1 Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN THƯỜNG GẶP Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Một số bất đẳng thức cần ghi nhớ: ( ∀a, b ∈ R ) ab , ( a ≥ 0, b ≥ ) 1) a + b ≥ 2ab 2) a + b + c ≥ 3 abc 3) a + b ≥ 4) a + b3 + c3 ≥ 3abc 1 + ≥ x, y > x y x+ y 7) ≥ ( x, y > 0) xy ( x + y ) 9) a + b3 ≥ a 2b + ab (a, b ≥ 5) 11) a, b > 0, 6) 1 + + ≥ , ( x, y , z > ) x y z x+ y+ z 8) 3( a + b + c ) ≥ (a + b + c) 10) a + b + c ≥ ab + bc + ca a b + ≥2 b a 12) abc ≤ a + b3 + c3 a + b3  a + b  13) ≥    a2 + b2 15) ab ≤ ( ∀a, b ∈ R )  a+b+c 14) abc ≤      a+b 17) ab ≤   ( ∀a, b ∈ R )   11 1 ≤  +  , ( x, y > ) 19) x+ y 4 x y  18) 3(ab + bc + ca ) ≤ ( a + b + c ) 16) 25) ab + bc + ac ≤ a + b + c a b c + + ≥ , (a, b, c > 0) b+c c+a a+b 1 22) + ≥ , ( ∀a, b ≥ 1) + a + b + ab 20) 21) + x + + y ≥ + + x + y , ( x, y ≥ 0) 23) x3 + y ≥ ( x + y )3 , ( x, y ≥ ) 24) a b c (a + b + c)2 + + ≥ x y z x+ y+z a (a1 + a2 + an ) a1 a2 + + + n ≥ x1 x2 xn a1 x1 + a2 x2 + + an xn Bài 1: [ĐVH] Cho a, b > Chứng minh a b + ≥2 b a Bài 2: [ĐVH] Chứng minh a + b ≥ a 3b + ab3 , với a, b Bài 3: [ĐVH] Chứng minh a + b + c ≥ ab + bc + ca với a, b, c Bài 4: [ĐVH] Chứng minh b a + ≥ a + b , với a, b > a b Bài 5: [ĐVH] Chứng minh ( a − b ) ≥ ( a − b ) , với a, b > Bài 6: [ĐVH] Chứng minh a + b5 ≥ a 3b + a 2b , với a, b ≥ Bài 7: [ĐVH] Chứng minh Bài 8: [ĐVH] Chứng minh 1 + ≥ , ( ∀a, b ≥ 1) 2 + a + b + ab ( a + c )( b + d ) ≥ ab + cd , ( ∀a, b, c, d ≥ ) Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ( a + c) + (b + d ) a2 + b2 + c + d ≥ Bài 9: [ĐVH] Chứng minh Bài 10: [ĐVH] Chứng minh Facebook: LyHung95 2 , ∀a, b, c, d ∈ R a3 b3 c3 a+b+c + + ≥ 2 2 2 a + ab + b b + bc + c c + ca + a x + xy + y + y + yz + z + z + zx + x ≥ ( x + y + z ) Bài 11: [ĐVH] Chứng minh Hướng dẫn: x + xy + y = 2 ( x + y) ( x + y) − xy ≥ ( x + y) − = ( x + y ) , tương tự ta đpcm Bài 12: [ĐVH] Cho số thực a, b, c > Chứng minh b+c a + ( b3 + c3 ) + c+a b + ( c3 + a3 ) + a+b c + ( a + b3 ) ≤2 Hướng dẫn: b + c = ( b + c ) − 3bc ( b + c ) ≥ ( b + c ) 3 Bài 13: [ĐVH] Chứng minh (b + c) −3 (b + c) (b + c) =  → ( b3 + c ) ≥ ( b + c ) a4 b4 c4 a+b+c + + ≥ 3 3 3 a +b b +c c +a Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P1 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN DẠNG SỬ DỤNG TRỰC TIẾP CÁC HỆ QUẢ CỦA BĐT CÔ-SI Bài 1: [ĐVH] Chứng minh ( a + b )( b + c )( c + a ) ≥ 8abc, ∀a, b, c ≥ ( ) Bài 2: [ĐVH] Chứng minh (1 + a )(1 + b )(1 + c ) ≥ + abc , ∀a, b, c ≥ Bài 3: [ĐVH] Cho a, b, c > Chứng minh : a) a+b b+c c+a + + ≥6 c a b b) a b c + + ≥ b+c c+a a+b Bài 4: [ĐVH] Cho a, b > Chứng minh : a) ( a + 1)( b + 1) ≥ a + b + b) a b − + b a − ≤ ab Bài 5: [ĐVH] Chứng minh : a + b4 + c ≥ abc ( a + b + c ) , ∀a, b, c ∈ R Bài 6: [ĐVH] Cho a, b, c > a + b + c ≤ Chứng minh 1 + + ≥9 a + 2bc b + 2ca c + 2ab Bài 7: [ĐVH] Chứng minh : a) a + c) a + ≥ 3, ∀a > b > b ( a − b) ( a − b )( b + 1) b) a + ≥ 3, ∀a > b > d) b ( a − b) a2 + a2 + ≥ 2, ∀a > b > ≥ 2, ∀a ∈ R Bài 8: [ĐVH] Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh abc ( a + b )( b + c )( c + a ) ≤ Bài 9: [ĐVH] Cho a, b, c > a2 + b2 + c2 = Chứng minh 729 a b c 3 + + ≥ 2 b +c c +a a +b 2  a , b, c > a+b c+b  Bài 10: [ĐVH] Cho  1 Chứng minh rằng: + ≥4 a − b 2c − b  a + c = b Bài 11: [ĐVH] Chứng minh a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ , ∀a, b, c > b+c c+a a+b 1   Bài 12: [ĐVH] Chứng minh với a, b, c > ta có ( a + b + c )  + +  ≥ (a + b + c) a+b b+c c+a Bài 13: [ĐVH] Cho x ≥ , tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + x + 17 ( x + 1) Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Bài 14: [ĐVH] Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = Facebook: LyHung95 x + x + 34 x +3 Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P2 