MàKÍ HIỆU  ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ [*****] LỚP 9 ­ Năm học 2015­2016 MÔN: Toán Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề thi gồm 05 câu, 01trang) Câu  1 (2 điểm): a) Cho  x = + ; y = −  Không dùng bảng số và máy tính, hãy tính giá trị của biểu thức  A = x5 + y5  b) Cho  A = x xy + x + + y yz + y + + z       Biết xyz=4, tính  A zx + z + Câu 2(2 điểm): a) Giả sử phương trình: x2+ax+b = 0 có hai nghiệm x1, x2 và phương  trình :x2+cx +d = 0 có hai  nghiệm x3, x4 Chứng minh rằng: 2(x1+x3) (x1+x4) (x2+x3) (x2+x4) = 2(b­d)2­ (a2­c2)(b­d)+(a+c)2(b+d)    b) Cho hệ phương trình:  mx − y =   (với  m  là tham số).  Tìm  m  để hệ phương trình đã cho  x + my = có nghiệm  ( x; y )  thỏa mãn hệ thức:    x + y − 2014 = −2015m + 14m − 8056 m2 + Câu 3(2điểm): a) Cho a,b là các số nguyên dương thỏa mãn  P = a + b2 là số nguyên tố.  P −  chia hết cho  8. Giả sử các số nguyên x,y thỏa mãn  ax − by  chia hết cho P. Chứng minh rằng cả hai  số x,y  đều chia hết cho P �x − � �3 − x x � b) Cho  x > 1; y > , chứng minh:  + � �+ 3 � + � ( x − 1) � y � y �x − y � Câu 4(3 điểm): Cho đoạn thẳng  AC  có độ dài bằng  a  Trên đoạn  AC  lấy điểm  B  sao cho  AC = AB  Tia  Cx   vuông góc với  AC  tại điểm  C ,  gọi  D  là một điểm bất kỳ thuộc tia  Cx  ( D  không trùng với  C ). Từ điểm  B  kẻ đường thẳng vuông góc với  AD  cắt hai đường thẳng  AD  và  CD  lần lượt tại  K ,   E a) Tính giá trị  DC CE  theo  a b) Xác định vị trí điểm  D  để tam giác  BDE  có diện tích nhỏ nhất  c) Chứng minh rằng khi điểm  D  thay đổi  trên tia  Cx  thì đường tròn đường kính  DE   luôn  có một dây cung cố định Câu 5(1 điểm):     Trong một cuộc thi giải toán có 31 bạn tham gia. Mỗi bạn phải giải 5 bài. Cách cho điểm   như sau: mỗi bài làm đúng được 2 điểm, mỗi bài làm sai hoặc không làm sẽ bị trừ 1 điểm, điểm   thấp nhất của mỗi bạn là 0 điểm (không có điểm là số  âm). Chứng tỏ  rằng có ít nhất 7 bạn có  số điểm bằng nhau                              ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Hết ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ PDF Watermark Remover DEMO : Purchase from www.PDFWatermarkRemover.com to remove the waterma MàKÍ HIỆU ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH  PHỐ [*****] Lớp  9 ­ Năm học 2015 ­ 2016 MÔN:Toán  (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)          Chú ý: ­ Thí sinh làm theo cách khác nếu đúng thì vẫn cho điểm tối đa ­ Điểm bài thi làm tròn đến 0,25 Câu  Đáp án Điểm a) (1 điểm) Tính được x + y = 6 và xy = 7 0,25       Tính được x2 + y2= 22 0,25       Và x  + y  = 90 0,25       Tính được x5 + y5 = (x2 + y2)(x3 + y3) – x2y2(x + y) = 1686 0,25 Câu 1 2 đ b) (1 điểm) ĐKXĐ x,y,z 0. Kết hợp xyz=4  � x, y, z > 0; xyz = 0,25 Nhân cả tử và mẫu của hạng tử thứ hai với  x , thay 2 ở mẫu của hạng  0,25 tử thứ ba bởi  xyz  ta được A= x xy + x + + xy + xy + x + z z ( x + + xy ) =1 0,25 Suy ra  A =  ( vì A>0) Câu 2 2 đ 0,25 a) ( 1 điểm)  VT = 2[x12+x1(x3+x4)+x3x4][ x22+x2(x3+x4)+x3x4]       =2(x12­ cx1+d) (x22­ cx2+d)( theo Vi ét)      0,5       =2[x1 x1 ­ c x1x2(x1+x2)+d(x1 + x2 )+c x1x2­ cd(x1+x2)+d ] 2 2 2       =2[b2+abc+d(a2­2b)+c2b+acd+ d2] =2(b­d)2+2a2d+2c2b+2abc+2abd VP = 2(b­d)2­ a2(b­d)+c2((b­d)+ a2(b+d)+c2(b+d)+2ac(b+d)      =2(b­d) +2a d+2c b+2abc+2abd  2 0,5 Vậy VT = VP (đpcm) PDF Watermark Remover DEMO : Purchase from www.PDFWatermarkRemover.com to remove the waterma b) (1 điểm)  Dùng phương pháp thế, ta có: mx − mx − y= �y = � �� �� mx − 2 x + my = � x + my = � 2x + m =5 mx − y = 0,25   2m + 10 mx − x= y = � � m +4 �� �� ,∀m �R 5m − � � y= ( m + ) x=2m+10 m +4 2m + 10 m2 + ,∀m R Nên hệ luôn có nghiệm duy nhất:   5m − y= m +4 x= Thay vào hệ thức:  x + y − 2014 = Ta được:       0,25 −2015m + 14m − 8056 m2 + −2014m + 7m − 8050 −2015m + 14m − 8056 = m2 + m2 + � −2014m + m − 8050 = −2015m + 14m − 8056                   � m − m + = � ( m − 1) ( m − ) =   m =1 m =6 Kết luận: để hệ phương trình đã cho có nghiệm  ( x; y )  thỏa mãn hệ  thức:  0,25 m =1 −2015m + 14m − 8056  thì  x + y − 2014 = m=6 m2 +     0,25 Câu 3 2 đ a) ( 1 điểm) Đặt P=8k+5 ( k là số tự nhiên) Ta có  � ( ax � ) 4k +2 − ( by ) 4k +2      0,25 � M( ax − by ) � a k + x8 k + − b k + y k + MP � PDF Watermark Remover DEMO : Purchase from www.PDFWatermarkRemover.com to remove the waterma � ( a k + + b k + ) x8 k + − b k + ( x8k + + y k + ) MP Mà  a k + + b k + = ( a )  và b  1; y >   � x − > 0; y > � x −1 > 0; > 0; > ( x − 1) y y 0,25 Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dương:  1 + 1+ �۳ − 3 1.1 ( x − 1) ( x − 1) 3 ( x − 1) 3 y3 (1) �x − � �x − � −3 � �.1.1 � �+ 1+ �۳ �y � �y � 1 + 1+ �۳ − 3 1.1 y y x −1 �x − � 3( x − 1) � � y �y � y (2) (3) Từ (1); (2); (3):  0,25 �x − � 1 + � �+ 3 ( x − 1) � y � y � 0,25 3( x − 1) −6+ + x −1 y y �x − � − x + x − 2x x + � �+ � + = 3( + ) ( x − 1) � y � y x −1 y x −1 y 0,25 PDF Watermark Remover DEMO : Purchase from www.PDFWatermarkRemover.com to remove the waterma Hình vẽ 3 đ D K A B N C M E   a) ( 1 điểm): Tính giá trị  DC.CE  theo  a ﾷ ﾷ ﾷ Ta có:  EBC );  ﾷACD = ECB = ﾷADC  (Cùng bù với góc  KBC = 90o 0,25 � ∆ACD  và  ∆ECB  đồng dạng với nhau(g­g) 0,25 � DC AC = � DC.CE = AC.BC BC EC Do  AB = a 3a ; BC = 4 0,25 DC.EC = AC.BC = 3a 0,25 b) (1 điểm):  Xác định vị  trí điểm   D   để  tam giác   BDE   có diện tích nhỏ  S∆BDE = BC.DE S ∆BDE  nhỏ nhất khi và chỉ khi  DE  nhỏ nhất Ta   có:   DE = DC + EC DC EC = 0,25 3a = a   (   Theo   chứng  minh phần a)     Dấu  " = " � DC = EC = a S( BDE )   nhỏ       3a CD = a 2 0,5     D   thuộc   tia   Cx     cho  0,25 c) (1 điểm): Chứng minh rằng khi điểm D thay đổi  trên tia  Cx  thì đường  tròn đường kính  DE  luôn có một dây cung cố định PDF Watermark Remover DEMO : Purchase from www.PDFWatermarkRemover.com to remove the waterma Gọi giao điểm của đường tròn đường kính  DE  với đường thẳng  AC là M, N ( M nằm giữa A và B)  M, N đối xứng qua DE 0,25 Ta có: Hai tam giác  ∆AKB  và  ∆ACD  đồng dạng (g­g)             � AK AB = � AK AD = AC AB        (1) AC AD            Hai tam giác  ∆AKM  và  ∆AND  đồng dạng (g­g)             � AK AM = � AK AD = AM AN        (2) AN AD T ừ (1) v à (2) suy ra  AM AN = AC AB = � 0,25 a2 a2 = ( AC − MC )( AC + NC ) = AC − MC (Do MC = NC) � MC = 3a a � MC = NC = 0,25 M , N  là hai điểm cố định.  Vậy đường tròn đường kính  DE  luôn có dây cung  MN  cố định 1 đ Số điểm của mỗi bạn có thể xếp theo 5 loại sau đây:    ­ Làm đúng 5 bài, được 10 điểm    ­ Làm đúng 4 bài, được 7 điểm    ­ Làm đúng 3 bài, được 4 điểm    ­ Làm đúng 2 bài, được 1 điểm    ­ Loại còn lại, đều bị 0 điểm    Vì 31 chia 5 có thương là 6 và dư 1, nên theo Nguyên lý Đi­rích­lê, có ít  nhất 7 bạn có số điểm bằng nhau 0,25 0,5 0,5                                    ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Hết­­­­­­­­­­­­­­­­­­   NGƯỜI SOẠN ĐỀ                          TỔ CHUYÊN MÔN                          BAN GIÁM HIỆU PDF Watermark Remover DEMO : Purchase from www.PDFWatermarkRemover.com to remove the waterma ... (1 điểm):  Xác định vị  trí điểm   D   để  tam giác   BDE   có diện tích nhỏ  S∆BDE = BC .DE S ∆BDE  nhỏ nhất khi và chỉ khi  DE  nhỏ nhất Ta   có:   DE = DC + EC DC EC = 0,25 3a = a   (   Theo   chứng ... Remover DEMO : Purchase from www.PDFWatermarkRemover.com to remove the waterma Gọi giao điểm của đường tròn đường kính  DE  với đường thẳng  AC là M, N ( M nằm giữa A và B)  M, N đối xứng qua DE 0,25... = EC = a S( BDE )   nhỏ       3a CD = a 2 0,5     D   thuộc   tia   Cx     cho  0,25 c) (1 điểm): Chứng minh rằng khi điểm D thay đổi  trên tia  Cx  thì đường  tròn đường kính  DE  luôn có một dây cung cố định