Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin Trờng đại học s phạm Hà nội Khoa: toán ************** Đỗ thị nga Mô đun ArTin Tóm tắt Khoá LuậN tốt NGhiệp đại học Chuyên ngành: Đại số Hà nội 2009 Đỗ Thị Hằng Nga K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin Trờng đại học s phạm Hà nội Khoa: toán ************** Đỗ thị nga Mô đun ArTin Tóm tắt Khoá LuậN tốt NGhiệp đại học Chuyên ngành: Đại số Ngời hớng dẫn khoa học: Th.S Nguyễn huy hng Hà nội 2009 Đỗ Thị Hằng Nga K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin Mc lc Trang Lời nói đầu2 Chơng 1: Những kiến thức bổ trợ4 Bài 1: Lý thuyết vành.4 Bài 2: Mô đun Chơng 2: Mô đun Artin5 Bài 1: Định nghĩa ví dụ Bài 2: Mô đun Artin với tính hữu hạn sinh.6 Bài 3: Độ dài mô đun 10 Kết luận .18 Tài liệu tham khảo19 Đỗ Thị Hằng Nga K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin LI NóI ĐầU Có thể nói ngành toán học đại ngày trình phát triển cần tới cấu trúc đại số tất nhiên hiểu biết sâu sắc cấu trúc Điều dễ hiểu ta biết hai đặc tính toán học tính trừu tợng tính tổng quát, mà hai đặc tính lại biểu cách rõ ràng đại số Khoá luận đợc viết với hai mục tiêu: Mục tiêu khoá luận giúp bạn sinh viên năm cuối khoa toán quan tâm làm quen với cấu trúc đại số mới: cấu trúc mô đun, cấu trúc quan trọng đại số Mục tiêu thứ hai giới thiệu chứng minh số kết quan trọng lý thuyết mô đun Artin Do khuôn khổ luận văn nên phần nội dung khoá luận trình bày số khái niệm, định lý, bổ đề để làm rõ tính chất mô đun Artin Để đọc luận văn thuận lợi ngời đọc cần số kiến thức cấu trúc nhóm, vành, trờng Khoá luận gồm chơng: Chơng 1: tóm tắt kiến thức cần nhớ Chơng 2: nội dung khoá luận: trình bày khái niệm mô đun Artin số kết quan trọng Do điều kiện thời gian khả hạn chế thân nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Kính mong thầy cô giáo bạn sinh viên nhận xét, đóng góp ý kiến để thân rút kinh nghiệm, có hớng hoàn thiện phát triển luận văn sau Đỗ Thị Hằng Nga K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin Em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Huy Hng- giảng viên tổ đại số khoa toán tận tình giúp đỡ em trình hoàn thành khoá luận Hà Nội, tháng 5, năm 2009 Sinh viên Đỗ Thị Hằng Nga Đỗ Thị Hằng Nga K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin Chơng 1: Những kiến thức bổ trợ Đ : Lý thuyết vành Các định nghĩa ví dụ - Vành - Miền nguyên - Trờng - Vành con, trờng - Iđêan - Đồng cấu vành Đ 2: Mô đun Mô đun, mô đun - Định nghĩa mô đun - Định nghĩa mô đun tính chất Mô đun thơng đồng cấu mô đun - Định nghĩa mô đun thơng - Đồng cấu mô đun: + Địng nghĩa + Điều kiện tơng đơng + Tính chất - Địng lý - Định lý R- đồng cấu tổng quát - Định lý đẳng cấu - Định lý đẳng cấu Tổng trực tiếp, tích trực tiếp - Tích trực tiếp - Tổng trực tiếp - Hạng tử trực tiếp Đỗ Thị Hằng Nga K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin Dãy khớp Mô đun tự Chơng 2: Mô đun Artin Đ 1: Định nghĩa ví dụ Các định nghĩa Định nghĩa 2.1.1 Giả sử M mô đun vành giao hoán R Ta nói M R- mô đun