Bài 6: Ước lượng tham số Bài 6: ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ Các kiến thức cần có • Ước lượng điểm • Khái niệm ước lượng điểm • Ước lượng không lệch • Ước lượng hiệu • Ước lượng vững • Ước lượng khoảng • Khái niệm ước lượng khoảng • Ước lượng khoảng cho kỳ vọng biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn • Ước lượng khoảng cho phương sai biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn • Ước lượng khoảng cho xác suất (tỷ lệ) Mục tiêu • Giới thiệu số khái niệm liên quan đến toán ước lượng tham số biến ngẫu nhiên: ước lượng điểm, ước lượng không chệch, ước lượng hiệu quả, ước lượng vững, … trình bày số kiến thức khái niệm ước lượng khoảng đưa phương pháp ước lượng số tham số thống kê thường gặp kỳ vọng, phương sai tỷ lệ • Kiến thức ước lượng khoảng có ý nghĩa quan trọng chuẩn bị cho nội dung toán kiểm định giả thuyết Thời lượng • tiết 125 Bài 6: Ước lượng tham số TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG BÀI Tình Để ước lượng phế phẩm dây chuyền sản xuất mua lại, công ty Thiên An kiểm tra ngẫu nhiên 100 sản phẩm nhà máy sản xuất thấy có 12 phế phẩm Với độ tin cậy 95% , ước lượng tỷ lệ phế phẩm nhà máy Nếu muốn độ xác 0,03 phải lấy tối thiểu sản phẩm? Câu hỏi Nhà sản xuất cần phải xem chất lượng dây chuyền sản xuất Vấn đề đặt làm thể để nhà quản lý ước lượng tỷ lệ phế phẩm bình quân dây chuyền? Khoảng ước lượng cho tỷ lệ phế phẩm nhà máy giám đốc muốn độ tin cậy cho ước lượng 95%? Để khoảng ước lượng có độ xác cao (cỡ 0,03) cẩn phải tốn tiền? Biết chi phí điều tra 01 mẫu 10000VNĐ 126 Bài 6: Ước lượng tham số Trong ta xét toán ước lượng tham số, toán quan có nhiều ứng dụng thống kê toán Bài toán: Cho biến ngẫu nhiên X với tham số θ chưa biết, dựa vào thông tin mẫu (X1, X2, …, Xn) ước lượng tham số θ 6.1 Ước lượng điểm 6.1.1 Khái niệm Thống kê (hàm đa biến) Θ* = G(X1, X , , X n ) dùng làm ước lượng cho tham số θ gọi ước lượng điểm cho θ Với mẫu cụ thể (x1, x2, …,xn), giá trị thống kê Θ* θ* = G ( x1, x , , x n ) , giá trị lấy làm giá trị ước lượng tương ứng cho θ CHÚ Ý Thống kê hàm đa biến, mẫu ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên Khi gán biến ngẫu nhiên vào vị trí đối số tương ứng hàm đa biến nói trên, ta thu biến ngẫu nhiên Lúc thống kê trở thành biến ngẫu nhiên ta lập tham số thống kê này, kỳ vọng, phương sai, thống kê Ví dụ 1: Đối với biến ngẫu nhiên X, thống kê: X= n ∑ Xi n i=1 ước lượng điểm cho: θ = μ = E(X) Giá trị cụ thể ước lượng điểm x Đối với tham số cho trước, có nhiều