Thông tin tài liệu
TÀI LIỆU THAM KHẢO TOÁN HỌC PHỔ THÔNG x CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ HỖN TẠP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG – QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP CHỦ ĐẠO: KẾT HỢP SỬ DỤNG PHÉP THẾ, CỘNG ĐẠI SỐ VÀ ẨN PHỤ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP TRỰC TIẾP SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP BẮC CẦU PHỐI HỢP PHÉP THẾ, PHÉP CỘNG ĐẠI SỐ VÀ ẨN PHỤ TỔNG HỢP CÁC PHÉP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN BÀI TOÁN NHIỀU CÁCH GIẢI CREATED BY GIANG SƠN (FACEBOOK); XYZ1431988@GMAIL.COM (GMAIL) THỦ ĐÔ HÀ NỘI – MÙA THU 2014 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) _ “Non sông Việt Nam có trở nên tươi đẹp hay không, dân tộc Việt Nam có bước tới đài vinh quang để sánh vai với cường quốc năm châu hay không, nhờ phần lớn công học tập em” (Trích thư Chủ tịch Hồ Chí Minh) “Giang hồ lại tôi, Quê người đắng khói, quê người cay men…” (Anh quê cũ – Nguyễn Bính) CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) _ CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ HỖN TẠP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG – QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP Trong khuôn khổ Toán học sơ cấp nói chung Đại số phổ thông nói riêng, hệ phương trình – hệ bất phương trình – hệ hỗn tạp dạng toán thú vị, có phạm vi trải rộng, phong phú, liên hệ chặt chẽ với nhiều phận khác toán học sơ cấp toán học đại Tại Việt Nam, hệ phương trình, nội dung hệ phương trình – hệ bất phương trình – hệ hỗn tạp phận hữu cơ, quan trọng, phổ biến giảng dạy thức chương trình sách giáo khoa Toán lớp 9, 10, 11, 12 song song với khối lượng kiến thức liên quan Đây kiến thức phổ biến xuất kỳ thi kiểm tra kiến thức thường niên, kỳ thi chọn học sinh giỏi toán cấp toàn quốc, kỳ thi tuyển sinh lớp 10 hệ THPT kỳ thi tuyển sinh đại học – cao đẳng hàng năm, kỳ thi đầy cam go, kịch tính bất ngờ, lại câu quan tâm bạn học sinh, phụ huynh, thầy cô, giới chuyên môn đông đảo bạn đọc yêu Toán Yêu cầu dạng toán đa dạng, đa chiều, mục tiêu tìm ẩn thỏa mãn tính chất nên để thao tác dạng toán này, bạn học sinh cần liên kết, phối hợp, tổng hợp kiến thức học phương trình, hệ phương trình bất phương trình, đòi hỏi lực tư thí sinh cao Tuy nhiên "Trăm hay không hay tay quen", phương pháp được hệ trước đúc kết tận tụy cho hệ tương lai, bạn hoàn toàn đủ khả kế thừa, phát huy sáng tạo không ngừng, chuẩn bị đủ hành trang nắm bắt khoa học kỹ thuật, đưa đất nước ngày vững bền, phồn vinh, hiển nhiên toán kỳ thi định rào cản, mà hội thử sức, hội khẳng định kiến thức, minh chứng sáng ngời cho tinh thần học tập, tinh thần quốc ! Các phương pháp giải biện luận hệ phương trình – hệ bất phương trình – hệ hỗn tạp luyện tập cách đặn, hệ thống hữu ích, không môn Toán mà phục vụ đắc lực cho môn khoa học tự nhiên khác hóa học, vật lý, sinh học, Tiếp theo Lý thuyết giải hệ phương trình chứa phần 1, 2, 3, tài liệu chủ yếu giới thiệu đến quý bạn đọc Lý thuyết giải hệ phương trình chứa phần cấp độ cao hơn, trình bày chi tiết thí dụ điển hình hệ giải nhờ sử dụng tổng hợp phép thế, phép cộng đại số, đại lựợng liên hợp phép đặt ẩn phụ Đây nội dung có mức độ khó tương đối, đòi hỏi bạn độc giả cần có kiến thức vững phép giải phương trình chứa căn, kỹ biến đổi đại số tư chiều sâu bất đẳng thức Các thao tác tính toán kỹ trình bày phương trình, hệ phương trình xin không nhắc lại I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Kỹ thuật nhân, chia đơn thức, đa thức, đẳng