Đang tải... (xem toàn văn)
1. Ngày giảng: 2011 Sĩ số: CHUYÊN ĐỀ : CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC I GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦẢ MỘT BIỂU THỨC 1 Cho biểu thức f( x ,y,...) a Ta nói M giá trị lớn nhất ( GTLN) của biểu thức f(x,y...) kí hiệu max f = M nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn: Với mọi x,y... để f(x,y...) xác định thì : f(x,y...) ≤ M ( M hằng số) (1) Tồn tại xo,yo ... sao cho: f( xo,yo...) = M (2) b Ta nói m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x,y...) kí hiệu min f = m nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn : Với mọi x,y... để f(x,y...) xác định thì : f(x,y...) ≥ m ( m hằng số) (1’) Tồn tại xo,yo ... sao cho: f( xo,yo...) = m (2’) 2 Chú ý : Nếu chỉ có điều kiện (1) hay (1’) thì chưa có thể nói gì về cực trị của một biểu thức chẳng hạn, xét biểu thức : A = ( x 1)2 + ( x – 3)2 . Mặc dù ta có A ≥ 0 nhưng chưa thể kết luận được minA = 0 vì không tồn tại giá trị nào của x để A = 0 ta phải giải như sau: A = x2 – 2x + 1 + x2 – 6x + 9 = 2( x2 – 4x + 5) = 2(x – 2)2 + 2 ≥ 2 A = 2 ⇔ x 2 = 0 ⇔ x = 2 Vậy minA = 2 khi chỉ khi x = 2 II TÌM GTNN ,GTLN CỦA BIỂU THƯC CHỨA MỘT BIẾN 1 Tam thức bậc hai: Ví dụ: Cho tam thức bậc hai P = ax2 + bx + c . Tìm GTNN của P nếu a 〉 0. Tìm GTLN của P nếu a 〈 0 12. Giải : P = ax2 + bx +c = a( x2 + a b x ) + c = a( x + a b 2 )2 + c 2 2 4 b a Đặt c a b 4 2 =k . Do ( x + a b 2 )2 ≥ 0 nên : Nếu a 〉 0 thì a( x + a b 2 )2 ≥0 , do đó P ≥ k. MinP = k khi và chỉ khi x = a b 2 Nếu a 〈 0 thì a( x + a b 2 )2 `≤ 0 do đó P `≤ k. MaxP = k khi và chỉ khi x = a b 2 2 Đa thức bậc cao hơn hai: Ta có thể đổi biến để đưa về tam thức bậc hai Ví dụ : Tìm GTNN của A = x( x3)(x – 4)( x – 7) Giải : A = ( x2 7x)( x2 – 7x + 12) Đặt x2 – 7x + 6 = y thì A = ( y 6)( y + 6) = y2 36 ≥ 36 minA = 36 ⇔ y = 0 ⇔ x2 – 7x + 6 = 0 ⇔ x1 = 1, x2 = 6. 3 Biểu thức là một phân thức : a Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai: Ví dụ : Tìm GTNN của A = 2 956 2 xx −− . Giải : A = 2 956 2 xx −− . = 569 2 2 +− − xx = 4)13( 2 2 +− − x . Ta thấy (3x – 1)2 ≥ 0 nên (3x – 1)2 +4 ≥ 4 do đó 2 1 (3 1) 4x − + ≤ 4 1 theo tính chất a ≥ b thì a 1 ≤ b 1 với a, b cùng dấu). Do đó 4)13( 2 2 +− − x ≥ 4 2− ⇒ A ≥ 2 1 minA = 2 1 ⇔ 3x – 1 = 0 ⇔ x = 3 1 . Bài tập áp dụng: 1. Tìm GTLN của BT : 2 1 A x 4x 9 = − + HD giải: ( ) 22 1 1 1 1 A . max A= x 2 x 4x 9 5 5x 2 5 = = ≤ ⇔ = − + − + . 2. Tìm GTLN của BT : 2 1 A x 6x 17 = − + HD Giải: ( ) 22 1 1 1 1 A . max A= x 3 x 6x 17 8 8x 3 8 = = ≤ ⇔ = − + − + 23. 3. (51217) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 3 A 2 x 2x 7 = + − + + b Phân thức có mẫu là bình phương của nhị thức. Ví dụ : Tìm GTNN của A = 12 683 2 2 +− +− xx xx . Giải : Cách 1 : Viết A dưới dạng tổng hai biểu thức không âm A = ( ) ( )2 2 2 2 2 1 4 4 2 1 x x x x x x − + + − + − + = 2 + 2 2 )1( )2( − − x x ≥ 2 minA = 2 khi và chi khi x = 2. Cách 2: Đặt x – 1 = y thì x = y + 1 ta có : A = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3( 1) 8( 1) 6 3 6 3 8 8 6 3 2 1 2 1 2 2 11 2 1 1 y y y y y y y y y y yy y + − + + + + − − + − + = = + + − − ++ − + + = 3 y 2 + 2 1 y = ( y 1 1)2 + 2 minA = 2 ⇔ y = 1 ⇔ x – 1 = 1 ⇔ x = 2 Bài tập áp dụng: (Bồi dưỡng HSG toán đại số 9 TRẦN THỊ VÂN ANH) 1, (13200) Tìm GTNN và GTLN của bt: 2 2 1 P 1 x x x + = − + 2, (36210) Tìm GTNN của bt : 2 2 2 2006 B x x x − + = 3, ( 45 214) Tìm GTNN và GTLN của bt: 2 2 C 5 7 x x x = − + 4, ( 47, 48 215) Tìm GTNN của bt : a, 2 2 2 2 D 2 3 x x x x + + = + + b, 2 2 2 1 E 2 4 9 x x x x + − = + + c Các phân thức dạng khác: Ví dụ : Tìm GTNN và GTLN của A = 1 43 2 + − x x Giải Để tìm GTNN , GTLN ta viết tử thức về dạng bình phương của một số : A = 1 144 2 22 + −−+− x xxx = 1 )2( 2 2 + − x x 1 ≥ 1 Min A= 1 khi và chỉ khi x = 2 Tìm GTLN A = 1 14444 2 22 + −−−+ x xxx = 4 1 )12( 2 2 + + x x ≤ 4 34. Bài tập áp dụng: (Bồi dưỡng HSG toán đại số 9 TRẦN THỊ VÂN ANH) 1, (42, 43 221) Tìm GTLN của bt: a, 2 A 2 x x = + b, ( ) 2 3 2 B 2 x x = + 3, (35, 36 221) Tìm GTNN của bt: a, 2 4 4 C x x x + + = Với x > 0; b, 5 3 2 D x x + = Với x > 0 4, (34, 36 221) Tìm GTNN của bt: a, 2 3 2 E x x = + với x > 0; b, 3 2 1 F + = x x Với x > 0 6, (6828 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt: ( ) 2 2 17 2 1 x x Q x + + = + Với x > 0 7, (6928 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt: 6 34 R 3 x x x + + = + Với x > 0 8, (7028 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt: 3 2000 S x x + = Với x > 0 III TÌM GTNN, GTLN CỦA BT CÓ QUAN HỆ RÀNG BUỘC GIỮA CÁC BIẾN Ví dụ : Tìm GTNN của A = x3 + y3 + xy biết rằng x + y = 1 sử dụng điều kiện đã cho để rút gọn biểu thức A A = (x + y)( x2 –xy +y2 ) + xy = x2 – xy y2 + xy = x2 + y2 Đến đây ta có nhiều cách giải Cách 1: sử dụng điều kiện đã cho làm xuất hiện một biểu thức có chứa A x + y = 1 ⇒ x2 + 2xy + y2 = 1 (1) Mà (x – y)2 ≥ 0 Hay: x2 2xy + y2 ≥ 0 (2) Cộng (1) với (2) ta có 2(x2 + y2 ) ≥ 1 ⇒ x2 + y2 ≥ 2 1 minA = 2 1 khi và chỉ khi x = y = 2 1 Cách 2: Biểu thị y theo x rồi đưa về tam thức bậc hai đối với x. Thay y = x – 1 vào A A = x2 + (1 – x)2 = 2(x2 – x) +1 = 2(x2 2 1 )2 + 2 1 ≥ 2 1 minA = 2 1 khi và chỉ khi x = y = 2 1 Cách 3 Sử dụng điều kiện đã cho để dưa về một biến mới 45. Đặt x = 2 1 + a thì y = 2 1 a . Biểu thị x2 + y2 ta được : x2 + y 2 = ( 2 1 + a)2 + ( 2 1 a)2 = 2 1 +2 a2 ≥ 2 1 => MinA = 2 1 ⇔ a = 0 ⇔ x=y = 2 1 Bài