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN DẠNG SỬ DỤNG TRỰC TIẾP BĐT CÔ-SI Ví dụ Cho x, y, z > x + y + z = xyz Tìm giá trị lớn biểu thức P = + x2 + 1+ y2 + 1+ z2 Ví dụ Cho x, y, z > x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x+ y y+z z+x + + xy + z yz + x zx + y Ví dụ Cho x, y > x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 1 + x +y xy Ví dụ Cho x, y > xyz = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 1 + + + xy yz xz x + y + z  x  y  z 1 Ví dụ Cho x, y > Tìm giá trị nhỏ biểu thức P =  +  +  +   y + z  x + z  x + y  Hướng dẫn: Ta có x x + y + z ( x + z) + ( y + z) + = = ≥ ( x + z )( y + z ) y+z 2( y + z ) 2( y + z ) y+z Tương tự cho hai biểu thức lại, sau nhân vào ta P ≥ Ví dụ Cho x, y, z > 1 + + = 1+ x 1+ y 1+ z Tìm giá trị lớn biểu thức P = xyz Hướng dẫn: Tách  1    y z yz = 1 − + ≥2  + 1 − = 1+ x  1+ y   1+ z  y +1 z +1 ( y + 1)( z + 1) Tương tự xz xy ≥2 ; ≥2 1+ y ( x + 1)( z + 1) + z ( x + 1)( y + 1) Nhân vế theo vế BĐT ta 1 xyz ≥8 ⇒ xyz ≤ 1+ x 1+ y 1+ z (1 + x)(1 + y )(1 + z ) Ví dụ Cho số dương x, y, z thoả mãn: xyz = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = + x2 + y2 1+ y2 + z2 + z + x2 + + xy yz zx Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Ví dụ Cho số thực x > 1; y > Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ( x3 + y3 ) − ( x2 + y ) ( x − 1)( y − 1) Hướng dẫn: ( x3 − x2 ) + ( y3 − y ) x2 y2 xy Ta có P = = + ≥ ( x − 1)( y − 1) y −1 x −1 ( x − 1)( y − 1) x   x − = 1.( x − 1) ≤ xy Lại có   → ( x − 1)( y − 1) ≤  y − = 1.( y − 1) ≤ y  Từ dễ dàng suy P ≥ BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: [ĐVH] Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a) a b c 1 1 1 + 2+ ≤  + +  2 a +b b +c c +a 2 a b c  b) a+b b+c c+a 1 1 + 2+ ≤ + +  2 a + b b + c c + a2  a b c  Bài 2: [ĐVH] Cho a, b, c > 1 1 + + ≥ Chứng minh abc ≤ 1+ a 1+ b 1+ c Bài 3: [ĐVH] Cho a, b, c Chứng minh : a) a + b + c ≥ ab + bc + ca b) ( ab + bc + ca ) ≥ 3abc ( a + b + c )  a , b, c > Bài 4: [ĐVH] Cho  a + b + c =     Chứng minh  − 1 − 1 − 1 ≥  a  b  c  Bài 5: [ĐVH] CMR 1 a+b+c + + ≤ , ∀a, b, c > a + bc b + ca c + ab 2abc Bài 6: [ĐVH] Chứng minh với a, b, c > ta có 1 1 + 3 + ≤ 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc Bài 7: [ĐVH] Cho a, b, c dương thỏa mãn abc = Tìm giá trị lớn P = 1 + 3 + 3 a + b + b + c + c + a3 + Bài 8*: [ĐVH] Cho a, b, c dương thỏa mãn abc = a + b3 b3 + c3 c3 + a3 Tìm GTNN P = + + a + ab + b b + bc + c c + ca + a Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Hướng dẫn: ( a + b ) ( a + ab + b ) − 2ab ( a + b ) 2ab ( a + b ) 2ab ( a + b ) a + b a + b3 = = ( a + b) − ≥ ( a + b) − = 2 2 a + ab + b a + ab + b a + b + ab 3ab Tương tự cho bất đẳng thức khác ta Pmin = a = b = c = Bài 9: [ĐVH] Cho x, y, z dương thỏa mãn xyz = Chứng minh P = x9 + y y9 + z9 z + x9 + + ≥2 x6 + x3 y3 + y y + y3 z + z z + z x3 + x6 Bài 10: [ĐVH] (Khối D – 2006) Cho số dương x, y, z thoả mãn: xyz = 1 + x3 + y + y3 + z3 + z + x3 + + ≥3 xy yz zx Chứng minh Khi đẳng thức xảy ra? Bài 11: [ĐVH] Cho x, y, z > Chứng minh y x z 1 + 2+ ≤ 2+ 2+ 2 x +y y +z z +x x y z Bài 12: [ĐVH] Cho số thực dương a, b, c Chứng minh a2 b2 c2 + + ≥1 a + 2bc b + 2ac c + 2ab Bài 13: [ĐVH] (Khối B – 2007) Cho x, y, z số thực dương thay đổi x  y  z  Tìm GTNN biểu thức P = x  +  + y  +  + z  +   zx   xy   yz  Bài 14: [ĐVH] Cho số thực x, y Chứng minh a) x + y 2 ( x + y) ≥ b) x + y 4 ( x + y) ≥ 1 + + =4 a b c 1 Chứng minh : + + ≤1 a + b + c a + b + c a + b + 2c Bài 15: [ĐVH] Cho a, b, c > thoả mãn Bài 16: [ĐVH] Cho x, y, z > thoả mãn x + y + z = 12 Chứng minh rằng: xy yz xz + + ≤ x + y y + 4z 4z + x Bài 17: [ĐVH] Cho x, y, z > thoả mãn: xy + xz = Tìm GTNN biểu thức P = yz zx xy + + x y z Bài 18: [ĐVH] Cho x, y, z > thỏa mãn x + y + z + xy = 3( x + y + z ) Tìm GTNN biểu thức P = x + y + z + 20 + x+z 20 y+2 Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P3 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN DẠNG KĨ THẬT TÁCH, GHÉP Ví dụ Cho a, b, c > Chứng minh a2 a+b+c ∑b+c ≥ Ví dụ Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = a) Tìm GTLN biểu thức P = ∑ b) Tìm GTNN biểu thức Q = ( 3a + b ∑( ) x + 3y ) Ví dụ Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Tìm GTNN biểu thức P = ∑ a3 (b + 1)(c + 1) a4 a+b+c Ví dụ Cho a, b, c > Chứng minh ∑ ≥ b (a + c) Ví dụ Cho x, y, z > thỏa mãn x + y + z = Tìm GTNN biểu thức P = ∑ a b +1 Ví dụ Cho x, y > thỏa mãn xy = x3 y3 Tìm GTNN biểu thức P = + y +1 x +1 Hướng dẫn: Tách x3 y + 1 3x + + ≥ y +1 2 Ví dụ Cho x, y, z > thỏa mãn xy xy + yz yz + zx zx = x6 y6 z6 Tìm GTNN biểu thức P = + + x + y y + z z + x3 Hướng dẫn: Đặt x3 = a; y = b; z = c quy BĐT bản! Ví dụ Cho x, y, z > thỏa mãn x + y + z = xyz Tìm GTNN biểu thức P = yz zx xy + + x ( z + y ) y ( x + z ) z ( y + x) Hướng dẫn: Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Đặt Facebook: LyHung95 1 = a; = b; = c ⇒ ab + bc + ca = x y z a3 Thay vào biểu thức P ta P = ∑ b + 2c a3 a (b + 2c) 2a Ta có + ≥ Tương tự, đến em tự làm nốt nhé! b + 2c Ví dụ Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = b b c c a a Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = + + 2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b Hướng dẫn: Cách 1: b b c c a a + + a+3 b+3 c+3 Áp dung bất đằng thức Cauchy cho số thực dương, ta có: Từ giả thiết ta có P = b b b b a+3 b3 3b + + ≥3 = 64 a + a + 16  c c c c b+3 c 3c + + ≥ =  64  b + b + 16 Tương tự  a a c+3 a 3a  a a + + ≥ =  64  c + c + 16 Cộng vế theo vế bất đẳng thứ ta được: b b c c a a a+b+c+9 3 + + + ≥ (a + b + c) ⇔ P ≥ 16 a+3 b+3 c+3 Đẳng thức xảy a = b = c = Cách 2: Cauchy − Schwarz (a + b + c) b2 c2 a2 Ta có: P = + + ≥ b a+3 c b+3 a c+3 a c+3 + b a+3 + c b+3 Mặt khác: ⇒P≥ a c+3 + b a+3 + c b+3 Bunhiacopxki ≤ ( a + b + c )( a + b + c + ) = 36 = Dấu xảy ⇔ a = b = c = Ví dụ 10 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = CMR: a3 b3 c3 + + ≥ 2 b +3 c +3 a +3 Ví dụ 11 Cho số dương x, y, z CMR: x4 y4 z4 + + ≥ ( x3 + y3 + z ) y+ z z+ x x+ y Ví dụ 12 Cho x, y, z > thoả mãn x + y + z = CMR: x3 y +8 + y3 z +8 + z3 x +8 ≥ + ( xy + yz + zx) 27 a3 b3 c3 Ví dụ 13 Cho a, b, c > 0: a + b + c = Tìm GTNN: P = + + 2b + 3c 2c + 3a 2a + 3b 2 Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Ví dụ 14 Cho x, y, z > thoả mãn x + y + z = Tìm GTNN: P = Facebook: LyHung95 x3 y3 z3 + + y+z z+x x+ y Ví dụ 15 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 1 + + a (b + c) b ( c + a ) c ( a + b) Hướng dẫn: x y z Cách 1: Đặt: a = ; b = ; c = → xyz = Khi ta có → P = x yz y zx z xy x3 y3 z3 + + = + + y+z x+z x+ y y+z z+x x+ y Hướng 1: Theo BĐT Cauchy thì: x3 y + z 3x + + ≥ ; y+z 2 ⇒P= y3 z + x 3y + + ≥ ; z+x 2 z3 x + y 3z + + ≥ x+ y 2 x3 y3 z3 Cauchy 3 + + ≥ x+ y+ z− ≥ xyz − = y+z z+x x+ y 2 Hướng 2: Theo BĐT Cauchy – Schwarz ta có: P= 3 4 x y z x y z + + = + + y + z z + x x + y xy + zx zy + xy zx + yz Cauchy − Schwarz ≥ ( x2 + y + z ) 2 ( xy + yz + zx ) Mặt khác lại có: xy + yz + zx ≤ x + y + z Suy ⇒ P ≥ 2 x + y + z 33 x y z ≥ = 2 Hướng 3: Bunhiacopxki  x  x3 y3 z3  y2 z2  Ta có: P ( x + y + z ) =  + + ≥ + +  ( x + y + z )    y+z z+x x+ y  y+ z z+ x x+ y C1 Theo BĐT Cauchy thì: ⇒ x2 y+z + ≥ x; y+z y2 z+x + ≥ y; z+x z2 x+ y + ≥z x+ y x2 y2 z2 1 + + ≥ ( x + y + z) ⇒ P ≥ ( x + y + z) ≥ y+z z+x x+ y 2 C2 P ( x + y + z ) ⇒P≥ Bunhiacopxki  ≥ x2 y2 z2  + +    y+z z+x x+ y ( x + y + z )2   2( x + y + z)    Cauchy − Schwarz  ≥  x+ y+z =    x+ y+z ≥ 2 Vậy GTNN P PMin = ⇔ a = b = c =1 Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95  1   1  + +  = b+c + c+a + a+b b c  a b+c b c+a c a+b a  Cách 2: Ta có:  Theo BĐT Bunhiacopxki:   