thống kê lấy làm ước lượng cho tham số (nói chung hàm đa biến coi ước lượng tham số) Tuy nhiên, người ta thường quan tâm đến ước lượng có tính chất “Tốt”, “Phù hợp” (theo nghĩa đấy) tham số quan tâm “Không chệch”, “Hiệu quả” “Vững” tính chất tốt thường xét đến ước lượng tham số 6.2 Ước lượng không chệch Định nghĩa 1: Thống kê Θ* gọi ước lượng không chệch cho tham số θ E(Θ* ) = θ Nếu khác ta nói Θ* ước lượng chệch θ 127 Bài 6: Ước lượng tham số Ví dụ 2: n Thống kê X = ∑ Xi ước lượng không chệch cho tham số μ n i=1 Thật vậy, ta có: ⎡1 n ⎤ n n E(X) = E ⎢ ∑ Xi ⎥ = ∑ E(Xi ) = ∑ μ = μ n i=1 ⎣⎢ n i=1 ⎦⎥ n i=1 Ví dụ 3: Ta có: ⎡1 n ⎤ n −1 E(S2 ) = E ⎢ ∑ (Xi − X) ⎥ = σ ≠ σ2 n n ⎢⎣ i=1 ⎥⎦ n ⎡ n 2⎤ E(S'2 ) = E ⎢ S ⎥= E(S2 ) = σ2 ⎣ n −1 ⎦ n −1 Vậy S2 ước lượng chệch σ2 S’2 ước lượng không chệch σ2 6.2.1 Ước lượng hiệu Định nghĩa 2: Thống kê Θ* gọi ước lượng hiệu cho tham số θ E(Θ* ) = θ Θ* có phương sai nhỏ ước lượng không chệch θ 6.2.2 Ước lượng vững Định nghĩa Thống kê Θ* gọi ước lượng vững cho θ nếu: lim P{| Θ* − θ | < ε} = 1, ∀ε > n →∞ 128 Bài 6: Ước lượng tham số Ví dụ 4: Theo Luật số lớn ta thấy thống kê X= n ∑ Xi n i=1 ước lượng vững kỳ vọng μ Trên số tính chất thường xét đến đánh giá thống kê dùng làm ước lượng cho tham số Trong thực hành, số tham số đơn giản kỳ vọng phương sai, người ta quan tâm đến nhiều tham số khác phải có phương pháp thích hợp để tìm ước lượng cho tham số cần quan tâm 6.3 Ước lượng khoảng Trong phần ta nói đến việc tìm ước lượng điểm cho tham số dựa vào liệu mẫu Tuy nhiên, vấn đề quan trọng làm để đánh giá chất lượng ước lượng thu ước lượng điểm khó cho ta kết luận xác độ sai lệch tham số ước lượng điểm Trong mục ta đưa cách tiếp cận khác để ước lượng tham số ước lượng khoảng Phương pháp sử dụng rộng rãi tiến hành phép kiểm định lĩnh vực khoa học, kỹ thuật, kinh tế, … 6.3.1 Khái niệm • Khoảng với hai đầu mút ngẫu nhiên: ( L; U ) = ( L(X1, X , , X n ); U(X1, X , , X n ) ) gọi ước lượng khoảng (hai phía) cho tham số θ với độ tin cậy − α nếu: P {L(X1, X , , X n ) < θ < U(X1, X , , X n )} = − α Khoảng ( L; +∞ ) ( −∞; U ) gọi ước lượng phía cho θ với độ tin cậy 1− α nếu: P {L(X1, X , , X n ) < θ} = P {θ < U(X1, X , , X n )} = − α Với mẫu cụ thể (x1,x2,…,xn) giá trị khoảng ước lượng cho θ là: o Khoảng ước lượng hai phía: θ ∈ (l ; u) = ( L(x1, x , , x n ); U(x1, x , , x n ) ) o Khoảng ước lượng phía trái: θ ∈ (l ; +∞) = ( L(x1, x , , x n ); +∞ ) o Khoảng ước lượng phía phải: θ ∈ (−∞; u) = ( −∞; U(x1, x , , x n ) ) • Hiệu u – l khoảng ước lượng