Đang tải... (xem toàn văn)
Lý thuyết đa thế vị phức được phát triển từ thập kỷ 80 của thế kỷ trước dựa trên các công trình cơ bản của BedfordTaylor, Siciak, Zahaziuta và nhiều tác giả khác. Đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết này là hàm Green đa phức hay hàm cực trị toàn cục. Một trong các bài toán cơ bản là mô tả rõ ràng hàm Green đa phức qua giới hạn trên của logarit mođun các đa thức thích hợp. Mục đích của luận văn này là để trình bày công trình gần đây của Bloom về việc chứng minh rằng với mọi tập compact chính quy tồn tại độ đo Gauss trên không gian các dãy đa thức sao cho các dãy đa thức không thoả mãn yêu cầu có độ đo không. Luận văn có hai chương. Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về hàm đa điều hoà dưới. Đặc biệt các tính chất cơ bản của hàm cực trị toàn cục và hàm cực trị tương đối. Chương 2 dành cho việc trình bày kết quả nêu trên của Bloom.
Đại học thái nguyên TrườngưĐạiưhọcưsưưphạm Đàm ngọc hùng Hàm Robin xấp xỉ hàm cực trị toàn cục N Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01 Luận văn thạc sỹ khoa học toán học Ngời hớng dẫn khoa học: GS-TSKH Nguyễn Văn Khuê Thái Nguyên - 2006 Mục lục Mở đầu Chơng 1: Các kiến thức .3 1.1 Hàm chỉnh hình nhiều biến .3 1.2 Hàm đa điều hoà dới .5 1.3 Hàm đa điều hoà dới cực trị 1.4 Toán tử Monge-Ampe 23 1.5 Tính lồi 24 Chơng Hàm Robin xấp xỉ hàm Green 28 2.1 Mở đầu 28 2.2 Hàm Robin dãy hàm đa điều hoà dới .29 2.3 Dãy đa thức .35 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo .47 Mở đầu Lý thuyết đa vị phức đợc phát triển từ thập kỷ 80 kỷ trớc dựa công trình Bedford-Taylor, Siciak, Zahaziuta nhiều tác giả khác Đóng vai trò quan trọng lý thuyết hàm Green đa phức hay hàm cực trị toàn cục Một toán mô tả rõ ràng hàm Green đa phức qua giới hạn logarit mođun đa thức thích hợp Mục đích luận văn để trình bày công trình gần Bloom việc chứng minh với tập compact quy E C N tồn độ đo Gauss không gian dãy đa thức cho dãy đa thức không thoả mãn yêu cầu có độ đo không Luận văn có hai chơng Chơng trình bày số kiến thức hàm đa điều hoà dới Đặc biệt tính chất hàm cực trị toàn cục hàm cực trị tơng đối Chơng dành cho việc trình bày kết nêu Bloom Để hoàn thành đợc luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới GS-TSKH Nguyễn Văn Khuê ngời thầy tận tình hớng dẫn, hết lòng giúp đỡ suốt trình học tập nghiên cứu hoàn thành luận văn Tác giả xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn đến thầy cô giáo trờng Đại học s phạm - Đại học Thái Nguyên, trờng Đại học s phạm Hà Nội, Viện Toán học Việt Nam giảng dạy giúp đỡ tác giả hoàn thành khoá học Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn sở Giáo dục đào tạo Bắc Kạn, Trờng THPT Ba Bể tỉnh Bắc Kạn tạo điều kiện giúp đỡ mặt suốt trình tác giả học tập hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng 10 năm 2006 Chơng 1: Các kiến thức 1.1 Hàm chỉnh hình nhiều biến 1.1.1 Định nghĩa (hàm C - khả vi) Cho