SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG TRƯỜNG THPT ĐOÀN THƯỢNG ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN NĂM 2016 MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút) Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − x (1) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến của (C) tại M tạo với hai trục tọa độ tam giác cân Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình 2sin x − cos x + cos x = b) Giải bất phương trình 2log ( x − 1) + log (2 x − 1) ≤ Câu (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x +1 x−2 trục tọa độ Câu (1,0 điểm) a) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 + i ) z − − 3i = Tìm phần ảo số phức w = − zi + z b) Một nhóm gồm học sinh có tên khác nhau, có hai học sinh tên An Bình Xếp ngẫu nhiên nhóm học sinh thành hàng dọc Tính xác suất cho hai học sinh An Bình đứng cạnh Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng x −1 y − z x−3 y z −2 ∆1 : = = ∆ : = = Tìm tọa độ giao điểm ∆1 −3 −5 ∆ viết phương trình mặt phẳng (P) cho đường thẳng ∆ hình chiếu vuông góc đường thẳng ∆1 lên mặt phẳng (P) Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn là AD; đường thẳng SA, AC và CD đôi một vuông góc với nhau; SA = AC = CD = a và AD = 2BC Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD Câu (0,75 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC Đường thẳng d song song với BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N cho AM = CN Biết rằng M(–4; 0), C(5; 2) và chân đường phân giác của góc A là D(0; –1) Hãy tìm tọa độ của A và B  x + x2 + y + y + =  ( x; y ∈ ¡ ) Câu (0,75 điểm) Giải hệ phương trình  3 12 y − 10 y + = x + ( )( ) Câu (0,5 điểm) Cho x, y hai số thực thỏa mãn điều kiện ( x + y ) + xy ≥ Tìm giá trị nhỏ biếu thức P = 3( x + y ) − 2( x + y ) − xy (3 xy − 4) + 2015 ………………………… Hết………………………… Họ tên thí sinh:…………………………… ….Số báo danh:…………………… … Chữ ký giám thị 1:…………………………Chữ ký giám thị 2:………………… ….… SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG TRƯỜNG THPT ĐOÀN THƯỢNG ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN NĂM 2015 MÔN THI: TOÁN (Đáp án gồm trang) I LƯU Ý CHUNG: + Học sinh làm theo cách khác đáp án mà điểm tối đa + Câu không vẽ hình hình vẽ sai không chấm điểm II ĐÁP ÁN: Câu Ý Nội dung trình bày a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x − x Điểm 1,00 1.Tập xác định : D = 2.Sự biến thiên : y ' = x2 − 2x ; 0,25 1 lim y = lim [x ( - )] = +∞ x →+∞ x →+∞ x 1 lim y = lim [x ( - )] = -∞ x →−∞ x →−∞ x Bảng biến thiên 0 0,25 − Hàm số đồng biến khoảng Hàm số nghịch biến Hàm số có cực đại x = yCĐ = y(0)=0 Hàm số có cực tiểu yCT = y(2)= − 0,25 3 Đồ thị Giao Ox: (0;0), (3;0), Giao Oy: (0;0) 0,25 y f(x)=(1/3)x^3-x^2 x -8 -6 -4 -2 -5 b Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến của (C) tại M tạo với hai trục tọa độ tam giác cân 1,00 Tiếp tuyến