Mục lục số, σ − đại số tập tập cho trước Đại số tập Vành Boole có đơn vị hay dại số tập (ngắn gọn đại Vành Boole đại số sinh họ Ω tập Nửa vành σ − vành, σ − đại số (σ − vành có đơn vị) σ − vành σ − đại số sinh họ Q σ − đại số sinh topo không gian topo 1.7.1 Các tập Borel σ − đại số Borel 1.7.2 Trường hợp R 1.8 σ − vành sinh tập compact 1.9 Lớp đơn điệu 1.9.1 Định nghĩa 1.9.2 Ví dụ 1.9.3 Lớp đơn điệu sinh Q ∈ P(E) Đại 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 5 6 9 9 10 10 10 10 Độ đo dương 2.1 Đại cương độ đo dương 2.1.1 Hàm tập cộng tính 2.1.2 Độ đo dương 2.1.3 Tính chất độ đo dương 2.1.4 Op´ erations sur les mesures positives 2.1.5 Độ đo quy (trên không gian topo) 2.2 Độ đo 2.2.1 Độ đo 2.2.2 Độ đo liên kết với độ đo µ 2.2.3 Tập hợp T − đo (theo nghĩa Caratheodory) 2.2.4 Thác triển (Nới rộng) độ đo 2.3 Độ đo đầy đủ Bổ sung độ đo 2.3.1 Tập hợp µ − bỏ qua (µ − không) 2.3.2 Độ đo đủ 2.3.3 Bổ sung độ đo 2.3.4 Trở lại vấn đề đặt 2.3.5 Ứng dụng bản: Độ đo Lebesgue Lebesgue Stieltjes 2.4 Thác triển độ đo 2.5 Bài tập chương 11 11 11 13 15 18 19 20 21 21 22 24 26 26 26 27 28 29 31 32 số) MỤC LỤC Không gian đo Ánh xạ hàm số đo 3.1 Không gian đo Ánh xạ đo 3.1.1 Không gian đo 3.1.2 Ánh xạ đo 3.1.3 Tính chất 3.1.4 Tích không gian đo được, khả xác xuất 3.2 Hàm đo (giá trị thực) 3.2.1 Hàm bậc thang 3.2.2 Xấp xỉ hàm đo hàm bậc thang 3.2.3 Hàm µ − đo Ghi 3.3 Thuật ngữ lý thuyết xác xuất 3.3.1 Biến cố biến cố ngẫu nhiên 3.3.2 Luật xác xuất (hay phân phối xác xuất) 3.4 Bài tập chương Tích phân (hàm dương) 4.1 Tích phân hàm dương 4.1.1 Định nghĩa 4.1.2 Tính chất trực tiếp 4.2 Các định lý hội tụ 4.3 Trở lại khái niệm tích phân 4.3.1 Tồn 4.3.2 Chứng minh tồn theo quan điểm giải tích hàm) 4.4 Bài tập chương đo 34 34 34 34 35 35 37 39 39 42 42 42 42 42 dựng 44 44 44 46 52 54 54 (Trong 59 59 59 59 60 62 63 64 64 64 65 66 69 69 69 70 70 70 70 70 71 tích phân (hay xây Tích phân Lebesgue trừu tượng Hàm khả tích 5.1 Định nghĩa tính chất 5.1.1 Định nghĩa 5.1.2 Ví dụ 5.1.3 Hệ 5.1.4 Hàm nhận giá trị C 5.2 Định lý hội tụ 5.3 So sánh tích phân Riemann với tích phân Lebesgue trừu tượng trường hợp độ đo Lebesgue) 5.3.1 Nhắc lại tích phân Riemann 5.3.2 Hàm f ∗ f∗ 5.3.3 Hệ 5.4 Ứng dụng: Tích phân phụ thuộc (một) tham số 5.5 Một ví dụ áp dụng: Phép biến đổi Fourier hàm biến 5.5.1 Định nghĩa 5.5.2 Tính chất trực tiếp fˆ 5.5.3 Ví dụ 5.6 Mở rộng cho trường hợp hàm định nghĩa µ − hkn 5.6.1 Định nghĩa 5.6.2 Tính chất 5.6.3 Tích phân hàm đo định nghĩa µ − hkn 5.7 Bài tập chương 55 57 MỤC LỤC Các không gian Lebesgue Lp Lp (1 ≤ p ≤ ∞) 6.1 Nửa chuẩn tổng quát Np 6.1.1 Định lý 6.1.2 Ví dụ 6.1.3 Ghi 6.2 Các không gian Lp (1 ≤ p ≤ ∞) 6.2.1 Mở đầu 6.2.2 Tính chất 6.2.3 Định lý Riesz-Fischer 6.2.4 Các định lý hội tụ 6.3 Các không gian Lp (1 ≤ p ≤ ∞) 6.3.1 Định nghĩa 6.3.2 Các tính chất trực tiếp 6.3.3 Quan hệ hội tụ theo trung bình với hội tụ 6.3.4 Trường hợp L2 6.3.5 Mở rộng 6.4 Các không gian L∞ L∞ 6.4.1 Nửa chuẩn N∞ 6.4.2 Các không gian L∞ L∞ 6.4.3 Tính chất L∞ 6.5 Xấp xỉ Lp Định lý trù mật Tính khả ly 6.6 Không gian đối ngẫu 6.7 Quan hệ Lp 6.7.1 Trường hợp µ bị chặn 6.7.2 Trường hợp µ không bị chặn 6.8 Bài tập chương hội tụ µ − hkn 73 73 73 76 76 76 77 77 78 80 81 81 81 82 83 84 84 84 85 85 85 87 88 88 89 89 Các dạng hội tụ 7.1 Hội tụ µ − hầu 7.1.1 Định nghĩa 7.1.2 Định lý Egoroff 7.1.3 Áp dụng: 7.1.4 Trường hợp µ không bị chặn 7.2 Hội tụ theo độ đo 7.2.1 Định nghĩa 7.2.2 Tính chất 7.2.3 Không gian metric hội tụ theo 7.2.4 Hội tụ theo độ đo µ − hầu 7.2.5 Hội tụ theo độ đo µ − hầu 7.2.6 Hội tụ theo độ đo hội tụ Lp 7.3 Bài tập chương độ đo 92 92 92 92 93 93 93 93 94 94 95 96 96 96 Độ đo tích Độ đo ảnh Độ đo cảm sinh 8.1 Độ đo tích Định nghĩa tính chất 8.1.1 Nhập môn 8.1.2 Định nghĩa tính chất µ1 ⊗ µ2 8.2 Tích phân độ đo tích 8.3 Độ đo ảnh 8.3.1 Mở đầu 8.3.2 Tích phân độ đo ảnh 99 99 99 99 102 103 103 104 MỤC LỤC 