www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CẨM NANG CHO MÙA THI 2016 TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH (ÔN THI THPT QUỐC GIA) PHIÊN BẢN 2016 NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Email: ng.huubien@gmail.com www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016  x − x + 3y − 3x − = (1) Bài 1: Giải hệ phương trình:  2  x + − x − 2y − y + = (2) Phân tích hướng dẫn −1 ≤ x ≤ 1 − x ≥ ⇔ 0 ≤ y ≤ 2y − y ≥ * Điều kiện:  Ở phương trình (1) ta thấy cô lập x, y sang vế, ta nghĩ đến việc sử dụng phương pháp hàm số, thật vậy: + Phương trình (1) ⇔ x − 3x − = y3 − 3y ⇔ ( x + 1) − ( x + 1) = y3 − 3y (*) - Xét hàm số f (t) = t − 3t  −1 ≤ x ≤  ≤ x + ≤ ⇔ ⇒ t ∈ [ 0; 2] 0 ≤ y ≤ 0 ≤ y ≤ - Do  ⇒ f ' (t) = 3t − 6t; f '(t) = ⇔ t = 0; t = , ta có bảng biến thiên sau: x f '(t) f (t) + 0 - + ց ⇒ f (t) nghịch biến [ 0; 2] Vậy từ (*) ⇔ x + = y thay vào (2) ta có: x + − x − ( x + 1) − ( x + 1) + = ⇔ x2 + 1− x2 − 1− x2 + = ⇔ x2 − 1− x2 + = ( ) ⇔ − − x − − x + = ⇔ (1 − x ) + − x − = Đặt a = − x ≤ mà a ≥ ⇒ ≤ a ≤ a = (tháa m·n) ⇒ x = ⇒ y = (tháa m·n) ⇒ a + 2a − = ⇔  a = −3 (lo¹i) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = ( 0;1)  x + 4y ( x − ) − = 4y − x + 2y (1) Bài 2: Giải hệ phương trình  4y ( x − ) + x = x − (2) Phân tích hướng dẫn * Điều kiện: x ≥ 1; y ≥ + Phương trình (1) ⇔ x + 4xy − 20y − = 4y − x + 2y (*) + Phương trình (2) : ⇔ 4xy − 16y + x = x − ⇔ 4xy = 16y + x − − x thay vµo (*) ⇒ x + 16y + x − − x − 2xy − = 4y − x + 2y ⇔ x + x − = 4y + 4y + + 2y ⇔ x + x − = ( 2y + 1) + ( 2y + 1) − (*) x ≥ x ≥ ⇔ ⇒ t ≥1 y ≥  2y + ≥ + Xét hàm số f (t) = t + t − do:  Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 > 0, ∀t > ⇒ hµm sè f(t) ®ång biÕn t −1 + Từ (**) ⇔ x = 2y + ⇔ thay vµo (2) ⇒ f '(t) = 2t + ⇒ 4y ( 2y + − ) + 2y + = 2y + − ⇔ 8y − 12y + 2y + = 2y ⇔ 8y − 10y + = 2y ⇔  4y − 4y + 1 − 2y − = 2y ⇔ ( 2y − 1) = 2y + + 2y ⇔ ( 2y − 1) = ( ) 2y + ⇔ ( ( 2y − 1) ) =( ) 2y +  3−2 5−2 ⇒x= (tháa m·n)  2(2y − 1) = 2y + ⇒ y = ⇔  3+ 2 5+ 2 (tháa m·n) ⇒x=  ( 2y − 1) = − 2y − ⇒ y =   5− 2 3− 2   5+ 2 3+ 2  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) =  ; ; ;       3xy + 9y + = x + − x (1) Bài 3: Giải hệ phương trình:  x3 ( 9y + 1) + ( x + 1) x = 10 (2)  ( ) Phân tích hướng dẫn * Điều kiện: x ≥ + Phương trình (1) ⇔ 3xy + 3xy 9y + = x + + x (*) (do nhân liên hợp vế phải) Ta thấy x = nghiệm phương trình (*), từ (*) ta có: x +1 x + x x 1 ⇔ (3y) + (3y) ( 3y ) + = + + x x2 x ⇔ 3y + 3y 9y + = 1 1 1   ⇔ (3y) + (3y) ( 3y ) + = + + 1+  1 +  =  x x x x x  x 2 (**) + Xét hàm số f (t) = t + t t + Do x > từ (**) ⇒ y > ⇒ t > ⇒ f '(t) = + t + + t2 t2 +1 > ⇒ f (t) lu«n ®ång biÕn ∀t > thay vµo (2) x 1  ⇒ x  + 1 + ( x + 1) x = 10 ⇔ x + x + ( x + 1) x = 10 (3*) x  + Tõ (**) ⇒ 3y = + Ta thấy phương trình (3*) có vế trái hàm số đồng biến, vế phải số, mà x = nghiệm (3*) ⇒ x = lµ nhÊt ⇒ y = (thỏa mãn) Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016  1   Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) =  1;  2y3 + y + 2x − x = − x (1) Bài 4: Giải hệ phương trình  2 (2)  − 4y = 2x + 6y − Phân tích hướng dẫn  3 * Điều kiện: x ≤ 1; y ∈  − ;   2 + Phương trình (1) ⇔ 2y3 + y = − x − 2x − x ⇔ 2y3 + y = − x (1 − x ) + − x ⇔ 2y3 + y = ( 1− x ) + 1− x y ≥ + Xét f (t) = 2t + t; f '(t) = 6t + > ∀t ∈ R ⇒ f (t) ®ång biÕn ⇒ y = − x ⇔  y = 1− x + Thay vào (2) ⇒ − (1 − x ) = 2x + (1 − x ) − ⇔ + 4x = 2x − 6x − ⇔ + 4x = 4x − 12x − ⇔ ( + 4x ) + + + 4x = 4x − 8x + ⇔ ( ) + 4x + = ( x − 2x + 1) ⇔ ( ) + 4x + = ( ( x − 1) )  + 4x + = ( x − 1) (v« nghiÖm) ⇔  + 4x + = (1 − x ) ⇔ + 4x = − 2x  x ≤  ⇔  x = + (lo¹i)  y =  ⇒   x = -  y = −  ( )( Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = − 2; ; − 2; − )  x − y − x + 2y = (1)  Bài 5: Giải hệ phương trình:  2 x + − 4y + y xy + 2y = 34 − 15x (2) ( ) Phân tích hướng dẫn * Điều kiện: −2 ≤ x ≤ 2; y ≥ + Phương trình (1) ⇔ ( − x ) + ( ) − x y − 2y = §Æt t = − x ≥ ⇒ t + ty − 2y = t y =1  2−x = y t t ⇔   + −2 = ⇔  ⇔ t y y  − x = −2y  y = −2  + Với y = − x thay vµo (2) ⇒ 2( x + − − x ) + − x = 34 − 15x (3) + Đặt t = x + − − x ⇒ t = 34 − 15x − − x + Phương trình (3) : Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 t = x + − − x = 34 − 15x − − x ⇒ 2t = t ⇔  t = 16 ( − x ) = x +  x +2 −4 2−x = 4 − x = x + ⇔ ⇔ ⇔ 16 ( − x ) + + 16 − x = x +  x + − − x =  − x + = x +  30 17 17x = 30 x= ⇒y= ⇔ ⇔ 17 17 (thỏa mãn)  16 − x = 17 ( x − )  x = ⇒ y = ⇔2 + Với ( ) y ≤ − x = 2y ⇔  , trường hợp hệ vô nghiệm 2 − x = 4y  30 17  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) =  ;  ; ( 2;0 )  17 17  3y + x + + x = 10y − 3xy + 12 (1) Bài 6: Giải hệ phương trình:  3 5y − x − = 6y + xy − x (2) Phân tích hướng dẫn * Điều kiện: x ∈ [ −2; 2] ( ) + Phương trình (2) ⇔ y3 − x − x − x − 6y2 = (*) + Do y = không nghiệm phương trình (*) nên từ (*): 2 2 − x − = ⇔ ( − x ) + 3 − x =   +   y y y y ⇔ (5 − x ) 2 2 ⇔ − x + − x =   +   y y + Xét hàm số f (t) = t + 3t ⇒ f'(t) =3t + > ∀t ∈ R ⇒ Hàm số đồng biến ⇒ − x = y ( ) ( ) + Phương trình (1) ⇔ y + x − 10 + 3x + + x − 12 = 2 ⇔ + x − 10 + 3x +   + x − = y y ⇔ + x − 10 + 3x + − x + x − − x = ⇔3 ( ) + x − 2 − x + 4 − x + 3x − 10 = + Đặt t = + x − 2 − x ⇒ t = 10 − 3x − 4 − x = −(4 − x − 3x − 10) t = ⇒ 3t − t = ⇔  t = - Với t = ⇒ x = ⇒ y = (thỏa mãn) + Với t = ⇒ 2+ x − 2− x = ⇔ 2+ x = 3+ 2− x Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 ⇔ 15x − 15 = 12 − x ⇔ 5x − = − x (phương trình vô nghiệm) 6  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) =  ;  5  3  x − 6x + 13x = y + y + 10 (1) Bài 7: Giải hệ phương trình:   2x + y + − − x − y = x − 3x − 10y + (2) Phân tích hướng dẫn 2x + y + ≥ 3 − x − y ≥ + Điều kiện:  + Phương trình (1) ⇔ ( x − ) + ( x − ) = y3 + y + Xét hàm số f (t) = t + t ⇒ f '(t) = 3t + > 0, ∀t ∈ R ⇒ f (t) ®ång biÕn ⇔ x - = y thay vµo (2) ⇒ 2x + x − + − − x − ( x − ) = x − 3x − 10 ( x − ) + ⇔ 3x + − − 2x = x − 3x − 10x + 26 (*); -1 ≤ x ≤ + Đặt f (x) = 3x + − − 2x g(x) = x − 3x − 10x + 26  5 + > 0; ®ång biÕn ∀x ∈  −1;  3x + − 2x  2  + 39   ∉  −1;   x1 =  2  ⇒ g '(x) = 3x − 6x − 10; g'(x) = ⇔  − 39   x2 = ∉  −1;    2 ⇒ f’(t) = + Ta xét bảng biến thiên sau: x1 x −∞ g '(x) g(x) + −1 - - | x2 - +∞ + | ց ⇒ g(x) nghịch biến ⇒ x = (thỏa mãn) nghiệm (*) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = ( 2; ) Bài 8: Giải phương trình: Phân tích hướng dẫn * Điều kiện: x ≥ + Phương trình biến đổi: ⇔ ( 2x − 1) + + 2x − = ⇔ ( ) x −1 + 2x + + 2x − = x − + x − 2x + ( x − 1) x − + + 2x − = x − + ( +2 ) x −1 + + Xét hàm số f (t) = t + + t; t ≥ Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 2t ⇒ f '(t) = t4 + + > 0, ∀t ≥ ⇒ f'(t) ®ång biÕn ∀t ≥ ⇒ 2x − = x − ⇔ 2x − = (x − 1)2 ⇔ x − 4x + = x = − ⇔ (tháa m·n ®iÒu kiÖn)  x = + Vậy phương trình cho có nghiệm x1 = − 2; x = + Bài 9: Giải phương trình ( x + 1) x + + ( x + ) x + = x + 7x + 12 Phân tích hướng dẫn x + ≥ ⇔ x ≥ −1 x + ≥ + Điều kiện:  + Do phương trình nhẩm nghiệm x = nên ta nghĩ tới việc tạo nhân tử chung x − Ta thực bước tính nháp thử nghiệm sau: * x + − a → (a − 2) → + − a = ⇔ a = → x + − * x + − b → ( x − 2) → + − b = ⇔ b = → x + − Qua bước nhẩm trên, phương trình cho tương đương với: ( x + 1) ( x + − ) + ( x + ) ( x + − 3) = x + 7x + 12 − ( x + 1) − ( x + ) ( x + 1)( x − ) + ( x + )( x − ) − x − x + = ⇔ ( )( ) x+2 +2 x +7 +3 x+6  x +1  ⇔ ( x − 2)  + − x −  = (*) x +7 +3  x+2 +2  x+2  x+2  x+2  x + + ≥  x + + ≤ (do x + + ≥ 2) + Ta thấy với x ≥ −2 ⇒  , mà  x +   x + ≤ x + (do x + + > 2) >0  x + +  x + + ⇒ x +1 x+6 x+2  x+6 x+6  x+2 + −x−4= − + − − −1 ⇒ f (t) đồng biến với t ≥ −1 + Do  + Từ (*) ⇒ x − = y + thay vào (2) ta được: x − − x − 6x + = ( x − 1) + ⇔ x − − ( x − 1) − ( x − 1) + = ( x − 1) + (**) + Ta thấy x = không nghiệm (**) x ≠ , mặt khác điều kiện ⇒ x > , chia vế (**) cho x − > ta được: − ( x − 