Noether thoả mãn điều kiện sau: i) ( Gi ) iN họ mô đun M cho: G1 G2 Gi Gi +1 k N cho Gk = Gk +i i N (điều kiện dãy tăng mô đun M) ii) Mọi tập khác rỗng mô đun M chứa phần tử cực đại (theo quan hệ bao hàm) (điều kiện cực đại mô đun M) Định nghĩa 2.1.2 Giả sử M mô đun vành giao hoán R Ta nói M R- mô đun Artin thoả mãn điều kiện sau: i) ( Gi ) iN họ mô đun M cho: G1 G2 Gi Gi +1 k N cho Gk = Gk +i i N (điều kiện dãy giảm mô đun M) ii) Mọi tập khác rỗng mô đun M chứa phần tử cực tiểu (theo quan hệ bao hàm) (điều kiện cực tiểu mô đun M) Định nghĩa 2.1.4 Giả sử R vành giao hoán Ta nói R vành Noether thoả mãn điều kiện sau: Đỗ Thị Hằng Nga K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin i) ( i ) iN - họ iđêan R mà I I I n I n+1 k N cho Ik = Ik+i i N ii) Mọi tập khác rỗng iđêan R chứa phần tử cực đại (theo quan hệ bao hàm) Định nghĩa 2.1.5 Giả sử R vành giao hoán Ta nói R vành Artin thoả mãn điều kiện sau: i) ( i ) iN - họ iđêan R mà I I I i I i +1 k N cho Ik=Ik+i i N ii) Mọi tập khác rỗng iđêan R chứa phần tử cực tiểu(theo quan hệ bao hàm) Đ 2: Mô đun Artin với tính hữu hạn sinh Mệnh đề 2.2.1 Giả sử K trờng, V không gian véc tơ trờng K Những điều sau tơng đơng: i) V không gian véc tơ hữu hạn chiều ii) V K- mô đun Noether iii) V K- mô đun Artin Chứng minh: + ' i ii ' , ' i iii ' Giả sử V không gian véc tơ hữu hạn chiều, vdimV=n Gọi L không gian véc tơ V L hữu hạn chiều vdimL n Cũng gọi M không gian véc tơ V thoả mãn L M vdimL vdimM Ta có dãy hữu hạn L0 L1 Lt Lt không gian véc tơ V(với quan hệ bao hàm thực sự), với số hạng thứ t +1 thoả mãn Đỗ Thị Hằng Nga K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin t n Vì V K- mô đun Noether K- mô đun Artin + ' ii i ' , ' iii i' Giả sử V không hữu hạn chiều Ta suy V không K- mô đun Noether không K- mô đun Artin Do V vô hạn chiều nên tồn dãy vô hạn phần tử V: ( wi ) iN Với n N họ ( wi ) in=1 độc lập tuyến tính n Với n xét tập Ln = Kwi M n = i =1 Kw i = n +1 i Ln hữu hạn chiều vdim Ln=n Vì L1 L2 Ln không dừng nên V không K- mô đun Noether M n +1 Tơng tự với n N có M n+1 M n wn+1 dãy giảm thực M M M n không dừng Vì V không Artin Vậy V K- mô đun Noether K- mô đun Artin V phải hữu hạn chiều Mệnh đề 2.2.2 Giả sử R mô đun vành giao hoán R M Noether mô đun M hữu hạn sinh Bổ đề 2.2.3 Giả sử M mô đun vành giao hoán R, N mô đun M thì: i) M mô đun Noether N M / N mô đun Noether ii) M mô đun Artin N M / N mô đun Artin Chứng minh sơ lợc: Giả sử M mô đun vành giao hoán R, N mô đun M Đỗ Thị Hằng Nga K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin + Vì mô đun N mô đun M nên dãy tăng mô đun N dãy tăng mô đun M Vì M Noether nên N Noether + Ta chứng minh đợc mô đun M / N có dạng M / N với P mô đun M cho: N P M M / N môđun Noether Trớc hết ta chứng minh: Pi / N Pi +1 / N Pi Pi +1 i = 1, n Kết hợp với giả thiết M Noether Pi mô đun M ta suy đpcm '' N M / N mô đun Noether ta cần chứng minh M Noether Ta chứng minh: M n + N = M n+1 + N = sau chứng minh: M i +1 ( M i + N ) = M i + ( M i +1 N ) Do ta có M i +1 = M i +1 ( M i +1 + N ) = M i +1 ( M i + N ) = M i + ( M i +1 N ) = M i + ( M i N ) = Mi i n Vậy dãy tăng M dừng Do M mô đun Noether Phần ii chứng minh tơng tự Hệ 2.2.4 f g Giả sử R vành giao hoán L M N dãy khớp ngắn R- mô đun i) M Noether L N mô đun Noether ii) M Artin L N mô đun Artin Chứng minh sơ lợc: i) Giả sử M Noether Vì kerg mô đun M nên kerg mô đun Noether, mà L kerg nên L mô đun Noether Vì M Noether kerg mô đun M nên M/ kerg mô đun Noether, mà M/kerg N nên N mô đun Noether Đỗ Thị Hằng Nga 10 K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin Giả sử L N mô đun Noether Vì L kerg M/kerg N nên kerg M/ kerg mô đun Noether ii)Hoàn toàn tơng tự ta có đpcm Hệ 2.2.5 Giả sử M1, , Mn mô đun vành giao hoán R n M i Noether M1, , Mn mô đun Noether i)Tổng trực tiếp: i =1 n M i Artin M1, , Mn mô đun Artin ii) Tổng trực tiếp: i =1 Hệ 2.2.6 Giả sử R vành giao hoán i) Nếu R vành Noether R-mô đun hữu hạn sinh mô đun Noether ii) Nếu R vành Artin R-mô đun hữu hạn sinh mô đun Artin Bổ đề 2.2.7 Giả sử M mô đun vành giao hoán R m M có Rđẳng cấu mô đun f : R /(0 : m)Rm thỏa mãn f (r + (0:m)) = rm r R Định lý 2.2.8 Giả sử G mô đun vành giao hoán R G bị triệt tiêu tích hữu hạn idean cực đại R(không thiết phải khác nhau) nghĩa tồn n N M1, , Mn idean cực đại R cho M MnG = G R-mô đun Noether G R-mô đun Artin Định nghĩa 2.2.9 Giả sử G mô đun vành giao hoán R G đợc gọi mô đun đơn G G có mô đun 10 Bổ đề 2.2.10 Đỗ Thị Hằng Nga 11 K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin Giả sử G mô đun vành giao hoán R G mô đun đơn G đẳng cấu với mô đun có dạng R/ M với M idêan cực đại R Đ 3: Độ dài mô đun Định nghĩa 2.3.1 Giả sử G mô đun vành giao hoán R Một dãy tăng nghiêm ngặt gồm hữu hạn mô đun G: G0 G1 G2 Gn Gn thoả mãn G0 = Gn = G Ngời ta gọi độ dài dãy số liên kết dãy (Trong trờng hợp ta có độ dài dãy n) Ta coi mô đun độ dài Một dãy mô đun G cho bởi: = G0 G1 G2 Gn Gn = G đợc gọi dãy hợp thành G G i/ Gi-1 R- mô đun đơn i = 1, n Định lý 2.3.2 Giả sử G mô đun vành giao hoán R giả sử G có dãy hợp thành có độ dài n thì: i) Không có dãy nghiêm ngặt mô đun G có độ dài lớn n ii) Mọi dãy hợp thành G có độ dài n iii) Mỗi dãy nghiêm ngặt mô đun G có độ dài n' n iv) Mọi dãy nghiêm ngặt mô đun G có độ dài n dãy hợp thành G Chứng minh: Giả sử n > 0, với R- mô đun M ta kí hiệu l(M) độ dài tối thiểu dãy hợp thành M M có dãy hợp thành l(M) = M dãy hợp thành Đỗ Thị Hằng Nga 12 K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin Trớc hết ta chứng minh H mô đun thực G l(H) < l(G) Giả sử l(G) = t = G0 G1 G2 Gt Gt = G dãy hợp thành G có độ dài t Với i = 0, t ta giả sử H i = H Gi Theo định lý đẳng cấu mô đun: Gi Gi / Gi Với i = 0, t R- đồng cấu hợp thành: H i = H Gi (ánh xạ đồng cấu, ánh xạ thứ toàn cấu) Xét ánh xạ f : H i = H Gi Gi / Gi Có kerf = { x H Gi / f ( x ) = 0} = { x H Gi / x Gi 1} = { x H Gi Gi 1} = { x H Gi 1} = H i Khi H i / ker f Im f , Im f Gi / Gi hay H i /H i-1 Imf Gi / Gi Ta xét đơn cấu i : H i / H i Gi / Gi h + H i a h + Gi Vì H i / H i đẳng cấu