Đang tải... (xem toàn văn)
Cho A nằm ngoài đường tròn (O), từ A kẻ hai tiếp tuyến AB,AC trong đó B,C là hai tiếp điểm . AO cắt cắt đường tròn tại hai điểm E,F và cắt đường thẳng BC tại K. Chứng minh rằng ( , , , ) = −1 Lời giải: Ta có OB2= . (hệ thức lượng tam giác vuông) (1) Mặt khác: OB2= OE2= OF2 (2) Từ (1) và (2) suy ra OE2 2 = OF = . Theo nhận xét của định lí 1 suy ra đpcm F O K B E A C Một hệ quả thấy ngay từ bài toán này là: Bài toán 2.1: Cho A nằm ngoài đường tròn (O), từ A kẻ hai tiếp tuyến AB,AC và cát tuyến AMN bất kì trong đó N nằm giữa A và M. AO cắt đoạn BC và cung nhỏ BC lần lượt tại K và E. Chứng minh rằng ME là phân giác của ∠KMA B M N F Lời giải : O K C E A Gọi F là giao điểm thứ hai của AE với (O) theo bài toán 2 ta có ( , , , ) = −1 Vì ∠FME = 900 nên theo nhận xét của định lí 2 ta có đpcm.
Bài toán 2: Cho A nằm đường tròn (O), từ A kẻ hai tiếp tuyến AB,AC B,C hai tiếp điểm AO cắt cắt đường tròn hai điểm E,F cắt đường thẳng BC K Chứng minh ( , , , ) = −1 Lời giải: Ta có OB = (hệ thức lượng tam giác vuông) (1) Mặt khác: OB = OE = OF (2) Từ (1) (2) suy OE = OF = Theo nhận xét định lí suy đpcm 2 2 B F O K E A C *Một hệ thấy từ toán là: Bài toán 2.1: Cho A nằm đường tròn (O), từ A kẻ hai tiếp tuyến AB,AC cát tuyến AMN N nằm A M AO cắt đoạn BC cung nhỏ BC K E Chứng minh ME phân giác ∠KMA B M N O F E A K L C i g i ả i : Gọi F giao điểm thứ hai AE với (O) theo toán ta có ( , , , ) = −1 V ì ∠FME = 90 nhận xét định lí nên ta có đpcm theo *Tinh tế chút ta thu toán khó sau: Bài toán 2.2: (kimluan) Cho tam giác ABC Lấy điểm I ta giác cho ∠IAB = ∠IBC ∠∠BVC = I 90 Chứng A minh C BV = ∠ I C B L ấ y V m ột ể m tr ê n A I sa o c h o Suy (1) ralà = phâ (2) n tự: Tương EC giác = Từ ∠ (1) BI và (2) CV suy E phâ n trun ggiác điể m ∠ CI BC Lời Vẽ giải đườ : ng Gọi tròn E giao đườ điể ng m kính BC AI đườ với ng BC tròn Vì tam giác qua IBE V đồn g nhậ dạn ng E làm tam tâm giác EA B(g 22 g) EV = ET = EB (3) B T Từ (1) (3) suy EV E = ET I V = Theo nhận xét định lí ta có ( , , , )A E I T = −1 Mà ∠VBT = 90 Nên theo định lí suy BV phân giác ∠ABI Lập luận tương tự suy CV phân giác ∠ACI Vậy toán giải trọn vẹn C A 2 *Nhận xét: +Điểm I xác định có nhiều tính chất kì lạ sa vào vấn đề e không đến mục tiêu viết nên ta tạm gác lại vấn đề hẹn bàn lại vào dịp khác,một chương đề khác Bài toán 2.3: Cho (O) điểm K nằm (O) Từ K ta kẻ hai tiếp tuyến OE,OF hai cát tuyến KMQ KNP Chứng minh EF,MN,PQ đồng quy điểm Lời giải: K A M B E Q O F D P N C Ta kẻ tiếp tuyến qua M,N,P,Q Các tiếp tuyến cắt điểm A,B,C,D (hình vẽ) Theo tính chất A,E,F,C thẳng hàng theo tính chất AC,MN,PQ đồng quy điểm từ suy EF,MN,PQ đồng quy điểm (đpcm) *Từ toán ta suy toán tổng quát toán sau: Bài toán 2.4: Cho A nằm đường tròn (O), từ A kẻ hai tiếp tuyến AB,AC cát tuyến AMN N nằm A M Gọi L giao đểm MN với BC Chứng minh (A,L,M,N) = −1 T B N L M