HOCMAI.VN GV: Nguyễn Thanh Tùng facebook.com/ ThayTungToan ĐỀ SỐ - KHOÁ PEN – I – 2016 GV: Lê Anh Tuấn - Nguyễn Thanh Tùng Nên tự làm bấm bạn – dùng đáp án thang điểm để tự chấm cho mình! Chúc bạn ôn luyện thật tốt vượt qua kì thi THPTQG thành công ! Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y  x  x  (3m  1) x  m  m có đồ thị (Cm ) Tìm m để tiếp tuyến (Cm ) giao xm điểm đồ thị (Cm ) với trục hoành song song với đường thẳng d : y  x  Câu (1,0 điểm) 10 z a) Cho số phức z thỏa mãn z   Tính môđun z  2i b) Giải phương trình: log  x  3  log  x    tập số thực Câu (1,0 điểm) Cho hàm số y  e Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I    ln x x  ln x   dx Câu (1,0 điểm) Trong không không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1; 2;3), B (2; 1;3) mặt phẳng ( P ) : x  y  z   Tính diện tích tam giác OAB Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng AB cách mặt phẳng ( P ) khoảng Câu (1,0 điểm) 3 a) Cho góc  thỏa mãn     sin   2cos   Tính A  tan   cot  b) Từ 16 chữ chữ “ KI THI THPT QUOC GIA” chọn ngẫu nhiên chữ Tính xác suất để chọn chữ đôi phân biệt a 10 Câu (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có  ; AC  a BC  a Hình ACB  1350 , CC '  chiếu vuông góc C ' lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm M đoạn AB Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' khoảng cách hai đường thẳng AA ' B ' C ' Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông A ( AB  AC ) Trên cạnh AB  60 15  lấy điểm I cho AI  AC Đường tròn đường kính IB cắt BC M  ;  cắt đường kéo dài CI  17 17  N (4; 1) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết A thuộc đường thẳng 2015 x  2016 y  xy 1  y y   y   Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình   x, y    x  x 1  2 (8 x  4) 2(1  x )  y  y Câu 10 (1,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab  bc  ca  2(a  1)(b  1)(c  1) 12   Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T  4ab  (a  b)(c  3) (a  1)(b  1) 2c Tham gia khóa học môn Toán Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN tự tin chinh phục thành công kì thi THPTQG tới ! HOCMAI.VN GV: Nguyễn Thanh Tùng PEN I – N3 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ SỐ Câu facebook.com/ ThayTungToan Môn : TOÁN (Đáp án – thang điểm gồm 07 trang) Đáp án Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y  x  x  Điểm  1, * Tập xác định: D   * Sự biến thiên: – Chiều biến thiên: y '  x  x ; y '   x  x  1 0,25 Các khoảng nghịch biến: ( ; 1) (0;1) ; khoảng đồng biến: ( 1; 0) (1;  ) – Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu x  1 , yCT  ; đạt cực đại x  , y CĐ  0,25 – Giới hạn: lim y  lim y   x  x  – Bảng biến thiên: 0,25 * Đồ thị: 0,25 Tham gia khóa học môn Toán Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN tự tin chinh phục thành công kì thi THPTQG tới ! HOCMAI.VN GV: Nguyễn Thanh Tùng facebook.com/ ThayTungToan (3m  1) x  m  m có đồ thị (Cm ) Tìm m để tiếp tuyến (Cm ) giao xm điểm đồ thị (Cm ) với trục hoành song song với đường thẳng d : y  x  Cho hàm số y   m2  m  4m m2  m ( C ) cắt trục hoành điểm M ;0 ( y   x  )   m ( x  m) 3m   3m   Do tiếp tuyến (Cm ) M song song với đường thẳng d : y  x  nên Ta có: y '   1, 0,25  m2  m   3m   y '   m  1 m    1    2m   3m   0,25 Với m  1  M (1;0) , phương trình tiếp tuyến là: y  x  (loại – trùng với d ) 3  Với m    M  ;  , phương trình tiếp tuyến là: y  x  (thỏa mãn) 5 5  Vậy m   giá trị cần tìm Chú ý: Khi gặp câu hỏi viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f ( x ) song song với đường thẳng y  ax  b , việc sử dụng kiện f '( x0 )  a điều kiện cần chưa đủ Do sau giải kết ta cần có bước kiểm tra lại điều kiện song song 10 z  Tính môđun z  2i b) Giải phương trình: log  x  3  log  x    0,25 0,25 a) Cho số phức z thỏa mãn z   1, 10    10.