BË GIÁO DƯC VÀ ĐÀO T„O TRƯÍNG Đ„I HÅC SƯ PH„M HÀ NËI ——————————————— THÂN VĂN TÀI NGHI›M NHỴT CÕA PHƯƠNG TRÌNH Đ„O HÀM RIÊNG PHI TUY˜N ELLIPTIC F D2u(x), x = LUŠN VĂN TH„C SĨ TOÁN HÅC Chun ngành: TỐN GIƒI TÍCH Mã sè: 60.46.01 Ngưíi hưỵng dăn khoa hồc: TS TrƯn Vn Bơng H Nởi - 2011 LÍI CƒM ƠN Trưỵc tiên tơi xin gûi líi cÊm n sõu sc tợi Tián s TrƯn Vn Bơng ngới thƯy ó hợng dăn, ch bÊo tên tỡnh cho tơi st q trình hồn thành luªn văn Tơi xin đưđc gûi líi c£m ơn chân thành án cỏc thƯy, cụ cụng tỏc v tham gia giÊng dÔy phũng Sau Ôi hồc trớng Ôi hồc S phÔm H Nởi Cỏc thƯy, cụ ó nhiằt tỡnh giÊng dÔy cng nh tÔo mồi iÃu kiằn thuên lủi nhĐt cho tụi hon thnh khúa hồc tÔi trớng ỗng thới tụi xin ủc by tọ lũng biát n tợi tĐt cÊ bÔn bố, ỗng nghiằp v ngới thõn ó đëng viên, giúp đï tơi st q trình håc têp v viát luên Mc dự ó dnh nhiÃu thíi gian nghiên cùu tìm hiºu song b£n luªn khụng trỏnh khọi nhỳng hÔn chá, thiáu sút Vỡ vêy tụi rĐt mong nhên ủc ý kián úng gúp cõa quý đëc gi£ đº luªn văn đưđc hồn thi»n Xin chân thành c£m ơn! Hà nëi, ngày 10 tháng 12 năm 2011 Håc viên Thân Văn Tài LÍI CAM ĐOAN Qua q trình nghiên cùu luên vợi à ti "Nghiằm nhợt cừa phng trỡnh Ôo hm riờng phi tuyán Elliptic F D2 u(x), x = 0" giúp hiºu sâu v· bë mụn GiÊi tớch hiằn Ôi, c biằt và bở mụn phng trỡnh Ôo hm riờng phi tuyán Tụi xin cam đoan luªn văn đưđc hồn thành sü cè gng, né lüc tìm hiºu nghiên cùu cõa b£n thõn dợi sỹ dợng dăn, ch bÊo nhiằt tỡnh cừa thƯy giỏo: T.S TrƯn Vn Bơng cng nh cỏc thƯy, tê Tốn gi£i tích cõa trưíng ĐHSP Hà Nëi Tơi xin cam đoan k¸t qõa cõa luên khụng trựng lp vợi cỏc à ti khỏc v mồi thụng tin trớch dăn luên ó ủc ch rừ nguỗn gốc H nởi, ngy 10 thỏng 12 năm 2011 Håc viên Thân Văn Tài -2- Möc löc Möc löc Mð đ¦u Các ki¸n thùc sð 1.1 Thuªt ngú kí hi»u b£n 1.2 Paraboloids tiáp xỳc v tớnh khÊ vi cĐp hai Nghi»m nhỵt cõa phương trình Elliptic, đánh giá Alexandroff v nguyờn lý cỹc Ôi 13 2.1 Nghiằm nhợt cừa phương trình elliptic 14 2.2 Đánh giá Alexandroff nguyờn lý cỹc Ôi 24 B§t đ¯ng thùc Harnack tính nh§t nghi»m 34 3.1 B§t đ¯ng thùc Harnack 34 3.2 Tính nh§t nghi»m 49 Kát luên 58 Tài li»u tham kh£o 59 -1- MÐ Đ†U Lý chån đ· tài Như ó biát, phng trỡnh Ôo hm riờng núi chung v phng trỡnh Ôo hm riờng phi tuyán Elliptic F D2 u(x), x = nói riêng có ùng dưng r§t rởng rói thỹc tá Cú rĐt nhiÃu lnh vỹc nghiờn cựu hiằn Ôi m ú phng trỡnh Ôo hàm