hai phía gọi độ xác ước lượng 129 Bài 6: Ước lượng tham số 6.3.2 Ước lượng khoảng cho kỳ vọng biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn Cho biến ngẫu nhiên X ~ N(μ, σ2 ) với tham số μ chưa biết mẫu ngẫu nhiên (X1, X2,…,Xn) có giá trị cụ thể (x1,x2,…,xn) 6.3.2.1 Trường hợp σ2 biết Từ tính chất phân phối chuẩn, ta có X ~ N(μ, σ2 / n) ; X −μ n ~ N(0,1) σ CHÚ Ý Với độ tin cậy − α ta cần tìm điểm u α / cho: Độ tin cậy 1− α thường lấy lớn 90% ⎧ ⎫ X−μ P ⎨−u α / < n < uα / ⎬ = − α σ ⎩ ⎭ σ σ ⎧ ⎫ P ⎨X − uα / < μ < X + uα / ⎬ = − α n n ⎩ ⎭ phân vị u α / thoả mãn Φ (u α / ) = − α / Tra bảng phân phối chuẩn ta tìm u α / L-a a/2 - u a/2 a/2 u a/2 Hình 1: Đồ thị phân phối chuẩn phân vị xác định khoảng tin cậy Với mẫu cụ thể (x1,x2,…,xn) ta có khoảng ước lượng (hai phía) cho μ là: μ ∈ (x − σ σ uα / 2; x + u α / ) n n Tương tự ta có khoảng ước lượng phía μ là: • Ước lượng giá trị tối thiểu: μ ∈ (x − σ u α ; + ∞) n Φ (u α ) = − α , tra bảng phân phối chuẩn ta tìm u α • Ước lượng giá trị tối đa: μ ∈ (−∞; x + 130 σ uα ) n CHÚ Ý Ngoài cách tra bảng, ta dùng lệnh Excel: normsinv (1-α/2) Tham khảo phần phụ lục Bài 6: Ước lượng tham số Ví dụ 5: Điều tra thu nhập (triệu/năm) hàng năm 25 hộ gia đình vùng ta có bảng số liệu: Thu nhập Số hộ 11,5 11,6 11,7 11,8 11,9 12 1 Hãy ước lượng mức thu nhập trung bình vùng với độ tin cậy 95%, biết thu nhập biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn σ = 0, Giải: Gọi X biến ngẫu nhiên thu nhập hộ gia đình vùng, ta có: X ~ N(μ;0, 22 ) Từ x = 11, 672 , Φ (u α / ) = − α = 0,975 ; u 0,025 = 1,96 Vậy khoảng ước lượng thu nhập trung bình μ là: μ ∈ (11, 672 − 0, 0, 1,96; 11, 672 + 1,96) = (11,594; 11,75) 25 25 Ví dụ 6: (Xét Ví dụ 5) Hãy ước lượng giá trị tối thiểu giá trị tối đa mức thu nhập trung bình vùng với độ tin cậy 99% Giải: Ta có độ tin cậy − α = 99% , α = 0, 01 , tra bảng ta có: u α = u 0,01 = 2,33 Ước lượng giá trị tối thiểu: μ ∈ (11, 672 − 0, 2,33; + ∞) = (11,579; +∞) 25 Ước lượng giá trị tối đa: μ ∈ (−∞;11, 672 + 0, 2,33) = (−∞;11,765) 25 6.3.2.2 Trường hợp σ chưa biết Ta có thống kê T = X−μ S' n có phân phối Student với n − bậc tự Với độ tin cậy − α ta tìm điểm phân vị t αn −/12 cho: 131 Bài 6: Ước lượng tham số ⎧ ⎫ X−μ P ⎨− t αn −/12 < n < t αn −/12 ⎬ = − α; S' ⎩ ⎭ S' n −1 S' n −1 ⎫ ⎧ tα / < μ < X + t α / ⎬ = − α, ⎨X − n n ⎩ ⎭ a/2 a/2 1-a t n-1 a/2 t n-1 a/2 t Hình 2: Đồ thị phân phối Student phân vị xác định khoảng tin cậy phân vị t αn −/12 tìm từ bảng phân phối Student Vậy với mẫu cụ thể ta có khoảng ước