Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất Bài 1: BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Các kiến thức cần có • Nhắc lại giải tích tổ hợp; • Quy tắc nhân; • Chỉnh hợp lặp; • Phép thử ngẫu nhiên loại biến cố; • Khái niệm phép thử; • Xác suất biến cố; • Định nghĩa cổ điển xác suất; • Định nghĩa thống kê xác suất; • Nguyên lý xác suất lớn, xác suất nhỏ; • Các định lý công thức xác suất; • Xác suất có điều kiện; • Công thức nhân xác suất; • Công thức cộng xác suất; Mục tiêu Bài giới thiệu cho học viên số khái niệm (phép thử, biến cố, xác suất, …) công cụ tính toán (định lý, công thức tính xác suất, …) lý thuyết Xác suất Với kiến thức tảng đó, học viên thực tập ứng dụng đơn giản xác suất nhiều lĩnh vực khác (kinh tế, xã hội, kỹ thuật, quản lý định, …) • Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes; • Công thức Bernouli Thời lượng • tiết Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG BÀI Tình Công ty xử lý nước thải Hà Nội cần tính diện tích mặt Hồ Gươm Hà Nội để xử lý nước Câu hỏi Nếu coi Hồ Gươm hình tròn, diện tích Hồ Gươm tính nào? Thực tế, Hồ Gươm hình tròn, không biểu diễn dạng hàm Vậy làm cách để tính diện tích mặt hồ? Bạn đưa đề xuất để tính thể tích đá vôi khai thác từ núi? Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất 1.1 Nhắc lại giải tích tổ hợp 1.1.1 Quy tắc nhân Giả sử công việc trình chia thành k giai đoạn: có n1 cách thực giai đoạn thứ nhất, n2 cách thực giai đoạn thứ hai, …, nk cách thực giai đoạn thứ k Khi ta có n cách thực toàn công việc (hoặc trình): n = n1 n2 nk Ví dụ: Để bay từ Hà Nội tới London phải qua trạm dừng chân Hong Kong, có hãng hàng không phục vụ bay từ Hà Nội đến Hong Kong (Vietnam Airline Pacific Airline) có hãng không phục vụ bay từ Hong Kong tới London (Air Hong Kong Limited, Cathay Pacific Airways, CR Airways Hong Kong Airlines) Vậy có n = x = cách bay từ Hà Nội tới London (qua trạm dừng chân Hong Kong) 1.1.2 Chỉnh hợp Hình 1.1: Giá trị hàm phân phối F(x) xác định qua tích phân hàm mật độ f(x) Định nghĩa: Chỉnh hợp chập k n phần tử (k ≤ n) nhóm có thứ tự gồm k phần tử khác chọn từ n phần tử cho Ký hiệu A kn chỉnh hợp chập k n phần tử, lúc ta có công thức tính sau: A kn = n! = n(n − 1) (n − k + 1) (n − k)! Ví dụ: Có đội bóng tham dự vòng chung kết bóng đá Kết cuối trao huy chương “Vàng”, “Bạc” “Đồng” cho đội nhất, nhì ba Vậy có ba đội bóng nhận huy chương “Vàng”, “Bạc” “Đồng”? Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất Mỗi ba đội bóng nhận huy chương “Vàng”, “Bạc” “Đồng” chỉnh hợp chập phần tử, số khả chọn đội đoạt giải là: A 35 = x x = 60 1.1.3 Chỉnh hợp lặp Định nghĩa: Chỉnh hợp lặp chập k n phần tử (k ≤ n) nhóm có thứ tự gồm k phần tử không thiết khác nhau, chọn từ n phần tử cho Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử kí hiệu A kn có công thức tính là: A kn = n k Ví dụ: Có ô tô cần sửa ghé ngẫu nhiên vào trung tâm bảo dưỡng tuyến phố Có trường hợp xảy ra? Ta thấy việc đưa ô tô vào trung tâm để sửa chỉnh hợp lặp chập (mỗi lần đưa ô tô vào trung tâm sửa chữa xem ta chọn trung tâm Do có xe nên việc chọn trung tâm sửa tiến hành lần) Vậy số trường hợp xảy là: A 36 = 36 = 729 1.1.4 Hoán vị Định nghĩa: Hoán vị m phần tử nhóm có thứ tự gồm đủ m phần tử cho Số hoán vị m phần tử ký hiệu Pm tính công thức: Pm = m! Ví dụ: Một bàn lớp học có sinh viên Có cách xếp chỗ ngồi? Mỗi cách xếp chỗ sinh viên bàn hoán vị phần tử Số cách xếp là: P4 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 1.1.5 Tổ hợp Định nghĩa: Tổ hợp chập k n phần tử (k ≤ n) nhóm không phân biệt thứ tự, gồm k phần tử khác chọn từ n phần tử cho Số tổ hợp chập k n phần tử kí hiệu Ckn tính qua công thức: Ckn = n! n(n − 1) (n − k + 1) = k!(n − k)! k! Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất CHÚ Ý Với công thức tổ hợp, có số đẳng thức đáng nhớ sau đây: 0! = (quy ước) Ckn = Cnn − k (học viên tự chứng minh) C kn = C kn −−11 + C kn −1 (học viên tự chứng minh) Ví dụ: Một đề thi gồm câu hỏi lấy ngân hàng 50 câu hỏi cho trước Có thể lập đề thi khác nhau? Số đề thi lập là: C350 = 50! 50.49.48 = = 19600 3!.(47)! 