BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ  LÊ ĐẠI NAM LỜI GIẢI CHÍNH XÁC BÀI TOÁN MICZ – KEPLER CHÍN CHIỀU TRONG TỌA ĐỘ PARABOLIC LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ  LÊ ĐẠI NAM LỜI GIẢI CHÍNH XÁC BÀI TOÁN MICZ – KEPLER CHÍN CHIỀU TRONG TỌA ĐỘ PARABOLIC Ngành: SƯ PHẠM VẬT LÍ Mã số: 102 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TSKH LÊ VĂN HOÀNG Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2015 Lời cảm ơn Để thực khóa luận với khối lượng lớn kiến thức vật lí kĩ thuật tính toán giải tích này, xin cho gửi lời tri ân sâu sắc đến người thầy hướng dẫn – PGS TSKH Lê Văn Hoàng Thầy tận tình hướng dẫn, tạo điều kiện tốt giúp hoàn toàn tự tin để hoàn thành khóa luận Không nâng cao kiến thức, học Thầy phương pháp làm việc khoa học, tự tin theo đuổi mục tiêu kiên trì thực công việc Tôi xin cảm ơn tất thầy, cô khoa Vật lí, trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh đặc biệt thầy, cô môn Vật lí lí thuyết truyền thụ kiến thức khoa học suốt thời gian học tập Nhờ kiến thức đó, nắm bắt vấn đề hoàn thành khóa luận Khóa luận khó hoàn thành không nhận giúp đỡ bậc đàn anh, người trước lĩnh vực mà nghiên cứu Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến anh Nguyễn Thành Sơn, giảng viên trường Đại học Kiến trúc Tp HCM, anh Thới Ngọc Tuấn Quốc, giáo viên trường Phổ Thông Năng Khiếu, Đại học Quốc gia Tp.HCM thầy Phan Ngọc Hưng, giảng viên trường Đại học Sư phạm Tp.HCM mang lại cho đóng góp quý báu hỗ trợ đắc lực trình thực khóa luận Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, bạn bè quan tâm, động viên khích lệ tinh thần cho tôi, giúp an tâm tập trung hoàn thành khóa luận Tp Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng năm 2015 Lê Đại Nam i Mục lục Trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục i Danh mục hình iii Danh mục bảng iv Mở đầu .1 Chương Đơn cực từ toán MICZ – Kepler 1.1 Đơn cực từ không gian chiều 1.1.1 Đơn cực từ Dirac đơn cực từ Yang 1.1.2 Quá trình tìm kiếm đơn cực từ Dirac thực nghiệm 11 1.1.3 Đơn cực từ SO(8) không gian chiều .14 1.2 Bài toán MICZ - Kepler chiều 15 1.2.1 Bài toán MICZ – Kepler chiều chiều 15 1.2.2 Bài toán MICZ – Kepler chiều 17 ii Chương Bài toán MICZ – Kepler chiều tọa độ parabolic 20 2.1 Phương trình Schroedinger toán MICZ – Kepler chiều tọa độ parabolic 21 2.2 Lời giải toán MICZ – Kepler chiều tọa độ parabolic 26 2.2.1 Hàm cầu suy rộng toán MICZ – Kepler chiều 26 2.2.2 Hàm sóng lượng toán MICZ – Kepler chiều 34 2.3 Liên hệ lời giải toán MICZ – Kepler chiều tọa độ cầu tọa độ parabolic .38 Kết luận hướng phát triển .41 Kết luận 41 Hướng phát triển 41 Danh mục công trình tác giả công bố 43 Tài liệu tham khảo .44 Tiếng Anh 44 Tiếng Đức 53 Tiếng Pháp 53 Phụ lục tính toán 54 Phụ lục Toán tử Laplace – Beltrami tọa độ parabolic chiều 54 Phụ lục Hàm siêu bội tổng quát 55 Phụ lục Giải phương trình (2.15) 55 iii Danh mục hình Chương I Hình 1.1 Đơn cực từ kì dị dây Dirac .9 Hình 1.2 Thí nghiệm LHCb với máy dò MOEDAL máy gia tốc LHC [80] 12 Hình 1.3 Mặt cắt máy dò đơn cực RHIC [12] 13 Hình 1.4 Sự tạo tách cặp đơn cực dây Dirac [45] .13 Hình 1.5 Mô đơn cực từ Dirac thí nghiệm nhóm D Hall [74] 13 Chương II Hình 2.1 Mô tả hình học đơn cực cầu S7 đính vào không gian R9 37 iv Danh mục bảng Mở đầu Trang Bảng 0.1 Liên hệ toán MICZ – Kepler Chương Bảng 1.1 So sánh số tính chất toán MICZ – Kepler 19 Mở đầu Trong lí thuyết trường điện từ cổ điển, hệ phương trình Maxwell mô tả tốt trường điện từ Bằng phép biến đổi đối ngẫu, điện trường biến thiên sinh từ trường ngược lại, từ trường biến thiên sinh điện trường