mở C N f : C Ta nói f R - khả vi (tơng ứng C - khả vi) z tồn ánh xạ R - tuyến tính (tơng ứng C tuyến tính) S : C N C cho: ( ) ( ) f z0 + h f z0 S ( h) = 0( h ) C N h = max ( h1 , , hn ) Và ta nói f R - khả vi (tơng ứng C - khả vi) R -khả vi (tơng ứng C - khả vi) điểm thuộc Dễ thấy ánh xạ S thoả mãn định nghĩa (nếu có) gọi R -đạo hàm (tơng ứng C - đạo hàm) ( ) ( ) f z ký hiệu f z hay df z 1.1.2 Định nghĩa (hàm chỉnh hình nhiều biến) Cho mở C N f = ( f1 , , f m ) : C m ta nói f R - khả vi (tơng ứng C - khả vi) f j R - khả vi (tơng ứng C - khả vi) , j m Hàm C - khả vi gọi hàm chỉnh hình , không gian vectơ hàm chỉnh hình ký hiệu H ( ) Dễ thấy hàm chỉnh hình nhiều biến có tính chất nh hàm chỉnh hình biến Nh hàm chỉnh hình biến ta có số kết sau: 1.1.3 Công thức tích phân Cauchy hệ 1.1.3.1 Định lý Giả sử f ( z ) hàm liên tục đa đĩa đóng = ì ì n đây: { } j = z j C : z j a j < rj ,1 j n chỉnh hình = ì ì n Khi đó: f ( z) = ( i ) n a =r 1 n an = rn f ( 1, , n ) d d , z ( z1 ) ( n zn ) n Từ định lý cách đạo hàm qua dấu tích phân ( zi không điểm i ) ta có hệ quả: 1.1.3.2 Hệ Nếu f chỉnh hình mở C N f C -khả vi vô hạn 1.1.4 Bất đẳng thức Cauchy Giả sử f chỉnh hình z , đó: ( ) f z ! M z , r , < r < z , , n 0, = ( 1, , n ) Zn+ r ( ) ( ) f f ( z) ( z ) , ! = ! n !, M z , r = sup đây: f ( z ) = n z1 zn z z r ( ) 1.1.5 Định lý 1.1.5.1 Định lý Nếu f ( z ) chỉnh hình miền C N f = tập mở khác rỗng f 1.1.5.2 Định lý (Liouville) Nếu f chỉnh hình C N bị chặn f số Chứng minh: Thật vậy, với z C N , xét g z ( ) = f ( z ) , C Khi g chỉnh hình bị chặn C Theo định lý Liouville g z số f ( z ) = g z ( 1) = g z ( ) = f ( ) , z C f số. 1.1.6 Định lý (Nguyên lý modul cực đại) Giả sử f ( z ) liên tục với miền bị chặn C N chỉnh hình , tồn z để: ( ) f z = max f ( z ) z Thì f số 1.1.7 Định lý (Weiestrass) Giả sử { fn} dãy hàm chỉnh hình mở C N { fn} hội tụ tập compact tới hàm f f chỉnh hình 1.1.8 Định lý (Hartogs) Giả sử f ( z ) hàm mở C N , C - khả vi theo biến Khi f C - khả vi 1.2 Hàm đa điều hoà dới 1.2.1 Định nghĩa (hàm nửa liên tục trên) Giả sử cho X không gian metric Hàm : X [ , + ) đợc gọi hàm nửa liên tục x0 X > 0, U x0 lân cận x0 X cho x U x0 ta có: ( x ) < ( x0 ) + x < ( ) ( x0 ) ( x0 ) = Hàm đợc gọi nửa liên tục trên X nửa liên tục x X 1.2.2 Định nghĩa (hàm điều hoà dới) Hàm thực : [ , + ) gọi điều hoà dới thoả mãn đồng thời điều kiện sau: a) nửa liên tục b) thoả mãn bất đẳng thức giá trị trung bình ( z0 ) 2 i ( z0 + re ) d , z0 < r < ( z0 , ) 1.2.3 Định nghĩa (hàm đa điều hoà dới) Giả sử tập mở C N ( N 1) Một hàm : [ , + ) đợc gọi đa điều hoà dới thoả mãn đồng thời điều kiện sau: a) / thành phần liên thông b) nửa liên tục c) Với đờng thẳng phức l , l , hạn chế thành phần liên thông l hàm điều hoà dới Ví dụ: Nếu f chỉnh hình f ( z ) log f ( z ) đa điều hoà dới Ký hiệu: PSH ( ) tập hàm đa điều hoà dới , rõ ràng PSH ( ) nón lồi: u, v P SH ( ) u + ( ) v PSH ( ) , , u PSH ( ) u P SH ( ) 