thức Nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Nắm vững phương pháp giải, biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc cao Sử dụng thành thạo ký hiệu toán học, logic (ký hiệu hội, tuyển, kéo theo, tương đương) Kỹ giải hệ phương trình hệ phương trình đối xứng, hệ phương trình đồng bậc, hệ phương trình chứa thông thường Kỹ thuật đặt ẩn phụ, sử dụng đại lượng liên hợp, biến đổi tương đương Kiến thức tảng uớc lượng – đánh giá, hàm số - đồ thị, bất đẳng thức – cực trị CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) _ I MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VÀ KINH NGHIỆM THAO TÁC y x x 3, Bài toán Giải hệ phương trình x; y x y x Lời giải Điều kiện x 0; y Phương trình thứ hệ tương đương với y x3 x x y x3 x3 x Khi phương trình thứ hai trở thành x x 1 x x x 1 x 2 x 2;1 x x x x x Kết luận hệ có nghiệm x y Nhận xét Đây toán mở đầu cho phương pháp sử dụng đại lượng liên hợp – trục thức, phương pháp ẩn giấu mạnh phương trình, hệ phương trình Các bạn lưu ý hệ thức tương đương A2 B A2 B A B A B A B A B 0 A B A B A B A B A B A 0; B 0; A2 B A 0; B 0; A B A B A B A B Mấu chốt toán khai phá quan hệ x y x , dựa điều kết hợp phương trình vô tỷ bạn tương tự thêm nhiều toán khác y x x 3, o Giải hệ phương trình x; y x y 3x y x x 3, o Giải hệ phương trình x; y x y x y x x 3, o Giải hệ phương trình x; y 2 x y x x y x x 3, o Giải hệ phương trình x; y 2 x y x x y x x 3, o Giải hệ phương trình x; y x y x x y 3x y 0, Bài toán Giải hệ phương trình x xy x y Lời giải Điều kiện x 1; y 1 Phương trình thứ hệ tương đương với x; y CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) _ x y 3 x y x y 3 x 1 y 1 x 1 y 1 Ta thấy nên thu x y x y Phương trình thứ hai trở thành x 1 y 1 x x3 x x x 1 x x x x 1 5 Từ kết luận hệ có nghiệm x y Nhận xét Với toán này, quan hệ ràng buộc x y cho ta nhiều hướng hệ kế thừa x y 3x y 0, Giải hệ phương trình x; y 2 x xy y x y x y 3x y 0, Giải hệ phương trình x; y x y 15 x y x y 3x y 0, Giải hệ phương trình x; y xy x 2 x y x y 3x y 0, Giải hệ phương trình x; y x x y x y Ngoài bạn tổng quát hóa phương trình thứ hệ cách đảm bảo cho biểu thức hệ xác định dương sau x m y m nx ny 0, n 0 x3 y x y 0, Bài toán Giải hệ phương trình 2 y y x Lời giải Điều kiện x 1; y 1; y x Phương trình thứ hệ tương đương với x3 y x y x; y x xy y x y x y 1 x3 y x3 y x3 y3 Rõ ràng x xy y x y y 0, x; y x xy y x3 y 1 2 x x 5 Do ta thu x x x x 1; 2 3 4 x x x x 3x x Kết luận toán có hai nghiệm x y 1; x y Nhận xét Bài toán số tương tự toán 2, phương trình thứ tổng quát hóa sau x3 m y m nx ny 0, n 0 CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) _ x y x y y , Bài toán Giải hệ phương trình x; y x xy 3x y Lời giải Điều kiện x y 0; y Phương trình thứ hệ tương đương với x y x y y 4x y 4 x y x y 3y 1 ) x y x y (Vì x y 3y x y y Khi phương trình thứ hai trở thành x4 x2 x x4 x2 x2 x x2 x 1 x 1 x 1 x Kết luận hệ phương trình cho có nghiệm x y Nhận xét Mấu chốt toán nhận x y y x y điểm nhấn liên hợp x y x y 3y x y 3y Chúng ta tổng quát hóa phương trình thứ hệ theo cấp độ x ny px py n 1 y p 0 2 mx ny px py Từ đề xuất muôn vàn toán kế thừa x y x y y , Giải hệ phương trình x 10 y 12 x y 3x y x y y , Giải hệ phương trình 2 y x 3x y x y x y y , Giải hệ phương trình 4 x xy x y 3x y x y 2 y , Giải hệ phương trình 2 xy y y 3x x y 10 x 10 y y , Giải hệ phương trình xy x x y y n m y p 0 x; y x; y x; y x; y x; y y x x y x y 1 , Bài toán Giải hệ phương trình 2 x y 3x xy x y Lời giải Điều kiện x 0; y Phương trình thứ hệ cho tương đương với x; y CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) _ x y x y 1 x y x y x y 1 x y 0 x y 1 ) x y x2 y2 1 x y (Vì x y x y x y Khi phương trình thứ hai trở thành x x x x x2 x 2 x x x x 1;1 Kết luận hệ cho có nghiệm x y Nhận xét Bài toán kế thừa giữ nguyên phương trình thứ hệ y x x y x y 1 , o Giải hệ phương trình x; y 5 x y x 1 x y x x y x y 1 , o Giải hệ phương trình x; y 2 xy x y x y y x x y x y 1 , o Giải hệ phương trình x; y 2 10 x y x Tổng quát hóa phương trình thứ hệ theo cấp độ k y x l x y mx ny p k , l 0 3 y x x y x y , Giải hệ phương trình x; y x 1 10 xy x 5 y x x y x y 1 , Giải hệ phương trình x; y x y x y Tổng quát hóa phương trình thứ hệ theo cấp độ với D tập xác định hệ k y x l x y f x; y k , l 0; f x; y 0, x, y D 3 y x x y x y x 1 , Giải hệ phương trình x; y x y x y 5 y x x y x y y , Giải hệ phương trình x; y x 12 1 x 7 y x x y x y x y , Giải hệ phương trình xy 3x 10 x y y 9 y x x y x y x y 1 , Giải hệ phương trình x y y x x; y x; y CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) _ x y x y y 1, Bài toán Giải hệ phương trình x; y y x y x Lời giải Điều kiện x y 0; y ; x Phương trình thứ hệ tương đương với x y 1 x y y x y 1 x y 1 x y y 1 x y 1 1 x y 1 x y y 1 x y y Rõ ràng 1 nên ta thu x y x y 2y 1 Khi phương trình thứ hai trở thành x x x 3x Với điều kiện x , phương trình ẩn x cho tương đương với x 2x x x x 3x 2 x 3x x 2 x x 10 x 14 x x 5 2 x x 10 14 x x x 13 x 10 x ; 4 Đối chiếu điều kiện đến hệ có hai nghiệm kể x y ; x y Nhận xét Một số hệ phương trình kế thừa x y x y y 1, Giải hệ phương trình x; y y x y x x y x y y 1, Giải hệ phương trình x; y y 1 x x x y x y y 1, Giải hệ phương trình x; y 2 2 x y x x x x Mấu chốt thao tác liên hợp nhận nhân tử chung x y y 1 x y , thực điều bạn khai thác phương trình thứ trợ giúp máy tính bỏ túi Casio Fx570 Plus sau Xét phương trình x y x y y Gán x 100 100 y 100 y y Dùng tổ hợp phím Shift Solve (Shift Calc) ta thu y 99 Như x y Sở dĩ chọn x 100 số lớn, mức độ “xấp xỉ” nhỏ nên dễ dàng thiết lập quan hệ x y Các bạn lưu ý lựa chọn với x 1000, x 10000 Một số hệ phương trình tương tự sau CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) _ x y x y y 1, Giải hệ phương trình y x x x x y x y y 1, Giải hệ phương trình y 1 x x 3x y x x y y, Giải hệ phương trình 3 x y 3x y y 3 , x y x3 x Bài toán Giải hệ phương trình x y x x Lời giải Điều kiện x 0; x y x; y x; y x; y x; y 2 x x 3 Xét trường hợp y x x x x x Xét trường hợp y x y x Phương trình thứ hệ cho tương đương với y 3 y 3 x y x3 x x y x x3 x x y x3 Phương trình thứ hai trở thành x x x x x x x x 3x x x2 3x x x 1 x 3x x x Kết luận hệ ban đầu có nghiệm x y Nhận xét Một số toán kế thừa y 3 , x y x3 x o Giải hệ phương trình x; y x y x o Giải hệ phương trình o Giải hệ phương trình y 3 , x x y x x 12 x 36 x y x3 y 3 , x x y x x x y x3 x; y x; y x y x y y x 1, Bài toán Giải hệ phương trình 2 x y xy x y Lời giải 2 x y Điều kiện x y x; y CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) _ 10 Phương trình thứ hệ tương đương với x y 1 x y x y 1 1 2x y 1 x y 2x y 1 x y nên x y y x Ta thấy 2x y 1 x y Phương trình thứ hai hệ trở thành x y x y x x 1 x x; y 2;3 Kết luận hệ phương trình có nghiệm y y x x 1, Bài toán Giải hệ phương trình x; y 3x y x x y Lời giải 1 x ; x x x Điều kiện 3x y 0; y 3x y 0; y y y y 1 y y Xét trường hợp x y y 4x 1 y 2 Phương trình thứ hệ tương đương với 2 y 1 x x y 1 y 2x 1 y 1 x 0 y 2x 1 y x 1 x y y x Khi phương trình thứ hai trở thành x x 1 x Với điều kiện x ta x x 2 4 x 1 Kết luận hệ có nghiệm x ; y 2 y 8 x y x 2x , Bài