Tuy nhiên, theo hệ phương trình Maxwell, điện trường có nguồn phát điện tích từ trường nguồn phát tường minh Điều làm tính đối ngẫu điện – từ P A M Dirac người giải vấn đề mặt lí thuyết Năm 1931, Dirac đưa khái niệm “từ tích” hay gọi đơn cực từ Dirac [14] Dirac chứng minh lượng tử hóa điện tích đòi hỏi lượng tử hóa từ tích thông qua điều kiện lượng tử hóa Dirac Đơn cực từ Dirac giúp hệ phương trình Maxwell không tính đối ngẫu điện – từ Trong lí thuyết trường gauge, trường đơn cực từ Dirac nhìn nhận nhóm U (1) Vào thập niên 1950, lí thuyết trường gauge tái sinh qua công trình C N Yang R Mills Lí thuyết trường gauge cho phép nhà vật lí đưa thêm chiều không gian dư để mở rộng không gian vật lí từ chiều lên số chiều cao Năm 1978, C N Yang mở rộng trực tiếp đơn cực từ Dirac không gian chiều lên đơn cực từ Yang không gian chiều [83] Trong lí thuyết trường gauge, trường đơn cực từ Yang nhìn nhận nhóm SU ( ) Đơn cực từ không gian chiều đề xuất B Grossman vào năm 1984, ông giải phương trình Yang – Mills không gian chiều tương ứng với trường hợp cuối phân thớ Hopf [17] Năm 2003, nhóm nghiên cứu S Zhang dẫn đơn cực từ không gian chiều mà lí thuyết trường gauge nhìn nhận SO ( ) [5, 72, 88].Năm 2009, tác giả Lê Văn Hoàng, Nguyễn Thành Sơn Phan Ngọc Hưng đưa đơn cực đơn cực từ SO ( ) không gian chiều nghiên cứu mối quan hệ toán dao động tử điều hòa 16 chiều với toán Kepler chiều định lí Hurwitz [37, 38, 89] Từ đó, nhóm tác giả đơn cực từ SO ( ) mở rộng trực tiếp đơn cực từ Dirac đơn cực từ Yang không gian chiều Cho đến thời điểm tại, đơn cực từ vừa nêu, số đơn cực từ khác xây dựng mặt lí thuyết mà kể đến đơn cực từ Wu – Yang[84], đơn cực từ ‘t Hooft – Polyakov [70, 79], đơn cực từ BPS [71] Việc đưa giả thuyết tồn đơn cực từ giúp giải thích hợp lí nhiều vấn đề vật lí hóc búa Đơn cực từ xuất hầu hết lí thuyết vật lí ngày lí thuyết thống lớn [86], lí thuyết siêu đối xứng [85], lí thuyết hấp dẫn lượng tử [22], lí thuyết siêu dây [30, 86] vũ trụ học [11, 16] Do đó, chưa có chứng thực nghiệm xác thực, nhà vật lí lí thuyết tin vào tồn đơn cực từ Các toán có có mặt đơn cực từ, vậy, nhà vật lí lí thuyết xây dựng khảo sát Đặc biệt cả, đơn cực từ Dirac, đơn cực từ Yang đơn cực từ SO ( ) có liên hệ mật thiết với tồn phân thớ Hopf [90, 91], tồn đại số chia định lí Hurwitz [62, 89] Dođó, tập trung nghiên cứu vào toán có có mặt đơn cực từ Dirac, đơn cực từ Yang đơn cực từ SO ( ) Bài toán MICZ – Kepler toán điển hình có tính đến có mặt đơn cực từ Bài toán MICZ – Kepler thực chất toán Kepler (hay toán Coulomb) đưa thêm đơn cực Bài toán đưa lần vào năm 1960 D Zwanziger, McIntosh Cisneros mở rộng toán Kepler chiều cách thêm vào đơn cực đơn cực từ Dirac [44, 87] Đây toán quan trọng, khảo sát nhiều phương pháp khác vài thập niên qua đến nhà vật lí lí thuyết quan tâm Cùng với việc mở rộng đơn cực từ không gian nhiều chiều, toán MICZ – Kepler mở rộng không gian nhiều chiều khảo sát phương pháp khác nhautrong công trình [37, 38, 39, 44, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 63, 64, 69 ,81 ,87] Như nói trên, đơn cực từ Dirac, đơn cực từ Yang đơn cực từ SO ( ) trường hợp đặc biệt Chính lẽ đó, toán MICZ – Kepler chiều, chiều chiều toán đặc biệt Riêng trường hợp chiều, toán MICZ – Kepler toán Kepler Trong bốn trường hợp vừa kể trên, toán MICZ – Kepler 2h + chiều ( h = 0,1, 2,3 ) chứng minh tương đương với toán dao động tử điều hòa 2h+1 chiều thông qua phép biến đổi song tuyến dạng Hurwitz – tương ứng với đại số chia chuẩn hóa bội h [6, 36, 37, 43, 54, 68] phân thớ Hopf thứ h [7, 17, 19, 42 ,72, 86] Bốn trường hợp tóm tắt qua