8.4 Độ đo cảm sinh 105 8.4.1 Định nghĩa tính chất 105 8.4.2 Tích phân theo độ đo cảm sinh 105 Chương Đại số, σ − đại số tập tập cho trước 1.1 Đại số tập Cho E tập hợp Các phần tử E gọi điểm, ký hiệu chữ nhỏ như: x, y, , a, b, c, w, x phần tử thuộc E: x ∈ E Các tập E ký hiệu chữ in: A, B, C, X, Y, A ⊂ E := A tập E Mỗi phần tử x E coi tập gồm phần tử E Khi đó, ta ký hiệu {x} ⊂ E Tập hợp tất tập hợp E ký hiệu P(E) Một tập hợp tập E gọi họ tập E, thường ký hiệu chữ hoa: A, B, C, F, Chúng tập P(E); A ⊂ P(E) Trên E định nghĩa phép toán tập hợp thông thường Chương tập trung vào nghiên cứu, phân tích tính chất họ tập A, B, tập hợp E cho trước Trước mắt ta cố định E tập hợp cho trước Định nghĩa 1.1 Vành Boole tập tập E tập hợp C P(E) thỏa mãn tính chất (các tiên đề sau): (i) A, B ∈ C ⇒ A ∪ B ∈ C, (ii) A, B ∈ C ⇒ A \ B ∈ C Ví dụ: • P(E) Vành Boole (viết tắt VB) {∅, E} VB • Giả sử E có vô hạn phần tử; C họ tập có hữu hạn phần tử E; C Vành Boole (Chú ý E ∈ / C) Hệ 1.1 • ∅ ∈ C ∅ = A \ A ∈ C • A ∈ C, B ∈ C ⇒ A ∩ B ∈ C A ∩ B = A ∪ B \ ((A \ B) ∪ (B \ A)).THUỘC c 1.2 Vành Boole có đơn vị hay dại số tập (ngắn gọn đại số) • A ∈ C, B ∈ C ⇒ A B = (A \ B) ∪ (B \ A) ∈ C Một cách tổng quát hợp số hữu hạn phần tử C thuộc C Ta nói là: hợp hữu hạn, giao hữu hạn phần tử C thuộc C 1.2 Vành Boole có đơn vị hay dại số tập (ngắn gọn đại số) Nếu C vành Boole tập E E ∈ C C gọi vành Boole có đơn vị hay đại số Boole Hệ 1.2 Nếu A ∈ C A = CA ∈ C Ví dụ: • P(E) đại số • Tập hợp hợp hữu hạn khoảng vành Boole có đơn vị (đại số) • Cho E = [α, β[⊂ R; tập hợp hợp hữu hạn khoảng có dạng [a, b[⊂ [α, β[ đại số tập [α, β[ Ngược lại tính chất không cho họ khoảng mở (hoặc đóng) 1.3 Vành Boole đại số sinh họ Ω tập Cho {Cj }j∈J họ vành Boole Khi ∩ Cj không rỗng j∈J vành Boole Tính chất tương tự cho đại số Định lý 1.1 Cho Ω họ tập tập E: Ω ⊂ P(E) Trong số vành Boole chứa Ω tồn vành Boole nhỏ gọi vành Boole sinh Ω ký hiệu C(Ω) Tính chất: Mỗi phần tử C(Ω) chứa hợp hữu hạn phần tử Ω n Chứng minh Giả sử A ⊂ E A ⊂ ∪ Op với Op ∈ Ω Tập hợp tất phần tử A p=1 vành Boole C Vành chứa phần tử Ω ⇒ C(Ω) ⊂ C Vậy ta có điều phải chứng minh 1.4 Nửa vành Nửa vành (Boole) tập E họ A, A ⊂ P(E) thỏa mãn: (i) A, B ∈ A ⇒ A ∩ B ∈ A 1.5 σ − vành, σ − đại số (σ − vành có đơn vị) (ii) A, B ∈ A tồn họ hữu hạn phần tử A, ký hiệu {Aj }nj=1 , cặp không giao cho: n A \ B = ∪ Aj j=1 Một nửa vành gọi có đơn vị chứa E Hệ 1.3 • Một nửa vành ổn định giao hữu hạn • Tập hợp hợp hữu hạn phần tử A vành Ví dụ: • Tập hợp khoảng (theo nghĩa đại số) Id : tập hợp khoảng nửa mở bên phải [a, b[ Ig : tập hợp khoảng nửa mở bên trái ]a, b] nửa vành • Tập hợp hình chữ nhật R2 , hình hộp chữ nhật Rn : aj ≤ xj ≤ yj , j = 1, , n (có dấu hay không) nửa vành • Trong E × E , ta xét họ {A × A } A ∈ A, A ∈ A với A A nửa vành Họ nửa vành mà ta ký hiệu A ⊗ A Tính chất suy từ hai hệ thức sau: (A × A ) ∩ (B × B ) = (A ∩ B) × (A ∩ B ) A × A \ B × B = [(A \ B) × A ] ∪ [(A ∩ B) × (A \ B )] Chú ý: Tính chất tương tự không xuất phát từ hai vành Boole C C họ {A × A } vành Định lý 1.2 Vành C(A) sinh nửa vành A tập hợp hợp hữu hạn phần tử A C(A) trùng với tập hợp hữu hạn phần tử A đôi không giao σ − vành, σ − đại số (σ − vành có đơn vị) 1.5 Định nghĩa 1.2 Một σ − vành vành S thỏa mãn tính chất (ii) mạnh tính chất (ii): ∞ (ii)’ An ∈ S, n ∈ N ⇒ ∪ An ∈ S Tức là: hợp đếm thay cho hợp hữu hạn Nếu S σ − vành E ∈ S S gọi σ − vành có đơn vị σ − đại số (hoặc thể Borel, σ − trường) Ví dụ: • P(E), {∅, E}, vành hữu hạn • Giả sử E tập hợp không đếm Họ tập E đếm có phần bù đếm σ − đại số 1.6 σ − vành σ − đại số sinh họ Q Hệ 1.4 Mọi σ − vành ổn định (đóng) giao đếm Tính chất: Cho S vành (σ − vành, σ − đại số) E E tập E Vết S E họ tập hợp có dạng: A ∩ E , A ∈ S Định lý 1.3 Vết vành S (σ − vành, σ − đại số) E (E ⊂ E) vành S (σ − vành, σ − đại số) tập E Ghi chú: Nếu E ∈ S S vành (σ − vành, σ − đại số) gồm phần tử S nằm