ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ TRUNG HIẾU VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tp Hồ Chí Minh, 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ TRUNG HIẾU VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN Chuyên ngành: Lý thuyết tối ưu Mã số chuyên ngành: 62 46 2001 Phản biện 1: GS.TSKH Vũ Ngọc Phát Phản biện 2: GS.TSKH Đỗ Công Khanh Phản biện 3: TS Nguyễn Đình Tuấn Phản biện độc lập 1: GS.TSKH Vũ Ngọc Phát Phản biện độc lập 2: TS Tạ Quang Sơn NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS PHẠM HỮU ANH NGỌC PGS.TS NGUYỄN NGỌC HẢI Tp Hồ Chí Minh, 2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tôi, thực Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh, hướng dẫn PGS.TS Phạm Hữu Anh Ngọc PGS.TS Nguyễn Ngọc Hải, Trường Đại học Quốc tế, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Các kết Luận án viết chung với Thầy hướng dẫn trí Thầy đưa vào Luận án Các kết nêu Luận án trung thực chưa khác công bố công trình Tp Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2015 Tác giả Lê Trung Hiếu LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn PGS.TS Phạm Hữu Anh Ngọc Tác giả xin bày tỏ lòng tri ân sâu sắc đến người Thầy Trong thời gian dài, Thầy bước dẫn dắt tác giả tiếp cận thực nghiên cứu vấn đề trình bày Luận án Thầy hướng dẫn cho tác giả tích lũy kiến thức, kinh nghiệm nghiên cứu khoa học mà truyền cảm hứng động viên khích lệ tác giả vượt qua khó khăn chuyên môn sống Làm việc với Thầy, tác giả học tinh thần trách nhiệm công việc, niềm say mê nghiên cứu phong cách làm việc khoa học, trung thực nghiêm túc Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến PGS.TS Nguyễn Ngọc Hải, người Thầy hướng dẫn thứ hai tác giả, giúp đỡ luôn động viên tác giả suốt trình học tập Tác giả xin nói lời cảm ơn chân thành tới Ban lãnh đạo Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán-Tin học, Bộ môn Tối ưu Hệ thống tạo điều kiện giúp đỡ tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành Luận án Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến GS.TSKH Phan Quốc Khánh (Trưởng Bộ môn Tối ưu Hệ thống), PGS.TSKH Nguyễn Định, người Thầy giảng dạy cho tác giả kiến thức chuyên ngành bổ ích tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành Luận án Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến GS.TSKH Đỗ Công Khanh PGS.TSKH Vũ Hoàng Linh dành nhiều thời gian đọc thảo Luận án bảo vệ cấp đơn vị chuyên môn có ý kiến bổ ích giúp tác giả cập nhật cải thiện chất lượng Luận án Xin gửi lời cám ơn chân thành đến GS.TSKH Vũ Ngọc Phát, TS Tạ Quang Sơn dành nhiều thời gian đọc phản biện độc lập cho Luận án cho nhiều lời khen ngợi động viên tác giả Xin chân thành cám ơn GS.TSKH Nguyễn Khoa Sơn, GS.TSKH Vũ Ngọc Phát, GS.TS Đặng Đức Trọng, PGS.TS Nguyễn Đình Phư, PGS.TS Nguyễn Đình Huy, PGS.TS Trần Thị Huệ Nương có lời khuyên, góp ý cho tác giả lần báo cáo học thuật hội nghị khoa học Xin cám ơn Cô Trần Thị Phượng Giang (Phòng Đào tạo Sau đại học) nhiệt tình giúp đỡ tác giả thủ tục học tập bảo vệ suốt khóa học Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Đồng Tháp, Ban chủ nhiệm Khoa Sư phạm Toán-Tin tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả tập trung học tập, nghiên cứu hoàn thành Luận án Đặc biệt, tác giả xin cám ơn thành viên Bộ môn Giải tích-Toán ứng dụng giúp đỡ động viên, đảm nhận thay nhiều việc, giúp tác giả an tâm học tập, nghiên cứu hoàn thành Luận án Qua đây, tác giả xin gửi lời cám ơn đến TS Trần Giang Nam (Viện Toán học, cựu giảng viên trẻ Khoa Sư phạm Toán-Tin), giới thiệu cho tác giả có hội làm việc với Thầy hướng dẫn mình, để tác giả có hội nghiên cứu khoa học cháy bỏng đam mê lĩnh vực Toán học Xin cám ơn thành viên nhóm nghiên cứu Lý thuyết điều khiển PGS.TS Phạm Hữu Anh Ngọc, anh chị nghiên cứu sinh Khoa Toán-Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, đặc biệt NCS Cao Thanh Tình (cũng người anh đồng môn thân thiết nhất), TS Trần Hồng Mơ, TS