www.VNMATH.com Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 LÊ XUÂN ĐẠI (GV THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Bất đẳng thức (BĐT) dạng tốn thường có đề thi ĐHCĐ Các thí sinh sợ lúng túng gặp phải toán chứng minh BĐT tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Đơn giản toán BĐT thường tốn khó đề thi, nhằm phân loại chọn học sinh giỏi Thường sĩ tử không để giải toán BĐT Chuyên đề muốn hệ thống cho bạn phương pháp số dạng tập BĐT Hy vọng giúp em học sinh lớp 12 đạt kết cao kì thi ĐH- CĐ tới Đọc xong chuyên đề tin bạn không cảm giác sợ bất đẳng thức Khi hết sợ hãi ngại ngần đam mê dành tình yêu cho Dành tình u đam mê cho tốn học nói chung BĐT nói riêng điều cần thiết người làm toán sơ cấp chân lãng mạn tốn học bắt nguồn từ đó… Thành cơng đến bạn làm việc tận tâm nghĩ đến điều tốt đẹp… Những lời khuyên bổ ích học BĐT: Nắm tính chất BĐT Nắm vững phương pháp chứng minh BĐT như: PP biến đổi tương đương; PP sử dụng BĐT Cô si; PP sử dụng đạo hàm… Đặc biệt trọng vào ôn tập kỹ thuật sử dụng BĐT Cô si, biết đặt trả lời câu hỏi như: áp dụng; điều kiện cho biến gì; dấu xảy nào; áp dụng có xảy dấu không; lại thêm bớt vậy… Luôn bắt đầu với BĐT (điều vô quan trọng); học thuộc số BĐT có nhiều áp dụng phải ý điều kiện áp dụng được, chẳng hạn như: * a  b  c2  ab  bc  ca (1) với a,b,c www.VNMATH.com Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 * (a  b  c)  3(ab  bc  ca) (2) với a,b,c * (a  b  c)  3(a  b  c2 ) (3) với a,b,c * * 1 1   ;    (4) với a,b,c dương a b a b a b c a bc a  x  b  y  (a  b)  (x  y) (5) với a,b,x,y * x y (x  y)2 (6) với a,b dương x,y   a b ab * x y z (x  y  z)2 (7) với a,b,c dương x,y,z    a b c abc ……… Dấu xảy BĐT (1), (2), (3) (4) a=b=c Dấu xảy BĐT (5) (6) x y x y z  ; (7)   a b a b c (với mẫu khác 0) (Các em bắt tay vào việc chứng minh BĐT Hãy tìm cho cách giải quán, đơn giản, nhớ làm thi phải chứng minh lại, áp dụng) Trước hết xin đưa phương pháp thông dụng để chứng minh BĐT I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG: Phương pháp chung Để chứng minh A  B ta thường thực theo hai cách sau: Cách 1: Ta chứng minh A  B  Để làm điều ta thường sử dụng đẳng thức để phân tích A  B thành tổng tích biểu thức không âm Cách 2: Xuất phát từ BĐT ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh Đối với cách thường cho ta lời giải không tự nhiên cho thường sử dụng biến có ràng buộc đặc biệt Chú ý: Một số kết hay sử dụng * x  với x   x   x  * x  với x   x   x  Một số ví dụ www.VNMATH.com Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Ví dụ 1: Chứng minh với a, b   ta có: a  b  2ab (1) Giải: Ta có a  b  2ab  (a  b)   a  b  2ab (đpcm) Đẳng thức xảy a=b Thật đơn giản phải không bạn, tinh ý thêm chút bạn tìm kết tổng quát niềm tin để vượt qua BĐT đề thi ĐH hoàn toàn khả thi Cụ thể với ba số thực a,b,c ta có a  b2  2ab ; b  c2  2bc a  c  2ac Cộng vế BĐT ta kết sau: a  b  c2  ab  bc  ca (2) Có thể thấy có hai BĐT tương đương với (2) quen thuộc (a  b  c)  3(ab  bc  ca) (3) với a,b,c (a  b  c)  3(a  b  c ) (4) với a,b,c Chúng ta nói thêm ứng dụng tuyệt vời ba BĐT (2), (3) (4) phần sau Ví dụ 2: Chứng minh với a, b,c   ta có: a  b  c  abc(a  b  c) Giải: Áp dụng liên tiếp BĐT (2) ví dụ ta được: a  b  c4  (a )  (b )  (c )  a b  b 2c2  c 2a  (ab)2  (bc)  (ac)  ab.bc  ab.ac  bc.ac  abc(a  b  c) Như đề thi hỏi bạn sau: “Cho số thực a,b,c thoả mãn a  b  c  Chứng minh rằng: a  b  c4  abc ” bạn có hội cao để đạt điểm 10 rồi! (Hãy tự tin lên thế!) Ví dụ 3: Chứng minh với a, b  ta có: a  b3  a b  ab2 Giải: Ta biến đổi a  b  a b  ab  (a  b) (a  b)  , suy đpcm Nhận xét: BĐT thật đơn giản có nhiều ứng dụng với tốn khó hơn, chẳng hạn ta xét toán sau: Bài 3.1 Cho a, b,c  Chứng minh rằng: 1 1    a  b  abc b3  c3  abc a  c3  abc abc www.VNMATH.com Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Hướng giải: Ta có a  b  a b  ab  ab(a  b)  a  b3  abc  ab(a  b  c) Suy 1  a  b  abc ab(a  b  c) Cùng hai BĐT tương tự ta VT  1 1    ab(a  b  c) bc(a  b  c) ac(a  b  c) abc (đpcm) Xin đưa thêm hai hệ toán (coi tập cho bạn luyện tập) * Cho a, b,c  thoả mãn abc=1 Khi đó: 1  3  3 1 a  b 1 b  c 1 a  c 1 * Cho a, b,c  thoả mãn abc=1 Khi đó: 1   1 a  b 1 b  c 1 a  c 1 (che dấu chất hơn) Bài 3.2 Cho a,b,c không âm thoả mãn a  b  c  2012 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  4(a  b3 )  4(b  c3 )  4(a  c3 ) Hướng giải: Mới nhìn BĐT ta cảm thấy khó khăn có bậc điều quan trọng phải xử lí biểu thức dấu Bất đẳng thức a  b  a 2b  ab cho ta “manh mối” để tìm lời giải toán, áp dụng nguyên xi chưa ổn Ta biến đổi chút BĐT a  b3  a b  ab  3(a  b )  3(a 2b  ab )  4(a  b )  (a  b)3 Như ta có thu BĐT 4(a  b3 )  (a  b)3 Chắc bạn đồng ý với tơi phép biến đổi tự nhiên Bây áp dụng BĐT vừa tìm ta có P  4(a  b )  4(b3  c3 )  4(a  c3 )  (a  b)  (b  c)  (c  a)  2(a  b  c)  4024 Đẳng thức xảy a  b  c  2012 Vậy GTNN P 4024 Bài toán tổng quát: Cho a,b,c không âm thoả mãn a  b  c  k Tìm giá trị nhỏ P  m(a  b3 )  m(b  c3 )  m(a  c3 ) www.VNMATH.com Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 ( m, k số dương cho trước) Bài 3.3 Kí hiệu A,B,C ba góc tam giác Tìm giá trị lớn P sin A  sin B  sin C A B C cos  cos  cos 2 Hướng giải: Đây tốn khó, ta mị mẫm theo đầu mối nhỏ * Thứ nhất: Ta có đánh giá quen thuộc tam giác: c om C AB C sin A  sin B  2cos cos  2cos 2 * Thứ hai: Các bậc gợi ý ta nghĩ tới BĐT: a  b  4(a  b3 ) sin A  sin B  4(sin A  sin B)  4.2cos Tương tự ta có sin B  sin C  cos sin A  sin C  2.3 cos sin A  sin B  sin C  cos V N 3 M AT Cộng vế BĐT ta A C C  cos 2 H Như vậy, ta có B A B C  cos  cos 2 w Vậy P  Dấu xảy A=B=C w Do giá trị lớn P tam giác ABC w Ví dụ 4: Chứng minh với a, b,c cạnh tam giác ta có: ab  bc  ca  a  b  c  2(ab  bc  ca) Giải: BĐT bên trái chứng minh, để chứng minh BĐT bên phải ta xuất phát từ BĐT tam giác b  c  a  b  c * Nếu sử dụng b  c  a ta biến đổi sau: a  b  c  a  (b  c)  b  c  2bc  a  b  c  2bc Tương tự b2  a  c2  2ac ; c  a  b2  2ab Cộng theo vế ba BĐT ta đpcm * Nếu sử dụng a  b  c ta biến đổi sau: a  b  c  a  ab  ac , hai BĐT tương tự ta có đpcm www.VNMATH.com Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Ví dụ 5: Chứng minh với a, b, x, y   ta có BĐT sau (BĐT Mincôpxki) a  x  b  y  (a  b)  (x  y) (1) Giải: Bình phương hai vế biến đổi tương đương: a  x  b  y  (a  x )(b  y )  a  x  b  y  2ab  2xy  (a  x )(b  y )  ab  xy (*) + Nếu ab  xy  hiển nhiên (*) + Nếu ab  xy  (*)  (a  x )(b  y )  (ab  xy)  (bx  ay)  (luôn đúng) c om Vậy toán chứng minh Đẳng thức xảy bx=ay Chú ý: Có thể chứng minh BĐT cách sử dụng BĐT véc tơ đơn giản sau (khi làm thi ĐH bạn phải chứng minh BĐT trước dùng nó, lúc bạn     H chọn phương án chứng minh mà bạn cho hay dễ nhớ OK) M AT Đặt u  (a; x) v  (b; y) , u  v  (a  b; x  y)     Từ BĐT véc tơ u  v  u  v công thức độ dài véc tơ ta có đpcm .V N Nếu áp dụng hai lần BĐT (1) ta BĐT sau: a  x  b2  y  c2  z  (a  b  c)  (x  y  z) với a, b, c, x, y, z   w Nhận xét: BĐT Mincơpxki có nhiều ứng dụng hay giải nhiều w BĐT hóc búa Xin minh hoạ điều qua toán sau đây: w Bài 5.1 Cho a,b không âm thoả mãn a  b  a) Chứng minh rằng:  a   b  b) Tìm giá trị nhỏ P  a  1  b2  2 b a Hướng giải: a) Ta có  a   b2  (1  1)  (a  b)2  Đẳng thức xảy a  b  2 1 1 1   b) Ta có P  a   b2   (a  b)2      (a  b)     17 b a a b ab www.VNMATH.com Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Đẳng thức xảy a  b  Vậy GTNN P 17 Bài 5.2 Cho x,y,z dương thoả mãn x  y  z  Chứng minh rằng: x2  1  y   z   82 x y z Hướng giải: Áp dụng BĐT Mincôpxki ta P  x2  1 1 1  y   z   (x  y  z)      x y z x y z 2    (x  y  z)     82 (*)  x yz  c om H Dấu xảy x  y  z  82 Tuy nhiên nhiều M AT Với giả thiết x  y  z  ta thay trực tiếp vào (*) kết đề lại cho giả thiết khó nhiều, dấu xảy x  y  z  Chứng minh rằng: V N Chẳng hạn đề ĐH khối A năm 2003: Cho x,y,z dương thoả mãn x  y  z  x2  1  y   z   82 x y z w Với tốn ta khơng thể thay x  y  z  để kết Đứng w trước tình ta có hai hướng giải w Hướng 1: Đặt t  (x  y  z)   t  Ta có P  t  Ta “tách khéo” để dùng BĐT Côsi: t  81   80 80   t     t   82  P  82 t  t t t Hướng 2: Vẫn đặt t  (x  y  z) xét hàm f (t)  t  Ta có f '(t)   81 t 81 ;  t  t 81 t  81   t   0;1 , suy hàm f(t) nghịch biến  0;1 t2 t2 Do f (t)  f (1)  82  P  82 Hướng giải thứ hai đề cập phần sau chuyên đề www.VNMATH.com Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Bài 5.3 Cho x,y,z dương thoả mãn x  y  z  Tìm giá trị nhỏ P  223  x  223  y  223  z Hướng giải: Ta có P  ( 223)2  x  ( 223)2  y  ( 223)2  z  (3 223)  (x  y  z)  2012 Đẳng thức xảy x  y  z  Vậy GTNN P 2012 Có lẽ khơng phải nói thêm bạn thấy vẻ đẹp sức mạnh c om BĐT Mincôpxki Nhưng nhắc lại phải chứng minh lại BĐT trước áp dụng nhé! Bài tập tự luyện a3  b  a  b   b)    ( a  b  0) .V N Bài Chứng minh rằng: M AT a) a2  b2  c2  d2  e2  a(b  c  d  e ) H Bài Chứng minh rằng: a, b, c, d, e  R, ta có: a) ( a5  b5 )( a  b )  ( a4  b )( a2  b ), a, b : ab  1   , a, b  1  a2  b2  ab w b) w Bài Cho  ABC Chứng minh rằng: w a) a(b  c)2  b( c  a)2  c( a  b )2  a3  b3  c3 b) a2  b2  c2  2(ab  bc  ca) Bài Chứng minh rằng: a) (a  c)(b  d)  ab  cd , a,b,c,d  b) (a  c)2  (b  d)2  a  b  c  d , a,b,c,d  R c)  1  1 b     (c  a)  (c  a)    c a b c a d) b c a a b c      a b c b c a  abc0  abc0 www.VNMATH.com Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Bài Cho a, b > 0: a + b = Chứng minh ab  a a b b Bài Cho hai số thực a ,b thoả mãn a + b ≥ Chứng minh : a4 + b4 ≥ a3 + b3 Bài Cho ba số a ,b ,c  [0;1] Chứng minh : a + b + c – ab – bc – ca  Bài Cho a,b,c thoả mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 1 a b c  b  c  3 a  b  c  a 3 3 3  Bài Cho a,b,c dương Chứng minh rằng: c om a  ab  b  b  bc  c  a  ac  c  a  b  c II PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI ab  ab Đẳng thức xảy a=b M AT a) Cho a  0, b  Khi H Bất đẳng thức Côsi a bc  abc Đẳng thức xảy a=b=c ab V N b) Cho a  0, b  0, c  Khi a bc a  b  c  abc ; abc      3 w w Các dạng tương đương là: a  b  ab ; ab      w c) Tổng quát: Cho n số thực không âm a1 , a , , a n ( n  2) Khi ta có a1  a   a n  n n a1a a n Đẳng thức xảy a1  a   a n Chú ý: Với thi ĐH- CĐ thông thường cần áp dụng BĐT Côsi với số Một số ví dụ Ví dụ 1: Chứng minh rằng: a) a b   a, b  b a b) a b   a, b  b a www.VNMATH.com Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Giải a) áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta có: a b a b    (đpcm) b a b a Dấu xảy a=b b) Ta áp dụng BĐT Cơsi có điều kiện a, b  Biến đổi tương đương BĐT cách bình phương hai vế: a b a b2 a b  2   4  2 b a b a b a Đến theo BĐT cơsi BĐT sau đúng, ta có đpcm Cũng thấy c om Chú ý dấu xảy a  b a b dấu nên ta có b a M AT H a b a b     (lúc lại áp dụng BĐT Cơsi được) b a b a Ví dụ 2: Cho a,b,c dương Chứng minh rằng: 