riêng đóng vai trị h¸t sùc quan trång như: lý thuyát biu diạn nhúm nhiÃu chiÃu, lý thuyát trớng lủng tỷ, lý thuyát cỏc khụng gian thuƯn nhĐt v vêt lý toỏn Mc dự ủc à cêp tứ rĐt lõu vo khoÊng cuối thá k 18 v Ưu thá k 19, nhng lý thuyát cỏc phng trỡnh Ôo hm riờng phi tuyán cho tợi c bÊn văn cha ủc hon thiằn Tứ Ưu thá k 20 cho tợi nay, nhu c¦u nghiên cùu mët cách ch°t ch³ nhỳng phng trỡnh Ôo hm riờng ó kớch thớch sỹ phát triºn phương pháp nghiên cùu b£n cõa: Gi£i tích thüc, Gi£i tích hàm Tơpơ Mët toỏn phng trỡnh Ôo hm riờng náu cú ý ngha thỹc tiạn thỡ chc chn phÊi cú nghiằm VĐn à nghi»m hiºu theo nghĩa mà thơi Có rĐt nhiÃu phng trỡnh Ôo hm riờng, c biằt l phng trỡnh Ôo hm riờng phi tuyán Elliptic F D2 u(x), x = đ·u khơng có nghi»m cê điºn V§n đ· đ°t ta ph£i cè gng xây dỹng lý thuyát cỏc nghiằm suy rởng (nghiằm nhợt) cừa chúng đ°c bi»t tính nh§t nghi»m Vì tƯm quan trồng cừa nú thỹc tá Nờn qua trình nghiên cùu luªn văn tơi lüa chån à ti "Nghiằm nhợt cừa phng trỡnh Ôo hm riờng phi tuy¸n Elliptic F D2 u(x), x = 0" Năm 1979, Krylov Safonov chùng minh b§t đ¯ng thùc Harnack cho nghiằm cừa cỏc phng trỡnh Ôo hm riờng elliptic cĐp hai cú dÔng -2- khụng divergence vợi cỏc h» sè đo đưđc Đi·u mð mët cách đº -2- phát triºn lý thuy¸t quy cho phng trỡnh Ôo hm riờng phi tuyán hon ton Cựng thíi gian Crandall-Lions [5] Evans [6, 7] ó giợi thiằu mởt khỏi niằm nghiằm yáu (nghiằm nhợt) cho phng trỡnh Ôo hm riờng phi tuyán hoc tuyán tớnh cú dÔng khụng divergence, nú thụng nhĐt vợi nguyờn lý Dirichlet nghi»m bi¸n phân lý thuy¸t v· phng trỡnh dÔng divergence Trong ti liằu ny, tụi s trình bày lý thuy¸t quy cõa nghi»m cõa phương trỡnh Ôo hm riờng phi tuyán hon ton ú l phng trỡnh elliptic cú dÔng: (0.0.1) D2 u, x = f (x) F D2 Hessian cõa u Xem trình bày lý thuy¸t chi ti¸t [3, 4] cho phng trỡnh cú dÔng: D2 u, x = (0.0.2) F (tng ựng vợi "phng trỡnh thuƯn nhĐt vợi hằ số hơng số" trớng hủp tuyán tớnh) Tứ lý thuy¸t đó, ta có Cα , C1,α , C2,α va` W2, p đánh giá tiên nghi»m mi·n cho nghi»m cõa (0.0.1) Trong tài li»u này, ta gi£ thi¸t (0.0.1) elliptic đ·u Mët trưíng hđp đơn giÊn nhĐt l trớng hủp cỏc phng trỡnh tuyán tớnh, ú ta cú th giÊ thiát rơng (0.0.2) chớnh ∆u = Lúc ta có thº đánh giỏ cỏc Ôo hm cừa hm iÃu hũa (nghiằm cừa ∆u = 0) mi·n bði dao đë cõa hàm Ý tưðng b£n tính ch§t văn ỳng ối vợi cỏc tuyán tớnh nhọ cừa Laplac Cö thº