toán 10 Giải hệ phương trình x y x x x 12 Lời giải Điều kiện x 0; y x; y 2 x Xét y ta thu hệ x x x x 12 x x CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) _ 11 Xét y x y x , phương trình thứ hệ tương đương với y 8 y 8 x y x 2x 2x x y x8 Phương trình thứ hai hệ trở thành x x x x x 12 Đặt x x t , t t x x x Dẫn đến t 5; 4 t t 20 x t t 16 x x x x t t x x x x 16 Từ suy hệ có nghiệm x; y 1; 24 Nhận xét Thông qua 10 toán mở đầu có lẽ đông đảo bạn đọc hình dung phần phương pháp sử dụng trục thức – đại lượng liên hợp giải hệ phương trình chứa thức hỗn hợp Kiến thức sử dụng bản, nằm chương trình Đại số học kỳ I lớp THCS hành ab a b 1 a b a b a b 2 a b Hai dạng thức [1] [2] tương đương nhiên bạn biết điều kiện tiên [2] mẫu số khác 0, đồng nghĩa trước thực liên hợp cần xét trường hợp đặc biệt a b a b , nhằm đảm bảo nguyên tắc tránh bỏ sót nghiệm vốn có toán Ngoài ra, thực liên hợp theo phương án [2] vô tình tạo đại lượng a b mẫu thức, xui xẻo dấu khó xác định Quan niệm đánh giá đại lượng xác định dương (âm) rõ ràng dễ dàng thứ vô định, bạn cần tránh liên hợp theo phương án [2], trừ trường hợp bất đắc dĩ Một số toán kế thừa y 8 , x y x8 2x Giải hệ phương trình x; y 2 x y x x 13 y 8 , x y x8 2x Giải hệ phương trình x; y 4 x y x x 28 y 8 , x y x 8 2x Giải hệ phương trình x; y x y x x3 x y x x 8, Bài toán 11 Giải hệ phương trình 9x x y x 8 Lời giải Điều kiện x x; y y x8 x x 8 x 9x 9x x8 x x x8 6 x x8 x8 Phương trình thứ hệ tương đương với y Phương trình thứ hai hệ trở thành CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) _ 12 Điều kiện x Phương trình cho tương đương với x x x2 8x 5x x2 8x 5 x x x x 1 2 16 x 32 x 16 x 12 25 x 40 x 16 x x Kết hợp điều kiện ta thu nghiệm x , dẫn đến hệ có nghiệm x 1; y Nhận xét Một số toán kế thừa y x x 8, o Giải hệ phương trình x; y 10 x 16 y x x 8 y x x 8, o Giải hệ phương trình 3x x y x 8 x; y x y y x y , Bài toán 12 Giải hệ phương trình y x y y 10 Lời giải Điều kiện y 1; x 1; x y Phương trình thứ hệ tương đương với x y y 2x y x y x; y y 2x 0 y 2x y x 2y x y 1 0 y 2x y 3 y x y Xét trường hợp y x y vô nghiệm y x y 3, y Xét trường hợp x y phương trình thứ hai trở thành y y y y 10 y 1 1 y y2 y y2 4y 8 y y 3 y 1 y 1 y 2 y 3 y 1 1 y 1 Dễ thấy y 0, y y y x; y 8; y 1 1 y 1 x3 y 1, y 2x y Bài toán 13 Giải hệ phương trình sau tập số thực 1 3x y y 1 CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) _ 13 Lời giải Điều kiện x y 0; y Phương trình thứ hệ tương đương với x 4y x y 2x y y x y 2x y y x 4y x y 1 0 x y y x y y 1 Vì x y y 1, y nên với x y y 1 y 1 1 1 a; a thu a a a y x; y 8; Đặt y 1 y 1 2 Kết luận hệ đề có nghiệm Nhận xét Các toán 12 13 có phương trình thứ nhất, phương trình thứ hai mang tính kế thừa Tuy nhiên để đạt mục đích loại trừ trường hợp bạn cần lựa chọn x y cho y x y vô nghiệm, rõ ràng phương án gần lựa chọn y cho y x y 3, y Điều khiến lựa chọn phương trình thứ hai tiền thân kiểu biến y thay biến x Làm ngược phương trình thứ hai từ y y y x y y x y , Giải hệ phương trình y y x y Làm ngược phương trình thứ hai từ y y y x y y x y , Giải hệ phương trình 2 y x y y Làm ngược phương trình thứ hai từ y y 5 y 1 y y 1 x; y x; y x3 y 1, y 2x y Giải hệ phương trình y y y 1 y2 x x x y y 2, Bài toán 14 Giải hệ phương trình x y xy x Lời giải Điều kiện x 2; y Phương trình thứ hệ tương đương với x; y x; y x2 y2 x2 y2 0 x y x y 0 x2 y2 x2 y2 1 x y 0 x2 y2 x y CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) _ 14 Vì 1 0 x y x2 y2 x2 y2 Phương trình thứ hai trở thành x x x2 x Điều kiện x Đặt x x t t x x