3.2.1 1.2 Phép thử ngẫu nhiên loại biến cố 1.2.1 Khái niệm phép thử Khi tiến hành thí nghiệm, phép đo lường lần quan sát, coi thực nhóm điều kiện Theo lý thuyết xác suất, thực phép thử Định nghĩa : Phép thử thực nhóm điều kiện xác định (có thể lặp lại nhiều lần) để quan sát tượng có xảy hay không Hiện tượng xảy không xảy kết phép thử gọi biến cố (hoặc gọi kết cục) Để làm rõ khái niệm này, xét ví dụ sau đây: Ví dụ 1: Gieo đồng xu (cân đối, đồng chất, mặt phẳng cứng) thực phép thử Đồng xu lật mặt (sấp, ngửa) biến cố Ví dụ 2: Gieo súc sắc (cân đối, đồng chất, mặt phẳng cứng) phép thử Súc sắc gieo mặt chấm (1, 2, 3, 4, 5, 6) biến cố Ví dụ 3: Bắn viên đạn vào bia phép thử Viên đạn trúng hay trượt bia biến cố Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất Hình 1.2: Mặt trời mọc từ đằng đông biến cố chắn Phân loại biến cố Tiếp theo, để đơn giản cho việc trình bày, đặt tên biến cố ta thường dùng dấu "=", chẳng hạn A ="lấy sản phẩm tốt" Giả sử phép thử G thực hiện, biến cố xảy phân loại theo nhiều cách khác nhau: CHÚ Ý Trong nội dung giảng này, nói gieo đồng xu, gieo súc sắc ta giả thiết điều kiện “cân đối”, “đồng chất”, “trên mặt phẳng cứng” thoả mãn 1.2.1.1 Xét góc độ có xảy hay không kết phép thử G, ta có loại biến cố • Biến cố ngẫu nhiên biến cố xảy không xảy phép thử thực hiện, thường ký hiệu chữ in hoa: A, B, C, Các biến cố ngẫu nhiên gọi đồng khả chúng có khả xuất phép thử • Biến cố chắn biến cố định xảy kết phép thử Biến cố chắn ký hiệu Ω hay U • Biến cố có biến cố định không xảy kết phép thử ký hiệu ∅ hay V Ví dụ 4: Thực phép thử tung súc sắc cân đối, đồng chất Khi : o Biến cố tung mặt chẵn chấm biến cố ngẫu nhiên, o Biến cố tung mặt có số chấm nhỏ biến cố chắn, o Biến cố tung mặt chấm biến cố có 1.2.1.2 Xét góc độ phân tích nhỏ biến cố hay không, ta có loại biến cố • Biến cố sơ cấp biến cố phân tích thành biến cố nhỏ Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất • Biến cố phức hợp biến cố phân tích thành biến cố nhỏ Ví dụ 5: Biến cố đồng xu tung mặt sấp hay ngửa biến cố sơ cấp Ví dụ 6: Tung súc sắc mặt có số chấm chẵn biến cố phức hợp, phân tích thành biến cố tung mặt có 2, chấm 1.2.1.3 Xét góc độ kết hợp biến cố khác, ta có loại biến cố • Biến cố tổng: Biến cố C gọi tổng biến cố A B, ký hiệu C = A + B, C xảy hai biến cố A B xảy Biến cố tổng biến cố phức hợp Một cách tổng quát, tổng n biến cố A1 , A , , A n biến cố mà xảy biến cố Ai xảy ra, ký hiệu n ∑A i =1 = A1 + A + A n i Ví dụ 7: Một công ty có hai cửa hàng đại lý Nếu gọi A biến cố đại lý bán hàng, B biến cố đại lý bán hàng, biến cố tổng C = A + B biến cố công ty bán hàng Ví dụ 8: Một người khách du lịch đến thăm quan đất nước có địa điểm du lịch tiếng Các biến cố A1 , A , , A biến cố người khách du lịch thăm quan địa điểm du lịch thứ i, biến cố tổng là: A = ∑ Ai i =1 A = “người khách du lịch ghé qua thăm số địa điểm du lịch trên” • Biến cố tích: Biến cố C gọi tích hai biến cố A B, ký hiệu AB, C xảy A B xảy Tích n biến cố A1 , A , , A n biến cố mà xảy tất biến cố Ai đồng thời xảy ra, ký hiệu: n ∏A i =1 = A1A A n Hình 1.3: Quay ba số bạn trúng giải độc đắc Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất Ví dụ 9: Gọi A1 biến cố đại lý không tiêu thụ sản phẩm công ty, B1 biến cố đại lý không tiêu thụ sản phẩm công ty, biến cố tích C1 = A1B1 biến cố công ty không tiêu thụ sản phẩm • Biến cố hiệu: Hiệu biến cố A B, ký hiệu A \ B , biến cố xảy A xảy B không xảy Ví dụ 10: Giả sử biến cố A = “gieo súc sắc mặt chẵn chấm” biến cố B = “gieo súc sắc mặt chấm” Khi biến cố C = A \ B biến cố “gieo súc sắc mặt chấm chấm” 1.2.1.4 Xét quan hệ biến cố kết phép thử, ta có loại biến cố • Biến cố xung khắc: Hai biến cố A B gọi xung khắc chúng đồng thời xảy phép thử thực hiện, tức AB = φ Các biến cố A1 , A , , A n gọi đôi xung khắc (xung khắc đôi) hai biến cố chúng xung khắc với nhau, tức là: Ai A j = f ( " i ¹ j;i, j = 1¸ n) Ví dụ 11: Quan sát doanh nghiệp hoạt động năm, A biến cố doanh nghiệp làm ăn có lãi, B biến cố doanh nghiệp làm ăn thua lỗ Khi A B biến cố xung khắc AB = φ Định nghĩa : Nhóm biến cố A1 , A , A n lập nên hệ đầy đủ biến cố (nhóm đầy đủ biến cố), thỏa mãn hai điều kiện: o Tổng chúng biến cố chắn: A1 + A + + A n = Ω o Các biến cố A1 , A , A n đôi xung khắc với Ví dụ 12: Gieo xúc sắc ký hiệu Ai = "xuất mặt có i chấm", i = 1, ,6; A = "xuất mặt có số chấm chẵn"; B = "xuất mặt có số chấm lẻ"; Các biến cố A1, A2, ,A6 lập nên hệ đầy đủ biến cố; biến cố A, B lập nên hệ đầy đủ biến cố Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất • Biến cố đối lập: Biến cố không xảy biến cố A gọi biến cố đối lập với biến cố A, ký hiệu A Ta có: A + A = Ω AA = φ • Biến cố độc lập: Hai biến cố A B gọi độc lập với việc xảy hay không xảy biến cố không ảnh hưởng đến xác suất xảy biến cố ngược lại Khái niệm độc lập tổng quát cho nhiều biến cố: o Các biến cố A1 , A A n gọi độc lập đôi cặp biến cố