Phan Tự Vượng, NCS Lê Thanh Quang trực tiếp giúp đỡ động viên tác giả nhiều suốt trình học tập Cuối muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thân gia đình mình, đặc biệt người Mẹ già kính yêu người Vợ hiền luôn bên cạnh tôi, động viên, chia sẻ khó khăn thời gian qua Đó nguồn động lực lớn giúp có đủ ý chí để vượt qua khó khăn, tập trung tối đa cho việc nghiên cứu hoàn thành tốt Luận án Tp Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2015 Tác giả Lê Trung Hiếu MỤC LỤC TRANG PHỤ BÌA LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số kí hiệu qui ước 1.2 Chuẩn véctơ chuẩn ma trận 1.3 Định lý Perron-Frobenius 1.4 Định lý giá trị trung bình cho hàm giá trị véctơ CHƯƠNG ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG 2.1 Ổn định hệ phi tuyến 2.2 Phỏng đoán loại Aizerman 2.3 Kết luận SAI PHÂN 23 23 36 38 CHƯƠNG ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN CÓ CHẬM 3.1 Điều kiện ổn định mũ tường minh cho hệ phụ thuộc thời gian 3.2 Ổn định mũ hệ chịu nhiễu 3.3 Thảo luận kết thu 3.4 Kết luận CHƯƠNG ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VOLTERRA 4.1 Sơ lược toán ổn định hệ phương trình sai phân Volterra 4.2 Ổn định hệ phương trình sai phân Volterra tuyến tính 4.3 Ổn định hệ phương trình sai phân Volterra phi tuyến với chậm hữu hạn 4.4 Ổn định mũ hệ phương trình sai phân Volterra phi tuyến với chậm vô hạn 16 16 17 19 22 40 42 52 60 64 65 65 67 75 90 4.5 Áp dụng kết thu vào mô hình mạng nơ ron nhân tạo 104 4.6 Kết luận 110 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 112 DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN TRỰC TIẾP ĐẾN LUẬN ÁN 115 TÀI LIỆU THAM KHẢO 117 DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU Ký hiệu Ý nghĩa AS Asymptotically stable: ổn định tiệm cận ES Exponentially stable: ổn định mũ GES Globally exponentially stable: ổn định mũ toàn cục UAS Uniformly asymptotically stable: ổn định tiệm cận Z Vành số nguyên Z+ Tập hợp số nguyên không âm Z[k1 ,k2 ] Tập hợp số nguyên thuộc đoạn [k1 , k2 ], k1 , k2 ∈ Z n n := {1, 2, , n} = Z[1,n] , với n ∈ Z+ n0 n0 := {0, 1, 2, , n} = Z[0,n] , với n ∈ Z+ R Trường số thực R+ Tập hợp số thực không âm Rm Không gian véctơ thực m-chiều Rl×q Vành ma trận thực, cỡ l × q C Trường số phức K K = R K = C JF (x) Ma trận Jacobi hàm F x det(M ) Định thức ma trận vuông M M −1 Nghịch đảo ma trận vuông M |x| |x| := (|x1 |, |x2 |, , |xm |), x = (x1 , x2 , , xm )T ∈ Rm |M | |M | := (|mij |) với M = (mij ) ∈ Rl×q x Chuẩn vectơ x M Chuẩn ma trận M Im Ma trận đơn vị cấp m Số không/ vectơ không/ ma trận không x≥y xi ≥ yi (∀i ∈ m), với x = (x1 , x2 , , xm )T ∈ Rm y = (y1 , y2 , , ym )T ∈ Rm x y xi > yi (∀i ∈ m), với x = (x1 , x2 , , xm )T ∈ Rm y = (y1 , y2 , , ym )T ∈ Rm A≥B aij ≥ bij (∀i ∈ l, j ∈ q), với A = (aij ) ∈ Rl×q B = (bij ) ∈ Rl×q A B aij > bij (∀i ∈ l, j ∈ q), với A = (aij ) ∈ Rl×q B = (bij ) ∈ Rl×q σ(M ) σ(M ) = {λ ∈ C : det(λIm − M ) = 0}, phổ ma trận vuông M ρ(M ) ρ(M ) = max{|λ| : λ ∈ σ(M )}, bán kính phổ ma trận vuông M lγ (Km×m ) lγ (Km×m ) := (C(n))n ⊂ Km×m : +∞ n=0 C(n) γ n +∞ n=0 C(n) < +∞ , với γ ≥ cho trước l1 (Km×m ) l1 (Km×m ) := (C(n))n ⊂ Km×m : < +∞ Mở đầu MỞ ĐẦU Lý thuyết ổn định hệ động lực có lịch sử 100 năm bắt đầu kể từ nhà Toán học người Nga, Aleksandr Lyapunov (18571918) xuất công trình tiên phong mình: “On the stability of ellipsoidal figures of equilibrium of a rotating fluid” (năm 1884, tiếng Nga) “General problem of the stability of motion” (năm 1892, tiếng Nga) Đến lý thuyết ổn định hệ động lực có bước phát triển đạt nhiều thành tựu vượt bậc Do giao thoa ngành Tối ưu Điều khiển ngày lớn, mối quan hệ, kết hợp toán tối ưu toán điều khiển ngày trở nên rõ ràng hơn, tinh tế (xem [BLO01a], [BLO01b], [Lew03], [Lew07], [RG96], [Sha15], [XLW02]) Một số toán ổn định, ổn định vững, điều khiển hệ động lực thực chất toán tối ưu toàn cục: chẳng hạn toán tính bán kính ổn định bán kính điều khiển hệ tuyến tính với hệ số chịu nhiễu cộng tính (xem [HP96], [HS91], [NNS06], [WH94], [Ei84]) Một vài lớp toán ổn định hóa, toán điều khiển hệ động lực quy việc giải toán tối ưu, toán quy hoạch tuyến tính (xem [LWYZ08], [RG96], [RHT07], [RT06], [RTB07], [VVMV08]) Đặc biệt, vấn đề ổn định nghiệm hệ động lực phần tất yếu số toán điều khiển tối ưu, chẳng hạn “bài toán điều khiển tối ưu loại H2 /H∞ ”1 hệ động lực (xem [CC93], [HB90], [HBM91], [MP05], [MZH12], [ZDG96]) Chính vậy, việc giải toán ổn định nghiệm hệ động lực bước bắt buộc số toán điều khiển tối ưu Như tác động ngược, số kết quả, phương pháp từ lý thuyết H2 /H∞ control problem Kết luận kiến nghị hệ phương trình sai phân phi tuyến tổng quát (Mệnh đề 2.1.3) - Trình bày vài biên ổn định cho hệ phương trình sai phân thường chịu nhiễu phi tuyến phụ thuộc thời gian (Định lý 2.1.7, Hệ 2.1.8, Hệ 2.1.9) - Cho câu trả lời Phỏng đoán loại Aizerman cho hệ rời rạc (Định lý 2.2.1) b2 ) Đối với lớp hệ phương trình sai phân có chậm: - Đưa điều kiện đủ tường minh cho tính ổn định mũ hệ phương trình sai phân phi tuyến phụ thuộc thời gian có chậm tổng quát, với chậm hàm phụ thuộc thời gian (Định lý 3.1.2, Định lý 3.1.4) - Trình bày biên ổn định cho hệ phương trình sai phân có chậm chịu nhiễu phi tuyến phụ thuộc thời gian (Định lý 3.2.1) b3 ) Đối với lớp hệ phương trình sai phân Volterra: - Đưa điều kiện đủ tường minh cho tính ổn định mũ nghiệm không hệ phương trình sai phân Volterra phụ thuộc thời gian với chậm hữu hạn vô hạn (Định lý 4.2.15, Định lý 4.2.17, Định lý 4.3.2, Định lý 4.3.5, Định lý 4.4.2, Định lý 4.4.4) Đặc biệt, Định lý 4.4.2, Định lý 4.4.4 cho lời giải toán mở đặt E Braverman I.M Karabash (2012, [BrKa12]) - Trình bày vài kết biên ổn định hệ phương trình sai phân Volterra chịu nhiễu phi tuyến phụ thuộc thời gian (Định lý 4.3.8, Định lý 4.4.6) - Áp dụng kết thu vào việc nghiên cứu tính ổn định điểm cân mạng nơ ron BAM rời rạc 113 Kết luận kiến nghị Hướng phát triển vấn đề nghiên cứu - Kế thừa, phát triển kĩ thuật cách tiếp cận dùng Luận án để nghiên cứu toán ổn định lớp hệ sau: Hệ phương trình sai phân ngẫu nhiên, hệ phương trình sai phân có chậm dạng trung hòa (neutral type), hệ phương trình sai phân với biến liên tục, hệ phương trình vi phân phiếm hàm, hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên, hệ phương trình sai phân vi phân kết hợp (coupled difference and differential systems), - Áp dụng kết thu vào số toán điều khiển tối ưu 114 DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN TRỰC TIẾP ĐẾN LUẬN ÁN Bài báo khoa học liên quan trực tiếp đến Luận án: P H A Ngoc and L T Hieu (2012), On stability of discrete-time systems under nonlinear time-varying perturbations, Advances in Difference Equations, 120, 1-10 (SCIE) P H A Ngoc and L T Hieu (2013), New criteria for exponential stability of nonlinear difference systems with time-varying delay, International Journal of Control, 86 (9), 1646-1651 (SCI) P H A Ngoc and L T Hieu (2014), On exponential stability of Volterra difference equations with infinite delay, Bulletin of the Polish Academy of Sciences, Mathematics, 62 (2), 125-137 L T Hieu (2014), New criteria for global exponential stability of linear time-varying Volterra difference equations, Mathematica Slovaca, accepted paper (SCIE) P H A Ngoc and L T Hieu (2015), On exponential stability of nonlinear Volterra difference equations in phase spaces, Mathematische Nachrichten, 288 (4), 443-451 (SCI) P H A Ngoc and L T Hieu (2015), Stability analysis of nonlinear Volterra difference equations, submitted paper (ISI) Công trình đạt giải thưởng Công trình toán học năm 2013, theo Quyết định số 5953/QĐ-BGDĐT ngày 19 tháng 12 năm 2013 Bộ Giáo dục & Đào tạo 115 Báo cáo khoa học kết Luận án: Báo cáo Đại hội Toán học toàn quốc lần thứ 8, Thành phố Nha Trang, ngày 12 tháng 08 năm 2013 Báo cáo Hội nghị khoa học lần thứ 9, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 21 tháng 11 năm 2014 Báo cáo Hội nghị Toán học Miền Trung - Tây Nguyên lần thứ nhất, Thành phố Quy Nhơn, ngày 12 tháng 08 năm 2015 Báo cáo Xê-mi-na học thuật Nhóm Lý thuyết điều khiển (Trường Đại học Quốc tế - Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh) 116 TÀI LIỆU THAM KHẢO [Aga00] Agarwal R.P (2000), Difference equations and inequalities, theory, methods, and applications, Second Edition, Marcel Dekker, Newyork [ACF12] Agarwal, R.P., Cuevas, C and Frasson, M.V.S (2012), Semilinear functional difference equations with infinite delay, Mathematical and Computer Modelling, 55, 1083-1105 [Aga08] Agarwal, R.P., Kim, Y.H and Sen, S.K (2008), New dicrete Halanay inequalities: Stability of difference equations, Communications in Applied Analysis, 12, 83-90 [Ai49] Aizerman, M.A (1949), On one problem concerning the stability in “large” of dynamic systems, Usp Mat Nauk, 4, 186-188 [AGR06] Applelby, J.A.D., Gyori, I and Reynolds, D.W (2006), On exact convergence rates for solutions of linear systems of Volterra difference equations, Journal of Difference Equations and Applications, 12, 1257-1275 [BaPh03] Bay, N.S and Phat, V.N (2003), Stability analysis of nonlinear retarded difference equations in Banach spaces, Comput Mat Appl., 43, 951-963 [BeBr11] Berezansky, L and Braverman, E (2011), New stability conditions for linear difference equations using Bohl-Perron type theorems, Journal of Difference Equations and Applications, 17 (5), 657675 [BHP00] Bouhtouri, A.E , Hinrichsen, D and Pritchard, A.J (2000), Stability radii of discrete-time stochastic systems with respect to blockdiagonal perturbations, Automatica, 36 (7), 1033-1040 [BGFB94] Boyd, S., Ghaoui, L.E., Feron, E and Balakrishnan, V (1994) Linear matrix inequalities in system and control theory, Vol 15, Philadelphia: SIAM [BrKa12] Braverman, E and Karabash, I.M (2012), Bohl-Perron-type stability theorems for linear difference equations with infinite delay, Journal of Difference Equations and Applications, 18, 909-939 117 [BrKa13] Braverman, E and Karabash, I.M (2013), Structured stability radii and exponential stability tests for Volterra difference systems, Computer & Mathematics with Applications, 66 (11), 2259-2280 [BH85] Brunner, H and Houwen, P.J.V (1985), The Numerical Solution of Volterra Equations, SIAM, Philadelphia [BH86] Brunner, H and Houwen, P.J.V (1986), The Numerical Solution of Volterra Equations, CWI Monographs, North-Holland, Amsterdam [BLO01a] Burke, J.V and Lewis, A S., Overton, M L (2001), Optimal stability and eigenvalue multiplicity, Foundations of Computational Mathematics, (2), 205-225 [BHL06] Burke, J.V., Henrion, D., Lewis, A.S and Overton, M.L (2006), Stabilization via nonsmooth, nonconvex optimization, IEEE Transactions on Automatic Control, 51 (11), 1760-1769 [BLO01b] Burke, J., Lewis, A and Overton, M (2001), Optimizing matrix stability, Proceedings of the American Mathematical Society, 129 (6), 1635-1642 [BLO03] Burke, J.V., Lewis, A.S and Overton, M.L (2003), Optimization and pseudospectra, with applications to robust stability, SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 25 (1), 80-104 [BLO02] Burke, J.V., Lewis, A.S and Overton, M.L (2002), Two numerical methods for optimizing matrix stability, Linear Algebra and its Applications, 351, 117-145 [Burl88] Burlando, L (1988), Continuity of spectrum and spectral radius in algebras of operators, Annales de la facultộ des sciences de Toulouse, 9, 5-54 [Burt83] Burton, T.A (1983), Volterra Integral and Differential Equations, Academic Press, Orlando, FL [Bus08] Buslowicz, M (2008), Simple stability conditions for linear positive discrete-time systems with delays, Bulletin of the Polish Academy of Sciences, Technical Sciences, 56, 325-328 [CC93] Chang, W.J and Chung, H.Y (1993), A study of H∞ norm and variance-constrained design using dynamic output feedback for linear discrete systems, International Journal of Control, 57 (2), 473- 483 118 [Che11] Chen, Y.Z (2011), Some contractive type mappings