1 (1)   a b ab b) 1    a b c abc V N a) 1  (2) 1 Giải a) Nếu viết lại BĐT cần chứng minh dạng (a  b)     hướng giải a b  w w w rõ ràng Thật vậy, áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta 1  1 Suy (a  b)     ab a b  a  b  ab 1  2 a b ab  Dấu “=” xảy a=b ab b) Hoàn toàn tương tự với phần a) cách áp dụng BĐT Côsi với số Nhận xét: Hai BĐT ví dụ có nhiều ứng dụng đường sáng tạo vơ vàn BĐT hay Có thể nói phần lớn BĐT đề thi ĐH- CĐ có gốc tích hai BĐT Nói áp dụng hay hai BĐT nhiều vơ kể tốn bao giấy mực, tơi xin dẫn chứng vài tốn điển hình Bài 2.1 Cho a,b,c dương Chứng minh rằng: 10 www.VNMATH.com Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Bài giải Ta có x2 1 y x2  y   x 2 1 y 1 y Cùng hai BĐT tương tự ta  x2  y   y2  z   z2 1 x         xyz    y z x        x2 y2 z2 3(x  y  z) 3 3      3.3 xyz      1 y 1 z 1 x 4 4 4 Bài 17: (Dự bị A– 2006) Cho x,y,z dương thoả mãn (đpcm)  x   y  z  9x 9y 9z 3x  y  z   y  z yz zx xy 3 3 3 (1) x Bài giải Đặt Ta có : a  x , b  y , c  z (a, b, c  0)  x   y  z   1     ab  bc  c a  abc a b c BĐT cần chứng minh trở thành:  Ta có: a2 b2 c2 a b c    a  bc b  ca c  ab a3 b3 c3 abc    a  abc b  abc c  abc a  abc  a  ab  bc  ca  (a  b)(a  c) Tương tự b  abc  (b  a)(b  c) Do (2)  (2) (do ab  bc  ca  abc ) c  abc  (c  a)(c  b) a3 b3 c3 a b c    (a  b)(a  c) (b  a)(b  c) (c  a)(c  b) Áp dụng BĐT Cô si cho ba số dương ta có a3 a b a c a3  3    a (a  b)(a  c) 8 64 Tương tự (*) b3 b c b a b3    3  b (b  c)(b  a) 8 64 c3 c a c b c3    3  c (c  a)(c  b) 8 64 38 (3) Chứng minh rằng: www.VNMATH.com Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Cộng vế ba BĐT ta được: a3 b3 c3 3(a  b  c)    (a  b  c)  (a  b)(a  c) (b  a)(b  c) (c  a)(c  b)  a3 b3 c3 a b c    (a  b)(a  c) (b  a)(b  c) (c  a)(c  b) , suy (3) chứng minh Bài toán chứng minh hoàn toàn Bài 18: (Khối A – 2007) Cho x, y, z số thực dương thoả mãn xyz=1 Tìm giá trị nhỏ P  x2 ( y  z) y ( z  x) z ( x  y)   y y  2z z z z  2x x x x  y y Bài giải * Giả thiết “xyz=1” thường có nhiều kỹ thuật “xử lí ” tinh tế, việc dùng cịn phụ thuộc vào tốn Trong tốn có liên hệ nhỏ tử mẫu, cụ thể ta thực lời giải sau: Ta có x (y  z)  x y  x z  x yz  2x x Tương tự  P y (z  x)  2y y 2x x y y  2z z  2y y z z  2x x (do xyz=1) z (x  y)  2z z  2z z x x  2y y * Đến tử mẫu “gần gũi” Để toán đơn giản ta thực phép đổi biến “không làm thay đổi giả thiết” sau: a  x x;b  y y;c  z z , abc=1 Lúc P  2a 2b 2c   b  2c c  2a a  2b * Các bạn chứng minh BĐT sau (rất quan trọng đấy, nhiều áp dụng hay) a b c    mb  nc mc  na ma  nb m  n (với a,b,c dương; m,n số dương cho trước) * Áp dụng BĐT ta có P  (cũng chẳng cần đến abc=1 nữa) Dấu xảy x=y=z=1 Vậy GTNN P Bài 19: (Khối B – 2007) Cho x, y, z số dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ x 2 biểu thức P  x    y  z    y     z  39  yz   zx   xy  www.VNMATH.com Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Bài giải Ta có Mà  P x2 y z2 x2  y2  z2    2 xyz x2  y  z  x2  y2 y  z z2  x2    xy  yz  zx 2 x  y  z xy  yz  zx 1     xyz xyz x y z  P x2 y z2 1  x2   y   z               2 x y z  x  y  z Ý tưởng dùng hàm số lại đến tự nhiên Xét hàm số f (t )  t2  t với t >0 Lập bảng biến thiên ta  f / (t )  t  f (t )  Dấu xảy , t  x  y  z  1   t 1 t2 Suy P Vậy GTNN P băng Bài 20: (Khối D- 2007) Cho a  b  Chứng minh b  a 1  b 1 2  a   2  b      a Bài giải Bất đẳng thức cho tương đương với b 1    1   a b a Xét hàm số f (x)    ln  4a a  ln  x x   ln 1   b b  với x>0 Ta có: f '(x)  Suy f(x) nghịch biến (0; ) 40  x ln x  (1  x ) ln  x x x (1  )  0 