với mô đun Gi / Gi mà Gi / Gi mô đun đơn nên H i / H i mô đun không mô đun đơn Vì ta bỏ số hạng lặp dãy : = H H1 H t H t = H Gt = H (ví dụ Hi = Hi-1thì ta bỏ Hi) ta đợc dãy hợp thành H Vì l(H) l(G) Hơn ta phải có l(H) < l(G) giả sử ngợc lại l(H) = l(G) H H1 H t H t dãy hợp thành H H0 = = G0 mà H1/ H0 G1/G0 ( H G1 ) / H G1 / G0 H G1 = G1 H1 = G1 Đỗ Thị Hằng Nga 13 K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin tơng tự nh có H = G2 , , H t = Gt H =G Nhng theo H mô đun thực G (mâu thuẫn) Vậy l(H) < l(G) Cũng từ ta suy đợc mô đun G có dãy hợp thành i) Giả sử G '0 G '1 G '2 G 'r G 'r dãy nghiêm ngặt tuỳ ý mô đun G thoả mãn G '0 = G 'r = G Ta có l(0) = = l (G '0 ) < l (G '1 ) < < l (G 'r ) = l (G ) Do G 'r G suy r l (G ) , lại l(G) tối tiểu nên l(G) n r l (G ) n Mặt khác G có dãy hợp thành có độ dài n dãy hợp thành G đặc biệt dãy nghiêm ngặt mô đun G nên n l (G ) (vì dãy hợp thành dãy nghiêm ngặt cực đại) Do n = l(G) r n nghĩa dãy nghiêm ngặt mô đun G có độ dài lớn n ii) Giả sử G có dãy hợp thành có độ dài n1 n1 l (G ) = n ( theo phần i), lại có l(G) n1 theo định nghĩa l(G) suy n1 = n Vậy dãy hợp thành G có độ dài n iii, iv) Từ định nghĩa 2.3.1 phần I, ii ta thấy dãy nghiêm ngặt mô đun G có độ dài n < n = l(G) dãy hợp thành G theo ii dãy hợp thành có độ dài n kéo dài tới dãy nghiêm ngặt có độ dài n+1 cách thêm phần tử Mặt khác dãy nghiêm ngặt mô đun G có độ dài n phải dãy hợp thành G ngợc lại kéo dài tới dãy nghiêm ngặt mô đun G có độ dài n+1 mâu thuẫn với phần i Định nghĩa 2.3.3 Giả sử G mô đun vành giao hoán R Đỗ Thị Hằng Nga 14 K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin Ta nói G có độ dài hữu hạn G có dãy hợp thành Độ dài G kí hiệu l(G) lR(G) (khi cần rõ vành nào) đợc định nghĩa độ dài dãy hợp thành G (Ta biết dãy hợp thành G có độ dài) Khi G độ dài hữu hạn tức G dãy hợp thành ta quy ớc l(G) = Mệnh đề 2.3.4 Giả sử G mô đun vành giao hoán R G có độ dài hữu hạn G vừa mô đun Noether vừa mô đun Artin hay G thoả mãn dãy điều kiện tăng dãy điều kiện giảm mô đun G Chứng minh sơ lợc: Giả sử G có độ dài hữu hạn l(G) theo 2.3.3 dãy tăng mô đun G có độ dài lớn l(G) (kể dãy nghiêm ngặt) phải dãy dừng Do G Noether Tơng tự dãy giảm mô đun G phảilà dãy dừng G Artin Giả sử G vừa mô đun Artin vừa mô đun Noether G phải thoả mãn dãy điều kiện tăng dãy điều kiện giảm mô đun G thoả mãn có mô đun cực đại mô đun cực tiểu Ta giả sử G dãy hợp thành tức l(G) = ta phải mâu thuẫn Đặt = {M/ M mô đun G l(M) = } Sử dụng điều kiện cực đại, cực tiểu để suy điều mâu thuẫn Định nghĩa 2.3.5 Giả sử G mô đun vành giao hoán R G có độ dài hữu hạn Giả sử G0 G1 G2 Gn Gn dãy hợp thành G (Vì = G0 Gn = G , l(G) = n ) ta gọi họ R- mô đun đơn Đỗ Thị Hằng Nga 15 K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin ( Gi / Gi ) i =1 họ thừa số hợp thành dãy hợp thành ( tất nhiên họ n thừa số hợp thành G = 0) Bây giả sử G G '0 G '1 G '2 G 'n G 'n dãy hợp thành thứ G ( ý dãy hợp thành G có độ dài) Ta nói hai dãy hợp thành G đẳng cấu với tồn hoán vị tập {1, 2, ,n} n