BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG VÕ THỊ THANH CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA NỬA VÀNH ZEROSUMFREE VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 60.46.01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2015 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS Trương Công Quỳnh Phản biện 1: TS Phạm Quý Mười Phản biện 2: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp Đại Học Đà Nẵng vào ngày 12 tháng 12 năm 2015 Có thể tìm hiểu Luận văn tại: - Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nửa vành cấu trúc đại số phong phú toán học Nửa vành cung cấp lý thuyết khái quát chung mang tính tự nhiên vành Lý thuyết nửa vành biết đến ứng dụng toán học, khoa học kĩ thuật Khái niệm nửa vành xuất công trình nhà toán học người Đức R.Dedekind vào năm 1894 đề cập đến ideal vành giao hoán muộn công trình F.S Macaulay[10], W Krull[8], E Noether[11], P Lorenzen[9] đề cập đến tiên đề số tự nhiên số hữu tỷ không âm Cấu trúc đại số nửa vành mà gặp lần cấu trúc tập hợp số tự nhiên Sau có thêm tập hợp số nguyên dương, số hữu tỷ dương số thực dương Đặc biệt, tập hợp số đưa vào xuyên suốt chương trình học từ bậc mẫu giáo đến bậc phổ thông hình thức khác Các tập hợp số có tính chất, đặc điểm chung định bên cạnh đặc điểm riêng biệt, thú vị Đề tài "Các đặc trưng nửa vành zerosumfree ứng dụng" viết với hy vọng phần thỏa mãn mong muốn thân nghiên cứu rõ đặc điểm chung ấy, bên cạnh tìm tòi, liên hệ ứng dụng thực tế Mục tiêu nội dung nghiên cứu đề tài Mục tiêu đề tài tìm hiểu "nửa vành zerosumfree" nghiên cứu tính chất đặc trưng Trên sở đó, tìm vấn đề liên quan khảo sát nửa vành zerosumfree có tính chất trừ Đóng góp đề tài tổng quan kết thu tác giả nghiên cứu nửa vành zerosumfree chủ yếu [3] ,[4]và [12], chứng minh chi tiết, làm rõ mệnh đề, định lý, đưa ví dụ minh họa để người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề Ngoài ra, luận văn, tác giả cố gắng tìm hiểu ứng dụng mở rộng số kết thú vị nửa vành nửa vành zerosumfree Phương pháp nghiên cứu Thu thập báo khoa học tác giả nghiên cứu liên quan đến nửa vành zerosumfree, nửa vành zerosumfree có tính chất trừ Sử dụng số kĩ thuật lý thuyết nhóm, nửa nhóm, lý thuyết vành nửa vành, lý thuyết môđun nửa môđun để áp dụng tổng quan chứng minh chi tiết kết số tác giả nghiên cứu Vận dụng kết có báo nửa vành zerosumfree để tìm vấn đề liên quan Trao đổi kết nghiên cứu với GVHD thông qua buổi seminar Bố cục đề tài Nội dung luận văn chia thành hai chương: Chương 1: Trình bày lại số kiến thức sở lý thuyết nửa vành nửa môđun Chương 2: Trình bày khái niệm nửa vành zerosumfree đặc trưng Nghiên cứu tính chất trừ nửa vành zerosumfree đặc biệt đặc điểm vành sai phân nửa vành zerosumfree Cuối vài ví dụ nửa vành liên quan đến nửa vành zerosumfree thường gặp số ứng dụng nửa vành zerosumfree thực tế Những kết cố gắng không ngừng thời gian