KỲ THI THỬ TUYỂN SINH QUỐC GIA NĂM 2016 Môn: Toán (ĐỀ VIP 4) Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thi soạn theo cấu trúc 2016!(Kèm đáp án) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y  2x  , gọi đồ thị (C) x 1 a)Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số b)Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): x  y  2015  x Câu II (1 điểm) Giải phương trình: 2sin    cos5x  2 Câu III (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số : f ( x)  x (5  x)3 đoạn  0;5 Câu IV (1 điểm) ) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a Góc BAC  600 ,hình chiếu S mặt  ABCD  trùng với trọng tâm tam giác ABC Mặt phẳng SAC  hợp với mặt phẳng  ABCD  góc 600 Tính thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SCD  theo a Câu V (1 điểm) ) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng  P  : x  y  z   điểm A(1, 1, 2) Viết phương trình đường thẳng  qua A vuông góc với ( P) Tính bán kính mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng  , qua A tiếp xúc với ( P) Câu VI (1 điểm )1 Giải phương trình sau : log (2 x  1)  log (2 x  1)3   2.Một đội ngũ cán khoa học gồm nhà toán học nam , nhà vật lý nữ nhà hóa học nữ, Chọn từ người, tính xác suất người chọn phải có nữ có đủ ba môn Câu VII (1 điểm)Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác nhọn ABC Đường thẳng chứa đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A đường thẳng BC có phương trình x  y   0, x  y   Đường thẳng qua A vuông góc với đường thẳng BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm thứ hai D  4; 2  Viết phương trình đường thẳng AB, AC; biết hoành độ điểm B không lớn 2 y  y  x  x   x Câu VIII (1 điểm) Giải hệ phương trình:  (x , y  ) 2   y  x  y  Câu IX (1 điểm) Cho số thực a,b,c thỏa mãn a  b  c a  b  c  Chứng minh rằng: (a  b)(b  c)(c  a)(ab  bc  ca)   CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG ! Hướng dẫn Câu I: 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) +Tập xác định D  \ 1 +Sự biến thiên  Chiều biến thiên: y '   x  1  x  1 Hàm số đồng biến khoảng  ; 1  1;    Cực trị : Hàm số cực trị  Giới hạn vô cực tiệm cận: 2x 1  ,đường thẳng y  tiệm cận ngang x  x  x  2x 1 2x 1 lim  ; lim   , đường thẳng x  1 tiệm cận đứng x 1 x  x 1 x  lim y  lim  Bảng biến thiên : x y' y -  + -1 || + +  ||  2 +Đồ thị:Đồ thị hàm số cắt trục Ox điểm A  ;   Đồ thị hàm số cắt trục Oy điểm B  0; 1 Đồ thị hàm số nhận giao điểm tiệm cận I  1;  làm tâm đối xứng ( Đồ thị ) 2, Viết phương trình tiếp tuyến Gọi k hệ số góc tiếp tuyến điểm M ( x0 ; y0 ) ta có : k  f ' ( x0 )  ( x0  1)2 Lại có k     1  k   3 hay  x0  3  ( x0  1)  x0  2 Với x0   y0  1 Vậy phương trình tiếp tuyến : y  3x  Với x0  2  y0  Vậy phương trình tiếp tuyến : y  3x  11 Câu II: x 2sin     cos5x  cosx  cos5x 2  cos  x   cos    5x   k  x     x    x  k 2 nghiệm phương trình   x  x    k    x    k  Câu III: f(x) = x (5  x)3 hàm số liên tục đoạn [0; 5] f(x)  x(5  x)3/ x  (0;5) 5  x (5  x) f’(x) =  x  5; x  Ta có : f(2) = , f(0) = f(5) = f ’(x) = Vậy Max f(x) = f(2) = , Min f(x) = f(0) = x[0;5] x[0;5] Câu IV S E A D H O B C Nội dung * Gọi O  AC  BD Ta có : OB  AC , SO  AC  SOB  600 Xét tam giác SOH vuông H : tan 600  SH a a  SH  OH tan 600  3 HO Ta có : tam giác ABC : S ABCD  2.S ABC  a2 a a a3  (đvtt) 2 12 Vậy VSABCD  SH S ABCD  Điểm 0.25 0.25 0.25 0.25 * Tính khỏang cách Trong ( SBD) kẻ OE SH ta có : OC; OD; OE đôi vuông góc Và : a a 3a OC  ; OD  ; OE  