hơn, gi£ sû u nghi»m cõa phương trỡnh elliptic Ãu cú dÔng khụng divergence sau: n ai, j (x)∂i j u = f (x) (0.0.3) i, j=1 Khi ta có, vỵi mët nghi»m bà ch°n u cõa (0.0.3) hình c¦u đơn B1 cõa Rn : (a) (Đánh giá kiºu Cordes - Nirenberg) Gi£ sû < α < j − δi j L∞ (B1 ) ≤ δ = δ (α ), vỵi mët α nhä Khi u ∈ C1,α (B1/2 ) kukC1,α (B1/2 ) ≤ C(kukL∞ (B 1) + k f kL∞ (B1 ) ) -3- (b) (Schauder) N¸u j f thc Cα (B1 ) u ∈ C2,α (B1/2 ) va` kuk 2,α ≤ C (B1/2 ) C(kukL∞ (B1 ) + k f kC∞ (B1 ) ) (c) (Calderón-Zygmund) N¸u j liên tưc B1 f ∈ L1 (B1 ) vỵi < p < ∞ u ∈ W2, p (B1/2 ) va` kukW2, ) ≤ C(kukL∞ (B ) + k f kL p (B ) ) p (B 1/2 1 Trong tài li»u này, tơi mð rëng k¸t qu£ cho hå nghi»m cõa (0.0.1) Thªm chí trớng hủp tuyán tớnh, k thuêt õy văn cho ta nhỳng kát quÊ mợi vỡ mực gƯn cừa j đèi vỵi δi j đưđc xác đành bði Ln ∞ chu©n chù khơng ph£i L - chu©n (n sè ch®n Rn ) Cơng cư bÊn cỏch tiáp cên mợi ny l ỏnh giỏ Alexandroff - Bakelman - Pucci v nguyờn lý cỹc Ôi Tơi s³ mơ t£ cách sû dưng cõa đánh giá ny v hỡnh lêp phng cừa Calderún-Zygmund ối vợi: (1) Đi·u khiºn hàm phân bè cõa nghi»m; đi·u khiºn ny dăn tợi bĐt ng thực Harnack v ú dăn tợi C - chớnh quy (2) XĐp x L cõa nghi»m bði hàm affine (tương ùng cỏc paraboloid); iÃu ny dăn tợi cỏc ỏnh giỏ C1, (tương ùng C2,α ) Do đó, v§n đ· cèt lõi l hiu cỏc Ôo hm riờng cừa mởt hm thụng qua x§p x¿ đa thùc cõa Nói mët cách nôm na, phương pháp nêu v· b£n "phi tuy¸n" theo nghĩa khơng düa phương trình (0.0.1) Do vªy, có thº áp dưng đèi vợi cỏc phng trỡnh hon ton tờng quỏt (khụng nhĐt thi¸t trơn) phương trình Pucci, Bakelman Isaasc Trong ú tớnh chớnh quy nhên ủc bơng cỏch lĐy vi phân cõa phương trình (0.0.1) Mưc đích nghiên cùu Nghiên cùu khái ni»m nghi»m nhỵt cho phương trình Ôo hm riờng elliptic phi tuyán F D2 u(x), x = mët sè tính ch§t đành tính cõa nghiằm nhợt c biằt l sỹ tỗn tÔi, tớnh nh§t sü phư thc liên tưc cõa nghi»m cõa tốn liên quan tỵi phương trình Nhi»m vư nghiên cùu • Tìm hiºu cách xây düng khỏi niằm nghiằm nhợt cho phng trỡnh ã a ví dư cư thº minh håa cho khái niằm ã Chựng minh cỏc tớnh chĐt nh tớnh cừa nghiằm nhợt ối tủng v phÔm vi nghiờn cựu • Đèi tưđng nghiên cùu: Nghi»m nhỵt cõa phương trình Ôo hm riờng phi tuyán ã PhÔm vi nghiờn cựu: Lợp phng trỡnh phi tuyán dÔng F D2 u(x), x = Phương pháp nghiên cùu Nghiên cùu lý thuyán bơng cỏch thu thêp thụng tin, ồc, phõn tớch têng hđp tài