F O A E K C Lời giải: Gọi E,F giao điểm AO với (O) E nằm F A Gọi K giao điểm EF với BC theo toán ( , , , )A K E F = −1 (1) Mặt khác theo toán 2.3 NF,BK,ME đồng quy gọi điểm đồng quy T (2) Từ (1) (2) suy (TA,TK,TE,TF)= 1− Theo định lí chùm điều hòa suy (A,L,M,N) = −1 (đpcm) *Nhận xét: Từ toán ta suy toán hay sau đây: “Cho hai đường tròn (O_1) (O_2) có cắt hai điểm E F Lấy điểm A tia EF kéo dài Kẻ hai tiếp tuyến AM,AN với (O_1) hai tiếp tuyến AP,AQ với (O_2) Chứng minh ba đường thẳng MN,PQ,EF đồng quy điểm.” M P O1 I E F O2 N Q A (chứng minh: Gọi I giao điểm EF với MN, tam giác O_1 ta có (A,I,F,E)= −1 tương tự gọi I’ giao điểm EF với PQ có (A,I’,F,E)= −1 suy I trùng I’ suy đpcm) *Chú ý sử dụng tính chất tính chất cho ta toán sau đây: Bài toán 2.5: Cho (O) điểm A nắm (O) Kẻ hai tiếp tuyến AB,AC hai cát tuyến AMQ ANP.Chứng minh BC, QN PM đồng quy điểm B Q M A O N P C Từ toán ta có cách phát biểu khác cho toán 2.4: Bài toán 2.6: Cho (O) điểm A nằm (O) Kẻ hai cát tuyến AMQ ANP Gọi I giao điểm PM với QM E,F giao điểm AI với (O) (E nằm A F) Chứng minh (A,I,E,F) = −1 Q M O E I A N F P Đây mảnh đất tươi tốt nên để dành cho bạn tự cày xới, chúc bạn tìm viên ngọc “lấp lánh” mảnh đất Xét theo khía cạnh khác!!! Các vấn đề thực theo tư tưởng phát triển tìm kiếm nên tài tử Nếu ta gặp toán hoàn toàn xa lạ ta phải tiếp cận ? Và “hàng điểm điều hòa” liệu trường hợp có công cụ hiệu lực ? Đây câu hỏi lớn thể công cụ mạnh hay yếu! Để thể “sức mạnh” công cụ vừa dẫn sau trình bày ba thí dụ điển hình cách công vô dũng mãnh bạn Hophu cung cấp Thí dụ 1: (đề Iran) Cho đường tròn nội tiếp (O) tam giác ABC.Gọi M trung điểm BC, AM cắt (O) hai điểm K L(K nằm A L).Qua K kẻ đường thẳng song song với BC cắt (O) điểm thứ hai X, Qua L kẻ đường thẳng song song với BC cắt (O) điểm thứ hai Y, AX AY cắt BC Q P Chứng minh M trung điểm PQ A K X E T F O L Y B P D M C Q Lời giải: (Hophu) *Tư tưởng: Ta thấy yếu tố lượm thượm, nên hấp tấp lao vào “búa” gặp nhiều khó khăn lượm thượm Do trước hết cần xem thử đâu yếu tố đâu yếu tố để làm rối, gạn hết thằng “giấy dá” làm rối , đưa toán đơn giản động thủ Gọi D,E,F tiếp điểm BC,CA,AB với (O) Ta có:LY=AL vàMQ=AM Suy MP AM KX AK LY MQ.=AL MP KX AK Do để chứng minh M trung điểm PQ ta cần chứng minhLY=AL (1) KX AK Gọi T giao điểm KL với YX ta cóLY=TL (2) KX TK Từ (2) suy để chứng minh (1) ta cần chứng minhTL=AL TK AK Hay cần chứng minh (A,T,K,L) = −1 Chú ý KXLY hình thang cân nên dễ thấy T nằm OD đến vấn đề lộ rõ: *Bình luận: điểm P,Q,X,Y điểm để làm rối, thực chất lõi toán toán sau: “ Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC Gọi D,E,F tiếp điểm BC,CA,AB với (O) Gọi M trung điểm BC, AM cắt (O) K L (K nằm A L) OD cắt AM T Chứng minh (A,T,K,L) = −1 ” (*) A K E T F B O D M C Vấn đề đến lại mở tương lai theo toán 2.4 ta gọi T’ giao điểm EF với AM (A,T’,K,M) = −1 Vậy để chứng minh toán (*) ta cần chứng minh T ≡ T ' hay cần chứng minh T nằm EF hay cần chứng minh đường thẳng AM,EF,OD đồng quy (3) Gọi L giao điểm OD với EF M’ giao điểm AL với BC Để chứng minh (3) ta cần chứng minh L T≡ hay cần chứng minh M'≡M Vậy ta quy chứng minh toán sau: “ Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC Gọi D,E,F tiếp điểm BC,CA,AB với (O) OD cắt EF L.AL cắt BC M’ Chứng minh M’ trung điểm BC” (**) A T E F O B D M' C *Bình luận: Bước quy từ toán (*) thành toán (**) gọi bước “đảo giả thiết” nghĩa thay ta phải chứng minh yếu tố mà ta cảm thấy khó chịu chứng minh thẳng hàng chẳng hạn ta cho thẳng hàng luôn, bù lại ta phải hi sinh giả thiết có từ trước nhiệm vụ phải chứng minh giả thiết hi sinh suy từ điều có (các bạn so sánh toán (*) với toán( **) để thấy rõ điều này) Việc đảo giả thiết đơn giản lại đem đến hiệu bất ngờ có mà toán gốc khó chứng minh cần đảo lại phát vấn lại rõ ban ngày!!! Bây ta chứng minh toán (**) Kẻ tia Ax song song với BC (về phía C), FE cắt Ax L Theo hệ (phần lí thuyết chùm điều hòa) suy để chứng minh M’ trung điểm BC ta cần chứng minh (AB,AC, AM’,AL) = −1 hay cần chứng minh (AF,AE,A T,AL) = −1 Hay cần chứng minh (F,E,T,L) = −1 (4) A K L x E T F O C D M' B Kẻ DT vuông góc AL cắt AL K dễ chứng tỏ điểm A,K,E,O,F nằm ∠ = ∠OKE (5) đường tròn mà OF=OE nên suy OKF Theo cách vẽ điểm K ta có ∠TKL = 90 (6) Kết hợp (5),(6) theo hệ (phần lí thuyết chùm điều hòa) suy ( , , , ) = −1 Suy (4) suy đpcm Thí dụ 2: Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC Gọi A B C , , l ần lượt tiếp điểm BC,CA,AB với (O), A giao điểm thứ hai AA với (O) B giao điểm thứ hai BB với (O) Phân giác ∠B A C1 ∠A B C1 1 cắt c 1 B C A , phân giác C A B Chứng minh P _{O ( A A A )}= P _{O (B1 3B B)} Lời gải: (Hophu) 2 11 12 3 A A A C O B O1 A1 C Kẻ B C cắt BC O Vẽ hình 11 xác ta thấy O tâm A A A1 Ta chưa biết điều hay sai cho xem Khi OA tiếp tuyến P _{O (A A A A A( A1 3)(vì 123 )} = OA Lập luận tương tự ta OA ⊥ O A ) nên có P _{O (B B1 3B)} = OB ý OA = OB nên ta có đpcm 1 Vậy dự đoán phía ta ta cần chứng minh O tâm A A A1 xong Vậy ta quy chứng minh toán đơn giản sau: “Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC Gọi 1, ,1 tiếp điểm BC,CA,AB với (O), A giao điểm thứ hai AA với (O) Phân giác ∠B A C1 1 cắt B C t ại A gọi O giao điểm B C v ới BC Chứng minh O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A A A1 ” 11 1 11 A A2 B1 A3 C1 O B O1 AB Theo “định lí tứ giác điều hòa” ta có AB = 11 AC 11 21 AB 13 AB Từ (1) (2) suy 21 = AB 31 AC AC 21 31 suy (1) 21 AC Mà A A phân giác ∠B A C1 1 suy C A1 = 11 AB 31 AC AC 11 31 (2) A A phân giác ∠B A C1 23 Tất nhiên để chứng minh O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A A A1 ta cần chứng minh OA = OA tức cần chứng minh ∠O A A1 = ∠O A A 132 Thật vậy: ∠O A A = ∠O A C + ∠C A A = ∠A B C + ∠B A A = ∠A A C (đpcm) 123 121 123 211 123 