bảng Bảng 0.1 Bảng 0.1 Liên hệ toán MICZ – Kepler Bài toán MICZ – Kepler Đơn cực Phép biến đổi Đại số chia chuẩn hóa chiều Không có Levi – Civita Đại số thực chiều Đơn cực Dirac Kustaanheimo – Stiefel Đại số phức chiều Đơn cực Yang Davtyan Đại số quartenion (2 ) : S chiều Đơn cực SO(8) Hurwitz mở rộng Đại số octonion (3 ) : S Phân thớ Hopf (0 ) : S th (1 ) : S st nd rd → S1 S  →S2 S  →S4 15 S  → S8 Việc đưa thêm đơn cực vào toán Kepler chứng minh không làm thay đổi tính đối xứng toán Kepler [6, 8, 18, 39, 55, 58, 67] Không giữ nguyên tính đối xứng, việc đưa đơn cực tin không làm thay đổi tính siêu khả tích toán Kepler Tính siêu khả tích toán MICZ – Kepler chiều chứng minh gần [52, 53] Nếu toán MICZ – Kepler toán siêu khả tích phương trình Schroedinger toán tách biến tọa độ cầu, tọa độ parabolic số loại tọa độ cong trực giao khác Bài toán MICZ – Kepler chiều chiều có lời giải giải tích xác [10] Cahill E (1990), “The Kustaanheimo-Stiefel transformation applied to the hydrogen atom: using the constraint equation and resolving a wave function discrepancy”, J Phys A 23, pp 1519-1522 [11] Cecchini S et al (2001), “Search for magnetic monopoles at the Chacaltaya cosmic ray laboratory”, Nuovo Cim.C24, pp 639-644 [12] Chaudhari P., Cameron P., D’Imperio N., Dzhordzhadze V., Radeka V., Rehak M., Rehak P., Rescia S., Semertzidis Y., Sondericker J and Thieberger P (2007), Search for magnetic monopoles at the relativistic heavy ion collider (RHIC), Brookhaven National Laboratory [13] Davtyan L S., Mardoyan L G., Pogosyan G S., Sissakian A N and TerAntonyan V M (1987), “Generalised KS transformation: from five-dimensional hydrogen atom to eight-dimensional isotrope oscillator”, J Phys A20, pp 61216125 [14] Dirac P A M (1931), “Quantized singularities in the electromagnetic field”, Proc Roy Soc A 133, pp 60-72 [15] Eidelman S et al (2004), “Review of particle physics”, Phys LettB592, pp 1-5 [16] Fry J N and Schramm D N (1980), “Unification, monopoles and cosmology”, Phys Rev Lett.44, pp 1361-1364 [17] Grossman B., Kephart T W and Stasheff J D (1984), “Solutions to Yang– Mills field equations in eight-dimensions and the last Hopf map”, Comm Math Phys.96, pp 431-437 [18] Gritsev V V., Kurochkin Y A and Otchik V S (2000), “Nonlinear symmetry algebra of the MIC-Kepler problem on the sphere S3”, J Phys A33, pp 4903-4910 45 [19] Gonzales M., Kuznetsova Z., Nersessian A., Toppan F and Yeghikyan V (2009), “Second Hopf map and supersymmetric mechanics with a Yang monopole”, Phys Rev D80,pp 105023-13 [20] Giblin S R., Bramwell S T., Holdsworth P C W., Prabhakaran D and Terry I (2011), “Creation and measurement of long-lived magnetic monopole currents in spin ice”, Nat Phys 7, pp 252-258 [21] Higuchi A (1987), “Symmetric tensor spherical harmonics on the Nsphere and their application to the de Sitter group SO(N,1) ”, J Math Phys.28, pp.1553-1566 [22] Hawking S W and Pope C N (1978), “Generalized spin strutures in quantum gravity”, Phys Lett B73, pp 42-44 [23] Iwai T (1990), “The geometry of the SU(2) Kepler problem”, J Geom Phys.7, pp 507-535 [24] Itô A (1984), “Generalized Wu-Yang solution of the Yang-Mills equation”, Prog Theor Phys 71, pp 1443-1446 [25] Kibler M., Ronveaux A and Négadi T (1986), “On the hydrogen‐oscillator connection: Passage formulas between wave functions”, J Math Phys.27, pp 1541-1548 [26] Kleinert H (1967), “Group dynamics of the hydrogen atom” in: Lectures in theoretical physicsVol XB ed Brittin W E and Barut A O (New York: Gordon and Breach 1968), pp 427-482 [27] Kleinert H (1993), “Group theory and