(1  2i)  z 1     z 1  5   2i    5(3  4i )  (3  4i ) z   z     i  4i 25 5 Ta có z  a) 10 z 5  2i 0,25 3  4 Vậy z   i , suy môđun số phức z là: z        5 5 5 x   x  Điều kiện:  Khi phương trình tương đương :  x    x  2 2log x   2log  x     log6  x   x     x   x    36 (*) b) TH1 : 2  x  , đó: (*)    x  x    36  x  x  30  Đặt t  ln x  t  ln x  2tdt   dx x 0,25  1, 0,25 0,25 (vô nghiệm) TH2 : x  , : (*)   x  3 x    36  x  x  42   x  x  6 (loại) Vậy phương trình có nghiệm: x  e  ln x Tính tích phân I   dx ln x  x  0,25 3t t  3t 2tdt  2 dt t2 t 2 Đổi cận x   t  x  e  t  , đó: I   0,25 Tham gia khóa học môn Toán Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN tự tin chinh phục thành công kì thi THPTQG tới ! HOCMAI.VN GV: Nguyễn Thanh Tùng facebook.com/ ThayTungToan 14    2  t  2t   dt t2 0 0,25  t3  50    t  7t  14 ln t     28 ln 3 0 a) Trong không không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1; 2;3), B (2; 1;3) mặt phẳng ( P ) : x  y  z   Tính diện tích tam giác OAB Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng AB cách mặt phẳng ( P ) khoảng    OA  (1; 2;3)   2 115  OA, OB   (9;3; 5)  SOAB  OA, OB     ( 5)   2 OB  (2; 1;3) x  1 t   Ta có AB  (1; 3; 0) , suy phương trình đường thẳng AB :  y   3t z    t  2(2  3t )  2.3  Do M  AB  M (1  t ;  3t ;3) Ta có: d ( M ( P ))   1 12  22  22 t  1  M (0;5;3) 6   5t         Vậy M (0;5;3) M  ; ;3   M  ; ;3  t  5     5  3 a) Cho góc  thỏa mãn     sin   2cos   Tính A  tan   cot  b) Từ 16 chữ chữ “ KI THI THPT QUOC GIA” chọn ngẫu nhiên chữ Tính xác suất để chọn chữ đôi phân biệt sin   cos    3  sin   Với     ;    (*) Ta có   1  2cos    cos   2  cos    sin   cos    cos   cos    cos    cos   (loại (*) ) 0,25  1, 0,25 0,25 0,25 0,25  1, 0,25  4 Khi sin    cos        sin    ( theo (*) ) 25 5 sin  Suy tan    cot    Do A  tan   cot   cos  tan  b) Số cách chọn chữ từ 16 chữ là: n()  C165  4368 Chữ “ KI THI THPT QUOC GIA” có chữ xuất lần chữ : K, P, Q, U, O, C, G, A có chữ xuất lần chữ: H có chữ xuất lần chữ: I, T Gọi B biến cố chữ chọn đôi phân biệt Gọi tập X  {K; P; Q; U; O; C; G; A}, ta có trường hợp sau: Trường hợp 1: Trong chữ chọn thuộc tập X , số cách chọn: C85  56 Trường hợp 2: Trong chữ chọn có chứa chữ thuộc tập X  chữ H, số cách chọn: C84 C21  140  chữ I, số cách chọn: C84 C31  210 0,25 0,25 Tham gia khóa học môn Toán Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN tự tin chinh phục thành công kì thi THPTQG tới ! HOCMAI.VN GV: Nguyễn Thanh Tùng  facebook.com/ ThayTungToan chữ T, số cách chọn: C C  210 Vậy số cách chọn trường hợp là: 140  210  210  560 Trường hợp 3: Trong chữ chọn có chứa chữ thuộc tập X  chữ H, chữ I số cách chọn: C83 C21 C31  336  chữ H, chữ T, số cách chọn: C83 C21 C31  336 chữ I, chữ T, số cách chọn: C83 C31 C31  504 Vậy số cách chọn trường hợp là: 336  336  504  1176 Trường hợp 4: Trong