.NE T Tuyển tập THS Bộ ba câu phân loại TM A Trong đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 VIE MÔN TOáN DIN N TON HC * PT, HPT, BPT * PP tọa độ MP * BĐT, Tìm GTLN, GTNN THS TM A VIE NE T TUYỂN TẬP BỘ BA CÂU PHÂN LOẠI TRONG ĐỀ THI THỬ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 2015 Diễn đàn toán học VMF VIE TM A THS NE T Ngày tháng năm 2015 Kí hiệu dùng sách Bất đẳng thức Bất phương trình Chứng minh Đại học Giáo dục đào tạo Giá trị lớn Giá trị nhỏ Phương trình Trung học phổ thơng Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ Thành phố Hồ Chí Minh Vietnam Mathematics Forum Vế phải Vế trái Vectơ phương Vectơ pháp tuyến NE T : : : : : : : : : : : : : : : : VIE TM A THS BĐT BPT CMR ĐH GDĐT GTLN GTNN PT THPT THTT TP HCM VMF VP VT VTCP VTPT Trang http://diendantoanhoc.net LỜI NÓI ĐẦU Xuất phát từ thực tế kì thi THPT Quốc gia 2015, với bạn sử dụng kết mơn Tốn để xét tuyển đại học, cạnh tranh chủ yếu diễn ba câu phân loại Bộ ba câu thường rơi vào chủ đề Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình, Hình học tọa độ phẳng, Bất đẳng thức - Tìm GTLN, GTNN Nhóm biên soạn tài liệu gồm có NE T Nhằm mục đích cung cấp thêm cho bạn chuẩn bị tham gia kì thi THPT Quốc gia 2016 tài liệu tham khảo hữu ích, thành viên Diễn đàn toán học VMF biên soạn tài liệu Tài liệu bố cục gồm ba phần Phần đầu, chúng tơi tóm tắt vài lý thuyết tương ứng với chủ đề nói để bạn đọc tra cứu dễ dàng cần thiết Phần hai, nội dung tài liệu, chúng tơi tổng hợp lại ba câu phân loại đề thi thử năm học 2014 - 2015 Phần hướng dẫn, đáp số chủ yếu dựa đáp án đơn vị đề, nhiên số toán chúng tơi có đưa cách tiếp cận khác hướng dẫn sơ lược có đáp số nhằm giúp bạn đọc chủ động trình đọc tài liệu Chúng nhấn mạnh rằng, cách làm tài liệu chưa tốt nhất, bạn đọc không nên coi trọng lời giải mang đậm chất kĩ thuật, khó định hướng tự nhiên HCM (Katyusha); THS • Bạn Trần Tuấn Anh, Nguyễn Nguyên Trang - Sinh viên khoa Tốn ĐH Sư phạm TP • Bạn Trương Việt Hồng - THPT Nguyễn Du, Thái Bình (Viet Hoang 99); • Thầy Châu Ngọc Hùng - Ninh Thuận (hungchng); • Thầy Nguyễn Cơng Định - Cà Mau (CD13); TM A • Thầy Hồng Ngọc Thế - Hà Nội (E.Galois); • Thầy Lê Minh An - Nam Định (leminhansp); • Bạn Trần Trung Kiên - TP HCM (Ispectorgadget) VIE Mặc dù biên soạn tài liệu với tất tận tâm, tinh thần cộng đồng vơ tư Nhưng tỉ mỉ cố gắng chắn chưa thể kiểm sốt hết sai sót Vì nhiệt tâm từ phía bạn đọc giúp tài liệu hoàn thiện Mọi trao đổi chia sẻ với chúng tơi Diễn đàn tốn học VMF (http://diendantoanhoc.net) Sau cùng, hi vọng cộng đồng chia sẻ trực tuyến dành cho tôn trọng tối thiểu cách ghi rõ nguồn tài liệu chia sẻ Không dùng tài liệu để trục lợi cá nhân Chúng tơi xin cảm ơn! Nhóm