1 b+c + c+a + a+b  b c+a c a+b a b+c  Bunhiacopxki   1 + +    ( a + b + c )     a (b + c) b (c + a ) c ( a + b)  ≤ 1   + +  ≤ ( a + b + c ) P b c  a Hay ⇔  Mặt khác theo BĐT Cauchy thì: 1    + + 2 b c  a  a + b2 + c  1   1   ≥ 3 2 + 2 + 2  ↔  + +  ≥  = a + b2 + c  a 2b 2c  b c c a  a b c  a b   Cauchy ( ( ) ⇒P≥ 1   + +  ≥ ( a + b + c) b c  a Và: ( a + b + c ) ≤ a + b + c Nên suy ra:  ) a + b + c Cauchy 3 abc ≥ = 2 Vậy GTNN P PMin = ⇔ a = b = c = Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P4 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN DẠNG SỬ DỤNG CÔ-SI NGƯỢC DẤU Ví dụ Cho x, y, z > thỏa mãn x + y + z = Tìm GTNN biểu thức P = x y z + + 2 + y + z + x2 Ví dụ Cho x, y, z > thỏa mãn x + y + z = Tìm GTNN biểu thức P = ∑ Ví dụ Cho x, y, z > thỏa mãn x + y + z = Tìm GTNN biểu thức P = Ví dụ Cho a, b, c > Chứng minh x2 x + y2 x +1 y +1 z +1 + + + y + z + x2 a2 ≥ (a + b + c) 3a + 8b + 14ab ∑ 2 Ví dụ Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b2 + c = Tìm GTNN biểu thức: P = 8a + 26ab + 15b + 8b + 26bc + 15c + 8c + 26ca + 15a Hướng dẫn: Cách 1: Hướng 1: Ta có: 8a + 26ab + 15b = ( 3a + 4b ) − ( a − b ) ≤ ( 3a + 4b ) ⇒ 8a + 26ab + 15b = ( 3a + 4b )2 − ( a − b )2 ≥ 2 3a + 4b  6a + 8b  Hướng 2: Ta có: 8a + 26ab + 15b = ( 2a + 5b )( 4a + 3b ) ≤   = ( 3a + 4b )   2 ⇒ 8a + 26ab + 15b 2 ≥ 3a + 4b Tương tự cho hai biểu thức lại ta được: P ≥ Theo Cô-si ta có: ⇒P≥ 1 + + 3a + 4b 3b + 4c 3c + 4a 3a + 4b 3b + 4c 3c + 4a + ≥ ; + ≥ ; + ≥ 3a + 4b 49 3b + 4c 49 3c + 4a 49 ( ) Bunhiacopxki a+b+c − Mà : ( a + b + c ) ≤ (1 + + 1) a + b2 + c = → a + b + c ≤ 7 Vậy suy ⇒ P ≥ Dấu xảy ⇔ a = b = c = Cách 2: Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ∑ P= 8a + 26ab + 15b = ∑ ≥ ( 3a + 4b )2 − ( a − b )2 Facebook: LyHung95 ∑ 3a +1 4b 1 Cauchy − Schwarz (1 + + 1) + + ≥ 3a + 4b 3b + 4c 3c + 4a 7(a + b + c) Mặt khác: Lại có: ( a + b + c ) ⇒P≥ Bunhiacopxki ≤ (1 + + 1) ( a + b2 + c ) = → a + b + c ≤ Dấu xảy ⇔ a = b = c = Cách 3:  x = 8a + 26ab + 15b   Đặt  y = 8b + 26bc + 15c ⇒ x + y + z = 23 ( a + b + c ) + 26 ( ab + bc + ca ) ≤ 49 ( a + b + c )  2  z = 8c + 26ca + 15a Mặt khác: ( x + y + z ) ≥ ( x + y + z ) ⇒ ( x + y + z ) ≤ 3.49 ( a + b + c ) = 441 ⇒ x + y + z ≤ 21 P= 1 + + ≥ ≥ Đẳng thức xảy a = b = c = x y z x+ y+z Vậy GTNN P a = b = c = ( ) a2 b2 c2 + + + ab + bc + ca ≥ a + b + c a+b b+c c+a x4 y y4 z z4 x Ví dụ Cho số thực x, y , z > 0, xyz = CMR: + + ≥ x +1 y +1 z +1 Ví dụ Cho số thực x, y , z > Ví dụ Chứng minh với số dương a; b; c : Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ∑ Ta có  1 x = 1 − ≤ x + yz  x + yz  yz yz x + yz Hướng dẫn:  1 x 1 −  2 x+ y+ z  Tương tự cho biểu thức lại ta thu Pmin = ⇔ x = y = z Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P5 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN DẠNG KĨ THUẬT CÂN BẰNG HỆ SỐ Ví dụ Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Tìm GTNN biểu thức P = a + 2b3 + 3c3 Ví dụ Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Tìm GTNN biểu thức P = a + b + c3 Ví dụ Cho a, b, c > thỏa mãn a + 2b + 3c = Tìm GTNN biểu thức P = 2a + 3b3 + 4c3 Ví dụ Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Tìm GTLN biểu thức P = (1 + 2a )(1 + 2bc) Ví dụ Cho a, b, c > thỏa mãn 2a + 4b + 3c = 68 Tìm GTNN biểu thức P = a + b + c3 Ví dụ Cho a, b, c > thỏa mãn ab + bc + ca = Tìm GTNN biểu thức P = a + 2b + 3c Ví dụ Cho a, b, c > thỏa mãn a + 4b + 9c = Tìm GTNN biểu thức P = a + b3 + c3 Đ/s: P = 1 1 ⇔ a = ;b = ;c = 6 Ví dụ Cho x, y, z > thỏa mãn x + xy + xyz = Tìm GTNN biểu thức P = x + y + z x + 4y   xy = x.4 y ≤ Hướng dẫn: Ta có   xyz = x.4 y.16 z ≤ x + y + 16 z  12 BÀI TẬP LUYỆN TẬP:  a , b, c > Bài 1: [ĐVH] Cho  Tìm GTNN biểu thức P = abc + abc a + b + c ≤ Bài 2: [ĐVH] Cho < a ≤ 1 Tìm GTNN biểu thức P = 2a + 2 a  a , b, c > 1  2 Bài 3: [ĐVH] Cho  Tìm GTNN biểu thức P = a + + b + + c + b c a a + b + c ≤ Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 a, b > 1 Bài 4: [ĐVH] Cho  , tìm GTNN P = + a + b 2ab a + b ≤ Bài 5: [ĐVH] Cho x, y hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 3x2 + + y3 + 4x y2 Bài 6: [ĐVH] Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh 3 a + 3b + b + 2c + c + 3a ≤ Bài 7: [ĐVH] Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a9 + + b9 + + c9 + ≥ 3 Bài 8: [ĐVH] Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a + b − c + b + c − a + c + a − b ≤ Bài 9: [ĐVH] Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh 2a + b + 2b + c + 2c + a ≤ Bài 10: [ĐVH] Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh ( 2a + b )( a + c ) a + ( 2b + c )( b + a ) b + ( 2c + a )( c + b ) c ≤ Bài 11: [ĐVH] Cho a > b ≥ Chứng minh 2a + 32 ( a − b )( 2b + 3) ≥5 Bài 12: [ĐVH] Cho số dương x, y thỏa mãn x2 + y2 =   1  1  S = (1 + x ) 1 +  + (1 + y )  +  y  x   Tìm GTNN biểu thức sau :  2 1 1 2 2   P = (1 + x ) 1 + y  + (1 + y ) 1 + x     Bài 13: [ĐVH] Xét số thực dương thỏa mãn a + b + c = Tìm GTNN biểu thức P = 1 1 + + + 2 a +b +c ab bc ca Bài 14: [ĐVH] Cho số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c ≤ Tìm GTNN biểu thức: P = 1 1 1 + 2+ + + + 2 a +b b +c c +a ab bc ca Bài 15: [ĐVH] Cho x, y hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y + 10 + x y Bài 16: [ĐVH] Cho x, y, z ba số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = − x + − y + − z Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P6 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Bài 1: [ĐVH] Cho số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh 1 + + ≥ 1+ a 1+ b 1+ c Bài 2: [ĐVH] Cho số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn P = a b c + + 1+ a 1+ b 1+ c Bài 3: [ĐVH] Cho số dương a, b thỏa mãn a + b ≤ Chứng minh 1 + + ≥ 1− a 1− b a + b Bài 4: [ĐVH] Cho số dương a, b thỏa mãn a + b ≤ a2 b2 Chứng minh + +a+b+ ≥ 1− a 1− b a+b Bài 5: [ĐVH] (Khối A – 2005) Cho số dương a, b, c thỏa mãn Chứng minh 1 + + =4 a b c 1 + + ≤ 2a + b + c 2b + a + c 2c + a + b Bài 6: [ĐVH] Cho số dương a, b, c Chứng minh ab bc ca a+b+c + + ≤ a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b Bài 7: [ĐVH] Cho số dương a, b, c Chứng minh ab bc ca a+b+c + + ≤ a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b Bài 8: [ĐVH] Cho số dương a, b, c Chứng minh 1 1 1 + + ≥ + + a + 3b b + 3c c + 3a a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b Hướng dẫn: Ta có: 1 + ≥ = a + 3b b + 2c + a ( a + 3b ) + ( b + 2c + a ) a + 2b + c Tương tự cho BĐT khác cộng lại ta đpcm Bài 9: [ĐVH] Cho a, b, c số thực dương Chứng minh bất đẳng thức sau: a) 1 1 1  + + ≤  + +  2a + ( b + c ) 2b + ( c + a ) 2c + ( a + b )  a + b b + c c + a  b) 1 1 1  + + ≤  + +  a + 2b + 3c b + 2c + 3a c + 2a + 3b  a + 2c b + 2a c + 2b  Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Hướng dẫn: a) Ta có 1 1 1  = ≤  + + … 2a + ( b + c ) ( a + b ) + ( a + c ) + ( b + c ) + ( b + c ) 16  a + b a + c b + c  Tương tự cho BĐT khác cộng lại ta đpcm b) Ta có 1 1 1  = ≤  + … a + 2b + 3c ( a + 2c ) + ( c + 2b )  a + 2c c + 2b  Tương tự cho bất đẳng thức khác ta đpcm Bài 10: [ĐVH] Cho a, b, c ba số dương thoả mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 3 1 +3 +3 a + 3b b + 3c c + 3a Bài 11: [ĐVH] Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (với a, b, c độ dài cạnh) Chứng minh 1 1 1 + + ≥ 2 + +  p −a p −b p −c a b c Bài 12: [ĐVH] Cho số thực a, b, c > 0, abc = Tìm GTLN biểu thức P = 1 + + 2 a + 2b + b + 2c + c + 2a + 1  1    Bài 13: [ĐVH] Cho số thực a, b, c > thỏa mãn 15  + +  = 10  + +  + 2007 b c  a  ab bc ca  Tìm GTLN biểu thức P = 5a2 + 2ab + 2b2 + 5b2 + 2bc + 2c2 + 5c2 + 2ca + 2a2 Bài 14: [ĐVH] Cho số thực a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Chứng minh 1 1 + + ≥ 2 ab + 2c + 2c cb + 2a + ac + 2b + 2b ab + bc + ac Bài 15: [ĐVH] Cho a, b, c > vaø a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a b c + + 2 + b + c + a2 Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 SỬ DỤNG BĐT PHỤ ĐỂ CHỨNG MINH BĐT Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN a + b + b + c + c + a = 2013 Bài 1: [ĐVH] Cho a, b, c số thực dương thoả mãn Chứng minh a2 b2 c2 2013 + + ≥ b+c a+c a+b 2 Bài 2: [ĐVH] Chứng minh x − x + + x − 12 x + 1362 ≥ 13, ∀x ∈ R Bài 3: [ĐVH] Cho x, y, z số dương thỏa mãn x + y + z ≤ Chứng minh x2 + 1 + y + + z + ≥ 82 x y z Bài 4: [ĐVH] Với a, b, c ba số thực dương thoả mãn điều kiện ab + bc + ca = abc b + 2a c + 2b a + 2c + + ≥ Chứng minh ab bc ca Bài 5: [ĐVH] Cho số thực x, y, z thoả mãn x2 + y2 + z2 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + (1 − yz ) + y + (1 − zx ) + z + (1 − xy ) 2 Bài 6: [ĐVH] Cho số thực x, y thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ( x − 1) + y2 + ( x + 1) + y2 + y − Bài 7: [ĐVH] Cho số thực x, y thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y − y + + x + y + y + + x − Bài 8: [ĐVH] Cho x, y, z số dương thỏa mãn x + y + z ≤ Chứng minh x2 + 1 17 + y2 + + z2 + ≥ x y z Bài 9: [ĐVH] Cho x, y, z số dương thỏa mãn xy + yz + zx ≥ Chứng minh x2 + ( x + 1) + y2 + ( y + 1) + z2 + ( z + 1) ≥ 181 Bài 10: [ĐVH] Cho số dương a, b, c thỏa mãn a + 3b + 5c ≤ Chứng minh 3ab 625c + + 15bc a + + 5ca 81b + ≥ 45 5abc Bài 11: [ĐVH] Cho số thực x, y thay đổi Tìm GTNN biểu thức P = x2 + y2 − x + y + + x2 + y + x − y + + x2 + y + x + y + Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 KĨ THUẬT ĐỔI BIẾN SỐ CHỨNG MINH BĐT Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Bài 1: [ĐVH] Cho a, b, c số thực dương thoả mãn abc = 1 1 + + ≥ Chứng minh a (b + c ) b (c + a ) c ( a + b ) Hướng dẫn: 1 Đặt x = , y = , z = ⇒ xyz = a b c x2 y2 z2 Khi BĐT cho đưa BĐT bản: + + ≥ y+z z+x x+ y Bài 2: [ĐVH] Cho ba số dương a, b, c thoả mãn điều kiện abc = bc ca ab Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = + + 2 a b + a c b a + b c c a + c 2b Bài 3: [ĐVH] Cho số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = abc a b c Chứng minh + + ≤ bc (1 + a ) ac (1 + b2 ) ab (1 + c ) Bài 4: [ĐVH] Cho a, b, c số thực dương thoả mãn ab + bc + ca = abc 1 1 Chứng minh + + ≥ a ( a − 1) b ( b − 1) c ( c − 1) Bài 5: [ĐVH] Cho x , y , z ba số thực thỏa mãn : 5− x + 5− y + 5− z = 25x 25 y 25z 5x + y + 5z Chứng minh x y + z + y z + x + z x+ y ≥ 25 + 5 +5 +5 Bài 6: [ĐVH] Cho a, b, c số thực dương thoả mãn abc = 1 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = + + a (1 + b )(1 + c ) b (1 + a )(1 + c ) c (1 + a )(1 + b ) Hướng dẫn: 1 Đặt x = , y = , z =  → xyz = a b c Bài 7: [ĐVH] Cho tam giác ABC với cạnh a, b, c p nửa chu vi tam giác Chứng minh BĐT sau: a b c a) + + ≥3 b+c −a c +a −b a +b−c 1 1 1 b) + + ≥ + + a +b−c b+c−a c +a −b a b c a2 b2 c2 c) + + ≥ a+b+c b+c −a c +a −b a +b−c d) ( b + c − a )( c + a − b )( a + b − c ) ≤ abc e) ( p − a) + ( p − b) + ( p − c) ≥ p ( p − a )( p − b )( p − c ) Bài 8: [ĐVH] (Khối A – 2008) Cho x, y, z số thực dương thay đổi thoả xyz = x2 ( y + z ) y2 ( z + x) z2 ( x + y) Tìm GTNN biểu thức P = + + y y + 2z z z z + 2x x x x + y y Bài 9: [ĐVH] Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 4a 9b 16c + + ≥ 26 b+c −a c +a −b b+a −c Bài 10: [ĐVH] Cho x, y, z > thỏa mãn xyz = yz zx xy + + Tìm GTNN biểu thức P = 2 x y + x z y z + y x z x + z2 y Bài 11: [ĐVH] Cho x, y, z > xyz = 1 Chứng minh + + ≥ x ( y + z ) y (3z + x) 27 z ( x + y ) Chứng minh Bài 12: [ĐVH] Cho a, b, c > Tìm GTLN biểu thức P = bc ca ab + + a + bc b + ca c + ab Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 