lượng cho μ : s ' n −1 s ' n −1 ⎞ ⎛ tα / 2; x + tα / ⎟ μ ∈⎜ x − n n ⎝ ⎠ Tương tự ta có khoảng ước lượng phía là: • Ước lượng giá trị tối thiểu: CHÚ Ý Ngoài cách tra bảng, ta dùng lệnh Excel: tinv(α,n-1) s ' n −1 ⎛ ⎞ tα ; + ∞ ⎟ μ ∈⎜ x − n ⎝ ⎠ Tham khảo phần phụ lục phân vị t αn −1 tìm từ bảng phân phối Student • Ước lượng giá trị tối đa: s ' n −1 ⎞ ⎛ tα ⎟ μ ∈ ⎜ −∞; x + n ⎝ ⎠ Ví dụ 7: Điều tra thu nhập (triệu/năm) hàng năm 25 hộ gia đình vùng ta có bảng số liệu: Thu nhập Số hộ 11,5 11,6 11,7 11,8 11,9 12 1 Hãy ước lượng mức thu nhập trung bình vùng với độ tin cậy 95%, biết thu nhập biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn 132 Bài 6: Ước lượng tham số Giải: Gọi X thu nhập hộ gia đình vùng, lúc X ~ N(μ; σ2 ) , trường hợp σ chưa biết Ta có: x = 11, 672, s'2 = 0,0188, s' = 0,137 − α = 0,95 ; α = 0, 05 24 t αn −/12 = t 0,025 = 2, 06 Vậy khoảng ước lượng cho thu nhập trung bình là: μ ∈ (11, 62; 11,73) Tương tự ta có khoảng ướng lượng phía Ước lượng giá trị tối thiểu: 24 t αn −1 = t 0,05 = 1, 71 CHÚ Ý Nếu cỡ mẫu n đủ lớn n ≥ 30 0,137 ⎛ ⎞ thống kê T xấp xỉ phân μ ∈ ⎜11, 672 − 1, 71; + ∞) = (1, 625; + ∞ ⎟ 25 ⎝ ⎠ phối chuẩn N(0;1) Vậy ta có khoảng ước lượng cho μ tương tự trường hợp σ biết Ước lượng giá trị tối đa: μ ∈ (−∞; 11, 672 + 0,137 1, 71) = (−∞; 11,719) 25 k=10 k=¥ k=1 x Hình 3: Đồ thị phân phối Student với bậc tự khác 6.3.2.3 Xác định cỡ mẫu Ước lượng khoảng hai phía cho μ trường hợp σ biết là: μ ∈ (x − σ σ uα / 2; x + uα / ) n n ⇒ ε =| x − μ |< σ uα / n (*) 133 Bài 6: Ước lượng tham số Ta thấy cỡ mẫu lớn độ sai lêch μ x nhỏ, ta gọi ε độ xác ước lượng Trong (*) ta thấy cho trước độ xác ước lượng ε0 cỡ mẫu tối thiểu là: n = [( σ u α / ) ] + ε0 [ ] ký hiệu phần nguyên Ví dụ 8: (xét Ví dụ 5) cho trước độ xác 0,05 cần phải lấy mẫu điều tra Ta có ε0 = 0, 05; σ = 0,2; u 0,025 = 1,96 Vậy cỡ mẫu tối thiểu cần phải lấy là: n = [( 0, 1,96) ] + = [ 61, 465] + = 62 0, 05 Tương tự trường hợp σ chưa biết ta có: ε =| x − μ |< s ' n −1 tα / n Vậy cho trước độ xác ε0 cỡ mẫu tối thiểu là: n = [( s ' n −1 tα / ) ] +1 ε0 Ví dụ 9: Xét Ví dụ 7, xác định cỡ mẫu biết độ xác 0.05 24 = 2, 06 Ta có: ε0 = 0, 05; s' = 0,137; t 0,025 Vậy: n = [( 6.3.3 0,137 × 2, 06) ] + = [31,85] + = 32 0, 05 Ước lượng khoảng cho phương sai biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn N(μ; σ2 ) mẫu ngẫu nhiên (X1, X2,…,Xn) có giá trị mẫu (x1, x2,…,xn) Khi thống kê: χ2 = (n − 1)S'2 σ2 có phân phối khi−bình phương với n−1 bậc tự 134 Bài 6: Ước lượng tham số f (x) x2 k=2 k=5 