orbital fluctuations of the hydrogen atom”, Found Phys23, pp 769-807 46 [28] Kustaanheimo P and Stiefel E (1965), “Perturbation theory of Kepler motion based on spinor regularization”, J Reine Angew Math 218, pp 204-219 [29] Kalnins E G., Miller W and Pogosyan G S (2000), “Coulomb-oscillator duality in spaces of constant curvature”, J Math Phys.41, pp.2629-2657 [30] Lazarides G., Panagiotakopoulos C and Shafi Q (1987), “Magnetic monopoles from superstring models”, Phys Rev Lett.58, pp 1707-1710 [31] Laughlin R B (1983), “The anomalous quantum Hall effect: An incompressible quantum fluid with fractionally charged excitations”, Phys Rev Lett 50, pp 1395-1398 [32] Landau L D and Lifshitz E M (1989), Quantum mechanics: Non-relativistic theory, Pergamon Press, Oxford [33] Le Van Hoang, Viloria T J and Le Anh Thu (1991),“On the hydrogen-like atom in five-dimention space”,J Phys A 24, pp 3021-3030 [34] Le Van Hoangand Viloria T J (1992), “On the interpretation of the “extra” variable in the KS transformation”, Phys Lett A171, pp 23-25 [35] Le Van Hoang and Komarov L I (1993), “Theory of the generalized Kustaanheimo-Stiefel transformation”, Phys Lett A177, pp 121-124 [36] Le Van Hoang and Nguyen Thu Giang (1993), “The algebraic method for twodimensional quantum atomic systems”, J Phys A261409-1418 [37] Le Van Hoang, Nguyen Thanh Son and Phan Ngoc Hung (2009), “A hidden non-Abelian monopole in a 16-dimensional isotropic harmonic oscillator”, J Phys A 42, pp 175204-8 47 [38] Le Van Hoang and Nguyen Thanh Son (2011), “A non-Abelian SO(8) monopole as generalization of Dirac and Yang monopoles for a nine-dimensional space”, J Math Phys.52, pp 032105-11 [39] Le Van Hoang, Phan Thanh Tu and Truong Cat Tuong (2011), “On the SO(10,2) dynamical symmetry group of the MICZ-Kepler problem in a ninedimensional space”, J Math Phys.52, pp 072101-5 [40] Le Anh Thu, Le Van Hoang, Komarov L I and Romanova T S (1996), “Dynamical relativistic polarizability of hydrogen-like atoms”, J Phys B 29, pp 2897-2906 [41] Milton K A (2006), “Theoretical and experimental status of magnetic monopoles”, Reports Progress.Phys69, pp 1637-1712 [42] Minami M (1979), “Dirac’s monopole and the Hopf map”, Prog Theor Phys.62, pp 1128-1142 [43] Minami M (1980), “Quaternionic gauge fields on S7and Yang’s SU(2) monopole”, Prog Theor Phys.63, pp 303-321 [44] McIntosh H V and Cisneros A (1970), “Degeneracy in the presence of a magnetic monopole”, J Math Phys.11, pp 896-916 [45] Mengotti E., Heyderman L J., Rodríguez A F., Nolting F., Hügli R V and Braun H.-B (2010), “Real-space observation of emergent magnetic monopoles and associated Dirac strings in artificial kagome spin ice”, Nat Phys.7, pp 68-74 [46] Morris D J P et al (2009), “Dirac string and magnetic monopoles in the spin ice Dy2Ti2O7 ”, Science326, pp 411-414 48 [47] Meng G., (2007), “Dirac and Yang monople revisted”, Cent Eur J Phys 5, pp 570-575 [48] Meng G (2007), “MICZ-Kepler problems in all dimensions”, J Math Phys 48, pp 032105-14 [49] Meng G (2008), “The O(1)-Kepler problems”, J Math Phys 49, pp 1021118 [50] Meng G (2009), “The Sp(1)-Kepler problems”, J Math Phys 50, pp 072107-14 [51] MengG.and Zhang R (2011) “Generalized MICZ-Kepler problems and unitary highest weight modules”, J Math Phys.52, pp 042106-23 [52] Marquette I (2010),“Generalized MICZ-Kepler system, duality, polynomial, and deformed oscillator algebras”, J Math Phys.51, pp 102105-11 [53] Marquette I (2012), “Generalized 5D Kepler system and Yang-Coulomb monopole”, J Math Phys.53, pp 002103-12 [54] Mardoyan L G., Sissakian A