biên tập http://diendantoanhoc.net Trang Mục lục I PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 14 NE T Lý thuyết chung 1.1 Hệ tọa độ 1.2 Phương trình đường thẳng 1.2.1 Vectơ phương vectơ pháp tuyến đường thẳng: 1.2.2 Phương trình đường thẳng 1.2.3 Vị trí tương đối điểm đường thẳng 1.3 Góc khoảng cách 1.4 Phương trình đường tròn 1.5 Phương trình Elip TM A THS Một số kĩ thuật 2.1 Kĩ thuật xác định tọa độ điểm 2.1.1 Dựa vào hệ điểm 2.1.2 Xác định tọa độ giao điểm hai đường 2.1.3 Điểm thuộc đường 2.2 Tìm tọa độ hình chiếu điểm lên đường thẳng 2.3 Tìm tọa độ điểm đối xứng điểm qua đường thẳng 2.4 Viết phương trình đường thẳng qua điểm, cách điểm cho trước khoảng cho trước 2.5 Viết phương trình đường thẳng qua điểm, tạo với đường thẳng khác góc cho trước 2.6 Viết phương trình đường phân giác góc 2.7 Viết phương trình đường trịn qua ba điểm 2.8 Viết phương trình đường thẳng qua hai tiếp điểm đường tròn 14 14 14 14 14 15 15 16 16 17 17 17 17 18 19 19 20 21 21 23 23 VIE Phương pháp giải toán 24 3.1 Phương pháp chung 24 3.2 Một số hướng khai thác giả thiết 24 3.3 Ví dụ 25 II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 29 29 29 29 29 30 30 30 Trục thức 1.1 Trục thức để xuất nhân tử chung 1.1.1 Phương pháp 1.1.2 Ví dụ 1.2 Đưa “hệ tạm” 1.2.1 Phương pháp 1.2.2 Ví dụ Biến đổi phương trình tích 31 2.1 Các biến đổi thường dùng 31 2.2 Ví dụ 31 Trang http://diendantoanhoc.net Phương pháp đặt ẩn phụ 3.1 Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường 3.2 Đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc biến 3.2.1 Phương trình dạng: a.A (x) + bB (x) = c A (x) B (x) 3.2.2 Phương trình dạng: αu + βv = mu + nv 3.3 Phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn 33 33 35 36 37 38 39 39 41 41 42 Phương pháp lượng giác hóa 5.1 Một số kiến thức 5.2 Xây dựng phương trình vơ tỉ phương pháp lượng giác hóa 5.3 Một số ví dụ 44 44 44 45 Phương pháp dùng Bất đẳng thức 46 NE T Phương pháp đưa hệ phương trình 4.1 Đặt ẩn phụ đưa hệ thông thường 4.2 Đặt ẩn phụ đưa hệ đối xứng loại II 4.2.1 Hệ đối xứng 4.2.2 Dạng hệ gần đối xứng 48 THS Phương pháp hàm số III MỘT SỐ KĨ THUẬT CHỨNG MINH BĐT 51 TM A Những BĐT cổ điển thường dùng 51 1.1 BĐT hai biến 51 1.2 BĐT ba biến 51 VIE Một số kĩ thuật chứng minh BĐT 2.1 Kĩ thuật ghép đối xứng 2.2 Kĩ thuật tách ghép 2.3 Kỹ thuật dùng BĐT 2.4 Kĩ thuật dùng miền xác định biến số 2.5 Một số cách biến đổi điều kiện thường gặp 2.6 BĐT 2.7 Kĩ thuật sử dụng hàm số 51 51 53 55 58 60 62 65 IV BỘ BA CÂU PHÂN LOẠI TRONG MỘT SỐ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 68 Đề minh hoạ THPT 2015 68 Đề Sở GD-ĐT Phú Yên 68 THTT số 453 tháng 04 năm 2015 68 THPT Số Bảo Thắng (Lào Cai) 69 THPT Bố Hạ (Bắc