Đang tải... (xem toàn văn)
NHỮNG ĐA THỨC NGẪU NHIÊN VÀ NHỮNG HÀM GREEN. NHỮNG ĐA THỨC NGẪU NHIÊN VÀ NHỮNG HÀM GREEN. NHỮNG ĐA THỨC NGẪU NHIÊN VÀ NHỮNG HÀM GREEN. NHỮNG ĐA THỨC NGẪU NHIÊN VÀ NHỮNG HÀM GREEN. NHỮNG ĐA THỨC NGẪU NHIÊN VÀ NHỮNG HÀM GREEN. NHỮNG ĐA THỨC NGẪU NHIÊN VÀ NHỮNG HÀM GREEN. NHỮNG ĐA THỨC NGẪU NHIÊN VÀ NHỮNG HÀM GREEN. NHỮNG ĐA THỨC NGẪU NHIÊN VÀ NHỮNG HÀM GREEN. NHỮNG ĐA THỨC NGẪU NHIÊN VÀ NHỮNG HÀM GREEN. NHỮNG ĐA THỨC NGẪU NHIÊN VÀ NHỮNG HÀM GREEN.
Những đa thức ngẫu nhiên hàm Green Tóm tắt: Giả sử K tập hợp compact quy (về mặt lý thuyết) C n giả sử VK ( z ) tập hàm Green đa phức với hàm đơn loga kỳ dị Rồi với xác suất 1, dãy đa thức ngẫu nhiên { f } (sự tổ hợp tuyến tính theo thứ tự đơn thức bậc ) cho hàm Green đa phức với công thức n lim log f z ( ) ữ = VK ( z ) , z C deg ( f ) Trong trờng hợp chiều, kết sử dụng kết Shiffman-Zelditch để khái quát hóa hàm suy rộng số không đa thức ngẫu nhiên Lời giới thiệu Giả sử K tập compact C n giả sử VK ( z ) hàm Green đa phức (với điểm cực vô hạn) Nó kết Zaharyuta (và Siciak, xem [K,định lí 5.1.7]) log p ( z ) VK ( z ) = sup p đa thức có bậc 1, p deg p ( ) K (1.1) VK ( z ) quy hoá nửa liên tục VK ( z ) Lúc này, (1.1) sup đợc sử dụng tất đa thức thỏa mãn p K deg ( p ) Để thu đợc biểu thức cho VK nh sup theo điểm limsup nhng phải sử dụng tập đa thức đợc sử dụng (1.1) Một kết nh xác Zeriahi (Kết hợp với [B1, định lý 3.4]) Giả sử K quy (về mặt lý thuyết) giả sử K tập hợp bao lồi đa thức Giả sử độ đo Borel dơng với sup p ( ) = K Khi đó: VK ( z ) = limn log p ( z ) N n với z C \ K (1.2) Khi thỏa mãn bất đẳng thức Bernstein-Markov (xem (3.15) p ( z ) sở trực chuẩn để L2 ( ) thu đợc việc áp dụng tiến trình trực giao Gram-Schmidt tới đơn thức, Có trật tự Trong tập tài liệu chứng minh dạng khác (1.2) Gọi (xem định lý 3.5): Giả sử K compact, quy C n Giả sử ( { f } ) n dãy dãy đa thức ngẫu nhiên theo thứ tự tăng dần N Do với xác suất có: VK ( z ) = limn log f ( z ) N với z C n (1.3) Từ công thức dẫn tới kết Hammersley [Ha] (Xem thêm [SV]), mà xác định không điểm đa thức phức ngẫu nhiên n fn ( z ) = a j z j với z C j =0 (1.4) tập trung vào đờng tròn đơn vị Mỗi a j giá trị Graussian phức độc lập ngẫu nhiên biến với giá trị trung bình 0, phơng sai Lúc này, kết đựơc Shiffman Zelditch giải thích mở rộng tới trờng hợp tổng quát ([SZ], định lý 1.3) Coi độ đo = ( z ) dz hàm C khác không biên tập hợp mở lân cận, đơn liên C với lớp C Chúng xác định đa thức ngẫu nhiên trờng hợp sau: Một đa thức ngẫu nhiên có dạng: n fn ( z ) = a j p j ( z ) j =0 (1.5) { p j } sở trực chuẩn để L2 ( ) đạt đợc việc áp dụng phơng pháp Gram-Schmidt với đa thức, a j giá trị Gaussian phức độc lập ngẫu nhiên với giá trị trung bình 0, phơng sai Do kết [SZ] để gần nh tất dãy đa thức ngẫu nhiên, v ( f n ) (đã đợc chuẩn hoá đếm đợc độ đo không điểm f n - xem (4.7)) đồng qui d K (độ đo cân K := ) tôpô * yếu độ đo với C { } Trong tài liệu (Định lý 4.2) kết luận có hiệu lực dới giả thuyết yếu K quy, thỏa mãn bất đẳng thức Bernstein - Markov Định lý 3.5, đợc trích dẫn có đợc xem dạng nhiều chiều kết biến Tập giấy đợc tổ chức nh sau: Trong chơng chứng minh kết hội tụ dãy hàm đa điều hoà dới tới VK Giả thuyết kéo theo hội tụ hàm Robin Trong mục định nghĩa hàm ngẫu nhiên vài biến số (mở rộng định nghĩa [SZ]) chứng minh gần nh hội tụ chắn tới hàm Green đa phức Trong mục trờng hợp n = 1, kết sử dụng để khái quát hóa định lý 1.3 [SZ] nh Chúng ta cho thấy mối quan hệ tới kết Blatt, Saff Simkani [BSS] hội tụ độ đo đếm đợc đa thức tới độ đô tập compact C Dãy hàm đa điều hoà Chúng ta gọi vài ký hiệu thuật ngữ học sử dụng lý thuyết vị, tham khảo [K] Chúng ta giả sử L = L ( C n ) hàm đa điều hoà dới (p.s.h) cấp tăng lôga C n Nghĩa là: L := { u u p.s.h C n u ( z ) log + z + C} mà z := ( n i =1 zi ) (2.1) log + z = max ( 0,log z ) Chúng ta sử dụng lớp L+ L đợc định nghĩa L+ := { u L log + z + C1 u ( z ) } Những số C , C1 phụ thuộc vào u (2.2) Với u L hàm Robin, biểu thị u ( z ) , đợc định nghĩa nh sau: Cho z C n u ( z ) = lim { u ( z ) log } (2.3) + C Thì u ( z ) thỏa mãn điều kiện đồng u ( z ) = u ( z ) + log với C, z C n (2.4) Hơn nữa, u p.s.h C n [B2] Một tập hợp P C n đợc nói điểm cực tất điểm z0 P vùng lân cận U z0 hàm u, p.s.h U, cho P { z U u = } Một thuộc tính đợc nói tới để cố định hầu nh khắp nơi (q.e) tập hợp S có tập đa cực P S đặt tất điểm S \ P Khi tập đa cực độ đo không điểm-Lebesgues (2n- chiều) [K,cor, 2.9.10] thuộc tính mà giữ q.e giữ a.e (hầu khắp nơi) Giả sử u p.s.h tập mở P C n bị chặn cách địa phơng Khi toán tử Monge Ampère u, kí hiệu ( dd u ) c n độ đo Borel hữu hạn địa phơng với vị trí không khối lợng lớn tập hợp đa cực [K, phần 4.6.4] Giả sử K C n compact Chúng ta giả sử VK biểu thị hàm Green đa phức K với cực , đợc định nghĩa nh sau: VK ( z ) := sup { u ( z ) u L u K } (2.5) VK biểu thị qui tắc nửa liên tục Ta biết K đa cực VK L+ Giả sử K biểu thị đa thức bao lồi K Với VK = VK , ( ) c VK = q.e, K sup p dd VK K Tập hợp K đợc coi quy VK ( z ) liên tục (do VK = VK ) Trong trờng hợp VK K Hàm Robin K biểu thị K , đợc định nghĩa hàm Robin VK Định lý 2.1 2.2 đa điều kiện chắn dãy hàm L đồng quy (hội tụ) VK Những điều kiện kéo theo đồng quy (hội tụ) hàm Robin dãy tới K ( ) Bổ đề 2.1: Giả sử { wN } N =1,2, dãy L giả sử v := limwN Giả ( thiết w / + Thì v L v lim wN N N ) wN < + tập hợp không đa cực Chứng minh: Từ w / + , lim N C n Do [B1, bổ đề 3.2] [K, phần 5.2.1], v L Chúng ta sử dụng suy luận với Zeriahi Với u L ( C ) log lồi Max =r u ( ) có nghĩa là: ( lim { u ( ) log } = inf Max =r u ( ) log r r ) (2.6) Với z C n \ { 0} không đổi áp dụng (2.6) tới hàm biến phức wn ( z ) thu đợc: wN ( z ) Max =r ( wN ( z ) log r ) (2.7) r Sử dụng lim vế lẫn sử dụng bổ đề Hartogs vế phải (2.7) có: ( lim wN ( z ) Max =r limwN ( z ) log r N r N ) (2.8) Vế phải (2.8) Max =r ( v ( z ) log r ) Giả sử r + có: lim wN ( z ) v ( z ) N (2.9) Khi v nửa liên tục trên, suy điều phải chứng minh Kết sau mở rộng [B2, bổ đề 2.1] tới trờng hợp tập hợp compact C n , không cần thiết quy: Bổ đề 2.2 Giả sử K C n compact không đa cực Giả thiết v L , v VK v = K Thì v = VK , z C n \ K Chứng minh: Chọn số c để log z c < với z K Giả sử w := Max ( 0, v,log z c ) Thì w L+ , w = K w VK tất điểm n C n w = VK C \ K Chúng ta VK w tất điểm C n Bằng [BT2, Định lý 6.1] có: c VK ( dd w ) n Cn w ( dd VK ) ( c n K (2.10) Cn Vế phải (2.10) sup p dd cVK ( dd V ) n c ) n K , w = q.e K khối lợng tập hợp đa cực Nh vế trái (2.10) không ( Lúc này, VK ( z ) > z C n \ K kéo theo C n \ K có dd c w Nh VK w cho ( dd w) c n ( dd w) c n ) n độ đo gần nh tất điểm giá Từ đây, [BT2, bổ đề 6.5] kéo theo VK w tất điểm C n Nó thiết lập bổ đề 2.2 Định lý 2.1: Giả sử K C n compact không đa cực Giả sử { wN } N =1,2, dãy hàm L ( C n ) thỏa mãn: (i) > cho trớc, N = N ( ) cho wN e.q K với N N ( ) ( (ii) lim wN ( ) = K C n Thì VK = lim wN N ) với z C n \ K Chứng minh: Lấy ( N N ( ) Sau wN q.e K ) wN VK + dd cVK hầu khắp nơi, [BT2, bổ đề 6.5] wN VK + C n Do đó: wN K + với N N ( ) (2.11) Lúc giả sử: ( w := lim wN N ) (2.12) Thì w VK w K ( Tuy nhiên, qua bổ đề 2.1, w lim wN N ) Nh qua giả thuyết (ii) w K Chúng ta kết luận w = K việc áp dụng bổ đề 2.2 suy điều phải chứng minh Mệnh đề 2.1: Giả sử K compact không đa cực Giả sử { wN } N =1,2, dãy hàm ( i) VK = lim wn N ) L ( C n ) cho: với z C n \ K ( ) ii) Với thành phần liên thông phần K (biểu thị int K ), wN ( z0 ) = Có điểm z0 cho lim N ( Sau VK = lim wN N ) z C n Chứng minh: Giả sử w đợc định nghĩa (2.12) Khi w VK w ( ) int K Bằng giả thuyết cho điểm z0 nh phần (ii), w ( z0 ) = ( ) Khi có điểm nh thành phần liên thông int K , sử dụng nguyên lý maximum, kết luận w = = VK int( K ) Tiếp theo xem điểm z1 K (điểm biên tôpô K ) sử dụng dãy { j } j =1,2, với lim j = z1 j C n \K với j = 1,2, j ( ) ( ) n Bây giờ, w ( j ) j C \ K int K ( ) j int K w ( j ) = , j C n \ K định lý 2.1 w ( j ) = VK ( j ) > Từ đó: w ( z1 ) lim w ( j ) (2.13) j nh w z C n Nhng mà w = VK q.e và, từ hai hàm đa điều hoà, w = VK [K cor 2,9,8] với z C n Kết cho thấy điều kiện (ii) (định lý 2.1) đợc tăng cờng { tới đẳng thức K giới hạn dãy wN } (đúng lim ) kết luận đợc tăng cờng tới L1loc hội tụ dãy { wN } tới VK Đặc biệt có : Định lý 2.2: Giả sử K C n compact không đa cực Giả sử { wN } dãy hàm L ( C n ) thoả mãn: i) Cho trớc > tồn N = N ( ) cho wN q.e K với N N wN = K ii) lim N q.e ( ) iii) Với thành phần liên thông int K có điểm z0 cho lim wN ( z0 ) = N ( ) n Do dãy { wN } hội tụ tới VK Lloc C Chứng minh: Việc chứng minh phản chứng Giả sử dãy { wN } không hội ( ) n tụ đến VK Lloc C Khi đó, có hình cầu B C n , với > , dãy J N Sao cho: w j VK Dãy { w j } jJ L1( B ) , j J (2.14) thỏa mãn giả thuyết tỷ lệ thức 2.1 (sử dụng định lý 2.1) nh vậy, trờng hợp đặc biệt, kết luận hệ 2.1 { w j } không dần tới [H, định lý 3.2.12 nhận xét trang 229] có dãy xa { w j } jJ1 J hội tụ L1 ( B ) tới hàm g Đó kết mẫu lý thuyết độ đo, nghĩa có dãy { w j } jJ J xa cho: lim w j = g a.e B jJ Tuy nhiên dãy { w j } jJ (2.15) thỏa mãn giả thuyết mệnh đề 2.1 (sử dụng định lý 2.1) Vì vậy: lim w = V C n jJ j ữ K (2.16) lim w j = VK q.e C n (2.17) Nhng (2.16) kéo theo jJ So sánh (2.15) (2,17) kết luận g = VK a.e B Nhng (2.14) với j J mâu thuẫn suy kết Những đa thức ngẫu nhiên Chúng ta sử dụng C n - dạng định nghĩa nhiều đa thức ngẫu nhiên nh cho [SZ] Giả sử độ đo Borel hữu hạn dơng C n với compact giá K := sup p ( ) Chúng ta giả thiết có tổng khối lợng Chúng ta giả thiết K không đợc chứa đựng tập đại số C n Thì [B1, prop 3.5] đơn thức độc lập tuyến tính L ( ) Chúng ta cho n-đa số đợc đặt theo thứ tự theo cách sau Cho , N n , với = ( 1, , , n ) = ( , , n ) < < = cho vài l { 1, , n} i = i với i = 1, , l -1 nhng { } l > l Những đơn thức z N n chấp nhận thứ tự số mũ đa số Từ áp dụng phơng pháp trực giao Gram-Schmidt để thu đợc đa thức trực chuẩn p ( z ) (cũng biểu thị p ( z , ) để ý tới phụ thuộc vào độ đo ) p ( z , ) biểu thị đa thức trực chuẩn phụ thuộc tuyến tính (khác không) z đơn thức thứ tự thấp Nh vậy: p ( z , ) p ( z , ) d = với , N n Cn (3.1) p ( z ) = c z + Chúng ta giả sử c z p c < (3.2) P không gian đa thức phụ thuộc tuyến tính đơn thức z với Mỗi đa thức f P viết đợc dới dạng: f ( z ) = b z (3.3) a p ( z , ) (3.4) hay f ( z ) = Rõ ràng b = a c (3.5) và, f = L ( à) a (3.6) Chúng ta coi hệ số a (3.4) nh biến Gaussian ngẫu nhiên phức độc lập với giá trị trung bình 0, phơng sai Rồi f đợc đa vào nh đa thức ngẫu nhiên 10 Giả sử độ đo Borel hữu hạn E đợc xác định để thỏa mãn bất đẳng thức Bernstein - Markov với > có số C = C ( ) > nh Với đa thức (giải tích) P P E C (1 + ) deg ( P ) P L2 ( E , ) Chúng ta biết độ đo E thỏa mãn bất đẳng thức Bernstein-Markov [16] Khi E quy, is không đa cực (xem [5]) Từ P E = với đa thức giải tích P, P Sau kéo theo từ bất đẳng thức Bernstein- Markov mà đơn thức độc lập tuyến tính L2 ( E , ) Chúng ta xem n-đa-chỉ số nh đợc đặt theo trật tự biểu thị { P ( z )} đa thức trực chuẩn đạt đựơc việc sử dụng tiến trình Gram-Schmidt đơn thức N n n-đa-chỉ số