231 Thí dụ 3: (chọn đội tuyển Việt Nam) Cho hai đường tròn (O_1) (O_2) cắt hai điểm A B Hai tiếp tuyến A B đường tròn (O_1) cắt K Lấy M (O_1) MK cắt (O_1) điểm thứ hai C Gọi P Q MA,MB với (O_2) a)Chứng minh MC chia đôi đoạn thẳng PQ b)Chứng minh PQ qua điểm cố định Lời giải: (Hophu) a) Gọi N giao điểm MK với PQ ta cần chứng minh NP=NQ (1) Gọi C L giao điểm MK với (O_1) MK với đoạn thẳng AB Ta có ACBM tứ giác điều hòa (định lí tứ giác điều hòa) đó:CA=MA (2) CB MB Mặt khác ∠BPQ = ∠BAQ = ∠BAC = ∠BMC suy MPNB tứ giác nội tiếp (3) suy tam giác ACB tam giác PNB đồng dạng (g.g) suy raNP=CA NB CB LCKO O Từ (2) (3) suy raNP=MA NB MB M N BQ A P I T Do để chứng minh (1) ta cần chứng minhNQ=MA N M Điều hai tam giác MAB tam giác NQB đồng dạng (g.g) Vậy câu a) giải b) Gọi T giao điểm AK với (O_2),hai tiếp tuyến T B (O_2) cắt I rõ ràng I điểm cố định Sau nhiều lần vẽ hình xác ta thấy PQ qua điểm I nên dự đoán I điểm cố định mà PQ qua ta chứng minh điều Để chứng minh PQ qua I ta cần chứng minh PBQT tứ giác điều hòa xong (theo nhận xét định lí tứ giác điều hòa) (*) *Để chứng minh (*) bạn Hophu cho biết ban đầu suy nghĩ sau: Theo toán 2.4 ta có (K,L,C,M) = −1 suy ( , , , ) = −1 hay ( , , , ) = −1 , ) = −1 hay ( AB, AT , Ta thấy điểm B,Q,T,P gần có ý nghĩa để ( , , , ) = −1 nhiệm vụ ta cần chứng minh BQTB tứ giác điều hòa Vậy phải có toán sau: Bài toán lạ: “Cho đường tròn (O_2) điểm A nằm đường tròn Chùm điều hòa (Ax,Ay,Az,At) = −1 cắt (O_2) điểm B,T,Q,P Cmr: ( , , , ) = −1 ” Một toán cực hay (là cầu nối tuyệt vời chùm điều hòa tứ giác điều hòa) xem thí dụ giải Theo kiến thức toán lạ (nhưng lạ thật (đối với bạn) hay không chưa biết) thâm tâm nảy mối nghi ngờ toán sai ? A P O2 B Q T (hình vẽ toán lạ) Tuy nhiên việc chứng minh trực tiếp cho “bài toán lạ” tương đối rợn (sợ khó thí dụ 3) để kiểm tra “bài toán lạ “ hay sai tạm thời ta chấp nhận ví dụ giải cách (vì đề toán có lời giải nên sai được!) Việc cho ví dụ công cụ đắc lực để chứng tỏ toán lạ sai Giả sử ví dụ chứng minh, ta chứng minh toán lạ (sử dụng “hình vẽ toán lạ” trên) Gọi K giao điểm đường trung trực AB với AT Đường thẳng vuông góc với AK(tại A) đường thẳng vuông góc với BK(tại B) cắt O_1 Vẽ đường tròn tâm O_1 đường kính O_1A ta kí hiệu đường tròn (O_1) Dễ thấy (O_1) qua B KA,KB hai tiếp tuyến K tới (O_1) Giả sử AP cắt (O_1) tai M MK cắt AB L cắt (O_1) C (khác M) Như ta hình vẽ sau phát họa lại từ “bài toán lạ” là: M A P L C K O2 O B Q T = −1 suy (AK,AL,AC,AM) = −1 hay (AK,AL,AC,AP) Vì = −1 (K,L,C ,M) Hay (AB,AT,AC,AP) = −1 mà theo giả thiết ta có (AB,AT,AQ,AP) = −1 Suy A,C,Q thẳng hàng Đến ta yếu tố y chang ví dụ thí dụ BQTP tứ giác điều hòa toán chứn g minh *Nhận xét: Qua cách xây dựng bạn dễ dàng nhận kết thí dụ 3(câu b) với toán lạ tương đương với Do ta chứng minh thẳng cho” toán lạ” câu b) thí dụ xem giải ngược lại cách ta chứng minh thí dụ toán