tập 1: Tìm Min A = 2 2 3 3 2014a ab b a b+ + − − + Cách 1 Ta có: A= 2 2 2 1 2 1 1 2011a a b b ab a b− + + − + + − − + + 2 2 = a 2 1 2 1 1 2011a b b ab a b− + + − + + − − + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 = a 1 1 1 1 2011− + − + − − − +b a b b ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 = a 1 1 1 1 2011− + − + − − +b a b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 3 1 a 1 2 1 2011 2 4 4 b b b a − − − = − + − + + + ( ) 22 3 11 = a 1 + 2011 2 4 bb −− − + + ÷ Min A = 2011 khi 1 a 1 0 12 1 0 b a b b − − + = ⇔ = = − = Cách 2: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2A 2 3 3 2014 = a 2 1 2 1 a 2 2.2 4 4022 = a 1 1 2 4022 = + + − − + − + + − + + + + − + + + − + − + + − + a ab b a b a b b ab b a b b a b Min 2A = 4022 khi a 1 0 1 0 1 2 0 b a b a b − = − = ⇔ = = + − = => Min A = 2011 BÀI TẬP TỰ LUYÊN TƯƠNG TỰ: Bài 1 CMR : Min P = 0 Với P = 2 2 3 3 3a ab b a b+ + − − + Bài 2 CMR: không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn ĐT: 2 2 2 4 2 8 6 15 0x y z x y z+ + − + − + = Hướng dẫn Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 2 VT 2 1 4 8 4 6 9 1= x1 2 2 3 1 1= − + + + + + − + + + + + − + ≥x x y y z z y z Bài 3: Có hay không các số x,y,z thỏa mãn mỗi đẳng thức sau: 1) 2 2 2 4 4 4 8 22 0x y z x y z+ + + + + + = 2) 2 2 2 x 4 9 2 12 12 1994y z x y z+ + − − − + Hướng dẫn Ta có: 56. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1) VT 4 4 4 4 1 8 16 1 = x+2 2 1 4 1 1 x x y y z z y z = + + + + + + + + + + + + + + ≥ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2) VT = x 2 1 4 12 3 9 12 4 1986 = 1 2 3 3 2 1986 1986 x y y z z x y z − + + − + + − + + − + − + − + ≥ Bài 4: CMR: Min A=2 Với A = 2 2 4 5 10 22 28m mp p m p− + + − + Hướng dẫn Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 A = 4 4 2 1 10 20 27 = 2 2.5 2 25 1 2 = 2 5 1 2 2 m mp p p p m p m p m p p m p p − + + − + + − + − + − + + − + − + + − + ≥ Bài 5: CMR: Max B = 4 Với 2 2 B 5 2 4 10 6a b a ab b= − − − + + − Hướng dẫn Ta có: 2 2 2 B 4 4 6 9 2 4 1 4= − + − − + − − + − +a ab b b b a b ( ) ( ) ( )2 2 2 = 4 4 4 6 9 2 2 1 − + + − + + − + a ab b b b a b ( ) ( ) ( ) 2 2 = 4 2 2 2 1 3 − + − + + − a b a b b ( ) ( ) 2 2 = 4 2 1 3 4 − + + − ≤ a b b Bài 6: Tìm GTNN của a) 2 2 A=a 5 4 2 5b ab b+ − − + ( Gợi ý ( ) ( ) 2 2 A = a 2b 1 4b+ − + ) b) 2 2 B = x 3 3 2029y xy x y+ − − − + ( Gợi ý ( ) ( ) ( ) 2 2 2 B = xy 3 3 2011y x+ − + − + ) c) 2 2 2 C 4 9 4 12 24 30x y z x y z= + + − + − + ( Gợi ý ( ) ( ) ( ) 2 2 2 C = x+2 2 3 3 4 1y z+ + + + + ) d) 2 2 D= 20x 18 24 4 12 2016y xy x y+ − − − + ( Gợi ý ( ) ( ) ( ) 2 2 D= 4x3y 2 1 3 2 2011x y+ − + − + ) Bài 7: Tìm các số a, b, c, d thỏa mãn : ( )2 2 2 2 a b c d a b c d+ + + = + + () Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 4 0 4 4 4 4 4 4 0 2 2 2 0 a b c d ab a b c a b c d a b c d a b c d ab ac ad a b c d ab ac ad a ab b a ac c a ad d a a b a c a d a + + + = + + ⇔ + + + − + + = ⇔ + + + − − − = ⇔ + + + − − − = ⇔ − + + − + + − + + = ⇔ − + − + − + = Dấu “=” sảy ra khi : 2 2 2 0 0a b c d a b c d= = = = ⇔ = = = = 67. BÀI TẬP VỀ NHÀ: Bài 1: Tìm các số a, b, c, d, e thỏa mãn : ( )2 2 2 2 2 2a b c d e a b c d e+ + + + = + + + Bài 2: Tìm các số a, b, c, thỏa mãn : 2 2 1a b ab a b+ + = + + Bài 3: Tìm các số a, b, thỏa mãn : 2 2 4 4 4 4 4 4 0a b ab a b+ + − + + = Bài 4: Tìm các số x, y, z thỏa mãn : 2 2 2 4 2 8 6 14x y z x y z+ + = − + − Bài 5: Tìm các số m, p, thỏa mãn : 2 2 5 4 10 22 25m p mp m p+ = − + + IV Các chú ý khi giải bài toán cực trị : 1, Chú ý 1: Khi tìm bai toán cực trị ta có thể đổi biến Ví dụ : Tìm GTNN của ( x – 1)2 + ( x – 3)2 ta đặt x – 2 = y, biểu thức trở thành (y + 1)2 + (y – 1)2 =2y2 +2 ≥2⇒ minA= 2⇒ y=0⇒ x=2 2 Chú ý 2, Khi tìm cực trị của biểu thức , nhiều khi ta thay điều kiện để biểu thức này đạt cực trị bởi điều kiện tương đương là biểu thức khác đạt cực trị chẳng hạn : A lớn nhất ⇔ A nhỏ nhất 1 B lớn nhất ⇔ B nhỏ nhất với B > 0 Ví dụ : Tìm GTLN của 4 2 2 1 ( 1) x A x + = + (Chú ý A> 0 nên A lớn nhất khi 1 A nhỏ nhất và ngược lại) Ta có : 1 A = 2 2 4 2 2 4 4 4 ( 1) 2 1 2 1 1 1 1 x x x x x x x + + + = = + + + + .Vậy 1 A ≥ 1 min 1 A = 1 khi x = 0 .Do đó maxA =1 khi x = 0 3,Chú ý 3 Khi tìm GTLN, GTNN của 1 biểu thức ,người ta thường sử dụng các BĐT đã biết Bất đăng thức có tính chất sau a ) a > b , c > d với a, b, c, d > 0 thì a.c > b. d b) a > b và c > 0 thì a.c > b.c c) a > b và c < 0 thì a.c < b.c d) a > b và a, b, n > 0 thì an > bn 78. Bất đẳng thức Cô si: a + b ≥ 2 ab ; a2 + b2 ≥ 2ab ; (a + b)2 ≥ 4ab ; 2( a2 + b2 ) ≥ ( a+ b)2 Bất đẳng thức Bu nha cốp –xki : (a2 + b2 ) ( c2 + d2 ) ≥ (ac + bd)2 Ví dụ Cho x2 + y2 = 52 . Tìm GTLN của A = 2x + 3y Giải :Áp dụng BĐT BCS ta có ( 2x + 3y )2 ≤( 22 +32 ).52 ⇒ ( 2x + 3y )2 ≤ 13.13.4 ⇒ 2x + 3y ≤ 26. Vậy maxA = 26 ⇔ 2 3 2 3 0 x y x y = + ≥ Thay y = 3 2 x vào x2 + y2 = 52 ta được 4x2 + 9x2 = 52.4 ⇒ x2 = 16 ⇒ x=4 hoặc x= 4 Với x = 4 thì y =6 thoả mãn 2x +3y ≥ 0 x = 4 ,y = 6 không thoả mãn 2x +3y ≥ 0 Vậy Max A = 26 ⇔ x =4 , y = 6 3 Trong các bất đẳng thức cần chú ý đến các mệnh đề sau Nếu 2 số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi 2 số đó bang nhau Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của tích xy, biết x,y N∈ thoả mãn x + y = 2005 Giải : Ta có 4xy = (x + y)2 – (x – y)2 = 20052 (x – y)2 xy lớn nhất ⇔ x – y nhỏ nhất ; xy nhó nhất ⇔ x – y lớn nhất giả sử x > y ( không thể xảy ra x = y) Do 1 ≤ y ≤ x ≤ 2004 nên 1 ≤ xy ≤ 2003 Ta có min(x –y) = 1 khi x = 1003 ; y =1002 max(x –y) = 2003 khi x =2004 , y = 1 Do đó max(xy) = 1002.1003 khi x = 1003 , y = 1002 Min ( xy) = 2004 khi x = 2004 , y = 1 ================================================================== Ngày giảng: 2011 Sĩ số: MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ 1, Sai lầm khi sử dụng nhiều bất đẳng thức khac nhau VD1: cho x, y là các số dương thỏa mãn x +y =1 . Tìm GTNN của biểu thức : 1 4 A = x y + 89. Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm 1 4 , x y ta có: 1 4 4 x y xy + ≥ (1) Lại có: 1 2 2 x y xy + = ≥ (2 ) Từ (1) và (2) suy ra : 1 4 4 4 A = 8 1x 2 y xy + ≥ ≥ = . Vậy Min A = 8 Phân tích sai lầm: Đẳng thức sảy ra ở (1) khi 1 4 4 x x y y = ⇔ = Đẳng thức sảy ra ở (2) khi x = y . Từ đó suy ra x = y = 0 ( Loại vì x + y = 1) Có bạn đến đây KL không có giá trị nhỏ nhất cũng là KL sai. Giải đúng: Vì x + y = 1 nên ( ) 1 4 4 A = x+y 5 x x y y y x + = + + ÷ Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số không âm 4 , x y y x Ta có : 4 4 2 . 4 x y x y y x y x + ≥ = Dấu “=” xẩy ra khi 14 2 3 1 2 1 3 x y x y x y x x y yx y == = ⇔ ⇔ + = =+ = Lưu ý: Nếu sử dụng nhiều BĐT khác nhau trong 1 bài toán thì ta phải kiểm tra xem chúng có đồng thời sảy ra dấu bằng không. Có như vậy thì hướng giải của bài toán mới đúng. 2, Sai lầm khi không sử dụng hết điều kiện của bài toán: VD2:cho x, y là các số dương thỏa mãn x+y= 1. Tìm GTNN của BT : 22 1 1 A = x+ x y y + + ÷ ÷ Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm 1 x, x Ta có: 1 1 x+ 2 x. 2 x x ≥ = (1) Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm 1 y, y Ta có: 1 1 y+ 2 y. 2 y y ≥ = (2) Từ (1) và (2) =>A ≥ 8 => Min A = 8 910. Phân tích sai lầm: Đẳng thức sảy ra ở (1) khi 21 1 x x x= ⇔ = Đẳng thức sảy ra ở (2) khi 21 1 y y y= ⇔ = . Từ đó suy ra x = y = 1 ( Loại vì x + y = 1) Giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số dương ta có : x + y 1 1 2 2 4 xy xy xy≥ ⇒ ≤ ⇒ ≤ Ta có : 22 2 2 1 1 A = 4 + x +y + x y + ÷ ÷ . Khi đó: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy ≥ 1 1 2 = 1 2 (1) 2 2 2 2 1 1 1 2 2 8 x y x .y xy + ≥ = ≥ (2). Từ (1) và (2) =>A ≥ 8 + 1 2 +4 = 25 2 =>Min A = 25 2 khi x=y = 1 2 Lưu ý: Khi giải bài toán mà không sử dụng hết điều kiện của đầu bài thì cần kiểm tra lại giả thiết. Có như vậy thì hướng giải của bài toán mới đúng. 3, Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1: VD1: Tìm GTLN của bt: 2 1 A = 6 17x x− + Lời giải sai: A đạt Max khi 2 6 17x x− + đạt Min Ta có : ( ) 22 6 17 3 8 8x x x− + = − + ≥ Do đó Min ( )2 6 17 8 3x x x− + = ⇔ = . Vậy Max A = 1 8 3x⇔ = Phân tích sai lầm: Kết quả đúng nhưng lập luận sai ở chỗ cho rằng “ A có tử không đổi nên đạt GTLN khi mẫu đạt GTNN” mà chưa đua ra nhận xét tử và mẫu là các số dương Lời giải đúng: Bổ xung thêm nhận xét ( ) 22 6 17 3 8 8x x x− + = − + ≥ nên tử và mẫu của A là dương VD2:Tìm GTNN cuả BT: A = x2 + y2 biết x + y =4 Ta có : A = x2 + y2 ≥ 2xy => A đạt GTNN 2 2 2 2 4 x y xy x y x y + = ⇔ ⇔ = = + = Khi đó MinA = 8 Phân tích sai lầm: Đáp số ko sai nhưng lập luân sai lầm ở chỗ ta mới cm được f(x,y) ≥ g(x,y) chứ chưa cm được f(x,y) ≥ m với m là hắng số. Chẳng hạn: Từ x2 ≥ 4x – 4 => x2 đạt nhỏ nhất ⇔ x2 = 4x – 4 ⇔ (x – 2 )2 = 0 ⇔ x =2 1011. Đi đến min x2 = 4 ⇔ x = 2 Dễ thấy kết quả đúng phải là Min x2 = 0 ⇔ x =0 Lời giải đúng: Ta có x + y =4 ⇔ ( ) 2 x + y =16 (1) Ta lại có : ( ) 2 2 2 x y 0 x 2xy+y 0≥ ⇒ ≥ (2) Từ (1) và (2) => 2( x2 + y2 ) 16≥ => A = x2 + y2 8≥ Vậy Min A = 8 khi và chỉ khi x = y = 2. Lưu ý: Cần nắm vững tc của BĐT cụ thể trong trường hợp so sánh hai phân số có tử và mẫu là số tự nhiên, số nguyên … Có như vậy thì hướng giải của bài toán mới đúng. 4, Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2 VD1: Tìm GTNN của bt: A = x + x Lời giải sai : x + x = ( ) 2 2 1 1 1 1 1 1 x +2 x x 2 4 4 2 4 4 + − = − − ≥ − ÷ . Vậy: Min A = 1 4 − Ptích sai lầm: sau khi cm f(x) ≥ 1 4 − chưa chỉ ra trường hợp xảy ra f(x)= 1 4 − ⇔ 1 2 x = − (vô lí ) Lời giải đúng: ĐKTT x là 0x ≥ do đó : A = x + x 0≥ => Min A = 0 0x⇔ = VD2: Tìm GTLN của ( ) ( ) ( )A = xyx z+y y+z z+x với x, y , z là
Ngày giảng: / / 2011 Sĩ số: CHUYÊN ĐỀ : CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC I/ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦẢ MỘT BIỂU THỨC 1/ Cho biểu thức f( x ,y, ) a/ Ta nói M giá trị lớn ( GTLN) biểu thức f(x,y ) kí hiệu max f = M hai điều kiện sau thoả mãn: - Với x,y để f(x,y ) xác định : f(x,y ) ≤ M ( M số) (1) - Tồn xo,yo cho: f( xo,yo ) = M (2) b/ Ta nói m giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức f(x,y ) kí hiệu f = m hai điều kiện sau thoả mãn : - Với x,y để f(x,y ) xác định : f(x,y ) ≥ m ( m số) (1’) - Tồn xo,yo cho: f( xo,yo ) = m (2’) 2/ Chú ý : Nếu có điều kiện (1) hay (1’) chưa nói cực trị biểu thức chẳng hạn, xét biểu thức : A = ( x- 1)2 + ( x – 3)2 Mặc dù ta có A ≥ chưa thể kết luận minA = không tồn giá trị x để A = ta phải giải sau: A = x2 – 2x + + x2 – 6x + = 2( x2 – 4x + 5) = 2(x – 2)2 + ≥ A = ⇔ x -2 = ⇔ x = Vậy minA = khi x = II/ TÌM GTNN ,GTLN CỦA BIỂU THƯC CHỨA MỘT BIẾN 1/ Tam thức bậc hai: Ví dụ: Cho tam thức bậc hai P = ax2 + bx + c Tìm GTNN P a 〉 Tìm GTLN P a 〈 Giải : P = ax2 + bx +c = a( x2 + Đặt c - b b b2 x ) + c = a( x + ) +c- a 2a 4a b b2 =k Do ( x + ) ≥ nên : 2a 4a - Nếu a 〉 a( x + -Nếu a 〈 a( x + b b ) ≥ , P ≥ k MinP = k x = 2a 2a b ) ≤` P ≤` k MaxP = k x = 2a - b 2a 2/ Đa thức bậc cao hai: Ta đổi biến để đưa tam thức bậc hai Ví dụ : Tìm GTNN A = x( x-3)(x – 4)( x – 7) Giải : A = ( x2 - 7x)( x2 – 7x + 12) Đặt x2 – 7x + = y A = ( y - 6)( y + 6) = y2 - 36 ≥ -36 minA = -36 ⇔ y = ⇔ x2 – 7x + = ⇔ x1 = 1, x2 = 3/ Biểu thức phân thức : a/ Phân thức có tử số, mẫu tam thức bậc hai: Ví dụ : Tìm GTNN A = Giải : A = = 6x − − 9x2 6x − − 9x2 −2 −2 = (3x − 1)2 + 9x − 6x + 1 Ta thấy (3x – 1)2 ≥ nên (3x – 1) +4 ≥ (3x − 1)2 + ≤ theo tính chất a ≥ b −2 1 −2 ⇒ A ≥ ≤ với a, b dấu) Do (3x − 1)2 + ≥ a b minA = - ⇔ 3x – = ⇔ x = - Bài tập áp dụng: 1 1 A= = ≤ max A= ⇔ x = HD giải: x − 4x + ( x − ) + 5 x − 4x + 1 1 ≤ max A= ⇔ x = Tìm GTLN BT : A = HD Giải: A = x − 6x + 17 = ( x − 3) + 8 x − 6x + 17 Tìm GTLN BT : A = (51/217) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = + − x + 2x + b/ Phân thức có mẫu bình phương nhị thức Ví dụ : Tìm GTNN A = 3x − 8x + x2 − 2x + Giải : Cách : Viết A dạng tổng hai biểu thức không âm A = ( ) ( x2 − 2x + + x2 − x + x2 − 2x + ) ( x − 2) = + ( x − 1) ≥ minA = chi x = Cách 2: Đặt x – = y x = y + ta có : A = 3( y + 1) − 8( y + 1) + ( y + 1) − ( y + 1) + = 3y2 + y + − y − + 3y2 − y +1 1 = = + -1)2 + 2 2 = ( y + y +1− y − +1 y y y y minA = ⇔ y = ⇔ x – = ⇔ x = Bài tập áp dụng: (Bồi dưỡng HSG toán đại số TRẦN THỊ VÂN ANH) x2 + 1, (13/200) Tìm GTNN GTLN bt: P = x − x +1 2, (36/210) Tìm GTNN bt : B = x − x + 2006 x2 3, ( 45/ 214) Tìm GTNN GTLN bt: C = 4, ( 47, 48 /215) Tìm GTNN bt : a, D = x2 x2 − 5x + x2 + x + x2 + 2x + b, E = x2 + x −1 2x2 + 4x + c/ Các phân thức dạng khác: Ví dụ : Tìm GTNN GTLN A = − 4x x2 + Giải Để tìm GTNN , GTLN ta viết tử thức dạng bình phương số : x2 − x + − x2 − ( x − 2) A = = - ≥ -1 x2 + x2 + Min A= -1 x = Tìm GTLN A = x2 + − x2 − x − (2 x + 1) = x2 + x2 + ≤ Bài tập áp dụng: (Bồi dưỡng HSG toán đại số TRẦN THỊ VÂN ANH) 1, (42, 43/ 221) Tìm GTLN bt: x a, A = x +2 3, (35, 36 / 221) Tìm GTNN bt: a, C = 4, (34, 36/ 221) Tìm GTNN bt: a, E = x + b, B = x2 + 4x + Với x > 0; x b, D = x2 (x +2 ) x5 + Với x > x3 x3 + b, F = Với x > x với x > 0; x3 6, (68/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN bt: Q = x + x + 17 Với x > ( x + 1) 7, (69/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN bt: R = x + x + 34 Với x > x +3 8, (70/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN bt: S = x + 2000 Với x > x III/ TÌM GTNN, GTLN CỦA BT CÓ QUAN HỆ RÀNG BUỘC GIỮA CÁC BIẾN Ví dụ : Tìm GTNN A = x3 + y3 + xy biết x + y = sử dụng điều kiện cho để rút gọn biểu thức A A = (x + y)( x2 –xy +y2) + xy = x2 – xy - y2 + xy = x2 + y2 Đến ta có nhiều cách giải Cách 1: sử dụng điều kiện cho làm xuất biểu thức có chứa A Mà ⇒ x2 + 2xy + y2 = (1) (x – y)2 ≥ Hay: x2 - 2xy + y2 ≥ (2) x+y =1 Cộng (1) với (2) ta có 2(x2 + y2 ) ≥ ⇒ x2 + y2 ≥ minA = 1 x = y = 2 Cách 2: Biểu thị y theo x đưa tam thức bậc hai x Thay y = x – vào A A = x2 + (1 – x)2 = 2(x2 – x) +1 = 2(x2 minA = 1 ) + ≥ 2 1 x = y = 2 Cách 3/ Sử dụng điều kiện cho để dưa biến Đặt x = + a y = x2 + y = ( - a Biểu thị x2 + y2 ta : 1 + a)2 + ( - a)2 = +2 a2 2 ≥ 1 => MinA = ⇔ a = ⇔ x=y = 2 Bài tập 1: Tìm Min A = a + ab + b − 3a − 3b + 2014 Cách Ta có: A= a − 2a + + b − 2b + + ab − a − b + + 2011 = a − 2a + + b − 2b + + ab − a − b + + 2011 = = ( a − 1) = ( a − 1) ( a − 1) + ( b − 1) + a ( b − 1) − ( b − 1) + 2011 + ( b − 1) + ( a − 1) ( b − 1) + 2011 + ( a − 1) ( b − 1) + ( b − 1) 2 + ( b − 1) ( b − 1) b −1 + 2011 + 2011 = a − + ÷ + 2 b −1 =0 a − + ⇔ a = b =1 Min A = 2011 b − = Cách 2: ( ) 2A = a + ab + b − 3a − 3b + 2014 = a − 2a + + b − 2b + + a + 2ab + b − 2.2 ( a + b ) + + 4022 = ( a − 1) + ( b − 1) + ( a + b − ) + 4022 2 a − = ⇔ a = b = => Min A = 2011 Min 2A = 4022 b − = a + b − = BÀI TẬP TỰ LUYÊN TƯƠNG TỰ: Bài CMR : Min P = Với P = a + ab + b − 3a − 3b + Bài CMR: giá trị x, y, z thỏa mãn ĐT: x + y + z − x + y − z +15 = Hướng dẫn Ta có: VT = x − x + + y + y + + z − z + + 1= ( x-1) + ( y + ) + ( z − ) + ≥ 2 Bài 3: Có hay không số x,y,z thỏa mãn đẳng thức sau: 1) x + y + z + x + y + z + 22 = 2) x + y + z − x − 12 y − 12 z + 1994 Hướng dẫn Ta có: 1) VT = x + x + + y + y + + z + z + 16 + = ( x+2 ) + ( y + 1) + ( z + ) + ≥ 2 2) VT = x − x + + y − 12 y + + z − 12 z + + 1986 = ( x − 1) + ( y − 3) + ( z − ) + 1986 ≥ 1986 2 Bài 4: CMR: Min A=2 Với A = m − 4mp + p + 10m − 22 p + 28 Hướng dẫn Ta có: A = m − 4mp + p + p − p + + 10m − 20 p + 27 = ( m − p ) + 2.5 ( m − p ) + 25 + ( p − 1) + 2 = ( m − p + ) + ( p − 1) + ≥ 2 Bài 5: CMR: Max B = Với B = −a − 5b2 − 2a + 4ab + 10b − Hướng dẫn Ta có: ( ) ( ) 2 B = −a + 4ab − 4b − b + 6b − − 2a + 4b − + = - a − 4ab + 4b + b − 6b + + ( a − 2b ) + 1 2 2 = - ( a − 2b ) + ( a − 2b ) + + ( b − 3) = - ( a − 2b + 1) + ( b − 3) ≤ Bài 6: Tìm GTNN a) A=a + 5b2 − 4ab − 2b + ( Gợi ý A = ( a - 2b ) + ( b − 1) + ) b) B = x + y − xy − 3x − y + 2029 ( Gợi ý B = ( x-y ) + ( y − 3) + ( x − 3) + 2011 ) c) C = x + y + z − x + 12 y − 24 z + 30 ( Gợi ý C = ( x+2 ) + ( y + 3) + ( 3z + ) + ) d) D= 20x + 18 y − 24 xy − x − 12 y + 2016 ( Gợi ý D= ( 4x-3y ) + ( x − 1) + ( y − ) + 2011 ) 2 2 2 2 2 2 2 Bài 7: Tìm số a, b, c, d thỏa mãn : a + b + c + d = a ( b + c + d ) (*) a + b + c + d = ab ( a + b + c ) ⇔ a2 + b2 + c2 + d − a ( b + c + d ) = Ta có : ⇔ a + b + c + d − ab − ac − ad = ( ) ⇔ a + b + c + d − ab − ac − ad = ⇔ a − 4ab + 4b + a − 4ac + 4c + a − 4ad + 4d + a = ⇔ ( a − 2b ) + ( a − 2c ) + ( a − 2d ) + a = 2 Dấu “=” sảy : a = 2b = 2c = 2d = ⇔ a = b = c = d = BÀI TẬP VỀ NHÀ: 2 2 Bài 1: Tìm số a, b, c, d, e thỏa mãn : 2a + b + c + d + e = a ( b + c + d + e ) Bài 2: Tìm số a, b, c, thỏa mãn : a + b + = ab + a + b Bài 3: Tìm số a, b, thỏa mãn : 4a + 4b + 4ab − 4a + 4b + = Bài 4: Tìm số x, y, z thỏa mãn : x + y + z = x − y + z − 14 Bài 5: Tìm số m, p, thỏa mãn : m + p = 4mp − 10m + 22 p + 25 IV Các ý giải toán cực trị : 1, Chú ý 1: Khi tìm bai toán cực trị ta đổi biến Ví dụ : Tìm GTNN ( x – 1)2 + ( x – 3)2 ta đặt x – = y, biểu thức trở thành (y + 1)2 + (y – 1)2 =2y2 +2 ≥ ⇒ minA= ⇒ y=0 ⇒ x=2 Chú ý 2, Khi tìm cực trị biểu thức , nhiều ta thay điều kiện để biểu thức đạt cực trị điều kiện tương đương biểu thức khác đạt cực trị chẳng hạn : -A lớn ⇔ A nhỏ lớn ⇔ B nhỏ với B > B Ví dụ : Tìm GTLN A = x4 + 1 nhỏ 2 (Chú ý A> nên A lớn ( x + 1) A ngược lại) Ta có : 1 ( x + 1) x + x + x2 = = + = Vậy ≥ 4 A A x +1 x +1 x +1 = x = Do maxA =1 x = A 3,Chú ý Khi tìm GTLN, GTNN biểu thức ,người ta thường sử dụng BĐT biết Bất đăng thức có tính chất sau a ) a > b , c > d với a, b, c, d > a.c > b d b) a > b c > a.c > b.c c) a > b c < a.c < b.c d) a > b a, b, n > an > bn Bất đẳng thức Cô si: a + b ≥ ab ; a2 + b2 ≥ 2ab ; (a + b)2 ≥ 4ab ; 2( a2 + b2) ≥ ( a+ b)2 Bất đẳng thức Bu- nha -cốp –xki : (a2 + b2) ( c2 + d2) ≥ (ac + bd)2 Ví dụ Cho x2 + y2 = 52 Tìm GTLN A = 2x + 3y Giải :Áp dụng BĐT BCS ta có ( 2x + 3y )2 ≤ ( 22+32 ).52 ⇒ ( 2x + 3y )2 ≤ 13.13.4 2 x = y ⇒ 2x + 3y ≤ 26 Vậy maxA = 26 ⇔ 2 x + y ≥ Thay y = 3x vào x2 + y2 = 52 ta 4x2 + 9x2 = 52.4 ⇒ x2 = 16 ⇒ x=4 x= -4 Với x = y =6 thoả mãn 2x +3y ≥ x = -4 ,y = -6 không thoả mãn 2x +3y ≥ Vậy Max A = 26 ⇔ x =4 , y = 3/ Trong bất đẳng thức cần ý đến mệnh đề sau - Nếu số có tổng không đổi tích chúng lớn số - Nếu số dương có tích không đổi tổng chúng nhỏ số bang Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN tích xy, biết x,y ∈ N thoả mãn x + y = 2005 Giải : Ta có 4xy = (x + y)2 – (x – y)2 = 20052 - (x – y)2 xy lớn ⇔ x – y nhỏ ; xy nhó ⇔ x – y lớn giả sử x > y ( xảy x = y) Do ≤ y ≤ x ≤ 2004 nên ≤ x-y ≤ 2003 Ta có min(x –y) = x = 1003 ; y =1002 max(x –y) = 2003 x =2004 , y = Do max(xy) = 1002.1003 x = 1003 , y = 1002 Min ( xy) = 2004 x = 2004 , y = ================================================================== Ngày giảng: / / 2011 Sĩ số: MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ 1, Sai lầm sử dụng nhiều bất đẳng thức khac VD1: cho x, y số dương thỏa mãn x +y =1 Tìm GTNN biểu thức : A = x + y 4 Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm x , y ta có: x + y ≥ xy (1) Lại có: x+ y = ≥ xy (2 ) 2 Từ (1) (2) suy : A= 4 + ≥ ≥ =8 Vậy Min A = x y xy Phân tích sai lầm: Đẳng thức sảy (1) x = y ⇔ x = y Đẳng thức sảy (2) x = y Từ suy x = y = ( Loại x + y = 1) Có bạn đến KL giá trị nhỏ KL sai 1 4 4x y Giải đúng: Vì x + y = nên A = ( x+y ) + ÷ = + + y x x y 4x y 4x y 4x y + ≥2 =4 Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số không âm y , x Ta có : y x y x 4x y x = y = 2x = ⇔ Dấu “=” xẩy y x ⇔ x + y = x + y = y = Lưu ý: Nếu sử dụng nhiều BĐT khác toán ta phải kiểm tra xem chúng có đồng thời sảy dấu không Có hướng giải toán 2, Sai lầm không sử dụng hết điều kiện toán: 2 1 1 VD2:cho x, y số dương thỏa mãn x+y= Tìm GTNN BT : A = x+ ÷ + y + ÷ y x Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm x, 1 1 Ta có: x+ ≥ x = (1) x x x 1 Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm y, y Ta có: y+ ≥ y = y y (2) Từ (1) (2) =>A ≥ => Min A = Phân tích sai lầm: Đẳng thức sảy (1) = x ⇔ x2 = x Đẳng thức sảy (2) y = y ⇔ y = Từ suy x = y = ( Loại x + y = 1) Giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số dương ta có : x+y 1 ≥ xy ⇒ xy ≤ ⇒ xy ≤ 2 2 1 1 1 Ta có : A = + x +y + ÷ + ÷ Khi đó: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy ≥ - = (1) 2 x y 2 1 25 25 + ≥2 2 = ≥ (2) Từ (1) (2) =>A ≥ + +4 = =>Min A = x=y = x y x y xy 2 2 Lưu ý: Khi giải toán mà không sử dụng hết điều kiện đầu cần kiểm tra lại giả thiết Có hướng giải toán 3, Sai lầm chứng minh điều kiện 1: VD1: Tìm GTLN bt: A = x − x + 17 Lời giải sai: A đạt Max x − x + 17 đạt Min Ta có : x − x + 17 = ( x − 3) + ≥ 2 Do Min ( x − x + 17 ) = ⇔ x = Vậy Max A = ⇔ x=3 Phân tích sai lầm: Kết lập luận sai chỗ cho “ A có tử không đổi nên đạt GTLN mẫu đạt GTNN” mà chưa đua nhận xét tử mẫu số dương Lời giải đúng: Bổ xung thêm nhận xét x − x + 17 = ( x − 3) + ≥ nên tử mẫu A dương VD2:Tìm GTNN cuả BT: A = x2 + y2 biết x + y =4 x + y = xy ⇔ x= y=2 Ta có : A = x + y ≥ 2xy => A đạt GTNN ⇔ x + y = 2 Khi MinA = Phân tích sai lầm: Đáp số ko sai lập luân sai lầm chỗ ta c/m f(x,y) ≥ g(x,y) chưa c/m f(x,y) ≥ m với m hắng số Chẳng hạn: Từ x2 ≥ 4x – => x2 đạt nhỏ ⇔ x2 = 4x – ⇔ (x – )2 = ⇔ x =2 10 Đi đến x2 = ⇔ x = Dễ thấy kết phải Min x2 = ⇔ x =0 Lời giải đúng: Ta có x + y =4 ⇔ ( x + y ) =16 (1) Ta lại có : ( x - y ) ≥ ⇒ x -2xy+y ≥ (2) Từ (1) (2) => 2( x2 + y2 ) ≥ 16 => A = x2 + y2 ≥ Vậy Min A = x = y = Lưu ý: Cần nắm vững t/c BĐT cụ thể trường hợp so sánh hai phân số có tử mẫu số tự nhiên, số nguyên … Có hướng giải toán 4, Sai lầm chứng minh điều kiện VD1: Tìm GTNN bt: A = x + Lời giải sai : x + x = ( ) x x +2 x 1 1 1 1 + − = x − ÷ − ≥ − Vậy: Min A = − 4 2 4 4 P/tích sai lầm: sau c/m f(x) ≥ − chưa trường hợp xảy f(x)= − ⇔ x = − (vô lí ) Lời giải đúng: ĐKTT x x ≥ : A = x + x ≥ => Min A = ⇔ x = VD2: Tìm