2 Áp dụng công thức : 0.5 1 1 3a    d  2 d (O, SCD ) OC OD OE 112 0.5 6a Mà d  B, SCD   2d  O, SCD   112 Câu V   Do  vuông góc với ( P) nên  có VTPT u  nP  (1, 1,1) x  1 t Phương trình đường thẳng  qua A(1, 1, 2) là:  y  1  t z   t  Gọi tâm I    I (1  t , 1  t ,2  t ) Lúc R  IA  d ( I ,( P))  3t  Vậy R  Câu VI a) log (2 x  1)  log (2 x  1)3   2 PT  8log (2 x  1)  log3 (2 x  1)   Điều kiện : x   log3 (2 x  1)   log (2 x  1)  3log (2 x  1)     log (2 x  1)     x2   1 x  nghiệm phương trình cho b) Tính xác suất Ta có :   C164  1820 Gọi A= “ 2nam toán ,1 lý nữ, hóa nữ” B= “ nam toán , lý nữ , hóa nữ “ C= “ nam toán , lý nữ , hóa nữ “ Thì H= A  B  C = ” Có nữ đủ ba môn “ P( H )  C82 C51C31  C81C52C31  C81C51C32   Câu VII  3t t  A H B K C M D Nội dung Điểm Gọi M trung điểm BC, H trực tâm tam giácABC, K giao điểm  BC AD, E giao điểm BH AC Ta kí hiệu nd , ud vtpt, vtcp đường thẳng d Do M giao điểm AM BC nên tọa độ M nghiệm hệ phương trình: 0,5   x  x  y   7 1   M  ;    2 3 x  y   y      AD vuông góc với BC nên nAD  u BC  1;1 , mà AD qua điểm D suy phương trình AD :1 x    1 y     x  y   Do A giao điểm AD AM nên tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình 0,5 3 x  y   x    A 1;1  x  y   y 1 Tọa độ điểm K nghiệm hệ phương trình: x  y   x    K  3;  1  x  y    y  1 Tứ giác HKCE nội tiếp nên BHK  KCE , mà KCE  BDA (nội tiếp chắn cung AB ) Suy BHK  BDK , K trung điểm HD nên H  2;  (Nếu học sinh thừa nhận H đối xứng với D qua BC mà không chứng minh, trừ 0.25 điểm) Do B thuộc BC  B  t ; t   , kết hợp với M trung điểm BC suy C   t ;3  t    HB (t  2; t  8); AC (6  t ;  t ) Do H trực tâm tam giác ABC nên   t  HB AC    t    t    t    t     t  14  2t     t  Do t   t   B  2; 2  , C  5;1 Ta có     AB  1; 3 , AC   4;0   nAB   3;1 , nAC   0;1 Suy AB : x  y   0; AC : y   0,25 0,25 0,25 0,25 Câu VIII Nội dung Điểm 3 Điều kiện: x  1; y    ;  Ta có  2 0.25 (1)  y  y   x  x  x   x 0.25  y  y  2(1  x)  x   x Xét hàm số f (t )  2t  t , ta có f '(t )  6t   0, t   f (t ) đồng biến 0.25 y  Vậy (1)  f ( y )  f (  x )  y   x    y  1 x Thế vào (2) ta : x   2x2  6x 1 Pt  x   x  12 x    x   1   x    x   x  3(vn)  x   1 2x  0.25  x     x   2(l )    x    0.5 0.5  y42 Với x     Vậy hệ có hai nghiệm  y   Câu IX Nội dung Điểm (a  b)(b  c)(c  a)(ab  bc  ca)    (a  b)(b  c)(a  c)(ab  bc  ca)  (*) 0.25 Đặt vế trái (*) P Nếu ab + bc + ca < P  suy BĐT chứng minh Nếu ab + bc + ca  , đặt ab + bc + ca = x  0.25 Ta có a  b  b  c  (a  c) (a-b)(b-c)       (a  c)3 (1)  (a - b)(b - c)(a - c)  Ta có : 4(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) = 2(a - c)2 + 2(a - b)2 + 2(b - c)2 2 2  2(a - c) + [(a - b) + (b - c)] = 2(a - c) + (a - c) = 3(a - c) 0.25 0.25 Suy 4(5 - x)  3(a - c)2 ,từ ta có x  a  c  (5  x) (2) 3 Từ (1) , (2) suy P  x  (5  x)  = x (5  x)3 (3) 3  Theo câu a ta có: f(x) = x (5  x)3  với x thuộc đoạn [0; 5] nên suy P   P  Vậy (*) chứng minh Dấu xảy a = 2; b = 1; c = 1.0 ... đủ ba môn “ P( H )  C82 C51C31  C81C52C31  C81C51C32   Câu VII  3t t  A H B K C M D N i dung i m G i M trung i m BC, H trực tâm tam giácABC, K giao i m  BC AD, E giao i m BH...Hướng dẫn Câu I: 1) Khảo sát biến thi n vẽ đồ thị hàm số (C) +Tập xác định D  1 +Sự biến thi n  Chiều biến thi n: y '   x  1  x  1 Hàm số đồng biến khoảng  ; 1 ... Gi i hạn vô cực tiệm cận: 2x 1  ,đường thẳng y  tiệm cận ngang x  x  x  2x 1 2x 1 lim  ; lim   , đường thẳng x  1 tiệm cận đứng x 1 x  x 1 x  lim y  lim  Bảng biến