Giang) 69 http://diendantoanhoc.net Trang 69 THPT chuyên Hà Tĩnh 69 THPT Đặng Thúc Hứa (Nghệ An) 70 THPT Đông Đậu (Vĩnh Phúc) 70 10 THPT chuyên Hưng Yên 70 11 THPT chuyên Lê Hồng Phong (Hồ Chí Minh) 71 12 THPT Lê Xoay (Vĩnh Phúc) 71 13 THPT Lục Ngạn số (Bắc Giang) 71 14 THPT Lương Ngọc Quyến (Thái Nguyên) 15 THPT Lương Thế Vinh (Hà Nội) lần 17 THPT Minh Châu (Hưng Yên) THS 16 THPT Lương Văn Chánh (Phú Yên) NE T THPT Chu Văn An (Hà Nội) 71 72 72 72 18 THPT Nguyễn Trung Thiên (Hà Tĩnh) lần 73 19 THPT Phủ Cừ (Hưng Yên) 73 TM A 20 THPT Quỳnh Lưu (Nghệ An) 73 74 22 THPT Thiệu Hóa (Thanh Hóa) 74 23 THPT Thuận Châu (Sơn La) 75 VIE 21 THPT Thanh Chương III (Nghệ An) 24 THPT Tĩnh Gia I (Thanh Hóa) 75 25 THPT Thanh Chương I (Nghệ An) 75 26 THPT Cẩm Bình (Hà Tĩnh) 76 27 THPT Lý Thái Tổ (Bắc Ninh) 76 28 THPT Nghèn (Hà Tĩnh) 76 29 THPT chuyên Trần Quang Diệu (Đồng Tháp) 77 30 THPT Nguyễn Thị Minh Khai (TP HCM) 77 31 THPT Như Thanh (Thanh Hóa) 77 32 THPT Chuyên Hạ Long (Quảng Ninh) 78 Trang http://diendantoanhoc.net 78 34 THPT chuyên Vĩnh Phúc - Khối D 78 35 THPT Hồng Quang (Hải Dương) 79 36 THPT Lương Thế Vinh (Hà Nội) lần 79 37 THPT Thường Xuân (Thanh Hóa) 79 38 THPT Tĩnh Gia II (Thanh Hóa) 80 39 THPT Triệu Sơn (Thanh Hóa) 80 40 Trung tâm dạy thêm văn hóa (THPT Chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM) 80 41 THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 81 NE T 33 THPT chuyên Vĩnh Phúc - Khối AB 42 THPT Đồng Lộc (Hà Tĩnh) THS 43 THPT Hậu Lộc (Thanh Hóa) 44 Đề 44 45 Sở GDĐT Vĩnh Phúc (lần 1) 47 Sở GDĐT TP Hồ Chí Minh 48 Sở GDĐT Thanh hóa 49 Sở GDĐT Quảng Ngãi 51 Sở GDĐT Lào Cai 52 Sở GDĐT Lâm Đồng VIE 50 Sở GDĐT Quảng Nam TM A 46 Sở GDĐT Vĩnh Long 81 81 82 82 82 83 83 83 84 84 84 53 Sở GDĐT Bình Dương 85 54 THPT Nguyễn Văn Trỗi 85 55 THPT Chuyên ĐH Vinh 85 56 THPT Thủ Đức (TP Hồ Chí Minh) 86 57 THPT Nơng Cống (Thanh Hóa) lần 86 58 THPT Nguyễn Trung Thiên lần 86 59 THPT Lam Kinh 87 http://diendantoanhoc.net Trang 87 61 THPT Đa Phúc (Hà Nội) 87 62 THPT Lạng Giang I (Bắc Giang) 88 63 THPT Lý Tự Trọng (Khánh Hòa) 88 64 THPT Quảng Hà 88 65 THPT Thống 89 66 THPT Hồng Quang (Hải Dương) 89 67 THPT Sông Lô (Vĩnh Phúc) 89 NE T 60 THPT Cù Huy Cận (Hà Tĩnh) 68 THPT chuyên Nguyễn Huệ (Quảng Nam) lần 90 69 THPT chuyên Hùng Vương (Phú Thọ) 90 71 Chuyên Lê Quý Đôn (Bình Định) 72 Chuyên ĐH Vinh lần TM A 73 Chuyên Hùng Vương (Gia Lai) THS 70 Chuyên Nguyễn Huệ (Quảng Nam) 90 91 91 91 V HƯỚNG DẪN VÀ LỜI GIẢI 92 Đề minh họa THPT Quốc gia 2015 92 Sở GDĐT Phú Yên 93 VIE THTT Số 453 95 THPT Số Bảo Thắng (Lào Cai) 96 THPT Bố Hạ (Bắc Giang) 98 THPT Chu Văn An (Hà Nội) 99 THPT Chuyên Hà Tĩnh 101 THPT Đặng Thúc Hứa (Nghệ An) 102 THPT Đông Đậu (Vĩnh