Ta có x x 2, x t x x 0, x Ta thu t t t t 2 t t t t 2;1 t t 2 x x 2x x2 x2 x x2 x x x 4x Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x y Nhận xét Phương trình thứ phương án sử dụng đại lượng – trục thức, bạn sử dụng tính chất đơn điệu hàm số thuộc liên chương trình Đại số - Giải tích lớp 11 – 12 THPT, nhiên phải thông qua phép đặt nhẹ tạo tiền đề sau x a, a x a Đặt a2 a b2 b y b, b x b t 0, t Xét hàm số f t t t ; t f t t2 Hàm số liên tục, đồng biến nên ta f a f b x y x y Tuy nhiên, bạn thấy phép liên hợp đưa ta đến lời giải “cơ bản”, “nhẹ nhàng” nhiều, chí em học sinh lớp 9, 10 làm Một số hệ phương trình kế thừa sau x x y y 2, Giải hệ phương trình x; y y x x y x x y y 2, Giải hệ phương trình x; y 2 x y y x Các bạn tổng quát hóa phương trình thứ để dẫn đến phương trình chốt xm xn ym yn x3 m x n y m y n x p 1 m x q 1 n y p 1 m y q 1 n Như ta có số hệ phương trình sau x3 x y y 4, Giải hệ phương trình x; y x y 18 y x x3 x y y 4, Giải hệ phương trình x; y x y 18 y x 2 x x y y 2, Giải hệ phương trình x; y x y y x CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) _ 15 x y 7, Bài toán 15 Giải hệ phương trình y x Lời giải Điều kiện x 2; y Trừ vế hai phương trình ta có x5 y 2 x; y y 5 x2 x5 y 5 x2 y 2 x y x5 y 5 x y x y x y x2 y2 x y x y x y x2 y2 1 x x Ta có x y x y , dẫn đến (1) vô nghiệm y y Với x y ta x x x 3x 10 x 49 x 23 x 3x 10 23 x x 11 x x 10 x 46 x 529 Kết luận hệ có nghiệm x y 11 Nhận xét Về chất, hệ phương trình thuộc motip hệ phương trình đối xứng loại lồng ghép thức, nhiên không sử dụng phép liên hợp – trục thực khó dẫn đến hai biến Điểm nhấn phép liên hợp chứng minh khả vô nghiệm, tổng quát hóa ta có Đẳng thức tiền đề x m y n y m x n m n Phép liên hợp hệ xm ym xn yn x y xm ym x y xn yn x y x m y m x n y n 1 xm ym xn yn Ta có (1) vô nghiệm m n x m y m x n y n Ngoài phương án liên hợp khác, gọi liên hợp kết hợp hệ tạm thời hay kiểu liên hợp tổng hiệu, nhiều bạn đọc lựa chọn sau Liên hợp x5 y 2 y 5 x2 x5 x2 y 5 y 2 x5 x2 x5 x2 y 5 y 2 y 5 y 2 x x y y x5 y 5 x y Kết hợp x x y y CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) _ 16 Như vậy, rõ ràng bạn xây dựng hướng cho phương trình thứ hệ có sử dụng liên hợp với hình thức sau x m y n y m x n , m n f x; y Một số hệ tương tự x y 4, o Giải hệ phương trình x; y y x x y 3, o Giải hệ phương trình x; y y x Một số hệ kế thừa x y y x 4, Giải hệ phương trình x; y x y 1 x y y x 3 x y y x 4, Giải hệ phương trình 10 x; y 18 x y 5 x 3 y x y y x 1, Giải hệ phương trình 2 x 16 y y x; y x2 y y2 2x , Bài toán 16 Giải hệ phương trình x y y x x; y x y xy x Lời giải 5 Điều kiện x ; y ; xy Phương trình thứ hệ cho tương đương với 2 x y y 2x x y 2x y x y Do x y x y 1 0 2x y x y 5 0, x , y nên ta thu x y , phương trình thứ hai trở thành 2 2x y x x x2 x Điều kiện x Đặt x x t t x x Ta có x x 2, x t x x 0, x Ta thu t t t t 2 t t 1 t t 2;1 t t 2 x x 2x x2 x2 x x2 x x x x Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x y CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) _ 17 Nhận xét Bài toán số 16 có hình thức phân thức, bình phong cho chất thực toán, đặc biệt bình phong tạo dựa phép liên hợp, mối quan hệ hai biến tạo phép liên hợp Tác giả xin nói đại ý cách xây dựng toán sau A Lựa chọn phương trình (*) hai ẩn x y có mối quan hệ ràng buộc x y , chẳng hạn B C x y 3x y Sử dụng kỹ thuật liên hợp biến hai biến để giấu chất x2 y y 3x x y 3x y x y y x x y y 3x Sử dụng biến đổi đại số giấu chất x2 y y 3x 2 x y y x y x x y x y y 3x Lựa chọn phương trình vô tỷ ẩn cho ĐKXĐ không vi phạm ĐKXĐ phương