P ( z ) tổ hợp tuyến tính z đơn thức trật tự thấp Định lý 2.2 Giả sử E C n compact, quy, lồi đa thức Giả sử độ đo Borel dơng hữu hạn E thỏa mãn bất đẳng thức Bernstein-Markov Thì lim log TchE P ( z ) = VE ( z ) , z C n E Chứng minh Kết Zeriahi [18] với giả thuyết lim ữlog P ( z ) log z = E ( [ z ] ) , z C n { 0} Hơn nữa, với , TchE p ( z ) E P ( z ) E C (1 + ) bất đẳng thức vế phải suy từ bất đẳng { thức Bernstein-Markov Nh vậy, họ đa thức TchE P ( z ) } N n thỏa mãn giả thuyết Định lý 2.1 Định lý 2.2 kéo theo diều phải chứng minh Giả sử w C n Với w = Xem nh số kd = kd ( E , w ) = inf { p E | p đa thức deg ( p ) = d , p ( w ) = 1} 32 (2.21) dễ thấy kd + s kd k s với d,s nguyên duơng đặt [1, Hệ 4.9.20] k = k ( E , ) = lim ( kd ) d d = inf kd d d (2.22) Trong truờng hợp biến phức, k số Tchebyshev E Mệnh đề tổng quát hệ thức cổ điển số Tchebyshev số Robin Một chứng minh đợc đa S Nivoche [7, Mệnh đề 4.2] xem thêm [13] Mệnh đề 2.2 Giả sử compact quy Do E Cn k ( E , w) = exp( E ( [ w] ) ) Bổ đề 1.1 để đa thức Tchebyshev đợc chuẩn hóa cách thích hợp Ví dụ 2.1 cho thấy trờng hợp vài biến, họ đa thức gồm có đa thức Tchebyshev với đơn thức không nh trên, nhìn chung, có thuộc tính nhiều biến tơng xứng với kết luận bổ đề 1.1 (i.e., với hàm Green đa phức thay hàm Green), nhiên kết chắn đợc Định lý 2.3 đa Định lý 2.3 Giả sử E C n compact, quy, lồi đa thức Giả sử , , tập hợp đếm đợc điểm bên C n cho j = j {[ j ]} j=1,2, trù mật P n Với d, j = 1,2, giả sử Qd , j đa thức thỏa mãn deg( QQ , j ) = d , Qd , j E , Q d , j ( j ) = k ( E , ) Thì d j n sup log Qd , j ( z ) ữữ = VE ( z ) với z C E d, j d Chứng minh sup log Q d , j ( z ) log z E ( [ z ] ) d, j d 33 (2.23) [ ] Với [ z ] P n1 có đẳng thức j j =1, , Từ đây, vế trái (2.23) u.s.c vế phải liên tục (bởi mệnh đề 2.1 (iv)) có đẳng thức bên (2.23) điểm P n Hệ 2.1 áp dụng Ví dụ 2.1 Giả sử E C compact, quy, lồi đa thức Do họ đa thức { pd ( z ) } d =1, 2, , Khi pd ( z ) = ( ) ( ) TchE z d TchE z d (2.24) E thỏa mãn giả thuyết bổ đề 1.1 vậy: GE ( z ) = sup log pd ( z ) với z C E d d Chúng ta đa ví dụ tập compact E C , quy, lồi đa thức cho công thức mà đa họ đa thức {p m1 ,m2 ( z1 , z )} ( m ,m )N 2 p m1 , m2 ( z1 , z ) = ( TchE z1m1 z 2m2 ( Tch E z1m1 z 2m2 ) ) (2.25) E có VE ( z1 , z ) log pm1m2 ( z1 , z ) vài điểm C E m + m ( m1 ,m2 )N sup Giả sử < < để cho: { K = ( z1 , z ) C | z1 1, z z1 z2 } (2.26) Do K compact, lồi đa thức Nó quy kết Plesniak [8] K lợng bất biến dới ( z1 , z2 ) ( ei z1 , ei z2 ) Từ đây, đa thức Tchebyshev với số hạng trớc đa thức đựơc đa đa thức m1 m2 nh nhìn thấy giá trị trung bình lên Chú ý z1 z (1,1) K Nh lấy K = từ pm1m2 ( z1 , z2 ) = z1m1 z2m2 , ( m1 , m2 ) N Bây 34 sup ( m1 , m2 )N log z1m1 z2m2 = Max( log z1 , log z2 ) m1 + m2 (2.27) Đồng thời, từ định nghĩa hàm Green đa phức đa (1.5), z z VK ( z1 , z2 ) Max log z1 , log z1 , log (2.28) Nó kéo theo VK (1,0) log > khi, đợc đánh giá (1,0), hàm vế phải (2.27) có giá trị Đa thức gần (những số gần đa thức) Giả sử E C n compact, lồi đa thức, quy Giả sử W ( E ) biểu thị bao đóng định chuẩn sup E hàm chỉnh hình vùng lân cận E Trong trờng hợp biến, định lý Mergelyan phát biểu W ( E ) trùng với hàm liên tục E chỉnh hình phần Chúng ta giả sử, cho R > 1, { } ER = z C n | VE ( z ) < log R (3.1) Giả sử f W ( E ) giả sử Bd ( d = 1,2, ) dãy gần tốt tới f từ pdn (không gian đa thức n biến có deg d ) Giả sử d biểu thị tổng số hạng Bd , bậc d Điều có nghĩa deg( Bd ) < d d nhng deg( Bd ) = d d = B d Định lý 3.1 Giả sử R > Xét tính chất sau : f mở rộng chỉnh hình tới E R , lim f Bd d lim TchE d d E d E d (3.2) R (3.3) R (3.4) log d ( z ) log z E ( [ z ] ) log R, z C n { 0} d d