Phúc) 104 10 THPT Chuyên Hưng Yên 105 11 THPT Chuyên Lê Hồng Phong (TP HCM) 107 12 THPT Lê Xoay (Vĩnh Phúc) 108 Trang 10 http://diendantoanhoc.net   u=3 x2 − y = ⇐⇒ ⇐⇒  x+y =9 v =9 • x =5 y =4 (thỏa mãn) Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm: (5; 3), (5; 4) Bài Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: abc = Chứng minh rằng: a 2+b a + b 2+c b + c 2+a c ≥1 Ta có: a 2+b a Tương tự: = a a + ba ≥ a + a + ba b 2+c b 2+a c a b 2+c b + c ≥ b + b + bc ≥ c + c + ac a b c + + + a c + a + ba + b + cb + c + ac abc b cb = + bc + bc a + babc + b + cb b + bc + abc b cb + =1 = bc + + b + b + cb b + bc + ≥ TM A 2=b a + (do + a ≥ a) THS c Cộng theo vế BĐT trên, ta có: NE T Lời giải 68 VIE Ta có điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy a = b = c = THPT Chuyên Nguyễn Huệ (Quảng Nam) lần Bài Cho đường tròn (C ) có phương trình x + y − 2x − 4y + = P (2; 1) Một đường thẳng d qua P cắt đường tròn A B Tiếp tuyến A B đường trịn cắt M Tìm tọa độ M biết M thuộc đường tròn (C ) : x + y − 6x − 4y + 11 = Lời giải Đường tròn (C ) có tâm I (1; 2), bán kính R = Gọi M (a; b) Vì M ∈ (C ) nên a + b − 6a − 4b + 11 = Gọi K trung điểm I M , suy K Trang 216 (a) a +1 b +2 ; 2 http://diendantoanhoc.net Phương trình đường trịn đường kính I M : a +1 x− 2 b +2 + y− 2 = (a − 1)2 (b − 2)2 + 4 ⇐⇒ x + y − (a + 1)x − (b + 2)y − a − 2b = Vì A, B thuộc (C ) (I M ) nên suy phương trình đường thẳng AB : (a −1)x +(b −2)y +1−a −2b = Do P ∈ AB =⇒ a − b − = a =4 =⇒ M (4; 1) b=1 NE T Từ (a) (b) suy (b) Bài Giải hệ phương trình x + y + 2y − + x − y = (x, y ∈ R) y2 + = x y + y Đặt a =   2y − ≥ y≥ ⇐⇒  x ≥ y2 x−y ≥0 2y − 1, b =    a2 + x − y (a, b ≥ 0) Khi   x − y = b2 Khi hệ cho trở thành =⇒ x + y = a + + b a2 + b2 + a + b − = a2b2 + a2 + b2 − =  S + S − 2P = S = a +b (S, P ≥ 0, S ≥ 4P ) ta P + S − 2P = P = ab (a) (b) VIE Đặt y= TM A Điều kiện THS Lời giải Trừ (a) cho (b) ta S − P = =⇒ S = P + Thay S = P + vào (b) ta P + P + 2P + − 2P = ⇐⇒ P + 3P − 2P − = ⇐⇒ (P − 1)(P + P + 4P + 2) = ⇐⇒ P =1 P + P + 4P + = Vì P ≥ nên (∗) ⇐⇒ P = =⇒ S = Từ a = b = =⇒ x =2 y =1 Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (2; 1) http://diendantoanhoc.net Trang 217 Bài Với a, b, c số thực thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức P = a + b + c + 3(ab + bc + c a) Hướng dẫn Kí hiệu P = P (a, b, c) = a + b + c + 3(ab + bc + c a) Dễ thấy cần xét a, b, c ≥ b2 + c , p = bc Ta chứng minh: NE T Giả sử a = max{a, b, c} đặt s = P (a, b, c) ≤ P (a, s, s) (81) Khi đó, để ý a + s + s = 3, toán đưa trường hợp có hai số Viết lại biểu thức theo s p , ta có: P (a, b, c) = 4s − 2p + 3p + 3a 3a THS Xem f (p) hàm số biến p : f (p) = −4p + + Vì ≤ p ≤ s ≤ ≤ a nên: f (p) ≥ −4 + + Do f (p) đồng biến [0, s] Suy ra: 2s + 2p = f (p) 2s + 2p 2+2 = >0 TM A f (p) ≤ f (s) = P (a, s, s) 69 VIE (81) chứng minh xong Bây cần xét tốn có hai số (cụ thể trường hợp a ≥ ≥ b = c ) Bài toán trở thành biến, tính đạo hàm lập bảng biến thiên ta dễ dàng tìm max a = b = c = a = 2b = 2c = THPT Chuyên Hùng Vương (Phú Thọ) Bài Trong mặt phẳng hệ tọa độ Ox y , cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM đường cao AH có phương trình 13x − 6y − = 0, x − 2y − 14 = Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC I (−6; 0) Lời giải Tọa độ A nghiệm hệ: x − 2y − 14 = =⇒ 13x − 6y − = Kẻ đường kính A A đường trịn ngoại tiếp Trang 218 x = −4 =⇒ A(−4; −9) y = −9 ABC http://diendantoanhoc.net A Khi A (−8; 9) Gọi K trực tâm ABC Dễ thấy B K C A có cặp cạnh đối song song nên B K C A hình bình hành Do M trung điểm A K Vì K M nằm đường thẳng AH AM nên tọa độ K (2k + 14, k) M m, M làtrung điểm A K , suy ra:  2k + 14 − = 2m 13m − =⇒  k + = I 13m − K H k = −1 =⇒ m=2 B K (12; −1) M (2; 4) C M A −−→ NE T Đường thẳng BC qua M nhận AK làm vtpt nên BC : 2x + y − = Giả sử B (b; − 2b) Vì I tâm đường trịn ngoại tiếp ABC nên I A = I B ⇐⇒ + 81 = (b + 6)2 + (2b − 8)2 ⇐⇒ b=3 b=1 Với b = ta có B (3; 2) Do C đối xứng với B qua M nên C (1; 6) Bài Giải bất phương trình 2x + x > 11 + THS Với b = ta có B (1; 6) Do C đối xứng với B qua M nên C (3; 2) x −2 TM A Lời giải Điều kiện x ≥ 0, x = Bất phương trình cho tương đương: 2(x − 2) + x > + 7x ⇐⇒ 2(x − 2) + x > x −2 x −2 Dễ thấy x = không làm nghiệm bất phương trình Đặt t = x −2 x x ta VIE Xét < x = 2, chia vế BPT cho 2(x − 2) x +5 > x x −2 , BPT trở thành  t >1 2t + 5t − 2t + > ⇐⇒ > ⇐⇒ t (2t + 7)(t − 1) > ⇐⇒  − hay x ( x + 1)( x − 2) > ⇐⇒ x > x 7 x −2 Với − < t < ta có − < < hay 2 x 0 0, x, y ∈ R a b a +b THS Ta chứng minh đánh giá sau (a + b)2 − (a + b) (a + b)2 + = + −1 P≥ 2+a +b a +b a +b +2 a +b Khảo sát hàm số f (t ) = TM A (a + b)2 Đặt t = a + b , = a + b + ab ≤ a + b + =⇒ a + b ≥ nên t ≥ t2 3 + − với t ≥ ta thu f (t ) ≥ f (2) = t +2 t Vậy P ≥ Đẳng thức xảy a = b = Vậy P = VIE t2 3 Nhận xét Để tìm GTNN biểu thức + ta sử dụng kĩ thuật túy BĐT t +2 t sau: t2 t +2 1 t2 t (t + 2).2 + = + + − ≥3 − = t +2 t t +2 2t t (t + 2).2t t 2 Đẳng thức xảy t = hay a = b = 71 THPT Chuyên Lê Quý Đôn (Bình Định) Bài Trong mặt phẳng hệ tọa độ Ox y , cho hình thang cân ABC D ( AD ∥ BC ) có phương trình đường thẳng AB : x −2y +3 = đường thẳng AC : y −2 = Gọi I giao điểm AC B D Tìm tọa độ đỉnh hình thang cân ABC D , biết I B = I A 2, hoành độ I lớn −3 M (−1; 3) nằm đường thẳng B D Trang 222 http://diendantoanhoc.net Lời giải A A = AB ∩ AC =⇒ A(1; 2) D E Lấy E (0; 2) ∈ AC Suy E A = Qua E kẻ đường thẳng song song B D cắt