Mục lục Trang Lời mở đầu Chơng I Một số kiến thức mở đầu 1.1 Sai phân 1.1.1 Khái niệm sai phân 1.1.2 Một số tính chất sai phân 1.2 Phơng trình sai phân 1.2.1 Phơng trình sai phân tuyến tính 1.2.2 Phơng trình sai phân tuyến tính cấp .5 1.2.3 Phơng trình sai phân tuyến tính cấp .6 1.2.4 Phơng trình sai phân tuyến tính cấp 1.3 Tuyến tính hóa Chơng II Một số toán ứng dụng tính chất sai phân 10 2.1 Bài toán tính tổng 10 2.2 Bài toán tìm giới hạn dãy số 15 Chơng III ứng dụng phơng trình sai phân .21 3.1.Tìm số hạng tổng quát dãy số .21 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 Lời mở đầu Phơng pháp sai phân phơng pháp đợc áp dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học, kĩ thuật Sai phân ứng dụng vào giải gần phơng trình toán tử, đặc biệt đợc sử dụng để giải phơng trình vi phân phơng trình đạo hàm riêng Bên cạnh lí thuyết sai phân có nhiều ứng dụng khác giải tích chẳng hạn nh : tìm số hạng tổng quát dãy số, tìm giới hạn dãy số Trong chơng trình toán phổ thông, toán dãy số nh : tìm số hạng tổng quát dãy số, tính tổng n số hạng dãy số, tìm giới hạn hầu hết xem xét cấp số cộng, cấp số nhân Tuy nhiên đề thi học sinh giỏi, kì thi Olympic quốc gia quốc tế không xét cấp số cộng, cấp số nhân mà xét dãy số phức tạp khác, toán khó phơng pháp sơ cấp thờng dùng Sử dụng phơng pháp sai phân thể tính u việt giải toán Dới góc độ sinh viên chuyên ngành toán, em xin trình bày số phơng pháp giải toán liên quan đến sai phân nhằm đáp ứng cho nhu cầu bồi dỡng giáo viên, bồi dỡng sinh viên học sinh giỏi với chuyên đề ''ứng dụng sai phân vào giải toán trờng Trung học phổ thông" Chơng I: số kiến thức mở đầu 1.1 Sai phân 1.1.1 Khái niệm sai phân Giả sử f : Ă Ă hàm số cho trớc h = const Ta gọi sai phân cấp f(x) đại lợng f ( x) = f ( x + h ) f ( x ) Một cách tổng quát sai phân cấp n f(x) đại lợng n f ( x) = n1 f ( x ) 1.1.2 Một số tính chất sai phân ( n 1) Tính chất 1: toán tử tuyến tính, nghĩa , Ă ; f , g ( f + g ) = f + g Tính chất 2: Nếu c = const c = Tính chất 3: + n ( x n ) = n!h n + m ( x n ) = ( m > n ) Tính chất 4: Nếu P(x) đa thức bậc n theo công thức Taylor n hi ( i ) P = P ( x + h) P ( x ) = p ( x ) i =1 i ! n Tính chất 5: f x + n h = C i i f ( x) ( ) n i =0 Tính chất 6: Mọi sai phân biểu diễn qua giá trị hàm số n n f ( x ) = ( 1) Cni f ( x + ( n i ) h ) i i =0 n Tính chất 7: Giả sử f C [ a, b ] ( x, x + nh ) [ a, b ] Khi đó: Hệ quả: Nếu n f ( x ) n = f ( ) ( x + nh ) n h ( 0,1) n f ( x) h đủ nhỏ ta có: ( n ) f C [ a, b ] f ( x) n n h Nhận xét: Với hàm f ( x ) , xác định tập số nguyên  coi h =1; kí hiệu yk = f ( k ) ; k = 0,1,2 Ta có n y = ( y i i =1 y1 ) + ( y3 y2 ) + + ( yn+1 yn ) = yn+1 y1 1.2 Phơng trình sai phân 1.2.1.Phơng trình sai phân tuyến tính * Định nghĩa: Phơng trình sai phân tuyến tính cấp k hệ thức tuyến tính sai phân cấp F ( xn , xn , xn , , k xn ) = (1.1) Trong xn sai phân cấp hàm xn Vì sai phân cấp biểu diễn theo giá trị hàm số nên (1.1) có dạng an xn+ k + an1 xn+ k + + a1 xn+ + a0 xn = f n (1.2) Trong , i = 0,1, n với an 0, a0 số hàm số n; f n hàm số n; xn giá trị cần tìm Phơng trình (1.2) đợc gọi phơng trình sai phân