nghiên cứu luân văn Vì vậy, mong góp ý chân thành từ quý thầy cô giáo bạn đọc để nội dung đề tài hoàn thiện CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ Chương hệ thống lại số nội dung lý thuyết nửa vành, nửa môđun nội dung liên quan 1.1 NỬA VÀNH VÀ ĐỒNG CẤU NỬA VÀNH Định nghĩa 1.1.1 Một tập hợp A khác rỗng với hai phép toán (+) nhân (.) gọi nửa vành (semiring) điều kiện sau thỏa mãn: (1) (A,+) vị nhóm giao hoán với phần tử không A (2) (A,.) vị nhóm với phần tử đơn vị 1A (3) Phép nhân phân phối hai phía với phép cộng (4) A r  A  r A với r  A Nếu phép nhân nửa vành A có tính giao hoán A gọi nửa vành giao hoán Định nghĩa 1.1.4 Một phần tử r hemiring H gọi lũy đẳng cộng tính (additively idempotent) r+r=r Ta kí hiệu I   H  tập hợp tất phần tử lũy đẳng cộng tính H H  gọi hemiring lũy đẳng cộng tính I  H   H Định nghĩa 1.1.5 Một phần tử r hemiring H gọi nhân lũy đẳng(multiplicatively idempotent) r2=r Ta kí hiệu I *  H  tập hợp tất phần tử nhân lũy đẳng H H gọi hemiring nhân lũy đẳng I *  H   H Định nghĩa 1.1.9 Một phần tử r nửa vành A gọi khả đối tồn phần tử r’ thuộc A cho r+r’=0 Khi r’ gọi phần tử đối r (i) Ta biểu thị phần tử đối phần tử r ( tồn tại) –r tập tất phần tử A có phần tử đối V(A) (ii) V(A) nhóm lớn (A,+) Định nghĩa 1.1.13 Một phần tử u nửa vành A gọi giản ước u+b=u+c kéo theo b=c với b, c  A Nếu phần tử nửa vành A giản ước A gọi nửa vành giản ước 1.3 NỬA MÔĐUN VÀ NỬA MÔĐUN CON Định nghĩa 1.3.1 Cho A nửa vành Một A- nửa môđun phải M vị nhóm giao hoán (M,+) với phần tử không 0M với ánh xạ M  A  M xác định  m, r  m.r gọi phép nhân vô hướng thỏa mãn điều kiện sau: (1) m.(rr’)=(mr).r’; (2) (m+m’).r=m.r+m.r’; (3) m.(r+r’)=m.r+mr’; (4) m.1A=m; (5) 0M r=0M=m.0A r,r’ phần tử tùy ý thuộc A, m m’ phần tử tùy ý thuộc M Ký hiệu A-nửa môđun phải M MA Định nghĩa 1.3.3 Một phần tử m thuộc A- nửa môđun phải M gọi lũy đẳng cộng tính m+m=m Ta kí hiệu tập I (M )  m  M | m  m  m Dễ dàng thấy I(M) Anửa môđun M Nếu I(M)=M M gọi lũy đẳng cộng tính Định nghĩa 1.3.4 Một A- nửa môđun phải M thỏa mãn V(M)=M gọi A-nhóm phải ( right A-group) Một nửa môđun vành R đươc gọi R-môđun Một A-nhóm trái ( left A-group) định nghĩa tương tự 1.4 QUAN HỆ TƯƠNG ĐẲNG VÀ NỬA MÔĐUN THƯƠNG Định nghĩa 1.4.1 Cho A nửa vành M A- nửa môđun phải Một quan hệ tương đương  xác định nửa vành M gọi quan hệ đồng dư m  m ' n  n ' m  n  m ' n ' mr  m ' r với r  A Kí hiệu Cong(MA) tập tất quan hệ đồng dư A -nửa môđun phải M Định nghĩa 1.4.2 Cho M A-nửa môđun phải  quan hệ đồng dư M Với m  M , ta kí hiệu m/  lớp tương đương m ứng với quan hệ  tập thương M /  gồm tất lớp tương đương m/  Ta định nghĩa phép cộng nhân vô hướng sau: Với m, n  M r  A , m /  n /    m  n  /  ; (m /  )r   mr  /  Khi M/  với hai phép toán A- nửa môđun phải gọi nửa môđun thương M theo quan hệ tương đẳng  Ví dụ 1.4.3 Cho A vành có V ( A)  0M  M nửa môđun A Định nghĩa quan hệ  M sau: m  m’ với m, m '  M  Ann(m)=Ann(m’) Ann(m)  s  A : ms  0M  quan hệ đồng dư M Thật vậy,  quan hệ tương đương M Giả sử m  m’ phần tử n tùy ý thuộc M Nếu s  Ann(m  n) 0M  (m  n)s  ms  ns  M  nên ms  ns  Do V ( M )  M s  Ann(m)  Ann(m ') Mặt khác s  Ann(m ') tức m ' s  0M nên (m ' n)s  m ' s  ns  0M , suy s  Ann(m ' n) hay Ann(m  n)  Ann(m ' n) Tương tự ta có Ann(m ' n)  Ann(m  n) Vậy Ann(m  n)  Ann(m ' n) tức (m  n) (m ' n) Giả sử s  A tùy ý t  Ann(ms) 0M  (ms)t  m(st ) Do st  Ann(m)  Ann(m ') suy M  m '(st )  (m ' s)t hay t  Ann(m ' s) Vì Ann(ms)  Ann(m ' s) Tương tự ta có Ann(m ' s)  Ann(ms) Vậy Ann(ms)  Ann(m ' s) hay (ms) (m ' s) Định nghĩa 1.4.3 Nếu M  0M  Cong(M) có hai phần tử A- nửa môđun M gọi đồng dư đơn (congruencesimple) c- đơn (c-simple) 10 2.1 NỬA VÀNH ZEROSUMFREE Định nghĩa 2.1.1 Một nửa vành A gọi zerosumfree phần tử phần tử khả đối vị nhóm (A,+,0) Nghĩa là, với a,a’ thuộc A, a+a’=0 a=a’=0 Ví dụ 2.1.1 Tập số tự nhiên với phép toán cộng nhân thông thường số tự nhiên giao hoán zerosumfree Ví dụ 2.1.2 Cho số nguyên dương n, xét tập X n  ,0,1, 2, , n  giả thiết thỏa mãn điều kiện sau:   i   i   , với i thuộc Xn Ta định nghĩa phép toán cộng nhân X n sau: i+h=min{i,h} i.h=max{i,h} Lúc đó, Xn nửa vành có đơn vị giao hoán zerosumfree Mệnh đề 2.1.1 A nửa vành zerosumfree V(A)={0} Nhận xét 2.1.2 Cho R vành giao hoán, tập P R với phép toán cộng nhân hạn chế từ R thỏa P    P   0 Khi đó, P nửa vành zerosumfree có đơn vị Nhận xét 2.1.3 Một nửa vành chia nửa vành zerosumfree vành chia Mệnh đề 2.1.3 Nếu A nửa vành nguyên thỏa mãn luật giản ước, nửa vành zerosumfree có A-nửa môđun trái nội xạ {0} 11 2.2 NỬA VÀNH ZEROSUMFREE CÓ TÍNH CHẤT TRỪ ( SUBTRACTIVE) Định nghĩa 2.2.1 Một nửa vành S gọi V- nửa vành phải ( tương ứng, trái) S- nửa môđun phải ( tương ứng, trái) đơn nội xạ Định nghĩa 2.2.2 Một tập không rỗng A nửa vành zerosumfree H gọi có tính chất nửa trừ (semisubtractive) a  A  V  H  kéo theo a  A  V  H  A gọi có tính chất trừ (subtractive) a  A a  a '  A kéo theo a '  A Nó gọi có tính chất trừ mạnh (strong) a  a '  A kéo theo a  A a '  A Định nghĩa 2.2.3 Một iđêan I nửa vành có đơn vị A gọi cộng hút ( additively absorbing) a  r  I , a     I rA Nhận xét 2.2.1 Nếu A tập khác rỗng nửa vành zerosumfree có đơn vị H, ta định nghĩa tập hợp I  Ann(a)   : A  r  H | r.a  0H , a  A Nếu A  0  0: A iđêan trái H, gọi iđêan linh hóa tử trái A iđêan trái có tính chất trừ H Mệnh đề 2.2.1 Cho H nửa vành zerosumfree tập hợp S  H  Dorroh mở rộng H Khi S nửa vành 12 zerosumfree, mặt khác tập không rỗng I H iđêan ( hai phía) H J   a,0 | a  I  iđêan (hai phía) S Hơn nữa, I có tính chất trừ J Mệnh đề 2.2.2 Nếu I iđêan nửa vành có đơn vị zerosumfree A Khi đó, 0/I iđêan A, nửa vành zerosumfree iđêan có tính chất trừ Bổ đề 2.2.1 Một iđêan cộng hút nửa vành có đơn vị A xác định quan hệ ~ I A cách đặt r ~ r '  r  r ' r,r’ I thuộc I Đây quan hệ đồng dư