PP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM CHỨNG MINH BĐT – P1 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Bài 1: [ĐVH] (Khối B – 2008) Cho hai số thực x, y thay đổi thoả mãn hệ thức x2 + y2 = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = 2( x + xy ) + xy + y Bài 2: [ĐVH] Cho x,y ∈ R x, y > Tìm giá trị nhỏ P = ( (x + y3 ) − ( x2 + y2 ) ( x − 1)( y − 1) ) Bài 3: [ĐVH] Cho x, y số thực thỏa điều kiện x + y = xy + Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = x4 + y xy + Bài 4: [ĐVH] Cho x, y thoả mãn số thực thỏa mãn x − xy + y = Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức P = x4 + y + x2 + y + Bài 5: [ĐVH] Cho số thực không âm x, y, z thoả mãn: x2 + y2 + z2 = Tìm giá trị lớn biểu thức P = xy + yz + zx + x+ y+ z Bài 6: [ĐVH] Cho số x, y, z thoả mãn x2 + y2 + z2 = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = x3 + y + z − xyz Bài 7: [ĐVH] Cho số thực x, y thay đổi thỏa mãn (x + y)3 + 4xy ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ( x + y + x y ) − ( x + y ) + Bài 8: [ĐVH] Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện x + y + z ≤ 1 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y + z +  + +  x y z Bài 9: [ĐVH] Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện x + y + z ≤ 1 1 Chứng minh ( x + y + z ) +  + +  ≥ 21 x y z Bài 10: [ĐVH] Cho số x, y, z thoả mãn x2 + y2 + z2 = Chứng minh 1 + + − ( x + y + z) ≥ x y z Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 PP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM CHỨNG MINH BĐT – P2 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Bài 1: [ĐVH] Cho hai số thực x, y thay đổi thoả mãn hệ thức x2 + y2 = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = 2(x3 + y3) – 3xy Bài 2: [ĐVH] Cho số thực không âm x, y thay đổi thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: S = ( x + y )( x + y ) + 25 xy Bài 3: [ĐVH] Các số x, y, z thay đổi thoả mãn x2 + y2 + z2 = Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = x + y + z + xy + yz + zx Bài 4: [ĐVH] Cho số thực x, y thay đổi thỏa mãn x + y + xy ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x − xy + y y2 +1  a , b, c > 12a 12b 25c Bài 5: [ĐVH] Cho  Tìm GTNN P = + + a+b b+c c+a 9a ≥ c ≥ a x ≥ y Bài 6: [ĐVH] Cho x; y; z số thực thỏa mãn x; y; z ∈ [1; 4]  x ≥ z Tìm GTNN của: P = x 2x + 3y + y y+z + z z+x Bài 7: [ĐVH] Cho số thực dương thỏa mãn Tìm GTLN biểu thức: P = b ≥ a−c ≥ b 5 12 ( a − b ) 12 ( b − c ) 25 ( c − a ) + + c a b 1  1 Bài 8: [ĐVH] Cho số thực a; b; c > thỏa mãn ( a + b + c )  + +  = 16 a b c Tìm GTNN GTLN biểu thức: P =  a + 2b ab Bài 9: [ĐVH] Cho x; y; z ≥ thỏa mãn x + y + z = Chứng minh rằng: ( x + y + z ) + 15 xyz ≥ 1(1) Bài 10: [ĐVH] Cho số thực dương a; b; c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = a b c + + 2 b +c c +a a + b2 Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 PP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM CHỨNG MINH BĐT – P3 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Bài 1: [ĐVH] Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn (a + b)ab = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 3(a + b3 ) − 2(a + b ) + a + b Bài 2: [ĐVH] Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a b c a b5 c5 + + + + + b c c a a 2b b c a Bài 3: [ĐVH] Cho số thực dương a, b thỏa mãn a + b − ab ≤ 12 a 2b Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = + + 12ab a +b ab Bài 4: [ĐVH] Cho số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = (9 + yz )( y z − yz + 8) Bài 5: [ĐVH] Cho số thực x, y thỏa mãn x + y = xy ( x + y ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x3 + y − xy Bài 6: [ĐVH] Cho số thực x, y thỏa mãn x + y = + xy Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P = x + y − x y Bài 7: [ĐVH] Cho số thực x, y thỏa