www.VNMATH.com Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Do f(x) nghịch biến (0; ) a  b  nên f (a)  f (b) ta có điều phải chứng minh Bài 21: (Khối B- 2008) Cho hai số thực x,y thay đổi thoả mãn hệ thức x  y  Tìm GTLN, GTNN P  2(x  6xy)  2xy  2y Bài giải Ta có P  2(x  6xy) 2(x  6xy)   2xy  2y x  y  2xy  2y * Nếu y=0 x   P   x   x         y   y   2t  12t * Nếu y  P    t  2t  x x  y   2 y       Đến dùng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai dùng đạo hàm cách khảo sát hàm số f (t)  2t  12t , với t   t  2t  Ta tìm Pmax   x  3 ,y  x   ,y   10 10 10 10 Pmin  6  x  3 ,y   x   ,y  13 13 13 13 Bài 22: Khối D- 2008) Cho hai số thực khơng âm x,y thay đổi Tìm GTLN, GTNN P (x  y)(1  xy) (1  x)2 (1  y)2 Bài giải Ta áp dụng BĐT sau: (a  b)  4ab Ta có P  (x  y)(1  xy) (x  y)(1  xy) 1   Suy   P  2 4 (1  x) (1  y)  (x  y)  (1  xy) 41 www.VNMATH.com Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Khi x=0, y=1 P   Khi x=1, y=0 P  Vậy GTNN P  , GTLN P Bài 23 (Dự bị A- 2007): Cho x,y,z dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức  x y z  P  4(x  y )  4(y3  z3 )  4(z  x )      z x  y Bài giải Ta có 4(a  b3 )  (a  b)3 a, b  nên 4(a  b3 )  a  b Áp dụng BĐT ta  x  y z  x y z  P  (x  y)  (y  z)  (x  z)        x  y  z     x  y z x  y z  Đến ta dùng BĐT côsi cho số ta P  2.6 x.y.z x y z  12 y2 z x Đẳng thức xảy x=y=z=1 Vậy GTNN P 12 Bài 24: Cho x,y,z dương Chứng minh P yz x  4(y3  z3 )  xz y  4(x  z3 )  xy z  4(x  y3 ) 2 Bài giải yz Ta có x  4(y3  z3 )  x  y  z , suy 3  x  4(y  z ) yz xyz Cùng hai BĐT tương tự ta đpcm 3   Bài 25: Cho a,b,c dương thoả mãn điều kiện a  b  c  1   Tìm giá trị nhỏ abc  P a 3b b3 c c3 a    ab  bc  ca 42 www.VNMATH.com Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Bài giải Biến đổi P  (a  b  c) b2 c2 (a  b  c) =    1 a bc   b c  a (a  b  c)  (a  b  c) 1   ab bc ca abc abc   a2 Theo giả thiết ta có  (a  b  c)  (a  b  c) , suy P   abc (a  b  c) (a  b  c) Dấu xảy a  b  c   2a  a    (a  1)(2a  a  a  1)   a  1  1  abc  (a  b  c) Vậy GTNN P a  b  c  Bài 26 (ĐH KB-2009) Cho số thực x, y thay đổi thoả mãn (x + y)3 + 4xy ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = 3(x4 + y4 + x2 y2) – 2(x2 + y2) + Bài giải Cái hay khó tốn giả thiết (x + y)3 + 4xy ≥ (1) Biểu thức A chứa số hạng x2 + y2 x2 y2 Điều cho ta nghĩ tới việc đánh giá tổng x+y qua đánh giá tổng bình phương x2 + y2 Cụ thể ta biến đổi giả thiết (1) sau: Ta có (x  y)3  (x  y)2  (x  y)3  4xy   (x  y)  (x  y)    x  y  Suy x  y2  (x  y)2  Ta biến đổi A sau: 2  (x  y )  2 A  (x  y )  x y   2(x  y )    (x  y )    2(x  y )     (x  y )  2(x  y )  Đặt t = x2 + y2 t ≥ 9 Xét hàm f (t)  t  2t  1, t  ta tìm f (t)  t  16 43 www.VNMATH.com Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Vậy A  x  y  16 Bài 27 (ĐH KD-2009) Cho số thực không âm x, y thay đổi thỏa mãn x + y = Tìm GTLN, GTNN P = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy Bài giải Trước hết ta biến đổi P theo tích xy Ta có P= (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy = 16x2 y2 + 12(x3 + y3) + 34xy = 16x2 y2 + 12[(x + y)3 – 3xy(x + y)] + 34xy = 16x2 y2 + 12(1 – 3xy) + 34xy = 16x2 y2 – 2xy + 12 Đặt t = x.y, x, y  x + y = nên  t  Khi S = 16t2 – 2t + 12  1 Xét hàm f(t)=16t2 – 2t + 12 với t  0;  , ta tìm min, max hàm f(t)  4 25 Đáp số toán là: Max P = x = y = 2   2 2  x   x  191 4 hay  Min P =  16 y   y     4 Bài 28 (ĐH KA-2009): Chứng minh với số thực dương x, y, z thỏa mãn x(x + y + z) = 3yz, ta có  x  y   x  z 3   x  y  x  z  y  z    y  z  Bài giải Từ giả thiết ta có (x+y)(x+z)=4yz Do BĐT tương đương với (x  y)  (x  z)  12yz(y  z)  5(y  z)3 (1) Mặt khác 3(y  z)  4x  4(y  z)x  3(y  z)   (2x  y  z)  2x  3(y  z)    2x  y  z  8x  (y  z)3 x  (y  z)x  3yz  Áp dụng BĐT bản: (x  y)3  4(x3  y3 ) ta VT(1)  4(x  y3 )  4(x  z )  12yz(y  z)  8x  4(y  z)3  5(y  z)3 (đpcm) Dấu đẳng thức xảy x=y=z 44 www.VNMATH.com Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Bài 29 (ĐH KB-2010) Cho a,b,c khơng âm thỏa mãn a+b+c=1 Tìm GTNN của: P  3(a 2b2  b2c  c a )  3(ab  bc  ca)  a  b  c Bài giải Ta biến đổi P theo hàm số biến t=ab+bc+ca Ta có BĐT 3( a 2b  b 2c  c a )  (ab  bc  ca )  t Suy P  t  3t   2t Mặt khác ( a  b  c)  3( ab  bc  ca ) suy  t  (2t  3)  2t  ; f '(t )   (2t  3)  2t  (1) Ta có f '(t )  2t     2t  2t Đặt u   2t  u  , pt (1) trở thành: u  4u   (2) Dễ chứng minh u  4u   với  u  , (2) vơ nghiệm, tức (1) vơ nghiệm Từ suy f '(t )  với  t  Do f (t )  f (0)  Vậy minP=2 chẳng hạn a=b=0 c=1 Xét hàm f (t )  t  3t   2t với  t  Bài 30 (ĐH KD-2010) Tìm giá trị nhỏ hàm số f ( x)   x  x  21   x  3x  10 Bài giải Tập xác định hàm số D   2;5 Ta có f '( x)  2 x  2  x  x  21  2 x   x  x  10 , với x  (2;5) f '( x)   (2 x  4)  x  3x  10  (2 x  3)  x  x  21 Suy ( 2 x  4) ( x  x  10)  (2 x  3)2 (  x  x  21) (1) 81  x  51 Khai triển ta 51x  104 x  29    x   Thử lại có x  nghiệm (1) 200  98 1 Lập bảng biến thiên hàm số f(x) suy m inf(x)  f    3 Các đề thi năm 2011, 2012, 2013 bạn tham khảo đề-đáp án giáo dục http://www.thituyensinh.vn 45 www.VNMATH.com Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Trên cách tiếp cận với phương pháp cách học BĐT mà muốn giới thiệu với bạn, đặc biệt em học sinh lớp 12 chuẩn bị thi ĐH- CĐ Còn số chuyên đề sâu tiếp tục gửi tới bạn sau Hy vọng chút kiến thức giúp em học sinh 12 đạt kết cao kỳ thi ĐH tới Chúc em thành công Mọi thắc mắc hay chia sẻ liên hệ với theo địa Email: lexuandaicvp@gmail.com; SĐT: 0912960417 46 www.VNMATH.com Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 MỘT SỐ BÀI TẬP CHO CÁC BẠN LUYỆN TẬP 1 Cho a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=1 Tìm GTNN P  a  b  c3 Cho a,b,c không âm thỏa mãn: a+b+c=1 Chứng minh rằng: ab  bc  ca  2abc  27 x z y x y z      z y x y z x Cho x  y  z  Chứng minh rằng: Cho a>b>c>0 Chứng minh rằng: a b  b 3c  c3 a  a b  b c3  c a Cho x,y,z dương Chứng minh rằng: (x  y  z )  xyz(x  y  z)  xy(x  y )  yz(y  z )  xz(x  z ) 2 Cho x,y,z không âm thỏa mãn x  y  z  Chứng minh rằng: 6(y  z  x)  27xyz  10 Cho a,b,c dương k>0 cho trước Tìm GTNN P ab bc ac kabc    c a b (a  b)(b  c)(a  c) Cho x,y,z dương thỏa mãn (x  y  z)  32xyz Tìm GTLN, GTNN x  y4  z P (x  y  z) 4 Cho dãy u n   n  20n  0,5n  13n n  Tìm số hạng lớn dãy tính số hạng 10 Cho x,y số tự nhiên Tìm GTLN hàm số f (x, y)  1  x  y  (x  1)(y  1) 11 Cho a, b, c ba số thực dương Chứng minh bất đẳng thức: a b c   2 bc ca ab 12 Cho ba số dương a, b, c thỏa a + b + c  Chứng minh : 1 1    a  bc b  ca c  ab abc 13 Cho ba số dương a, b, c thỏa: 1    Chứng minh bất đẳng thức: a b c 1   1 a  3b b  3c c  3a 47 www.VNMATH.com Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 14 Xét số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  x (y  z) y (z  x) z (x  y)   yz zx xz 15 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y   x4   x2   x2  x2   x2  16 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  1  x   x 17 Cho x, y, z số thực thuộc đoạn [0; 1] thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = x2 + y2 + z2 18 Cho x, y, z số thực thỏa mãn x2 + y2 + z2 = Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức: P = x3 + y3 + z3  3xyz 19 Cho hai số thực x, y thay