Mệnh đề 2.2.3 Nếu A nửa vành giao hoán có đơn vị khác {0} quan hệ đồng dư không tầm thường thực A=IB={0,1} A trường Nhận xét 2.2.3 Nếu A có phần tử zerosumfree A=IB Nếu A có hai phần tử A zerosumfree Mệnh đề 2.2.4 Nếu I iđêan có tính chất trừ cực đại nửa vành giao hoán có đơn vị A, A/I nửa trường Mệnh đề 2.2.6 ([4, Proposition A]) Cho vành R, điều sau tương đương : 1, R V-vành phải ; 2, Mọi mở rộng cốt yếu R- môđun phải M trùng với M ; 3, Mỗi vành chia R V- vành phải Định lý 2.2.2 ([4, Theorem B]) Một vành giao hoán R Vvành R quy 13 Bổ đề 2.2.2 Nếu M nửa vành zerosumfree,  (định nghĩa ví dụ 1.4.3) quan hệ đồng dư M Hơn nữa, M nửa môđun c-đơn  quan hệ đẳng thức Mệnh đề 2.2.7 ( [3, Proposition 13.55]) Nếu A nửa vành giao hoán M A- nửa môđun c-đơn khác không M môđun M lũy đẳng cộng tính Nhận xét 2.2.4 Cho S nửa vành M S-môđun Khi ta xem M S  -môđun cách đặt m  a, b   ma  mb với m  M  a, b   S  Ngược lại, S  -môđun M xem S-môđun cách đặt ms  m  s,0  với m  M s  S Từ suy   S   Cong  M S   với môđun M Đặc biệt, M Cong M S-môđun đơn M S  -môđun đơn Mệnh đề 2.2.8 ([4, Proposition 1.4]) Cho S nửa vành, Một Smôđun M đơn M  S  / J , J iđêan cực đại vành S Mệnh đề 2.2.9 ([4, Proposition 1.5]) Mỗi nửa môđun c-đơn lũy đẳng cộng tính nửa vành giao hoán S khác không chứa xác hai phần tử Một nửa nhóm M={0M ; m} lũy đẳng cộng tính S- nửa môđun c-đơn Ann(m) iđêan nguyên tố mạnh S 14 Theo Mệnh đề 2.2.6, “ vành R V- vành phải mở rộng cốt yếu R- môđun đơn M trùng với M” Ta xét tính chất tương tự nửa vành “ Mọi mở rộng cốt yếu S-nửa môđun đơn M trùng với M” (*) Nếu  : S  T toàn cấu nửa vành T- nửa môđun phải M xét S- nửa môđun phải cách đặt     ms  m  s  Ta có Cong M S  Cong  M  ,  T  T- nửa môđun phải M’ mở rộng cốt yếu T- nửa môđun đơn M ta có S- nửa môđun phải đơn M Vì ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 2.2.10 ([4,Proposition 2.1]) Mỗi ảnh đồng cấu nửa vành có tính chất (*) nửa vành có tính chất (*) Nhận xét 2.2.5 Cho S nửa vành  R quan hệ Bourne S xác định iđêan V(S) Khi S /  R nửa vành zerosumfree Ngoài ra, dễ thấy S vành nửa vành thương S /  Như vậy, từ Mệnh đề 2.2.10, nửa vành R thỏa mãn tính chất (*) vành chuyển thành nửa vành zerosumfree khác có tính chất (*) cách chia thương quan hệ Bourne xác định V(S) 15 Trên S- nửa môđun M, ta trang bị quan hệ M xác định m M m’ với m, m’ tùy ý thuộc M tồn số tự nhiên k’ phần tử n  M cho k’m’=m+n Theo cách xác định M quan hệ đồng dư M Nếu xem S S- nửa môđun, ta có quan hệ đồng dư S quan hệ đồng dư nửa vành nghĩa M nửa môđun S Hơn nữa, S Từ cách định trên, ta có m M (m+m) (m+m) M m nên m M (m+m) với m  M Do ta có Bổ đề sau:  Bổ đề 2.2.3 ( [4, Lema 2.2]) Môđun thương M  M /  M lũy đẳng cộng tính nửa môđun M  M môđun Đặc biệt, nửa vành S vành  nửa vành thương S  S /  M nửa vành khác không lũy đẳng cộng tính  Bổ đề 2.2.4 ([4], Lema 2.3) Đặt ms  ms với m  M s  S , S- nửa môđun M lũy đẳng cộng tính  xét S - nửa môđun, Cong(MS)= Cong( M S  ) Đặc biệt, nửa môđun thương N   N /  S - nửa môđun N N  S- S - nửa môđun với 16 Bổ đề 2.2.5.