1) − + 1 = x −1 + x −1 x −1 1 > ⇒ x −1+ = t2 − ⇒ − t2 − = t x −1 x −1 5  t ≤ ⇔ t2 − = − t ⇔  ⇒ x −1 + = ⇔ t = x −1  t − = ( − t )  x −1 =  x = ⇒ y = 62  ⇔ ⇔  x −1 =  x = ⇒ y = − 127  64  + Đặt t = x − +  x − y + y − x − = 0(1) Bài 11: Giải hệ phương trình   x + − x − y − y + = 0(2) Phân tích hướng dẫn 1 − x ≥ − ≤ x ≤ ⇔  2 y − y ≥ 0 ≤ y ≤ Điều kiện:  (1) ⇔ x − 3x − = y − y ⇔ (x + 1)3 − 3(x + 1)2 = y − y (*) - Xét hàm số f (t ) = t − 3t − ≤ x ≤ 0 ≤ x + ≤ ⇔ ⇒ t ∈ [0;2] 0 ≤ y ≤ 0 ≤ y ≤ - Do  ⇒ f ' (t ) = 3t − 6t ; f ' (t ) = ⇔ t = 0; t = t f’(t) + 0 + f(t) ց ⇒ f (t ) nghịch biến [0;2] Vậy từ (*) ⇔ x + = y thay vào (2) ta có: x + − x − 2( x + 1) − ( x + 1) + = Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 ⇔ x2 + 1− x2 − 1− x2 + = ⇔ x2 − 1− x2 + = ( ) ⇔ − 1− x2 − 1− x2 + = ( ) ⇔ 1− x2 + 1− x2 − = - Đặt a = − x ≤ mà a ≥ ⇒ ≤ a ≤ a = (tm) ⇒ a + 2a − = ⇔  ⇒ x = ⇒ y = (tmđk) a = −3 2  x + y (x − 5) − = y − x + 2 y (1) Bài 12: Giải hệ phương trình  4 y ( x − ) + x = x − 1(2) Phân tích hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ 1; y ≥ (1) ⇔ x + xy − 20 y − = y − x + 2 y (*) (2) ⇔ xy − 16 y + x = x − ⇔ xy = 16 y + x − − x thay vào (*) ⇔ x + 16 y + x − − x − 20 y − = y − x + 2 y ⇔ x2 + x −1 = 4y2 + 4y +1+ 2y ⇔ x + x − = (2 y + 1) + (2 y + 1) − (**) x ≥ x ≥ ⇔ ⇒ t ≥1 y ≥ 2 y + ≥ - Xét hàm số f (t ) = t + t − do:  > 0, ∀t > ⇒ hàm số f(t) đồng biến t −1 - Từ (**) ⇔ x = y + ⇔ thay vào (2) f ' (t ) = 2t + ⇒ 4y ( 2y + − ) + 2y + = 2y + − ⇔ 8y − 12y + 2y + = 2y ⇔ 8y − 10y + = 2y ⇔  4y − 4y + 1 − 2y − = 2y ⇔ ( 2y − 1) = 2y + + 2y ( 2y + 1) ⇔ ( ( 2y − 1) ) = ( 2y + 1) ⇔ ( 2y − 1) = Chú ý: 2(2 y )2   5− 2 3− 2  ;  ( 2y − 1) = 2y + 1, ⇒ y =      ⇔  ( 2y − 1) = − − 1, ⇒ y =  + 2 ; + 2        − 5(2 y ) + = 2 y Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 - Đặt t = y ≥ ⇒ 2t − 5t + − 2t =  t = − 2 ⇔ (t + 1) 2t − 4t + = ⇔   t = +   2 2 2y = + − ⇔ 2y = − ⇔y= −  ⇔ 2 4   (t−¬ng tù ) ( ) )  (1) 3 xy + y + = x +1 − x Bài 13: Giải hệ phương trình:   x y + + x + x = 10(2)  ( ( ) ( ) Phân tích hướng dẫn * Điều kiện: x ≥ (1) ⇔ 3xy + xy y + = x + + x x +1 x + (do x = không nghiệm phương trình) x x 1 ( 3y ) + = + + x x x ⇔ 3y + 3y y + = ⇔ ( 3y ) + ( 3y ) ⇔ ( 3y ) + ( 3y ) ( 3y ) +1 = = 1 1 + 1+ x  x  x x +   +   x  x (*) * Xét hàm số f (t ) = t + t t + - Do x > từ (*) ⇒ y > ⇒ t > ⇒ f ' (t ) = + t + + + Từ (*) ⇒ y = x t2 t2 +1 > ⇒ f ' (t ) đồng biến ∀t > 1 x   thay vào (2) ⇒ x  + 1 + 4(x + 1) x = 10 ⇔ x + x + 4(x + 1) x = 10 ⇒ x = nghiệm ⇒ y = (t = ) x ⇒ x = t ; x = t ⇒ t + t + ( t + 1) t = 10 2 y + y + x − x = − x (1) Bài 14: Giải hệ phương trình   − y = x + y − 7(2) Phân tích hướng dẫn  3 + Điều kiện: x ≤ 1; y ∈ − ;   2 (1) ⇔ y + y = − x − x − x Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 x −3 x−3 + + (9 − x2 ) = x +1 + − x +1 x = ⇒ y = ⇔ 1  + = x + (5)  x + + − x +1 1   x + + ≤ 1 Xét (5) Ta có :  ⇒ + ≤ , ∀x ∈ [ -1;4] x +1 +1 − x +1  ≤1  − x + Mặt khác x + ≥ 2, ∀x ∈ [ -1;4] Vậy phương trình (5) vô nghiệm ⇔ 1 + x + y + = ( x + y )2 + x + y  Bài 116: Giải hệ phương trình:  2 ( x + 1) x − x + + x + xy = Hướng dẫn làm bài: Điều kiện: x + y ≥ (1) ⇔ − ( x + y ) + x + y + − x + y = ⇔ (1 + x + y )(1 − x − y ) + − 4x − y =0 x + y + + 6x +   ⇔ (1 − x − y )  (1 + x + y ) + =0 x + y + + x +   - Do điều kiên x + y ≥ nên + ( x + y ) + >0 2x + y + + 6x + ⇒ x + y − = ⇔ x + y = vào phương trình (2) ta ( x + 1) x − x + + x ( x + y ) = ⇔ ( x + 1) x − x + + x − = - Đặt f ( x ) = ( x + 1) x − x + + x − ( x + 1)( x − 1) + = x + x + > 0, ∀x ∈ ℝ f ' ( x) = 2x2 − x + + 2 2x − x − 2x − x − 1 ⇒ hàm số đồng biến R mà f   = nên x = nghiệm 2 1 1 Với x = ⇒ y = − (thỏa đk) Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) =  ; −  2 2 2  x3 − y + y + x − y + = (1) Bài 117: Giải hệ phương trình   x + x − = x + + y (2) ( x, y ∈ ℝ ) Hướng dẫn làm bài: Điều kiện: x ≥ −2 (1) ⇔ x + x + = y − y + y ⇔ x3 + x + = ( y − 