E Định lý 1.4 Nghịch ảnh vành (σ − vành, σ − đại số) vành (σ − vành, σ − đại số) Hệ 1.5 Định lý áp dụng cho vết cho ta định lý 1.3, lấy ánh xạ j phép nhúng canonique từ E vào E; ký hiệu j : E −→ E, x −→ j(x) = x; j −1 (A) = A ∩ E Định lý 1.5 Cho f ánh xạ từ E vào F S σ − vành tập E Khi đó, họ tập A F cho f −1 (A) ∈ S σ − vành F Nói ngắn gọn: nghịch ảnh họ nằm σ − vành (hoặc trường hợp riêng σ − vành) thân họ σ − vành Chứng minh định lý suy ∞ từ tính chất f −1 (A \ B) f −1 (∪ An ) Định lý 1.6 Họ tập E (cục -địa ) σ −vành σ −đại số B họ tập E cục - địa σ − vành S gồm tập A có dạng: A ∈ B ⇔ A ∩ B ∈ S, ∀B ∈ S ∞ ∞ 1 Chứng minh (∪ An ) ∩ B = ∪(An ∩ B); (A \ A ) ∩ B = A ∩ B \ A ∩ B E ∩ B = B ∈ S ⇒ E ∈ B Ký hiệu B = loc(S) Rõ ràng S có đơn vị S ⊂ loc(S) Do S = loc(S) 1.6 σ − vành σ − đại số sinh họ Q Định nghĩa 1.3 Cho Q họ tập E Khi tồn σ − vành (σ − đại số) nhỏ chứa Q gọi σ − vành (σ − đại số) sinh Q, ký hiệu σ(Q) Tính chất: Mỗi phần tử σ(Q) chứa hợp đếm phần tử Q Chứng minh tương tự định lý 1.1 Định lý 1.7 Giả sử Q họ tập F f ánh xạ từ tập E vào F Khi đó: f −1 (σ(Q)) = σ(f −1 (Q)) 1.7 σ − đại số sinh topo không gian topo σ − đại số sinh topo không gian topo 1.7 1.7.1 Các tập Borel σ − đại số Borel Cho (X, T) không gian topo, T họ tập mở Khi đó, σ − đại số sinh T gọi σ − đại số Borel X σ − vành rõ ràng có đơn vị X ∈ T Ta ký hiệu BX (T) BX không sợ nhầm lẫn với topo khác X Mọi phần tử BX (T) gọi tập Borel X 1.7.2 Trường hợp R Định lý 1.8 Cho I tập hợp khoảng R (tương ứng: tập hợp khoảng mở, nửa mở, đóng; có dạng ] − ∞, b], ] − ∞, b[, ]a, +∞[, [a, +∞[) Khi BR (T) = σ(I) BR (T) = σ(I ∪ {−∞} ∪ {+∞}) Chứng minh Dựa chứng minh bao hàm thức đúp: I ⊂ σ(T) T ⊂ σ(I) Trường hợp khoảng mở: I ⊂ T ⇒ σ(I) ⊂ BR Ngược lại σ(I) chứa hợp đếm khoảng mở mà tập mở R hợp đếm khoảng mở Do T ⊂ σ(I) ⇒ σ(T) ⊂ σ(I) Suy BR = σ(I) Trường hợp khác: Chẳng hạn I = Ip = {[a, b[} (mở bên phải) Do ]a, b[= ∪ [a + n1 , b[ n∈N Suy ]a, b[ ∈ σ(Ip ) Do T ∈ σ(Id ) Ta có Ip ⊂ σ(T) ]a, b[ = ∩ n∈N ]a − , b[ n ∈ σ(T) Do Ip ⊂ σ(Id ) ⊂ σ(T) Kết luận: BR = σ(Ip ) Các trường hợp khác chứng minh tương tự 1.8 σ − vành sinh tập compact Cho (X, T) không gian topo tách Ký hiệu K(X) tập hợp tập compact X, σX (K) σ − vành sinh họ K Ta có: σX (K) ⊂ BX (T) Vì BX chứa tập đóng tập compact tập đóng (trong không gian topo tách) ⇒ K ⊂ BX (T) ⇒ điều phải chứng minh Ta nói tập A σ − compact X A chứa hợp đếm tập compact Định lý 1.9 A ⊂ σX (K) A ∈ BX (T) A σ − compact X 1.9 Lớp đơn điệu 1.9 10 Lớp đơn điệu 1.9.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.4 Một họ M tập E gọi lớp đơn điệu ổn định hợp đếm dãy tăng hay giao đếm dãy giảm Nói cách khác: 1.9.2 ∞ An ∈ M; Ai ⊂ Ai+1 ⇒ A = ∪ An ∈ M An ∈ M; Ai+1 ⊂ Ai ⇒ A = ∩ Ai ∈ M n=1 ∞ i=1 Ví dụ P(E) lớp đơn điệu Mọi σ − vành lớp đơn điệu Lớp đơn điệu sinh Q ∈ P(E) 1.9.3 • Giao họ lớp đơn điệu lớp đơn điệu • Q ⊂ P(E) lớp đơn điệu Định nghĩa 1.5 Ta gọi lớp đơn điệu bé chứa Q lớp đơn điệu sinh Q, ký hiệu M(Q) Định lý 1.10 (Định lý bản) Nếu C vành E ta có: σ(C) = M(C) Hệ 1.6 Mọi lớp đơn điệu M chứa vành C chứa σ − vành sinh C • Trong không gian metric σ − đại số Borel lớp đơn điệu sinh tập mở (tương ứng đóng) • f ánh xạ từ E vào F Q tập P(E) ta có: M[f −1 (Q)] = f −1 [M(Q)] Bài tập chương Bài Cho Q tập P(E) cho: A, B ∈ Q ⇒ A ∪ B ∈ Q A ∩ B ∈ Q Q có phải vành, hay nửa vành hay không? Bài Cho Q họ tập E Ta đặt: (i) Họ C1 bao gồm ∅, E tập A ∈ P(E) cho A ∈ Q CA ∈ Q (ii) Họ C2 gồm giao hữu hạn phần tử C1 (iii) Họ C3 gồm hợp hữu hạn phần tử C2 đôi không giao Chứng minh C3 vành đơn vị sinh Q Chương Tích phân (hàm dương) (E, B, µ) không gian có độ đo, µ độ đo dương σ − trường B Trong phần đây, hàm ta xét đo phần tử của: M+ = M(E, B; R+ , BR+ ) E+ tập hợp hàm bậc thang đo dương Một phân hoạch hữu hạn, đo tập A ∈ B họ hữu hạn: {Aj }nj=1 , Ai ∩ Ak = ∅ với i = k, Aj ∈ B, j = 1, n, n cho: A = ∪ Aj j=1 4.1 Tích phân