([4, Lemma 2.4]) Cho M nửa môđun nửa vành zerosumfree S Khi đó, tồn S- nửa môđun M z  M cho M  M m+z=z với m  M Mệnh đề 2.2.11 Một nửa vành zerosumfree có tính chất (*) vành sai phân tương ứng S vành không Nhận xét 2.2.6 Theo Mệnh đề 2.2.11, nửa vành zerosumfree S có tính chất (*) vành sai phân tương ứng S Do đó, S nửa vành zeroic theo Nhận xét 1.2 Ngoài ra, nửa vành S zeroic S nửa vành zerosumfree Trong lý thuyết vành môđun, ta có kết quan trọng môđun chứa môđun nội xạ Tuy nhiên, lý thuyết nửa vành nửa môđun điều không xảy Chẳng hạn, S nửa vành nguyên, giản ước zerosumfree có S- nửa môđun nội xạ {0} 2.3 CÁC ỨNG DỤNG CỦA NỬA VÀNH ZEROSUMFREE VÀ MỘT SỐ NỬA VÀNH LIÊN QUAN ĐẾN NỬA VÀNH ZEROSUMFREE THƯỜNG GẶP 2.3.1 Một số ứng dụng nửa vành zerosumfree Lý thuyết nửa vành áp dụng nhiều loại ứng dụng khác toán ứng dụng, khoa học công nghệ, đáng ý thuyết máy tự động, lý thuyết tối ưu hóa, trình truyền thông lý thuyết tập mờ… Trong khoa học máy tính, lý thuyết máy tự động ngành nghiên cứu máy học trừu 17 tượng toán mà máy có khả giải Máy tự động mô hình toán học máy có trạng thái hữu hạn Với ký tự dẫn vào, máy trạng thái hữu hạn truyền ( “ bước nhảy” ) qua chuỗi trạng thái theo hàm truyền Hàm thông báo cho máy tự động trạng thái cần truyền tiếp, từ trạng thái vào ký tự thời Lý thuyết máy tự động liên hệ chặt chẽ với thuyết ngôn ngữ hình thức máy tự động thường phân loại nhờ lớp ngôn ngữ hình thức chúng có khả nhớ lại Dựa công trình Kleene vào năm 1956, Eilenberg xây dựng lý thuyết đại số toàn diện trình bày sách – Automata,Languges , and Machines công bố vào năm 1974 Một công trình quan trọng khác – Automata - Theoretic Aspects of Formal Power Series- xuất vào năm 1978 Salomaa Soittola Một nửa vành đằng sau lý thuyết máy tự động nửa vành tropical (   ,min, ) , lần giới thiệu Simon Nửa vành tropical tìm ứng dụng quan trọng Nói riêng, nửa vành tính chất sử dụng gần để xây dựng thuật toán hữu hiệu cho mục đích phân loại khác Một ví dụ tiêu biểu công trình Allauzen Mohri kiểm định tính chất gọi ghép cặp đôi (twins property) Họ xây dựng thuật toán hữu hiệu cho việc kiểm chứng tính chất cách dùng máy tự động với trọng số nửa vành giao hoán giản ước mà có độ phức tạp 18 O(| Q |2  | E |2 ) , Q tập hợp trạng thái máy tự động E tập bước truyền Thuật toán thực tiễn với máy tự động có trọng số lớn đến khoảng vài triệu bước truyền ứng dụng nhận dạng giọng nói Cuninghame-Greene nghiên cứu ứng dụng khác lý thuyết tối ưu hóa, bao gồm toán tìm đường ngắn lý thuyết đồ thị Trong nghiên cứu mình, ông xét cấu trúc sau: Giả sử max    định nghĩa phép toán cộng  nhân  sau: a  b  max a, b , a  b  a  b ( phép toán + phép cộng thông thường tập số thực),   b   với b  max Khi đó, ( max , , ) gọi nửa vành