N and Ter-Antonyan V M (1998), “8D oscillator as a hidden SU(2)-monopole”, Phys At Nucl 61, pp 1746-1750 [55] Mardoyan L G., Sissakian A N and Ter-Antonyan V M (1999), “Hidden symmetry of the Yang-Coulomb system”, Mod Phys Lett A 14, pp 1303-1307 [56] Mardoyan L G., Sissakian A N and Ter-Antonyan V M (2000), “Bases and interbasis transformations for the SU(2) monopole”, Theore Math Phys.123,pp.451-462 [57] Mardoyan L G (2003), “The generalized MIC-Kepler system”, J Math Phys.44, pp 4981-4987 49 [58] Mardoyan L G., Nersessian A and Yeranyan A (2007), “Relationship between quantum mechanics with and without monopoles”, Phys Lett A 366, pp 30-35 [59] Nersessian A and Pogosyan G (2001), “Relation of the oscillator and Coulomb systems on spheres and pseudo-spheres”, Phys Rev A 63, pp 20103-4 [60] Nersessian A (2002), “How to relate the oscillator and Coulomb systems on spheres and pseudo-spheres?”, Phys At Nucl 65, pp 1070-1075 [61] Nersessian A and Yeghikyan V (2008), “Anisotropic inharmonic Higgs oscillator and related (MICZ-)Kepler-like systems”, J Phys A 41, pp 155203-11 [62] Nieto J A and Alejo-Armenta L N (2001), “Hurwitz theorem and parallelizable spheres from tensor analysis”, Int J Mod Phys A 16, pp 4207-4222 [63] Nguyen Thanh Son, Le Đai Nam, Thoi N Tuan Quoc and Le Van Hoang (2015), “Exact analytical solutions of the Schrödinger equation for the ninedimensional MICZ-Kepler problem”, J Math Phys 56 (accepted) [64] Phan Ngoc Hung andLe Van Hoang (2012), “Generalized Runge-Lenz vector and nine-dimensional MICZ-Kepler problem”, J Math Phys.53, pp 082103-7 [65] Pinfold J L (2009), “Searching for the magnetic monopole and other highly ionizing particles at accelerators using nuclear track detectors”, Radiat Meas.44, pp 834-839 [66] Pinfold J L (2010), “Dirac’s dream-the search for the magnetic monopole”, AIP Conf Proc.1304, pp 234-239 [67] Pletyukhov M V and Tolkachev E A (1999), “SO(6,2) dynamical symmetry of the SU(2) MIC-Kepler problem”, J Phys A 32, L249-253 50 [68] Pletyukhov T V and Tolkachev E A (1999), “Hurwitz transformation and oscillator representation of a 5D “isospin” particle”, Repts Math Phys 43, pp.303311 [69] Pletyukhov T V and Tolkachev E A (2000), “Green’s function for the fivedimensional SU(2) MIC-Kepler problem”, J Math Phys 41, pp 187-194 [70] Polyakov A M (1974), “Particle spectrum in quantum field theory”, JETP Lett.20, pp 194-195 [71] Prasad M K and Sommerfield C M (1975), “An exact classical solution for the 't Hooft monopole and the Julia-Zee dyon”, Phys Rev Lett.35, pp 760-762 [72] Qi X.-L , Li R., Zang J and Zhang S.-C (2009), “Inducing a magnetic monopole with topological surface states”, Science323, pp 1184-1187 [73] Ryder L H (1980), “Dirac monopoles and the Hopf map S3 to S2”, J Phys A13, pp 437-447 [74] Ray M W., Ruokokoski E., Kandel S., Möttönen M and Hall D S (2014), “Observation of Dirac monopoles in a synthetic magnetic field”, Nature505, pp 657–660 [75] Ravndal F and Toyoda T (1967), “A new approach to the SU(2)⊗SU(2) symmetry of the Kepler motion”, Nucl Phys B3, pp 312-322 [76] Shnir Y M (2005),Magnetic monopoles, Springer-Verlag, Berlin [77] Song J S (1996), “Theory of magnetic monopoles and electric-magnetic duality: A prelude to S-duality”, J Undergrad Sci 3, pp 47-55 [78] Shapiro D (2000), Compositions of quadratic forms, de Gruyter, NewYork 51 [79] ‘t Hooft G (1974), “Magnetic monopoles in unified gauge theories”, Nucl Phys B79, pp 276-284 [80] The MoEDAL Collaboration (2009), Technical design report of the MoEDAL experiment, CERN Laboratory for Particle