GTLN A = xyx ( z+y ) ( y+z ) ( z+x ) với x, y , z số không âm x +y+ z =1 4x ( z+y ) ≤ ( x+y+z ) = Lời giải sai: Áp dụng BĐT 4xy ≤ ( x + y ) ta có : 4y ( z+x ) ≤ ( x+y+z ) = 2 4z ( x+y ) ≤ ( x+y+z ) = => 64xyx ( z+y ) ( y+z ) ( z+x ) ≤ =>xyx ( z+y ) ( y+z ) ( z+x ) ≤ 1 Vậy Max A = 64 64 Phân tích sai lầm: Sai lầm chỗ chưa chi khả xảy dấu “=” z+y = x y+x = z x = y = z = ⇔ x + z + y = ( vô lí ) ĐK để Max A = : x+z = y 64 x + z + y = x, y, z ≥ x, y, z ≥ Lời giải đúng: Ta có : = x +y+ z ≥ 3 x.y.z (1) = ( x +y ) + ( z+x ) + ( y+ z ) ≥ 3 ( x +y ) ( z+x ) ( y+ z ) (2) 11 2 Từ (1) (2) => ≥ 3 x y.z ( x +y ) ( z+x ) ( y+ z ) hay: ≥ 3 A => A ≤ ÷ 9 ( x +y ) = ( z+x ) = ( y+ z ) 2 ⇔x= y=z= Max A = ÷ x + y + z = 9 x, y , z ≥ VD3: Tìm giá trị nhỏ : A = x + a ≥ ax Lời giải sai: Ta có: x + b ≥ bx Do đó: A = (x + a)(x + b) với x > 0, a, b số dương x ⇒ ( x + a ) ( x + b ) ≥ ax.2 bx = x ab (x + a)(x + b) 4x ab ≥ = ab Min A = ab ⇔ x = a = b x x Phân tích sai lầm: Nếu a ≠ b không có: A = ab Lời giải : Ta có A = (x + a)(x + b) x + ax + bx + ab ab = = x + ÷+ (a + b) x x x Theo bất đẳng thức Cauchy : x + A = ( a+ b Ngày giảng: ) / chi / 2011 ab ≥ ab nên A ≥ ab + a + b = x ( a+ b ) ab x = x ⇔ x = ab x > Sĩ số: VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ 1 VD1: Cho x > 0, y > thỏa mẫn đk x + y = Tìm GTNN bt: A = x + y 1 1 Do x > 0, y > nên x > 0, y > áp dụng bất đẳng thức côsi cho số x , y ta có: 11 1 1 + ÷≥ 2 x y x y 1 Hay ≥ xy => xy ≥ Mặt khác ta có: x > 0, y > => x ≥ 0, y ≥ áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: x+ y ≥2 xy ≥ = 12 x = y Vậy: Min A = : + = ⇔ x = y = x y VD2 : Tìm GTNN của biểu thức : A = x − x + + x + x + 1 3 Ta có: x − x + = x − ÷ + ≥ ∀ x ∈ R 2 4 2 1 3 x + x +1 = x + ÷ + ≥ ∀ x∈ R 2 4 Áp dụng BĐT Cô- si cho số x2 − x +1 + x2 + x +1 ≥ x − x + 1, x + x + ta có : x − x + x + x + = x + x + ≥ x + x + = ⇔x=0 Max A = 2 x − x + = x + x + VD3 Tìm giá trị nhỏ : A = x y z + + với x, y, z > y z x Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương: A = x z y x y x y z x y z + + ≥ 33 = y z x y z x z Do + + ÷ = ⇔ = = ⇔ x = y = z y z x y z x Cách : Ta có : chứng minh x y x y z x y y z y + + = + ÷+ + − ÷ Ta có + ≥ (do x, y > 0) nên để y x y z x y x z x x x y z y z y + + ≥ ta cần chứng minh : + − ≥ y z x z x x (1) (1) ⇔ xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz) ⇔ xy + z2 – yz – xz ≥ ⇔ y(x – z) – z(x – z) ≥ ⇔ (x – z)(y – z) ≥ (2) (2) với giả thiết z số nhỏ số x, y, z, (1) Từ tìm giá trị nhỏ x y z + + y z x 13 VD 4: Tìm giá trị lớn : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ ; x + y + z = Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x, y, z ta có: = x + y + z ≥ 3 xyz (1) Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x+y, y +z, z + x ta có : = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3 (x + y)(y + z)(z + x) (2) 2 Nhân vế (1) với (2) (do hai vế không âm) : ≥ A ⇒ A ≤ ÷ 9 3 2 max A = ÷ x = y = z = 9 VD 5: Tìm GTNN A = xy yz zx + + với x, y, z > , x + y + z = z x y Giải: Theo bất đẳng thức Cauchy : xy yz xy yz + ≥2 = 2y z x z x yz zx zx xy + ≥ 2z ; + ≥ 2x Suy 2A ≥ 2(x + y + z) = x y y z A = với x = y = z = VD 6: Tìm GTNN A = 2 + + 4xy với : x > 0, y > 0, x + y < x +y xy Tương tự : ( ) x+ y ≥ xy ⇒ ( x + y ) ≥ xy 1 1 1 ⇒ ( x + y ) + ÷ ≥ xy =4⇒ + ≥ Ta có: 1 xy x y x+ y x y + ≥2 x y xy 1 + + 4xy = + ÷+ 4xy + ÷+ 2 x +y xy 2xy 4xy 4xy x +y 5 11 + 4xy + = +2+ = ≥ 11 => A ≥ 2 2 2 x + 2xy + y 4xy ( x + y ) ( x + y) ( x + y) ( x + y) Ta có: A = VD 7: : Cho x ≥ − , Tìm GTLN A = 2x + x + + x+3 - 2x 2 2x + ≥ x + > Giải : Ta có : A = 2x + x + + x+3 - 2x = ( 2x + 1) ( x + ) + x+3 - 2x Với x ≥ − ta có: áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số 2x + 1, x+2 Ta có: 2x + + x+2 ≥ ( 2x + 1) ( x+2 ) 14 Hay : 3x + ≥ ( 2x + 1) ( x+2 ) Dấu “ = ” xảy 2x + = x+2 ⇔ x=1 áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số x + 3, Ta có: Hay : x+7 ≥ x+3 Do đó: A ≤ x +3+ ≥ ( x + 3) = x + Dấu “ = ” xảy x + = ⇔ x=1 x+7 3x + + - 2x = Dấu “ = ” xảy x=1 2 VD 8: : Cho x, y, z > x + y + z =1 Tìm GTNN của: S = x + y + z 1 9 y 4x 4z 9y Ta có: S = ( x + y + z ) + + ÷ =1+4+9+ + ÷+ + ÷+ + ÷ z z x x y z x y y y 4x y 9x 4x z y 4x áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số dương x , y ta có : + ≥ = x y x y Tương tự ta có : 4z y 4z y + ≥2 = 12 ; y z y z 9x z 9x z + ≥2 =6 z x z x S ≥ + + + + 12 + =36 y 4x x = y 2 y = y = x y = 2x 4z y = z = y ⇔ ⇔ z = 3x ⇔ x = z Dấu “=” sảy : y 2 9x z 9 x = z x + y + z = = x + y + z = x z z = x + y + z = 1 Vậy Min S = 36 y = , x = , z = Không phải lúc ta dùng trực tiếp bất đẳng thức Côsi số đề Dưới ta nghiên cứu số biện pháp biến đổi biểu thức để có thê vân dụng BĐT Cô-si tìm cực trị nó: Biện pháp 1: Để tìm cực trị biểu thức ta tìm cực trị bình phương biểu thức 3 x − ≥ ⇔ ≤x≤ 3 7 − x ≥ VD1 : Tìm giá trị lớn A = 3x − + − x , ĐKXĐ : 15 Bình phương hai vế ta có : A2 = + ( 3x − ) ( − x ) Với ≤ x ≤ áp dụng bất đẳng thức côsi cho ( x − ) ( − 3x ) ta có: 3 ( 3x − ) + ( − 3x ) ≥ ( 3x − 5) ( − 3x ) hay 2≥2 ( 3x − 5) ( − 3x ) A2 ≤ =>A ≤ Dấu “=” xảy : 3x - = - 3x hay x = VD2: Tìm GTNN biểu thức: A = -x + x + − -x + x + (*) −2 ≤ x ≤ -x + x + ≥ ( x + ) ( x − ) ≤ ⇔ ⇔ ⇔ −1 ≤ x ≤ ĐKXĐ : −1 ≤ x ≤ ( x + 1) ( x − ) ≤ -x + x + ≥ 2 Khi -x + x + − ( -x + x + ) = x + > => A > ( 2 2 Từ (*) => A = -x + x + + ( -x + x + ) − -x + x + -x + x + = -2x + x + 10 − ( x + ) ( − x ) ( x + 1) ( − x ) = ( − x ) ( x + ) + ( x + 1) ( − x ) + − = = ( ( − x2 ) − x2 − −2 ) ( − x ) ( x + ) ( x + 1) ( − x ) ( − x ) ( x + ) ( x + 1) ( − x ) + ( x + 1) ( − x ) ( x + 1) ( − x ) ) 2 +2 +2≥2 A = ⇔ − x = ( x + 1) ( − x ) ⇔ x = BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao số chuyên đề Bùi văn Tuyên ) Bài Tìm GTNN, GTLN hàm số : y = − x + + x Bài 2: Tìm GTLN hàm số : y = x − + − x Bài 3: Tìm GTLN hàm số : A = x − + 23 − x Bài 4: Tìm GTLN hàm số : A = x − + 23 − x Bài 5: Tìm GTLN hàm số : A = x − + 17 − x Bài 6: Tìm GTLN hàm số : A = 3x − + 20 − x Bài 7:Tìm GTLN : A = x − + y − biết x + y = Bài Tìm GTNN : A = -x + x + 21 − -x + x + 10 16 Bài 9( 76/29) Tìm GTNN : A = x y z + + với x, y, z dương x + y + z ≥ 12 y z x Bài 10: ( 65/ 28) Tìm GTLN, GTNN : A = x − + y − biết x + y = 15 Biện pháp 2: nhân chia biểu thức với số khác không VD Tìm giá trị lớn biểu thức: A = Giải: ĐKXĐ: x ≥ Ta có: A = x-9 = 5x x-9 5x 1x -9 x-9 + 3÷ x 3 = = ≤ 5x 5x x 30 x - =3 ⇔ x = 18 Dấu “=” xảy x ≥ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm giá trị lớn biểu thức: A = 7x - 7x-9 Bài 2: Tìm giá trị lớn biểu thức: B = x3 - 27x Biện pháp 3: Biến đổi biểu thức dã cho thành tổng biểu thức cho tích chúng số: 1) Tách hạng tử thành tổng nhiều hạng tử VD1: cho x > Tìm GTNN biểu thức: A = Giải : Ta có A = 3x + 16 x3 3x + 16 16 16 = 3x + = x + x + x + 3 x x x Áp dụng BĐT Cô-si Ta có : A = x+x+x+ Vậy Min A = ⇔ x = 16 16 ≥ 4 x.x.x = 4.2 = x x 16 ⇔x=2 x3 VD2: ( đề thi ĐHTH Hà Nội 1993) Tìm Max Min A = x y( - x - y ) với x, y ≥ x + y ≤ 17 x x + +y+ - x - y x x ≤ x + y ≤ Xét Ta có : A = y( - x - y ) ÷ ≤ 2 Dấu “=” xẩy ÷ ÷ =4 ÷ x = y = - x - y ⇔ y = ; x =2 Xét ≤ x + y ≤ Rễ thấy: – x - y ≤ −2 ( 1) Dấu ‘=’ xảy x + y = => A = x y( - x - y ) đạt GTNN x2y đạtGTLN ( x+y ) x+x+2y ÷ ÷ Ta có : =32 hay x y ≤ 32 (2) x.x.2y x y= ≤ ≤ 2 x + y = x = ⇔ x = y y = Từ (1) (2) => x y( - x - y ) ≥ -64 Dấu ‘=’ xảy VD3 Tìm GTLN A = x2(3 – x) biết x ≤ x x (3 – x) Áp dụng bất đẳng thức x x + +3−x ÷ x x x x Cauchy cho số không âm , , (3 – x) ta : (3 – x) ≤ ÷ = 2 2 ÷ Giải : Xét ≤ x ≤ Viết A dạng : A = Do A ≤ (1) BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao số chuyên đề Bùi văn Tuyên ) 12 16 Bài 1( 71/28) Cho x > , y > x + y ≥ Tìm GTNN P = x + y + x + y Bài 2( 70/28) Cho x > , Tìm GTNN N = Bài 3( 68/ 28) Cho x ≥ , Tìm GTNN Q = Bài 4( 69/ 28) Tìm GTNN M = x3 + 2000 x x + x + 17 2( x + 1) x + x + 34 x +3 Bài 5( 72/ 29) Cho x > y x.y =5 , Tìm GTNN Q = x + 1, xy + y x− y 18 Bài 6( 79/ 29) Cho x ,y thỏa mãn biểu thức: x + y =1 x > , Tìm GTLN B = x y ================================================================== Ngày giảng: / / 2011 Sĩ số: 2) Tách hạng tử chứa biến thành tổng số với hạng tử chứa biến cho hạng tử nghịch đảo hạng tử khác có biểu thức cho VD1: Cho < x < , Tìm GTNN B = Ta có : B = 9x + 2− x x 9x 2− x 9x − x + +1 ≥ 1+ =7 2− x x 2− x x Min B= ⇔ 9x 2− x = ⇔x= 2− x x BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao số chuyên đề Bùi văn Tuyến ) Bài 1( 74/ 29) Cho < x 1, Tìm GTLN A = x + 25 x +1 Bài 3: Cho x > 0, Tìm GTNN biểu thức: A = 2x − x + 2x Bài 4: Tìm GTNN biểu thức: B = Bài 5: Tìm GTNN biểu thức: A = x-4 x x − 3x + x (Bồi dưỡng HSG toán đại số TRẦN THỊ VÂN ANH) Bài 6: Tìm GTNN biểu thức: A = 3x + ( với x > -1 ) x+1 Bài 7: Tìm GTNN biểu thức: B = x + ( với x > ) x-1 Bài 8: Tìm GTNN biểu thức: C = x + ( với x > ) 2x-1 Bài 9: Tìm GTNN biểu thức: D = x + ( với < x < ) 1-x x 19 Biện pháp 4: Thêm hạng tử vào biểu thức cho: VD1 : Cho số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm GTNN biểu thức: P= x2 y2 z2 + + y+z z+x y+x x2 y+z ≥2 + y+z Ta có : x2 y + z x = = x y+z x+z y2 y2 x + z y ≥ + = = y x+z x+z z2 y+x ≥2 + y+x x2 y2 z2 z2 y + x z = = z y+x y+z x+z y+x + + + + ≥ x+ y+ z => ÷+ 4 y+z z+x y+x x2 y2 z2 x + y + z + + ≥ x+ y+ z Hay: ÷+ y + z z + x y + x => P = x2 y2 z2 x+ y+z x+ y+z + + ≥ x+ y+ z− ≥ =1 y+z z+x y+x 2 x2 y+z = y+z y x+z = ⇔x= y=z= Vậy Min P = ⇔ x+ z z y+x = y + x Lưu ý: Nếu ta thêm ( x + y), ( z + y), ( x + z) vào z2 x2 y2 , , ta khử y+x y+z z+x (x + y), ( z + y), ( x + z) không tìm x, y, z để dấu dấu đẳng thức xảy đồng thời Khi không tìm giá trị nhỏ VD2 : Tìm GTNN A = x + y biết x, y > thỏa mãn a b a b + = (a b số dương) x y ay bx Giải Cách : A = x + y = 1.(x + y) = + ÷( x + y ) = a + + + b x y x y 20 Theo bất đẳng thức Cauchy với số dương : Do A ≥ a + b + ab = ( ) ay bx ay bx + ≥2 = ab x y x y a+ b A = ( a+ b ) ay bx x = y a b với + = ⇔ x y x, y > x = a + ab y = b + ab Cách : Dùng bất đẳng thức Bunhiacôpxki : a b a b A = (x + y).1 = (x + y) + ÷ ≥ x + y ÷ = x y x y ( ) a+ b Từ tìm giá trị nhỏ A VD3 Tìm GTNN A = x2 y2 z2 + + biết x, y, z > , x+y y+z z+x xy + yz + zx = x2 y2 z2 x+y+z + + ≥ Giải Theo VD1 BIỆN PHÁP 4: Theo bất đẳng thức Cauchy x+y y+z z+x x+y y+z z+x ≥ xy ; ≥ yz ; ≥ zx nên x + y + z ≥ xy + yz + zx 2 hay x+y+z ≥ A = xy + yz + zx = 2 ⇔ x=y=z= VẬN DỤNG BDT A + B ≥ A+B ĐỂ TÌM CỰC TRỊ Bài 1: Tìm GTNN hàm số : y = x + x + + x − x + Cách 1: y = x + x + + x − x + = x + + x − Nếu: x < -1 y = x + + x − = − x − − x + = −2 x > Nếu: -1 ≤ x ≤ y = x + + x − = x + − x + = 21 Nếu: x > y = x + + x − = x + + x − = x > Vậy y nhỏ -1 ≤ x ≤ Cách : áp dụng BĐT a + b ≥ a + b ( Dấu “=” sảy a.b ≥ ) Ta có : y = x + + − x ≥ x + + − x = Vậy y nhỏ -1 ≤ x ≤ Bài 2: Cho x, y > 2x + xy = Tìm GTLN A = x2y Cách 1: Từ 2x + xy = => xy = -2x Thế vào A ta có : A = x(4 -2x ) = – ( x ) − x 2 + ( ) = − ( x − ) 2 x − = x = ⇔ x + xy = y = => Max A = Cách 2: Ta có : A = x.xy Vì x, y > => 2x, xy > áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số ( x + xy ) ≥ x y Thay số ta có : ≥ x y =A x + xy x + xy 2x, xy ta có: ≥ x.xy ⇔ ÷ ≥ x.xy ⇔ 4.2 2 x = xy x = ⇔ x + xy = y = Vậy Max A =2 BÀI TẬP TỰ LUYÊN TƯƠNG TỰ: Bài 1: Tìm GTNN HS: a, y = x − x + + x − 12 x + b, y = x + x + + x − x + Bài 2: Tìm GTNN HS: a, y = x + 20 x + 25 + x − 8x + 16 b, y = 25 x − 20 x + + 25 x − 30 x + Bài Tìm giá trị nhỏ A = x − x − + x + x − 22 [...]