dụ: Phân tích thành nhân tử đa thức A = x3+9x2+26x+24.
KIẾN THỨC BỔ SUNG TÀI LIỆU RÈN LUYỆN VÀ NÂNG CAO DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI Biên soạn: Nguyễn Tấn Cường – Khoa sư phạm Toán Tin Trường Đại học Đồng Tháp Một số kĩ thuật (Hướng giải) Phân tích đa thức thành nhân tử Phương pháp 1,2,3,4,5,6 SGK Phương pháp : Đặt biến phụ (đổi biến) Hướng giải : Khi ta gặp biểu thức đề xuất nhiều lần ta đặt biểu thức làm biến phụ từ đưa dạng đơn giản ta phân tích dạng đơn giản thành nhân tử thay biến cũ vào tiếp tục giải kết Ví dụ: Phân tích thành nhân tử đa thức A = Hướng suy nghĩ để giải: Ta dễ dàng thấy lặp lại nhiều lần ta đặt , ta có A== Ta giải sau: A= = Cuối ta biến củ vào biểu thức A= Đa thức chưa triệt để nhân tử, ta tiếp tục phân tích đa thức phương pháp tách hạng tử, ta nhận kết sau: A= Chú ý số dạng điển sau: Phân tích đa thức dạng: Ta đặt Phân tích đa thức dạng: Ta đặt Phân tích đa thức dạng: Ta đặt Phân tích đa thức dạng: Ta đặt Phân tích đa thức thành nhân tử dạng: , ad=bc Ta đặt Phương pháp : Dùng định lý Bezout (Bơdu) Cho đa thức Nếu f(x) có nghiệm nguyên nghiệm phải ước số hạng tử độc lập Khi tìm nghiệm x = a, ta việc chia f( x) cho (x − a) để tìm thương g(x) việc phân tích đa thức lại tiếp tục Ví dụ: Phân tích thành nhân tử đa thức A = Hướng giải: Ta nhận thấy đa thức có hệ số tự 24 Các ước 24 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12, -12, 24, -24 Chịu khó ước 24 vào đa thức dễ dàng nhận thấy f(-2) = Vậy f(x) chia hết cho (x – 2) Thực chia f(x) cho (x – 2) Sau vận dụng công thức đa thức bị chia = đa thức chia nhân với đa thức thương công đa thức dư ta A = Lại tiếp tục phân tích thành nhân tử theo quy tắc trên, ta Phương pháp : Phương pháp giảm dần số mũ lũy thừa Phương pháp sử dụng cho đa thức có dạng , đa thức có dạng Tuy nhiên tìm cách giảm dần số số mũ lũy thừa, ta cần ý đến Mong nhận đóng góp ý kiến từ thầy cô qua số điện thoại 01889217270 biểu thức dạng , biểu thức chia hết cho Ví dụ: Phân tích thành nhân tử A = Hướng giải: Ta có: A = (tức lũy thừa giảm dần đơn vị) = (tức nhóm hạng tử cho xuất nhân tử chung ) Mà Tương tự ta tính nhóm lại Đáp án: A = = Phương pháp 10: Dùng tính đối xứng biểu thức chữ: Ví dụ: Phân tích thành nhân tử đa thức: A= Hướng giải: Đây biểu thức đối xứng a, b, c Ta nhận thấy a = b biểu thức Coi A biểu thức bậc ba a a = b thí A =0, tức đa thức chia hết cho a – b Vì tính đối xứng biểu thức a ,b, c nên ta thấy A chia hết(b − c) (c − a), tức A = (a −b )(b − c)(c − a) f(x) (1) , f ( x) đa thức bậc a Vì vai trò tương tự a b, c nên f(x) đa thức bậc b c tức f(x ) =ma + nb+pc Nhưng đa thức đối xứng a,b,c nên m=n=p Do đó: A= (2) Để tính m, ta việc lấy giá trị khác a,b,c thay vào (2) Chọn a = 0, b = 1, c= 2, ta có A = m(2.4 + (−1)) =m (−1)(−1).2.3 ⇔ 6m = ⇔m =1 Vậy A = Phương pháp 11: Xét giá trị riêng: Ví dụ: Phân tích thành nhân tử đa thức A = Hướng giải: Nếu a=b A=0 Nên A chia hết cho a – b Do vai trò a, b, c đa thức nên A chia hết chia (a − b)(b − c)(c − c) Trong phép chia đó, đa thức bị chia A có bậc ba đối vơi tập hợp biến nên thương số K Trong đẳng thức ab(a −b ) + bc(b − c) + ca(c −a ) = K(a −b)(b −c)(c−a) ta cho biến nhân giá trị riêng a= 2, b = 1, c = ta 2.1.1 + + = K.1.1.(−2) đó: 2K = −2 , suy K= −1 Vậy A = −(a −b )(b − c)(c− a) = (a −b )(b − c)(a − c) Phương pháp 12 : Hệ số bất định (đồng thức): Ví dụ: Phân tích thành nhân tử đa thức Hướng giải: Giả sử đa thức phân tích thành nhân tử có dạng Đồng hai vế ta có: Giải hệ ta a=3, b=-3, c =6 Thỏa mãn điều kiện Vậy Mong nhận đóng góp ý kiến từ thầy cô qua số điện thoại 01889217270 Hết Mong nhận đóng góp ý kiến từ thầy cô qua số điện thoại 01889217270 ... biểu thức chữ: Ví dụ: Phân tích thành nhân tử đa thức: A= Hướng giải: Đây biểu thức đối xứng a, b, c Ta nhận thấy a = b biểu thức Coi A biểu thức bậc ba a a = b thí A =0, tức đa thức chia hết cho. ..các biểu thức dạng , biểu thức chia hết cho Ví dụ: Phân tích thành nhân tử A = Hướng giải: Ta có: A = (tức lũy thừa giảm dần đơn vị) = (tức nhóm hạng tử cho xuất nhân tử chung... tích thành nhân tử đa thức A = Hướng giải: Nếu a=b A=0 Nên A chia hết cho a – b Do vai trò a, b, c đa thức nên A chia hết chia (a − b)(b − c)(c − c) Trong phép chia đó, đa thức bị chia A có bậc