1) + ( y − 1) + Xét hàm số f ( t ) = t + t + [ −2; +∞ ) Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 73 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 Ta có: f ' ( t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ [ −2; +∞ ) Suy hàm số f ( t ) đồng biến [ −2; +∞ ) Do đó: x = y − Thay y = x + phương trình (2) ta được: x3 − = x + + ⇔ x3 − = ( ) ( ) x + − ⇔ ( x − ) x2 + x + = ( ) ⇔ ( x − 2) x2 + x + = ( x+2 −2 ( x+2 +2 x+2+2  ⇔ ( x − 2)  x2 + x + −  x+2 +2  ( x − 2) ( )( ) ) )  =0 x+2 +2   ( ) * x−2=0⇔ x = 2⇒ y =3 * x2 + x + − ( x+2 +2 ) = ⇔ x2 + x + = ( 2 Ta có VT = x + x + = ( x + 1) + ≥ 3;VP = x+2 +2 x+2 +2 ) (*) ≤ 1, ∀x ∈ [ −2; +∞ ) Do phương trình (*) vô nghiệm Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = ( 2;3) 3x + 12 y + 24 xy − ( x + y ) xy = (1) Bài 118: Giải hệ phương trình  2 5 x − y + xy = 15 (2) ( x, y ∈ ℝ ) Hướng dẫn làm bài: + ĐK xy ≥ (1) ⇔ ( x + y ) + xy = ( x + y ) xy (3) + Ta có x = y = không nghiệm hệ nên xy > + Chia hai vế (3) cho ( x + y ) xy ta + Đặt t = x + y 2 xy + = 3(4) xy x + y x + 2y ≥ ta t + = ⇔ t = t xy x + 2y t =2⇒ = ⇔ x = 2y 2xy Thay x = y vào (2) ta y = ⇔ y = Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = ( 2;1)   −  Bài 119: Giải hệ phương trình:   +   Hướng dẫn làm bài: 12   x =2 y + 3x  12   y =6 y + 3x  Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 74 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016  12  12  − =  −  x =2  y + 3x x  y + 3x   + Điều kiện: x > y >  ⇔ 1 + 12 =  + 12  y =    y + 3x  y + 3x  y  - Lấy (1) + (2): = + ⇔ 1= + (*) x y x y (1) (2)  12 (*) 12   = − ⇔ = − +    y y + 3x y + 3x  y y x x  x   y = 3x 12 ⇔ = − ⇔ y + 6xy − 27x = ⇔ y + 6xy − 27x = ⇔  y + 3x y x  y = −9x - So với điều kiện, nhận y = 3x (*) ⇔ x = + ⇒ y = 12 + - Lấy (2) – (1):  x = + Vậy hệ phương trình có nghiệm   y = 12 +  x + xy + y =  x + xy − x − y + = Bài 120: Giải hệ phương trinh  Hướng dẫn làm bài: Cộng hai vế pt ta : (x + y – )2 + x( x + y – ) – (x + y – ) = x + y − = ⇔ ( x + y − ) ( x + y − 3) = ⇔  2 x + y − = x + y − = x = ⇔  2 y =1  x + xy + y = - Với x + y – =0 , ta có hệ :   x =  2 x + y − = y =1  - Với 2x + y – =0 , ta có hệ :  ⇔  x =  x + xy + y =    y = −1  x3 (4 y + 1) + 2( x + 1) x = (1)  Bài 121: Giải hệ phương trình:  2  x y + y + = x + x + (2) Hướng dẫn làm bài: ĐK: x ≥ ( ) * Do x = nghiệm nên x > ⇒ x + x + > Từ PT (2) ⇒ y (2 + y + 1) > Chia hai vế pt (2) cho x , ta : (2 y) + (2 y) (2 y) 2 +1 = 1 1 1 +   + ⇔ f (2 y ) = f   (3) x x x x * Xét hàm số : f (t ) = t + t t + khoảng ( 0; +∞ ) Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 75 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 t2 ⇒ f '(t ) = + t + + t2 +1 > 0, ∀t > ⇒ hàm số đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) (4) Từ (3) (4) ⇒ y = * Thay y = x vào pt (1), ta : x3 + x + ( x + 1) x = (5) x Ta thấy x = nghiệm pt (5) Xét hàm số : f ( x) = x3 + x + ( x + 1) x khoảng ( 0; +∞ ) Có f '( x) = 3x + x + x x + x2 + > 0, ∀x > ⇒ hàm số đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) (6) x Từ (5) (6) ⇒ x = nghiệm pt (5)  1   * x = ⇒ y = Vậy nghiệm hệ : 1;  2  x − y − x + y + = Bài 122: Giải hệ phương trình:  ( x, y ∈ ℝ ) 2 − + 12 − + − + = x x y xy y x y  Hướng dẫn làm bài: Ta có: −7 x3 + 12 x y − xy + y − x + y = ⇔ ( y − x )  x − x ( y − x ) + ( y − x ) +  = ( )   x  + Vì x − x ( y − x ) + ( y − x ) + =  y − x −  + x + > 0, ( ∀ x, y ) nên: 2  ( ) ⇔ x − y = hay x = y 2 y = x y = x y = x  ⇒ Hệ tương đương:  ⇔ ⇔  x = 2 2 x − y − x + y + = x − 5x + =   x =  Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = ( 2;2 ) ( x; y ) = ( 3;3) 4 x + y − x − = x + + x + x + y − (1)  Bài 123: Giải hệ phương trình:   x 12 − y + y (12 − x ) = 12 (2) Hướng dẫn làm bài:  x ≥ −   + Điều kiện:  y ≤ 12  y (12 − x ) ≥   x + x + y − ≥ ( *) Ta có : Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 76 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016  