... cũng dùng trực tiếp được bất đẳng thức Côsi đối với các số trong đề bài Dưới đây ta sẽ nghiên cứu một số biện pháp biến đổi một biểu thức để có thê vân dụng BĐT Cô-si rồi tìm cực trị của nó: Biện pháp 1: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phương biểu thức đó 3 x − 5 ≥ 0 5 7 ⇔ ≤x≤ 3 3 7 − 3 x ≥ 0 VD1 : Tìm giá trị lớn nhất của A = 3x − 5 + 7 − 3 x , ĐKXĐ : 15 Bình phương hai vế... (nhân hai vế với số dương xz) ⇔ xy + z2 – yz – xz ≥ 0 ⇔ y(x – z) – z(x – z) ≥ 0 ⇔ (x – z)(y – z) ≥ 0 (2) (2) đúng với giả thiết rằng z là số nhỏ nhất trong 3 số x, y, z, do đó (1) đúng Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất của x y z + + y z x 13 VD 4: Tìm giá trị lớn nhất của : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0 ; x + y + z = 1 Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x, y, z ta có: 1 = x + y + z ≥... dương và x + y + z ≥ 12 y z x Bài 10: ( 65/ 28) Tìm GTLN, GTNN của : A = x − 4 + y − 3 biết x + y = 15 Biện pháp 2: nhân và chia một biểu thức với cùng một số khác không VD Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = Giải: ĐKXĐ: x ≥ 9 Ta có: A = x-9 = 5x x-9 5x 1x -9 x-9 + 3÷ x 3 2 3 3 = 6 = 1 ≤ 5x 5x 5 x 30 x - 9 =3 ⇔ x = 18 Dấu “=” xảy ra khi 3 x ≥ 9 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm giá trị lớn. .. a+ b Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất của A VD3 Tìm GTNN của A = x2 y2 z2 + + biết x, y, z > 0 , x+y y+z z+x xy + yz + zx = 1 x2 y2 z2 x+y+z + + ≥ Giải Theo VD1 BIỆN PHÁP 4: Theo bất đẳng thức Cauchy x+y y+z z+x 2 x+y y+z z+x ≥ xy ; ≥ yz ; ≥ zx nên x + y + z ≥ xy + yz + zx 2 2 2 hay x+y+z ≥ 2 min A = 1 2 xy + yz + zx 1 = 2 2 ⇔ x=y=z= 1 3 VẬN DỤNG BDT A + B ≥ A+B ĐỂ TÌM CỰC TRỊ Bài 1: Tìm GTNN của... y+x = 4 y + x Lưu ý: Nếu ta lần lượt thêm ( x + y), ( z + y), ( x + z) vào z2 x2 y2 , , ta vẫn khử được y+x y+z z+x (x + y), ( z + y), ( x + z) nhưng không tìm được x, y, z để dấu dấu đẳng thức xảy ra đồng thời Khi đó không tìm được giá trị nhỏ nhất VD2 : Tìm GTNN của A = x + y biết x, y > 0 thỏa mãn a b a b + = 1 (a và b là hằng số dương) x y ay bx Giải Cách 1 : A = x + y = 1.(x + y) = +... 3 x.y.z (1) 2 = ( x +y ) + ( z+x ) + ( y+ z ) ≥ 3 3 ( x +y ) ( z+x ) ( y+ z ) (2) 11 3 2 Từ (1) và (2) => 2 ≥ 3 3 x y.z ( x +y ) ( z+x ) ( y+ z ) hay: 2 ≥ 3 3 A => A ≤ ÷ 9 ( x +y ) = ( z+x ) = ( y+ z ) 1 2 ⇔x= y=z= Max A = ÷ khi x + y + z = 1 3 9 x, y , z ≥ 0 3 VD3: Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = x + a ≥ 2 ax Lời giải sai: Ta có: x + b ≥ 2 bx Do đó: A = (x + a)(x + b) với... Nếu: x > 1 thì y = x + 1 + x − 1 = x + 1 + x − 1 = 2 x > 2 Vậy y nhỏ nhất bằng 2 khi -1 ≤ x ≤ 1 Cách 2 : áp dụng BĐT a + b ≥ a + b ( Dấu “=” sảy ra khi a.b ≥ 0 ) Ta có : y = x + 1 + 1 − x ≥ x + 1 + 1 − x = 2 Vậy y nhỏ nhất bằng 2 khi -1 ≤ x ≤ 1 Bài 2: Cho x, y > 0 và 2x + xy = 4 Tìm GTLN của A = x2y Cách 1: Từ 2x + xy = 4 => xy = 4 -2x Thế vào A ta có : A = x(4 -2x ) = 2 – ( x 2 ) − 2 x 2 2 + ( 2... A ≤ 4 (1) BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao và một số chuyên đề Bùi văn Tuyên ) 12 16 Bài 1( 71/28) Cho x > 0 , y > 0 và x + y ≥ 6 Tìm GTNN của P = 5 x + 3 y + x + y Bài 2( 70/28) Cho x > 0 , Tìm GTNN của N = Bài 3( 68/ 28) Cho x ≥ , Tìm GTNN của Q = Bài 4( 69/ 28) Tìm GTNN của M = x3 + 2000 x x 2 + 2 x + 17 2( x + 1) x + 6 x + 34 x +3 Bài 5( 72/ 29) Cho x > y và x.y =5 , Tìm GTNN của Q = x 2 + 1, 2 xy... có: A = x-9 = 5x x-9 5x 1x -9 x-9 + 3÷ x 3 2 3 3 = 6 = 1 ≤ 5x 5x 5 x 30 x - 9 =3 ⇔ x = 18 Dấu “=” xảy ra khi 3 x ≥ 9 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 7x - 5 7x-9 Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = x3 - 9 27x 3 Biện pháp 3: Biến đổi biểu thức dã cho thành tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số: 1) Tách 1 hạng tử thành tổng... a+ b Ngày giảng: ) / 2 khi và chi khi / 2011 ab ≥ 2 ab nên A ≥ 2 ab + a + b = x ( a+ b ) 2 ab x = x ⇔ x = ab x > 0 Sĩ số: VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ 1 1 1 VD1: Cho x > 0, y > 0 thỏa mẫn đk x + y = 2 Tìm GTNN của bt: A = x + y 1 1 1 1 Do x > 0, y > 0 nên x > 0, y > 0 áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số x , y ta có: 11 1 1 1 + ÷≥ 2 x y x y 1 1 Hay 4 ≥ xy => xy ≥ 4 Mặt khác ... x=2 Chú ý 2, Khi tìm cực trị biểu thức , nhiều ta thay điều kiện để biểu thức đạt cực trị điều kiện tương đương biểu thức khác đạt cực trị chẳng hạn : -A lớn ⇔ A nhỏ lớn ⇔ B nhỏ với B > B Ví dụ... z(x – z) ≥ ⇔ (x – z)(y – z) ≥ (2) (2) với giả thiết z số nhỏ số x, y, z, (1) Từ tìm giá trị nhỏ x y z + + y z x 13 VD 4: Tìm giá trị lớn : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ ; x + y... bất đẳng thức Côsi số đề Dưới ta nghiên cứu số biện pháp biến đổi biểu thức để có thê vân dụng BĐT Cô-si tìm cực trị nó: Biện pháp 1: Để tìm cực trị biểu thức ta tìm cực trị bình phương biểu thức