tuyến tính cấp n Nếu f n = phơng trình (1.2) đợc gọi phơng trình sai phân tuyến tính cấp n an xn + k + an xn + k + + a1 xn +1 + a0 xn = (1.3) Để giải phơng trình (1.2) ngời ta thờng cho trớc n giá trị ban đầu x0 , x1 , , xn tìm đợc xk = f (k ) với k = 0,1,2, đợc gọi nghiệm phơng trình sai phân (1.2) Phơng trình an n + an n1 + + a1 + a0 = (1.4) đợc gọi phơng trình đặc trng phơng trình (1.3) Nhận xét: Nếu xn nghiệm phơng trình (1.3) xàn nghiệm phơng trình (1.3) xn + xàn với , số tùy ý nghiệm phơng trình (1.3) 1.2.2 Phơng trình sai phân tuyến tính cấp * Định nghĩa Phơng trình sai phân tuyến tính cấp phơng trình có dạng a xn + + b xn = f n (a, b - số khác 0, fn - biểu thức n) * Nghiệm Nghiệm tổng quát (2.1) có dạng xn = xn + xn* ; (2.1) nghiệm tổng quát phơng trình sai phân tuyến tính đó: x n axn +1 + bxn = x nghiệm riêng phơng trình (2.1) n * Phơng trình sai phân tuyến tính cấp Phơng trình axn +1 + bxn = (a # 0), Phơng trình đặc trng a + b = = (2.2) b a Nghiệm tổng quát phơng trình(1.1) có dạng xn = q n (q số) * Một số dạng phơng trình sai phân tuyến tính không cấp a xn + + b xn = f n Dạng (2.3) Nghiệm tổng quát: xn = xn + xn* Với xn nghiệm tổng quát phơng trình (2.2) xn* nghiệm riêng phơng trình (2.3) Tìm xn* nh sau: Nếu xn* = g n đa thức bậc với f n Nếu = xn* = n.g n ; g n đa thức bậc với f n n Dạng 2: Phơng trình a xn +1 + b xn = Pm ( n ) ( 0) Nghiệm tổng quát xn = xn + xn* Với xn nghiệm tổng quát phơng trình (2.2) xn* nghiệm riêng phơng trình (2.4) (2.4) xn* đợc xác định nh sau xn* = Qm ( n ) n xn* = n.Qm ( n ) n = Trong nghiệm phơng trình đặc trng P ( n ) ; Q ( n ) đa thức bậc m n m m Dạng 3: Phơng trình axn+1 + bxn = f n1 + f n2 + + f nk (2.5) Nghiệm tổng quát phơng trình (2.5) có dạng xn = xn + xn*1 + xn*2 + + xn*k Trong xn*k tơng ứng nghiệm riêng phơng trình axn +1 + bxn = f nk (k =1,2, ); 2.1.3 Phơng trình sai phân tuyến tính cấp hai * Định nghĩa Phơng trình sai phân tuyến tính cấp hai phơng trình có dạng: axn+ + bxn+1 + cxn = f n (3.1) a,b,c: số; f n : hàm số n Nếu f n ta có phơng trình sai phân tuyến tính cấp hai axn + + bxn +1 + cxn = (3.2) * Nghiệm Nghiệm tổng quát phơng trình (3.1) có dạng xn = xn + xn* Trong đó: xn nghiệm phơng trình sai phân tuyến tính (3.2); xn* nghiệm riêng tùy ý (3.1) Phơng trình sai phân tuyến tính cấp hai Phơng trình a xn+ + b xn +1 + c xn = 0; (a 0) Phơng trình đặc trng a + b + c = Nếu , nghiệm thực phân biệt thì: xn = A.1n + B.2n ( 3.2 ) Nếu = = (nghiệm thực kép) thì: xn = ( A + B.n) n Nếu = x + iy = r (cos + i sin ) thì: = x iy = r (cos i sin ) nghiệm phơng trình đặc trng Khi đó: xn = r n ( A cos n + B sin n ) y ; (A, B số) x * Một số dạng phơng trình sai phân tuyến tính không cấp hai Dạng (3.3) axn+ + bxn+1 + cxn = Pk (n) Với: i = 1; r = x + y ; = arctg với a, b, c số; a ; Pk (n) đa thức bậc k n Nghiệm tổng quát phơng trình (3.3) : x = x + x* n n n Với: xn nghiệm tổng quát phơng trình (3.2) xn* nghiệm riêng phơng trình (3.3) Cách tìm xn* : Phơng trình đặc trng: a + b + c = Nếu phơng trình đặc trng có nghiệm thì: xn* = Qk (n) Nếu phơng trình đặc trng có nghiệm đơn = xn* = nQk (n) Nếu phơng trình đặc trng