AB F Theo I M F EA IA = =⇒ E F = E A = EF IB B C −→ Vì F ∈ AB =⇒ F (2t − 3; t ) Do E F = (2t − 3; t − 2)  t =1 11 Suy (2t − 3)2 + (t − 2)2 = ⇐⇒  t= −→ −→ Với t = F (−1; 1) =⇒ E F = (−1; −1) Vì E F ∥ B D nên E F vtcp B D , M ∈ B D nên phương trình B D : x − y + = Và I = B D ∩ AC =⇒ I (−2; 2) NE T định lý Thales Vì B = B D ∩ AB =⇒ B (−5; −1) Bởi ABC D hình thang cân nên −→ −→ 2.I D =⇒ I B = − I D =⇒ D −→ −→ IA=− IC =⇒ C (−3 − 2; 2) Với t = − 2; +2 THS IB IB = =⇒ I B = I A ID 11 −→ E F = ; vtcp B D , từ phương trình B D : x − 7y + 22 = 5 TM A I = B D ∩ AC =⇒ I (−8; 2) (loại x I > −3) Bài VIE    (1 − y)(x − 3y + 3) − x = (y − 1)3 x (x, y ∈ R) Giải hệ phương trình   x − y + x − = 2(y − 2) Lời giải    y ≥1 Điều kiện x ≥ y   x ≥0 ⇐⇒ x2 ≥ y x ≥ 1, y ≥ Đánh số phương trình đầu (a), phương trình sau (b) (a) ⇐⇒ 3(y − 1)2 − x(y − 1) − x = (y − 1) y −1 x Nhận xét y = không nghiệm hệ Xét y > 1, chia vế (a) cho (y − 1)2 ta được: x x 3− − y −1 y −1 Đặt t = = x y −1 x (t > 0), ta có: y −1 t + t + t − = ⇐⇒ http://diendantoanhoc.net t =1 ⇐⇒ t = t + t + 2t + = (do t > 0) Trang 223 Với t = y = x + 1, thay vào phương trình (b) ta x2 − x − + x − = 2(x − 1) ⇐⇒ x2 − x − + ⇐⇒ x2 − x − + ⇐⇒ x2 − x − 1 + x − − (x − 1)3 3 (x − 4)2 + x − 4.(x − 1) + (x − 1)2 6(x − x − 1) =0 (x − 4)2 + x − 4.(x − 1) + (x − 1)2 x2 − x − (x − 4)2 + x − 4.(x − 1) + (x − 1)2 =0 =0 ⇐⇒ x − x − = Với x = 1+ 1+ 3+ =⇒ y = 2 So điều kiện hệ có nghiệm (x, y) = 1+ 3+ , 2 THS Bài (x ≥ 1) NE T ⇐⇒ x = Cho x, y hai số thực dương thỏa mãn 2x + 3y ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 2x y + y + 5(x + y ) − 24 8(x + y) − (x + y + 3) Ta có 5(x + y ) = TM A Lời giải (4 + 1)(x + y ) ≥ 2x + y Và (x + y − 3)2 = x + y + + 2x y − 6(x + y) ≥ nên 2(x y + x + y + 3) ≥ 8(x + y) − (x + y + 3) Từ suy P ≥ 2(x y + x + y) − 24 2(x y + x + y + 3) VIE Mặt khác từ giả thiết suy (2x + 3y + 5)2 x + y + x y = (x + 1)(y + 1) − = (2x + 2)(3y + 3) − ≤ −1 ≤ 24 Đặt t = 3 2(x + y + x y + 3) < t ≤ 2 3 Xét hàm số f (t ) = t − − 24t với < t ≤ 2 Ta có f (t ) = 3t − 24 < ∀t ∈ (0; 2] 3 Vậy f (t ) nghịch biến (0; 2] Do f (t ) ≥ f (2 2) = 10 − 48 3 Vậy P ≥ 10 − 48 Đẳng thức xảy a = 2, b = Vậy P = 10 − 48 Trang 224 http://diendantoanhoc.net 72 THPT Chuyên ĐH Vinh lần Bài ; có đường trịn ngoại tiếp (C ) tâm I Biết điểm M (0; 1), N (4; 1) đối xứng I qua đường thẳng AB, AC , đường thẳng BC qua điểm K (2; −1) Viết phương trình đường trịn (C ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y , cho tam giác ABC có trọng tâm G Lời giải A =⇒ NE T Gọi H , E trung điểm M N , BC =⇒ H (2; 1) Từ giả thiết ta suy I AM B, I ANC hình thoi Suy AM N , I BC tam giác cân N Hc AH ⊥ M N I E ⊥ BC G =⇒ AH E I hình bình hành =⇒ G trọng tâm