x 12 − y ≤ 12 y (12 − x ) = 12 − x 12 − y ⇔  12 x − 24 x 12 − y + 12 (12 − y )  y = 12 − x  x 12 − y ≤ 12   ⇔ ⇔  x − 12 − y = − ≤ x ≤ 3; ≤ y ≤ 12  Thay vào phương trình (1) ta được: x − x + = x + + x + ( 2) ⇔ ( ) ( ) ( ) ⇔ ( x − x ) + x + − 3x + + x + − x + = 1   ⇔ ( x2 − x )  + + =0 x + + 3x + x + + x +   ⇔ x − x = ⇔ x = x = Khi ta nghiệm ( x; y ) ( 0;12 ) (1;11)  x + y + x + y + = (x + y)2 + x + y (1)  Bài 124: Giải hệ phương trình:   x + x + y + + x − y = (2) x + y ≥ (*) x − y ≥ Hướng dẫn làm bài: Điều kiện:  + Đặt t = x + y ≥ , từ (1) ta có: t + ⇔ t(1 − t) + t + = t2 + t ⇔ t − t2 + t + − t =  = ⇔ (1 − t)  t + t+3 +2 t  ⇔ t = (Vì t + + Thay (3) vào (2) ta có: 3(1 − t) t+3 +2 t  =0 t+3 +2 t > 0, ∀t ≥ ) ⇒ x + y = ⇔ y = − x (3) x2 + + 2x − = x2 − ⇔ ( x + − 2) + ( 2x − − 1) = ⇔ + x2 + + 2x − 2x − + =0   x +1 ⇔ (x − 1)  + =0 2x − +   x +3 +2 ⇔ x = (Vì x +1 + x2 + + 2 2x − + > 0, x ≥ ) ⇒ (x = 1; y = 0), thoả mãn (*) Vậy hệ cho có nghiệm ( x = 1; y = 0) Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 77 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016  xy( x2 + y ) − = ( x − y)2 (1) Bài 125: Giải hệ phương trình  3x y − x y( x + y) + x = 3xy 81x − (2) Hướng dẫn làm bài: Xét phương trình (1): xy( x + y ) − = ( x − y)2 ⇔ xy( x + y ) − = x2 + y − xy ⇔ xy( x + y ) − ( x2 + y ) + xy − = ⇔ ( x + y )( xy − 1) + 2( xy − 1) = ⇔ ( xy − 1)( x2 + y + 2) = ⇔ xy = thay vào (2) ta : 3  81x −  81x − x − x + x − = 81x − ⇔ ( x − ) + 3( x − ) =  (*)  + 3  3  Xét f (t ) = t + 3t , f(t) đồng biến R Khi PT (*) trở thành:  x =   81x −  2 81x − − 24 f ( x − ) = f  ⇔ x − = 81x − ⇔  x =  ⇔ x − = 3 3    + 24  x =   − x = + x =     ⇒ hệ phương trình cho có hai nghiệm:  ,  3 y = y =  3+ 3−   (1 − y )( x − y + 3) − x = ( y − 1)3 x (1)  Bài 126: Giải hệ phương trình   x − y + x3 − = 2( y − 2) (2) Hướng dẫn làm bài:  x − y ≥  x ≥ y ⇔ + ĐKXĐ:   x ≥ 0, y ≥  x ≥ 1, y ≥ Nhận xét x ≥ 1, y = không nghiệm hệ Xét y > pt (1) hệ (I) x + x( y − 1) − 3( y − 1)2 + ( y − 1) x( y − 1) =  x  x x x ⇔ −3+ = ,t = ,t >  + y −1 y −1 y −1  y −1  Khi đó, pt (1) trở thành t + t + t − = ⇔ ( t − 1) ( t + t + 2t + 3) = ⇔ t = - Với t = 1, x = ⇔ y = x + , vào pt(2), ta y −1 Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 78 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 x − x − + x3 − = ( x − 1) ⇔ x − x − +  x − − ( x − 1)  =     x2 − x −1   ⇔ x − x −1 +  =0 2 3 3  ( x − ) + + ( x − 1) x − + ( x − 1)    ⇔ x − x − 1 +   ⇔ V ới x =   =0   x − + ( x − 1)  x2 − x − (x − ) + + ( x − 1) x2 − x − = ⇔ x = 1+ ( x ≥ 1) 1+ +  1+ 3+ ⇒y= Đối chiếu ĐK, hệ phương có nghiệm ( x; y ) =  ;  2   9 x + xy + x − y + y = (1) Bài 127: Giải hệ phương trình   x − y + + = ( x − y ) + x − y (2) Hướng dẫn làm bài: Đk : x ≥ y ≥ Nếu x = y (2) vô nghiệm nên x > y, từ (2) ⇔ x − y + - x − y + – [3(x- y )] = ⇔ − 6x + y x − y + + 7x − y + (1 − x + y )(1 + x − y ) =   ⇔ (1 − x + y )  + (1 + x − y )  =  x − y + + x − y    + x > y ≥ nên  + (1 + x − y )  > suy 1–3x + 3y =0  x − y + + x − y  vào phương trình (1) ta 1 9x2 + 9x(x - ) + 5x – 4(x - ) + x − = 3 + Thay y = x – ⇔ 18x – 8x + 6x - + x− - = 3 (9x – ) +3( x − - ) =   ⇔ (9x – )  x + + x >  = ⇔ x =  9x − +1   4 Với x = y = Vậy hệ có nghiệm (x;y) = ( ; ) 9 9 ⇔ 2x(9x – ) +  x + y + = − y (1) Bài 128: Giải hệ phương trình  9 + x + xy + y = (2) Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 79 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 Hướng dẫn làm bài: x + y + ≥ +) Đk:   x ≥ −1 +) Nếu y ≥ , để hệ có nghiệm ≥ y ≥ VT (1) = x + y + ≥   ⇒ VT (1) > VP(1) hệ vô nghiệm VP(1) = − y ≤  +) Nếu y < 0, từ (2) suy x >     + x + xy + y = ⇔   9+  = ( − y ) + ( − y ) (3)  x  x + 2t Xét hàm số f (t ) = t + t , t > 0; f '(t ) = > 0∀t > + t2   = −y ⇔ x = (3) ⇔ f   = f (− y) ⇔ y x  x 9 + y + = − y (4) Hàm số g ( y ) = 2 + y + y y đồng biến ( −∞;0 ) ; hàm số h(y)=1-y nghịch