của (C) tại M tạo với trục tọa độ tam giác cân ⇒ tiếp tuyến có hệ số góc k = ±1 0,25 Gọi x0 hoành độ điểm M Ycbt ⇔ y '( x0 ) = ±1 0,25  x02 − x0 − = x = 1± ⇔ ⇔  x0 =  x0 − x0 + = 0,25  2  M (1 ± 2; − m ) 3 ⇔   M (1; − ) 0,25 a Giải phương trình 2sin x − cos x + cos x = 1,00 Pt ⇔ 2sin x − (1 − 2sin x) + cos x = ⇔ 2sin x(1 + s in x) − (1 − cos x) = ⇔ (1 − cos x) [ 2(1 + cos x)(1 + sin x) − 1] = 0,25 − cos x = ⇔ cos x = ⇔ x = 2kπ (k ∈ ¢ ) 0,25 ⇔ (1 − cos x) [ 2(sin x + cos x) + 2sin x cos x + 1] = 2(sin x + cos x) + 2sin x cos x + = ⇔ 2(sin x + cos x) + (sin x + cos x) = sin x + cos x = sin x + cos x = −2  sin x + cos x = −2 bị loại sin x + cos x = ⇔ tan x = −1 ⇔ x = − 0,25 π + kπ Vậy phương trình có nghiệm: x = 2kπ x = 0,25 −π + kπ ( k ∈ ¢ ) b Giải bất phương trình 2log ( x − 1) + log (2 x − 1) ≤ 1,00 ĐK: x > BPT ⇔ 2log ( x − 1) + log 312 (2 x − 1) ≤ 0,25 ⇔ log ( x − 1) + log (2 x − 1) ≤ ⇔ log ( x − 1)(2 x − 1) ≤ 0,25 ( x − 1)(2 x − 1) ≤ ⇔ x − x − ≤ 0,25 ⇔ − ≤ x ≤ Kết hợp ĐK ta có tập nghiệm S = ( 1;2] 0,25 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x +1 x−2 1,00 trục tọa độ Đồ thị hàm số cắt trục hoành (-1; 0) Do S = ∫ −1 Ta có S = x +1 dx x−2 x +1 ∫−1 x − 2dx = −∫1 (1 + x − )dx = ( x + 3ln x − )| −1 = + 3ln a 0,25 = 3ln − Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 + i ) z − − 3i = Tìm phần ảo số phức w = − zi + z 0,25 0,25 0,25 0,50 Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) ⇒ z = x − yi Theo giả thiết, ta có x = (1 + i )( x − yi ) − − 3i = = ⇔ ( x + y − 1) + ( x − y − 3)i = ⇔   y = −1 Suy z = − i Ta có w = − (2 − i)i + + i = + i − 2i + i = − i Vậy Im w = −1 Một nhóm gồm học sinh có tên khác nhau, có hai học sinh b tên An Bình Xếp ngẫu nhiên nhóm học sinh thành hàng dọc Tính xác suất cho hai học sinh An Bình đứng cạnh Mỗi cách xếp ngẫu nhiên học sinh thành hàng dọc hoán vị phần tử ⇒ n(Ω) = 6! = 720 (phần tử) Gọi A biến cố: "An Bình đứng cạnh nhau" ⇒ n( A) = 5!.2! = 240 (phần tử) 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25 n( A) 240 = = (phần tử) n(Ω) 720 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng x −1 y − z x−3 y z −2 ∆1 : = = ∆ : = = Tìm tọa độ giao điểm −3 −5 ∆1 ∆ viết phương trình mặt phẳng (P) cho đường thẳng ∆ hình chiếu vuông góc đường thẳng ∆1 lên mặt phẳng (P) Viết lại ∆1 ∆ dạng tham số ⇒ P ( A) = Giải hệ phương trình tìm giao điểm A(3; 0; 2) ur Đường thẳng ∆1 có VTCP u1 = ( 2; −3; ) uur Đường thẳng ∆ có VTCP u2 = ( 6; 4; −5 ) Gọi (Q) mặt phẳng chứa ∆1 , ∆ (Q) có VTPT 1,00 0,25 0,25 0,25 r ur uur n = u1 , u2  = (7; 22; 26) Vì ∆ hình chiếu vuông góc đường thẳng ∆1 lên mặt phẳng (P) ⇒ (P) chứa ∆ ( P ) ⊥ (Q ) ur uur uur Do (P) qua A có VTPT n1 =  n , u2  = ( −214;191; −104) (P) có phương trình là: −214 x + 191 y − 104 z + 850 = Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn là AD; đường thẳng SA, AC và CD đôi một vuông góc