Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 TẶNG HỌC SINH CHĂM HỌC TRÊN FACEBOOK THẦY HÙNG ĐZ 10/3 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN ( )  y − y − x xy − x − + x − = 3x  Ví dụ [ĐVH]: Giải hệ phương trình   y + x + y = x + y + x + Lời giải 4 xy − x − ≥  y ≥ x ≥ Điều kiện:  x + y ≥  y + x + ≥ (2) ⇔ ( y + 1) − y + x + + x + y − ( x + 1) = ⇔ y − 2x −1 y + + y2 + 2x + +  = ⇔ ( y − x − 1)   y +1+ x2 + y + x +  y − 2x −1 y2 + 2x + +  =0 x + y + x +  ⇔ y − x − = (Do y ≥ x ≥ ) Thay vào (2) ta x x − + x − = 3x Áp dụng BĐT Côsi cho số dương ta có: 3x =  + x −  + x  + x −  ≥ x − + x x − 4 = x − Dấu xảy  ⇔ x = (thỏa mãn) ⇔ y = 2 2 = x − ( ) ( )  5 Vậy hệ có nghiệm  2;   2 Ví dụ [ĐVH]: Giải bất phương trình x3 + x + x + + 25 − x ≥ ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện −5 ≤ x ≤ Bất phương trình cho tương đương với x − 16 − 25 − x ≤ x3 + x + x + ⇔ ≤ ( x + ) ( x + 1) + 25 − x ( x − )( x + ) ≤   ≥ (1) + 25 − x + 25 − x     x−4 x−4 x−4 • Nếu x + < ⇒ < ⇒ x2 + − > ⇒ ( x + )  x2 + −  < + 25 − x + 25 − x + 25 − x   Khi (1) vô nghiệm x−4  >0   x−4 x +1− • Nếu −4 ≤ x < ⇒  ⇒ ( x + 4)  x2 + − + 25 − x  ≥ , (1) nghiệm + 25 − x   x + >  x−4 x − 3x − x + • Nếu x − ≥ ⇒ x + > 0; x + − ≥ x2 + − = > 0, ∀x ≥ 3 + 25 − x Tổng hợp trường hợp ta thu nghiệm −4 ≤ x ≤ ⇔  ( x + ) ( x + 1) ⇔ ( x + )  x + − x−4 Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 2y − x   x + y = 2x − y + 2x Ví dụ [ĐVH]: Giải hệ phương trình  3 x − y + = x + y x −  Lời giải  x ≥  Điều kiện:  x + y ≥ 2 x − y ≥   2 y − x = 2y − x 2y − x 2y − x (1) ⇔ x + y − x − y = ⇔ = ⇔ 2x x + y + 2x − y 2x  x + y + 2x − y = 2x x + y + 2x − y = 2x ⇔ x + - Nếu ( x + y )( x − y ) = vô nghiệm x > - Nếu y = x thay vào (2) ta x − x + = x + x x − ( ) ⇔ x 2x − 2x − + x2 − 2x + + x − x + = ⇔ x ( ) x − − + ( x − 1) + 2 ( ) x − = (3)  x = x 2x −1 −1 ≥    x − = 1   Ta có ( x − 1) ≥ với x ≥ Nên (3) ⇔  x = ⇔ x =1⇔ y = 2   x =   x −1 ≥     1 Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = 1;   2 1   x − y + x2 + = y +  Ví dụ [ĐVH]: Giải hệ phương trình   6x + y + = x2 + y2 +  x − y + ( ( ) ) Lời giải Điều kiện x − y + ≠ Phương trình thứ tương đương với x + Xét hàm số f ( t ) = t + ; t ≠ 2t + 1 2x +1 = y+ y2 +1 f ′ (t ) = − ( 2t 4t + 1) = 4t + 4t − 4t + ( 2t + 1) = 4t + ( 2t − 1) ( 2t + 1) 2 > 0, ∀t ≠ Suy hàm số liên tục đồng biến tập số thực Thu f ( x ) = f ( y ) ⇔ x = y x2 + 4x + = x + ⇔ x + x + = ( x + 1) x + x +1 Phương trình thứ hai trở thành ⇔ ( x + x + 1) − ( x + 1) x + + ( x + ) = ⇔ ( x + 1) − ( x + 1) x + + ( x + 3) = Với x ≠ −1 , đặt x + = u; x + = v ( v > ) thu  u = 2v 2u − 5uv + 2v = ⇔ ( u − 2v )( 2u − v ) = ⇔  v = 2u Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Xét trường hợp  x ≥ −1  x ≥ −1 u = 2v ⇔  ⇔ (Hệ vô nghiệm)  x + x + = x + 12 7 x − x + 11 =  x ≥ −1  x ≥ −1 −4 + 14 −4 + 14 v = 2u ⇔  ⇔ ⇒x= ⇒ y= 2 2 x + x + = 2 x + = ( x + x + 1) −4 + 14 −4 + 14 ;y= Kết luận hệ phương trình có nghiệm x = 2 x − x + > x ( x − x + 1) Ví dụ [ĐVH]: Giải bất phương trình ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện x ≤ ∨ x ≥ Bất phương trình cho tương đương với x ( x − ) > x3 − x + x − ⇔ x ( x − ) − > x3 − x + x − ⇔   5x +  ( x − ) ( x + x + 3) ⇔ ( x − )  x + x + −  x ( 5x − 8) + x x − + ( )   5x − 8x − (1)  11  Nhận xét x + x + =  x +  + > 0, ∀x ∈ ℝ Xét trường hợp 2  5x + 5x + +) Nếu x + < ⇒ x − < 0; < ⇒ x2 + x + − > , (1) nghiệm x ( 5x − 8) + x ( 5x − 8) + +) Nếu 5x + x + 2 x − 3x +   23 5x + ≥ ⇒ x + x + − ≥ x + x + 3− = =x−  + > 0, ∀x ∈ ℝ 2  16  x (5x − 8) + 2 2 ≤ x Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 x ≥ x3 + x + x − x − 3x + ≥ ⇔  ⇔ x≥2 x + 4x − ≥ Vậy tập nghiệm bất phương trình S = [ 2; +∞ ) ( ∗) ⇔ Ví dụ [ĐVH]: Giải bất phương trình x − + 3x − 8x − x − − Lời giải ( x ∈ R) ≥1 3 x − ≥  Điều kiện: 8 x − x − ≥ ⇔ ≠ x ≥  8 x − x − ≠ TH1 Với 3 ≠ x ≥ ; x − x − − > ⇔ x > , bất phương trình cho trở thành: 4 x − + 3x − ≥ x − x − − ⇔ x − + x − ≥ ( x − 1) + ( x − ) ⇔ ( x − 1) + x − + ( x − 1) x − ≥ ( x − 1) + ( x − ) 2  x ≥ ⇔ x − − 3x − ≤ ⇔ x − = 3x − ⇔  ⇔ x =1 4 x − x + =  2 TH2 Với ≠ x ≥ ; x − x − − < ⇔ ≤ x < , bất phương trình cho trở thành: 3 ( ) 2 x − + x − ≤ x − x − − ⇔ x − + x − ≤ ( x − 1) + ( x − ) ⇔ ( x − 1) + x − + ( x − 1) x − ≥ ( x − 1) + ( x − ) 2 ( ) 2  ∀x ∈  ;  3  2  Vậy tập nghiệm bất phương trình S =  ;  ∪ {1} 3  2 x + x − y = y +  Ví dụ [ĐVH]: Giải hệ phương trình  2 x2 + − x =  x y + y + Lời giải: ĐK : x − y ≥ Khi đó: PT ( ) ⇔ x y + y + = = x2 + + x x +1 − x  1 Do x = nghiệm nên: PT ( ) ⇔ y + y + = 1 + +  x x  t Xét hàm số f ( t ) = t + t + ( t ∈ R ) ta có: f ' ( t ) = + t + > ( ∀t ∈ R ) t2 +1 1 Do hàm số f ( t ) đồng biến R ta có: f ( y ) = f   ⇔ = y x  x ⇔ x − − 3x − 2 ≥0 )( ( ) ( ( ( ) ) ) Khi vào PT(1) ta có: x + x − 1 = +4 x x Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Đặt t = x − Facebook: Lyhung95 t = 1 ≥ ta có: t + 3t − = ⇔  