số nguyên dơng cho i = 1, n ta có Gi / Gi G ' ( i ) / G ' (i ) Bổ đề 2.3.6 Giả sử G mô đun vành giao hoán R H, H mô đun G thoả mãn H H ' G/ H G/ H' đơn G / H H '/( H H ') G / H ' H /( H H ') Định lý 2.3.7 (định lý Jordan- Holder) Giả sử G mô đun khác có độ dài hữu hạn vành giao hoán R dãy hợp thành G đẳng cấu với Chứng minh sơ lợc: Vì G đặt l(G) = n Ta chứng minh quy nạp Rõ ràng với n = Giả sử điều cần chứng minh với < k< n Ta giả sử G0 G1 G2 Gn Gn G '0 G '1 G '2 G 'n G 'n hai dãy hợp thành G Ta xét hai trờng hợp: - Trờng hợp 1: Gn-1 = Gn-1 Gn / Gn = G 'n / G 'n G0 G1 G2 Gn (1) G '0 G '1 G '2 G 'n (2) dãy hợp thành Gn-1 = Gn-1 Vì l(Gn-1)= n-1 theo giả thiết quy nạp ta có (1) (2) đẳng cấu với Gn = Gn nên G0 G1 G2 Gn1 Gn (1) G '0 G '1 G '2 G 'n G 'n (2) đẳng cấu với Đỗ Thị Hằng Nga 16 K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin - Trờng hợp 2: Gn-1 Gn-1 Xét H = Gn-1 Gn-1 Theo bổ đề 2.3.6 có Gn / Gn G 'n 1/ H G 'n / G 'n Gn / H Vì chúng mô đun đơn + Nếu H = Gn-1 Gn-1là đơn n = Ta có hai dãy Gn Gn (*) G 'n G 'n (**) có Gn / Gn1 G 'n1 G 'n / G 'n Gn mà Gn-1 Gn-1là đơn suy G 'n Gn suy Gn / Gn G 'n / G 'n1 suy dãy (*) đẳng cấu với(**) + Nếu H H Gn Gn dãy nghiêm ngặt mô đun G = Gn Gn / Gn , G 'n / G 'n mô đun đơn (a) Ta thêm số hạng để có đợc dãy hợp thành G, l(G) = n nên l(H) = n-2 Ta lấy dãy H H1 H H n dãy hợp thành H Từ ta có H H1 H H n Gn Gn H H1 H H n G 'n G 'n dãy hợp thành G đẳng cấu với Nhng có G0 G1 G2 Gn Gn H H1 H H n Gn Gn G đẳng cấu với Tơng tự H H1 H H n G 'n G 'n G '0 G '1 G '2 G 'n G 'n đẳng cấu với Do hai dãy G0 G1 G2 Gn Gn G '0 G '1 G '2 G 'n G 'n đẳng cấu với Định lý 2.3.8 f g Giả sử R vành giao hoán L M N dãy khớp ngắn R- mô đun R- đồng cấu: a R- mô đun M có độ dài hữu hạn L N có độ dài hữu hạn Đỗ Thị Hằng Nga 17 K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin b Khi L, M, N có độ dài hữu hạn l(M) = l(L) + l(N) Chứng minh: i) Vì R- mô đun M có độ dài hữu hạn vừa mô đun Noether vừa mô đun Artin L N vừa mô đun Noether vừa mô đun Artin L N có độ dài hữu hạn Do R- mô đun M có độ dài hữu hạn L N có độ dài hữu hạn Để ý L Im f = ker g theo định lý đẳng cấu thứ mô đun ta có M / ker g N ta có kerg M/ kerg có độ dài hữu hạn Điều cho thấy G mô đun M (với M có độ dài hữu hạn ) l(M) = l(G) + l(M/ G) Thật vậy: Kết đợc trực tiếp suy G = G = M Bây ta giả sử G M ta thêm vào dãy mô đun m để đợc dãy hợp thành M M M M M n M n (M0 = 0, Mn = M l(M) = n) Giả sử Mt = G M M M M t M t dãy hợp thành G M t / G M t +1 / G M n / G dãy hợp thành M/ G Vì l(G) + l(M/ G) = t + (n-t) = n = l(M) Mệnh đề 2.3.9 Giả sử V không gian véc tơ trờng K V K- không gian hữu hạn chiều K- mô đun hữu hạn chiều trờng hợp ta có vdimKV = l(V) Chứng minh sơ lợc: Ta chứng minh theo quy nạp: Đặt n = vdimKV - Khi n = 0, n = (đúng) - Giả sử kết với 1< k < n Giả sử v V , v đặt U = Kv không gian chiều V Đỗ Thị Hằng Nga 18 K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin i f Xét dãy khớp ngắn: U V V / U K- không gian K- ánh xạ tuyến tính I ánh xạ bao