có nghiệm kép = xn* = n Qk (n) n Dạng 2: a xn + + b xn+1 + c xn = Pk ( n ) Trong đó: a,b,c số a 0; Pk (n) đa thức bậc k n nghiệm tổng quát phơng trình (3.4) có dạng xn = xn + xn* Trong xn nghiệm tổng quát phơng trình (3.2) xn* nghiệm riêng phơng trình (3.4) Cách tìm xn* Phơng trình đặc trng a + b + c = (3.4) Nếu phơng trình đặc trng có nghiệm xn* = Qk ( n ) n Nếu phơng trình đặc trng có nghiệm đơn = xn* = n.Qk ( n ) n Nếu phơng trình đặc trng có nghiệm kép = xn* = n Qk ( n ) n 1.2.4 Phơng trình sai phân tuyến tính cấp *.Định nghĩa Phơng trình sai phân tuyến tính cấp phơng trình có dạng a.xn+3 + bxn+ + c.xn +1 + d xn = f n (4.1) Trong a,b,c,d số a ; f n biểu thức n *.Nghiệm * Nghiệm tổng quát phơng trình (4.1) có dạng xn = xn + xn nghiệm phơng trình a.x + b.x + c.x + d x = (4.2) Trong x n+ n+ n+1 n n xn* nghiệm riêng phơng trình (4.1) *.Phơng trình tuyến tính cấp Phơng trình có dạng a xn + + b xn+ + c xn+ + d = ( a ) (4.2) Phơng trình đặc trng a + b + c + d = Nếu phơng trình đặc trng có nghiệm thực phân biệt: , , thì: xn = A.1n + B. n2 + C. 3n ( A, B, C số) Nếu phơng trình đặc trng có nghiệm thực bội nghiệm đơn : xn = ( A + Bn)1n + C. 2n ( A, B, C số) Phơng trình đặc trng có nghiệm thực bội thì: xn = ( A + B n + C n ) n ( A, B, C số) 1.3 Tuyến tính hóa Một số toán sai phân không tuyến tính, ta biến đổi dẫn phơng trình sai phân tuyến tính đợc gọi tuyến tính hóa Trong công thức lặp: xn = ( xn1 , xn2 , , xnk ) , để giải phơng trình f ( x) = với giá trị ban đầu x1 = , x2 = , , xk = k thuộc đoạn ta xét Giả sử phơng trình sai phân xn = ( xn1 , , xnk ) tuyến tính hóa đợc Khi điều kiện cần tồn số a1 , a2 , , ak để: xn = a1 xn1 + a2 xn + + an xn k Để tìm (i = 1, k ) trớc hết ta theo giá trị ban đầu: , , , k để tính xk +1 , xk + , , x2 k xk +1 = (k , k , , ) xk +2 = (k +1, k , , ) x2 k = ( k , k , , k ) Thay x1 , x2 , , xk giá trị xk +1 , xk +2 , , x2 k vừa tìm đợc vào biểu thức xn ta đợc hệ phơng trình đại số tuyến tính: xk +1 = a1 xk + a2 xk + + ak x1 x = a x + a x + + a x k +2 k +1 k k x2 k = a1 x2 k + a2 x2 k + + ak xk Nếu hệ có nghiệm ta đợc: xn = a1 xn1 + a2 xn + + ak xn k dạng tuyến tính hóa xn = ( xn , xn , , xnk ) Kiểm tra điều kiện đủ phép chứng minh quy nạp Chơng II: số toán ứng dụng tính chất sai phân 2.1 Bài toán tính tổng Các toán tính tổng thông thờng đợc yêu cầu dãy số đặc biệt nh cấp số cộng, cấp số nhân phơng pháp truyền thống nh quy nạp toán học, sử dụng phép biến đổi đại số, sử dụng đạo hàm Tuy nhiên tổng phức tạp số hạng tổng không thuộc dãy số đặc biệt nh cấp số cộng, cấp số nhân, dãy đơn điệu việc sử dụng phơng pháp truyền thống khó Khi tính chất sai phân công cụ hữu hiệu để giải toán Bài toán : Tính tổng sau 10 k + 3k + S = k =0 ( k + 2)! n 1.1 Ta có k +2 k + 3k + (k + 4k + 4) (k + 3) k +2 k +3 = = = ữ (k + 2)! ( k + 2)! (k + 1)! (k + 2)! ( k + 1)! n +1+ k+2 0+2 n+3 S = ( ) ữ = =2 ữ (k + 1)! ( n + 2)! k =0 (n + + 1)! (0 + 1)! n k k =1 k ! n S = 1.2 Ta có: 1 k k = = = ữ (k 1)! k ! k! k! k! (k 1)! n S = k =1 n 1.3 S = k =1 1 1 = =1 n! (k 1)! (n + 1)! (1 1)! k + k +1 Ta có k + k +1 = k +1 k = k +1 k = k (k + 1) k n S = k = n +1 = n + 1 k =1 n 1.4 S = (k + k + 1)k ! k =1 Ta có: (k + k + 1) k ! = (k + 1) k ! k k ! = (k + 1)(k + 1)! k k ! = (k k !) n S = (k k !) = (n + 1)( n + 1)! k =1 3k 3k + k =2 (k k ) 2009 1.5 S = 20 m xn a ) o ( ( L a ) mo lim xn+1 = lim xn lim xn + =L = lim xn L + n n n no no n xn = + L = a (mâu thuẫn với L > b > a ) Do lim n Từ giả thiết xn +1 = xn ( xn a ) m0 ( x a) + n mo no = n0 ( xn +1 xn ) ( xn a) m0 ( xn +1 xn ) = n0 ( xn a)( xn+1 a) ( xn a)( xn +1 a) ( xn a ) mo xn +1 a n Sn = k =1 1 = n = no ữ ữ x a x a x a n n +1 n ( xk a ) mo n 1 = no ữ = n0 ữ xk +1 a xk a k =1 xn +1 a x1 a 1 = no ữ b a xn+1 a n no no no n lim S n = lim o = lim = o ữ n n b a xn+1 a b a n xn+1 a b a xn = + lim (vì lim n n no =0) xn+1 a Bài tập luyện tập: Bài toán Dãy { xn } đợc xác định nh sau: x1 = ( xn 3) x = x + (n = 1,2 ) n n+1 2010 Tính x x2 x lim + + + n ữ n x x3 xn+1 21 Bài toán 7: Cho dãy số { xn } đợc xác định nh sau xn = n + + + 2! 3! ( n + 1) ! ( n = 1,2 ) n Tìm giới hạn sau lim n x1n + x2n + + x2009 =? n Chơng 3: ứng dụng phơng trình sai phân 3.1 toán tìm số hạng tổng quát dãy số Bài toán 1: Dãy số { un } đợc xác định nh sau: u1 = u = 14 u3 = 18 un +1 = 7un 6un (n 3) Chứng minh p số nguyên tố u p Mp Giải: Phơng trình sai phân un +1 = 7un 6un Phơng trình đặc trng + = có nghiệm phân biệt = 1, = 2, = Ta có nghiệm tổng quát có dạng un = c1 + c2 2n + c3 ( 3) n với n =1; n = 2; n = ta có hệ sau: c1 + 2c2 3c3 = c1 + 4c2 + 9c3 = 14 c + 8c 27c = 18 c1 = c2 = c = Vậy un = + 2n + (3)n , n = 1, Vì p số nguyên tố nên theo định lí Fecma ta có p (mod p) p ( mod p) ( 3) p (mod p) ( 3) p 3( mod p) u n = + p + ( 3) p (1 + 3) (mod p) (mod p ) Vậy un Mp 22 Bài tập luyện tập: Bài toán 2: Dãy số { xn } đợc xác định nh sau xn+1 xn xn = n + 2n ( n = 2,3 ) x1 = x = Tìm số hạng tổng quát dãy số? Bài toán 3: Cho dãy số { xn } thỏa mãn: xn+ xn+1 + xn = x0 = ; x1 = ( n = 0,1, ) n Tìm công thức số hạng tổng quát dãy x =? Chứng minh xn số phơng Bài toán 4: Cho dãy số { un } xác định nh sau uo = 0, u1 = un +1 = 2un + (a 1)un , n = 1, 2, Với a số nguyên dơng cho trớc.Cho p0 > số nguyên tố cố định Tìm giá trị nhỏ a cho 1) Nếu p số nguyên tố p p0 u p Mp 2) p số nguyên tố p > p0 u p Mp Nhận xét: Trên toán tìm số hạng tổng quát dãy số đợc cho trực tiếp dới dạng phơng trình sai phân tuyến tính cấp 1,2,3, biết cách giải Tuy nhiên nhiều toán khác phải sử dụng phép biến đổi trung gian để đa toán cho dạng phơng trình sai phân tuyến tính Một phép biến đổi thờng sử dụng phép 'Đặt dãy ẩn phụ' Ta xét số toán cụ thể sau: Bài toán 5: Cho dãy số { xn } đợc xác định nh sau xn+ = xn5+1.xn6 x1 = x = ( n = 1,2 ) 23 Tìm công thức số hạng tổng quát xn = ? Giải: Dựa vào công thức truy hồi dãy số ta thấy = x1 < x2 < x3 < < xn < suy dãy { xn } dãy số dơng ( n 1,2 ) Do đó: xn+ = xn5+1.xn6 tơng đơng với log xn+2 = 5log xn+1 6log xn Đặt yn = log xn suy y1 = log x1 = log 2 = ; y2 = log x2 = log = ; Khi dãy { yn } đợc xác định nh sau: yn+ = yn +1 yn y1 = y = (n = 1, ) Xét phơng trình sai phân: yn+ yn+1 + yn = = Có phơng trình đặc trng + = = Nghiệm tổng quát phơng trình có dạng yn = 2n A + 3n B;( A, B Ă , n = 1,2 ) Theo