Tóm tắt kiến thức Giải 1, 2, 3, 4, trang 92 SGK đại số giải tích 11: Dãy số – Chương A.Tóm tắt kiến thức Dãy số Định nghĩa a) Mỗi hàm số u xác định tập số nguyên dương N* gọi dãy số vô hạn (gọi tắt dãy số) Kí hiệu: u: N* → R n → u(n) Dãy số thường viết dạng khai triển u1, u2,u3, ….,un,…., un = u(n) số hạng thứ n gọi số hạng tổng quát, u1 số hạng đàu dãy số (un ) b) Mỗi hàm số u xác định tập M = {1, 2, 3, …, m}, với m ε N* gọi dãy số hữu hạn Dạng khai triển là: u1, u2,u3, ….,um, u1là số hạng đầu, Um số hạng cuối Cách cho dãy số a) Dãy số cho công thức số hạng tổng quát Khi Un = f(n), f hàm số xác định N* Đây cách thông dụng (giống hàm số) biết giá trị n (hay cúng số thứ tự số hạng) ta tính Un b) Dãy số cho phương pháp mô tả Người ta cho mệnh đề mô tả cách xác định số hạng liên tiếp dãy số Tuy nhiên, thường không tìm Un với n tuỳ ý c) Dãy số cho phương pháp truy hồi (hay quy nạp) – Cho số hạng thứ (hoặc vài số hạng đầu) – Với n ≥ 2, cho công thức tính Un biết Un-1 (hoặc vài số hạng đứng trước đó) Chẳng hạn, công thức là: 3) Dãy số tăng, dãy số giảm – Dãy số Un gọi dãy số tăng un+1 > un với n ∈ N* ; – Dãy số Un gọi dãy số giảm un+1 < un với n ∈ N* Phương pháp khảo sát tính đơn điệu dãy số (Un): Phương pháp 1: Xét hiệu H = un+1 – un – Nếu H > với n ∈ N* dãy số tăng – Nếu H < với n ∈ N* dãy số giảm Phương pháp 2: Dãy số bị chặn – Dãy số Un gọi bị chặn tồn số M cho Un ≤ M, với n ∈ N* – Dãy số Un gọi bị chặn tồn số m cho Un ≥ m, với n ∈ N* – Dãy số Un gọi bị chặn vừa bị chặn trêm vừa bị chặn tức tồn hai số m, M cho: m ≤ Un ≤ M, với n ∈ N* Bài trước: Giải 1,2,3,4,5 trang 82,83 SGK đại số giải tích 11: Phương pháp quy nạp toán học A Đáp án hướng dẫn giải kiến thức Dãy số trang 92 Bài trang 92 SGK đại số giải tích 11 Bài Viết năm số hạng đầu dãy số có số hạng tổng quát un cho công thức: Đáp án Hướng dẫn giải 1: a) Năm số hạng đầu dãy số u1 = 1; u2 = 2/3, u3 = 3/7; u4 =4/15; u5 =5/31 b) Năm số hạng đầu dãy số u1 = 1/3; u2 = 3/5, u3 = 7/9; u4 =15/17; u5 =31/33 c) Năm số hạng đầu dãy số u1 = 2; u2 = 9/4, u3 = 64/27; u4 = 625/256; u5 = 7776/3125 d) Năm số hạng đầu dãy số u1 = 1/√2; u2 = 2/√5, u3 = 3/√10; u4 =4/√17; u5 =5/√26 Bài trang 92 SGK đại số giải tích 11 Cho dãy số Un , biết: u1 = -1; un+1 = un +3 với n ≥ a) Viết năm số hạng đầu dãy số b) Chứng minh phương pháp quy nạp: un = 3n -4 Đáp án Hướng dẫn giải 2: a) Năm số hạng đầu dãy số -1, 2, 5, 8, 11 b) Chứng minh un = 3n – phương pháp quy nạp: Với n =1 u1 3.1 – = -1, Giả sử hệ thức với n = k ≥ 1, tức uk = 3k -4 Ta chứng minh hệ thức với n = k + Thật vậy, theo công thức dãy số giả thiết quy nạp, ta có: uk+1 = uk + = 3k – + = 3(k + 1) – Vậy hệ thức với n ∈ N* , tức công thức chứng minh Bài trang 92 SGK đại số giải tích 11 Dãy số un cho bởi: u1 = 3; , n ≥ a) Viết năm số hạng đầu dãy số b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát chứng minh côngt hức phương pháp quy nạp Đáp án Hướng dẫn giải 3: a) Năm số hạng đầu dãy số 3, √10, √11, √12, √13 b) Ta có: u1 = = √9 = √(1 + 8) u2 = √10 = √(2 + 8) u3 = √11 = √(3 + 8) u4 = √12 = √(4 + 8) ……… Từ ta dự đoán un = √(n + 8), với n ∈ N* (1) Chứng minh công thức (1) phương pháp quy nạp: – Với n = 1, rõ ràng công thức (1) – Giả sử (1) với n = k ≥ 1, tức có uk = √(k + 8) với k ≥ Theo công thức dãy số, ta có: Như công thức (1) với n = k + Vậy công thức (1) chứng minh Bài trang 92 SGK đại số giải tích 11 Xét tính tăng, giảm dãy số un biết: Đáp án Hướng dẫn giải 4: a) Vậy dãy số cho dãy số giảm b) Xét hiệu Vậy un+1 > un với n ε N* hay dãy số cho dãy số tăng c) Các số hạng ban đầu có thừa số (-1)n, nên dãy số dãy số không tăng không giảm d) Làm tương tự câu a) b) lập tỉ số un+1 / un (vì un > với n ε N* ) so sánh với Ta có với n N* Vậy dãy số cho dãy số giảm dần Bài trang 92 SGK đại số giải tích 11 Trong dãy số sau, dãy số bị chặn dưới, dãy số bị chặn trên, dãy số bị chặn? ... dẫn giải kiến thức Dãy số trang 92 Bài trang 92 SGK đại số giải tích 11 Bài Viết năm số hạng đầu dãy số có số hạng tổng quát un cho công thức: Đáp án Hướng dẫn giải 1: a) Năm số hạng đầu dãy số. .. so sánh với Ta có với n N* Vậy dãy số cho dãy số giảm dần Bài trang 92 SGK đại số giải tích 11 Trong dãy số sau, dãy số bị chặn dưới, dãy số bị chặn trên, dãy số bị chặn? ... dãy số, ta có: Như công thức (1) với n = k + Vậy công thức (1) chứng minh Bài trang 92 SGK đại số giải tích 11 Xét tính tăng, giảm dãy số un biết: Đáp án Hướng dẫn giải 4: a) Vậy dãy số cho dãy