tam giác H E I =⇒ HG cắt I E F trung điểm I E Từ BC ∥ M N K (2; −1) ∈ BC Ta viết được: BC : y + = THS K Mặt khác: I F E B TM A −−→ −−→ H F = HG =⇒ F 3; − 2 C M E F ⊥ BC =⇒ E F : x = =⇒ E (3; −1) Vì F trung điểm I E nên I (3; 0) R = I A = H E = Bài Giải bất phương trình: VIE Suy phương trình (C ) (x − 3)2 + y = 3(x − 1) 2x + < 2(x − x ) (82) Lời giải Điều kiện: x ≥ − Với điều kiện trên, ta có: (82) ⇐⇒ (x − 1)[2x − 3(x + 1) 2x + 1] > ⇐⇒ (x − 1)[2(x + 1)2 − 3(x + 1) 2x + − 2(2x + 1)] > ⇐⇒ (x − 1)(x + − 2x + 1)[2(x + 1) + 2x + 1] > ⇐⇒ (x − 1)(x + − 2x + 1) > http://diendantoanhoc.net (a) Trang 225 ∀x ≥ − , ta xét hai trường hợp sau: Do 2(x + 1) + 2x + > 0, +) − ≤ x < Khi đó: (a) ⇐⇒ (x + − 2x + 1) < ⇐⇒ x − 6x − < ⇐⇒ − < x < + Đối chiếu điều kiện, ta nghiệm − < x < +) x > Khi đó: (1 ) ⇐⇒ (x + − 2x + 1) > ⇐⇒ x − 6x − > ⇐⇒ x > 3+2 x < 3−2 Kết hợp điều kiện, ta nghiệm x > + Vậy ta nghiệm bất phương trình − < x < x > + .NE T Bài Giả sử x, y, z số thực dương thỏa mãn x + z ≤ 2y x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức P= xy yz + − y + + z2 + x2 x3 z3 Từ giả thiết ta có: xz ≤ y THS Lời giải Chú ý rằng, với x, y ≥ a, b ta có: (x + y)2 x y ≤ + a +b a b (83) TM A Thật vậy, (83) tương đương với (a y − bx)2 ≥ Khi đó: (z + y)2 yz (x + y)2 xy + − y3 + + − y + ≤ 2 3 2 1+z 1+x x z 4(1 + z ) 4(1 + x ) x z 2 (z + y) (x + y) + − y3 + = 2 2 2 4(x + y + 2z ) 4(2x + y + z ) x z P= x2 y2 z2 y2 − y + + + + x2 + z2 z2 + y x2 + z2 x2 + y x3 z3 = 1 y2 y2 1 + + − y3 + 2 2 4 z +y x +y x z ≤ 1 y2 y2 1 + + − y3 + 4 2y z 2x y x z = 1 y y y3 y3 + + − 3+ z x x z VIE ≤ 1 + 1 ≤ + 1 = + ≤ Trang 226 y y y y y2 y y − +3 + + + z x x z xz x z y y y y 3 y y y y + − + + + + z x x z x z x z y y y y + − + z x z x http://diendantoanhoc.net Đặt t = y2 1 ≥ Khi P ≤ − t + t + zx y y + , t ≥2 z x Xét hàm số f (t ) = − t + t + Suy max f (t ) = f (2) = − [2;+∞) với t ≥ Ta có f (t ) = − t + < 0, ∀t ≥ 4 3 Suy P ≤ − , dấu đẳng thức xảy x = y = z = 3 Vậy giá trị lớn P − , dấu" = "xảy x = y = z = THPT Chuyên Hùng Vương (Gia Lai) NE T 73 Bài THS Trong mặt phẳng tọa độ Ox y , cho hình chữ nhật ABC D có diện tích 16, đường thẳng AB, BC ,C D, D A qua điểm M (4; 5), N (6; 5), P (5; 2),Q(2; 1) Viết phương trình đường thẳng AB Lời giải AB qua M (4; 5) nên phương trình AB có dạng: ax + b y − 4a − 5b = (a + b = 0) Ta có diện tích hình chữ nhật: TM A BC ⊥ AB BC qua N (6; 5) =⇒ phương trình BC có dạng bx − a y − 6b + 5a = S = d (P,AB ) d (Q,BC ) = 16 |a − 3b| |4a − 4b| = 16 a2 + b2 a2 + b2 ⇐⇒ a − 4ab + 3b = ±4(a + b ) ⇐⇒ 3a + 4ab + b = 5a − 4ab + 7b = ⇐⇒ a +b = 3a + b = VIE ⇐⇒ (vô nghiệm) +Với a + b = 0, chọn a = 1, b = −1 ta phương trình AB là: x − y + = +Với 3a + b = 0, chọn a = 1, b = −3 ta phương trình AB : x − 3y + 11 = Bài Giải hệ phương trình: x − x y − y = 2x − x + (1) (x, y ∈ R) 2 y + x + + 16 − 3y = 2x − 4x + 12 (2) Lời giải http://diendantoanhoc.net Trang 227   x ≥ −2 16 ĐK:  y≤ Phương trình (1) =⇒ (x − y − 2).