chúng độc lập với o Hình 1.4: Thành tích vận động viên lần chạy độc lập với Các biến cố A1 , A , , A n gọi độc lập toàn phần (độc lập toàn thể) biến cố chúng độc lập với tổ hợp số biến cố lại • Biến cố phụ thuộc: Hai biến cố A B không độc lập gọi biến cố phụ thuộc Ví dụ 13: Có hai hộp sản phẩm Hộp I chứa sản phẩm tốt sản phẩm xấu, hộp II sản phẩm tốt sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên hộp sản phẩm Gọi A = "lấy sản phẩm tốt từ hộp I", B = "lấy sản phẩm tốt từ hộp II" Khi dễ thấy A B hai biến cố độc lập Trong trường hợp thực phép thử lấy ngẫu nhiên sản phẩm hộp I bỏ sang hộp II, lấy từ hộp II sản phẩm biến cố A B nói biến cố phụ thuộc Một số khái niệm khác quan hệ biến cố đưa định nghĩa đây: Định nghĩa : • Biến cố A gọi kéo theo biến cố B A xảy dẫn đến B xảy Khi ta ký hiệu A ⊂ B • Biến cố A B gọi tương đương A ⊂ B B ⊂ A Khi ta ký hiệu A = B • Mọi biến cố ngẫu nhiên A biểu diễn dạng tổng số biến cố sơ cấp Các biến cố sơ cấp tổng gọi biến cố thuận lợi cho biến cố A • Biến cố chắn Ω tổng biến cố sơ cấp Do biến cố Ω gọi không gian biến cố sơ cấp Ví dụ 14: Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất Trong phép thử gieo đồng xu không gian biến cố sơ cấp là: Ω = {S; N} Trong phép thử gieo súc sắc không gian biến cố sơ cấp là: Ω = {A1 , A , A3 , A , A , A } Nhận xét Qua nội dung trình bày đây, ta thấy: • Các khái niệm biến cố tổng, tích, hiệu, đối lập tương ứng với khái niệm hợp, giao, hiệu, phần bù lý thuyết tập hợp Ta áp dụng phép toán tập hợp cho phép toán biến cố Cụ thể ta có A ⊂ A + B; AB ⊂ A; A ( B + C ) = AB + AC; A+B =B+ A A ( B + C ) = ( A + B ) + C; AB = BA; A ( BC ) = ( AB ) C = ( AC ) B • Hai biến cố đối lập lập thành hệ đầy đủ biến cố • Quy tắc đối ngẫu De Morgan áp dụng cho biến cố: A + B= AB ; AB = A + B Quy tắc de Morgan với n biến cố Augustus De Morgan( 1806 -1871) 10 Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất Bằng quy nạp tổng quát định lý nhân xác suất với n biến cố sau: Định lý : Nếu P ( A1A A n −1 ) > thì: P(A1A A n ) = P(A1 ) × P(A A1 ) × × P(A n A1A A n −1 ) (1.6) Từ dễ dàng thu hệ sau: Hệ 3: Nếu biến cố A1 , A , A n độc lập toàn phần ta có: P(A1A A n ) = P(A1 ) × P(A ) × × P(A n ) (1.7) Ví dụ 2: Một hộp đựng bi xanh bi đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi sau lấy tiếp bi thứ hai Tính xác suất lần thứ lấy bi xanh lần thứ hai lấy bi đỏ Giải: Gọi A biến cố lần thứ bi xanh, B biến cố lần thứ hai bi đỏ Ta có: P(AB) = P(A) × P(B A) = × = 15 14 15 Ví dụ 3: Một công nhân đứng máy, biết máy hoạt động độc lập với nhau, xác suất để thời gian T máy 1, 2, không bị hỏng hóc tương ứng 0,9; 0,8; 0,7 Tính xác suất để máy bị hỏng thời gian Giải: Gọi A, B, C tương ứng kiện máy 1, 2, không bị hỏng thời gian T Theo giả thiết, ta có: P(A) = 0,9; P(B) = 0,8; P(C) = 0, Xác suất tương ứng để máy bị hỏng thời gian T là: P(A) = 0,1; P(B) = 0, 2; P(C) = 0,3 Do máy hoạt động độc lập với nên biến cố A, B, C độc lập toàn phần Vậy xác suất để ba máy bị hỏng thời gian T là: P(ABC) = P(A)´ P(B)´ P(C) = 0,1´ 0, 2´ 0,3 = 0, 006 CHÚ Ý Hệ 3.2 cung cấp phương pháp dễ thực hành để kiểm tra tính độc lập: Hai biến cố A B độc lập P(AB) = P(A) × P(B) 17 Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất 1.4.3 Công thức cộng xác suất Cho A B hai biến cố Từ định nghĩa xác suất, ta chứng minh định lý sau: Định lý : Xác suất tổng hai biến cố tổng suất chúng trừ xác suất tích biến cố ấy: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) (1.8) Từ định lý 3.3, dễ dàng suy hệ sau: Hệ 4: Nếu A B hai biến cố xung khắc ta có: P(A + B) = P(A) + P(B) (1.9) Hệ 5: Công thức tính xác suất tổng n biến cố trường hợp biến cố A1, A2, , An đôi xung khắc Cụ thể, ta có: ⎛ n ⎞ n P ⎜ ∑ A i ⎟ = ∑ P(A i ) = P(A1 ) + P(A ) + + P(A n ) ⎝ i =1 ⎠ i =1 (1.10) Hơn nữa, A1 , A , , A n hệ thống đầy đủ biến cố phép thử thì: P(A1 ) + P(A ) + P(A n ) = (1.11) Hệ 6: Đối với biến cố A ta có: P(A) = − P(A) (1.12) Ví dụ 4: Hai xạ thủ người bắn phát vào bia Xác suất trúng đích người thứ 0,7 người thứ hai 0.8 Tính xác suất để có phát đạn trúng bia Giải: Gọi A biến cố xạ thủ thứ bắn trúng bia, B biến cố xạ thủ thứ hai bắn trúng bia Ta có: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) Vì A B độc lập nên: P(AB) = P(A).P(B) = 0, ´ 0,8 = 0,56 Vậy: P(A + B) = 0, + 0,8 - 0,56 = 0,94 Ví dụ 5: Một sản phẩm xuất xưởng phải qua ba lần kiểm tra Xác suất để phế phẩm bị loại lần kiểm tra đầu 0,8 Đồng thời, lần kiểm tra đầu sản phẩm không bị loại xác suất bị loại lần thứ hai 0,9 Tương tự lần thứ hai không bị loại xác suất bị loại lần kiểm tra thứ ba 0,95 Tính xác suất để phế phẩm bị loại qua ba lần kiểm tra 18 Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất Giải: Đặt A = "phế phẩm bị loại qua ba lần kiểm tra", Ai = "phế phẩm bị loại lần kiểm tra thứ i", i = 1, 2, Ta có A tổng ba biến cố xung khắc A = A1 + A1A + A1A A Do đó: P(A) = P(A1 ) + P(A1 )P(A A1 ) + P(A1 )P(A A1 )P(A A1A ) = 0,8 + 0,2 × 0,9 + 0,2 × 0,1 × 0,95 = 0,999 Tính theo cách khác, ta có: P(A) = − P(A1A A ) = − P(A1 )P(A A1 )P(A A1A ) =1 − 0,2 × 0,1 × 0,05 = 0,999 1.4.4 Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes 1.4.4.1 Công thức xác suất đầy đủ Cho A1 , A , , A n hệ đầy đủ biến cố phép thử A biến cố phép thử Giả sử ta biết xác suất P(A i ) P(A A i ) với i = 1, , n Khi xác suất biến cố A tính theo công thức: n P(A) = ∑ P(A i ) × P(A A i ) (1.13) i =1 Công thức gọi công thức xác suất đầy đủ Ví dụ 6: Có hộp bóng đèn, gồm hộp loại hộp có bóng chất lượng tốt bóng chất lượng Hai hộp loại hộp gồm bóng chất lượng tốt hai bóng chất lượng Lấy ngẫu nhiên hộp từ rút bóng đèn Tìm xác suất để bóng lấy bóng đèn có chất lượng Giải: Gọi A biến cố "bóng đèn lấy bóng có chất lượng kém", A1 biến cố "hộp lấy hộp loại 1", A2 biến cố "hộp lấy hộp loại 2" Vì việc chọn hộp bóng đèn hộp loại loại nên A1 A2 lập thành hệ đầy đủ biến cố Theo công thức xác suất đầy đủ ta có: P(A) = P(A1 ) × P(A A1 ) + P(A ) × P(A A ) Theo thông tin ta có: P(A1 ) = ; P(A A1 ) = Vậy: P(A ) = ; ; 10 P(A A ) = = 3 29 P(A) = × + × = 10 150 19 Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất Ví dụ 7: Có lô sản phẩm Lô có 50 sản phẩm có 20 sản phẩm xấu Lô có 40 sản phẩm, có 15 sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên lô từ lấy sản phẩm Tìm xác suất để sản phẩm lấy sản phẩm tốt Giải: Ký hiệu Hi biến cố “Sản phẩm lấy từ lô i”, i = 1, Khi {H1, H2} lập thành hệ đầy đủ biến cố Đặt A biến cố “Sản phẩm lấy sản phẩm tốt” theo công thức xác suất toàn phần ta có: P(A) = P(H1 ) × P(A H1 ) + P(H ) × P(A H ) 49 P(A) = × + × = 80 1.4.4.2 Công thức Bayes Với giả thiết công thức xác suất đầy đủ, thêm điều kiện phép thử thực kết biến cố A xảy ra, ta quan tâm đến việc A xảy với biến cố A i hệ đầy đủ biến cố Theo định lý nhân xác suất ta có: P(Ai A) = P(Ai A) P(Ai ) × P(A Ai ) = P(A) P(A) (1.14) Công thức gọi công thức Bayes Trong công thức đó, xác suất P(A i A) thường gọi xác suất hậu nghiệm, xác suất P(A i ) gọi xác suất tiên nghiệm Ví dụ 8: Hai máy sản xuất loại linh kiện Các linh kiện đóng chung vào thùng Năng suất máy thứ hai gấp đôi suất máy thứ Máy thứ sản xuất trung bình 63% linh kiện loại tốt, máy thứ hai 81% linh kiện loại tốt Từ thùng hàng lấy ngẫu nhiên linh kiện thấy linh kiện loại tốt Tìm xác suất để linh kiện máy thứ sản xuất Giải: Ký hiệu Ai biến cố “linh kiện máy thứ i sản xuất”, i = 1, A biến cố “linh kiện lấy thuộc loại tốt” Ta cần tìm P(A1 A) P(A1 ) = ; P(A A1 ) = ; P(A) = Theo công thức Bayes ta có: P(A1 A) = P(A1 )´ P(A A1 ) P(A) Vậy: ´ 0, 63 P(A1 A) = = 0, 28 0, 75 20 ´ 0, 63 + ´ 0,81 = 0, 75 3 Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất Ví dụ 9: Một dây chuyền sản xuất loại phận khác thiết bị: phận phức tạp chiếm 35%, phận đơn giản chiếm 65% tổng số linh kiện toàn thiết bị Xác suất hỏng sau khoảng năm hoạt động loại phận thiết bị tương ứng 15% 35% Máy hoạt động bị hỏng, tính xác suất bị hỏng loại phận cấu tạo máy (giả thiết loại phận cấu tạo thiết bị không hỏng đồng thời) Giải: Gọi A biến cố máy bị hỏng, A i biến cố linh kiện bị hỏng thuộc loại i, với i = 1,2 Khi biến cố A i lập nên hệ đầy đủ biến cố Ta cần tính xác suất P(A i A) Theo công thức xác suất đầy đủ ta có: P(A) = P(A1 )´ P(A A1 ) + P(A )´ P(A A ) = 0,35´ 0,15 + 0, 65´ 0,35 = 0, 28 Áp dụng công thức Bayes ta lại có: 0,35´ 0,15 = 0,1875 0, 28 P(A1 A) = Tương tự ta tính được: P(A A) = 0,8125 Ví dụ 10: Biết tỷ lệ công nhân nghiện thuốc nhà máy 30%, tỷ lệ người viêm họng số công nhân nghiện thuốc 60%, số người không nghiện thuốc 40% • Chọn ngẫu nhiên công nhân, thấy công nhân viêm họng Tính xác suất để công nhân nghiện thuốc • Nếu công nhân không bị viêm họng, tính xác suất để công nhân nghiện thuốc Giải: Gọi A biến cố chọn công nhân viêm họng, B biến cố công nhân chọn người nghiện thuốc Khi B B lập thành hệ đầy đủ biến cố Ta có: P(B) = 0,3 P(A B) = 0, P(B) = 0, 7; P(A B) = 0, Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có: P(A) = 0,3´ 0, + 0, ´ 0, = 0.46 o Xác suất để người công nhân nghiện thuốc