giả thiết : y1 = 1, y2 = nên ta có hệ sau A = A + 3B = (n=1,2, ) B = A + B = Do yn = 3n1 n Mà yn = log xn xn = yn = 23 ( n = 1,2, ) n Vậy số hạng tổng quát dãy số là: xn = 23 (n = 1, 2, ) Bài toán 6:Cho dãy số { un } đợc xác định nh sau: u1 = n( n + 1) un +1 = ( n + 2)(n + 3) (un + 1) Tìm số hạng tổng quát dãy Giải: (nƠ ) 24 Ta có: un +1 = n(n + 1) (un + 1) (n + 2)(n + 3) (3.6.1) n(n + 1) (n + 2) u n +1 = (un + 1) (n + 1)(n + 2) (n + 3) (3.6.2) (n + 1) (n + 2) (n + 3) un +1 = n (n + 1) (n + 2) un + n ( n + 1) (n + 2) Đặt xn = n(n + 1) (n + 2)un x1 = Phơng trình (3.6.2) trở thành xn +1 xn = n (n + 1) (n + 2) Phơng trình đặc trng = + x* Nghiệm tổng quát phơng trình xn = x n n =(với số) x n Trong xn* = n(an + bn + cn + dn + e) Thay xn* vào phơng trình (3.6.2) ta đợc a (n + 1)5 + b(n + 1) + c(n + 1)3 + d (n + 1) + e(n + 1) (an + bn + cn + dn + en) = n(n + 1) (n + 2) Đồng hệ số ta đợc 5a = 10a + 4b = 10a + 6b + 3c = 5a + 4b + 3c + 2d = a + b + c + d + e = 2 a = b = c = d = e = 2 xn* = n + n n n ; xn = + n5 + n n n mà x1 = nên = 25 n4 + n3 n (n 1) n (n + 1) (2 n + 1) (n + 2) )= 10 10 (n 1) n (n + 1) (2 n + 1) (n + 2) (n 1) (2 n + 1) un = = 10 n (n + 1) (n + 2) 10(n + 1) xn = n ( Bài toán 7:Xác định số hạng tổng quát dãy số sau x1 = 3( n +1)3 +1 2010 xn +1 = (3n + 1) 2010 xn (n=2,3, ) Giải: 3(n + 1)3 + 2010 xn +1 = xn (3n3 + 1) 2010 Ta có xn +1 xn2010 = 3(n + 1)3 + (3n3 + 1) 2010 Đặt = (3.7.1) xn phơng trình trở thành 3n3 +1 +1 = vn2010 suy ln +1 = 2010 ln Đặt un = ln u1 = ln v1 = ln (3.7.2) x1 = ln = ln 3.1 + (3.7.2) trở thành un +1 2010.un = un = 2010n ln = e2010 n ln xn = (3n3 + 1)e 2010 n ln Vậy số hạng tổng quát dãy số là: xn = (3n3 + 1)e 2010 n ln Nhận xét: ta tổng quát hóa toán nh sau Xác định số hạng tổng quát dãy số đợc cho nh sau: x1 = a > f ( n +1) k xn +1 = f k (n) xn Trong f ( n) > n, k Ơ * 26 xn ta đợc +1 = vnk f ( n) Đặt dãy ẩn phụ un = ln ta đợc un +1 = kun Sử dụng phép đặt dãy ẩn phụ = xn = f (n)[ Khi ta tìm đợc a k n1 ] f (1) Bài toán 8: Dãy số { xn } đợc xác định nh sau: xn+1 = xn + ữ xn x = Tìm công thức số hạng tổng quát xn = ? Giải: Ta có xn + ữ xn xn 3) ( xn+1 = = xn+1 + ( xn + 3) x + + n ữ xn Đặt yn = (3.8.1) xn y1 = xn + Khi (3.8.1) trở thành yn +1 = yn2 Ta có 2n yn+1 = y = ( yn1 ) = = y = ữ n 2n 2n 2n 1 yn+1 = ữ yn = ữ 4 Mặt khác yn = xn xn + ữ + 2n +1 ( yn + 1) xn = = = n 2n yn + 1 ữ n ( ) 27 Vậy số hạng tổng quát dãy cho x = n ( n ) 42 + n 42 (n = 1,2 ) Bài toán 9: Cho dãy số { xn } đợc xác định nh sau: 3( n + ) ( n + 1) ( n + ) n ( n + 2) xn+1 + xn = , n = 1,2 xn+2 n + 1) ( n + 3) n ( n + 3) n +3 ( x1 = , x2 = Tìm số hạng tổng quát dãy xn = ? Giải: Xét phơng trình 3( n + ) ( n +1) ( n + ) n ( n + 2) xn+1 + xn = , n = 1, n ( n + 3) n +3 ( n +1) ( n + 3) xn+2 Chia hai vế cho n+2 ta đợc n+3 xn +2 x x n +1 + n = n n +2 n +1 n n +3 n +2 n +1 Đặt yn = xn n n+1 xn = n yn ; n +1 (3.9.1) y1 = y2 = Phơng trình (3.9.1) trở thành yn+2 yn+1 + yn = n (3.9.2) với y1 = 1; y2 = Xét phơng trình sai phân yn+2 yn+1 + yn = (3.9.3) = = Phơng trình đặc trng + = Nghiệm phơng trình (3.9.3) có dạng yn = A.1n + B.2n ( A, B Ă ) Phơng trình (3.9.2) có nghiệm riêng yn* = n.