LỚP HỌC BỒI DƯỠNG MƠN TỐN THẦY NAM BÀI TẬP TÍCH PHÂN Biên Soạn: Thầy Nam ĐT: 0981 929 363 16 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN GV: LÊ NAM – 0981 929 363 BÀI TẬP TÍCH PHÂN VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng bảng nguyên hàm Tìm nguyên hàm F(x) f(x), sử dụng trực tiếp định nghóa tích phaân: b  f ( x )dx  F(b)  F(a) a Chú ý: Để sử dụng phương pháp cần phải: – Nắm vững bảng nguyên hàm – Nắm vững phép tính vi phân Bài Tính tích phân sau: a)  ( x  x  1)dx 1 d) x  1 x 2 1 dx e) k)  x2  2x x3  x 2 g)  ( x  1)( x  x  1)dx 2 b)  ( x   c) x 1 dx x2 e f)  ( x   1   x )dx x x2  i) l)  4 dx x2 h)  ( x  x x  x )dx x  23 x  44 x dx e2 dx  e x 1 )dx x  x   7x dx x dx 8 m)   x   1 x2  dx   Bài Tính tích phân sau: a) x  1dx  b) x2  x 2 d)  0 xdx  x2 dx e) 2 0 3x  x3 dx c)  ( x  x x  x )dx f) 0 x x  9dx Bài Tính tích phân sau:   a)  sin(2 x    )dx b)  (2sin x  3cosx  x )dx  c)   sin 3x  cos x  dx NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN GV: LÊ NAM – 0981 929 363  d) k) tan x dx  e) cos x  3tan x dx  (2 cot f)      2 g)   dx   sin x h)     (tan x  cot x )2 dx l)   cos x   cos x dx  sin i) m)  sin(  x ) ( x  1).dx x.cos2 xdx    x  5) dx sin(  x ) dx  2  cos x dx Bài Tính tích phân sau: x a) d) e  e x  0e x ln 0  e x dx b) ex dx ex  k) ecos x  e ln x 1 x x  x ln x e)  g)  sin xdx h) dx l) x e x e (1  )dx x  4e 1 0 x x 1e 0 c) dx 0 i) 1 e xe x dx m)  4 ex  1e f) 2x x 2x dx dx  ln x dx x 1 e x dx VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân phương pháp đổi biến số b Dạng 1: Giả sử ta cần tính  g( x )dx a Nếu viết g(x) dạng: Dạng 2: Giả sử ta cần tính g( x )  f u( x ).u '( x ) b u( b ) a u( a )  g( x )dx   f (u)du   f ( x )dx  Đặt x = x(t) (t  K) a, b  K thoả mãn  = x(a),  = x(b)    b b a a f ( x )dx   f  x (t ) x '(t )dt   g(t )dt  g(t)  f  x(t).x '(t) NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN GV: LÊ NAM – 0981 929 363 Dạng thường gặp trường hợp sau: Cách đổi biến f(x) có chứa Hoặc Hoặc Hoặc Bài Tính tích phân sau: (đổi biến số dạng 1): d)   n)  h) x x2  e x dx  x e l)  ex     2  sin x cos x  sin x 2 f)  x  x dx  x dx dx ln3 k) e) 2x  g) xdx  x5 dx c)  x  x3 b)  (1  x ) 1 a)  x(1  x)19 dx dx ln x5  2x3 dx 1 x2 i)   ln x dx 2x e m)  ex  ex dx  ln x ln x dx x  cos x sin x dx o)   sin x p)  sin sin x dx x  cos x NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN GV: LÊ NAM – 0981 929 363 Baøi Tính tích phân sau: (đổi biến số dạng 2): a) dx  1 x b) d)  1 e) dx  i) k) x2 1 dx x3  2 dx l) x x2    x dx f) x dx 0 ( x  1)( x  2) h) x2  2x  4 x c) dx 0 x  g)  x dx x2  x2 x xdx  x2 1 dx  1  x  m)  x x  x dx dx VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân phương pháp phần Bài Tính tích phân sau: a)    x sin xdx b)  ( x  sin  x cos  x) cos xdx c) 2 d) 2 xdx e) cos xdx  x tan f)  ( x  2)e x dx xdx  x ln g)  xe e x dx h) i)  ln( x  x)dx  k)  e sin xdx 3x  x ln xdx e l)  e cos x m)  ln xdx sin xdx e e  x ln xdx  o) p) ln x 1 x dx q)  x (e 1 e 2x  x  1)dx NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN GV: LÊ NAM – 0981 929 363 VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối Để tính tích phân hàm số f(x) có GTTĐ, ta cần xét dấu f(x) sử dụng công thức phân đoạn để tính tích phân đoạn nhỏ Bài Tính tích phân sau: a)  x  dx b) d)  g)   c) e)  ( x   x  )dx f) 2 x  x  9dx h)  x  dx  2 x  dx x x  dx 3 x  x dx x  x  x dx i)  x dx  1 Bài Tính tích phân sau: a)   cos x dx b) d)   2  sin xdx e)     2 tan x  cot x  2dx  h)    c)   g)  sin x dx 0    2    cos xdx f) sin x dx   cos2xdx cos x cos x  cos xdx i)  2  sin xdx  VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân hàm số hữu tỉ Bài Tính tích phân sau: dx b)  x  5x  dx a)  x x d) x  1  x  3 c) dx e) x dx 0 x  2x  x dx 2 1  x 9 f) x dx (1  x) NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN g) GV: LÊ NAM – 0981 929 363 dx  x(x  1) h) k) x3  x2  9x   x  3x  1 x dx l)  x  3x  2 d)  ( x  2) ( x  3)  x (1  x ) k) 1  4 x 3x dx dx  f) 2 h)  x 2008  x (1  x 2008 ) l)   x2 1 x x2  (3 x  1) dx x  2x  4x  dx 0 x2  e) x  x 1 dx x   m) x3  x  dx  x   dx dx c) g) b) i) 2 dx x 1 dx 0 x  2x   5x  3x  3x  Bài Tính tích phân sau: a) 2 4 x  11dx 1 dx x  1 x i) x4  (x dx  m) dx dx  1)2  x4 1 x dx VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân hàm số vơ tỉ Bài Tính tích phân sau: 2 a)  x x  1dx b) 0 d) 1 10 g)  k)  2 n) x 1 dx dx x 1  3x  x2 1 x e) dx h) x 4x  f) dx l)  x4  x5  x  1dx i)  2 dx 3x  x5  x3  x2  m) x x2  dx 4x  3 x 1  x dx  2x  1 dx  c) x  x 1  x x3 1 x dx 1 x o)  2 dx p) x x2   dx x x3  dx dx NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN GV: LÊ NAM – 0981 929 363 Bài Tính tích phân sau: a) x  x dx b) d)  x  2008dx dx e) x dx  1   h) x  x2  1 10  x dx f) dx l)   x dx x 3dx x  x2  i) x  2008 2 (1  x )3   x dx   m)  x2 (1  x )3 dx dx  c) 2 k) x2 x2  g)  x2  12 x  x  8dx Bài Tính tích phân sau: a)   2 cos xdx 0  cos2 x    2 cos xdx    cos3 x sin x cos5 xdx e)  sin x cos x  cos xdx  0   g) b)  cos x d)   cos xdx h)  cos2 x   sin x  sin x  3cos x dx tan x cos x  cos2 x c) f) dx  cos xdx  cos x   i)  sin x  sin x  3cos x dx Bài Tính tích phân sau: ln3 a)  ln3 d)  ln ln3 g)  ln dx b) ex  ln2 x x ln x   0 dx ex (e x  1) e x  e)  e e2 x dx c) ex  1 x(e2 x  x  1)dx ln f) dx h)   1  ex e x  e x ln dx i)   3ln x ln x dx x e x dx (e x  1)3 e x  1dx NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN GV: LÊ NAM – 0981 929 363 VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân hàm số lượng giác Bài Tính tích phân sau:   4 a)  sin x cos xdx b)   tan xdx sin x   cos x dx c) 0     2  sin x cos xdx   (sin 3 x  cos x )dx    tan xdx o)  tan  xdx p) q)   sin x  cos x dx   4 sin x cos x dx  cos x  m)  x cos5 xdx  cos x l)  dx cos x  4    sin i) n) h)  sin x cos xdx  k) f)  cos x 0 g)  e)  sin xdx d)  sin xdx dx sin x.cos3 x  /3 cos3 x r)  dx  cos x s)   /6 sin dx x.cos x Baøi Tính tích phân sau:  a)     cos x sin x cos xdx  sin x  cos x dx b)  sin x  cos x  c)  e)  g)  sin x.ln(cos x )dx  cos x dx  4  cos x(sin x  cos x )dx tan x d)   cos x    h)  (tan x  e sin x cos x)dx  1  sin x  sin xdx f) 3 sin x 2 (tan x  1) cos x dx  i)   2  sin x  cos x dx NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN GV: LÊ NAM – 0981 929 363 Baøi Tính tích phân sau: a)    2   dx sin x b) dx  cos x    sin x dx c) d) g) k)   2 