max-plus, biết đại số lịch trình Nửa vành xác nửa trường, số lượng lớn đại số tuyến tính mang sang không gian vec tơ ma trận nửa trường Đối ngẫu nửa vành max-plus đại số tối ưu hóa ( , , ) ,    định nghĩa phép toán cộng  nhân  sau: a  b  a, b , a  b  a  b Đây nửa trường mà ứng dụng cho toán tối ưu hóa đồ thị Gondran Minoux đến trở thành công cụ chuẩn mực tối ưu hóa.Kế đó, dựa cấu trúc toàn lý thuyết xác suất gọi giải tích lũy đẳng phát triển Maslov đồng nghiệp ông Lý thuyết có áp dụng thú vị vật lý lượng tử, ý nhiều 19 tính toán lượng tử Vào năm 1993, Barvinok đạt tiếp cận cho tối ưu hóa tổ hợp , cách xét toán tổng quan tối ưu hóa tổ hợp sau Lấy số nguyên n tập S chứa phần n tử  n vec tơ v  [a1, , an ]T  n , ta muốn tìm tv  v y | y  S , phép toán (.) tích thông thường n Ví dụ như, xét toán toán người bán hàng rong tiếng, n thể số cạnh đồ thị cho , S tập hợp đường có ( c  [c1, , cn ]T  S nghĩa tồn đường đó, cho  i  n, cạnh thứ i xuất ci lần), v  [a1, , an ]T  n giá phải trả để hết cạnh i Barinok thích ta xét việc tính toán đại số tối ưu hóa , ta thấy tv  p(a1, , an ) , p(X1, ,Xn )   X1c   X nc | c  S Nói cách n khác, toán tối ưu hóa rút gọn tính toán đa thức nhiều biến nửa trường 2.3.2 Một số nửa vành zerosumfree thường gặp Ví dụ 2.3.1 Nếu  n  iđêan k  | k  n 0 họ tất iđêan bị đóng phép toán hợp giao Tất phần tử iđêan( ) không thiết chính( principal) với I  idean( ) tồn tập hữu hạn A cho I+A iđêan 20 Ví dụ 2.3.2 Định nghĩa phép toán   sau: a  b  max a, b a  b  a+b trường hợp lại, a  b  a, b a  b  ab trường hợp lại Lúc ( , , ) nửa vành giao hoán có iđêan subtractive I  {k  |  k  k  2t  8, t  } , J  {k  |  k  k  3t  9, t  } Ví dụ 2.3.3 - nửa môđun vị nhóm cộng giao hoán Ta xét ví dụ sau: M  dương \  P tập số nguyên - nửa môđun Nếu (M,+) nửa nhóm giao hoán lũy đẳng, M - nửa môđun trái với phép nhân vô hướng định nghĩa bởi:  M  M (0, m) (i, m) Ví dụ 2.3.4 Xét f : M  N  0.m M m  i.m(i     ) A-đồng cấu trái Nếu f toàn ánh A- toàn cấu Nhưng điều ngược lại không 21 Ví dụ 2.3.5 Lấy S     0     định nghĩa S      phép toán sau:  a,    a ',    a  a ',  ;  0, b    0, b '   0, b  b ' ;  a,    0, b    0, a  b    0, b    a,  Và phép toán nhân  a,   a,   0, b   0, b  Khi  a ',    aa ',  ;  0, b    0, ab  ;  0, b '   0, bb ' ;  a,    ba,   S , ,  nửa vành có quan hệ Dorroh R  S  , nữa, I  0   iđêan trái S J  I  0 iđêan trái khác không R Ví dụ 2.3.6 Trong phạm trù R- môđun, ta biết f : A  B R-đồng cấu f đơn ánh Kerf={0} Nhưng phạm trù A- nửa môđun kết không Ví dụ sau chứng tỏ điều này: Lấy IB nửa vành có đơn vị Boolean, định nghĩa môđun IB sau:  IB   IB (0, x) 0.x  - nửa 22 nx  1(n  0) (n, x) Định nghĩa toàn ánh   IB f: Khi f 0 0  n - đồng cấu có Kerf={0} không đơn cấu 23 KẾT LUẬN Trong luận văn này, dựa vào tài liệu tham khảo, tìm hiểu, tổng hợp từ trình bày lại vấn đề sau: Trong chương I, trình bày lại số kiến thức sở lý thuyết nửa