1.2.4 Định lý Giả sử f : với tập mở C N C m đó: z a ( o f ) ( z) = ( f ( z) ) đa điều hoà dới 1.2.5 Định lý Giả sử : R C đa điều hoà dới khi: L ( z , w ) = ( z ) w j wk 0, z , w C N j ,k n z j zk L ( z , ) gọi dạng Levi z Vì hàm điều hoà dới có tính chất modul cực đại nên ta có: 1.2.6 Định lý Nếu : [ , + ) đa diều hoà dới miền C N tồn z để: ( ) z = sup ( z ) z Thì số 1.2.7 Định lý Giả sử { k } dãy hàm đa điều hoà dới mở C N k ] Khi đa điều hoà dới Chứng minh: Do k nửa liên tục với k nên nửa liên tục Cho ( ) N z w C , w Do k z + w điều hoà dới { < } với > đủ bé nên: ( ) k z Suy ra: ( ) z ( ) ( k ( z 0 ) ) + rei w d 1 = lim k z lim k z + rei w d k k 2 k ( z klim ) + rei w d = = 2 ( z 0 ) + rei w d < r < đa điều hoà dới Định lý sau suy từ hàm điều hoà dới 1.2.8 Định lý (Bổ đề Hartogs) Giả sử { k } dãy hàm đa điều hoà dới mở C N , cho: a) { k } bị chặn phía trên compact : sup k ( z ) < , K é zK ,k sup k ( z ) A, z b) klim Khi với K é , > 0, k0 cho: k ( z ) < A + , k > k0 , z K 1.2.9 Tập đa cực 1.2.9.1 Định nghĩa Tập S mở C N gọi tập đa cực z S , r > { } hàm đa điều hoà dới w C N : w z < r cho: / ( w ) = , w S , w z < r 1.2.9.2 Định lý (Josefson [Jo]) S C N tập đa cực tồn hàm đa điều hoà dới C N , / S 1.3 Hàm đa điều hoà dới cực trị 1.3.1 Một số lớp hàm đa điều hoà dới C N Ký hiệu: ( ) { ( ) L = L C N = u PSH C N cho u ( z ) + log ( + z ) , z C N } L += L + ( C ) = { u PSH ( C ) , N N cho + log ( + z ) u ( z ) + log ( + z ) , z C N L L + } gọi lớp LeLong hàm đa điều hoà dới C N VD: Nếu f ( z ) đa thức bậc n log f ( z ) L n Thật vậy: { } Giả sử M = sup f ( z ) : z theo bất đẳng thức Cauchy ta có: ( f ( z ) M + z + + z suy n ) M (1+ z ) n , z Ê N 1 log f ( z ) log M + log ( + z ) n n 1.3.2 Hàm L - cực trị 1.3.2.1 Giả sử E C N b : C N [ , + ) , hàm b nhận giá trị nhng b / Đặt: L ( E , b ) = { u L : u b E} { L + ( E , b ) = u L + : u b E Khi b ta viết L ( E ) = L ( E ,0 ) , L + ( E ) = L +( E ,0 ) } xác định: V ( z ) = V ( z , E , b ) = VE ,b ( z ) = sup { u ( z ) : u L ( E , b ) } { V + ( z ) = V + ( z , E , b ) = VE+,b ( z ) = sup u ( z ) : u L + ( E,b ) } Nếu b viết VE , VE+ thay cho VE ,0 , VE+,0 1.3.2.2 Định nghĩa Hàm VE ,b (tơng ứng VE+,b ) gọi hàm L - cực trị (tơng ứng L + - cực trị) kết hợp với E b Các tính chất sau suy từ định nghĩa 10 1.3.2.3 Tính đơn điệu b VE ,b1 VE ,b2 C N b1 b2 E 1.3.2.4 Tính đơn điệu E VF ,b VE ,b , E F 1.3.2.5 VE ,b+c = c + VE ,b 1.3.2.6 Mệnh đề Nếu E hình cầu { E = B ( a, r ) = x C N : x a r Thì } xa r VE ( x ) = log + log x log x x log + x = log x x Thật vậy: xa xa L ( E ) log + = 0, x a r nên: r r xa log + VE ( x ) = sup u ( x ) : u L C N , u E r Để chứng minh bất đẳng thức ngợc lại ta cố định x C N với x a > r Do log + { ( ) } với u L ( E ) xét hàm: w ( ) = u ( a + ( x a ) ) log + xa r Khi w ( ) bị chặn điều hoà dới với = r w ( ) xa r xa Nh biết đặt w ( ) = lim w ( ) w ( ) điều hoà dới r miền C : > C = C { } x a ( ) 34 j = z1 int