trình (*) x 2x 6x x2 x Do x y nên ta làm ngược phương trình ẩn phương trình thứ hai cách hoán đổi x y tùy ý D E y x y y x x x x x2 x F Thiết lập hệ phương trình đầy đủ x y y x y 3x 5 x y , Giải hệ phương trình x; y y x y y x Các bạn độc giả lưu ý Trong bước A bạn tổng quát hóa hệ thức ràng buộc x y 3x y k x y mx my 0, k , m 0 Trong bước B ta thu tổng quát hóa kx my l ky mx l kx my l ky mx l Rõ ràng dựa tư tưởng bạn tự xây dựng cho nhiều hệ phương trình tương tự x y y x y x x y , Giải hệ phương trình x; y 4 y x x y x y 1 y x y x 1 x y , Giải hệ phương trình x; y 4 x y x y xy k x y mx l my l x2 y y2 6x , Giải hệ phương trình x y y x x; y 2 xy x y x Cũng với motip liên hợp tương tự, bạn không thiết tạo hai biến, hệ liên hợp hệ thức phức tạp hai biến yếu tố thuận lợi phương trình thứ hai hệ phương trình Mời bạn theo dõi thí dụ x2 x y2 x 0, Bài toán 14 Giải hệ phương trình x x y x x y 25 x 19 x; y CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) _ 18 Lời giải 5 x Điều kiện x x 0; y x Phương trình thứ hệ tương đương với x 5 x y x5 x y 5 x x 5 Phương trình thứ hai hệ trở thành Điều kiện 5 x Đặt x x 25 x 19 x x t t 10 25 x Ta có t 0; t 10 25 x 10 t 10 t 0; t 10 25 x 10 25 t Kết hợp lại suy t 10; Phương trình cho tương đương với t t 10 t 19 5t 2t 88 t t 16 25 x x 4; 4 t 22 So sánh với điều kiện 5 x ta thu nghiệm S 4; 4 , hệ có nghiệm x; y 4;8 , 4;0 Nhận xét Phương trình thứ hệ có phân thức làm đa số bạn đọc khó chịu, khó chịu tạo băn khoăn việc tìm phương hướng khai thác chúng ta, ý tưởng liên hợp – trục thức hoàn toàn tự nhiên tập trung phát đồng điệu x x y x a2 b2 c2 d a b c d ab cd x 5 x y x 5 Phương trình thứ hai sử dụng phương pháp ẩn phụ túy quy phương trình bậc hai (trực thuộc phương pháp đặt ẩn phụ) có lẽ bạn tiếp cận phương trình vô tỷ quen thuộc, tác giả xin không bình luận Sau bước xây dựng toán tác giả Lựa chọn phương trình tiền đề cho phương trình thứ hai x x 25 x 19 Thay cụm biểu thức X ẩn hai ẩn, X tồn khả ẩn giấu thông qua liên hợp X 5 x x 5 x y Thiết lập phương trình thứ hệ từ X x2 x y2 x x 5 x y x5 5 x x 5 x y x 5 x y x5 Lắp ghép hai phương trình thu hệ phương trình hoàn chỉnh, sử dụng hình thức x, y để tránh tình trạng “đột phá” số phức rắc rối x2 x y2 x 0, Giải hệ phương trình x x y x x; y x y 25 x 19 y 1 x x x 1, Bài toán 15 Giải hệ phương trình x; y y x x x 12 Lời giải Điều kiện 7 x Phương trình thứ hệ tương đương với 2x y 1 x x y x x 1 x7 6 x Phương trình thứ hai hệ trở thành CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) _ 19 x x 1 x 6 x x7 x x 12 x x 11 Điều kiện 7 x Đặt x a; x b a 0; b Ta thu hệ phương trình a b 13 a b 13 a b 2ab 2a 2b 35 a b a b 35 a b ab 11 a b ab 11 2a 2b 2ab 22 a b ab 11 a b a b a a a 6 x x a b 7 a 6 x x 3 ab a b ab 11 ab So sánh điều kiện thu tập nghiệm S 3; 2 , hệ có nghiệm x; y 3; 2 , 2;0 2 x y x 1, Bài toán 16 Giải hệ phương trình x; y y2 x 1 x 2x x Lời giải Điều kiện x Phương trình thứ hai hệ tương đương với x4 x4 y x x 2x y x 2 1 x 2x Dẫn đến y x x x , phương trình thứ hệ trở thành x x2 x x 1 Điều kiện x Đặt x x t t x 1 x x 1 x t t 0; t x 1 x t Ta có 1 t t 0; t x 1 x x x t t 1 Phương trình cho trở thành t t 3t t 1 t t 1; 2 Loại giá trị t Với t x 1 x x 1 x x 0;1 Từ dẫn đến toán có hai nghiệm x; y 0;1 , 1;1 Lại có x 0, x nên ta x 4; y x 1 CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) _ 20 III MỘT SỐ TÀI LIỆU THAM KHẢO Bài tập nâng cao số chuyên đề toán Bùi Văn Tuyên; NXB Giáo dục Việt Nam; 2004 Bài tập nâng cao số chuyên đề toán Bùi Văn Tuyên; NXB Giáo dục Việt Nam; 2005 