lim Thì (3.2) (3.3) (3.4) (3.5) 35 (3.5) Chứng minh (3.2) (3.3) tơng đơng kết Siciak [12, Định lý 8.5] suy rộng kết biến Bernstein Walsh Chúng ta trớc hết chứng minh tơng đơng (3.3) (3.4) Phơng pháp chứng minh nh phơng pháp chứng minh [2] (3.3) (3.4) Giả sử { Bd } dãy đa thức thỏa mãn (3.3) giả sử r thỏa mãn < r < R Thì có số nguyên dơng d cho cho d d có f Bd TchE d E E r d Bây giờ, cho d d + Bd Bd 1 Từ lim TchE d E d d E Bd f E + Bd f E r d (1 + r ) r từ điều giữ cho tất r < R , (3.4) (3.4) (3.3) Giả sử r thỏa mãn < r < R Tồn số nguyên dơng d , cho, d d0 , có: rd TchE d E f Bd +1 E + TchE d +1 Bây giờ, Cho d d f Bd E Lặp lại lý luận f Bd E r d f Bd +1 E , f Bd ( r 1) Từ dlim E = f Bd +1 f Bd + E d E , E + r ( d + 1) có r từ chiếm giữ cho r < R , (3.3) kéo theo (3.4) (3.5) Nh trên, giả sử r thỏa mãn < r < R Một số nguyên dơng d tồn cho d d , TchE d log r + E d nghĩa là: r log TchE d ( z ) E d Nhng TchE d ( z ) đa thức deg d (hoặc đồng không) Nh vế trái bất đẳng thức lớp log r + L (hoặc đồng nhất, ) Nh log TchE d ( z ) VE ( z ) , z C n d 36 ( ) n Nó kéo theo log r + d log d ( z ) log z E ( [ z ] ) , z C { 0} Từ cố định cho d d r < R , Điều kiện (3.5) kéo theo Cho n = 1, E ( z ) = E , số Robin E Cho Bd ( z ) = d z d + (theo số hạng trật tự giảm), điều kiện (1.4) Định lý 1.2 điều kiện (3.5) định lý 3.2 tơng đuơng Sự thật (3.5) (3.2) trờng hợp n = thích hợp với Wojcik [17] Định lý 3.2 dới cho thấy (3.5) (3.4), trờng hợp n , việc áp dụng vào đa thức R d d mà { d } thỏa mãn (3.5) Cho n = tất đa thức bội số không đổi nhiều đơn thức Cho n > tất nhiên truờng hợp chứng minh đánh giá đa thức Tchebyshev cần cho thấy (3.5) (3.4) phức tạp { } Định lý 3.2 Giả sử E compact, quy, lồi đa thức Giả sử Q d ( ) dãy đa thức với deg Q d = d (hoặc Q d ) với d = 1,2,3, Giả thiết rằng: log Q d ( z ) log z E ( [ z ] ) , z C n { 0} d d lim (3.6) Thì lim TchE Q d d E d (3.7) Buớc việc chứng minh định lý 3.2 Bổ đề 3.1 Cho f chỉnh hình tập mở C n sử dụng ký hiệu n dz df = i =1 f i z i Bổ đề 3.1 Cho > , tồn hữu hạn nhiều đa thức W1 , ,Ws thỏa mãn (3.8), (3.9), (3.10) dới Wj E với j = 1, , s (3.8) 37 log W j ( z ) Max j s deg (W ) j log z ( [ z ] ) , z C n { 0} E (3.9) Cho tập lực lợng n, { i1 , , in } {1, , s} , dWi1 dWi2 dWin / C n (3.10) { } n Chứng minh (của Bổ đề 3.1) Giả sử B = z C | z = cho z0 B tồn > , mệnh đề 2.2, đa thức p cho p log p ( z0 ) E ( [ z0 ] ) deg ( p ) E (3.11) Khi E liên tục P n1 , có vùng lân cận N z0 B cho log p ( z ) deg ( p ) E ( [ z ] ) , z N N biểu thị đóng N Rõ ràng nhiều vùng lân cận N1, , N s nh B đa thức liên hợp p1, , ps thỏa mãn (3.8) (3.9) Chúng ta giả thiết p1, , ps tất cấp bậc giống nhau, nói D, với (3.8) (3.9) không thay đổi đa thức đợc nâng tới luỹ thừa Để đạt đợc đa thức thỏa mãn (3.10) truớc hết xem xét hoán vị p1, , ps đa công thức q j ( j , z ) = p j ( z ) + j z , j D với j = 1, , s (3.12) mà = ( 1, , s ) C s j C n { 0} Với z , j = k =1 zk jk n 1, , s đợc chọn để tập n độc lập tuyến tính Nghĩa cho tập lực lợng n, { i1 , , in } { 1, , s} , có d ( z , i1 D ) d ( z , in Chúng ta đặt: 38 D ) / C n (3.13) Wj ( j , z) = q j ( j, z) qj ( j, z) với j = 1, , s (3.14) E Chúng ta có điểm C s tơng ứng W1 , ,Ws thỏa mãn (3.8), (3.9), (3.10) việc công thức (3.8) (3.9) đợc thỏa mãn cho tất C s với đủ nhỏ (3.10) đợc thỏa mãn cho tất tập hợp mở trù mật C s Cho j đủ nhỏ, q j ( j , z ) E , W j thỏa mãn (3.8) Chú ý q j ( j , z ) = p j ( z ) + j z , j D (3.15) cho trớc, > , với j đủ nhỏ, kéo theo Từ (3.12) (3.14) mà 1 log W j ( j , z ) log q j ( j , z ) , z N j (3.16) D D Cũng từ (3.15), 1 log q j ( j , z ) log p j ( z ) , z N j D D (3.17) và, từ định nghĩa p j ( z ) log p j ( z ) E ( [ z ] ) , z N j D (3.18) Kết hợp (3.16), (3.17), (3.18) thấy W j ( j , z ) thỏa mãn (3.9) (với thay ) với j đủ nhỏ Cho tập có lực luợng n, { i1 , , in } { 1, , s} , xem xét dqi1 dqin sử dụng (3.12) mở rộng công thức nh đa thức i1 , ,in (với dạng vi phân nh thống kê thứ nguyên) Nó đa thức bậc n với số hạng bậc n, n d i k ữ k =1 ( z , i1 D ) d 39 ( z , in D ) (3.19) Với việc sử dụng (3.13) kết luận có tập hợp mở trù mật ( ) G1 C n Sao cho, Nếu i1 , ,in G1 dqi1 dqin / C n Bằng (3.14), W j đa số khác không q j (với j = 1, , s ) trừ số giá trị j , nh kết luận có tập hợp mở trù mật G2 C s Sao cho G2 (3.10) đợc thỏa mãn Công thức hoàn thành chứng minh Bổ đề 3.1 Chứng minh: (của Định lý 3.2) Giả sử W1 , ,Ws , thỏa mãn (3.8), (3.9) (3.10) bổ đề 3.1 xem với R1 , , Rs thực duơng, đa diện đa thức { } YR = Y ( R1, , Rs ) = z C n | W j ( z ) < R j , j = 1, , s (3.20) Y R compact (3.9) thỏa mãn Nó đợc nối từ W j nhất, YR thực chất hình dần đến Lúc Y ( T1 , , Ts ) miền Weil với số nguyên l,1 l n { ( } ) 2 tập lực lợng l , i1 , , il { 1, , s} Ti1 , , Til giá trị quy ánh xạ ( z Wi1 , , Wil ) (3.21) Phuơng trình (3.10) cho dWi1 dWil / C n kéo theo từ kết chuẩn hình học đại số (ví dụ, [11, Định lý 6, p 50]) phạm vi ( ) sơ đồ z Wi1 , ,Wil tập mở trù mật C l (thực chất, phần ( ) s bù ngẫu nhiên đại số) Nh vậy, có tập hợp mở trù mật G R+ Sao cho với ( T1, ,Ts ) G với số nguyên l , l n , tập { i1, , il } { 1, , s} , ( Ti , ,Til2 ) phạm vi ánh xạ đợc đa (3.21) Nh đa T > 0, < < T , số thực T1 , , Ts thỏa mãn 40 T < Tj < T + , j = 1, , s (3.22) với Y ( T1 , , Ts ) miền Weil kết hợp T , T1, , Ts đủ lớn đủ nhỏ để Y ( T1 , , Ts ) miền Weil, (3.22) thỏa mãn, E Y ( T1, , Ts ) , Y ( T1, , Ts ) đợc biểu thị đơn giản Y Chúng ta áp dụng công thức đầy đủ Weil tới Q d ( z ) (với công thức đầy đủ Weil khái niệm liên quan sử dụng ký hiệu [10]) Chúng ta thu đợc phần mở rộng [10, Định lý 2, p, 165] Q d = ( ' AkI ( z ) WI ( z ) k =0 I ) k (3.23) k = ( k1, , kn ) I = ( i1, , in ) đa số Tổng bên qua đa số I = ( i1, , in ) với i1 < < in s Những hệ số AkI ( z ) đợc cho công thức AkI ( z ) = ( i ) n Qd ( ) K I ( z , ) d ( W ( ) ) k1 +1 i1 ( Win ( ) ) kn +1 (3.24) I biên có hớng thích hợp miền Weil, Y ( T1 , , Ts ) , ( ) K I ( z , ) = det Pjil , j , l = 1, , n (3.25) hàm Pvi có đợc từ triển khai hàm Hefer n Wi ( ) Wi ( z ) = ( v zv ) Pvi ( , z ) (3.26) v =1 Chúng ta lấy Pvi ( , z ) = Wi ( z1 zv 1, v n ) Wi ( z1 zv , v +1 n ) v zv (3.27) Với Wi bậc D, K I ( z , ) ( , z ) bậc n ( D 1) K I ( z , ) AkI ( z ) đợc xem nh đa thức z bậc n ( D 1) , Chúng ta viết chúng nh tổng đa thức z 41 K I ( z, ) = n( D 1) r =0 K I ,r ( z , ) (3.28) AkI n( D 1) ( z) = r =0 AkI ,r ( z ) (3.29) Hiển nhiên, AkI ,r ( z ) đợc đa tích phân (3.24) K i ( z , ) đợc thay K I ,r ( z , ) Bây Q d ( z ) bậc d số hạng cân tính (3.23) có Q d ( z ) = ' k I r + D k =d n( D 1) r =0 ( ) k AkI ,r ( z ) ( WI ( z ) ) k AkI ,r ( z ) W I ( z ) (3.30) Đây tổng hữu hạn Giả sử Hd ( z) = n( D 1) ' k I r + D k =d r =0 (3.31) Nghĩa H d ( z ) có đợc từ biểu thức (3.30) với Q d ( z ) việc thay W I WI H d ( z ) đa thức bậc d H d ( z ) = Q d ( z ) , Nh vậy, định nghĩa, TchE Q d ( z ) E Hd ( z ) E đánh giá H d ( z ) E Sử dụng (3.8) có Hd E n( D 1) = ' k I r + D k =d r =0 AkI ,r ( z ) I Chúng ta sử dụng (3.24) để đánh giá Ak ,r ( z ) E E (3.32) Sử dụng (3.9) giả thuyết Định lý 3.2 Chúng ta có: 1 log Q d ( z ) Max log W j ( z ) d d j s D lim Từ đây, cho z Y , sử dụng (3.22), 42 n ữ+ , z C { 0} (T + ) + log Q d ( z ) log d d D lim sau sử dụng bổ đề Hartogs' số mũ lim Q d d Y (T + ) d D e d (3.33) Do E Y I có độ lớn hữu hạn, số C > cho với f liên tục Y tất I,r n ữ f ( ) K I ,r ( z , ) d I C f Y (3.34) E Nh có AkI ,r E C(T ) ( k + n ) (T + ) d D e d Sử dụng (3.32) việc số số hạng tổng vế phải (3.32) bị chặn đa thức d có Hd E C (đa thức d ) ( T ) ( k + n ) (T + ) d D e d (3.35) Cho số hạng khác không (3.32) phải có d n ( D 1) d k D D Vì d , k d D với k thỏa mãn (3.36) đó, lim TchQ d d (3.36) E d lim H d d E d T + ữe T (3.37) Nhng , > tuỳ ý nh Định lý 3.2 kéo theo Hệ 3.1 giả sử f W ( E ) giả sử { Bd } d =1,2, dãy đa thức gần tới f Từ Pdn Giả thiết rằng, với vài số C n { 0} , log d ( ) log = E ( [ ] ) d d lim Thì f chỉnh hình E (i.e., lân cận E) Nhận xét 3.1 Trong trờng hợp n = 1, điều kiện cần đủ với f W ( E ) giả sử không chỉnh hình E [2, Định lý 2.1] 43 TchE z Giả sử d r ( E ) = sup =r E giả sử d ( E ) = lim ( d r ( E ) ) r r Szczepanski [14] chứng minh kết sau Định lý 3.3 Giả sử f W ( E ) giả sử { Br } r =1,2, dãy nhiều đa thức, gần tới f từ Pr n Giả thiết r = =r ar , z , với R > 1, lim ar , r =r r = ữ ữ Rd ( E ) (3.38) Rồi f mở rộng để chỉnh hình ER Kết kéo theo từ Định lý 3.1, từ Tch r E ar , TchE z =r E ar , ( d r ( E ) ) =r Từ (3.34) đợc thỏa mãn có lim TchE r r E r R điều kiện (3.4) Định lý 3.1 đợc thỏa mãn Điều kiện cần thiết Szczepanskis [14, Định lý 2.6] với f W ( E ) Để mở rộng chỉnh hình tới ER định lí đó, cho dãy { Bd } đa thức gần tới f từ Pnn , có: lim d d d ữ RCm ( E ) (3.39) nơi đa đĩa đơn vị C n log Cm ( E ) { supVE ( rz ) log r ữ = rlim z } Chúng ta (3.39) đợc suy diễn từ (3.5) Bây giờ, (3.5) Định lý 3.1 giữ sử dụng định nghĩa hàm Roobin, có, z C n { 0} , lim log d ( z ) lim VE ( z ) log log R d C 44 (3.40) Nếu thu hẹp z tới , vế phải (3.40) { } lim supVE ( rz ) log r log R z Sử dụng sup z vế trái (4.40), có log d ( z ) d d lim { } lim supVE ( rz ) log r log R r z Sử dụng số mũ, cho công thức (3.39) Ví dụ 3.1 Chúng ta đa ví dụ hàm f mà (3.4) đợc thỏa mãn cho R > nhng (3.38) cha đợc thỏa mãn với R > Chúng ta sử dụng tập hợp K Ví dụ 2.1 Cho số nguyên m1, m2 , r , có (xem Ví dụ 2.1) TchK z1m1 z2m2 = z1m1 z2m2 , TchK ( z1 z2 ) = ( z1 z2 ) r r (3.41) Nh sử dụng ký hiệu Định lý 3.3 Chúng ta có d r ( K ) = 1, r = 1,2,3, nh d ( K ) = Giả sử f ( z1, z2 ) = 1( ( z z ) ) Và giả sử Br ( t ) = br t r + (những số hạng có trật tự thấp hơn) số gần từ ( t ) Pd1 tới Trên (về) t Thì lim br = r r Br ( z1 z2 ) số gần (3.42) Pr tới f K nh dễ dàng đ- ợc suy diễn việc ý tự đẳng cấu tuyến tính C = ( z1, z2 ) ( z1 z2 , z1 ) r = br ( z1 z2 ) Sử dụng (3.41) (3.42) Chúng r ta có lim TchK r r r = (3.4) đợc thỏa mãn cho R = Nhng r = =r ar , z 45 (3.43) ar , =r = br 2r , lim ar , r =r r 1 = > ữ ữ d ( K ) Nh (3.38) cha đợc thỏa mãn với R > Tài liệu tham khảo 46 (3.44) [...]... chạy qua những số nguyên dơng nh vậy N n 1 ( L( ) ) 2 < + (3.10) Chúng ta sẽ xem dãy của những đa thức ngẫu nhiên đợc chỉ số hóa bởi bộ n -đa chỉ số nh những phần tử của không gian: P := N n P (3.11) Chúng ta tham chiếu tới chúng nh một dãy của những đa thức ngẫu nhiên trong thứ tự tăng dần Kết quả G := N n G xác định một độ đo xác suất trên 11 P Bổ đề 3.1, 3.2 (và) 3.3 cho thấy rõ ràng những tập... thoả mãn bất đẳng thức Bernstein-Markov Nghĩa là, thực chất, để có thể liên hệ L2 ( à ) và định chuẩn sup của những đa thức và giả thuyết này đợc sử dụng trong bổ đề 3.1 mệnh đề 3.1 và bổ đề 3.3 Một ví dụ đặc biệt khi L2 ( à ) và định chuẩn sup của những đa thức trực chuẩn không thỏa mãn bất đẳng thức Bernstein-Markov đã cho trong [St T, Ví dụ 3.5.3] Một vài ứng dụng của hàm Robin vào lý thuyết gần... tất cả các đa thức Tập con đợc xác định bởi một số hạng thuần nhất của bậc cao nhất của các đa thức và hàm Robin trên E (xem (2.15)) Điều kiện chung này (1.2) trong bổ đề 1.1 Trong