K xét z1 K tồn ( j ) j với lim j ( ) N C N \ K với j Ta có w ( j ) j C \ K int K nên j C N \ K w ( j ) = VK ( j ) > mặt khác j int K w ( j ) = w nửa liên tục w ( z1 ) lim w ( j ) (2.9) Vậy w C N nhng w = VK q.e hai đa điều hoà dới nên w VK [K, hệ 2.9.8]. Mệnh đề 2.2.5 có dạng khác nh sau 2.2.6 Định lý Giả sử K C N compact không đa cực Giả sử { wn } dãy ( ) hàm L C N thoả mãn: i) > , n0 = n0 ( ) cho wn q.e K với n n0 wn = K ii) lim n q.e ( ) iii) Mỗi thành phần liên thông int K có điểm z0 cho lim wn ( z0 ) = n ( ) Khi dãy { wn } hội tụ tới VK L1loc C N ( ) L1loc C N không gian vectơ hàm khả tích địa phơng C N có nghĩa là: L1loc C N = f : C N C đo đ ợc cho ( ) K f dV < + , K éC N 35 2.3 Dãy đa thức Giả sử độ đo Borel hữu hạn C N với supp = K Ta xem độ đo xác xuất: ( K ) = K không bao hàm siêu mặt đại số C N tức không bao hàm tập không điểm đa thức khác không Cho , ZN , = ( 1, , N ) , = ( 1, , N ) Ta viết < < hay = tồn l N để i = i , i l nhng l > l { } Xét dãy đơn thức z { } siêu mặt nên z { } xuất nên z Z+N Z+N Z+N với thứ tự Do K không chứa độc lập tuyến tính K độ đo xác độc lập tuyến tính L2 ( ) áp dụng phơng pháp trực giao hoá Gam-Schmidt ta đợc dãy trực chuẩn p ( z ) (đồng thời ký hiệu p ( z , ) ta ý tới độ đo ) Nh CN với p ( z , ) p ( z , ) d = = với = p ( z ) = c z + c z < (3.1) (3.2) Giả sử P không gian đa thức tổ hợp tuyến tính đơn thức z với Tức là: Với f P ta viết: P = c z f ( z ) = b z (3.3) 36 f ( z ) = Suy ra: a p ( z , ) b = a c = L ( à) (3.5) a f Đặt (3.4) 2 (3.6) { L ( ) = card Z+N : } Nếu đồng f với dãy hệ số { a } (3.4) P đồng với C L( ) Xét độ đo (Gauss) G C L( ) R L( ) cho G = e L( ) a d L ( ) L( ) độ đo Lebesgue R 2L( ) Nh ( a ) dG = a e a d L( ) ( a ) L( ) ( ) (3.7) Chú ý: G độ đo xác xuất vì: L( ) Ta biết: đó: R 2 L( ) e a d L( ) = (3.8) d + N card { : d } = CdN+ N = ữ d Ngoài +N L( ) ữ N Z+N Xét không gian dãy đa thức ( L( ) ) < + (3.9) (3.10) 37 P= = p (3.11) Z+N độ đo xác xuất G P cho bởi: G G= Z+N Giả sử Z+N cho E P đo đợc (theo G ) Đặt: Y = { ( f ) P : f E trừ số hữu hạn } (3.12) Khi Y G -đo đợc G ( Y ) = nếu: G ( Ec ) < + (3.13) với Ec phần bù Ec = P \ E Thật k đặt: Yk = { ( f ) P : f E , > k } = Khi Yk Yk +1 , k UYk = Y G ( Yk ) = k =1 P ì E k >k G ( E ) >k Do G độ đo nên: G ( Y ) = lim G ( Yk ) = lim G ( E ) k Do k >k ( G ( E ) ) = G ( Ec ) < Nên lim k ( G ( E ) ) = G ( Y ) = klim G ( E ) = >k >k Giả sử độ đo thoả mãn bất đẳng thức Bernstein-Markov là: > 0, c = c ( ) > cho đa thức f ta có: f k c(1+ ) deg ( f ) f L2 ( ) (3.14) 38 2.3.1 Bổ đề Giả sử: Z1 = { ( f ) P cho > ta có e f K e trừ số hữu hạn } G ( Z1 ) = Chứng minh: Giả sử Z1 = { ( f ) P : : f :L2 ( ) L ( ) trừ số hữu hạn } Cho ( f ) Z1 bất đẳng thức Bernstein-Markov (3.14) suy > f K c(1+ ) f L2 ( ) c(1+ ) L ( ) trừ số hữu hạn (3.15) +N Do L ( ) ữ ((3.9)) ta có: N + N L c + ( ) ( ) ữ exp ( ) trừ số hữu hạn K N Đầu tiên ta chứng minh: (3.16) G ( Z1 ) = Với Z+N đặt: f c(1+ ) { E ,1 = f P : f Khi đó: ( ) G EC,1 = L( ) Đổi biến số theo toạ độ cực ta có: ( ) L( ) L2 ( ) e a L( ) } d L ( ) (3.17) (3.18) e r r L( ) 1drd (3.19) L ( ) r L( ) d độ đo mặt cầu đơn vị C L( ) = R L( ) Do diện tích mặt cầu G EC,1 = đơn vị C L( ) ( ) ta có: ( L( ) ) L ( ) G EC,1 = ( L( ) ) r L( ) e r r L( ) 1dr (3.20) 39 Bởi tính toán sơ cấp ta thấy maximum e r r L( ) L ( ) , ) đạt r = L ( ) áp dụng kết cách viết: e r r L( ) = e ta có: G ( EC,1 ) e L( ) L( ) 2 L( ) L( ) r2 2e e r2 r L( ) r2 dr (3.21) L( ) 2e L( ) 2 e log L( ) ( L( ) 1) e r2 dr (3.22) L( ) e Vậy ( L( ) 2 đủ lớn (3.23) ) G EC,1 < + (3.13) suy (3.16): G ( Z ) = N Z+ Xét Z = ( f ) P : f Với ( f ) Z ta có: f K f Do (3.9) ta có f K trừ số hữu hạn (3.24) L ( à) L( ) trừ số hữu hạn L ( à) L( ) e trừ số hữu hạn (3.25) (3.26) Vậy Z1 Z1 Z1 cần chứng minh: G ( Z1) = Đặt Ta có E ,1 = f + P : f ( ) G Ec,1 = L( ) a (3.27) L ( ) L ( ) e a d L( ) L( ) đổi biến số toạ độ cực nh trờng hợp Ec ,1 ta có: (3.28) (3.29) 40 ( ) G Ec,1 Suy Vậy (3.14) ta có (3.27) ( L ( ) ) L ( ) L( ) (3.30) G ( Ec,1 ) < 2.3.2 Bổ đề Cố định z0 K Giả sử: Z = ( f ) P : lim f ( z0 ) L( ) = + Khi G ( Z ) = Chứng minh: Giả sử: Z = ( f ) P : f ( z0 ) trừ số hữu hạn (3.31) L( ) Do (3.9) suy với ( f ) Z ta có: lim f ( z0 ) L( ) (3.32) Vậy Z Z1 Z Và G ( Z1 ) = chứng minh G ( Z ) = (3.33) Do độ đo xác xuất nên ( z , ) = áp dụng khai triển (3.4) ta có: f ( z0 ) = a0 + 0< a b ( z0 , ) Với Z+N đặt: E ,2 = f P : f ( z0 ) L ( ) Khi đó: (3.34) 41 ( ) G Ec ,2 = L( ) a0 + 0< e a b ( z0 ,à ) a d L ( ) (3.35) L( ) Bằng cách áp dụng định lý Fubini tích phân theo a0 C ta có: G ( Ec ,2 ) = ữ a a0 0< ữ ữ e d e d L( ) (3.36) ữ L( ) L( ) ữ C ữ a0 + a b ( z0 ,à ) L ( ) 0< Tích phân tích phân đĩa có bán kính đạt cực đại L( ) tâm đĩa 0, tích phân thứ hai Vậy ( ) G Ec ,2 a0 e a0 d L( ) (3.37) L( ) (3.38) Theo (3.10) G ( Ec ,2 ) < Do (3.14) ta có (3.33). Giả sử: N N = R : = ( 1, , , N ) , i > i = i =1 compact R N (3.39) số C ( K , ) gọi số Tchebyshev theo hớng xác định nh sau với Z+N xét: inf z + d d z < K Đó khoảng cách C ( K ) từ z tới không gian véctơ sinh z , < Do không gian hữu hạn chiều nên tồn t = z + d z < để 42 t = inf z + K d d z (3.40) < K Giả sử: { ( j ) } j Z+N với ( j) =0 j ( j ) lim ( j ) = + lim j (3.41) đặt: ( j) C ( K , ) = lim t ( j ) j (3.42) K Zaharyuta [Za] chứng minh giới hạn (3.42) tồn không phụ thuộc vào việc chọn dãy { ( j ) } Z+N thoả mãn (3.41) Ngoài C ( K , ) = 0 C ( K , ) = K đa cực Đặc biệt K không đa cực C ( K , ) Đối với dãy f ( j ) P ( j ) với ( j ) thoả mãn (3.41) mà đợc viết nh (3.3) ta có: Thật viết f ( j) K lim j b ( j) f ( j ) ( z ) = suy f ( j ) b ( j ) Vậy ( j ) ữ ữ ữ C ( K , ) b z = b ( j ) z ( j ) + = z ( j ) + K ( j) < ( j ) b z < ( j ) (3.43) b z z ( j ) K K 43 f ( j) ( j) ữ lim lim z ( j ) j b ( j ) ữ ( j) K = C ( K , ) 2.3.3 Định nghĩa Giả sử { ( j ) } Z+N thoả mãn (3.41) dãy đa thức f ( j ) P ( j ) gọi aT ( xấp xỉ Tchebyshev) nếu: ( j) f ( j) ữ lim b ( j ) ữ = C ( K , ) (3.44) 2.3.4 Mệnh đề Giả sử độ đo xác xuất có tính chất Bernstein-Markov với K = supp compact không đa cực C N Đối với đa thức trực chuẩn viết dạng (3.2) dãy { ( j ) } Z+N thoả mãn (3.41) ta có: lim c ( j ) ( j) = C ( K , ) (3.45) Chứng minh: Do có tính chất Bernstein-Markov nên > 0, c = c ( ) để: p Vậy (3.43) ta có K c(1+ ) (3.46) f ( j ) = p ( j ) , b ( j ) = c ( j ) áp dụng (3.46) có: ( j) (3.47) C ( K , ) Do p có L2 - chuẩn cực tiểu tất đa thức bậc có thành phần bậc cao ta có: lim c ( j ) j = p L2 ( ) c ( j ) t ( j ) L2 ( ) c ( j ) t ( j ) (3.48) 44 Vậy từ (3.42) suy lim c ( j ) j ( j) cuối (3.45) suy từ (3.47) (3.49) 2.3.5 Bổ đề Giả sử: Z3 = G ( Z ) = {( f ) P : C ( K , ) ( , f ( j ) ) j (3.49) aT } Chứng minh: Đặt: Z = ( f ) P : f = a p ( z , ) , a L ( ) trừ số hữu hạn L( ) Bởi mệnh đề 2.3.4 (3.5) b = a c với dãy { ( j ) } Z+N thoả mãn (3.41) ta có: 1 lim b ( j ) ( j ) = j C ( K , ) (3.50) Thật b ( j ) = a ( j ) c ( j ) ta có: lim b ( j ) j ( j) = lim a ( j ) j ( j) lim c ( j ) ( j) j = lim c ( j ) j ( j) = C ( K , ) Suy ( f ) Z1 (xem bổ đề 2.3.1 định nghĩa Z1 ) f ( j) K lim b ( j) Vậy: ( j) ữ ữ ữ ( j) e lim b ( j) ( j) e ữ = lim , > ữ b ( j ) ( j ) 45 f ( j) ( j) K ữ lim C ( K , ) b ữ ữ ( j) Do (3.43) ta có dấu bất đẳng thức (3.51) (3.51) Vậy Z1 Z Z Và ta chứng minh: G ( Z ) = (3.52) Giả sử: E ,3 = f P nh (3.4) a L ( ) L( ) 2 a a G Ec ,3 = L( ) e d L( ) + e d L( ) a a L( ) L( ) áp dụng định lý Fubini ta có: ( ) G Ec ,3 = ( ) a e a d + L( ) a e a d (3.53) L( ) ( L( ) ) đủ lớn (3.54) L ( ( )) đánh giá tích phân thứ nh (3.37) tích phân thứ hai nh (3.18) Nh vậy: +e G ( Ec ,3 ) < G ( Z3 ) = 2.3.6 Định lý Giả sử K compact quy C N nghĩa K compact quy (VK liên tục) Khi với xác xuất theo độ đo Gauss (G) P ta có: VK = lim log f ữ z) , z CN ( ữ Chứng minh: 46 Giả sử Z = { ( f ) P thoả mãn: i) > : e f ii) K e trừ số hữu hạn ( ) , ( ( j ) ) thoả mãn (3.41) cho f ( j ) aT iii) Mọi thành phần liên thông int K có điểm z0 để: lim f ( j ) ( z0 ) ( j) = Vì int K có số đếm đợc thành phần liên thông, bổ đề 2.3.1, 2.3.2 2.3.5 ta có G ( Z ) = áp dụng (i) (ii) với [B3 Định lý 4.2] suy log f ( z ) ( f ) Z thoả mãn (i) mệnh đề 2.2.5 VK ( z ) = lim log f ( z ) N ữ ữ , z C \ K Bởi ( f ) Z thoả mãn (iii) thoả mãn (ii) mệnh đề 2.2.5 Vậy theo mệnh đề 2.2.5 ta có: VK log f ( z ) ( z ) = lim N z , z C ( f ) Z ( ) ữ ữ Kết luận 47 Luận văn trình bày vai trò quan trọng hàm Green hay hàm cực trị toàn cục lý thuyết đa vị phức Nghiên cứu tập dãy đa thức thức { f } Z+N cho: VK ( z ) = lim log f ữ ( z ) deg f Bằng cách áp dụng số kết hàm Robin nhận đợc Bedford-Taylor ([BT]) Dựa số kết quan trọng hàm Robin dãy hàm đa điều hoà dới thể mục 2.2 chơng Luận văn trình bày công trình gần Bloom việc chứng minh rằng: Với tập compact quy E C N tồn độ đo Gauss không gian dãy đa thức cho dãy đa thức không thoả mãn yêu cầu có độ đo không Kết đợc thể