vành nửa môđun để chuẩn bị cho nội dung nghiên cứu chương sau Ở chương II, dựa tài liệu tham khảo, chủ yếu [3], [4], [12], tập trung làm rõ nội dung luận văn, cụ thể sau: Giới thiệu khái niệm nửa vành zerosumfree số ví dụ minh họa Nêu chứng minh chi tiết số tính chất ( MĐ 2.1.1, 2.1.2, NX 2.1.3) đặc biệt MĐ 2.1.3 nêu lên nửa vành zerosumfree nguyên, thỏa mãn luật giản ước có nửa môđun nội xạ {0} Đề cập đến tính chất trừ nửa vành zerosumfree (MĐ 2.2.1, MĐ 2.2.2, NX 2.2.3) trình bày thêm định nghĩa V- nửa vành phải, nêu lên mối quan hệ nửa vành zerosumfree nửa vành zeroic, xét lớp nửa vành mà nửa môđun có bao nội xạ Từ đưa khẳng định nửa vành zerosumfree S thỏa mãn tính chất: “ Mọi mở rộng cốt yếu S- nửa môđun phải đơn M trùng với M” S V- nửa vành phải vành sai phân tương ứng vành không Mặt khác, nửa vành thỏa mãn tính chất vành 24 chuyển thành nửa vành zerosumfree khác mang tính chất ( MĐ 2.2.10, MĐ 2.2.11) Trình bày số ứng dụng thực tế nửa vành, nêu thêm số ví dụ nửa vành liên quan đến nửa vành zerosumfree thường gặp tập số tự nhiên, tập số thực không âm [...]...9 CHƯƠNG 2 CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA NỬA VÀNH ZEROSUMFREE VÀ ỨNG DỤNG Trong chương này các kết quả chủ yếu được trích dẫn từ tài liệu [3], [4], [12] và một số kết quả suy ra từ đó, cụ thể như sau: Trong 2.1, tôi trình bày khái niệm và một số tính chất đặc trưng của nửa vành zerosumfree cùng với một số ví dụ minh họa Một số tính chất trên nửa vành được áp dụng cho nửa vành zerosumfree để có kết quả cụ... thành một nửa vành zerosumfree khác 0 vẫn mang tính chất đó Trong 2.3, tôi trình bày một số ứng dụng thực tế của nửa vành zerosumfree và một số ví dụ về nửa vành liên quan đến nửa vành zerosumfree thường gặp như tập các số tự nhiên, tập các số nguyên không âm, tập các số hữu tỷ không âm, tập các số thực không âm 10 2.1 NỬA VÀNH ZEROSUMFREE Định nghĩa 2.1.1 Một nửa vành A được gọi là zerosumfree nếu phần... chế từ R thỏa P    P   0 Khi đó, P là một nửa vành zerosumfree có đơn vị Nhận xét 2.1.3 Một nửa vành chia được thì nó hoặc là một nửa vành zerosumfree hoặc là một vành chia được Mệnh đề 2.1.3 Nếu A là một nửa vành nguyên thỏa mãn luật giản ước, là một nửa vành zerosumfree thì chỉ có một A-nửa môđun trái nội xạ là {0} 11 2.2 NỬA VÀNH ZEROSUMFREE CÓ TÍNH CHẤT TRỪ ( SUBTRACTIVE) Định nghĩa 2.2.1... nửa vành zerosumfree Trong lý thuyết vành môđun, ta có một kết quả quan trọng là mọi môđun được chứa trong một môđun nội xạ Tuy nhiên, trong lý thuyết nửa vành và nửa môđun thì điều này không xảy ra Chẳng hạn, nếu S là một nửa vành nguyên, giản ước được và zerosumfree thì chỉ có một S- nửa môđun nội xạ đó là {0} 2.3 CÁC ỨNG DỤNG CỦA NỬA VÀNH ZEROSUMFREE VÀ MỘT SỐ NỬA VÀNH LIÊN QUAN ĐẾN NỬA VÀNH ZEROSUMFREE. .. hơn Trong 2.2, tôi đề cập tới một số kết quả của tính chất trừ khi xét nó trên nửa vành zerosumfree Tôi trình bày thêm định nghĩa