Nâng cao phát triển toán 8, tập – tập Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2004 Nâng cao phát triển toán 9, tập – tập Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2005 Toán nâng cao Đại số 10 Nguyễn Huy Đoan; NXB Giáo dục Việt Nam; 1999 Bài tập nâng cao số chuyên đề Đại số 10 Nguyễn Huy Đoan; Đặng Hùng Thắng; NXB Giáo dục Việt Nam; 2006 Tài liệu chuyên toán : Đại số 10 – Bài tập Đại số 10 Đoàn Quỳnh – Doãn Minh Cường – Trần Nam Dũng – Đặng Hùng Thắng; NXB Giáo dục Việt Nam; 2010 Một số chuyên đề Đại số bồi dưỡng học sinh giỏi THPT Nguyễn Văn Mậu – Nguyễn Văn Tiến số tác giả; NXB Giáo dục Việt Nam; 2009 Tuyển tập toán hay khó Đại số Nguyễn Đức Tấn – Đặng Đức Trọng – Nguyễn Cao Huynh – Vũ Minh Nghĩa – Bùi Ruy Tân – Lương Anh Văn; NXB Giáo dục Việt Nam; 2002 10 Một số phương pháp chọn lọc giải toán sơ cấp, tập – tập Phan Đức Chính – Phạm Văn Điều – Đỗ Văn Hà – Phạm Văn Hạp – Phạm Văn Hùng – Phạm Đăng Long – Nguyễn Văn Mậu – Đỗ Thanh Sơn – Lê Đình Thịnh; NXB Đại học Quốc gia Hà Nội; 1997 11 Bài giảng chuyên sâu Toán THPT: Giải toán Đại số 10 Lê Hồng Đức – Nhóm Cự Môn; NXB Hà Nội; 2011 12 Phương pháp giải phương trình bất phương trình Nguyễn Văn Mậu; NXB Giáo dục Việt Nam; 1994 13 Toán bồi dưỡng học sinh phổ thông trung học – Đại số Hàn Liên Hải – Phan Huy Khải – Đào Ngọc Nam – Nguyễn Đạo Phương – Lê Tất Tôn – Đặng Quan Viễn; NXB Hà Nội; 1991 14 Phương trình hệ phương trình không mẫu mực Nguyễn Đức Tấn – Phan Ngọc Thảo; NXB Giáo dục Việt Nam; 1996 15 Chuyên đề bồi dưỡng Toán cấp ba Đại số; Nguyễn Sinh Nguyên; NXB Đà Nẵng; 1997 16 Ôn luyện thi môn Toán THPT theo chủ đề, tập một: Đại số lượng giác; Cung Thế Anh; NXB Giáo dục Việt Nam; 2011 17 Phương pháp giải toán trọng tâm Phan Huy Khải; NXB Đại học Sư phạm; 2011 18 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, THPT Chuyên tỉnh thành nước 19 Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 8, lớp 9, lớp 10 cấp 20 Đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng môn Toán qua thời kỳ 21 Đề thi Olympic 30 tháng Toán học 10 tỉnh miền Trung Nam (1995 – 2012) 22 Các tạp chí toán học: Tạp chí Toán học tuổi trẻ; Tạp chí Toán tuổi thơ THCS; Tạp chí Kvant 23 Các diễn đàn toán học: Boxmath.vn; Math.net.vn; Mathscope.org; Onluyentoan.vn; Diendantoanhoc.net CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 4) _ 21 THÂN THỂ TẠI NGỤC TRUNG TINH THẦN TẠI NGỤC NGOẠI DỤC THÀNH ĐẠI SỰ NGHIỆP TINH THẦN CÁNH YẾU ĐẠI CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN VŨ VĂN DŨNG; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP [...]... phương pháp sử dụng trục căn thức – đại lượng liên hợp giải hệ phương trình chứa căn thức hỗn hợp Kiến thức được sử dụng hết sức cơ bản, nằm trong chương trình Đại số học kỳ I lớp 9 THCS hiện hành ab a b 1 a b a b a b 2 a b Hai dạng thức [1] và [2] là tương đương nhau tuy nhiên chắc các bạn đều biết điều kiện tiên quyết của [2] là mẫu số khác 0, đồng nghĩa trước khi thực hiện liên hợp chúng... trường hợp đặc biệt a b 0 a b , nhằm đảm bảo nguyên tắc và tránh bỏ sót nghiệm vốn có của bài toán Ngoài ra, thực hiện liên hợp theo phương án [2] vô tình tạo ra đại lượng a b dưới mẫu thức, xui xẻo hơn khi dấu của nó rất khó xác định Quan niệm rằng đánh giá đại lượng xác định dương (âm) rõ ràng dễ dàng hơn những thứ vô định, vì thế các bạn cần tránh liên hợp theo phương án [2], trừ trường hợp. .. y m x n y n Ngoài ra còn một phương án liên hợp khác, gọi là liên hợp kết hợp hệ tạm thời hay kiểu liên hợp tổng hiệu, cũng được nhiều bạn đọc lựa chọn như sau Liên hợp x5 y 2 y 5 x2 x5 x2 y 5 y 2 7 x5 x2 7 x5 x2 y 5 y 2 y 5 y 2 x 5 x 2 y 5 y 2 2 x5 2 y 5 x y Kết hợp x 5 x 2 y 5 y 2 ... 