cos x   cos x dx e)     2  sin x  cos x  dx     (1  sin x ) cos x (1  sin x )(2  cos x ) dx l) sin x   sin x dx f)   h) cos x dx  cos x  sin x  cos x  dx sin x  cos x  dx cos x cos( x  )  i)   dx   sin x cos( x  ) 4  dx  m)  sin x sin( x  ) 6  Bài Tính tích phân sau: a)    (2 x  1) cos xdx d)   2  sin xdx e)  e 2x sin xdx l) n)  sin x.e sin x e sin x cos3 xdx ln(sin x ) dx cos x dx i)  x tan 2 xdx xdx  (2 x  1) cos  xdx m)  x sin x cos  4 o) x 1   dx 0  x f)   x cos xdx  h) x  cos    k) c) g)  cos(ln x )dx  xdx b)   cos x  ln(1  tan x )dx p) dx  cos x NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN GV: LÊ NAM – 0981 929 363 VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân hàm số Mũ Lơgarit Bài Tính tích phân sau: a) ln d)   x 1 e e k) ex 1 dx dx ln x   b) ex ln g) ln e x dx 0  e x dx x (ln x  1) e)  l) e x  1.e x dx ln e2 x x e 1  x 0e 4 e2 x 0e x dx 1 i) e x  x 1 0e ln3 dx dx 1 ex dx 1 ex  f)  1  c) ln ln h) dx x e 5  m) dx ex  dx Bài Tính tích phân sau:  2 a) e x sin xdx b)  xe 2x dx 0 d)  (e  cos x) cos xdx x e)  k)   x ln 1  x dx f) ln x  ln(ln x ) dx x   ln x h)    ln  x ln x  e  x dx  e3 i) ln(ln x ) dx x e  ln x x2 dx l)   dx  ln2 x dx x e2 e e x  g)  xe c)  ln(sin x ) dx cos2 x m) 10 ln( x  1) dx x   NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN GV: LÊ NAM – 0981 929 363 VẤN ĐỀ 9: Thiết lập cơng thức truy hồi b Giả sử cần tính tích phân: I n   f ( x , n)dx (n  N) phụ thuộc vào số nguyên dương n Ta thường gặp số a yêu cầu sau:  Thiết lập biểu thức truy hồi, tức biểu diễn In theo In-k (1  k  n)  Chứng minh công thức truy hồi cho trước  Tính giá trị I n cụ thể Bài Lập cơng thức truy hồi cho tích phân sau:  a) I n   sin n xdx n1   Đặt: u  sin x dv  sin x.dx  b) I n   cosn xdx n1   Đặt: u  cos x dv  cos x.dx  c) I n   tan n xdx  Phân tích: tann x  tan n2 x  tan2 x  1  tan n2 x  d) I n  x n cos x.dx n   Đặt u  x dv  cos x.dx  Jn  x n sin x.dx e) I n  x n e x dx e f) I n   ln n x.dx n   Đặt u  x dv  sin x.dx    Đặt u  x n x  dv  e dx n   Đặt u  ln x dv  dx 11 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN g) I n   (1  x )n dx GV: LÊ NAM – 0981 929 363  Đặt x  cos t 2n  Đặt u  sin t dv  sin t.dt  h) I n   dx (1  x  Phân tích n ) 1 x2 Tính Jn   n (1  x ) i) I n   x n  x dx  (1  x )n  x2 (1  x )n  x2 (1  x )n u  x  x Đặt  dv  dx n  (1  x )  dx n    Đặt u  x  dv   x dx  k) I n   dx n cos x dx  Phân tích n cos x  cos x cos n1 12 x  Đặt t  cosn1 x ...NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN GV: LÊ NAM – 0981 929 363 BÀI TẬP TÍCH PHÂN VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân cách sử dụng bảng ngun hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng bảng nguyên hàm Tìm nguyên hàm. .. 1)dx NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN GV: LÊ NAM – 0981 929 363 VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối Để tính tích phân hàm số f(x) có GTTĐ, ta cần xét dấu f(x) sử dụng cơng thức phân. .. 5: Tính tích phân hàm số hữu tỉ Bài Tính tích phân sau: dx b)  x  5x  dx a)  x x d) x  1  x  3 c) dx e) x dx 0 x  2x  x dx 2 1  x 9 f) x dx (1  x) NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN g)