lạ Rất may mắn ta có cách rẩt đơn giản để giải thí dụ (câu b) sau: M A P L C K O2 O1 N B Q T Để chứng minh BQTP tứ giác điều hòa tức ta cần chứng minh QB PB = (4) QT PT Từ kết có câu a) ban dễ dàng chứng minh: Tam giác BPT đồng dạng tam giác BMA (g.g) suy raPB=MB (5) PT MA QB CB Tam giác BQT đồng dạng tam giác BCA (g.g) suy = (6) QT CA Mặt khác CAMB tứ giác điều hòa nênCB=MB(7) CA MA Từ (5),(6) (7) suy (4) Vậy câu b chứng minh dẫn đến toán lạ giải *Nhận xét: Thực mà nói thí dụ có chứng minh hay không quan trọng thể tính chất hình học tầm thường Tuy nhiên kết từ việc giải cho ta viên ngọc vô giá là” toán lạ” Nếu bạn tìm cách chứng minh khác cho “bài toán lạ” xin post lời giải đầy đủ forum để người tham khảo *Chú thích: gọi “bài toán lạ” không vấn đề ta đâu lạ!!! Chương đề xin khép lại …… Các bạn thân mến hẳn qua thí dụ bạn phần thấy vẻ đẹp điều hòa hình học Trong sống cần tạo cho điều hòa cần thiết giúp ta khỏe mạnh yêu đời hơn… Chúc tất người sống điều hòa [...]... BQTP là tứ giác điều hòa tức là ta cần chứng minh QB PB = (4) QT PT Từ các kết quả đã có ở câu a) các ban có thể dễ dàng chứng minh: Tam giác BPT đồng dạng tam giác BMA (g.g) suy raPB=MB (5) PT MA QB CB Tam giác BQT đồng dạng tam giác BCA (g.g) suy ra = (6) QT CA Mặt khác vì CAMB là tứ giác điều hòa nênCB=MB(7) CA MA Từ (5),(6) và (7) suy ra (4) đúng Vậy câu b được chứng minh dẫn đến bài toán lạ cũng... chưa biết) do đó trong thâm tâm chúng tôi vẫn nảy mối nghi ngờ là bài toán này đúng hay là sai ? A P O2 B Q T (hình vẽ bài toán lạ) Tuy nhiên việc chứng minh trực tiếp cho bài toán lạ” là tương đối rợn (sợ còn khó hơn cả thí dụ 3) do chỉ để kiểm tra bài toán lạ “ này là đúng hay sai thì tạm thời ta chấp nhận ví dụ 3 đã được giải quyết bằng một cách nào đó (vì đây là đề của một bài toán đã có lời giải... tự ta 1 OA ⊥ O 1 A 1 ) nên 1 có P _{O (B B1 2 3B)} = 2 OB chú ý OA = OB nên ta có đpcm 1 1 1 Vậy dự đoán phía trên của ta là đúng và bây giờ ta chỉ cần chứng minh O là tâm của 1 A A A1 2 3 nữa là xong Vậy ta quy về chứng minh bài toán đơn giản hơn như sau: “Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC Gọi 1, ,1 1 lần lượt là tiếp điểm của BC,CA,AB với (O), A là giao điểm thứ hai của AA với (O) Phân giác. .. giác điều hòa và bài toán được chứn g minh *Nhận xét: Qua cách xây dựng trên các bạn có thể dễ dàng nhận ra kết quả ở thí dụ 3(câu b) với bài toán lạ là tương đương với nhau Do đó nếu ta chứng minh được thẳng cho” bài toán lạ” thì câu b) thí dụ 3 xem như được giải quyết ngược lại nếu bằng một cách nào đó ta chứng minh được thí dụ 3 là đúng thì bài toán lạ cũng đúng luôn Rất may mắn ta có một cách rẩt... qua I ta chỉ cần chứng minh PBQT là tứ giác điều hòa là xong (theo nhận xét trong định lí về tứ giác điều hòa) (*) *Để chứng minh (*) bạn Hophu cho biết ban đầu đã suy nghĩ như sau: Theo bài toán 2.4 ta có (K,L,C,M) = −1 