biến ( −∞;0 ) phương trình có ngiệm y = -3 nên pt(4) có nghiệm y = -3 Vậy hệ có nghiệm (1;-3)  x y + x + = x x y + (1) Bài 129: Giải hệ phương trình:  ( x, y ∈ R ) 2 y x − + y x − + y + = ( 1) ( 2) (2)  Hướng dẫn làm bài: Điều kiện: x y ≥ −2 Từ (2) Thế vào pt(1) ta có phương trình ⇔ x y + x y = y − y + y − + 3( y − 1) ⇔ ( x y ) + x y = ( y − 1) + 3( y − 1) (3) - Xét hàm số f (t ) = t + 3t có f '(t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ R - Do (3) ⇔ f ( x y ) = f ( y − 1) ⇔ x y = y − 1, ( y ≥ −1) - Thế vào (1) ta x y + x + = x y + ⇔ x ( y + 1) − x y + + = ⇔ ( x y + − 1) = ⇔ x y + = x y + x =  y = − x  x y + =   Do hệ cho tương đương với  ⇔  x y = y − ⇔  x ( − x ) + x = ( 4)  x y = y − x > x >   2 2 ( 4) ⇔ x − x + = ⇔ ( x − 1) − x = ⇔ ( x − x − 1)( x + x − 1) =  1± x = − 1+ 1+ Do x > nên x = x = ⇔ 2  −1 ± x =  Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 80 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 1+ 1− −1+ 1+ ⇒y= Với x = ⇒y= 2 2 1 + −   −1 + 1+   , ( x; y ) =   Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) =  ; ;    2 2     Với x = (1 − y ) x + y + x + y = + ( x + y − 1) y (1) Bài 130: Giải hệ phương trình:   y + x + y − y = (2) ( x ∈ ℝ, y ∈ ℝ ) Hướng dẫn làm bài: - Đặt u = x + y ; v = y ( u ≥ 0; v ≥ ) ( x = u − v ) - Pt (1) hệ trở thành: (1 − v ) u + u − v + 2v = + ( u − 1) v ⇔ ( u − 1)( v − 1)( u + v + ) = * TH : u = ⇒ x + y = ⇒ x = − y Thế vào pt thứ hai hệ ta được: y2 + − y + y4 − y2 = ⇔ y2 − y + ( ) y4 − y2 − = y4 − y2 − ⇔ y ( y − 2) +   ⇔ ( y − 2)  y +  =0 ( y4 − y ) + y4 − y2 + (y (y − y)   =0⇔ y=2 + y − 2y + 4  + 2) ( y + 2) Khi x = -1 * TH 2: v = Suy y = 1; x = * TH 3: u + v + = 0: Vô nghiệm Vậy hệ cho có hai nghiệm: ( x; y ) = ( −1; ) , ( 2;1)  (x + 1)y + = 2xy (y3 − 1) Bài 131: Giải hệ phương trình:  với x, y ∈ ℝ 4 xy (3xy − 2) = xy (x + 2y) +  Hướng dẫn làm bài:  xy − xy − x y − y = 1(1) + Hpt ⇔  2 3 x y − xy − x y − xy = 1(2) Lấy (2) trừ (1) ta được: 3x2y6 – 4xy5 + y4 =  y =  y4 =  ⇔ ⇔  xy = 3 ( xy ) − xy + =   xy =  + Với y = thay vào pt (1) không thỏa mãn Suy hệ vô nghiệm + Với xy = thay vào pt (1) Ta được: y = ( y + 1) ⇔ y = + Vớ i y = 1± 1+ 5 −1 1− − −1 ⇒x= ; y= ⇒x= 2 2 Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 81 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 + Với xy = thay vào pt (1) ta được: 3y4 + (y + 3)2 = vô nghiệm  −1 1+   − −1 1−  ; ;        Vậy hệ có nghiệm   x + 2x + − y − 2y + = y − 3x − (1) Bài 132: Giải hệ phương trình:  2  y − 3y + = x − x (2) Hướng dẫn làm bài: Phương trình (2) ⇔ y2 - 3y + = x2 - x ⇔ y - 3x - = y2 - x2 - 2y - 2x vào phương trình (1) ta có: ( x + 1) +4− ( y − 1) ( y − 1) ⇔ ( x + 1) +4− ⇔ ( x + 1) + +(x+1)2= + = y2 - x2 - 2y - 2x + = (y-1)2-(x-1)2 ( y − 1) + +(y-1)2 (*) Xét hàm số f(t) = t + +t [0;+ ∞ ), f’(t) > ∀ t≥0 ⇒ f(t) đồng biến [0;+ ∞ ) x = y − 2 2 ⇒ phương trình (*) ⇔ f((x+1) ) = f((y-1) ) ⇔ (x+1) = (y - 1) ⇔  x = − y - Với x = y - 2, vào (2) giải được: x = − ; y = 2 3 - Với x = - y, vào (2) giải được: x = − ; y = 4    3   Vậy (x;y) ∈  − ;  ,  − ;    2   4    y − x + y + = x3 + y ( x + xy + y − 1) + (1) Bài 133: Giải hệ phương trình :   y + y − x = (2) Hướng dẫn làm bài: y > ( y = không thỏa HPT), từ (1)  x + y ≥ −1 −( x + 1) ⇔ = ( x + 1)( x − x + 1) + y ( x + 1)( x + y − 1) y + x + y +1 ⇔ ( x + 1)[ x − x + xy + y − y + + ] y + x + y +1 ⇔ ( x + 1)[ x + (3 y − 1) x + y − y + + ] (3) y + x + y +1 Xét A = x2 + (3y – )x + 3y2 – 3y + ∆ = -3(y - 1)2 ≤ ∀x ∈ R ⇒ A ≥ ∀x, y ∈ R Điều kiện :  - Vậy từ (3) ⇔ x = -1 ,thay x = -1 vào (2) ta có : y + y + =  −1 + 17 y = −1 + 17 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( - ; ) ⇔  −1 − 17 (l ) y =  Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 82 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016  x x + y + y = x + x3 + x (1)  Bài 134: Giải hệ phương trình   x + y + x − + y ( x − 1) = (2)  x ≥ Hướng