viêm họng là: P(B A) = 0,3´ 0, = 0,39 0, 46 21 Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất o Xác suất để người công nhân nghiện thuốc không bị viêm họng là: P(A) = 1- P(A) = 0,54 P(B A) = 1.4.5 P(A)´ P(A B) P(A) = 0,3´ 0, = 0, 222 0,54 Công thức Bernoulli Thực lặp lại n lần phép thử cách độc lập Trong lần thử ta quan tâm xuất biến cố A Giả sử xác suất xuất A lần thử p (xác suất thành công) Khi đó, xác suất để n lần thử cho có x lần biến cố A xuất (x lần thành công) tính công thức Bernoulli: Pn (x) = C nx p x (1 − p) n − x với x = 0,1, 2, , n (1.15) Ví dụ 11: Một người bắn viên đạn vào bia với xác suất bắn trúng viên đạn 0,7 • Tính xác suất để có viên đạn trượt bia • Tính xác suất để bia bị trúng đạn Giải: o Gọi A i biến cố viên đạn thứ i bắn trượt bia với i = 1, 2,3 o Ta có toán xác suất với lược đồ Bernoulli ⎧n = ⎪ ⎨p(A i ) = 0,3 ⎪ ⎩p(A i ) = 0, o i = 1, 2,3 Gọi A biến cố "trong viên đạn bắn vào bia có viên bị trượt" Khi ấy: P(A) = P3 (1) = C13 ( 0,3) ( 0, ) = 0, 441 Gọi B biến cố "bia bị trúng đạn" Dễ dàng thấy: P(B) = − P3 (0) = − C30 ( 0, 3) ( 0, ) Ví dụ 12: Một đại lý lấy hàng từ tổng kho công ty SAMSUNG 14 ti vi Giả sử việc ti vi bị hỏng độc lập với xác suất bị hỏng ti vi 0,04 Tính xác suất để: • Có nhiều tivi bị hỏng, • Có nhiều hai tivi bị hỏng Giải: o Gọi A biến cố "có nhiều tivi bị hỏng" A i biến cố “chiếc ti vi thứ i bị hỏng” với i = 1, ,14 Theo giả thiết P(A i ) = 0, 04 Ta có lược đồ Bernoulli với n = 14 sau: P(A) = P14 (0) + P14 (1) = C14 ( 0, 04 ) ( 0,96 ) + C141 ( 0, 04 ) ( 0,96 ) 22 14 13 Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất o Gọi B biến cố "trong 14 ti vi lấy có nhiều hai tivi bị hỏng" Ta có: P(B) = P14 (0) + P14 (1) + P14 (2) = C14 ( 0, 04 ) ( 0,96 ) + C114 ( 0, 04 ) ( 0,96 ) + C142 ( 0, 04 ) ( 0,96 ) 14 13 12 Ví dụ 13: Tỷ lệ người mắc bệnh lao vùng 10% Kiểm tra ngẫu nhiên 100 người vùng • Tính xác suất để 100 người kiểm tra không người bị bệnh lao • Tính xác suất để 100 người kiểm tra có người bệnh lao Giải: o Gọi A biến cố "người kiểm tra bị bệnh lao, theo giả thiết P(A) = 0,1 o Lập luận tương tự ví dụ bên với n = 100, p = 0,1, ta có: ƒ 100 P100 (0) = C100 (0,1) (0,9) = (0,9)100 ƒ Gọi B biến cố "trong 100 người kiểm tra có người mắc bệnh lao" Khi B biến cố "trong 100 người kiểm tra người mắc bệnh lao" Ta có: P(B) = 1- P(B) = 1- P100 (0) = 1- (0,9)100 23 Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất TÓM LƯỢC CUỐI BÀI Chương giới thiệu vấn đề mở đầu lý thuyết xác suất thống kê, giới thiệu khái niệm công thức tính xác suất Các bạn cần phải nắm vững khái niệm công thức học công thức cộng, nhân xác suất, công thức tính xác suất qua biến cố đối, công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes công thức Bernoulli 24 Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Cho biến cố A, B, C Biến cố “Có biến cố A, B, C xảy ra” là: a b ABC A ∪B∪C c d ABC ∪ BAC ∪ CAB ABC Cho hai biến cố A B Khẳng định a AB = Ω \ AB b Các biến cố A, A A ∪ B , không xung khắc đôi c Các biến cố A, A A ∪ B , tạo thành hệ đầy đủ biến cố d Các biến cố A \ B, AB, AB A ∪ B tạo thành hệ đầy đủ biến số Cho biến cố A, B thoả mãn < P(A), P(B) < Kết luận kéo theo A B xung khắc? a A B xung khắc b A B xung khắc c P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) d P(A ∪ B) = P ( A ) + P ( B ) + P ( AB ) Cho A, B biến cố thoả mãn < P(A), P(B) < Khẳng định a P ( AB ) ≤ ( P ( A ) , P ( B ) ) b Nếu P ( A ) ≤ P ( B ) A ⊆ B c P ( AB ) = − P ( AB ) d P ( A ) = P ( A ∪ B) \ P ( B) Khẳng định cho biến cố A, B với < P(A) < < P(B) P ( A | B) c Nếu P(A) = P(B) P ( A | B ) = P ( B | A ) d Nếu P ( A | B ) = P ( B | A ) P(A) = P(B) Cho biến cố A B thỏa mãn < P(A), P(B) < Nếu P(A B) = P(B A) thì: a b A B biến cố đọc lập A B biến cố xung khắc c P ( A | B) = P ( B | A ) d P ( A | B) = P ( B | A ) 25 Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất Cho biến cố A, B thoả mãn < P(A) < < P(B) P ( A ) A B độc lập b Nếu A ⊂ B P ( B | A ) = c Nếu A B xung khắc P ( A | B ) = d P ( A | B) + P ( A | B) = Cho biến cố A, B thoả mãn < P(A), P(B) < Khi đó: a P ( A ) P ( B | A ) + P ( B) P ( A | B) = b P ( A | B) > P ( A ) c P ( A ) P ( A | B) = P ( B) P ( B | A ) d P ( B) P ( A | B) = P ( A ) P ( B | A ) Có hai thùng hàng, thùng A có 80 sản phẩm loại I 40 sản phẩm loại II; thùng B có sản phẩm loại I? có 70 sản phẩm loại II Chọn ngẫu nhiên thùng, từ lấy sản phẩm thấy sản phẩm loại II Xác suất để thùng B là: a 0,554 b 0,555 c 0,556 d 0,557 10 Có hộp sản phẩm: hộp thứ có phẩm phế phẩm; hộp thứ hai có phẩm phế phẩm Người ta lấy hộp sản phẩm Xác suất để số phế phẩm lại hai hộp là: 26 a 0,3 b 0,31 c 0,32 d 0,33 Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất BÀI TẬP Một người mua sản phẩm loại cửa hàng Gọi A i biến cố mua sản phẩm tốt lần thứ i (i = 1, 2,3) a Hãy mô tả lời biến cố sau: A1A A A1A A A1 + A + A A1 + A + A A1A A b Hãy biểu diễn biến cố sau theo biến cố A i A = "Có lần người mua sản phẩm tốt" B = "Có lần người mua sản phẩm tốt" C = "Có nhiều lần người mua phải sản phẩm xấu" D = "Có lần thứ mua sản phẩm tốt" Tung đồng thời đồng xu (giống nhau; cân đối đồng chất có mặt sấp - ngửa) a Có "kết cục nhất, đồng năng" xảy Hãy nêu cách tính b Có kết cục thuận lợi cho biến cố A với A = "có đồng xu xuất mặt ngửa"? Gieo đồng thời hai xúc sắc (giống nhau, cân đối đồng chất) Tính xác suất biến cố sau: a Tổng số chấm xuất súc sắc chấm b Tổng số chấm xuất súc sắc c Tổng số chấm xuất hai lớn chấm d Tổng số chấm xuất hai 10 biết xuất mặt chấm e Có xuất mặt chấm biết số chấm hai khác f Số chấm xuất súc sắc chấm g Số chấm xuất hai khác Một người ngày tung xúc xắc để cầu may vào buổi sáng sớm, cho tung xúc xắc có ngày hôm ngày may mắn Tuần vừa có ngày may mắn Tính xác suất lần không lần có nhiều xúc xắc có mặt Có 12 khách hàng vào siêu thị có tầng cách ngẫu nhiên Tìm xác suất để: a Mỗi tầng có khách hàng b Một tầng có khách hàng, tầng có khách hàng, hai tầng lại tầng có khách hàng Có mười thẻ đánh số từ đến Lấy ngẫu nhiên thẻ xếp thành số gồm chữ số Tìm xác suất để số chia hết cho 18 27 Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất Cho ba biến cố A, B ,C có xác suất: P(A) = 0,525 P(B) = 0,302 P(C) = 0,48 P(AB) = 0,052 P(BC) = 0,076 P(CA) = 0,147 P(ABC) = 0,03 Chứng minh số liệu đưa không xác Cho biết câu sau câu đúng, câu sai, câu chưa xác định Vì sao? Mỗi giải thích cho ví dụ a Hai biến cố xung khắc phụ thuộc b Hai biến cố độc lập không xung khắc c Hai biến cố đối lập độc lập Chứng minh rằng: A B hai biến cố độc lập cặp biến cố sau biến cố độc lập a A B b A B c A B 10 Có n thẻ đánh số từ đến n xếp ngẫu nhiên thành hàng Thẻ mang số k gọi “nằm vị trí” nằm vị trí thứ k Tính xác suất để xếp ngẫu nhiên n thẻ trên, ta có thẻ “nằm vị trí” 11 Cho H1; H2 hai biến cố tạo thành nhóm đầy đủ biến cố, câu sau câu đúng, sao? a H1 H2 hai biến cố đối lập b H1 H2 hai biến cố độc lập c H1 H2 hai biến cố không xung khắc 12 Một hộp đựng 12 sản phẩm có phẩm phế phẩm a Lấy đồng thời hai sản phẩm từ hộp, tính xác suất lấy phẩm b Lấy hai sản phẩm từ hộp theo phương thức không hoàn lại, tính xác suất lấy hai phẩm 13 Một lô hàng có 80% phẩm 20% phế phẩm a Lấy đồng thời hai sản phẩm từ lô hàng, tính xác suất lấy hai phẩm b Lấy hai sản phẩm từ lô hàng theo phương thức không hoàn lại, tính xác suất lấy hai phẩm 14 Một công ty cần tuyển nhân viên, sau hết hạn nhận hồ sơ dự tuyển, công ty thông báo: 28 Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất người muốn trúng tuyển phải qua ba vòng thi, trúng tuyển vòng trước dự thi vòng sau, vòng lấy 90% số người dự tuyển(lấy từ cao xuống thấp) vòng lấy 80%, vòng lấy 60% Một người dự thi vào Công ty bị trượt, tính xác suất để người bị trượt vòng 15 Một người có chùm chìa khó gồm 15 có chìa mở khoá, Anh ta thử chìa mở khoá(chiếc thử xong đánh dấu) Tính xác suất để thử lần thứ mở kho 16 Có hai túi hàng Túi I có sản phẩm tốt sản phẩm xấu túi II có sản phẩm tốt sản phẩm xấu a Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ túi I cho sang túi II từ túi II ta lại lấy sản phẩm Tính xác suất để sản phẩm chọn ta có sản phẩm tốt b Từ túi lấy ngẫu nhiên sản phẩm Các sản phẩm lại dồn vào túi III từ túi III ta lấy sản phẩm Tính xác suất để sản phẩm chọn sản phẩm tốt 17 Một hộp đựng m cầu trắng n cầu đỏ (m >1; n > 1) Lấy cầu a Tính xác suất để lần thứ lấy cầu trắng b Tính xác suất để lần thứ lấy cầu đỏ c Tính xác suất để lần cuối lấy cầu trắng d Khi lấy có hoàn lại, tính lại xác suất 18 Một nhà máy sản xuất tivi có máy sản xuất Sau quan sát, thống kê máy A sản xuất 30% số tivi nhà máy, máy B sản xuất 40% số tivi nhà máy Tỷ lệ tivi chưa đạt tiêu chuẩn xuất xưởng máy tương ứng 0,35% 0,28% Các máy khác cho tỷ lệ thành phẩm đạt chuẩn xấp xỉ 100% có tỷ lệ sản xuất ngang a Lấy ngẫu nhiên tivi nhà máy sản xuất, tính xác suất để lấy bóng đèn tốt b Tính xác suất để lấy bóng đèn máy A sản xuất biết lấy bóng bị hỏng c Nếu tỷ lệ sản phẩm không đạt chuẩn máy lại 0,15% 0,23%, tính lại xác suất 19 Biết tỷ lệ người mắc bệnh