and their applications to difference equations, Journal of Difference Equations and Applications, 17 (5), 737-752 [Chu92] Chukwu, E.N (1992), Stability and time-optimal control of herediary systems, Academic press, Inc [CJRV91] Cricis, M.S., Jackiewics, Z., Russo, E and Vecchio, A (1991), Stability analysis of discrete recurent equations of Volterra type with degeberate kernels, J Mat Annal Appl., 162, 49-62 [CKRV98] Crisci, M.R., Kolmanovskii, V.B., Russo, E and Vecchio, A (1998), Stability of difference Volterra equations: direct Liapunov method and numerical procedure, Computers and Mathematics with Applications, 36, 77-97 [CKRV00] Crisci, M.R., Kolmanovskii, M.R., Russo, E and Vecchio, A (2000), On the exponential stability of discrete Volterra equations, Journal of Difference Equations and Applications, 6, 667-680 [CKRV] Crisci, M.R., Kolmanovskii, V.B., Russo, E and Vecchio, A (2004), Stability of continuous and discrete Volterra integrodifferential equations by Lyapunov approach, J Integral Equations Appl., (4), 393-411 [CDCS13] Cuevas, C., Dantas, F., Choquehuanca, M and Soto, H (2013), lp -boundedness properties for Volterra difference equations, Applied Mathematics and Computation, 219, 6986-6999 [DS10] Debeljkovic, D.L and Stojanovic, S (2010), The Stability of Linear Discrete Time Delay Systems in the Sense of Lyapunov: An Overview, Scientific Technical Review, 60, (3-4), 67-81 [Di88] Dieudonne’, J (1988), Foundations of Modern Analysis, Academic Press, San Diego [DLMT13] Du, N.H., Linh, V.H., Mehrmann, V and Thuan, D.D (2013), Stability and robust stability of linear time-invariant delay differential-algebraic equations, SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 34 (4), 1631-1654 [Ei84] Eising, R (1984), Between controllable and uncontrollable, Syst Control Lett., 4, 263-264 [E93] Elaydi, S (1993), Stability of Volterra difference equations of convolution type, Dynamical Systems, 66-72 119 [E05] Elaydi, S (2005), An Introduction to Difference Equations, Springer Verlag [E09] Elaydi, S (2009), Stability and asymptoticity of Volterra difference equations: A progress report, Journal of Computational and Applied Mathematics, 228, 504-513 [EK94] Elaydi, S and Kocic, V (1994), Global stability of a nonlinear Volterra difference equations, Diff Eqns Dyn Sys., 2, 337-345 [EM96] Elaydi, S and Murakami, S (1996), Asymptotic stability versus exponential stability in linear Volterra difference equations of convolution type, Journal of Difference Equations and Applications, 2, 401-410 [EMV07] Elaydi, S., Messina, E and Vecchio, A (2007), On the asymptotic stability of linear Volterra difference equations of convolution type, Journal of Difference Equations and Applications, 13 (12), 1079-1084 [EIR03] Eloe, P.W., Islam, M.N and Raffoul, Y.N (2003), Uniform asymptotic stability in nonlinear Volterra discrete equations, Computers & Mathematics with Applications, 45, 1033-1039 [FR00] Farina, L and Rinaldi, S (2000), Positive Linear Systems: Theory and Applications, Wiley, New York [Fi66] Fitts, R.E (1966), Two counterexamples to Aizerman’s conjecture, IEEE Trans Autom Control, 11, 553-556 [Gi07] Gil’, M.I (2007), Difference equations in normed space: Stability and oscilation, North Holland, Elservier [Go58] Goldberg, S (1958), Introduction to difference equations: With illustrative examples from economics, psychology, and sociology, Courier Dover Publications [GLS90] Gripenberg, G., Londen, S.O and Staffans, O (1990), Volterra integral and functional equations, Vol 34, Cambridge University Press [GR10] Gyõri, I and Reynolds, D.W (2010), On admissibility of the resolvent of discrete Volterra equations, Journal of Difference Equations and Applications, 16, 1393-1412 120 [HB90] Haddad, W.M and Bernstein, D.S., (1990), Generalized Riccati equations for the full- and reduced-order mixed-norm H2 /H∞ standard problem, System & Control Letters, 14, 185-197 [HBM91] Haddad, W.M., Bernstein, D.S and Mustafa, D (1991), Mixed norm H2 /H∞ regulation and estimation: The discrete-time case, Systems & Control Letters, 16, 235-247 [HCH10] Haddad, W.M., Chellaboina, V.S and Hui, Q (2010) Nonnegative and Compartmental Dynamic equations, Princeton University Press [HCA03] Haddad, W.M., Chelaboina, V.S and August, E (2003), Stability and dissipativity theory for discrete-time non-negative and compartmental dynamical systems, International Journal of Control, 76 (18), 1845-1861 [Hien14] Hien, L.V (2014), A new approach to exponential stability of nonlinear non-autonomous difference equation with variable delays, Applied Mathematics Letters, 38, 7-13 [Hieu14] Hieu, L.T (2014), New criteria for global exponential stability of linear time-varying Volterra difference equations, Mathematica Slovaca, accepted [HM91] Hino, Y and Murakami, S (1991), Total Stability and Uniform Asymptotic Stability for Linear Volterra Equations, J London Math Soc., 43 (2), 305-312 [HP05] Hinrichsen, D and Pritchard, A.J (2005), Mathematical systems theory I: modelling, state space analysis, stability and robustness, Vol 1, Springer [HP91] Hinrichsen, D and Pritchard, A.J (1991), On the robustness of stable discrete time linear systems, New Trends in Systems Theory, pp 393-400, Birkhọuser Boston [HP96] Hinrichsen, D and Pritchard, A J (1996), Stability radii of systems with stochastic uncertainty and their optimization by output feedback, SIAM journal on control and optimization, 34 (6), 19721998 [HS91] Hinrichsen, D and Son, N.K (1991), Stability radii of linear discrete time systems and symplectic pencils, International Journal of Robust and Nonlinear Control, (2), 79-97 121 [HS98] Hinrichsen, D and Son, N.K (1998), Stability radii of positive discrete-time equations under affine parameter perturbations, International Journal of Robust and Nonlinear Control, 8, 1169-1188 [HNS03] Hinrichsen, D., Ngoc, P.H.A and Son, N.K., (2003), Stability radii of positive higher order difference systems, Systems & Control Letters, 49, 377-388 [HJ90] Horn, R.A and Johnson, C.R (1990), Matrix analysis, Cambridge University press [Ka02] Kaczorek, T (2002), Positive 1D and 2D Systems, Springer, London [KLHLFL05] Kau, S.W., Liu, Y.S., Hong, L., Lee, C.H., Fang, C.H and Lee, L (2005), A new LMI condition for robust stability of discrete-time uncertain systems, Systems & Control Letters, 54, 1195-1203 [KP01] Kelly, W.G and Peterson, A.C (2001), Difference equations: An introduction with appplications, Second Edition, Academic Press [KR02] Khandaker, T.M and Raffoul, Y.N (2002), Stability Properties of Linear Volterra Discrete Systems with Nonlinear Perturbation, Journal of Difference Equations and Applications, (10), 857-874 [KCT03] Kolmanovskii, V.B., Castellanos-Velasco, E and Torres-Munoz, J.A (2003), A survey: stability and boundedness of Volterra difference equations, Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 53, 861-928 [KHA04] Kwon, W H., Han, S and Ahn, C K (2004) Advances in nonlinear predictive control: A survey on stability and optimality, International journal of Control, Automation and Systems, 2, 15-22 [Lee06] Lee, J.W (2006), On uniform stabilization of discrete-time linear parameter-varying control systems, IEEE Transactions on Automatic Control, 51 (10), 1714-1721 [LN68] Levin, J.J and Nohel, J.A (1968), The integrodifferential equations of a class of nuclear reactors with delayed neutrons, Archive for Rational Mechanics and Analysis 31 (2), 151-172 [Lev60] Levinson, N (1960), A nonlinear Volterra equation arising in the theory of superfluidity, J Math Anal Appl., 1, 1-11 [Lew03] Lewis, A.S (2003), The mathematics of eigenvalue optimization, Mathematical Programming, 97 (1-2), 155-176 122 [Lew07] Lewis, A.S (2007), Nonsmooth optimization and robust control, Annual Reviews in Control, 31, 167-177 [LPSW12] Li, W., Panga, L., Sua, H and Wang, K (2012) Global