Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn TẶNG HỌC SINH ONLINE ĐÊM 7-3-2016 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn  x + y + = y − + y + Ví dụ 1: Giải hệ phương trình  ( x + y ) + y − 13 y + y − = 11x − 15 Lời giải  x + y ≥ 0; x + y ≥  Điều kiện  ⇔  y ≥ ; y ≥  y ≥ Phương trình thứ hệ tương đương với ( y − 1) x+ y−2 x + y − y + = y − −1 ⇔ = ≥ 0⇒ x+ y−2 ≥ 0⇒ x+ y ≥ x + 2y + y + 3y − +1 Phương trình thứ hai hệ biến đổi ( x + y ) − 11( x + y ) + y − y + y − + 15 = ⇔ ( x + y ) − 11( x + y ) + 14 + ( y − 1) + y − = Xét hàm số f ( t ) = t − 11t + 14; t = x + y ≥ ⇒ f ′ ( t ) = 3t − 11 > 0, ∀t ≥ Hàm liên tục đồng biến miền xét nên f ( t ) ≥ f ( ) = Kết hợp ( y − 1) + y − = ≥ dẫn đến ( x + y ) − 11( x + y ) + 14 + ( y − 1) + y − ≥  y −1 = x = Phương trình thứ hai có nghiệm  ⇔ x + y = y =1 Thử lại thấy thỏa mãn Kết luận hệ có nghiệm x = y = Ví dụ 2: Giải bất phương trình x ( x − 12 x + ) x ( 3x − ) + ≥1 ( x ∈ ℝ) Lời giải Bất phương trình cho tương đương với x ( x − ) + ≤ x3 − 12 x + x ⇔ x ( x − ) − ≤ x − 12 x + x − Điều kiện x ≤ ∨ x ≥ ⇔ 3x − x − x ( 3x − ) + ≤ x3 − 12 x + x − ⇔ ( x − 1)( 3x + 1) ≤ x − x − 3x + ( )( ) x ( 3x − ) +   3x + ≥0 ⇔ ( x − 1)  x − x + −   − + x x ( )   (1)  71  Nhận xét x − x + =  x −  + > 0, ∀x ∈ ℝ nên xét trường hợp 18  36  3x + 3x + +) Nếu 3x + < ⇒ x − < 0; < ⇒ x − 3x + − > , (1) vô nghiệm x ( 3x − ) + x ( 3x − ) + +) Nếu 3x + ≥ ⇒ x − 3x + − 3x + x ( 3x − ) + ≥ x − 3x + − ( x + 1) = x − x + = ( 3x − 1) ≥ ( 2) Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn  x ( 3x − ) =  x ( x − ) =  Hơn xét hệ  ⇔ ⇔ x ∈∅ ⇒ (2) không xảy dấu đẳng thức 3 x − = x =  3x + Do x − 3x + − > , đến (1) ⇔ x − ≥ ⇔ x ≥ ⇒ S = [1; +∞ ) x ( 3x − ) + ( x − 1) Ví dụ 3: Giải bất phương trình + ( x + 3) x − ≤ 3x ( x − 1) Lời giải Điều kiện x ≥ Bất phương trình cho tương đương với ( x − 1) x − + ( x + 3) x − ≤ x ( x − 1) ⇔ ( x − 1) x − − ( x − 1) + ( x + 3) x − − ( x + 3) ≤ x − x − ⇔ ( x − 1) ⇔ ( ) x − − + ( x + 3) ( ( x − 1)( x − ) + ( x + 3)( x − ) ≤ x −1 +1 ) x − − ≤ 3x − x − 2x − +1 ( x − )( 3x + 1)  x +   x −1 ⇔ ( x − ) 3 x + −  +  ≥ x − +   x −1 +  x −1 x+3 Ta có + < x − + x + = x + < x + 1, ∀x ≥ x −1 + 2x − +1  x −1 ( x + 3)  ⇒ 3x + −  + >0 2x − +1   x −1 + Do (1) ⇔ x − ≥ ⇔ x ≥ Vậy, bất phương trình có nghiệm x ≥ ( (1) )  y − y − x xy − x − + x − = 3x  Ví dụ 4: Giải hệ phương trình   y + x + y = x + y + x + Lời giải 4 xy − x − ≥  y ≥ x ≥ Điều kiện:  x + y ≥  y + x + ≥ (2) ⇔ ( y + 1) − y + x + + x + y − ( x + 1) = ⇔ y − 2x −1 y + + y2 + 2x + +  = ⇔ ( y − x − 1)   y +1+ x2 + y + x +  y − 2x −1 y2 + 2x + +  =0 x + y + x +  ⇔ y − x − = (Do y ≥ x ≥ ) Thay vào (2) ta x x − + x − = 3x Áp dụng BĐT Côsi cho số dương ta có: 3x =  + x −  + x  + x −  ≥ x − + x x − 4 = x − Dấu xảy  ⇔ x = (thỏa mãn) ⇔ y = 2 2 = x − ( ) ( ) Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn  5 Vậy hệ có nghiệm  2;   2 2y − x   x + y = 2x − y + 2x Ví dụ 5: Giải hệ phương trình  3 x − y + = x + y x −  Lời giải  x ≥   Điều kiện:  x + y ≥ 2 x − y ≥   (1) ⇔ x + y − x − y = 2 y − x = 2y − x 2y − x = ⇔ x + y + 2x − y 2x  x + y + 2x − y = 2x 2y − x ⇔ 2x x + y + 2x − y = 2x ⇔ x + - Nếu ( x + y )( x − y ) = vô nghiệm x > - Nếu y = x thay vào (2) ta x − x + = x + x x − ( ) ⇔ x 2x − 2x − + x2 − 2x + + x − x + = ⇔ x ( ) x − − + ( x − 1) + 2 ( ) x − = (3)  x = x 2x −1 −1 ≥    x − = 1   Ta có ( x − 1) ≥ với x ≥ Nên (3) ⇔  x = ⇔ x =1⇔ y = 2   x =  x −1 ≥      1 Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = 1;   2 1   x − y + 2x2 + = y +  Ví dụ 6: Giải hệ phương trình   6x + y + = x2 + y2 +  x − y + Lời giải 1 Điều kiện x − y + ≠ Phương trình thứ tương đương với x + = y+ 2x +1 y +1 Xét hàm số f ( t ) = t + ; t ≠ 2t + ( ( ) ) f ′ (t ) = − ( 2t 4t + 1) = 4t + 4t − 4t + ( 2t + 1) = 4t + ( 2t − 1) ( 2t + 1) 2 > 0, ∀t ≠ Suy hàm số liên tục đồng biến tập số thực Thu f ( x ) = f ( y ) ⇔ x = y x2 + 4x + = x + ⇔ x + x + = ( x + 1) x + x +1 Phương trình thứ hai trở thành ⇔ ( x + x + 1) − ( x + 1) x + + ( x + ) = ⇔ ( x + 1) − ( x + 1) x + + ( x + 3) = Với x ≠ −1 , đặt x + = u; x + = v ( v > ) thu Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn  u = 2v 2u − 5uv + 2v = ⇔ ( u − 2v )( 2u − v ) = ⇔  v = 2u Xét trường hợp  x ≥ −1  x ≥ −1 u = 2v ⇔  ⇔ (Hệ vô nghiệm)  2 x + x + = x + 12 x − x + 11 =    x ≥ −1  x ≥ −1 −4 + 14 −4 + 14 v = 2u ⇔  ⇔ ⇒x= ⇒ y= 2 x + = x + x + 2 x + x + = ( )   Kết luận hệ phương trình có nghiệm x = −4 + 14 −4 + 14 ;y= 2 Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2015! ... RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn  5 Vậy hệ có nghiệm  2;   2 2y − x   x + y = 2x − y + 2x Ví dụ 5: Giải hệ phương trình  3 x − y + = x + y x −  Lời giải  x ≥ ... Do (1) ⇔ x − ≥ ⇔ x ≥ Vậy, bất phương trình có nghiệm x ≥ ( (1) )  y − y − x xy − x − + x − = 3x  Ví dụ 4: Giải hệ phương trình   y + x + y = x + y + x + Lời giải 4 xy − x − ≥  y ≥ x... ⇔ x ≥ ⇒ S = [1; +∞ ) x ( 3x − ) + ( x − 1) Ví dụ 3: Giải bất phương trình + ( x + 3) x − ≤ 3x ( x − 1) Lời giải Điều kiện x ≥ Bất phương trình cho tương đương với ( x − 1) x − + ( x + 3) x