hàm, f toàn cấu U V/ U không gian có số chiều hữu hạn vdimKV = vdimK(kerf) + vdimK(V/ U) vdimK(V/ U) = vdimKV - vdimK(kerf) mà kerf = Imi = U vdimK(kerf) = vdimK(V/ U) = n-1 Theo giả thiết quy nạp l(V/ U) = vdimK(V/ U) = n-1 mà vdimKU = l(U) vdimKV = vdimKU + vdimK(V/ U) = l(U) + l(V/ U) = + n-1 =n (đpcm) Đỗ Thị Hằng Nga 19 K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin Kết luận Trên bảng tó tắt toàn nội dung đề tài: Mô đun Artin Trớc tiên ngời đọc đa hệ thống lý thuyết định nghĩa, định lý, bổ đề, mệnh đề làm sở cho việc nghiên cứu tính chất mô đun Artin Sau nghiên cứu mô đun Artin với tính chất riêng mối quan hệ với số mô đun đặc biệt dựa tính chất độc đáo thể mối liên quan chúng Hi vọng tài liệu góp ích đợc phần bạn sinh viên quan tâm đến đại số nói riêng, đến toán học nói chung Chắc chắn khoá luận tránh khỏi sai xót, mong nhận đợc đóng góp ý kiến chân thành thầy cô bạn Hà Nội, tháng 5, năm 2009 Sing viên Đỗ Thị Hằng Nga Đỗ Thị Hằng Nga 20 K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin Tài liệu tham khảo Nguyễn Hữu Việt Hng, Đại số đại cơng, NXB GD 1999; Ngô Thúc Lanh, Đại số (Giáo trình sau đại học), NXB GD 1982; Đỗ Thị Hằng Nga 21 K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Đỗ Thị Hằng Nga Mô đun Artin 22 K31E- Toán [...]... các R- mô đun và các R- đồng cấu: a R- mô đun M có độ dài hữu hạn L và N có độ dài hữu hạn Đỗ Thị Hằng Nga 17 K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin b Khi L, M, N có độ dài hữu hạn thì l(M) = l(L) + l(N) Chứng minh: i) Vì R- mô đun M có độ dài hữu hạn nó vừa là mô đun Noether vừa là mô đun Artin L và N vừa là mô đun Noether vừa là mô đun Artin L và N có độ dài hữu hạn Do đó R- mô đun M có... cho M 1 MnG = 0 thì G là R -mô đun Noether G là R -mô đun Artin 9 Định nghĩa 2.2.9 Giả sử G là một mô đun trên vành giao hoán R thì G đợc gọi là mô đun đơn nếu G 0 và G chỉ có 2 mô đun con là 0 và chính nó 10 Bổ đề 2.2.10 Đỗ Thị Hằng Nga 11 K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin Giả sử G là một mô đun trên vành giao hoán R thì G là mô đun đơn G đẳng cấu với một mô đun có dạng R/ M với M là idêan... 19 K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin Kết luận Trên đây là bảng tó tắt toàn bộ nội dung đề tài: Mô đun Artin Trớc tiên ngời đọc đa ra một hệ thống lý thuyết về các định nghĩa, định lý, bổ đề, mệnh đề làm cơ sở cho việc nghiên cứu những tính chất của mô đun Artin Sau đó là nghiên cứu mô đun Artin với các tính chất riêng của nó và trong mối quan hệ của nó với một số mô đun đặc biệt dựa trên... tự bất kì một dãy giảm các mô đun con của G phảilà dãy dừng do đó G là Artin Giả sử G vừa là mô đun Artin vừa là mô đun Noether thế thì G phải thoả mãn cả dãy điều kiện tăng cả dãy điều kiện giảm các mô đun con của G và thoả mãn có mô đun con cực đại và mô đun con cực tiểu Ta giả sử G không có một dãy hợp thành nào tức l(G) = ta phải chỉ ra mâu thuẫn Đặt = {M/ M là mô đun con của G và l(M) = }... vành giao hoán i) Nếu R là một vành Noether thì mọi R -mô đun hữu hạn sinh đều là mô đun Noether ii) Nếu R là một vành Artin thì mọi R -mô đun hữu hạn sinh đều là mô đun Artin 7 Bổ đề 2.2.7 Giả sử M là một mô đun trên vành giao hoán R và m M thì có một Rđẳng cấu mô đun f : R /(0 : m)Rm thỏa mãn f (r + (0:m)) = rm r R 8 Định lý 2.2.8 Giả sử G là một mô đun trên vành giao hoán R và G bị triệt tiêu bởi một...Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin Giả sử L và N là các mô đun Noether Vì L kerg và M/kerg N nên kerg và M/ kerg là các mô đun Noether ii)Hoàn toàn tơng tự ta có đpcm 5 Hệ quả 2.2.5 Giả sử M1, , Mn là các mô đun trên vành giao hoán R n M i là Noether M1, , Mn là các mô đun Noether i)Tổng trực tiếp: i =1 n M i là Artin M1, , Mn là các mô đun Artin ii) Tổng trực tiếp:... hợp thành ta quy ớc l(G) = 4 Mệnh đề 2.3.4 Giả sử G là một mô đun trên vành giao hoán R thì G có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi G vừa là mô đun Noether vừa là mô đun Artin hay G thoả mãn cả dãy điều kiện tăng cả dãy điều kiện giảm các mô đun con của G Chứng minh sơ lợc: Giả sử G có độ dài hữu hạn l(G) thì theo 2.3.3 mọi dãy tăng bất kì các mô đun con của G không thể có độ dài lớn hơn l(G) (kể cả dãy... của G nếu G i/ Gi-1 là một R- mô đun đơn i = 1, n 2 Định lý 2.3.2 Giả sử G là một mô đun trên vành giao hoán R và giả sử G có một dãy hợp thành có độ dài n thì: i) Không có dãy nghiêm ngặt các mô đun con của G có độ dài lớn hơn n ii) Mọi dãy hợp thành của G có độ dài đúng bằng n iii) Mỗi dãy nghiêm ngặt các mô đun con của G có độ dài n' n iv) Mọi dãy nghiêm ngặt các mô đun con của G có độ dài n là... G1 = G1 H1 = G1 Đỗ Thị Hằng Nga 13 K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin tơng tự nh thế có H 2 = G2 , , H t = Gt H =G Nhng theo trên H là mô đun con thực sự của G (mâu thuẫn) Vậy l(H) < l(G) Cũng từ đây ta suy ra đợc mọi mô đun con của G đều có dãy hợp thành i) Giả sử G '0 G '1 G '2 G 'r 1 G 'r là một dãy nghiêm ngặt tuỳ ý các mô đun con của G thoả mãn G '0 = 0 và G 'r = G Ta có l(0)... cực đại nào đó của R Đ 3: Độ dài mô đun 1 Định nghĩa 2.3.1 Giả sử G là một mô đun trên vành giao hoán R Một dãy tăng nghiêm ngặt gồm hữu hạn các mô đun con của G: G0 G1 G2 Gn 1 Gn thoả mãn G0 = 0 và Gn = G Ngời ta gọi độ dài của dãy là số các liên kết của dãy (Trong trờng hợp này ta có độ dài của dãy bằng n) Ta coi mô đun không có độ dài bằng 0 Một dãy các mô đun con của G cho bởi: 0 = G0 G1 ... Iđêan - Đồng cấu vành Đ 2: Mô đun Mô đun, mô đun - Định nghĩa mô đun - Định nghĩa mô đun tính chất Mô đun thơng đồng cấu mô đun - Định nghĩa mô đun thơng - Đồng cấu mô đun: + Địng nghĩa + Điều... mô đun Artin Chứng minh sơ lợc: Giả sử M mô đun vành giao hoán R, N mô đun M Đỗ Thị Hằng Nga K31E- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mô đun Artin + Vì mô đun N mô đun M nên dãy tăng mô đun N dãy tăng mô. .. mô đun vành giao hoán R M Noether mô đun M hữu hạn sinh Bổ đề 2.2.3 Giả sử M mô đun vành giao hoán R, N mô đun M thì: i) M mô đun Noether N M / N mô đun Noether ii) M mô đun Artin N M / N mô