dẫn làm bài: Đk:  , từ (1) y ≥ (x,y ∈ R ) ⇔ x ( x + y − x + x) + ( x − y ) = y−x ⇔x + x − y = ⇔ ( x − y )( x + y + x + x − x) = x +y+ x +x + Do x = y thay vào pt (2) : x + x + x − + x( x − 1) = + Đặt t = x + x − 1(t ≥ 0) ⇒ t = x − + x( x − 1) PT trở thành t + + 2t = hay t + 2t − = lấy t = ⇒ x − + x =  25 x ≤ ⇔ x( x − 1) = − x ⇔  ⇔x= 16 4 x − x = 25 − 20 x + x  25 25 Vậy hệ có nghiệm ( ; ) 16 16   x − 3x + = y + y Bài 135: Giải hệ phương trình:  3 x − = y + y  y3 + y ≥ x ≥  Hướng dẫn làm bài: Điều kiện:  y + y ≥ ⇔  y ≥ x − ≥  Khi đó: x − x + = y + y ⇔ ( x − 1) − ( x − 1) = ⇔ f ( x − 1) = f ( ( y+3 ) −3 y +3 ) y + với hàm số f (t ) = t − 3t - Xét hàm số f (t ) = t − 3t với t ∈ [1; +∞ ) có f '(t ) = 3t − = ( t − 1) ≥ - Hàm số f (t ) = t − 3t đồng biến [1; +∞ ) ⇒ f ( x − 1) = f - Từ x − = ( ) y + ⇒ x −1 = y + ⇔ x − = y + −1 y2 + y ⇒ ( x − 2) = y2 + y ⇔ ( ) y + − = y2 + y ⇔ y + = y + y + Với điều kiện y ≥ , bình phương vế phương trình biến đổi thành: y + 16 y + 72 y + 63 y − 162 = ⇔ ( y − 1) ( y + 17 y + 99 y + 162 ) = Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 83 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 x = y =1 Suy y = x = Kết luận: Hệ có nghiệm nhất:   x + y + x2 + y =  xy(x + 1)(y + 1) = m Bài 136: Tìm m để hệ sau có nghiệm  Hướng dẫn làm bài:  x + x + y + y = 2 (x + x)(y + y) = m + Hệ ⇔   u + v = (1)   u.v = m (2)   u; v ≥  1 33 Từ (1) ⇒ v = − u (Do v ≥ − ⇒ − u ≥ − ⇒ u ≤ ) thay vào (2) ta có : 4 33 − u + 8u = m (*);- ≤ u ≤ 4 33 Để hệ cho có nghiệm phương trình (*) phải có nghiệm thỏa mãn - ≤ u ≤ 4 33  f (u) = − u + 8u; − ≤ u ≤ ⇔ đồ thị  4 phải cắt  y = m - Có f '(u) = −2u + 8;f '(u) = ⇔ u =  u = x + x ≥ − + Đặt  ta có hệ : v = y + y ≥ −  Ta có BBT: u - 33 + - f'(u) f(u) 16 33 16 Từ BBT suy giá trị m cần tìm : − - 33 16 33 ≤ m ≤ 16 16 1  x + x + y + y =  Bài 137: (KD-2007) Tìm m để hệ sau có nghiệm   x + + y + = 15m − 10  x3 y3 Hướng dẫn làm bài: * ĐK: x, y ≠ Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 84 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 1  x + x + y + y =  + Hệ ⇔  3  x +  −  x +  +  y +  −  y +  = 15m − 10         x x  y y     u = x + x , u ≤ −2 ∪ u ≥ Đặt  thay vào hệ ta có :  v = y + , v ≤ −2 ∪ v ≥  y   v ≤ −2 u + v = (1)  3 u − 3u + v − 3v = 15m − 15 (2) u ≥   − u ≤ −2 + Từ (1) ⇒ v = − u  Do  ⇒ ⇔ , v ≥ 5 − u ≥ u ≤   kết hợp với u ≤ −2 ∪ u ≥ ⇒ u ≤ −2 ∪ ≤ u ≤ ∪ u ≥ , thay v = - u vào (2) ta được: u − 5u + = m, u ≤ −2 ∪ ≤ u ≤ ∪ u ≥ (*) + Để hệ phương trình cho có nghiệm PT (*) phải có nghiệm thỏa mãn u ≤ −2 ∪ ≤ u ≤ ∪ u ≥ f (u) = u − 5u + 8,u ≤ −2 ∪ ≤ u ≤ ∪ u ≥ ⇔ đồ thị  phải cắt y = m - Ta có f’(u) = 2u - 5, f’(u) = ⇔ u = u -∞ -2 f'(u) f(u) +∞ +∞ +∞ 22 2 22 7 ≤m≤2 Từ BBT suy giá trị m cần tìm   m ≥ 22  2x − (y + 2)x + xy = m (*)  x + x − y = − 2m Bài 138: (KD-2011) Tìm m để hệ sau có nghiệm  Hướng dẫn làm bài: + Từ (*) ⇔ 2x − yx − 2x + xy = m ⇔ x (2x − y) − x(2x − y) = m ⇔ (2x − y)(x − x) = m (2x − y)(x − x) = m  x − x + 2x − y = − 2m Hệ ⇔   u.v = m (1)   u = x − x ≥ − + Đặt  hệ ⇔ u + v = − 2m (2)  v = 2x − y  u ≥ −  Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 85 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 Từ (2) ⇒ v = − 2m − u thay vào (1) có : m(2u + 1) = − u + u,u ≥ − −u + u = m (**), u ≥ ⇔ 2u + + Để hệ cho có nghiệm phương trình (**) phải có nghiệm thỏa mãn u ≥ −  −u + u =m ,u ≥f (u) = ⇔ đồ thị  2u + phải cắt  y = m  −1 + u=  −2u − 2u + - Có f '(u) = ,f '(u) = ⇔  (2u + 1)  −1 − (lo¹i) u =  2 -1- u -∞ f'(u) - - - + -1+ + + +∞ - 2- f(u) - Từ BBT suy giá trị m cần tìm m ≤ -∞ 2−  x + + − y = (1) Bài 139: Giải hệ phương trình   y + + − x = (2) Hướng dẫn làm bài: * ĐK: −1 ≤ x;y ≤ - Lấy (1) - (2) ta có : x + − y + + − y − − x = ⇔ ( x+1 − y +1 ( )( x+1 + y +1 x+1 + y +1 ) )+( 7−y − 7−x ( )( 7−y + 7−x 7−y + 7−x ) ) =0   1 ⇔ (x − y)  + =0⇔x=y − y + − x   x + + y + - Thay y = x vào (1) có : x + + − x = ⇔ x + + (x + 1)(7 − x) + − x = 16 ⇔ (x + 1)(7 − x) = ⇔ x = = y  x y + m = y (1)  Bài 140: Tìm m để hệ sau có nghiệm  y x + m = x (2) m <  Hướng dẫn làm bài: + Lấy (1) - (2) ta có : (x − y)(xy + y + x) = ⇔ x = y (do m < nên xy + y + x > 0) Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 86 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 Thay y = x vào (1) có : − x + x = m, x > (*) - Để hệ cho có nghiệm phương trình (*) phải có nghiệm f (x) = − x + x , x > ⇔ đồ thị  phải cắt điểm y = m  x = (ktm) - Có f '(x) = −3x + 2x,f '(x) = ⇔  x =  -∞ x +∞ f'(x) - + - f(x) 27 -∞ Từ BBT suy giá trị m cần tìm m < NGUYỄN HỮU BIỂN Fb: https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Nhóm ôn thi đại học online: https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 87 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 [...]... www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 + Ta thấy y = 0 không phải là nghiệm của hệ nên chia 2 vế của (1) cho y ≠ 0 được phương trình : x2 +1 + x + y = 4 (*) y + Ở phương trình (*) đã xuất hiện đại lượng x2 +1 , điều này có nghĩa là ta sẽ biến đổi (2) y x2 +1 và dẫn đến việc suy nghĩ sẽ giải hệ bằng cách đặt ẩn phụ, trong y để làm xuất... www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 12 ⇒ f (t) là hàm nghịch biến ⇒ f (x) = 3 2 ( 4x − 4 ) + 2 3 4x − 4 + 4 là hàm nghịch biến, mặt khác hàm số g(x) = 2x − 5 là hàm đồng biến, hơn nữa nhận thấy phương trình (7) có 1 nghiệm x = 3 ⇒ x = 3 là nghiệm duy nhất của (7) + Từ (6) ⇒ x = 3 ĐS: ( x; y ) = ( 3; 4 )  x 2 ( x − 3 ) − y y + 3 = −2 (1)  Bài 37: Giải hệ phương trình. .. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 x 8 11 3 2 +∞ + f'(x) + f(x) + Từ BBT ta thấy hàm số f(x) cắt Ox tại tối đa 2 điểm, vậy phương trình (5) chỉ có 2 nghiệm x = 3; x = 8 KL: HPT có nghiệm là (x; y) = (3;5); (8;10) Nhận xét: Nếu ta giải phương trình ( 2x − 11) ( ) 3x − 8 − x + 1 = 5 bằng phương pháp nhân liên hợp thì ta sẽ biến... www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016  3− 5 3 y > 0 + ĐK:  + Quan sát (1) ta thấy có thể cô lập được x và y sang từng vế, mặt khác x và y đều có mũ cao nhất là 3, vì vậy ta sẽ sử dụng PP “hàm đại diện” để giải. .. Vì vậy, ta sẽ “mò nghiệm” để tìm quan hệ của x và y Thật vậy: Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 12 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 - Từ (2) ta cho y = 4 ⇒ x + 12 − 2x = 24 , bấm máy ta thấy phương trình này vô nghiệm, vì vậy ta... 2X = 3 (4) + Phương trình (4) giải bằng cách bình phương 2 vế 2 lần  6 2 49  ;−  121   11 KL: HPT có nghiệm là (x; y) = (0; −1);  ± Qua bài này ta thấy việc tìm ĐK cho hàm “đại diện” f(t) sẽ lấy hợp các ĐK của 2 hàm số ở VT và VP, đôi khi chúng ta cần tìm thật sát ĐK của f để chứng minh hàm số f(t) đơn điệu  x + 1 + 4 x − 1 − y 4 + 2 = y (1) Bài 26 (KA-2013): Giải hệ phương trình  2 2 ... www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016  5 + 61 7 + 61 ( x + 1)( x − 5 ) = x + 4 x = ⇒y= ⇒ ⇔ 2 2  4 ( x + 1)( x − 5 ) = 9 ( x + 4 )  x = 8 ⇒ y = 3  5 + 61 7 + 61   ; ( 8;3) KL: HPT có nghiệm ( x; y ) =  ;  2  2   1  2 2 = 2 (10 − xy ) (1) 2 3 x + y + x − y) (  Bài 28: Giải hệ phương trình  2x + 1 = 5 (2)  x−y ( )... www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016  5 x 2 + y = 0 x = 3 5 4   + Với a = 0, b = − ⇒  5 ⇔ 4  xy = −  y = − 3 25 4   16 1 3 3 + Tương tự với a = − ; b = − ⇒ x = 1; y = − 2 2 2  5 25   3 KL: HPT đã cho có nghiệm ( x; y ) =  3 ; − 3  ; 1; −  16   2  4  x 3 − 3x 2 − 9x + 22 = y3 + 3y 2 − 9y (1)  Bài 30 (KA-2012): Giải hệ phương trình  2... www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016  30 2 17 ⇒y= x = 17 17   x = 2 ⇒ y = 0 y ≤ 0 (chú ý 2 − x = −2 y ⇔  2 2 − x = 4 y 17 x = 30 ⇔ ⇔ 16 2 − x = 17( x − 2 ) 3y 2 + x + 8 2 + x = 10y − 3xy + 12 (1) Bài 16: Giải hệ phương trình  3 2 3 5y 2 − x − 8 = 6y + xy 2 − x (2) Phân tích và hướng