với nhau; SA = AC = CD = a và AD = 2BC Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD Ta có: SA ⊥ AC và SA ⊥ CD ⇒ SA ⊥ (ABCD) ∆ ACD vuông cân tại C ⇒ AD = 2a ⇒ BC = a Gọi I là trung điểm AD ⇒ AI = BC, AI // BC và CI ⊥ AD ⇒ ABCI là hình vuông ⇒ AB ⊥ AD Do đó SABCD = 0,25 1,00 0,25 (AD + BC).AB 3a2 Vậy VSABCD = = 2 1 3a2 a3 SABCD SA = a = 3 2  Ta có CD // BI ⇒ CD // (SBI) ⇒ d(SB, CD) = d(CD, (SBI)) = d(C, (SBI)) Gọi H = AC ∩ BI và AK ⊥ SH tại K Ta có AK ⊥ (SBI) ⇒ d(A, (SBI)) = AK 0,25 0,25 Ta có AK = SA + AH = 2a + 2a = 2a ⇒ AK = a 10 a 10 ⇒ d(A; (SBI)) = AK = Vì H là trung điểm AC nên d(C; (SBI)) = d(A; (SBI)) = Vậy d(CD, SB) = a 10 a 10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC Đường thẳng d song song với BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N cho AM = CN Biết rằng M(–4; 0), C(5; 2) và chân đường phân giác của góc A là D(0; –1) Hãy tìm tọa độ của A và B 0,25 0,75 Gọi D' là điểm cạnh BC cho CD' = MN Ta có MNCD' là hình bình hành ⇒ MD' = CN = AM ⇒ ∆ AMD' cân tại M ⇒ ∠ MD'A = ∠ MAD' = D'AC ⇒ AD' là phân giác của góc A ⇒ D' trùng D CA qua C và song song MDuuuur ⇒ CA có vectơ chỉ phương là MD = (4; –1)  x = + 4t ⇒ AC:  y = − t 0,25 uuuur A ∈ AC ⇒ A(5 + 4a; – a) ⇒ MA = (9 + 4a; 2– a) Ta có MA = MD ⇔ (9 + 4a)2 + (2 – a)2 = 17 ⇔ 17a2 + 68a + 85 – 17 = ⇔ a = –2 Vậy A(–3; 4) uuur uuuur x+4 y = ⇔ 4x – y = –16 ; DC = (5; 3) ⇒ MA = (1; 4) ⇒ AB: x y +1 BC: = ⇔ 3x –5y=5  4x − y = −16  x = −5 Do đó B:  ⇔ Vậy B(–5; –4) 3x − 5y =  y = −4 )( ( )  x + x2 + y + y + =  Giải hệ phương trình  12 y − 10 y + = x + ( )( )  x + x2 + y + y2 + =   12 y − 10 y + = x + ( x; y ∈ ¡ ) 0,25 0,25 0,75 (1) (2) Ta có: (1) ⇔ x + x + = (−2 y ) + + (−2 y ) (*) Xét hàm số đặc trưng 0,25 f (t ) = t + + t ⇒ f '(t ) = t t2 + +1 = t + t2 + t2 + > t+ t t2 + ≥ Suy f(t) hàm số đồng biến R Từ (*) suy ra: f ( x) = f (−2 y ) ⇒ x = −2 y Thay vào phương trình (2) ta được: 3x + x + = x3 + ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) = ( x + 1) + x + (**) 0,25 Xét hàm số g (t ) = t + 2t ta thấy g(t) đồng biến R nên từ (**) suy x = Vậy hệ có hai nghiệm (−1; ); (0;0)  x = −1 3 x + = x + ⇔  Cho x, y hai số thực thỏa mãn điều kiện ( x + y ) + xy ≥ Tìm biếu thức P = 3( x + y ) − 2( x + y ) − xy (3 xy − 4) + 2015 0,25 0,50 Với số thực x, y ta có ( x + y ) ≥ xy , nên từ điều kiện suy ( x + y )3 + ( x + y ) ≥ ( x + y )3 + xy ≥ ⇒ ( x + y )3 + ( x + y ) − ≥ ⇒ x + y ≥ Ta biến đổi P sau 3 ( x + y ) + ( x + y ) − 2( x + y + xy ) − xy (3 xy − 4) + 2015 2 3 = ( x + y ) + ( x + y ) − 2( x + y ) + 2015 (3) 2 (x + y )2 4 Do x + y ≥ nên từ (3) suy P ≥ ( x + y ) − 2( x + y ) + 2015 Đặt x + y = t t ≥ (do x + y ≥ 1) 9 Xét hàm số f (t ) = t − 2t + 2015 với t ≥ , có f ' (t ) = t − > , 2 1  với t ≥ nên hàm số f(t) đồng biến  ;+∞  Suy 2    32233 f (t ) = f   = 1  16 2 t∈ ; +∞  P= 2 0,25 0,25  Do GTNN P 32233 , đạt x = y = 16 -Hết