chữ chọn có chứa chữ thuộc tập X , chữ H, chữ I , chữ T Số cách chọn: C82 C21 C31 C31  504  0,25 Khi n( B )  56  560  1176  504  2296 Vậy xác suất cần tìm là: P( B)  n( B) 2296 41   n() 4368 78 a 10 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có  ; AC  a BC  a Hình chiếu ACB  1350 , CC '  vuông góc C ' lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm M đoạn AB Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' khoảng cách hai đường thẳng AA ' B ' C ' 1 a2  Ta có S ABC  CA.CB sin ACB  a 2.a sin135  2 2 2  Xét ABC ta có: AB  AC  BC  AC.BC cos ACB  2a  a  2.a 2.a.cos1350  5a CA2  CB AB a 2 B' Ta có: CM    A' 4 a Suy ra: C ' M  C ' C  CM  Suy thể tích VABC A' B ' C '  C ' M S ABC C' H a a a3  Do AA ' // BB '  AA ' // ( BCC ' B ')  d ( AA ', B ' C ')  d ( AA ', ( BCC ' B '))  d ( A, ( BCC ' B '))  2d ( M , ( BCC ' B ') AB (do AM  ( BCC ' B ')  ) MB  1, 0,25 0,25  B A 1350 M C 0,25 5a AB a   BM   BC  CM  BMC vuông C hay BC  CM 2 Mà ta có: BC  C ' M  BC  (C ' CM ) (*) Gọi H hình chiếu vuông góc M CC ' , MH  CC ' Mặt khác: BC  MH (theo (*), suy MH  ( BCC ' B ')  d ( M , ( BCC ' B '))  MH Ta có BM  1 20 a 15       MH  2 MH MC MC ' a 3a 3a 10 a 15 Khi d ( AA ', B ' C ')  2d ( M , ( BCC ' B '))  2MH  Xét tam giác MCC ' ta có: 0,25 Tham gia khóa học môn Toán Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN tự tin chinh phục thành công kì thi THPTQG tới ! HOCMAI.VN facebook.com/ ThayTungToan Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông A ( AB  AC ) Trên cạnh AB  60 15  lấy điểm I cho AI  AC Đường tròn đường kính IB cắt BC M  ;  cắt  1,  17 17  đường kéo dài CI N (4; 1) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết A thuộc đường thẳng 2015 x  2016 y  GV: Nguyễn Thanh Tùng C M A 1 I B 0,25 N   CMI   1800  ACMI nội tiếp đường tròn Ta có CAI   I  450  I  M M  M   900   M AMN  900 hay AM  MN 1 4   32  Ta có MN   ;    (1; 4) , suy phương trình AM : x  y   17 17  17 x  y  Khi tọa độ điểm A nghiệm hệ:   x  y   A(0; 0) 2015 x  2016 y    C   450  M  450  MI phân giác góc  Ta có M AMN 0,25   900  BAC   ACBN nội tiếp đường tròn  N B N  Mặt khác, BNC 1  , suy I tâm đường tròn nội tiếp tam giác AMN Suy NI phân giác MNA Phương trình AN : x  y  ; AM : x  y  MN : x  y  15  x  4y x  y  15 3x  y  15  Phương trình phân giác góc  AMN thỏa mãn:   17 17 5 x  y  15  Do A, N khác phía với MI nên phương trình MI : x  y  15   BC : x  y  15  x  4y x  y  15 x  y   Phương trình phân giác NC góc  ANM thỏa mãn:   17 17 x  y   Do A, M khác phía so với NC nên NC có phương trình: x  y   x  y   x  Suy tọa độ điểm C nghiệm hệ:    C (0; 3) 3 x  y  15  y  Khi AB qua A(0; 0) vuông góc với AC nên có phương trình: y  y  x  Suy tọa độ điểm B nghiệm hệ    B (5; 0) 3 x  y  15  y  Vậy A(0;0), B (5;0), C (0;3) 0,25 0,25 Tham gia khóa học môn Toán Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN tự tin chinh phục thành công kì thi THPTQG tới ! HOCMAI.VN GV: Nguyễn Thanh Tùng Chú ý: Trong hình vẽ toán này, ta khai thác thêm tính chất ED  AN để sáng tạo đề mới, với E giao điểm AB MN D giao điểm thứ hai đường tròn đường kính IB với AN facebook.com/ ThayTungToan C M E A B I D xy 1  y y  (1)  y   Giải hệ phương trình  x  x 1  2 (8 x  4) 2(1  x )  y  y (2) N  1,  x, y     y  (;0)  1;   Điều kiện:  1  x  Biến đổi (1)  Do  y 1 1  y  y y      x   x  x y  