( an + b ) ( a, b Ă ) Thay vào (3.9.2) ta đợc ( n + ) a ( n + ) + b ( n + 1) a ( n + 1) + b + 2n ( an + b ) = n 2an + a b = n 28 2a = 1 a =b = a b = Đồng hệ số ta đợc Do ta có: n yn* = n ( n + 1) ; yn = A + B + ữn ( n + 1) Theo ta tính đợc : y1 = y2 = Ta có hệ phơng trình A + B = A + 2B = A = A + 4B = A + 4B = B = Vậy nghiệm tổng quát phơng trình (3.9.2) yn = 2n n ( n +1) Số hạng tổng quát dãy cho xn = n n n n yn = n ( n + 1) = 2n n n +1 n +1 n +1 ( n =1, ) Bài toán 10: Cho dãy số { xn } đợc xác định nh sau: ( n = 1,2 ) xn +1 = xn3 + xn2 + xn x1 = Tìm số hạng tổng quát dãy ? Giải: Ta có xn +1 = xn3 + xn2 + 3xn xn +1 + = xn3 + 3xn2 + xn + xn +1 + = ( xn + 1) Đặt yn = xn + y1 = x1 + = ; y2 = x2 + = (2 + 3.22 + 3.2) + = 27 yn+1 = yn3 yn+ = yn3+1 yn+ yn +1 = ữ yn+1 yn 32 3n y2 yn+1 yn yn1 = ữ = ữ = = ữ yn yn1 yn2 y1 n = 93 29 n yn+1 = 32.3 yn log yn+1 = 2.3n1 + log yn (3.10.1) Đặt zn = log yn z1 = log3 y1 = log 3 = Phơng trình (3.10.1) trở thành zn+1 zn = 2.3n1 (3.10.2) Phơng trình (3.10.2) có nghiệm riêng dạng zn* = C.3n1 (C-const) Thay zn* vào phơng trình (3.10.2) ta đợc C 3n C.3n1 = 2.3n C = zn* = 3n1 Nghiệm tổng quát Do phơng trình (3.10.2) zn = zn + zn* = a + 3n1 Theo ta có z1 = a + 311 = a = Vậy z = 3n1 n n yn = 3zn = 33 n xn = yn = 33 n Vậy số hạng tổng quát dãy xn = 33 (n = 1, 2, ) Nhận xét: Từ hai toán 10 ta thấy từ dãy số cho ta biến đổi dạng yn +1 = ynk với k=2,3, y2 = ay1 phơng trình sai phân tuyến tính.Bằng cách đặt dãy ẩn phụ zn = log a yn ta đa phơng trình sai pân tuyến tính biết cách giải Bài toán 11:Xác định số hạng tổng quát dãy số sau x1 = ( nƠ* ) 2010 xn xn +1 = n Giải: Ta nhận thấy số hạng dãy dơng nên: xn +1 = n 2010 xn2 (3.11.1) ln xn +1 = 2010 ln n + ln xn (3.11.2) Đặt ln xn = yn ta có y1 = ln x1 = ln Phơng trình (3.11.2) trở thành yn +1 yn = 2010ln n (3.11.3) 30 Đặt un = yn u1 = y1 = ln 2n Khi phơng trình (3.11.3) trở thành un +1 un = 2010 ln n 2n Khai triển biểu thức truy hồi ta đợc n 2010 ln k 2010 ln k un = u1 + = ln + k 2k k =1 k =1 n xn = e 2n1 (ln + n1 k =1 2010ln k 2k ) * Bài tập luyện tập Bài toán 1: Cho dãy số { un } xác định nh sau: un  * , n Ơ un = 10un1 un2 (n 2) u0 = 1; u1 = Chứng minh rằng: k Ơ ; k 1) uk2 + uk21 10uk uk = 2) ( 5uk uk ) M4 3) ( 3uk2 1) M2 Bài toán 2: Dãy số { un } đợc xác định nh sau: un+2 = 2un+1 + 2un un1 (n Ơ ) CMR: Tồn số nguyên M cho số M + 4an+1an số phơng Bài toán 3: Cho dãy số nguyên dơng { un } thỏa mãn un+2 = 4un+1 + 5un + 20 u1 = 100; u0 = 20 Tìm số nguyên dơng h bé có tính chất ( n Ơ ) ( an+h an ) M1998 ( n Ơ ) Bài toán 4:.Tìm số hạng tổng quát dãy số { xn } đợc xác định nh sau 31 xn+1 = xn + xn + x1 = Bài toán Cho dãy số { xn } đợc xác định nh sau: xn +1 = xn + xn1 1975 x1 = 7; x2 = 50 ( n = 2,3, ) Chứng minh x1996 M 1997 Bài toán Tìm số hạng tổng quát dãy số { xn } đợc xác định nh sau xn+1 = xn2 + xn + 12 x1 = Bài toán 7:Tìm số hạng tổng quát dãy số { xn } đợc xác định nh sau xn+1 xn xn +2 = x 15 x + 2.5n+1 x x ( ) n+1 n n n +1 1 x1 = , x2 = 12 (n = 1, ) Bài toán 8:Tìm số hạng tổng quát dãy số { xn } đợc xác định nh sau n ( xn + 1), n = 1, xn +1 = n +1 x1 = Bài toán 9.Tìm số hạng tổng quát dãy số { xn } đợc xác định nh sau xn+1 = xn xn+ , (n = 1, ) x1 = x2 = Bài toán 10: Cho dãy số { xn } đợc xác định nh sau: xn2 + xn+1 = xn1 x = 1, x = ( n 2) Tìm công thức số hạng tổng quát dãy số Bài toán 11 Tìm số hạng tổng quát dãy số { xn } đợc xác định nh sau 32 xn x = n + + + xn2 1 x1 = ; x2 = Bài toán12:Tìm số hạng tổng quát dãy số { xn } đợc xác định nh sau: 23n (n = 2,3 ) xn+1 = ( xn ) ( xn1 ) x1 = x = Kết luận Thông qua việc tổng kết số kiến thức sai phân nh: định nghĩa, tính chất sai phân, dạng thờng gặp phơng trình sai phân tuyến tính cấp 1, cấp 2, cấp đề tài " ứng dụng sai phân vào giải toán trờng trung học phổ thông" đa đợc hệ thống ứng dụng sai phân với chơng lớn: ứng dụng tính chất sai phân ứng dụng phơng trình sai phân với ứng dụng tiêu biểu: Bài toán tính tổng Bài toán tìm giới hạn Bài toán tìm số hạng tổn quát dãy số Trong ứng dụng hệ thống toán hay với bớc giải cụ thể dựa sở lý thuyết nêu; từ ngời đọc tìm lời giải cho toán luyện tập đợc nêu sau dạng toán 33 Bớc đầu làm quen với nghiên cứu khoa học hạn chế thời gian lực thân nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đợc đóng góp ý kiến, đánh giá từ thầy cô giáo, bạn đọc để đề tài ngày hoàn thiện Tài liệu tham khảo Phạm Kỳ Anh (2000), Giải tích số, Nxb Đại học Quốc Gia Hà Nội Nguyễn Minh Chơng, Khuất Văn Ninh (2002), Giải tích số, Nxb Giáo Dục Phan Huy Khải (2007), Các toán dãy số, Nxb Giáo Dục Nguyễn Văn Mậu (2003), Một số toán chọn lọc dãy số, Nxb Giáo Dục Lê Đình Thịnh, Lê Đình Định (2004), Phơng pháp sai phân, Nxb Đại học Quốc Gia Hà Nội 34 [...]... 3 đề tài " ứng dụng của sai phân vào giải toán trong trờng trung học phổ thông" đã đa ra đợc một hệ thống các ứng dụng của sai phân với 2 chơng lớn: ứng dụng các tính chất của sai phân và ứng dụng của phơng trình sai phân với 3 ứng dụng tiêu biểu: Bài toán tính tổng Bài toán tìm giới hạn Bài toán tìm số hạng tổn quát của dãy số Trong mỗi ứng dụng là hệ thống các bài toán hay với các bớc giải cụ thể... tổng quát của dãy số { xn } đợc xác định nh sau 32 xn x = n + 1 2 + 3 + 5 xn2 1 1 x1 = ; x2 = 2 3 Bài toán1 2:Tìm số hạng tổng quát của dãy số { xn } đợc xác định nh sau: 23n (n = 2,3 ) xn+1 = 5 6 ( xn ) ( xn1 ) x1 = 2 x = 8 2 Kết luận Thông qua việc tổng kết một số kiến thức cơ bản của sai phân nh: các định nghĩa, các tính chất của sai phân, các dạng thờng gặp của phơng trình sai phân tuyến... giá trị nhỏ nhất của a sao cho 1) Nếu p là số nguyên tố và p p0 thì u p Mp 2) nếu p là số nguyên tố và p > p0 thì u p Mp Nhận xét: Trên đây là các bài toán tìm số hạng tổng quát của một dãy số đã đợc cho trực tiếp dới dạng các phơng trình sai phân tuyến tính cấp 1,2,3, đã biết cách giải Tuy nhiên trong nhiều bài toán khác chúng ta phải sử dụng các phép biến đổi trung gian để đa bài toán đã cho về dạng... trung gian để đa bài toán đã cho về dạng phơng trình sai phân tuyến tính Một trong các phép biến đổi thờng sử dụng đó là phép 'Đặt dãy ẩn phụ' Ta xét một số bài toán cụ thể sau: Bài toán 5: Cho dãy số { xn } đợc xác định nh sau xn+ 2 = xn5+1.xn6 x1 = 2 x = 8 2 ( n = 1,2 ) 23 Tìm công thức