(x + 1) = ⇐⇒ y = x − Thay vào phương trình (2) ta được: 16 − 3(x − 2) = 2x − 4x + 12 (x − 2)2 + x + + ⇐⇒ x + + 22 − 3x = x + ⇐⇒ (x − 4) + 4(2 − x + 2) + (4 − 22 − 3x) = ⇐⇒ (x − 2) (x + 2) − + 22 − 3x =0 x − = =⇒ y = (x + 2) − + =0 + x + + 22 − 3x Giải (*), ta xét hàm số: f (x) = (x + 2) − f (x) = + x + 2(2 + 2+ x +2 x + 2)2 + + 22 − 3x 22 − 3x(4 + =⇒ f (x) liên tục đồng biến đoạn −2; Từ đó: + NE T  ⇐⇒  2+ x +2 + (∗) đoạn −2; THS  22 − 3x)2 ≥0 22 ∀x ∈ −2; 22 22 22 , mà −1 ∈ −2; f (−1) = 3 TM A (∗) =⇒ f (x) = f (−1) ⇐⇒ x = −1 ⇐⇒ y = −3 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x; y) = (2; 0) (x; y) = (−1; −3) Bài VIE Cho x; y; z số thực thuộc đoạn [1; 2] Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= (x + y)2 2(x + y + z)2 − 2(x + y ) − z Lời giải Ta có P= (x + y)2 (x + y)2 (x + y)2 = = 2(x + y + z)2 − 2(x + y ) − z z + 4(x y + y z + zx) z + 4(x + y)z + 4x y Ta có 4x y ≤ (x + y)2 nên P≥ Đặt t = (x + y) x y + z z z + (x + y)z + (x + y)2 = 1+4 x y x y + + + z z z z x y + , x, y, z ∈ [1; 2] nên t ∈ [1; 4] z z Trang 228 http://diendantoanhoc.net Ta có f (t ) = t 4t + 2t , f (t ) = >0 + 4t + t (1 + 4t + t )2 t ∈ [1; 4] Hàm số f (t ) đồng biến [1; 4] nên f (t ) đạt GTNN    x=y ⇐⇒ Dấu " = " xảy z = x + y   x, y, z ∈ [1; 2] x =y =1 z =2 x = y = 1; z = VIE TM A THS NE T Vậy P = t = http://diendantoanhoc.net Trang 229 Tài liệu [1] Phạm Kim Hùng, Sáng tạo Bất đẳng thức [2] Võ Quốc Bá Cẩn, Một số kỹ thuật nhỏ để sử dụng Cauchy - Schwarz [3] Nguyễn Anh Văn, Lê Hồng Nam, Chinh phục Hình học Giải tích mặt phẳng [4] Lê Minh An, Tuyển tập toán Elip ơn thi Đại học [5] Hồng Ngọc Thế, Khám phá cách giải số tốn hình học giải tích mặt phẳng [6] Hồng Ngọc Thế, Bài tốn phụ toán khảo sát hàm số VIE TM A THS NE T [7] Các topic thảo luận http://diendantoanhoc.net Trang 230 http://diendantoanhoc.net ... soạn tài liệu gồm có NE T Nhằm mục đích cung cấp thêm cho bạn chuẩn bị tham gia kì thi THPT Quốc gia 2016 tài liệu tham khảo hữu ích, thành viên Diễn đàn tốn học VMF biên soạn tài liệu Tài liệu. .. TRONG MỘT SỐ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 68 Đề minh hoạ THPT 2015 68 Đề Sở GD-ĐT Phú Yên 68 THTT số 453 tháng 04 năm 2015 68 THPT Số Bảo Thắng (Lào Cai) 69 THPT Bố Hạ (Bắc Giang) 69 http://diendantoanhoc.net... Trang 87 61 THPT Đa Phúc (Hà Nội) 87 62 THPT Lạng Giang I (Bắc Giang) 88 63 THPT Lý Tự Trọng (Khánh Hòa) 88 64 THPT Quảng Hà 88 65 THPT Thống 89 66 THPT Hồng Quang (Hải Dương) 89 67 THPT Sông Lô