một Vnửa vành phải, nêu lên mối quan hệ giữa nửa vành zerosumfree và nửa vành zeroic, xét các lớp nửa vành mà nửa môđun trên nó có bao nội xạ Từ đó đưa ra khẳng định nếu mỗi nửa vành zerosumfree S thỏa mãn tính chất: “ Mọi mở rộng cốt yếu của mỗi S- nửa môđun cđơn M đều... rỗng của nửa vành zerosumfree có đơn vị H, khi đó ta định nghĩa tập hợp I  Ann(a)   0 : A  r  H | r.a  0H , a  A Nếu A  0 khi đó  0: A là một iđêan trái của H, được gọi là iđêan linh hóa tử trái của A và nó là một iđêan trái có tính chất trừ của H Mệnh đề 2.2.1 Cho H là một nửa vành zerosumfree và tập hợp S  H  là một Dorroh mở rộng của H Khi đó S là một nửa vành 12 zerosumfree, mặt... môđun với 16 Bổ đề 2.2.5.([4, Lemma 2.4]) Cho M là một nửa môđun trên nửa vành zerosumfree S Khi đó, tồn tại một S- nửa môđun M và z  M sao cho M  M và m+z=z với mọi m  M Mệnh đề 2.2.11 Một nửa vành zerosumfree có tính chất (*) thì vành sai phân tương ứng S là vành không Nhận xét 2.2.6 Theo Mệnh đề 2.2.11, một nửa vành zerosumfree S có tính chất (*) thì vành sai phân tương ứng S là 0 Do đó, S là... nhiên là giao hoán và là zerosumfree Ví dụ 2.1.2 Cho mỗi số nguyên dương n, xét tập X n  ,0,1, 2, , n trong đó  được giả thiết thỏa mãn các điều kiện sau:   i và   i   , với mọi i thuộc Xn Ta định nghĩa phép toán cộng và nhân trên X n như sau: i+h=min{i,h} và i.h=max{i,h} Lúc đó, Xn là một nửa vành có đơn vị giao hoán và zerosumfree Mệnh đề 2.1.1 A là một nửa vành zerosumfree nếu và chỉ... luận văn, cụ thể như sau: 1 Giới thiệu khái niệm nửa vành zerosumfree và một số ví dụ minh họa Nêu và chứng minh chi tiết một số tính chất của nó ( MĐ 2.1.1, 2.1.2, NX 2.1.3) đặc biệt là MĐ 2.1.3 nêu lên một nửa vành zerosumfree nguyên, thỏa mãn luật giản ước thì chỉ có một nửa môđun nội xạ là {0} 2 Đề cập đến tính chất trừ của một nửa vành zerosumfree (MĐ 2.2.1, MĐ 2.2.2, NX 2.2.3) và cũng trình bày... J   a,0 | a  I  là một iđêan (hai phía) của S Hơn nữa, I có tính chất trừ nếu và chỉ nếu J cũng vậy Mệnh đề 2.2.2 Nếu I là một iđêan của nửa vành có đơn vị zerosumfree A Khi đó, 0/I là một iđêan của A, ngoài ra nó cũng là một nửa vành zerosumfree và là một iđêan có tính chất trừ Bổ đề 2.2.1 Một iđêan cộng hút của nửa vành có đơn vị A xác định một quan hệ ~ I trên A bởi cách đặt r ~ r '  r  r ... niệm nửa vành zerosumfree đặc trưng Nghiên cứu tính chất trừ nửa vành zerosumfree đặc biệt đặc điểm vành sai phân nửa vành zerosumfree Cuối vài ví dụ nửa vành liên quan đến nửa vành zerosumfree. .. vành zerosumfree" nghiên cứu tính chất đặc trưng Trên sở đó, tìm vấn đề liên quan khảo sát nửa vành zerosumfree có tính chất trừ Đóng góp đề tài tổng quan kết thu tác giả nghiên cứu nửa vành zerosumfree. .. giản ước zerosumfree có S- nửa môđun nội xạ {0} 2.3 CÁC ỨNG DỤNG CỦA NỬA VÀNH ZEROSUMFREE VÀ MỘT SỐ NỬA VÀNH LIÊN QUAN ĐẾN NỬA VÀNH ZEROSUMFREE THƯỜNG GẶP 2.3.1 Một số ứng dụng nửa vành zerosumfree