hàm dương 4.1.1 Định nghĩa Cho f ∈ M+ = M(E, B; R+ , BR+ ) Tích phân f tập đo A (với f ∈ M+ ) số thực (suy rộng) không âm (∈ R+ ) định nghĩa bởi: ∗ n sup ( inf f (x))µ(Aj ) j=1 ký hiệu = x∈Aj f (x)dµ A Trong {Aj } phân hoạch hữu hạn đo A Cận lấy tập hợp tất phân hoạch hữu hạn A (quy ước inf f = 0) ∅ ∗ • Nếu f (x) = ∞ A, với µ(A) = 0, ta có f dµ = A ∗ • Nếu f (x) = ∞ A, với µ(A) > 0, ta có f dµ = +∞ A ∗ f dµ < ∞, ta nói số tích phân f A độ đo µ Khi đó, Khi A ánh xạ f gọi khả tích A Tích phân định nghĩa gọi tích phân Lebesgue trừu tượng 4.1 Tích phân hàm dương 45 Ví dụ Trường hợp hàm bậc thang: Cho f ∈ E+ f = n αp · 1Ap , Ap ∩ Aq = ∅, p=1 p = q, Ai ∈ B, i = 1, n Khi đó: ∗ n αp · µ(Ap ) f dµ = p=1 E n n+r p=1 Chứng minh Ta giả thiết ∪ Ap = E (nếu cần bổ sung thêm ( ∪ Ap )c ) Khi đó: ( inf f (x))µ(Ap ) = αp · µ(Ap ) x∈Ap n n αp · µ(Ap ) Do đó: (inf f )µ(Ap ) = Suy p=1 p=1 ∗ n f dµ ≥ αp · µ(Ap ) p=1 E m Ngược lại, cho {Bi }m i=1 phân hoạch hữu hạn, đo E: E = ∪ Bj Suy j=1 ra: m m n (inf f )µ(Ap ∩ Bj ) (inf f )µ(Bj ) = j=1 Bj Bj j=1 p=1 m n ( inf f )µ(Ap ∩ Bj ) ≤ j=1 p=1 m n Ap ∩Bj n αp µ(Ap ∩ Bj ) ≤ ≤ αp µ(Ap ) p=1 j=1 p=1 inf f = αp Do đó: Ap ∗ n f dµ ≤ A αp µ(Ap ) ⇒ đpcm p=1 Ví dụ Cho µ độ đo Dirac tập a, ký hiệu δa , B = P(E) Khi đó: ∗ f dδa = f (a) E Chứng minh Thực phân hoạch hữu hạn, đo E cần quan tâm tới tập chứa a Nếu tập gồm điểm {a}, ta có: ∗ f (a) ≤ f dδa E ∗ Nếu Aj ⊃ {a}, ta có: inf f ≤ f (a) Do f dδa ≤ f (a) Aj A 4.1 Tích phân hàm dương 46 Ví dụ Cho {N, P(N), µd } với µd độ đo đếm Ta thấy mục II, ứng dụng trực tiếp định lý Beppo-Levy cho phép khẳng định rằng: ∗ ∞ f dµd = f (p) N 4.1.2 (Hãy chứng minh tâp) p=1 Tính chất trực tiếp ∗ A A A ∗ f dµ ≤ A A A ∗ f dµ ≤ Kµ(A) gdµ f ≤ K A ⇒ f dµ ≤ A (iii) A ⊂ B ⇒ ∗ ∗ ∗ (ii) f ≤ g A ⇒ f dµ, k ∈ R+ Kf dµ = K Kdµ = Kµ(A), (i) ∗ ∗ f dµ B ∗ (iv) µ(f −1 (]0, ∞])) > ⇒ ∗ f dµ > (Tương ứng: µ(f −1 (]0, ∞])∩A) > ⇒ E f dµ > 0) A ∗ f dµ < ∞ ⇒ µ(f −1 ({∞})) = (⇔ f hữu hạn µ − hkn) (v) A Chứng minh (i) ⇒ (iii): dễ (iv) Với n ∈ N∗ , xét An = f −1 ([ n1 , ∞]) ⇒ {An }∞ n=1 dãy tăng tập đo ∞ ∪ An = f −1 (]0, ∞]) Suy n=1 ∞ µ(∪ An ) = sup µ(An ) = lim µ(An ) n n→∞ Suy lim µ(An ) > theo giả thiết Vì tồn n0 cho: µ(An0 ) > n→∞ f (x) ≥ n0 với x ∈ An0 Suy ∗ f dµ ≥ µ(An0 ) > n0 E ∗ (v) Giả thiết µ(f −1 ({∞})) khác không, suy f dµ = ∞ mâu thuẫn với giả thiết A ∗ f dµ < ∞ A ∗ Ghi chú: Nghịch đảo sai µ(f −1 {∞}) = không suy ∗ χE dµ = ∞ độ đo không bị chặn E E f dµ < ∞ Chỉ cần chọn A 4.1 Tích phân hàm dương 47 Định lý 4.1 (Định lý bản) Với hàm f dương, ánh xạ: υf : B −→ R+ cho ∗ A −→ υf (A) = f dµ độ đo dương B A Chứng minh Ta cần chứng minh tính σ − cộng tính {Aj }∞ j=1 ⊂ B, Ai ∩ Ak = ∅ i = k ∗ ∞ ∞ υf ( ∪ A j ) = ⇔ υf (Aj ) j=1 ∞ ∗ f dµ = j=1 f dµ j=1 A ∞ ∪ Aj j j=1 ∞ Giả sử {Bk }nk=1 phân hoạch hữu hạn, đo ∪ Aj Khi {Bk ∩ Aj }, j=1 k = 1, 2, , n phân hoạch hữu hạn, đo Aj với j Do đó: ∗ n ( inf f )µ(Aj ∩ Bk ) ≤ f dµ Aj ∩Bk k=1 Aj Suy ∞ ∗ ∞ n ( inf f )µ(Aj ∩ Bk ) ≤ j=1 k=1 Aj ∩Bk Suy (inf f )µ(Bk ) ≤ Bk j ∗ ∞ n k=1 f dµ j=1 A f dµ j=1 A j ∞ điều với phân hoạch hữu hạn, đo ∪ Aj , ta nhận bất đẳng j=1 thức: ∗ ∞ ∗ f dµ ≤ f dµ j=1 A ∞ ∪ Aj j j=1 Ta chứng minh bất đẳng thức ngược Với Aj , tồn phân hoạch hữu hạn, đo {Bj,k } cho: (theo tính chất sup) ∗ n f dµ ≤ k=1 Aj Suy ∗ m (inf f ) · µ(Bj,k ) + m Bj,k n (inf f ) · µ(Bj,k ) + ε f dµ ≤ j=1 A Suy m j=1 k=1 j ∗ Bj,k ∗ f dµ − ε ≤ j=1 A j Vậy ta có điều phải chứng minh ε 2j ∗ f dµ ≤ f dµ m ∞ j=1 j=1 ∪ Aj ∪ Aj 4.1 Tích phân hàm dương 48 Ghi chú: Chứng minh không dùng đến tính đo f , nói cách khác kết hàm không âm ∗ ∗ 1A · f dµ f dµ = Hệ quả: E A Chứng minh Thực vậy: ∗ ∗ ∗ f · 1A dµ f · 1A dµ + f · 1A dµ = Ac A E Bài toán ngược: Xuất phát từ độ đo µ, ta xây dựng độ đo khác: υf định nghĩa bởi: ∗ ∀A ∈ B f dµ, υf (A) = A ứng với hàm f cho Ngược lại cho trước độ đo υ, hỏi có tồn không hàm f cho υ(A) tích phân f A: (đối với µ) ∗ υ(A) = f dµ A Câu trả lời nói chung không Tuy nhiên số điều kiện đủ đặt lên υ câu trả lời có Đây nội dung định lý Lebesgue-Radon-Nicodym mà ta thấy chương ta ghi nhớ tính chất đặc biệt υf : Nếu µ(A) = υf (A) = (Tính liên tục tuyệt đối υf độ đo µ) Tính chất tích phân trên: Các hàm xét giả thiết đo Định lý 4.2 Giả sử f, g đo được, f ≥ 0, g ≥ Nếu f = g hầu khắp nơi thì: ∗ ∗ f dµ = (i) E g dµ Dặc biệt ngược lại: E ∗ f dµ = suy f = µ − hkn (ii) E Chứng minh Đặt B = {x : f (x) = g(x)}.Theo định lý bản: ∗ ∗ f dµ = E ∗ f dµ + E−B ∗ B ∗ µ(B) = E−B ∗ g dµ = E f dµ f dµ = ∗ g dµ = E−B f dµ E−B f = g E − B Ngược lại, trường hợp (ii) suy từ (iv) mục 3.1.2 4.1 Tích phân hàm dương 49 Định lý 4.3 (Tính tuyến tính tích phân trên) Giả sử f, g đo được, f ≥ 0, g ≥ Khi đó: ∗ ∗ (f + g)dµ = A ∗ f dµ + A gdµ A Chứng minh Xét phân hoạch đếm {An } A, An ∈ B thỏa mãn: sup f ≤ (1 + ε) inf f với ε > cho An An (1) Điều cần lấy chẳng hạn f −1 ({0}), f −1 (](1 + ε)n−1 , (1 + ε)n+1 ]) f −1 ({∞}) với n ∈ Z Do f đo nên tập ∈ B Suy (1) dễ dàng chứng minh Tương tự, ta xét phân hoạch đo được, đếm chẳng hạn {Bm } thỏa mãn: sup g < (1 + ε) inf g (2) Bm Bm Đặt {Ck } phân hoạch đo được, đếm hình thành {An ∩ Bm } Trên Ck , ta có lúc (1) (2) Theo định lý bản: ∗ ∗ (f +g)dµ ≤ (f +g)dµ = k C k A (sup(f +g))µ(Ck ) ≤ k Ck (sup f )µ(Ck )+ Ck k (sup g)µ(Ck ) k Ck Do đó: ∗ (f + g)dµ ≤ (1 + ε) k A (inf g)µ(Ck ) (inf f )µ(Ck ) + (1 + ε) Ck k Ck theo (1) (2) Khi đó: ∗ ∗ (f + g)dµ ≤ A ∗ f dµ + A gdµ A Để chứng minh bất đẳng thức ngược, ta dùng kỹ thuật quen biết: Tồn phân hoạch hữu hạn, đo {Aj } thỏa mãn: ∗ n (inf f )µ(Aj ) + ε (inf g)µ(Bj ) + ε f dµ ≤ j=1 A Aj Tương tự {Bj }: ∗ n gdµ ≤ A j=1 Bj Cũng giống trên, ta cần xét giao {Aj ∩ Bj } để nhận phân hoạch chung cho f g có đồng thời tính chất Ta lại ký hiệu phân hoạch {Aj } Khi 4.1 Tích phân hàm dương 50 đó: ∗ ∗ gdµ ≤ ε + f dµ + (inf f )µ(Aj ) + j A A Aj (inf f g)µ(Aj ) j Aj ∗ ≤ε+ (inf (f + g))µ(Aj ) + ε + (f + g)dµ Aj j A Suy điều phải chứng minh Ghi chú: Vai trò giả thiết f đo xuất chứng minh định lý 4.3 Giả thiết kéo theo tồn phân hoạch đo thích hợp A ∗ f dµ < ∞ µ độ đo Lebesgue, ta có tính chất đại số Trong trường hợp A tích phân Riemann Một tiện ích hàng đầu quan trọng mở rộng miền xác định sử dụng tính chất đòi hỏi µ − hkn Định lý 4.4 (Về hội tụ đơn điệu Tính chất Beppo -Levi) Nếu {fn } dãy tăng hàm dương đo hội tụ đến f µ − hkn tập A Khi đó: ∗ ∗ sup fn dµ = sup fn dµ n n A Nói cách khác: A ∗ ∗ lim ↑ lim ↑ fn dµ fn dµ = n→∞ A n→∞ A Chứng minh Theo định lý 4.2, ta có giả thiết lim fn = f A Do fn (x) ≤ f (x), ta có: ∗ ∗ fn dµ ≤ A f dµ A Suy ∗ ∗ fn dµ ≤ sup f dµ n A A ∗ ∗ fn dµ ≤ lim n→∞ A ∗ Ta xét lim fn dµ hai trường hợp n→∞ A f dµ A (1) 4.1 Tích phân hàm dương 51 Giả sử f hữu hạn µ − hkn Theo định lý 4.2, ta giả thiết f hữu hạn A n Đặt An = {x : x ∈ A, fn (x) ≥ (1 − ε)f (x)} Suy An ⊂ A ⇒ ∪ An ⊂ A {An } ∞ ∞ n=1 n=1 dãy tăng fn dãy tăng ∪ An = A ∪ An ⊃ A Thực tồn n0 cho: (1 − ε)f (x) ≤ fn0 (x) ≤ f (x) ∞ fn → f Do với x ∈ A tồn An0 cho x ∈ An0 ⇒ ∀x ∈ A, x ∈ ∪ An Mặt khác ∗ ∗ ∗ fn dµ ≥ (1 − ε) fn dµ ≥ An An A f dµ ∗ fn dµ ⇒ lim υ(An ) = sup υ(An ) = υ(A) υ độ đo (theo Nhưng υ(An ) = n→∞ n An định lý bản) Từ bất đẳng thức: ∗ ∗ fn dµ ≥ (1 − ε) f dµ An A suy bất đẳng thức: ∗ ∗ fn dµ ≥ (1 − ε) lim f dµ n→∞ A có nghĩa là: A ∗ ∗ f dµ ≤ lim fn dµ (2) n→∞ A A ∗ ∗ suy lim n→∞ A ∗ f dµ < ∞ (Trong hai trường hợp A ∗ fn dµ tồn f dµ = +∞) cần so sánh (1) (2) để A f dµ A ∗ Trường hợp f (x) = ∞ với x ∈ B, µ(B) > Trong trường hợp f dµ = ∞ A Đặt Bn = {x : x ∈ A, fn (x) ≥ M }, với M > {Bn } dãy tăng {fn } tăng ∗ ∞ fn dµ ≥ ∪ Bn ⊃ B x ∈ B suy lim fn (x) = ∞ Suy ∗ n→∞ A Do đó: ∗ fn dµ ≥ lim M µ(Bn ) = M · µ(B) lim n→∞ n→∞ A ∗ ∗ fn dµ = ∞ = M nên lim f dµ n→∞ A A fn dµ ≥ M µ(Bn ) Bn 4.2 Các định lý hội tụ 52 Ví dụ: E = R, B = BR , λ độ đo Lebesgue BR ∗ fn = 1[0,n] , {fn } dãy tăng đến f = 1[0,∞[ , ∗ f dλ = ∞, R+ Do ∗ fn dλ = R+ dλ = n [0,n] ∗ lim n→∞ R+ fn dλ = ∞ ∗ −n cos x fn = − e [0, π ] ⇒ lim n→∞ [0, π2 ] fn dλ = π Ghi chú: Ta giả thiết fn ≥ µ − hkn ta nhận kết ta có lim fn = f µ − hkn Trường hợp dãy giảm, nói chung ta nói (xem định lý 4.4) Áp dụng: Nếu µd độ đo đếm P(N), ta có: ∗ ∞ f dµ = f (n) n=1 N Ta cần xét fn = f · 1∆n , ∆n = [1, 2, , n] Nếu fn hàm bị cắt từ f , tức fn = inf(f, n) Khi đó, fn hội tụ đơn điệu tăng đến f ta có: ∗ lim ∗ fn dµ = A f dµ A Bằng cách tương tự, ta xét fn = f · 1(−n,n) ta có kết 4.2 Các định lý hội tụ Xuất phát từ định lý hội tụ đơn điệu, ta xây dựng hệ sau: Định lý 4.5 Cho {fk }∞ dãy hàm đo được, dương µ − hkn A, với k ∈ N ∞ fk có tích phân tổng chuỗi tích phân số Khi đó, chuỗi k=1 hạng fk : ∗ ∞ ( A ∞ fk ) dµ = k=1 ∗ fk dµ k=1 A 4.2 Các định lý hội tụ 53 n Chứng minh Xét dãy tổng riêng sn (x) = fk (x) áp dụng định lý 4.4 k=1 {fn }∞ n=1 Định lý 4.6 Giả sử dãy hàm đo được, dương µ − hkn, {fn } dãy giảm ∗ f1 dµ < ∞ thì: lim fn = f µ − hkn Nếu n→∞ A ∗ ∗ f dµ fn dµ = lim n→∞ A A Chứng minh Đặt gn = f1 − fn Suy ∗ ∗ (f1 − fn ) dµ = lim n→∞ A ∗ (f1 − f ) dµ = A ∗ f1 dµ − A f dµ A ∗ ⇒ điều phải chứng minh f1 dµ < ∞ A Phản ví dụ: Cho fn = · 1[n,∞[ , {fn } dương, giảm và: n ∗ ∗ fn dλ = ∞, fn dλ = ∞ lim n→∞ R R ∗ ∗ Nhưng lim fn = ⇒ f1 dµ < ∞ f dλ = Trường hợp này, ta n→∞ R R Sau này, ta thấy định lý khác qua giới hạn dấu tích phân Các định lý liên quan đến kiểu hội tụ Tuy nhiên liên quan đến hội tụ µ − hkn, kết mạnh định lý sau: Định lý 4.7 (Bổ đề Fatou) Giả sử {fn } dãy hàm đo được, dương µ − hkn A Khi ∗ ∗ lim fn dµ ≤ lim n→∞ fn dµ n→∞ A A ∗ n→∞ ∗ fn dµ ≤ M ta có Trường hợp riêng lim fn = f µ−hkn A f dµ ≤ M A Chứng minh Đặt gk = inf fn , {gk } dãy tăng, gk ≥ µ − hkn Suy n≥k ∗ ∗ ( lim gk ) dµ = lim k→∞ A Suy gk dµ k→∞ A ∗ ∗ gk dµ ≤ lim lim fn dµ = lim n→∞ A Trường hợp riêng suy trực tiếp ∗ fn dµ n→∞ k A A 4.3 Trở lại khái niệm tích phân 54 Ví dụ: Bất đẳng thức chặt xảy A =]0, 1[, λ độ đo Lebesgue, fn = n · 1[0, ] Có n ∗ lim fn = ]0, 1[ ⇒ lim fn dµ = 0, n→∞ n→∞ A ∗ ∗ ⇒ fn dµ = fn dµ = lim n→∞ A A Giả thiết fn dương không thiếu fn = − ∗ · 1[0,n] , lim fn = chí n→∞ n ∗ fn dλ = − [0,∞] (−fn ) dλ = −1 [0,∞] ∗ lim fn dλ = (Tích phân hàm âm định nghĩa Trong đó: A ∗ − (−f ) dµ) A Ghi chú: Rõ ràng trường hợp hàm âm, ta có bất đẳng thức: ∗ ∗ fn dµ ≤ lim A lim fn dµ A ý nghĩa thực tiễn Ta thấy sau mở rộng cho trường hợp fn nhận giá trị R ta phải đặt thêm điều kiện phụ 4.3 4.3.1 Trở lại khái niệm tích phân Tồn Ta xét định lý tồn (dạng) phiếm hàm R+ tuyến tính mà ta cho liên kết với tích phân Ta xét không gian có độ đo (E, B, µ) Định lý 4.8 (Về tồn tích phân) Tồn ánh xạ Φ từ M(E, B; R+ , BR+ ) = M+ vào R+ thỏa mãn: (i) Với f ∈ M+ , g ∈ M+ , với α ∈ R+ , ta có: Φ(αf ) = α Φ(f ); Φ(f + g) = Φ(f ) + Φ(g) 4.3 Trở lại khái niệm tích phân 55 (ii) Nếu {fn } dãy tăng hàm thuộc M+ thì: sup Φ(fn ) = Φ(sup fn ) n (tính chất Beppo-Levy) n (iii) Với A ∈ B: Φ(1A ) = µ(A) Sự tồn tại: suy từ định nghĩa tính chất tích phân với Chứng minh ∗ f dµ tích phân f E độ đo µ Φ(f ) = E (i), (ii) suy trực tiếp ∗ (iii) từ ví dụ mục 4.1.1: với f = 1A ⇒ 1A dµ = µ(A) E Tính nhất: Nếu f ∈ E+ , f = n n αj ·1Aj , Aj = f −1 ({αj }) Suy Φ(f ) = j=1 αj · µ(Aj ) j=1 theo tiên đề (i) (iii) Giá trị độc lập với khai triển f ta kiểm tra dễ m n βk · 1βk dẫn đến giá trị Φ(f ) Suy αj · 1Aj = dàng rằng: giả sử f = j=1 k=1 Φ E+ Nhưng với f ∈ M+ , f = lim fn , fn ∈ E+ , {fn } dãy n tăng Do Φ(f ) = Φ( lim fn ) = lim Φ(fn ) n→∞ n→∞ theo tiên đề (iii) Suy tính M+ 4.3.2 Chứng minh tồn tích phân (hay xây dựng theo quan điểm giải tích hàm) Xây dựng Φ M+ xuất phát từ định nghĩa E+ α) Nếu Φ tồn E+ , phải có dạng: n αj · µ(Aj ) = Φ1 (f ) Φ(f ) = (1) j=1 n αj · 1Aj , Aj = f −1 (αj ), αj ∈ f (E) = {α1 , α2 , , αn } Giá trị độc lập với với f = j=1 khai triển f Ta đặt Φ1 ánh xạ định nghĩa (1) Ta dễ dàng kiểm chứng điều kiện (i) (iii) thỏa mãn Φ1 Đặc biệt f ≤ g ⇒ Φ1 (f ) ≤ Φ1 (g) Bây chứng minh Φ1 thỏa mãn (ii) Đặt f = sup fn , {fn } dãy tăng E+ , n f ∈ E+ Ta có Φ1 (fn ) ≤ Φ1 (f ) ⇒ sup Φ1 (fn ) ≤ Φ1 (f ) 4.3 Trở lại khái niệm tích phân 56 Để thiết lập bất đẳng thức ngược lại, ta chứng minh bổ đề sau đây: Bổ đề: Giả sử f ≤ sup fn , f ∈ E+ , {fn } dãy tăng, fn ∈ E+ với n Khi Φ1 (f ) ≤ sup Φ1 (fn ) n Chứng minh Trường hợp riêng: f = α · 1A , α ∈ R+ , A ∈ B Giả sử β < α đặt An = A ∩ fn−1 ([β, ∞]) {An } dãy tăng {fn } tăng An ⊂ A ⇒ ∪An ⊂ A Ta chứng minh ∪An ⊃ A Với x ∈ A suy f (x) = α sup fn (x) > f (x) nên tồn ∞ m cho fm (x) > α > β Suy x ∈ ∪An Vậy ta có ∪ An = A Vì mặt: n=1 sup µ(An ) = lim µ(An ) = µ(A) n→∞ n mặt khác: Φ1 (fn ) ≥ β · µ(An ) fn ≥ β · 1An Do sup Φ1 (fn ) ≥ β · µ(A) n Vì điều với β < α nên ta có: sup Φ1 (fn ) ≥ α · µ(A) = Φ1 (f ) n n αj · 1Aj , αj ∈ R+ , Aj ∈ B, j = 1, n Với j, theo Trường hợp chung: f = j=1 trường hợp riêng ta có: sup Φ1 (fn · 1Aj ) ≥ Φ1 (f · 1Aj ) (*) n Do 1Aj · fn ∈ E+ sup(1Aj · fn ) ≥ αj · 1Aj = f · 1Aj nên suy ra: n n fn ≥ n n 1Aj · fn ⇒ Φ1 (fn ) ≥ j=1 Φ1 (1Aj · fn ) ⇒ sup Φ1 (fn ) ≥ n j=1 sup Φ1 (1Aj · fn ) j=1 n n dãy tăng Do đó: sup Φ1 (fn ) ≥ n Φ1 (f · 1Aj ) = Φ1 (f ) j=1 Trở lại định lý: Bây giả sử f ∈ E+ , f = sup fn , {fn } dãy tăng, fn ∈ E+ Ta n áp dụng bổ đề ta nhận được: Φ1 (f ) ≤ sup Φ1 (fn ) ⇒ đpcm n Định nghĩa 4.1 (Thác triển lên M+ ) Với f ∈ M+ , tồn dãy tăng {fn }, fn ∈ E+ cho: f = lim fn Ta định nghĩa: n Φ(f ) = sup Φ1 (fn ) (chú ý số Φ1 (fn )) 4.4 Bài tập chương 57 Định nghĩa độc lập với dãy tăng mà ta chọn để định nghĩa f Giả sử {gn } dãy khác, đó: gn ≤ sup fn ⇒ Φ1 (gn ) ≤ sup Φ1 (fn ) n n theo bổ đề Do sup Φ1 (gn ) ≤ sup Φ1 (fn ) n n suy đẳng thức cách thay đổi vai trò fn gn Ta chứng minh ánh xạ Φ định nghĩa thỏa mãn tiên đề Do Φ thác triển Φ1 nên thỏa mãn (iii) Chứng minh (i) đơn giản Ta suy f ≤g ⇒ Φ(f ) ≤ Φ(g) Chứng minh (ii): Giả sử {fn } dãy tăng phần tử M+ Với n tồn dãy tăng {fn,k }∞ k=1 phần tử E+ cho: fn = sup fn,k k Đặt gk = sup fn,k , suy gk ∈ E+ n≤k fn,k ≤ gk ≤ fk (1) Φ1 (fn,k ) ≤ Φ1 (gk ) ≤ Φ(fk ) (2) với k Do Tại qua giới hạn (1) (2) theo k: fn ≤ sup gk ≤ sup fk = f k (1’) k Φ(fn ) ≤ sup Φ1 (gk ) ≤ sup Φ(fk ) k (2’) k Bây cho qua giới hạn theo n (1 ) (2 ): f ≤ sup gk ≤ f ⇒ f = sup gk k sup Φ(fn ) ≤ sup Φ1 (gk ) ≤ sup Φ(fn ) n k (1”) k ⇒ sup Φ(fn ) = sup Φ(gk ) n n (2”) k gk ∈ E+ , {gk } dãy tăng nên sup Φ1 (gk ) = Φ(sup gk ) Do đó: k k Φ(f ) = sup Φ(fn ) n 4.4 Bài tập chương Bài Giả sử (N, P(N), µd ) với µd độ đo đếm Dùng định nghĩa, chứng minh tích phân hàm f dương tính bởi: ∗ ∞ f dµd = N f (p) p=1 4.4 Bài tập chương 58 Bài Cho f ∈ M+ Chúng minh f (x) = µ − hkn ∗ f dµ = E Bài Giả sử f ∈ M+ ∗ f dµ < +∞ Chứng minh với ε > 0, tồn E ∗ tập A ∈ B cho µ(A) < ∞ ∗ f dµ ≤ E f dµ + ε A Bài Cho (E, B, µ) không gian có độ đo Giả sử với f ∈ M+ , ta có: ∗ f dµ < ∞ E (a) Chứng minh rằng: lim nµ(An ) = (1) An = {x : x ∈ E, f (x) > n} (b) Chứng minh ví dụ đơn giản (bằng cách chọn độ đo không ∗ bị chặn) điều kiện (1) f dµ = +∞ E ∗ Bài Giả sử µ(E) = f, g ∈ M+ Chứng minh rằng: f · g ≥ a ∗ g dµ ≥ a f dµ E E [...]... }nj =1 là một họ độ đo dương, khi đó: n µ= aj ≥ 0 aj µ j , j =1 cũng là một độ đo dương Trường hợp riêng: Tập hợp các độ đo dương là một nón lồi: 1 , µ2 là độ đo dương ⇒ α 1 + (1 − α)µ2 là độ đo dương với α ∈ [0, 1] Định lý 2.4 Giới hạn của một họ tăng các độ đo dương là một độ đo dương Chứng minh Giả sử j ∈ J (tập hợp các chỉ số có thứ tự J ∈ R+ ) và {µj }, j ∈ J là một họ tăng các độ đo theo nghĩa:... vậy: A∪N =A với A ∈ S và N1 ⊂ N ⊂ B (N ∩ Ac ) = A N1 2.3 Độ đo đầy đủ Bổ sung một độ đo 28 • Mỗi phần tử của S thuộc vào S Ta chứng minh rằng A A N = (A \ B) ∪ [(A ∩ B) với A1 = A − B ∈ S, N1 = (A ∩ B) N ⊂B ∞ N = A ∪ N1 nhưng N ] = A1 ∪ N1 N ⊂ B (vì N ⊂ B) S là một ∞ ∞ ∞ 1 1 1 σ − vành vì nếu ta xét ∪ Ak , Ak ∈ S Ta có Ak = Bk ∪ Nk và ∪ Ak = (∪ Bk ) ∪ (∪ Nk ) ∞ ∞ 1 1 1 ∪ Bk ∈ S và ∪ Nk chứa trong hợp... ⊂ P(E2 ) sinh ra S2 (S2 = σ(Q)) Để f : E1 −→ E2 đo được cần và đủ là: f 1 (Q) ⊂ S1 Chứng minh f 1 (Q) ⊂ S1 là cần vì Q ⊂ σ(Q) = S2 , mà f 1 (S2 ) ⊂ S1 Ngược lại: điều kiện đủ, ta đã biết: σ(f 1 (Q)) = f 1 (σ(Q)) = f 1 (S2 ) Do đó vì f 1 (Q) ⊂ σ(f 1 (Q)) ⊂ S1 (σ(f 1 (Q)) là σ − vành nhỏ nhất chứa f 1 (Q)) Suy ra: f 1 (S2 ) ⊂ S1 Hệ quả 3 .1 (X1 , B1 ), (X2 , B2 ) là hai không gian topo trang... số 1 (v) T là một độ đo trên B0 Các bất dẳng thức (2) là đẳng thức, suy ra: ∞ T(X) = ∞ T(Ap ∩ X) + T (∪ Ap )c ∩ X , 1 1 ∀X ∈ P(E) ∞ Đặt X = ∪ Ap , suy ra: 1 ∞ ∞ T(∪ Ap ) = 1 ∞ T(Ap ) + T(∅) = 1 T(Ap ) 1 2.2 Độ đo ngoài 2.2.4 24 Thác triển (Nới rộng) một độ đo Định lý 2.9 (Hahn) Mọi độ đo dương trên một vành C có thể thác triển thành một độ đo dương lên σ − vành sinh bởi C: σ(C) Nếu µ là một độ đo. .. gọi là µ đo được S gọi là σ − vành đủ (bổ sung) của S đối với độ đo µ Chứng minh S là một σ − vành Đầu tiên, ta chứng minh S là một vành Ta chỉ cần chứng tỏ S đóng kín đối với hiệu đối xứng và giao: (a) A1 , A2 ∈ S ⇒ A1 A2 ∈ S Thực vậy: A1 A2 = (B1 N1 ) (B2 N2 ) Từ đó: A1 A2 = (B1 B2 ) N ∈ S với N = N1 N2 (b) A1 , A2 ∈ S ⇒ A1 ∩ A2 ∈ S Đúng thế A1 ∩ A2 = (B1 N1 ) ∩ (B2 N2 ) Từ đó: A1 ∩ A2 = (B1 ∩ B2... và nếu µ là một độ đo khuyˆ ech tán trên B ∩ P(A) Khi đó, A chứa các tập con có độ đo nhỏ tùy ý Bài 5 (Tìm hiểu độ đo (µ∗ )∗ ) Giả sử T là một vành, µ là một độ đo dương trên T, µ∗ là độ đo ngoài liên kết vởi µ Coi µ∗ là độ đo trên σ(C), ta xây dựng độ đo ngoài liên kết (µ∗ )∗ Chứng minh rằng (µ∗ )∗ = µ∗ trên P(E) 2.5 Bài tập chương 2 33 Bài 6 A và A1 là hai nửa vành Chứng minh rằng (A, µ) và (A1... hữu hạn, còn 1 và µ2 là hai thác triển của µ A ∈ σ(C) ⇒ ∞ A ⊂ ∪ Bn , µ(Bn ) < ∞, Bn ∈ C Ta có thể giả thiết các {Bn } từng đôi không giao nhau 1 ∞ Khi đó A = ∪ An với An = A ∩ Bn Cho 1, n là độ đo co của 1 bởi Bn Từ định nghĩa 1 1, n (A) = 1 (An ) = 1 (A ∩ Bn ) 1, n là một độ đo hữu hạn trên σ(C) vì: 1, n (Bn ) = 1 (Bn ) = µ(Bn ) < ∞ Tương tự, độ đo co của µ2 trên Bn là một độ đo co hữu hạn... Đối với độ đo Lebesgue, tập một điểm có độ đo không nên mọi tập đếm được có độ đo không Điều đó không còn đúng đối với độ đo Lebesgue-Stieltjjes Ta có: µΦ ({x0 }) = Φ(x+ 0 ) − Φ(x0 ) Do vậy Φ(x0 ) = 0 khi và chỉ khi x0 là điểm liên tục của hàm Φ Đối với độ đo Lebsegue, các khoảng [a, b[, ]a, b[, ]a, b], [a, b] có cùng một độ đo và bằng b − a 2.4 Thác triển cơ bản của một độ đo 31 Định lý 2 .12 (Tính... µ(A) hữu hạn, tồn tại O và K sao cho K ⊂ A ⊂ O và: µ(A − K) < ε, µ(O − A) < ε (Trong chương 10 dùng các tính chất này để nghiên cứu quan hệ giữa độ đo Radon và độ đo dương) 2.2 Độ đo ngoài Đặt vấn đề: Cho trước một độ đo dương µ trên một vành C, ta có thể nới rộng độ đo này lên σ − vành sinh bởi C hay không? Câu trả lời: Có, thậm chí có thể thác triển mọi độ đo dương lên một σ − vành chứa σ(C) (phương... thì f 1 (A) ∈ S1 Nói cách khác f 1 (S2 ) ⊂ S1 Ghi chú: Cho hai không gian đo được bất kỳ (E1 , S1 ), (E2 , S2 ) không nhất thiết tự động có một ánh xạ đo được từ (E1 , S1 ) → (E2 , S2 ) Ví dụ: • S2 là σ − đại số, S1 không phải σ − đại số, f 1 (E2 ) = E1 ∈ / S1 với mọi f ⇒ không ánh xạ nào đo được • Ngược lại nếu S1 = P(E1 ) thì mọi ánh xạ từ E1 vào E2 là ánh xạ đo được Trong thực tế, trong trường ... 96 96 Độ đo tích Độ đo ảnh Độ đo cảm sinh 8 .1 Độ đo tích Định nghĩa tính chất 8 .1. 1 Nhập môn 8 .1. 2 Định nghĩa tính chất 1 ⊗ µ2 8.2 Tích phân độ đo tích 8.3 Độ đo ảnh... 2.3.2 Độ đo đủ Định nghĩa 2 .10 µ độ đo σ − vành S µ gọi độ đo đủ (∀A ∈ S, µ(A) = 0) (B ⊂ A) ⇒ (B ∈ S) Ta nói S đủ độ đo µ µ − đủ 2.3 Độ đo đầy đủ Bổ sung độ đo 27 Ghi chú: Nếu µ độ đo đủ σ − vành... = A ∩ Bn Cho 1, n độ đo co 1 Bn Từ định nghĩa 1, n (A) = 1 (An ) = 1 (A ∩ Bn ) 1, n độ đo hữu hạn σ(C) vì: 1, n (Bn ) = 1 (Bn ) = µ(Bn ) < ∞ Tương tự, độ đo co µ2 Bn độ đo co hữu hạn σ(C)