x t = −4 ( loai )  x = 1; y = 1 Với t = ⇔ x − = ⇔ x − x − = ⇔  x = ; y = x     Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = (1;1) ;  ;      ( )  x x + + = y + 3x + y  Ví dụ [ĐVH]: Giải hệ phương trình   −6 x + y + 10 x − 16 x + = Lời giải: ĐK: y ≥ 3x PT (1) ⇔ ( x + 1) + x + = 3x + y + 3x + y Xét hàm số: f ( t ) = t + t ( t ∈ R ) , f ' ( t ) = 3t + > ∀t ∈ R Do hàm số đồng biến R Ta có f ( x + 1) = f Thay vào PT(2) ta có: ( ( ) 3x + y ⇒ x3 + x + = y ) ( x + 1) ( x x3 + + 10 x − 16 x + = ⇔ x − x + + ) − x + − ( x + 1) = x = 1⇒ y = x +1 x +1 ⇔− + +5 = ⇔ = ⇔ x − 3x + = ⇔   x = ⇒ y = 21 2x − 2x + 2 x2 − x + 2x − 2x + 2  Vậy HPT cho có nghiệm ( x + 1) Ví dụ 10 [ĐVH]: Giải phương trình 17 − 3x + − = x + − x2 + x x3 + Lời giải ( x ∈ ℝ) 17 x − 3x + 16 ≥ Điều kiện  0 ≤ x ≤ Ta có ( − x2 + x ) = + x − x ≥ ⇒ − x + x ≥ , kết hợp x ≥ ⇒ x + − x + x ≥ Do thu 3x + 3x + 3x − ≥ ⇔ 17 − ≥ ⇔ 17 − ≥ 16 x3 + x3 + x3 + x ( x − 3) x = 3x + ⇔ 1− ≥0⇔ ≥0⇔ x +1 x +1 x ≥ Đối chiếu điều kiện thử lại ta có nghiệm x = 17 − Ví dụ 11 [ĐVH]: Giải bất phương trình x + x + + ( x + 3) x − ( x + + 2x − ) ≤1 ( x ∈ ℝ) Lời giải: Điều kiện: x ≥ ( ) Với , ta có: x + + x − ≥ 10 > nên bất phương trình cho tương đương với: Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ( x + x + + ( x + 3) x − ≤ x + + x − Facebook: Lyhung95 ) ( ∗) a = x + Đặt  ( a, b ≥ ) suy x + x + = ( x + 3)( x − 1) + ( x + 3) − = a 2b2 + 4a − Khi b = x − bất phương trình ( ∗) trở thành: ( ∗) ⇔ a 2b + 4a − + 4a 2b ≤ 5a ( + b ) ⇔ a ( b2 + 4b + ) − 5a ( b + ) − ≤ ⇔ a ( b + ) − 5a ( b + ) − ≤ ⇔ a ( b + ) − ≤ ⇔ x + ( + x − ) − ≤ ( x − 1) ( x + )( x − 1) ≤ ⇔ ( x + − ) + ( x + 3)( x − 1) − ≤ ⇔ + x+3+2 ( x + 3)( x − 1) +  ⇔ ( x − 1)  +  x + + x≥   ≤ ⇔ x ≤ ( x + 3)( x − 1) +  2x + + x+3+2 2x + ( x + 3)( x − 1) + > 0; 1  Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình cho S =  ;1 2  Thầy Đặng Việt Hùng ĐZ Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! ...Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 2y − x   x + y = 2x − y + 2x Ví dụ [ĐVH]: Giải hệ phương trình  3 x − y + = x + y x −  Lời giải  x ≥  Điều... 14 −4 + 14 ;y= Kết luận hệ phương trình có nghiệm x = 2 x − x + > x ( x − x + 1) Ví dụ [ĐVH]: Giải bất phương trình ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện x ≤ ∨ x ≥ Bất phương trình cho tương đương với... môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Xét trường hợp  x ≥ −1  x ≥ −1 u = 2v ⇔  ⇔ (Hệ