stability for discrete Cohen-Grossberg neural networks with finite and infinite delays, Applied Mathematics Letters, 25, 2246-225 [LM07] Liu, B and Marquez, H.J (2007), Razumikhin-type stability theorems for discrete delay systems, Automatica, 43, 1219-1225 [LWYZ08] Liu, X., Wang, L., Yu, W and Zhong, S (2008), Constrained control of positive discrete-time systems with delays, Circuits and Systems II: Express Briefs, IEEE Transactions on, 55 (2), 193-197 [LF02] Liz, E and Ferreiro, J.B (2002), A note on the global stability of generalized difference equations, Applied Mathematics Letters, 15, 655-659 [Liz11] Liz, E (2011), Stability of non-autonomous difference equations: simple ideas leading to useful results, Journal of Difference Equations and Applications, 17, 203-220 [Lu79] Luenberger, D.G (1979), Introduction to dynamic equations: Theory, Models and Aplications, John Wiley & Son, New York [LS07] Luo, J and Shaikhet, L (2007), Stability in probability of nonlinear stochastic Volterra difference equations with continuous variable, Stochastic Analysis and Applications, 25 (6), 1151-1165 [Lya1907] Lyapunov, A.M (1907), Problème général de la stabilité du mouvement, Ann Fac Sci Toulouse, 9, 203-474 (Translation of the original paper published in 1893 in Comm Soc Math Kharkow and reprinted as Vol 17 in Ann Math Studies, Princeton Univerity Press, Princeton, NJ, 1949) [MZH12] Ma, H., Zhang, W and Hou, T (2012), Infinite horizon H2 /H∞ control for discrete-time time-varying Markov jump systems with multiplicative noise, Automatica, 48 (7), 1447-1454 [MW51] Mann, W.R and Wolf, F (1951), Heat transfer between solids and gases under nonlinear boundary conditions, Quart Appl Math., 9, 163-184 [MRRS00] Mayne, D.Q., Rawlings, J.B., Rao, C.V and Scokaert, P.O (2000), Constrained model predictive control: Stability and optimality, Automatica, 36 (6), 789-814 123 [Mey00] Meyer, C.D (2000), Matrix analysis and applied linear algebra, SIAM [Mo07] Morshedy, H.A.E (2007), New explicit global asymptotic stability criteria for higher order difference equations, J Math Anal Appl., 336, 262-276 [MP05] Muradore, R and Picci, G (2005), Mixed H2 /H∞ control: the discrete-time case, Systems & Control Letters, 54 (1), 1-13 [Mu91] Murakami, S (1991), Exponential asymptotic stability for scalar linear Volterra equations, Differential and Integral Equations, 4, 519-525 [Mu97] Murakami, S (1997), Representation of solutions of linear functional difference equations in phase space, Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 30 (2), 1153-1164 [MI09] Muroya, Y and Ishiwata, E (2009), Stability for a class of difference equations, Journal of Computational and Applied Mathematics 228, 561-570 [NNS07] Ngoc, P.H.A., Naito, T and Shin, J.S (2007), On stability of a class of positive linear functional difference equations, Mathematics of Control, Signals, and Systems, 19 (4), 361-382 [NNSM09] Ngoc, P.H.A., Naito, T., Shin, J.S and Murakami, S (2009), Stability and robust stability of positive linear Volterra difference equations, International Journal of Robust and Nonlinear Control , 19, 552-568 [NNS06] Ngoc, P.H.A., Naito, T and Shin, J.S (2006), Global optimization problems in stability analysis of linear dynamical systems, Proceeding of the second multidisciplinary international symposium on positive systems: Theory and applications (POSTA 06), Grenoble, France, Springer [NLS04] Ngoc, P.H.A., Lee, B.S and Son, N.K (2004), Perron Frobenius Theorem for Positive Polynomial Matrices, Vietnam Journal of Mathematics, 32 (4), 475-481 [Ng12] Ngoc, P.H.A (2012), On exponential stability of nonlinear differential systems with time-varying delay, Applied Mathematics Letters, 25, 1208-1213 124 [Ng13a] Ngoc, P.H.A (2013), Stability of positive differential systems with delay, IEEE Transactions on Automatic Control, 58, 603-609 [Ng13b] Ngoc, P.H.A (2013), Novel criteria for exponential stability of