Physics [81] Tchrakian T (2008), “Dirac-Yang monopoles in all dimensions and their regular counterparts”, Phys At Nucl 71, pp 1116-1122 [82] Trunk M (1996), “The five-dimensional Kepler problem as an SU(2) gauge system: Algebraic constraint quantization”, Int J Mod Phys A11, pp 2329-2355 [83] Yang C N (1978), “Generalization of Dirac’s monopole to SU2 gauge fields”, J Math Phys 19, pp 320-328 [84] Wu T T and Yang C N (1969), “Some solutions of the classical isotopic gauge field equations” in book Properties of matter under unusual conditions, Eds Mark H and Fernbach S (Wiley, New York), pp 344-354 [85] Weinberg E J and Yi P (2007), “Magnetic monopole dynamics, supersymmetry, and duality”, Phys Rept.438, pp 65-236 [86] Wen X G and Witten E (1985), “Electric and magnetic charges in superstring models”, Nucl Phys B261, pp 651-677 [87] Zwanziger D (1968), “Exactly soluble nonrelativistic model of particles with both electric and magnetic charges”, Phys Rev.176, pp 1480-1488 [88] Zhang S -C.and Hu J (2001), “A four-dimensional generalization of the quantum Hall effect”, Science294, pp 823-828 52 Tiếng Đức [89] Hurwitz A (1898), “Uber die zahlentheorie der quaternionen”, Nachr Ges Wiss Gottingen, Math.-Phys Kl.71, pp 309-316 [90] Hopf H (1931), “Uber die abbildungen der dreidimensionalen sphare auf die kugelflache”, Math Ann.104, pp 637-665 [91] Hopf H (1935), “Uber die abbildungen von spharen auf spharen niedrigerer dimension”, Fund Math.25,pp.427-440 Tiếng Pháp [92] Levi-Civita T (1904), “Sur la résolution qualitative du problème restreint des trois corps”, Verhandl des III internat.-Kongressses402 in book Opere matematiche Memorie e note Vol II 1956 (Nicola Zanichelli Editore, Bologna) [93] Curie P (1894), “Sur la possibilité d’existence de la conductibilité magnétique et du magnétisme libre”, J Phys Theor Appl 3, pp 415-417 [94] Maricourt P P (1269), The Epistola de Magnete (The letter of Petrus Peregrinus on the magnet, A.D 1269 Translated by Brother Arnold; McGraw Publishing, New York, 1904) 53 Phụ lục tính toán Phụ lục Toán tử Laplace – Beltrami tọa độ parabolic chiều Trong tọa độ parabolic chiều (2.5)ta có tọa độ suy rộng u , v, ϕ s Metric không gian xác định gij = δ ij ∂r ∂r ∂qi ∂q j (3.1) Toán tử Laplace xác định công thức ∆= ∂  mn ∂   det  gij  g , ∂qm  det  gij  ∂qn  (3.2) có dạng tường minh tọa độ parabolic chiều ∆ = ∆12 + ∆ϕ r − x92 , (3.3) với = ∆12  ∂  ∂  ∂  ∂  u + v , ( u + v )  u ∂u  ∂u  v3 ∂v  ∂v   (3.4) ∆ϕ =− Lˆ2 54 (3.5) Từ (3.3), thay vào phương trình (2.4), ta phương trình (2.7) Phụ lục Hàm siêu bội tổng quát Trong trình giải phương trình vi phân bài, sử dụng hàm siêu bội tổng quát [1] a1( ) a2( ) a (p ) z n , p Fq ( a1 , a2 , , a p ; b1 , b2 , , bq ; z ) = ∑ ( n ) ( n ) ( n) n! n = b1 b2 bq ∞ n n n (3.6) với d ( ) kí hiệu Pochhammer n = d( ) n Γ (d + n) = Γ(d ) 1 n = 0,  d ( d + 1) ( d + n − 1) n > (3.7) Hàm siêu bội tổng quát (3.6) nghiệm phương trình vi phân [1]  d   d   d   d  dF  z + a1   z + a p  F =  z + b1   z + bq   dz   dz   dz   dz  dz (3.8) Phụ lục Giải phương trình (2.15) Xét phương trình theo u (2.15) viết lại dạng d 2U dU J ( J + ) U   U E + − + − P 0,   + U= du u du u2  u (3.9) Hàm sóng toán phải thỏa mãn điều kiện hữu hạn, đó, u → ∞ U → Phương trình (3.9) trở thành d 2U E + U → du 2 55 (3.10)  E  u →∞ Tôi giải (3.10) U  → A exp  − − u    Khi u → phương trình (3.9) trở thành dU J ( J + ) U − → du 16 u u →0 → Au Tôi giải (3.11) U  J ( J +6) 16 (3.11) Từ hai giới hạn trên, = đặt U uα exp ( − χ u ) fu ( u ) với χ= − E Lần lượt tính đạo hàm  α  dU  = uα e − χ u  − χ  fu ( u ) + fu′ ( u )  , du   u    α  d 2U  α  α  ′ α − χu ′′ = − − + − + χ χ u f u f u f u e  , ( ) ( ) ( )   u u     u du  u  u    u  (3.12) thay vào phương trình (3.9) uf u′′+ (α + − χ u ) fu′  J ( J + )  fu  Z  +  α + 3α −  +  − P − (α + ) χ  f u =   u 2 (3.13) Chọn= α J= j , phương trình (3.13) trở thành Z  ufu′′+ ( ( j + ) − χ u ) fu′ −  ( j + ) χ + P −  fu = 2  Ta đổi biến z = χ u ⇒ f u′= χ f z′, f u′′= χ f z′′ thu phương trình 56 (3.14)  d P Z   d  df f z  z + ( j + 2)  z ,  z dz + j + + χ − χ  =  dz  dz   (3.15) có dạng (3.8) nên (3.15) có nghiệm dạng f z (= z) với a = j + +   P Z − F  j +2+ , ( j + 2) , z  2χ 4χ   1 (3.16) P Z − b ( j + 2) và= 2χ 4χ Để chuỗi (3.16) hội tụ a = j + + dương, tức a =j + + P  − phải số nguyên không 2χ 4χ P Z − =−nu , nu =0,1, 2, 2χ 4χ Phương trình (3.5.3) có nghiệm = U Cu ( χ u ) exp ( − χ u ) F1 ( − nu , j + 4, χ u ) , j (3.17) với Cu hệ số chuẩn hóa hàm U Tôi giải tương tự cho hàm V thu dạng (2.37) Từ hai điều kiện chuỗi hội tụ, ta tính điều kiện lượng tử hóa lượng Z2 Z2 E= − = − , 2 ( nu + nv + j + l + ) ( N + 4) với N = nu + nv + j + l = nu + nv + J +L Để xác định hệ số chuẩn hóa, dựa vào điều kiện chuẩn hóa 57 (3.18) ∞∞ u+v ∫= ∫ U V u v dudv = I uv 2 3 (3.19) 0 Tôi viết lại (3.19)thành ∞∞ = ∫ ∫U V ∞ 0 ( u + v ) u v dudv = ∫ U 3 ∞ ∞ ∞ u du ∫ V v dv + ∫ U u du ∫ V 2v dv 3 0 Lần lượt, tính tính phân [1] ∞ = ∫ U v du ∞ Cu2 ( 2χu ) ( 2χ ) ∫ exp ( −2 χ u ) F1 ( − nu , j + 4, χ u ) d ( χ u ) j+4 s +1 s + ( s + ) ( s −1) ( s +1) Cu2 nu !Γ ( j + )  nu −1 ( −1) ( −nu ) ( −1) 1  = 1 + ∑  ( s +1) ( χ ) ( j + )( nu )  s =0 ( s + 1)! ( j + )  = nu !( ( j + 3)!) Cu2 ( χ ) ( j + nu + 3)! ∞ = ∫ U u du = = Cu2 ( 2χ ) Cu2 ( j + nu + ) , χ ∞ Cu2 ( 2χu ) ( 2χ ) ∫ j +3 exp ( −2 χ u ) F1 ( − nu , j + 4, χ u ) d ( χ u ) s +1 s+2 ( s +1) s+2 s −1 nu !Γ ( j + )  nu −1 ( −1) ( −nu ) ( −1) 0( ).0( )  1+ ∑  ( nu )  ( s +1) ( s + 1)! ( j + ) ( j + )  s =0  nu !( ( j + 3)!) ( χ ) ( j + nu + 3)! , (3.20) điều kiện chuẩn hóa trở thành 58 Cu2 nu !( ( j + 3)!) Cv2 nv !( ( 2l + 3)!) ( χ ) ( j + nu + 3)! ( χ ) ( 2l + nv + 3)! 4 29 ( j + nu + 3)! Cu2 ( N + ) nu !( ( j + 3)!) ⇒ χ Cu2 ( N + ) nu !( ( j + 3)!) Cv2 ( N + ) nv !( ( 2l + 3)!) ⇒ ( j + nu + l + nv + ) = 29 ( j + nu + 3)! 29 ( 2l + nv + 3)! = Cv2 ( N + ) nv !( ( 2l + 3)!) = 29 ( 2l + nv + 3)! =1 Từ đó, suy  9 Cu = 52  ( N + ) ( J + 3)!   9 = C  v 52 + N ( ) ( L + 3)!  ( J + nu + 3)! , nu ! ( L + nv + 3)! nv ! Như vậy, xác định hai hàm U ,V (2.37) 59 (3.21) [...]... Lời giải chính xác của bài toán MICZ – Kepler chín chiều trong tọa độ parabolic 3 Mục tiêu của khóa luậnnày là tìm lời giải chính xác của bài toán MICZ – Kepler 9 chiều trong tọa độ parabolic thông qua việc xây dựng hàm sóng và phổ năng lượng của bài toán trong tọa độ parabolic 9 chiều Ngoài ra, tôi còn so sánh hàm sóng, phổ năng lượng của bài toán MICZ – Kepler 9 chiều và của bài toán Kepler 9 chiều. .. 9 chiều; − Tìm hiểu tổng quan về bài toán MICZ – Kepler 9 chiều và mối liên hệ với bài toán dao động tử điều hòa 16 chiều; − Tìm hiểu tổng quan về lời giải chính xác của bài toán Coulomb nhiều chiều bằng phương pháp tách biến trong tọa độ parabolic; − Thành lập phương trình Schroedinger của bài toán MICZ – Kepler 9 chiều trong tọa độ parabolic; − Xây dựng lời giải giải tích chính xác của bài toán MICZ. . .trong tọa độ cầu và tọa độ parabolic bằng phương pháp tách biến [44, 48, 56, 57] Do vậy, bài toán MICZ – Kepler 9 chiều được tin rằng sẽ có lời giải giải tích chính xác trong tọa độ cầu và tọa độ parabolic bằng phương pháp tách biến Riêng lời giải giải tích chính xác hàm sóng và