k=10 10 15 20 25 x Hình 4: Đồ thị phân phối khi−bình phương với bậc tự khác Vậy với độ tin cậy − α ta có: ⎧⎪ ⎫⎪ (n − 1)S' P ⎨χ1−α / 2,n −1 < χ = < χ ⎬ = 1− α α − / 2,n σ2 ⎩⎪ ⎭⎪ ⎧⎪ (n − 1)S'2 (n − 1)S'2 ⎫⎪ ⇒ P⎨ < σ2 < ⎬ = − α, χ1−α / 2,n −1 ⎪⎭ ⎪⎩ χα / 2,n −1 điểm phân vị χα2 ,k xác định bởi: { } P χ > χα2 ,k = α giá trị phân vị χα2 ,k tìm từ bảng phân phối khi−bình phương f (x) f (x) a x 2a,k 0.05 x 0.05 x 20.95, x 20.05, 10 = 3.94 (a) 10 = 18.31 x (b) Hình 5: Đồ thị phân phối Student với bậc tự khác Vậy với mẫu cụ thể ta có khoảng ước lượng hai phía σ2 : ⎛ (n − 1)s '2 (n − 1)s '2 ⎞ ⎟ ; σ2 ∈ ⎜ ⎜ χα / 2,n −1 χ12−α / 2,n −1 ⎟ ⎝ ⎠ 135 Bài 6: Ước lượng tham số Tương tự ta có ước lượng phía σ2 : o Ước lượng giá trị tối thiểu: σ2 ∈ ( o (n − 1)s ' χα2 ,n −1 ; +∞ ) CHÚ Ý Ngoài cách tra bảng, ta dùng lệnh Excel: chiinv(p,n-1) Tham khảo phần phụ lục Ước lượng giá trị tối đa: σ2 ∈ (0; (n − 1)s '2 χ12−α,n −1 ) Ví dụ 10: Kiểm tra ngẫu nhiên 20 bao gạo máy đóng bao tự động đóng, ta có phương sai hiệu chỉnh s '2 = 0, 0153(kg) Hãy tìm ước lượng khoảng tối đa cho độ xác trọng lượng bao gạo với độ tin cậy 95% Biết trọng lượng bao gạo máy tự động đóng biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Giải: Gọi X trọng lượng bao gạo, X ~ N(μ; σ2 ) Ta có s '2 = 0, 0153 , − α = 0,95 ⇒ α = 0, 05 Tra bảng phân phối bình phương ta có: χ0,95,19 = 10,117 Vậy ta có: ⎛ (20 − 1)s '2 ⎜ σ ∈ 0; ⎜ χ0,95,19 ⎝ ⎞ ⎛ 19 × 0, 0153 ⎞ ⎟ = ⎜ 0; ⎟ ⎝ 10,117 ⎟⎠ ⎠ ⇒ σ2 ∈ (0; 0,17) CHÚ Ý Nội dung mục 5.3.2 5.3.3 trình bày với giả thiết biến ngẫu nhiên gốc có phân phối chuẩn Với hiệu lực Định lý Giới hạn trung tâm, giả thiết tính phân phối chuẩn biến ngẫu nhiên gốc bỏ qua, cỡ mẫu n “đủ lớn” Tuy nhiên, khái niệm “đủ lớn” cỡ mẫu n phụ thuộc nhiều vào dạng phân phối biến ngẫu nhiên gốc Chẳng hạn biến ngẫu nhiên gốc có phân bố lên tục đối xứng với n ≥ , kết mục 5.3.2 đúng, biến ngẫu nhiên gốc có phân phối rời rạc không đối xứng kết chưa chí n = 300 6.3.4 Ước lượng khoảng cho xác suất (tỷ lệ) Cho biến cố A với xác suất xảy p chưa biết, thực n lần thử biến cố A, gọi m m số lần A xuất Ta có tần suất xuất biến cố A f = Theo lý thuyết n xác suất, ta thấy thống kê: 136 Bài 6: Ước lượng tham số U= f −p n f (1 − f ) có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn N(0; 1) cỡ mẫu n đủ lớn Với độ tin cậy 1− α ta có: f −p ⎪⎧ ⎪⎫ P ⎨−u α / < U = n < uα / ⎬ = − α f (1 − f ) ⎪⎩ ⎪⎭ ⎧⎪ ⎫⎪ f (1 − f ) f (1 − f ) P ⎨f − uα / < p < f + u α / ⎬ = − α n n ⎩⎪ ⎭⎪ Vậy ta có khoảng ước lượng hai phía p là: p ∈ (f − f (1 − f ) n uα / ; f + f (1 − f ) n uα / ) , phân vị u α / tìm từ bảng phân phối chuẩn Tương tự ta xác định khoảng ước lượng phía p sau: • Ước lượng giá trị tối thiểu: p>f − f (1 − f ) n uα • Ước lượng giá trị tối đa: p[...]... rạc và không đối xứng thì các kết quả đó vẫn chưa đúng thậm chí khi n = 300 6. 3.4 Ước lượng khoảng cho xác suất (tỷ lệ) Cho biến cố A với xác suất xảy ra p chưa biết, thực hiện n lần thử của biến cố A, gọi m m là số lần A xuất hiện Ta có tần suất xuất hiện biến cố A là f = Theo lý thuyết n xác suất, ta thấy thống kê: 1 36 Bài 6: Ước lượng tham số U= f −p n f (1 − f ) có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn... ⎟ uα / 2 ⎝ n⎠ 143 Bài 6: Ước lượng tham số BÀI TẬP 1 Điều tra 30 sinh viên về điểm thi môn xác suất - thống kê thu được số liệu sau: Điểm thi 0 - 2 2 - 4 4 - 6 6 - 8 8 - 10 5 3 10 8 4 Số sinh viên Biết rằng điểm thi của sinh viên là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn là 0,5 a Hãy ước lượng điểm thi trung bình của sinh viên với độ tin cậy 95% b Nếu muốn độ chính xác của ước lượng là... 141 Bài 6: Ước lượng tham số a b c d e 99% 98% 97% 96% 95% 10 Trong một cuộc điều tra về chiều cao của nam thanh niên Việt nam trong những năm gần đây, người ta đã kết luận rằng chiều cao trung bình trong khoảng ( 165 ,84; 172,82) Hãy cho biết trung bình mẫu điều tra là bao nhiêu, biết rằng chiều cao của nam thanh niên là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn a 169 ,13 b 169 ,23 c 169 ,33 d 169 ,43 e 169 ,73... 0,025 = 1, 96 Từ đó khoảng ước lượng của p là: ⎛ ⎞ 0,12 × 0,88 0,12 × 0,88 p ∈ ⎜⎜ 0,12 − 1, 96; 0,12 + 1, 96 ⎟⎟ 100 100 ⎝ ⎠ ⇒ p ∈ (0, 0 56; 0,184) • Xác định cỡ mẫu Trong thực hành, trước khi tiến hành thu thập số liệu, người ta cần xác định cỡ mẫu tối thiểu đối với mỗi nghiên cứu để đáp ứng được mục tiêu nghiên cứu đồng thời thỏa mãn các điều kiện thực tế Một trong những cách xác định cỡ mẫu có thể trình. .. như sau: 137 Bài 6: Ước lượng tham số Xét khoảng ước lượng hai phía cho p , ta có: ε = | p − f |< f(1 - f) n uα / 2 Khi n càng lớn thì độ sai lêch giữa p và tần suất f càng nhỏ, ε được gọi là độ chính xác của ước lượng Nếu cho trước độ chính xác là ε0 khi đó cỡ mẫu tối thiểu cần có là ⎡ f (1 − f ) ⎤ n 0 = ⎢( u α / 2 )2 ⎥ + 1 ε0 ⎣⎢ ⎦⎥ Ví dụ 12: Xét bài toán trong Ví dụ 11 Nếu muốn độ chính xác là 0,03... lấy tối thiểu bao nhiêu sản phẩm để kiểm tra? Giải: Ta có độ chính xác ε0 = 0, 03 ; u 0,025 = 1, 96 Vậy số sản phẩm tối thiểu cần lấy ra kiểm tra 2 ⎡⎛ ⎞ ⎤ × 0,12 0,88 × 1,19 ⎟⎟ ⎥ + 1 = [ 450, 75 + 1] n 0 = ⎢⎜⎜ ⎢⎝ 0, 03 ⎠ ⎥⎦ ⎣ ⇒ n 0 = 451 138 Bài 6: Ước lượng tham số TÓM LƯỢC CUỐI BÀI Trong bài này các bạn cần nắm vững khái niệm về bài toán ước lượng tham số và phương pháp tìm ước lượng khoảng cho các... 150- 160 160 -170 170-180 180-190 5 11 10 4 Số hộ gia đình Hãy tìm ước lượng không chệch của : a Lượng điện tiêu thụ trung bình b Phương sai của lượng điện tiêu thụ 5 Xét số liệu đã cho trong bài tập 4, với độ tin cậy 95% Hãy ước lượng lượng điện tiêu thụ trung bình hàng tháng của các hộ gia đình 6 Xét số liệu trong bài tập 4, với độ tin cậy 90% Hãy ước lượng độ phân tán của lượng điện tiêu thụ 144 Bài 6: ... 15,5 - 16 16 - 16, 5 16, 5 - 17 2 8 13 2 Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng thời gian trung bình tàu chạy từ A đến B? 8 Trong một báo cáo về tỷ lệ ủng hộ ứng cử viên A cho chức tổng thống người ta đã thăm dò 1500 cử tri khẳng định rằng tỷ lệ đó nằm trong khoảng (0,519; 0,581) Khi đó thì số người đã ủng hộ cho ứng cử viên A là bao nhiêu? a 850 b 840 c 830 d 825 e 820 9 Với số liệu đã cho như trong bài tập... cỡ n, với độ tin cậy 95% khoảng ước lượng cho kỳ vọng là (15 ,63 ; 17,59) Khi đó cỡ mẫu n phải là: a 64 b 65 c 66 d 74 e không xác định được 13 Gieo thử 400 hạt giống thì thấy rằng có 20 hạt không nảy mầm Khi đó ước lượng khoảng đối xứng cho tỷ lệ hạt giống nảy mầm với độ tin cậy 95% là: a (0,925; 0,9 76) b (0,929; 0,971) c (0,929; 0,984) d (0,925; 0,984) 14 Cho biến ngẫu nhiên X ~ N(μ;9) với mẫu ngẫu... Quan sát 25 chuyến tàu từ A đến B ta thu được số liệu: Thời gian (h) Số chuyến 15 - 18,5 15,5 - 16 16 - 16, 5 16, 5 - 17 2 8 13 2 Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng thời gian trung bình tàu chạy từ A đến 8 Xét số liệu trong bài tập 7, chuyến tàu chạy từ A đến B gọi là đạt chuẩn nếu thời gian chạy nhỏ hơn 16 h Hãy ước lượng tỷ lệ số chuyến đạt chuẩn với độ tin cậy 95% 9 Gieo thử 400 hạt giống thì thấy ... n ⎠ ⎛|X|⎞ e X ± ⎜ ⎟ uα / ⎝ n⎠ 143 Bài 6: Ước lượng tham số BÀI TẬP Điều tra 30 sinh viên điểm thi môn xác suất - thống kê thu số liệu sau: Điểm thi - 2 - 4 - 6 - 8 - 10 10 Số sinh viên Biết điểm... số 6. 2 Ước lượng không chệch Định nghĩa 1: Thống kê Θ* gọi ước lượng không chệch cho tham số θ E(Θ* ) = θ Nếu khác ta nói Θ* ước lượng chệch θ 127 Bài 6: Ước lượng tham số Ví dụ 2: n Thống kê. .. Từ x = 11, 67 2 , Φ (u α / ) = − α = 0,975 ; u 0,025 = 1, 96 Vậy khoảng ước lượng thu nhập trung bình μ là: μ ∈ (11, 67 2 − 0, 0, 1, 96; 11, 67 2 + 1, 96) = (11,594; 11,75) 25 25 Ví dụ 6: (Xét Ví