đổi thoả mãn điều kiện x  y  11 Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  x  xy 20 Cho hai số thực x, y thay đổi thoả mãn x  y  Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  x3  y  3xy 21 Cho x, y hai số thực thay đổi thoả mãn điều kiện: x  y  x  y Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A  x3  y 22 Cho x, y hai số thực thay đổi thoả mãn điều kiện: x  y  x  y  Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A  x  y 23 Cho ba số thực dương x, y, z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x y z yz zx x y      y z zx x y x y z 24 Cho số thực x, y, z thuộc khoảng (0; 1) thỏa mãn: xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T  xyz (1  x )(1  y )(1  z ) 25 Cho số thực dương x, y thỏa mãn: 1   Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x y A  x3  y  x( y  6)  y( x  6) 26 Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z  Tìm giá trị lớn biểu thức: P = xy + yz + zx  2xyz 27 Cho số thực dương x, y, z Chứng minh: x3  y y  z z  x3    x yz xy  x yz  y zx  z 28 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn: a.b.c = Tìm giá trị lớn biểu thức: 48 www.VNMATH.com Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 T ab bc ca   a  b  ab b  c  bc c  a  ca 29 Cho hai số thực x, y khác không, thỏa mãn: x y    Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ y x y x biểu thức: T  x  y  x  y 30 Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị lớn biểu thức: T  x  x 1  y  y 1  z  z 1 31 Cho số thực không âm x, y, z thoả mãn x  y  z  Tìm giá trị lớn biểu thức A  xy  yz  zx  32 x yz x Cho x,y  R x, y > Tìm giá trị nhỏ P   y3    x2  y  ( x  1)( y  1) 33 Cho x, y, z số thực dương lớn thoả mãn điều kiện xy + yz + zx  2xyz Tìm giá trị lớn biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1) 1 1 34 Chứng minh:  x  y  z       12 với số thực x , y , z thuộc đoạn 1;3 x y z 35 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a3 b3 c3   1 a  ab  b b  bc  c c  ca  a Tìm giá trị lớn biểu thức S = a + b + c 36 Cho x, y hai số dương thay đổi thoả điều kiện 4(x + y) – = Tìm giá trị nhỏ biểu thức S =  x 4y 37 Chứng minh rằng: e x  cos x   x  x2 , x  R 38 Cho a, b, c cạnh tam giác có chu vi Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P ( a  b  c )3 (b  c  a )3 (c  a  b)3   3c 3a 3b 39 Cho ba số thực a, b, c thoả mãn abc= 2 Chứng minh rằng: a6  b6 b6  c6 c6  a6 4   a  b  a 2b b  c  b c c  a  c a 40 Cho a,b,c ba số thực dương tùy ý thoả mãn a+b+c = Tìm giá trị lớn biểu thức : P ab bc ca   2c  ab 2a  bc 2b  ca 49 www.VNMATH.com Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 41 Cho x, y, z số dương thỏa mãn x  y  z  xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  2 2 x y z 42 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y   8cos x  12 cos x 1  2cos x  2 x  2 x 43 Tìm GTLN f ( x)  x  1 x 44 Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị lớn biểu thức P 2 a b c 2   a  1 b  1 c  1 45 Cho a,b,c dương thoả mãn a  b  c  CMR: 1 2( a  b  c3 )     a2 b2 c2 abc 46 Cho x,y,z dương thoả mãn x  y  z  Tìm GTNN biểu thức P 4x y 2  y  x  2    4y z 2  z  y  2    4z x 2  x3  z  2   47 Cho a,b,c dương thoả mãn a 2b  b 2c  c a  3a 2b 2c Tìm GTLN biểu thức 2009bc  2011a 2c  a 2007(b  c)  2009bc  2011a 2b a bc P 48 Cho x,y,z không âm Tìm GTLN P  1  x  y  z  (1  x)(1  y)(1  z ) 49 Cho x, y, z số thực dương, thoả mãn x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x3 y3 z3   y(2 z  x) z (2 x  y ) x(2 y  z ) 50 Cho ba số dương a,b,c có tổng Chứng minh a3  b3 b3  c c  a3    2 3a  ab  11b 3b  4bc  