năng lượng của bài toán mới đưa ra gần đây trong tọa độ cầu 9 chiều [63] Đó chính là cơ sở để tôi thực hiện khóa luận Lời. .. Schroedinger của bài toán MICZ – Kepler 9 chiều Ngoài ra, tôi còn chỉ ra sự tách biến của bài toán MICZ – Kepler 9 chiều trong tọa độ parabolic Phần thứ hai, tôi trình bày lời giải bài toán MICZ – Kepler 9 chiều trong tọa độ parabolic bao gồm hàm sóng, năng lượng và bậc suy biến của năng lượng trong bài toán Đối chiếu với bài toán Kepler 9 chiều, tôi sẽ chỉ ra ảnh hưởng của thế đơn cực lên bài toán như thế... Bài toán MICZ – Kepler9 chiều trong tọa độ parabolic Để xây dựng hàm sóng và phổ năng lượng của bài toán MICZ – Kepler 9 chiều trong tọa độ parabolic, tôi giải phương trình Schroedinger dừng của bài toán dựa trên mô hình cơ bản để giải quyết một bài toán lượng tử: − Đưa ra phương trình Schroedinger của bài toán MICZ – Kepler 9 chiều trong hệ tọa độ hệ tọa độ parabolic chín chiều có chứa cầu đơn vị S7;... về lời giải của bài toán MICZ – Kepler 9 chiều trong tọa độ cầu đã được xây dựng gần đây bao gồm hàm sóng, năng lượng và bậc suy biến của năng lượng trong bài toán Sau đó, tôi trình bày cách thức và kết quả của việc xây dựng mối liên hệ giữa lời giải của bài toán MICZ – Kepler 9 chiều trong tọa độ cầu và trong tọa độ parabolic 5 Một số kết quả trình bày trong khóa luận đã được công bố trong 01 bài. .. giữa bài toán MICZ – Kepler 2, 3, 5, 9 chiều với bài toán dao động tử điều hòa 2, 4, 8, 16 chiều thông qua định lí Hurwitz Qua đó, tôi sẽ giải thích tại sao ta nên khảo sát các bài toán MICZ – Kepler 3 chiều, 5 chiều và 9 chiều Chương 2: Bài toán MICZ – Kepler 9 chiều trong tọa độ parabolic Chương này gồm ba phần Phần thứ nhất, tôi trình bày về tọa độ parabolic 9 chiều và áp dụng hệ tọa độ này để thành... của hai toán tử Lˆ2 , Jˆ 2 còn được gọi là hàm cầu suy rộng Như vậy, bài toán MICZ – Kepler 9 chiều tách biến được trong tọa độ parabolic và chỉ cần giải các phương trình đã tách biến (2.15) và (2.16) là có thể thu được hàm sóng Ψ ( u , v, ϕ s , ϕs ) và năng lượng E 2.2 Lời giải bài toán MICZ – Kepler 9 chiều trong tọa độ parabolic 2.2.1 Hàm cầu suy rộng trong bài toán MICZ – Kepler 9 chiều Để giải. .. ) đối với bài toán Không những thế, tôi còn xây dựng mối liên hệ giữa lời giải chính xác của bài toán MICZ – Kepler 9 chiều trong tọa độ parabolic với lời giải chính xác của bài toán MICZ – Kepler trong tọa độ cầu Những mục tiêu trên được hoàn thành thông qua các công việc sau: − Tìm hiểu tổng quan về đơn cực từ SO ( 8 ) như một sự mở rộng trực tiếp của đơn cực từ Dirac và đơn cực từ Yang trong không... bay trong bảng Bảng 1.1 So sánh một số tính chất của 3 bài toán MICZ – Kepler 18 Bảng 1.1 So sánh một số tính chất của 3 bài toán MICZ – Kepler Bài toán Đối xứng MICZ – Kepler 3 chiều 5 chiều 9 chiều Tính Lời giải siêu khả tích giải tích SO(4) Đã chứng SO(4,2) minh SO(6) Đã chứng SO(6,2) minh SO(10) Cần được SO(10,2) chứng minh 19 Cầu, parabolic Cầu, parabolic Cầu Chương 2 Bài toán MICZ – Kepler9 chiều ... lượng toán; − Xây dựng phép biến đổi hàm sóng toán MICZ – Kepler chiều tọa độ parabolic tọa độ cầu Hướng phát triển Bài toán MICZ – Kepler chiều có lời giải giải tích xác tọa độ cầu chiều tọa độ parabolic. .. minh với toán MICZ – Kepler thấp chiều [52, 53] 37 2.3 Liên hệ lời giải toán MICZ – Kepler chiều tọa độ cầu tọa độ parabolic Trong tọa độ cầu chiều thông thường, hàm sóng toán MICZ – Kepler chiều. .. gian chiều .14 1.2 Bài toán MICZ - Kepler chiều 15 1.2.1 Bài toán MICZ – Kepler chiều chiều 15 1.2.2 Bài toán MICZ – Kepler chiều 17 ii Chương Bài toán MICZ – Kepler chiều