MỤC LỤC Lời mở đầu Chương : Các công thức tảng Chương : Khái niệm hàm ứng suất cách giải toán phẳng dầm theo hàm ứng suất lượng giác Chương : Áp dụng phương pháp hàm ứng suất lượng giác để giải toán cụ thể LỜI NÓI ĐẦU Đối với ngành xây dựng cơng trình dân dụng cơng trình giao thơng, môn học Lý thuyết đàn hồi môn học đóng vai trị quan trọng Tuy nhiên, số lượng ví dụ nhằm minh họa cho kiến thức mơn học cịn chưa nhiều nên đề tài “ Giải toán phẳng dầm chuỗi hàm Fourier” nhằm mục đích đóng góp ví dụ cụ thể để giúp bạn đọc có hiểu biết sâu môn học Nhân đây, nhóm nghiên cứu khoa học muốn gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy TS Tô Giang Lam- Bộ môn sức bền vật liệu trường đại học Giao thông vận tải nhiệt tình giúp đỡ chúng em trình nghiên cứu mặt lý luận tài liệu để chúng em hoàn thành đề tài nghiên cứu Hà Nội, Nhóm sinh viên lớp XDCTGTTT-K51 CHƯƠNG 1: CÁC CƠNG THỨC NỀN TẢNG Phương trình vi phân cân tĩnh học-động học : (1.1) Phương trình hình học 2.1.Quan hệ biến dạng chuyển vị ( phương trình biến dạng Cauchy) = , = = , (1.2) , 2.2 Phương trình liên tục biến dạng ( phương trình Saint- Venant) += += += (1.3) Phương trình vật lý ( phương trình đàn hồi) εx = εy = εz = E E E , , (1.4) , Chuỗi Fourier: số tuần hồn với chu kì 2L xác định khoảng từ (-L, L) khoảng Khi đó, chuỗi Fourier dùng để biểu diễn có dạng : Trong đó, CHƯƠNG 2: KHÁI NIỆM HÀM ỨNG SUẤT VÀ CÁCH GIẢI BÀI TOÁN PHẲNG DẦM THEO HÀM LƯỢNG GIÁC Bài tốn phẳng lí thuyết đàn hồi tốn yếu tố tính tốn ứng suất, biến dạng chuyển vị phụ thuộc vào bên Loại tốn chia làm nhóm: biến dạng phẳng ứng suất phẳng Trong toán ứng suất phẳng, loại kết cấu điển hình dầm – tường chịu tải trọng khác liên kết gối khác Trong trường hợp thứ hai, trạng thái ứng suất ba phương, biến dạng xẩy mặt phẳng Các loại tường chắn, đập nước, vỏ hầm thuộc toán này.Tuy khác dạng thức ý nghĩa mô hình tốn học nhóm tốn giải phương pháp giống Do giống cách thức tiếp cận toán đặt điều kiện nghiên cứu nên đề tài đề cập đến toán ứng suất phẳng I BÀI TOÁN ỨNG SUẤT PHẲNG Ta xét mỏng chịu lực tác dụng biên song song với mặt phẳng tọa độ, ví dụ mặt xOy Ta thấy hai mặt bên tấm, tức z = σz =0, τxz =0, τzy = Vì mỏng nên giả thiết rằng, toàn bề dày σz =0, τxz =0, τzy = (2.1) Còn ứng suất khác phân bố bề dày, tức σx, σy, τxy không phụ thuộc vào loại tọa độ z Ta xét trường hợp thể tích trọng lượng than Lúc X= Z= 0, ρ Y = -q Trong q : trọng lượng riêng Phương trình cân biến dạng ∂σ x ∂τ yx + =0; ∂x ∂y ∂τ xy ∂σ y + −q =0 ∂x ∂y (2.2) Phương trình liên tục biến dạng += (2.3) Phương trình định luật Hooke εx = E εy = (σx - µσy) E (σy - µσx) (2.4) γxy = 2(1 + µ ) E τxy Nếu biểu diễn ứng suất qua biến dạng, từ (2.3) ta có E σx = 1− µ (εx+ µεy) E σy = τxy = 1− µ (εy+ µεx) E 2(1 + µ ) (2.5) γxy Thay (2.4) vào (2.3) ta có (σx - µσy)+ (σy - µσx) = 2(1+µ) (2.6) Lấy đạo hàm phương trình đầu (2.2) x phương trình thứ hai (2.2) với y cộng lại, ta 2= Thay biểu thức vào (2.6) ta phương trình liên tục biến dạng biểu diễn theo ứng suất pháp + + + =0 Hoặc + =0 Ta gọi phương trình phương trình LÉVY II HÀM ỨNG SUẤT Để giải hệ (2.1) ta đưa hàm ẩn gọi hàm ứng suất Airy Xét hệ phương trình phương trình vi phân (2.1): ∂σ x ∂τ yx + =0; ∂x ∂y ∂τ xy ∂σ y + −q =0 ∂x ∂y Điều kiện cần đủ cho biểu thức p(x,y)dx + q(x,y)dy = du(x,y) tức p(x,y)dx + q(x,y)dy vi phân toàn phần hàm u(x,y) p q phải có quan hệ : ∂p ∂q = ∂y ∂x - Phương trình thứ (1) hệ (2.1) ⇔ Tức (.dy - dx) vi phân toàn phần hàm A(x,y) Nên ta có quan hệ σx = ∂A ∂y − ; τyx = ∂A ∂x (a) Tương tự, phương trình thứ 2( bỏ qua lực thể tích) : ⇒ (.dx - dy) vi phân tồn phần của1 hàm B(x,y) : ∂B ∂x → Ta có quan hệ : σy = So sánh (a) (b) ta có : − ; Txy = ∂A ∂x = ∂B ∂y ∂B ∂y (b) (c) ⇒ (A.dy + B.dx) vi phân toàn phần hàm ϕ(x,y) : → Ta có quan hệ : A = ∂ϕ ∂y ; Thay (d) vào (a) (b) ta có: B= ∂ϕ ∂x (d) ∂ ϕ σx = ∂y ∂ ϕ ; σy = ∂x − ; τxy = ∂ 2ϕ ∂x∂y (2.7) Hàm ϕ(x,y) : Gọi làm ứng suất Airy, hàm để giải toán phẳng theo ứng suất Tiếp tục thay (2.7) vào phương trình LÉVY ta phương trình trùng điều hịa có dạng sau: + 2+ = (2.8) III GIẢI BÀI TOÁN THEO CÁCH DÙNG HÀM LƯỢNG GIÁC Do nhược điểm cách giải đại số áp dụng trường hợp đặc biệt nên cách giải theo hàm lượng giác ứng dụng rộng rãi Trong trường hợp cụ thể toán nghiên cứu, ta sử dụng chuỗi lượng giác để giải Giả thiết tải trọng đặt dọc theo mặt cắt hình chữ nhật khai triển thành chuỗi lượng giác ϕ(x, y) = Đặt = Khi đó, ; ; Thay vào phương trình (2.8) ta được: Hoặc Nghiệm phương trình có dạng : (2.9) ϕ(x,y) = + Tùy thuộc vào điều kiện đầu dầm để chọn hàm ứng suất Nếu điểm đầu điểm cuối dầm mà tải trọng τxy =0 chọn tổng thứ hai (2.9) τxy chọn tổng thứ (2.9) Tải trọng q(x) khai triển thành chuỗi lượng giác khoảng từ (0,L) Nếu q(x) hàm chẵn chuỗi khai triển Fourier trở thành Trong đó: Ngược lại tải trọng hàm lẻ Trong CHƯƠNG 3: ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM ỨNG SUẤT LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI BÀI TỐN CỤ THỂ Bài tốn : xác định phân bố ứng suất dầm giản đơn có độ dài hữu hạn bị tác dụng lực đặt tâm Cho biết : LO = 220mm, L1 = 180mm 2h = 30mm, ε = 2mm, δ = 2mm P = 960 N , y 2h I Rút công thức ứng suất : Điều kiện biên : +) Đỉnh : , x 2L1 2L0 σ yy ( x, + h) = − σ yy ( x, + h) = P 2ε | x|