y2  1 y  y   x   x 3x (*) 0,25  x   x 3x  , suy y    2  1 1 y  Khi (*)         y y   Xét hàm số f (t )     x   x x (2*)  t   t 3t với t   t    Ta có f '(t )     3t  t   t 3t ln  3t t   t  ln   t2 1   t 1    t2 1  t  t  t  t2 1  t   Mà   f '(t )  với t   1  ln  0 ln   t 1 t 1  1 1 Suy f (t ) đồng biến với t   Khi (2*)  f    f ( x)   x  y  (3*) y x y   Thay (3*) vào (2) ta được: (8 x  4) 2(1  x )    0,25 1  x2 x    x  x    (8 x  4)2 2(1  x )   32 x (1  x )(2 x  1)2  x   (4*)   x2 x 0,25 Tham gia khóa học môn Toán Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN tự tin chinh phục thành công kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ ThayTungToan 1    0; x    x  Do ta đặt x  cos t với t   0;  , phương x 2  4 2 2 trình (4*) có dạng: 32 cos t.(1  cos t )(2 cos t  1)  cos t    8sin 2t.cos 2t  cos t    2sin 4t  cos t   Do y   k 2 t 0;    4 t  8t  t  k 2    t  0; 2   cos8t  cos t       k     8t  t  k 2 t  k 2       2   Khi hệ có nghiệm là: ( x; y )  (1;1),  cos ;  cos 2         Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab  bc  ca  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T  2(a  1)(b  1)(c  1) 12   4ab  (a  b)(c  3) (a  1)(b  1) 2c 0,25  1, Ta có 4ab  ( a  b)(c  3)  3ab  3( a  b)  ( ab  bc  ca)  3ab  3(a  b)   3(a  1)(b  1)  2(a  1)(b  1)(c  1) 12  T   4ab  (a  b)(c  3) (a  1)(b  1) (a  1)(b  1) 2c 0,25 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:  ab  bc  ca  3 (abc)  abc  Biến đổi (a  1)(b  1)  a 2b  a  b   (a  b  2ab)  (a 2b  2ab  1)  (a  b)2  (1  ab)2 (*)  2 2 2(c  1)  (c  2c  1)  ( c  2c  1)  ( c  1)  ( c  1) 10 Với x, y , u , v   , ta có: ( x  y )(u  v )  xu  yv (2*) Thật vậy: +) Nếu xu  yv  (2*) 0,25 +) Nếu xu  yv  (2*)  ( x  y )(u  v )  ( xu  yv )2  ( xv  yu )2  (luôn đúng) Sử dụng phép biến đổi (*) áp dụng (2*) , ta được:  2(a  1)(b  1)(c  1)    (a  b)2  (1  ab)2   (c  1)  (c  1)    ( a  b)(c  1)  (1  ab)(c  1)  abc  ab  bc  ca  a  b  c   2(1  abc)  ( a  1)(b  1)(c  1)  2(1  abc)  ( a  1)(b  1)(c  1) (do abc  ) 1  AM GM c c c c      1  33     2c  2 c  2 2c 2 5 Khi a  b  c  T  Vậy giá trị nhỏ T 2 Chú ý: Bất đẳng thức (2*) bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, song áp dụng kì thi THPT quốc gia bạn phải chứng minh (có thể theo cách trình bày    chứng minh theo phương pháp vecto nhờ sử dụng bất đẳng thức u v  u.v ) 0,25 Khi T  c   0,25 Tham gia khóa học môn Toán Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN tự tin chinh phục thành công kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ ThayTungToan CẢM ƠN CÁC BẠN ĐÃ QUAN TÂM ! GV: Nguyễn Thanh Tùng Tham gia khóa học môn Toán Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN tự tin chinh phục thành công kì thi THPTQG tới ! ... biến thi n: 0,25 * Đồ thị: 0,25 Tham gia khóa học môn Toán Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN tự tin chinh phục thành công kì thi THPTQG tới ! HOCMAI.VN GV: Nguyễn Thanh Tùng. .. 0,25 Tham gia khóa học môn Toán Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN tự tin chinh phục thành công kì thi THPTQG tới ! HOCMAI.VN GV: Nguyễn Thanh Tùng Chú ý: Trong hình vẽ toán này,...  210 0,25 0,25 Tham gia khóa học môn Toán Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN tự tin chinh phục thành công kì thi THPTQG tới ! HOCMAI.VN GV: Nguyễn Thanh Tùng  facebook.com/