ung thư địa phương 1,2% Người ta sử dụng phản ứng mà người bị bệnh phản ứng luôn dương tính, không bị bệnh phản ứng dương tính với xác suất 0,2 a Tìm xác suất phản ứng dương tính b Tìm xác suất bị bệnh, không bị bệnh nhóm người có phản ứng dương tính c Nếu chọn ngẫu nhiên người địa phương kiểm tra lần có phản ứng dương tính, tính xác suất không bị bệnh 20 Để hoàn thành môn học, sinh viên phải qua lần thi để dự lần thi tiếp theo, người phải thi đỗ lần trước Biết xác suất thi đỗ lần 1, tương ứng 0,9; 0,8 0,7 Chọn ngẫu nhiên sinh viên thấy sinh viên không hoàn thành môn học Tính xác suất để sinh viên bị trượt lần thi thứ 21 Biết người có nhóm máu AB nhận máu nhóm máu Nếu người có nhóm máu lại (A, B hay O) nhận máu người có nhóm máu với họ người có nhóm máu O Cho biết tỷ lệ người có nhóm mãu O, A, 29 Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất B AB tương ứng 33,7% - 37,5% - 20,9% 7,9% a Chọn ngẫu nhiên người cần tiếp máu người cho máu Tính xác suất để truyền máu thực b Chọn ngẫu nhiên người cần tiếp máu người cho máu Tính xác suất để truyền máu thực c Chọn ngẫu nhiên ca truyền máu thực thành công Biết người cho máu thuộc nhóm máu B Tính xác suất để người vừa nhận máu thuộc nhóm máu AB d Chọn ngẫu nhiên ca truyền máu thực thành công Biết người vừa nhận máu thuộc nhóm máu A Tính xác suất để người vừa cho máu thuộc nhóm máu O 22 Một hộp chứa a bút đỏ b bút đen Chọn ngẫu nhiên bút, xem bút màu trả lại vào hộp với c bút khác màu a Tiếp tục chọn ngẫu nhiên bút thấy bút đỏ Tính xác suất để bút chọn lần đầu bút đen b Giả sử ta lặp lại trình nêu đề nhiều lần Tính xác suất để lần lấy thứ n, ta lấy bút đỏ, n ≥ 23 Hai công ty A B kinh doanh sản phẩm Xác suất thua lỗ công ty A 0,2 xác suất thua lỗ công ty B 0,4 Tuy nhiên thực tế, xác suất để hai công ty thua lỗ thị trường 0,1 Tính xác suất biến cố sau : a Chỉ có công ty thua lỗ b Có công ty làm ăn không thua lỗ 24 Chia đôi số cầu có thùng gồm trắng xanh thành phần Tìm xác suất biến cố sau : a Cả hai phần có số đỏ b Một phần có đỏ 25 Để thi nâng bậc, công nhân chọn ngẫu nhiên loại sản phẩm để gia công hoàn thiện Xác suất để công nhân gia công sản phẩm đạt tiêu chuẩn với loại sản phẩm 0.8, 0.9 0.95 Sau thi biết người công nhân thi đỗ, tìm xác suất người chọn loại sản phẩm mà thành thạo nhất, biết thi sản phẩm phải hoàn thiện phải đạt tiêu chuẩn 26 Một bệnh nhân vào bệnh viện khám Bác sỹ chuẩn đoán sơ người mắc bệnh A với xác suất 1/2, bệnh B với xác suất 1/6 bệnh C với xác suất 1/3 Biết xét nghiệm sinh hóa bệnh A có phản ứng dương tính 10%, bệnh B có phản ứng dương tính 20% bệnh C có phản ứng dương tính 90% Qua lần xét nghiệm thấy có lần phản ứng dương tính Bác sỹ kết luậ bệnh nhân mắc bệnh C Kết luận bác sỹ phần trăm? 27 Chiếc máy có ba phận 1, 2, Xác suất phận thời gian làm việc bị hỏng tương ứng 0.2, 0.4, 0.3 Cuối ngày làm việc có thông báo có phận bị hỏng Tìm xác suất phận bị hỏng 28 Điều tra sở thích xem TV cặp vợ chồng cho thấy 30% ác bà vợ thường xem chương 30 Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất trình thể thao, 50% ông chồng thường xem chương trình thấy vợ xem chồng xem 60% Lấy ngẫu nhiên cặp vợ chồng Tìm xác suất : a Cả hai thường xem chương trình thể thao b Có người thường xem c Không có thường xem d Nếu chồng xem vợ xem e Nếu chồng không xem vợ xem 29 Một công ty bảo hiểm chia đối tượng bảo hiểm làm loại: rủi ro (chiếm 20%), rủi ro trung bình (chiếm 50%), rủi ro cao (chiếm 30%) Biết tỷ lệ khách hàng gặp rủi ro năm tương ứng với đối tượng là: 0.05, 0.15 0.3 a Tính tỷ lệ khách hàng gặp rủi năm b Gặp khách hàng bị rủi ro, tính xác suất để người thuộc loại rủi ro 30 Có hai học sinh có lực tham dự thi, người phải trả lời hai câu hỏi Mỗi câu hỏi trả lời 15 giây đầu 20 điểm Trả lời 15 giây sau 10 điểm, sau 30 giây câu trả lời trả lời trả lời sai điểm Biết khả học sinh trả lời câu hỏi 15 giây đầu 0,4 Nội dung câu độc lập Tính xác suất để hai học sinh có số điểm 31 [...]... i", i = 1, 2, 3 Ta có A là tổng của ba biến cố xung khắc A = A1 + A1A 2 + A1A 2 A 3 Do đó: P(A) = P(A1 ) + P(A1 )P(A 2 A1 ) + P(A1 )P(A 2 A1 )P(A 3 A1A 2 ) = 0,8 + 0,2 × 0,9 + 0,2 × 0 ,1 × 0,95 = 0,999 Tính theo cách khác, ta có: P(A) = 1 − P(A1A 2 A 3 ) = 1 − P(A1 )P(A 2 A1 )P(A 3 A1A 2 ) =1 − 0,2 × 0 ,1 × 0,05 = 0,999 1. 4.4 Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes 1. 