li»u đº có đưđc mët nghiên cựu tờng quan và nghiằm nhợt cừa phng trỡnh Ôo hàm riêng elliptic phi tuy¸n F D2 u(x), x = Bố cửc cừa luên Ngoi phƯn m Ưu v phƯn kát luên, luên gỗm ba chng: • Chương Các ki¸n thùc sð Trong chương ny tụi: Giợi thiằu mởt số thuêt ngỳ v mụ t£ mèi quan h» giúa tính ch§t kh£ vi cừa hm u v cỏc paraboloids tiáp xỳc vợi ỗ th cừa hm u ã Chng Nghiằm nhợt cừa phương trình elliptic, đánh giá Alexandroff nguyên lý cüc Ôi Trong chng ny tụi nghiờn cựu: Nghiằm nhợt cừa phương trình (0.0.1), đành nghĩa tính ch§t bÊn cừa nghiằm nhợt Khỏi niằm nghiằm "rõt yáu" ny cho chỳng ta xỏc nh lợp cỏc hm chựa tĐt c£ nghi»m cê điºn cõa phương trình elliptic tuy¸n tớnh v phi tuyán vợi cỏc hơng số elliptic cố đành h» sè đo đưđc (xem mưc 2.1.2) Trong mưc 2.1.3 tơi đưa mët sè ví dư quan trồng và cỏc phng trỡnh Ôo hm riờng phi tuy¸n hồn tồn Đánh giá Alexandroff-Bakelman-Pucci ngun lý cüc Ôi cho nghiằm nhợt Vỡ kát quÊ ny cú vai trị chìa khóa ngun lý quy sau • Chương B§t đ¯ng thùc Harnack tính nh§t nghi»m Trong chương tơi: Chùng minh b§t đ¯ng thùc Harnack nhí vào đánh giá Alexandroff kÿ thuªt cõa Crandall-Zygmund V· b£n chùng minh gièng vỵi chùng minh l¦n đ¦u phát hi»n bði Krylov Safonov Mët h» qu£ cõa b§t đ¯ng thùc Harnack ta có k¸t qu£ v· Cα - quy mi·n đèi vỵi nghi»m cõa phương trình (0.0.1) Trong mưc 3.1.3 tơi cịn chùng minh tính Cα - quy tồn cưc Trình bày nghi»m x§p x¿ Jensen cõa phương trình (0.0.2) ủc giợi thiằu lƯn Ưu tiờn [8] v sû dưng chúng đº chùng minh tính nh§t cho tốn Dirichlet đèi vỵi (0.0.2) Các mưc 3.2.3 3.2.4 dành cho ùng dưng khác cõa nghi»m x§p x¿ Jensen Đó tính ch§t b£n cõa cỏc Ôo hm riờng cĐp v cĐp cừa nghiằm cừa phng trỡnh (0.0.2) Chng hÔn ta chựng minh tính C1,α - quy mi·n nghi»m cõa phương trình (0.0.2) ... cách nôm na, phương pháp nêu v· b£n "phi tuy¸n" theo nghĩa khơng düa phương trình (0.0.1) Do vêy, nú cú th ỏp dửng ối vợi cỏc phng trỡnh hon ton tờng quỏt (khụng nhĐt thiát trơn) phương trình Pucci,... đ°t D2 u(x0 ) = Ta nói u kh£ vi cĐp hai tÔi x0 náu u khÊ vi lõn cên cừa x0 v Du(x) khÊ vi tÔi x0 Rừ rng tớnh khÊ vi cĐp hai tÔi x0 kéo theo tính kh£ vi c§p hai theo nghĩa tøng im tÔi x0 nh... cõa phương trình elliptic Ãu tuyán tớnh v phi tuyán vợi cỏc hơng số elliptic cè đành Mưc 2.1.3 giỵi thi»u mët sè ví dư v· phương trình elliptic phi tuy¸n hồn tồn 2.1 Nghi»m nhỵt cõa phương trình