suy ra ( , , , ) = −1 hay ( , , , ) = −1 , ) = −1 hay ( AB, AT , Ta thấy các điểm B,Q,T,P gần như chỉ có ý nghĩa để ( , , , ) = −1 và nhiệm vụ của ta là cần chứng minh BQTB là tứ giác. .. đúng là một công cụ đắc lực để chứng tỏ bài toán lạ là đúng hay là sai Giả sử ví dụ 3 đã được chứng minh, ta sẽ chứng minh bài toán lạ là đúng (sử dụng “hình vẽ bài toán lạ” ở trên) Gọi K là giao điểm của đường trung trực AB với AT Đường thẳng vuông góc với AK(tại A) và đường thẳng vuông góc với BK(tại B) cắt nhau tại O_1 Vẽ đường tròn tâm O_1 đường kính O_1A ta kí hiệu đường tròn này là (O_1) Dễ thấy... hòa Vậy phải chăng có bài toán sau: Bài toán lạ: “Cho đường tròn (O_2) và một điểm A nằm trên đường tròn Chùm điều hòa (Ax,Ay,Az,At) = −1 cắt (O_2) tại 4 điểm lần lượt là B,T,Q,P Cmr: ( , , , ) = −1 ” Một bài toán cực hay (là cầu nối tuyệt vời giữa chùm điều hòa và tứ giác điều hòa) và nếu nó đúng thì xem như thí dụ 3 được giải quyết Theo kiến thức của chúng tôi thì đây là một bài toán lạ (nhưng lạ thật... tròn ngoại tiếp tam giác A A A1 2 3 ” 2 11 3 1 1 11 A A2 B1 A3 C1 O B O1 AB Theo “định lí về tứ giác điều hòa” ta có AB = 11 AC 11 21 AB 13 AB Từ (1) và (2) suy ra 21 = AB 31 AC AC 21 31 suy ra (1) 21 AC Mà A A là phân giác của ∠B A C1 1 1 suy ra C A1 = 11 AB 31 AC AC 11 31 (2) A A là phân giác của ∠B A C1 2 1 23 Tất nhiên để chứng minh O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A A A1 2 3 ta chỉ cần chứng... cố định Lời giải: (Hophu) a) Gọi N là giao điểm của MK với PQ ta cần chứng minh NP=NQ (1) Gọi C và L lần lượt là giao điểm của MK với (O_1) và MK với đoạn thẳng AB Ta có ACBM là tứ giác điều hòa (định lí tứ giác điều hòa) do đó:CA=MA (2) CB MB Mặt khác ∠BPQ = ∠BAQ = ∠BAC = ∠BMC suy ra MPNB là tứ giác nội tiếp (3) suy ra tam giác ACB và tam giác PNB đồng dạng (g.g) suy raNP=CA NB CB LCKO O Từ (2) và (3)... hình học tầm thường Tuy nhiên kết quả từ việc giải nó đã cho ta một viên ngọc vô giá là” bài toán lạ” Nếu bạn nào tìm được một cách chứng minh nào khác cho bài toán lạ” thì xin post lời giải đầy đủ trong forum để mọi người cùng tham khảo *Chú thích: bây giờ gọi đây là bài toán lạ” cũng không còn đúng nữa bởi vấn đề này hiện nay đối với ta cũng đâu còn gì là lạ!!! Chương đề này xin khép lại ở đây ... với (O) theo toán ta có ( , , , ) = −1 V ì ∠FME = 90 nhận xét định lí nên ta có đpcm theo *Tinh tế chút ta thu toán khó sau: Bài toán 2.2: (kimluan) Cho tam giác ABC Lấy điểm I ta giác cho ∠IAB... tứ giác điều hòa tức ta cần chứng minh QB PB = (4) QT PT Từ kết có câu a) ban dễ dàng chứng minh: Tam giác BPT đồng dạng tam giác BMA (g.g) suy raPB=MB (5) PT MA QB CB Tam giác BQT đồng dạng tam... giác nội tiếp (3) suy tam giác ACB tam giác PNB đồng dạng (g.g) suy raNP=CA NB CB LCKO O Từ (2) (3) suy raNP=MA NB MB M N BQ A P I T Do để chứng minh (1) ta cần chứng minhNQ=MA N M Điều hai tam