2 x 4 x 4x 4 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x y 2 Nhận xét Phương trình thứ nhất ngoài phương án sử dụng đại lượng – trục căn thức, các bạn có thể sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số thuộc liên chương trình Đại số - Giải tích lớp 11 – 12 THPT, tuy nhiên phải thông qua một phép đặt nhẹ tạo tiền đề như sau x 2 a, a 0 x a 2 2 Đặt a2 4 a b2 ... toán, đặc biệt hơn nữa bình phong này được tạo ra dựa trên phép liên hợp, và mối quan hệ giữa hai biến cũng được tạo ra bởi phép liên hợp Tác giả xin được nói đại ý về cách xây dựng bài toán như sau A Lựa chọn một phương trình (*) hai ẩn x và y có mối quan hệ ràng buộc x y , chẳng hạn B C x y 3x 5 3 y 5 0 Sử dụng kỹ thuật liên hợp một biến hoặc hai biến để giấu đi bản chất trên x2 3 y... motip hệ phương trình đối xứng loại 2 khi được lồng ghép căn thức, tuy nhiên nếu không sử dụng phép liên hợp – trục căn thực thì rất khó dẫn đến hai biến bằng nhau Điểm nhấn của phép liên hợp là chứng minh một khả năng vô nghiệm, tổng quát hóa ta có Đẳng thức tiền đề x m y n y m x n m n Phép liên hợp và hệ quả xm ym xn yn x y xm ym x y xn yn x y x... Đại số; Nguyễn Sinh Nguyên; NXB Đà Nẵng; 1997 16 Ôn luyện thi môn Toán THPT theo chủ đề, tập một: Đại số và lượng giác; Cung Thế Anh; NXB Giáo dục Việt Nam; 2011 17 Phương pháp giải toán trọng tâm Phan Huy Khải; NXB Đại học Sư phạm; 2011 18 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, THPT Chuyên các tỉnh thành trong cả nước 19 Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 8, lớp 9, lớp 10 các cấp 20 Đề thi tuyển sinh Đại. .. 2005 5 Toán nâng cao Đại số 10 Nguyễn Huy Đoan; NXB Giáo dục Việt Nam; 1999 6 Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Đại số 10 Nguyễn Huy Đoan; Đặng Hùng Thắng; NXB Giáo dục Việt Nam; 2006 7 Tài liệu chuyên toán : Đại số 10 – Bài tập Đại số 10 Đoàn Quỳnh – Doãn Minh Cường – Trần Nam Dũng – Đặng Hùng Thắng; NXB Giáo dục Việt Nam; 2010 8 Một số chuyên đề Đại số bồi dưỡng học sinh giỏi THPT Nguyễn Văn Mậu... chính sự khó chịu này tạo ra sự băn khoăn trong việc tìm phương hướng khai thác của chúng ta, và ý tưởng liên hợp – trục căn thức là hoàn toàn tự nhiên khi tập trung phát hiện sự đồng điệu x 2 x 5 y 2 x 5 a2 b2 c2 d 2 a b c d ab cd x 5 x y x 5 Phương trình thứ hai sử dụng phương pháp một ẩn phụ thuần túy quy về phương trình bậc hai (trực thuộc phương pháp đặt ẩn phụ) có... Thay thế một cụm biểu thức X một ẩn bởi hai ẩn, X tồn tại khả năng ẩn giấu thông qua liên hợp X 5 x x 5 x y Thiết lập phương trình thứ nhất của hệ từ X x2 x 5 y2 x 5 x 5 x y x5 0 5 x x 5 x y x 5 x y x5 Lắp ghép hai phương trình thu được hệ phương trình hoàn chỉnh, sử dụng hình thức x, y để tránh tình trạng “đột phá” số phức rắc rối x2 x 5 y2 ... đảo bạn đọc hình dung phần phương pháp sử dụng trục thức – đại lượng liên hợp giải hệ phương trình chứa thức hỗn hợp Kiến thức sử dụng bản, nằm chương trình Đại số học kỳ I lớp THCS hành ab a... Nhận xét Phương trình thứ phương án sử dụng đại lượng – trục thức, bạn sử dụng tính chất đơn điệu hàm số thuộc liên chương trình Đại số - Giải tích lớp 11 – 12 THPT, nhiên phải thông qua phép đặt... y m x n y n Ngoài phương án liên hợp khác, gọi liên hợp kết hợp hệ tạm thời hay kiểu liên hợp tổng hiệu, nhiều bạn đọc lựa chọn sau Liên hợp x5 y 2 y 5 x2 x5 x2
Ngày đăng: 27/02/2016, 10:02
Xem thêm: Demo HPT sử dụng đại lượng liên hợp