một biến phức, những đa thức Tchebyshev (đợc chuẩn hoá một cách phù hợp) thoả mãn những điều kiện trong bổ đề 1.1 Định lý 2.2 và 2.3 sử dụng định lý 2.1 để đa ra kết quả tổng quát của đa thức trên với trờng hợp của vài biến... không đa cực (xem [5]) Từ đây nếu P E = 0 với một đa thức giải tích P, thì P 0 Sau đó nó kéo theo từ bất đẳng thức Bernstein- Markov mà những đơn thức là độc lập tuyến tính trong L2 ( E , à ) Chúng ta xem n -đa- chỉ số nh đợc sắp đặt theo trật tự và biểu thị bằng { P ( z )} những đa thức trực chuẩn đạt đựơc bằng việc sử dụng tiến trình Gram-Schmidt trên những đơn thức ở đây N n là một n -đa- chỉ số và. .. hệ thức cổ điển giữa hằng số Tchebyshev và hằng số Robin Một chứng minh đã đợc đa ra bởi S Nivoche [7, Mệnh đề 4.2] xem thêm [13] Mệnh đề 2.2 Giả sử là compact và chính quy Do đó E Cn k ( E , w) = exp( E ( [ w] ) ) Bổ đề 1.1 để những đa thức Tchebyshev đợc chuẩn hóa một cách thích hợp Ví dụ 2.1 cho thấy trong trờng hợp vài biến, họ những đa thức gồm có những đa thức của Tchebyshev với mọi đơn thức. .. qua 0 C n Những kết quả này khái quát hóa những định lý 1.1 và 1.2 tới sự thiết đặt nhiều biến Định lí 3.2 đa ra một đánh giá cho những đa thức Tchebyshev trong vài biến số và của sự chú ý độc lập Một sự chứng minh xen kẽ của Định lý 3.2 đợc đa ra bởi Siciak [13] Szczepanski [14] đã đa ra điều kiện cần và đủ cho f để mở rộng giải tích tới E R Chúng ta cho thấy cho những điều kiện (3.4) và (3.5) của... 1.1 (i.e., với hàm Green đa phức thay thế hàm Green) , tuy nhiên một kết quả chắc chắn đợc Định lý 2.3 đa ra Định lý 2.3 Giả sử E C n là compact, chính quy, lồi đa thức Giả sử 1 , 2 , là một tập hợp đếm đợc của những điểm bên trong C n sao cho j = 1 j và {[ j ]} j=1,2, là trù mật trong P n 1 Với d, j = 1,2, giả sử Qd , j là một đa thức thỏa mãn deg( QQ , j ) = d , Qd , j E 1 , và Q d , j ( j... nghĩa hàm Green đa phức đã đa ra trong (1.5), z z VK ( z1 , z2 ) Max log z1 , log z1 , log 1 2 (2.28) Nó kéo theo VK (1,0) log > 0 trong khi, đợc đánh giá ở tại (1,0), hàm ở vế phải của (2.27) có giá trị là 0 3 Đa thức gần đúng (những số gần đúng bằng đa thức) Giả sử E C n là compact, lồi đa thức, và chính quy Giả sử W ( E ) biểu thị bao đóng trong định chuẩn sup trên E của các hàm chỉnh... compact chính quy, và lồi đa thức với hàm Green đa phức VE cho trớc một dãy của những đa thức { p j } ( ( để lim log p j ( z ) deg ( p j ) )) j =1,2, , kết quả đầu tiên là điều kiện bằng VE trên C n E Điều kiện kéo theo bao gồm hàm Robin của E bậc cao nhất, số hạng thuần nhất của p j và sự tổng quát hoá một giá trị là kết quả của Blatt-Saff Kết quả thứ hai đa ra một điều kiện cần và đủ cho f, giới... thế bởi đẳng thức a.e trong P n 1 và kết luận của Định lý 2.1 vẫn hợp lệ Trừơng hợp tơng tự cho (2.20) và Hệ quả 2.1 Cho một đa thức thuần nhất H ( z ) bậc d chúng ta biểu thị bằng TchE ( H ) một đa thức Tchebyshev của E với số hạng trớc H Nghĩa là, TchE ( H ) = H + h khi h là một đa thức của deg d 1 và H + h E H + h1 E với tất cả những đa thức h1 của bậc d 1 Tất nhiên, TchE ( H ) , nhìn chung, ... đẳng thức Bernstein-Markov cho [St T, Ví dụ 3.5.3] Một vài ứng dụng hàm Robin vào lý thuyết gần nhiều biến Giả sử E C n compact quy, lồi đa thức với hàm Green đa phức VE cho trớc dãy đa thức. .. hợp vài biến, họ đa thức gồm có đa thức Tchebyshev với đơn thức không nh trên, nhìn chung, có thuộc tính nhiều biến tơng xứng với kết luận bổ đề 1.1 (i.e., với hàm Green đa phức thay hàm Green) ,... tới chúng nh dãy đa thức ngẫu nhiên thứ tự tăng dần Kết G := N n G xác định độ đo xác suất 11 P Bổ đề 3.1, 3.2 (và) 3.3 cho thấy rõ ràng tập đo đủ P độ P Đó dãy đa thức ngẫu nhiên thứ tự tăng