4.4 .1 Công thức xác suất đầy... hỏng” với i = 1, ,14 Theo giả thiết P(A i ) = 0, 04 Ta có một lược đồ Bernoulli với n = 14 như sau: 0 P(A) = P14 (0) + P14 (1) = C14 ( 0, 04 ) ( 0,96 ) + C1 41 ( 0, 04 ) ( 0,96 ) 0 22 14 1 13 Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên và xác suất o Gọi B là biến cố "trong 14 chiếc ti vi lấy ra có nhiều nhất là hai chiếc tivi bị hỏng" Ta có: P(B) = P14 (0) + P14 (1) + P14 (2) 0 = C14 ( 0, 04 ) ( 0,96 ) + C 114 ( 0, 04... có thể là hộp loại 1 hoặc loại 2 nên A1 và A2 lập thành một hệ đầy đủ các biến cố Theo công thức xác suất đầy đủ ta có: P(A) = P(A1 ) × P(A A1 ) + P(A 2 ) × P(A A 2 ) Theo thông tin trên ta có: 3 P(A1 ) = ; 5 P(A A1 ) = Vậy: 2 P(A 2 ) = ; 5 1 ; 10 P(A A 2 ) = 2 1 = 6 3 3 1 2 1 29 P(A) = × + × = 5 10 5 3 15 0 19 Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên và xác suất Ví dụ 7: Có 2 lô sản phẩm Lô 1 có 50 sản phẩm trong... trong ví dụ bên trên với n = 10 0, p = 0 ,1, ta có: ƒ 0 10 0 0 P100 (0) = C100 (0 ,1) (0,9) = (0,9 )10 0 ƒ Gọi B là biến cố "trong 10 0 người được kiểm tra có ít nhất 1 người mắc bệnh lao" Khi đó B là biến cố "trong 10 0 người được kiểm tra không có người nào mắc bệnh lao" Ta có: P(B) = 1- P(B) = 1- P100 (0) = 1- (0,9 )10 0 23 Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên và xác suất TÓM LƯỢC CUỐI BÀI Chương này giới thiệu những... cơ bản nhất của lý thuyết xác suất thống kê, giới thiệu những khái niệm và công thức tính xác suất Các bạn cần phải nắm vững các khái niệm và công thức trong mỗi bài học như các công thức cộng, nhân xác suất, công thức tính xác suất qua biến cố đối, công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes và công thức Bernoulli 24 Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên và xác suất BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1 Cho 3 biến cố A, B, C Biến... Pearson 12 000 24000 6 019 12 012 0,5 016 0,5005 Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên và xác suất Từ đó có thể thấy rằng khi số lần gieo càng lớn, tần suất xuất hiện mặt sấp càng gần với xác suất xuất hiện mặt sấp là 0,5 Từ các định nghĩa trên dễ dàng suy ra một số tính chất đơn giản của xác suất như sau: • 0 ≤ P(A) ≤ 1 với mọi biến cố A • P(Ω) = 1 • P( φ ) = 0 • Nếu A ⊂ B thì P(A) ≤ P(B) • P(A) + P(Ā) = 1 • P(A)... P(B) (1. 9) Hệ quả 5: Công thức tính xác suất của tổng n biến cố trong trường hợp các biến cố A1, A2, , An đôi một xung khắc nhau Cụ thể, ta có: ⎛ n ⎞ n P ⎜ ∑ A i ⎟ = ∑ P(A i ) = P(A1 ) + P(A 2 ) + + P(A n ) ⎝ i =1 ⎠ i =1 (1. 10) Hơn nữa, nếu A1 , A 2 , , A n là một hệ thống đầy đủ biến cố trong một phép thử thì: P(A1 ) + P(A 2 ) + P(A n ) = 1 (1. 11) Hệ quả 6: Đối với mọi biến cố A ta đều có: P(A) = 1 −... Giả sử xác suất xuất hiện A trong mỗi lần thử là như nhau và bằng p (xác suất thành công) Khi đó, xác suất để trong n lần thử đã cho có đúng x lần biến cố A xuất hiện (x lần thành công) được tính bởi công thức Bernoulli: Pn (x) = C nx p x (1 − p) n − x với x = 0 ,1, 2, , n (1. 15) Ví dụ 11 : Một người bắn 3 viên đạn vào một tấm bia với xác suất bắn trúng của mỗi viên đạn là 0,7 • Tính xác suất để có 1 viên... Tính xác suất để chiếc bút chọn ra ở lần đầu là bút đen b Giả sử ta lặp lại quá trình nêu trong đề bài nhiều lần Tính xác suất để ở lần lấy thứ n, ta lấy được bút đỏ, n ≥ 1 23 Hai công ty A và B cùng kinh doanh 1 sản phẩm Xác suất thua lỗ của công ty A là 0,2 và xác suất thua lỗ của công ty B là 0,4 Tuy nhiên trên thực tế, xác suất để cả hai công ty cùng thua lỗ trên thị trường chỉ là 0 ,1 Tính xác suất. .. A và B là độc lập khi và chỉ khi P(AB) = P(A) × P(B) 17 Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1. 4.3 Công thức cộng xác suất Cho A và B là hai biến cố Từ định nghĩa xác suất, ta chứng minh được định lý sau: Định lý : Xác suất của tổng hai biến cố bằng tổng các suất của chúng trừ đi xác suất của tích các biến cố ấy: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) (1. 8) Từ định lý 3.3, dễ dàng suy ra được các hệ quả sau: ... khó thỏa mãn Bên cạnh định nghĩa xác suất cổ điển, ta xét thêm định nghĩa thống kê xác suất 13 Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất 1. 3.2 Định nghĩa thống kê xác suất Tiến hành phép thử n lần, giả... P(B) 17 Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất 1. 4.3 Công thức cộng xác suất Cho A B hai biến cố Từ định nghĩa xác suất, ta chứng minh định lý sau: Định lý : Xác suất tổng hai biến cố tổng suất chúng... A1 + A1A + A1A A Do đó: P(A) = P(A1 ) + P(A1 )P(A A1 ) + P(A1 )P(A A1 )P(A A1A ) = 0,8 + 0,2 × 0,9 + 0,2 × 0 ,1 × 0,95 = 0,999 Tính theo cách khác, ta có: P(A) = − P(A1A A ) = − P(A1 )P(A A1