mãn x + y = xy Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x3 + y − xy Bài 8: [ĐVH] Cho số thực dương x, y thỏa mãn x + y + = 2( x + y ) + xy Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P = xy + xy − x+ y Bài 9: [ĐVH] Cho số thực x, y thỏa mãn x + y = xy Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P = xy + x y + xy ( x + y ) − ( x + y ) 1 1 Bài 10: [ĐVH] Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn (a + b + c)  + +  = 16 a b c Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P = a + 2b ab 1 1 Bài 11: [ĐVH] Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn (a + 2b)  +  = 3a ≥ c b c Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức P = a + 2b ac Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! [...]... cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 PP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM CHỨNG MINH BĐT – P1 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN Bài 1: [ĐVH] (Khối B – 2008) Cho hai số thực x, y thay đổi và thoả mãn hệ thức x2 + y2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P... thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 PP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM CHỨNG MINH BĐT – P2 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN Bài 1: [ĐVH] Cho hai số thực x, y thay đổi và thoả mãn hệ thức x2 + y2 = 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị... điều kiện x + y ≥ 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2 x + 3 y + 6 10 + x y Bài 16: [ĐVH] Cho x, y, z là ba số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 1 − x + 1 − y + 1 − z Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 MỘT... (Khối A – 2008) Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi thoả xyz = 1 x2 ( y + z ) y2 ( z + x) z2 ( x + y) Tìm GTNN của biểu thức P = + + y y + 2z z z z + 2x x x x + 2 y y Bài 9: [ĐVH] Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 4a 9b... Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P4 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 4 SỬ DỤNG CÔ-SI NGƯỢC DẤU Ví dụ 1 Cho x, y, z > 0 và thỏa mãn x + y + z = 3 Tìm GTNN của biểu thức. .. [ĐVH] Cho  Tìm GTNN của biểu thức P = abc + abc a + b + c ≤ 1 Bài 2: [ĐVH] Cho 0 < a ≤ 1 1 Tìm GTNN của biểu thức P = 2a + 2 2 a  a , b, c > 0 1 1 1  2 2 2 Bài 3: [ĐVH] Cho  3 Tìm GTNN của biểu thức P = a + 2 + b + 2 + c + 2 b c a a + b + c ≤ 2 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG... Bài 9: [ĐVH] Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 1 1 1 1 1 1 1  + + ≤  + +  2a + 3 ( b + c ) 2b + 3 ( c + a ) 2c + 3 ( a + b ) 4  a + b b + c c + a  b) 1 1 1 1 1 1 1  + + ≤  + +  a + 2b + 3c b + 2c + 3a c + 2a + 3b 2  a + 2c b + 2a c + 2b  Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc. ..  1 x 1 −  2 x+ y+ z  Tương tự cho các biểu thức còn lại ta thu được Pmin = 1 ⇔ x = y = z Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P5 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website... 1 + 2 x2 + 2 y 2 + 2 x − 2 y + 1 + 2 x2 + 2 y 2 + 4 x + 4 y + 4 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 KĨ THUẬT ĐỔI BIẾN SỐ CHỨNG MINH BĐT Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN Bài 1: [ĐVH] Cho a, b, c... trị nhỏ nhất của biểu thức P = a b c + + 2 2 1 + b 1 + c 1 + a2 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 SỬ DỤNG BĐT PHỤ ĐỂ CHỨNG MINH BĐT Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN a 2 + b 2 + b 2 + c 2 + c ... giá trị nhỏ biểu thức P = Facebook: LyHung95 x + x + 34 x +3 Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG... +c c +a Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG... , tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + x + 17 ( x + 1) Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG