Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 41 CÂU HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC SẮC (Nhân dịp Việt Nam thắng Đài Loan 4-1) Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN xy  2 x y − + = −1  x + y −1 Câu 1: Giải hệ phương trình   − y + ( x + y ) y = (1 − y ) + ( x − 1)2  Lời giải Điều kiện ≤ y ≤ x + y ≠ Phương trình thứ hệ tương đương với ( x2 − y ) ( x + y − 1) + xy = −1 ⇔ ( x + y − 1) ( x2 − xy − y + y + 1) = Xét trường hợp x − xy − y + y + = (1) Coi (1) phương trình bậc hai ẩn x tham số y ta có điều kiện có nghiệm x + 10 − 10 ∆ = y − ( −2 y + y + 1) = y − y − ≥ ⇔ y > ∨y≤ 9 Hệ mâu thuẫn với điều kiện ≤ y ≤ nên (1) vô nghiệm x, y 2 Xét trường hợp x + y = phương trình thứ hai trở thành − y + y = (1 − y ) + ( 3x − 1) Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có − y + y ≤ (1 − y + y ) = (1 − y ) ≤ (1 − y ) + ( x − 1) 1 − y = y  Dấu đẳng thức xảy 3x − = ⇔ x = y = x + y =  Thử lại thấy hệ có nghiệm x = y =  − x − y x2 + y = +2 ( x + ) x− y+2 x− y Câu 2: Giải hệ phương trình    x − y − + − x = 12 y − xy + Lời giải x − y ≥ Điều kiện:  x ≤ Phương trình hệ tương đương với: 2 ≥ x + y  − x − 3y  x2 + y2 − x − 3y − x − y + y ( x + y) y + xy − 1 = −x= ⇔ ( x + 2) = ( x + 2)  x− y x− y x− y x− y+2  x− y+2  2( x + y) y ( x + y) ⇔ − ( x + 2) = x− y x − y + 2 − x − 3y + x − y + ( )   y 2x +  = ⇔ x + y = ⇔ x = −y ⇔ ( x + y)  + x− y x − y + 2 − x − 3y + x − y +    Với vào phương trình hai hệ ta 2 x − + − x = x − 24 x + 14 ( ) Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ( ) ( Facebook: LyHung95 ) ⇔ x − − 2 x − + − x − − x + x − 24 x + 10 = ⇔ ( x − 1)( x − ) 2x − + 2x − + ( x − 1)( x − 5) − 2x − − 2x + ( x − 1)( x − ) =  x = 1   ⇔ ( x − 1)( x − )  + + 2 = ⇔   2x − + 2x − − 2x − − 2x  x =  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm kể 1 ⇒ y=− 2 5 ⇒ y=− 2  x − xy − y − + ( x − 1) y = Câu 3: Giải hệ phương trình   x3 − x + y + = y − Lời giải: Điều kiện: x ≥ 1; y ≥ a = x − x = a2 + Đặt  Khi phương trình hệ tương đương với: ( a, b ≥ ) ⇒  y b = b y =    (a + 1) − ( a + 1) b − 2b − + ab = ⇔ a + 2a − ( a + 1) b − 2b + ab = ⇔ ( a + )( a − b ) + b ( a − b ) = ⇔ ( a + ) ( a + b )( a − b ) + b ( a − b ) = ⇔ ( a − b ) ( a + ) ( a + b ) + b  = ⇔ a = b ⇔ x −1 = y ⇔ y = x − Vì ( a + ) ( a + b ) + b > 0; ∀a, b ≥ Thế vào phương trình thứ hai hệ ta được: x3 − x + ( x − 1) + = ( x − 1) − ⇔ x − x + x − = 3x − với x ≥ ( ) ⇔ x3 − x + x + x − − 3x − = ⇔ x ( x − x + ) + x − − 3x − = ( x − 1) + − ( 3x − )   = ⇔ ( x2 − 5x + 6)  x +  = ( ∗) x − + 3x − x − + 3x −   x = x2 − x + + x 3x − 5 Dễ thấy x + = > 0; ∀x > , ( ∗) ⇔ x − x + = ⇔  x − + 3x − x − + 3x − x = Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm ( x; y ) = {( 2;1) , ( 3; )} ⇔ x ( x − 5x + 6) (1 − y ) x − y + x = + ( x − y − 1) y Câu 4: Giải hệ phương trình  2 y − 3x + y + = x − y − x − y − Lời giải: Điều kiện y ≥ 0; x ≥ y; x ≥ y; x − y − ≥ Phương trình thứ hệ tương đương với Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG (1 − y ) x − y − (1 − y ) + x − y − = ( x − y − 1) ⇔ (1 − y ) ( x − y − 1) + ( x − y − 1) (1 − y ) (1 − y )( x − y − 1) + ( x − y − 1)(1 − y ) = ⇔ x − y +1 Facebook: LyHung95 y 1+ y  1  ⇔ (1 − y )( x − y − 1)  + = (1)  x − y + 1 + y    1 − y = y =1 1 Ta thấy + > nên (1) ⇔  ⇔ x − y +1 1+ y  x − y −1 =  y = x −1 Với y = ⇒ − x = ⇔ x = Với y = x − ta có x − x − = − x ⇔ ( x − x − 1) + x − − − x = ⇔ ( x − x − 1) + x2 − x −   = ⇔ ( x − x − 1)  + =0 x −1 + − x x −1 + − x    x2 − x − = 1+ 1+ 5 −1 ⇔ x= ⇒x= ;y=  2 1 ≤ x ≤  + −1 +  Kết luận hệ phương trình ban đầu có hai nghiệm ( x; y ) = ( 3;1) ,  ;  2   Vì + > nên thu x −1 + − x ( 3x − y − 1) y + + ( y + 3) x − y = 3x − y + Câu 5: Giải hệ phương trình   y + y + 3x + = ( 3x − y ) y + Lời giải Điều kiện y ≥ −2;3 x ≥ y Phương trình thứ hệ tương đương với ( 3x − y − 1) y + − x + y + + ( y + 3) 3x − y − y − = ⇔ ( x − y − 1) ( y + − 1) + ( y + 3) ( x − y − 1) = ( y + 3)( x − y − 1) + ( 3x − y − 1)( y + 3) = ⇔ y + +1 3x − y +   1 ⇔ ( x − y − 1)( y + 3)  + =0 x − y +   y + + 1 Ta thấy y + > 0, ∀y ≥ − ; + > nên thu x − y − = ⇔ x = y + y + +1 3x − y + Phương trình thứ hai trở thành y + y + y + = = 2.1 y + ⇔ y + y + = y + ⇔ y + y + + y + − y + + = ⇔ ( y + 1) + ( ) y + −1 =  y +1 =  y + =   ⇔ ⇔ ⇔ y = −1 ⇒ ( x; y ) =  − ; −1    y + = 3 y + =   Kết luận hệ có nghiệm ( x; y ) =  − ; −1   Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ( Facebook: LyHung95 )  x 12 − y + y 12 − x = 12  Câu 6: Giải hệ phương trình   x3 − x − = y − Lời giải: Điều kiện ≤ y ≤ 12; x ≤ 12 a + b2 Áp dụng bất đẳng thức ta có x + 12 − y y + 12 − x 2 x 12 − y + y (12 − x ) = x 12 − y + y 12 − x ≤ + = 12 2 x ≥  x = 12 − y Phương trình thứ hệ có nghiệm dấu đẳng thức xảy ra, nghĩa  ⇔ 2  y = 12 − x  y = 12 − x Ta có ( a − b ) ≥ 0, ∀a, b ∈ ℝ ⇒ ab ≤ Phương trình thứ hai hệ trở thành x3 − x − = 10 − x ⇔ x3 − x − + − 10 − x = ( x2 − 9)  ( x + 3)  ⇔ ( x − 3) ( x + x + 1) + = ⇔ ( x − 3)  x + x + +  = (1) + 10 − x + 10 − x   ( x + 3) > 0, ∀x ≥ nên (1) có nghiệm x = ⇒ y = Dễ thấy x + x + + + 10 − x Đối chiếu điều kiện ta thu nghiệm ( x; y ) = ( 3;3)  12 − x = y + Câu 7: Giải hệ phương trình   − y − y = − x Lời giải 2 Điều kiện x ≤ 6;1 − y − y ≥ ) ( ( Cộng theo vế hai phương trình ta có x + 12 − x + Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có ( 2x + 12 − x ) =( 2.x + 12 − x ) ) 1− y − y2 − y −1 = ≤ ( + 1) ( x + 12 − x ) = 36 ⇒ x + 12 − x ≤  − y − y + ( − y − 1)  ≤ (12 + 12 )(1 − y − y + y + y + 1) = ⇒ − y − y + ( − y − 1) ≤   ) ( ( Kết hợp lại thu x + 12 − x + ) 1− y − y2 − y −1 ≤ (*) Hệ phương trình cho có nghiệm (*) xảy đẳng thức, nghĩa x 12 − x =  x = ⇔ (Thỏa mãn hệ ban đầu)  y = −2    − y − y = − y −1 Kết luận hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 2; −2 )  x − y + x x − x + y + = + x Câu 8: Giải hệ phương trình  5 x − 25 x + x + y + + x + y − = Lời giải Điều kiện thức xác định Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho phương trình thứ ta có ( x − y + x x2 − x + y + ) ≤ (1 + x )( x − y + x − x + y + 1) = (1 + x ) ⇒ x − y + x x2 − x + y + ≤ + x2 Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Dấu đẳng thức xảy  x ( x − y ) = x − x + y + x2 − x + y + ⇔ x  x > 2  x ( x − y − 1) + x − y − = ( x + 1) ( x − y − 1) = ⇔ ⇔ ⇔ y = 4x −1  x >  x > Phương trình thứ hai hệ trở thành x3 − 25 x + 19 x + x − = ⇔ x − x − = x3 − 25 x + 20 x 4x − y =  x2 − 5x + = (1) x − 5x +  ⇔ = 5x ( x − 5x + 4) ⇔  = 5x x + 5x − ( 2)  x + x − 1 Ta thấy ≤ = < ≤ x, ∀x ≥ nên (2) vô nghiệm x + 5x − 4 Ta có (1) ⇔ x ∈ {1; 4} , kết luận toán có hai nghiệm ( x; y ) = (1;3) , ( 4;15 ) Câu 9: Giải phương trình ( x + 1) x + + ( x + ) x + ≥ x + x + 12 Lời giải: Cách 1: Liên hợp theo số bình thường ĐK: x ≥ −2 (*) Khi (1) ⇔ ( x + 1) ( ) x + − + ( x + 6) ( ) x + − ≥ x + x + 12 − ( x + 1) − ( x + ) ⇔ ( x + 1)( x + − ) + ( x + )( x + − ) ≥ x + x − ⇔ ( x − )( x + 1) + ( x − )( x + ) − x+2 +2 2+ x+2 x+7 +3 3+ x + ( x − )( x + ) ≥ x+6  x +1  ⇔ ( x − 2)  + − x − 4 ≥  2+ x + 3+ x +  V ới x ≥ − ⇒ (2) x +1 x+2 x+2 x+6 x+6 < ≤ < 2 2+ x+2 2+ x+2 3+ x + ⇒ x +1 x+6 x+2 x+6 + −x−4< + − x − = 2 2+ x + 3+ x + Do (2) ⇔ x − ≤ ⇔ x ≤ 2, kết hợp với (*) ta −2 ≤ x ≤ thỏa mãn Đ/s: −2 ≤ x ≤ Cách 2: Liên hợp theo số kiểu truy ngược dấu ĐK: x ≥ −2 (*) Khi (1) ⇔ ( x + ) x + − x + + ( x + ) x + ≥ x + x + 12 ⇔ x + x + 12 + x + − ( x + ) x + − ( x + ) x + ≤ Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 1  1  x + − 1 + ( x + ) x +  x + − 1 ⇔ ( x + 2) x +  2  3  + ( ) x + − + x + x + 14 − ⇔ 3( x + 2) x + +6 ⇔ ⇔ ( ( 1 ( x + ) − ( x + )( x + ) ≤ ) x + − + ( x + 6) x + ( x+7 −3 ) ) x + − + ( x + x + 14 ) − ( x + x + ) − ( x + 13 x + 42 ) ≤ 3( x + 2) x + ( x + − 4) x+2+2 ( x − )( x + ) x + 2+ x+2 + + ( x + 6) x + ( x + − 9) x+7 +3 ( x − )( x + ) x + 3+ x + + + ( x + − 4) x+2 +2 ( x − 2) 2+ x+2 + x + x − 12 ≤ + ( x − )( x + ) ≤  3( x + 2) x + 2 ( x + 6) x +  ⇔ ( x − 2)  + + + x + 6 ≤  2+ x+2  3+ x + 2+ x+2   Với x ≥ −2 ⇒ 3( x + 2) x + 2+ x+2 + ( x + 6) x + 3+ x + + (2) + x + > 2+ x+2 Do (2) ⇔ x − ≤ ⇔ x ≤ 2, kết hợp với (*) ta −2 ≤ x ≤ thỏa mãn Đ/s: −2 ≤ x ≤ Cách 3: Phương pháp hàm số ĐK: x ≥ −2 (*) Khi (1) ⇔ ( x + 1) x + + ( x + ) x + − x − x − 12 ≥ (2) Xét hàm số f ( x ) = ( x + 1) x + + ( x + ) x + − x − x − 12 với x ∈ [ −2; +∞ ) có f '( x) = x + + Với x ∈ ( −2; +∞ ) ⇒ f ' ( x ) < x + + ⇒ f '( x) < x +1 x+6 + x+7 + − x − x+2 x+7 x+2 x+7 + x+7 + − 2x − x+2 x+7 3 x+2 + x + − 2x − 2 ⇒ f '( x) < − ( ) 1 x + 14 − x + − x + = − g ( x ) 2 2 3  3 19  Ta có g ( x ) = 14 x + 14 − x + − x + =  x + −  +  x + −  + x + 2  2  ⇒ g ( x) ≥ 2x + 19 19 > −4 + > 0, ∀x ∈ ( −2; +∞ ) 2 ⇒ − g ( x ) < 0, ∀x ∈ ( −2; +∞ ) ⇒ f ' ( x ) < 0, ∀x ∈ ( −2; +∞ ) Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Kết hợp với f ( x ) liên tục [ −2; +∞ ) ⇒ f ( x ) nghịch biến [ −2; +∞ ) Do (2) ⇔ f ( x ) ≥ f ( ) ⇔ x ≤ 2, kết hợp với (*) ta −2 ≤ x ≤ thỏa mãn Đ/s: −2 ≤ x ≤ Câu 10: Giải phương trình ( x + ) x + + ( x + ) x + ≥ x + x + 20 Lời giải ĐK: x ≥ −3 (*) Khi (1) ⇔ ( x + ) ( ) x + − + ( x + 7) ( ) x + − ≥ x + x + 20 − ( x + ) − ( x + ) ⇔ ( x + )( x + − ) + ( x + )( x + − ) ≥ x + x − ⇔ ( x − 1)( x + ) + ( x − 1)( x + ) − x+3 +2 x+8 +3 2+ x+3 3+ x +8 ( x − 1)( x + ) ≥ x+7  x+2  ⇔ ( x − 1)  + − x − 5 ≥  2+ x +3 3+ x +8  V ới x ≥ −3 ⇒ (2) x+2 x+3 x+3 x+7 x+7 < ≤ < 2 2+ x+3 2+ x+3 3+ x +8 ⇒ x+2 x+7 x+3 x+7 + − x−5 < + − x − = 2 2+ x +3 3+ x +8 Do (2) ⇔ x − ≤ ⇔ x ≤ 1, kết hợp với (*) ta −3 ≤ x ≤ thỏa mãn Đ/s: −3 ≤ x ≤ Câu 11: Giải phương trình ( x + 1) x + + ( x + ) x + ≥ x + x + Lời giải ĐK: x ≥ −2 (*) Khi (1) ⇔ ( x + 1) ( ⇔ ⇔ ) x + − + ( x + 2) ( ( x + 1)( x + − ) x+2 +2 ( x − )( x + 1) 2+ x+2 + ) x + − ≥ x + x + − ( x + 1) − ( x + ) + ( x + )( x + − ) ≥ x − 2x + + ( x − )( x + ) + 2x + − ( x − )( x + ) ≥ x+2  x +1  ⇔ ( x − 2)  + − x − 2 ≥  + x + + 2x +  Vớ i x ≥ − ⇒ (2) x +1 x+2 x+2 x+2 x+2 < ≤ ≤ 2 2+ x+2 2+ x+2 + 2x + ⇒ x +1 x+2 x+2 x+2 + −x−2< + − x − = 2 + x + + 2x + Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Do (2) ⇔ x − ≤ ⇔ x ≤ 2, kết hợp với (*) ta −2 ≤ x ≤ thỏa mãn Đ/s: −2 ≤ x ≤ Câu 12: Giải phương trình x2 + x − = ( x + 3) x2 + x + ( 3x + − ) Lời giải  3x + ≥ x ≥ − ĐK:  ⇔ ⇔ x≥− x + 2x + ≠ ( x + 1) + ≠  Khi ⇔ (*) ( 3x − )( 3x + ) = ( x + 3)( 3x + − ) x2 + x + ⇔ 3x + + ( 3x − )( 3x + ) x2 + x + = ( 3x − )( x + 3) + 3x + 2  x = ⇔ x+3  3x + =  x + x + + x + ( Ta có (2) ⇔ ( x + 3) ( x + x + 3) = ( x + ) + x + 2 ⇔ ( x + 1) +  ( x + 1) +  =   Với x ≥ − ⇒ x + ≥ , 3 ( ) )( 3x + +   (2) 3x + ) +  ⇔ f ( x + 1) = f  ( 3x + ) (3) x + ≥ Xét hàm số f ( t ) = ( t + ) ( t + ) với t ∈ [ 0; +∞ ) ta có f ' ( t ) = t + + 2t ( t + ) > 0, ∀t ∈ ( 0; +∞ ) Kết hợp với f ( t ) liên tục [ 0; +∞ ) ⇒ f ( t ) đồng biến [ 0; +∞ )  x + ≥  x ≥ −1 1± Do (3) ⇔ x + = x + ⇔  ⇔ ⇔x=  2 x − x −1 = ( x + 1) = x + Ta thấy x = 1± x = thỏa mãn (*) 2 ( y + 1)( y − x + ) + x = x ( y − x + ) + ( y + 1) Câu 13: Giải hệ phương trình  ( x + y − 3) x + y + + x + y − = Lời giải Điều kiện thức xác định Ta thấy x ( y + 1) ≥ x + y + ≥ nên y + ≥ 0; x ≥ Phương trình thứ hệ tương đương ( y + 1)( y − x + ) − ⇔ 2y − x + = x ( y − x + 2) = y − x + 4y − x + ⇔ x + y − x + = y +1 y +1 − x Đặt u = x ; v = y − x + ta u + v = ( u + v ) ⇔ u + 2uv + v = ( u + v ) ⇔ ( u − v ) = ⇔ u = v ⇔ x = y − x + ⇔ x = y + Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Phương trình thứ hai hệ trở thành ( x − 3) x + y + + x + y − − x + y + = ⇔ ( x − 3) x + y + + 2x − =0 3x + y − + x + y +   ⇔ ( x − 3)  x + y + +  ⇒ x − = ⇒ x = ; y =  2 3x + y − + x + y +   Vậy hệ có nghiệm x = ; y = 2  x + y + x ( y + 1) = ( x + 1)( x + y )  Câu 14: Giải hệ phương trình  ( y − ) x + − y + = Lời giải Đặt x + y = u; x ( y + 1) = v phương trình thứ hệ trở thành u + v = ( u + v ) ⇔ u + 2uv + v = ( u + v ) ⇔ ( u − v ) = ⇔ u = v ⇔ x + y = xy + x x = ⇔ x − xy − x + y = ⇔ ( x − 1)( x − y ) = ⇔  x = y y ≥ 23 + 509 ⇔ y= Xét trường hợp x = ⇒ ( y − ) = y + ⇒  10 5 y − 20 y + = y + Xét trường hợp x = y ta ( x − 2) x + − x + = ⇔ ( x − 3) x + + ⇔ ( x − 3) x + + ( ) x + − 3x + = x−3 =0 x + + 3x +   ⇔ ( x − 3)  x + +  = ⇒ x = 3; y = x + + 3x +   Kết luận hệ cho có hai nghiệm x = 1; y = 23 + 509 ∨ x = y = 10 Thầy Đặng Việt Hùng Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! ... ≥ Phương trình thứ hệ tương đương với Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG...  Kết luận hệ có nghiệm ( x; y ) =  − ; −1   Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT BẤT PT – Thầy ĐẶNG... cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Do (2) ⇔ x − ≤ ⇔ x ≤ 2, kết hợp với (*) ta −2 ≤ x ≤ thỏa mãn Đ/s: −2 ≤ x ≤ Câu 12: Giải