việc chứng minh bổ đề, mệnh đề định lý mục 2.3 (Dãy đa thức) chơng Tài liệu tham khảo Nguyễn Văn Khuê - Lê Mậu Hải Hàm biến phức - Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội (2001) Nguyễn Văn Khuê, Bùi Đắc Tắc, Đỗ Đức Thái Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm - Nhà xuất Giáo dục (2001) 48 [BSS] H-P.Blatt, E.B Safl and M.Simkani, Jentsch-Szego Type theorems for the zeros of best approximants, J.London Math Soc (2) 38 (1988), 307316 [B1] T.Bloom, Orthogonal polynomials in n, Indiana University Math J (2) 46 (1997), 427-452 [B2] T.Bloom, Some applications of the Robin function to multivariable approximation theory, J of Approx Theory (1) 92 (1998), 1-21 [B3] T.Bloom, On families of polynomials with approximate the pluricomplex Green function, Indiana University Math J 50 no (2001), 1545-1566 [BT2] E.Bedord and B.A.Taylor, Plurisubharmonic functions with logarithmic singularities, Ann de lInst Fourier (Genoble) 38 (1988), 133171 [K] M.Klimek, Pluripotential Theory, London Mathematical Society, Mongraphs, New Series, vol.6, Oxford University Press, 1991 [R] T.Ransford, Potential Theory in the Complex Plane, London Mathematical Society, Student Texts ,vol 28, Cambridge University Press, 1995 10 [Z] A Zeriahi Capacite, constante de Cebysev et polynomes orthogonaux associes a un compact de n, Bull Sci Math (2), 109 (1985), 325-335 [...]... Định lý M n ( r ) là hàm tăng loga Chứng minh: Với 0 < r < theo định nghĩa M n ( r ) ta có: ( ) Mn ( r) = v( r) it ở đây v ( r ) = sup u re 0t 2 Do u ( z ) là điều hoà dới trên ( 0, ) và là hàm của bán kính, theo định lý trên v ( r ) là lồi loga. 28 Chơng 2 Hàm Robin và xấp xỉ hàm Green 2.1 Mở đầu Giả sử K một tập hợp compact trong C N và VK ( z ) là hàm Green đa phức với cực tại của K, ở đây... cực 1.3.3.1 Định nghĩa ( ) Cho E C N ta nói E là L - đa cực nếu tồn tại W L C N , W / sao cho W = trên E Rõ ràng mọi tập L - đa cực là đa cực 1.3.3.2 Định nghĩa Cho E C N và G C N là mở, xác định: h ( x, E , G ) = hEG ( x ) = sup{ u ( x ) :u PSH ( G ) , u 0 trên E G và u 1 trên G} Hàm là đa điều hoà dới hEG gọi là hàm cực trị tơng đối của E đối với G 1.3.3.3 Mệnh đề E C N là đa cực nếu và. .. E là đa cực khi đó a E tồn tại lân cận liên thông U a a và hàm đa điều hoà dới W trên U a sao cho W / và W = trên E U a Giả sử D là miền con compact tơng đối của U a bao hàm a Có thể xem W 0 trên D Khi đó: 16 Vậy hED 1 W + 1 hED trong D, k 1 k = 1 trên x D mà W ( x ) > mà nó trù mật trong D Suy ra * hED 1 trong D ) Cho a E và giả sử D a là miền trong C N sao cho * hED = 1 trong D ... E là đa cực địa phơng a E , r > 0 và u PSH ( B ( a, r ) ) , u / , u = trên E B ( a, r ) ( ) ii) E là đa cực toàn cục: u PSH C N , u / và u = trên E iii) E là L - đa cực 22 * iv) hED 1 với mọi miền D C N Chứng minh (i) (ii) là định lý Josefson, [Jo] (ii) (iii) Bởi định lý 1.3.3.6 ta có thể xem E là bị chặn Giả sử ( ) W P SH C N , W / và W = trên E Giả sử E không là L - đa cực theo... (5) (1) và (2) (6) là hiển nhiên Nếu ui là liên tục và (6) thực hiện thì u là nửa liên tục dới và do đó tồn tại một hình cầu B = B ( a, r ) D và M > 0 để u M trên B và nh vậy (3) thoả mãn Thật vậy với n 1 đặt: An = { x D :ui ( x ) n, i I } = { x D :u ( x ) n, i I } Do u là nửa liên tục dới trên D nên An là đóng trong D Do định lý Baire tồn o tại n0 để An vậy tồn tại a An0 và r > 0 để... là L - đa cực n 1 E = U En là L - đa cực n =1 Chứng minh Dễ thấy E1 En là L - đa cực Thật vậy với mỗi 1 k n lấy ( ) ( ) uk Khi đó u L C N uk L C N , uk / và uk |Ek = Đặt u = 1Max kn u / và u = |E nh vậy có thể xem En En+1 n 1 ( ) Với n 1 , un L C N un , un |En ta gọi: M n = Sup un < , B11 = B ( 0,1) B1 Chú ý rằng: > 0 và C để: lim supexp un ( ) M n n (nh trong chứng... tục 1.3.2.12 Mệnh đề Nếu E compact, L - chính quy địa phơng thì với mọi hàm liên tục b hàm cực trị V = VE ,b là liên tục trên C N Chứng minh: 14 Đầu tiên chú ý: V * b trên E Thật vậy cho a E và > 0 ta có: VE ,b ( x ) = V ( x ) VE B( a ,r ) ,b( a ) + = b ( a ) + + VE B( a ,r ) trong C N ở đây r > 0 đủ bé để b ( x ) b ( a ) + trong B ( a, r ) vậy: V * ( a ) = limV ( x ) b ( a ) + + limVE B( a... 0 và M > 0 sao cho u M trong B = B ( 0, R ) x 2) R > 0 và M > 0 sao cho u < M + log + , x C N R N 3) Tồn tại tập mở D C và M > 0 sao cho u M trên D 17 4) u là bị chặn trên trên mọi tập compact trong C N ( ) 5) u * L C N Ngoài ra nếu ui là liên tục với mọi i I thì mỗi điều kiện từ (1) đến (5) tơng đơng với: 6) u ( x ) < +, x D , với D là mở khác rỗng trong C N Chứng minh: (1) (2) và. .. tập các dãy đa thức (1.3) { f } Z N + sao cho: 1 VK ( z ) = lim log f ữ ( z ) deg f Bằng cách áp dụng một số kết quả về hàm Robin nhận đợc bởi Bedford-Taylor ([BT]) 2.2 Hàm Robin và dãy các hàm đa điều hoà dới ( ) Cho u L := L C N định bởi: ký hiệu u ( z ) là hàm Robin của u trên C N xác u ( z ) = lim { u ( z ) log } (2.1) + C Hiển nhiên u ( z ) thoả mãn điều kiện thuần nhất logarit nghĩa... dãy trong L và giả sử v := lim wn Nếu ( v / + thì v L và v lim w n n n ) Chứng minh: Do v / + , nên lim wn < + trên một tập không đa cực n Thật vậy: Lấy z0 C N để v ( z0 ) < c < + Do v nửa liên tục trên, tồn tại lân cận U z0 để v ( z ) < c, z U suy ra lim wn ( z ) < v ( z ) < c, z U vậy n lim wn ( z ) < + trên một tập không đa cực Theo bổ đề 2.2.1 và [K, Phần n u ( ) là lồi loga và vậy ... không thoả mãn yêu cầu có độ đo không Luận văn có hai chơng Chơng trình bày số kiến thức hàm đa điều hoà dới Đặc biệt tính chất hàm cực trị toàn cục hàm cực trị tơng đối Chơng dành cho việc trình... lồi 24 Chơng Hàm Robin xấp xỉ hàm Green 28 2.1 Mở đầu 28 2.2 Hàm Robin dãy hàm đa điều hoà dới .29 2.3 Dãy đa thức .35 Kết luận 46 Tài... vai trò quan trọng lý thuyết hàm Green đa phức hay hàm cực trị toàn cục Một toán mô tả rõ ràng hàm Green đa phức qua giới hạn logarit mođun đa thức thích hợp Mục đích luận văn để trình bày công