11c 3c  4ca  11a 51 Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn a  b  c  P Tìm giá trị lớn biểu thức:  a  b  b  c    b  c  a  c    a  c  a  b   a  b  b  c   a  c  b  c  a  c   a  b  a  c  a  b   b  c 52 Cho x > 0, y > thỏa mãn x y  xy  x  y  xy Tìm giá trị nhỏ biểu thức 50 www.VNMATH.com Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 P  x2  y  (1  xy )  xy 53 Cho x, y, z  thoả mãn x  y  z  Tìm giá trị nhỏ P  54 Chứng minh a2 b2 c2    ab bc ca  x  y  16 z  x  y  z  ab  bc  ca  a  b  c với số dương a; b; c 55 Cho a,b, c dương a2+b2+c2=3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức a3 P b2   b3 c2   c3 a2  56 Cho x, y, z số thực dương lớn thoả mãn điều kiện 1   2 x y z Tìm giá trị lớn biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1) 57 Cho a, b, c > Chứng minh rằng: 1 a b c    3(a  b  c)(   ) b c a a b c 58 Tìm GTLN hàm số f ( x)  sin 2 x 4 x 2 x  cos  2sin 2 1 4x 3(1  x ) 3(1  x ) 59 Cho x, y, z, t, s số thực thay đổi thỏa mãn  x  y  z  t  s x  y  z  t  s  Tìm giá trị lớn biểu thức P  x( yz  ys  zt  ts )  zt ( y  s  x) 60 Cho x, y, z  x  y  z  T ìm giá trị lớn biểu thức: E  x  y  y  3z  z  3x 61 Cho ba số thực a, b, c thuộc khoảng  0;  thoả mãn: ab  bc  ca  abc  Chứng minh rằng:  a   b2   c  3 62 Cho số thực x, y thỏa mãn : x  y  x   y   Tìm GTLN, GTNN F = 2(1  xy x  y ) x y ( x  y )  ( y  x)  2 x y 63 Cho số thực x, y thỏa mãn : x  y  Tìm GTLN, GTNN P ( x  1)  y ( x  y  1) x  2( y  1) 2 64 Tùy theo tham số m, tìm giá trị nhỏ biểu thức P= ( x  y  1)  (2 x  my  3) Với x, y   51 www.VNMATH.com Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 65 Cho số thực không âm x,y thỏa mãn x2 + y2 + xy = Tìm giá trị lớn , nhỏ biểu thức P = x3 + y3 – ( x2 + y2) 66 Cho a, b, c, d số thực không âm, khác đôi một, thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = Chứng minh 1    2 ( a  b) (b  c) (c  a ) 67 Với a, b, c số thực dương, chứng minh a b c    2 b  3c  5bc c  3a  5ca a  3b  5ab a  b  c 68 Với x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = xyz, chứng minh 1 x  1 y  1 z  69 Cho số thực không âm a, b.Chứng minh rằng: ( a2 + b + 3 1 ) ( b2 + a + )  ( 2a + ) ( 2b + ) 4 2 70 Cho số thực dương x,y,z Chứng minh rằng: x  xy y  yz z  zx   0 x y yz zx 71 Cho số dương x, y, z thỏa mãn xyz + x + y – z = Tìm giá trị lớn biểu thức: P=   x 1 y 1 z 1 72 Xét tam thức bậc hai f(x) = a x2 + bx + c, a < b f(x)  với x  R Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức M = abc ba 73 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện : ab + bc + ca = 2abc Chứng minh rằng: 74 Biết x 1  y   1 1    2 2 a (2a  1) b(2b  1) c(2c  1) 1 x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức M =  x  y 1 75 Các số dương a,b,c thỏa mãn abc = 1.Chứng minh rằng: 1     2(a  b  c) a b c 76 Cho ba số không âm a, b, c thỏa mãn: a + b + c = Chứng minh rằng: a + b2 + c2 + 12abc  77 Cho x, y số dương thỏa mãn M= 1    Tìm giá trị lớn biểu thức: xy x y 3y 3x 1    2 x( y  1) y ( x  1) x  y x y 52 ... dụng BĐT Côsi với số Nhận xét: Hai BĐT ví dụ có nhiều ứng dụng đường sáng tạo BĐT hay Có thể nói phần lớn BĐT đề thi ĐH- CĐ có gốc tích hai BĐT Nói áp dụng hay hai BĐT nhiều vơ kể khơng biết tốn... toán thể rõ PP sử dụng đạo hàm toán BĐT 23 www .VNMATH. com Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Các dạng toán Trong đề thi vào ĐH- CĐ thường xuất hai dạng toán sau:... không bạn, tinh ý thêm chút thơi bạn tìm kết tổng quát niềm tin để vượt qua BĐT đề thi ĐH hoàn toàn khả thi Cụ thể với ba số thực a,b,c ta có a  b2  2ab ; b  c2  2bc a  c  2ac Cộng vế BĐT