của số hạng tổng quát xn = ? Giải: Dựa vào công thức truy hồi của dãy số ta thấy rằng 2 = x1 < x2 < x3 < < xn... (2009 + 1 1) Nhận xét : Các bài toán tính tổng nêu trên thờng đa về việc tính tổng 2009 S = sai phân n y = y i =1 i n +1 y1 hoặc n y = y i= k i n +1 yk ; ( k < n ) Trên cơ sở đó dễ dàng tìm đợc giá trị cụ thể của tổng hoặc các bài toán liên quan nh tính giới hạn của tổng, so sánh giá trị của tổng với một số cụ thể,so sánh giá trị của 2 tổng khác nhau Bài toán 2: Tính các tổng lợng giác sau:... tập: Bài toán 6 Dãy { xn } đợc xác định nh sau: x1 = 6 ( xn 3) 2 x = x + (n = 1,2 ) n n+1 2010 Tính x 3 x2 3 x 3 lim 1 + + + n ữ n x 3 x3 3 xn+1 3 2 21 Bài toán 7: Cho dãy số { xn } đợc xác định nh sau xn = 1 2 n + + + 2! 3! ( n + 1) ! ( n = 1,2 ) n Tìm giới hạn sau lim n x1n + x2n + + x2009 =? n Chơng 3: ứng dụng của phơng trình sai phân 3.1 bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy... Ơ ) Bài toán 4:.Tìm số hạng tổng quát của dãy số { xn } đợc xác định nh sau 31 2 xn+1 = 2 xn + 3 xn + 5 x1 = 1 Bài toán 5 Cho dãy số { xn } đợc xác định nh sau: xn +1 = 4 xn + 5 xn1 1975 x1 = 7; x2 = 50 ( n = 2,3, ) Chứng minh rằng x1996 M 1997 Bài toán 6 Tìm số hạng tổng quát của dãy số { xn } đợc xác định nh sau xn+1 = xn2 + 8 xn + 12 x1 = 1 Bài toán 7:Tìm số hạng tổng quát của dãy số... 2 ) Bài toán 8:Tìm số hạng tổng quát của dãy số { xn } đợc xác định nh sau n ( xn + 1), n = 1, 2 xn +1 = n +1 x1 = 0 Bài toán 9.Tìm số hạng tổng quát của dãy số { xn } đợc xác định nh sau xn+1 = xn xn+ 2 , (n = 1, 2 ) x1 = x2 = 1 Bài toán 10: Cho dãy số { xn } đợc xác định nh sau: xn2 + 1 xn+1 = xn1 x = 1, x = 2 1 2 ( n 2) Tìm công thức của số hạng tổng quát của dãy số trên Bài toán 11... cộng ( xn) với công sai d Tính tổng sau: 3.2 n Tn = cos xk k =1 Mở rộng 3: Từ bài toán trên ta tính đợc tổng: n n 3.3 Pn = k sin xk 3.4 Qn = k cos xk k =1 k =1 Trong đó { x1, x2 , , xn } lập thành cấp số cộng công sai d Cách giải: Đặt n Sn = sin xk k =1 Pn = Khi đó n 1 k =1 n 1 Sk + n Sn = k k =1 i =1 n sin xi + n sin xk k =1 áp dụng kết quả tính đợc ở trên thay vào biểu thức của Pn ta đợc d 1... ta biến đổi về dạng yn +1 = ynk với k=2,3, và y2 = ay1 đây không phải phơng trình sai phân tuyến tính.Bằng cách đặt dãy ẩn phụ zn = log a yn ta đa về phơng trình sai pân tuyến tính đã biết cách giải Bài toán 11:Xác định số hạng tổng quát của dãy số sau x1 = 2 ( nƠ* ) 2010 2 xn xn +1 = n Giải: Ta nhận thấy mọi số hạng của dãy đều dơng nên: xn +1 = n 2010 xn2 (3.11.1) ln xn +1 = 2010 ln n + 2 ln xn (3.11.2) ... toán trờng trung học phổ thông" đa đợc hệ thống ứng dụng sai phân với chơng lớn: ứng dụng tính chất sai phân ứng dụng phơng trình sai phân với ứng dụng tiêu biểu: Bài toán tính tổng Bài toán tìm... đề ' 'ứng dụng sai phân vào giải toán trờng Trung học phổ thông" 3 Chơng I: số kiến thức mở đầu 1.1 Sai phân 1.1.1 Khái niệm sai phân Giả sử f : Ă Ă hàm số cho trớc h = const Ta gọi sai phân. .. luận Thông qua việc tổng kết số kiến thức sai phân nh: định nghĩa, tính chất sai phân, dạng thờng gặp phơng trình sai phân tuyến tính cấp 1, cấp 2, cấp đề tài " ứng dụng sai phân vào giải toán