functional differential equations, Proceedings of the American Mathematical Society, 141, 3083-3091 [Ng14a] Ngoc, P.H.A (2014), New criteria for exponential stability of nonlinear time-varying differential systems, International Journal of Robust and Nonlinear Control, 24 (2), 264-275 [Ng14b] Ngoc, P.H.A (2014b), Robust stability of positive linear systems under time-varying perturbations, Numerical Functional Analysis and Optimization, 35 (6), 739-751 [Ng14c] Ngoc, P.H.A (2014), Positivity and stability of linear functional differential equations with infinite delay, Mathematische Nachrichten, 287 (7), 803-824 [NH12] Ngoc, P.H.A and Hieu, L.T (2012), On stability of discrete-time systems under nonlinear time-varying perturbations, Advances in Difference Equations, 120, 1-10 [NH13] Ngoc, P.H.A and Hieu, L.T (2013), New criteria for exponential stability of nonlinear difference systems with time-varying delay, International Journal of Control, 86 (9), 1646-1651 [NH14] Ngoc, P.H.A and Hieu, L.T (2014), On exponential stability of Volterra difference equations with infinite delay, Bulletin of the Polish Academy of Sciences Mathematics, 62 (2), 125-137 [NH15a] Ngoc, P.H.A and Hieu, L.T (2015), On exponential stability of nonlinear Volterra difference equations in phase spaces, Mathematische Nachrichten, 288 (4), 443-451 [NH15b] Ngoc, P.H.A and Hieu, L.T (2015), Stability analysis of nonlinear Volterra difference equations, submitted [NS03] Ngoc, P.H.A and Son, N.K (2003), Stability radii of positive linear difference equations under affine parameter perturbations, Applied Mathematics and Computation 134, 577-594 [PaHi93] Pappas, G and Hinrichsen, D (1993), Robust stability of linear systems described by higher order dynamic equations, IEEE Trans on Automatic Control, 38, 1430-1435 125 [Pa06] Park, J.H (2006), Further result on asymptotic stability criterion of cellular neural networks with time-varying discrete and distributed delay, Applied Mathematics and Computation, 182, 16611666 [PR11] Phat, V.N and Ratchagit, K (2011), Stability and stabilization of switched linear discrete-time systems with interval time-varying delay, Nonlinear Analysis: Hybrid Systems, (4), 605-612 [Qiu95] Qiu, L., Bernhardsson, B., Rantzer, A., Davison, E.J., Young, P.M and Doyle, J.C (1995), A formula for computation of the real stability radius, Automatica 31, 879-890 [RD03] Raffoul, Y.N and Dib, Y.M (2003), Boundedness and stability in nonlinear discrete dystems with nonlinear perturbation, Journal of Difference Equations and Applications, 9, 853-862 [RG96] Rami, M.A and Ghaoui, L.E (1996), LMI optimization for nonstandard Riccati equations arising in stochastic control, IEEE Transactions on Automatic Control, 41 (11), 1666-1671 [RHT07] Rami, M.A., Helmke, U and Tadeo, F (2007), Positive observation problem for linear time-delay positive systems, Mediterranean Conference on Control & Automation, MED07, IEEE [RTB07] Rami, M.A., Tadeo, F and Benzaouia, A (2007), Control of constrained positive discrete systems, American Control Conference, ACC’07, IEEE, 5851-5856 [RT06] Rami, M.A and Tadeo, F (2006), Positive observation problem for linear discrete positive systems, Proceedings of the 45th IEEE Conference on Decision & Control, IEEE, 4729-4733 [SCK97] Shafai, B., Chen, J and Kothandaraman, M (1997), Explicit formulas for stability radii of nonnegative and Metzlerian matrices, IEEE Trans Autom Control, 42, 265-270 [Sha11] Shaikhet, L (2011), Lyapunov functionals and stability of stochastic difference equations, London, Springer [Sha15] Shaikhet, L (2015), Optimal Control of Stochastic Difference Volterra Equations, Springer [SB03] Song, Y and Baker, C.T.H., (2003), Perturbation Theory for Discrete Volterra Equations, Journal of Difference Equations and Applications, (10), 969-987 126 [SB04] Song, Y and Baker, C.T.H., (2004), Perturbation of Volterra difference equations, Journal of Difference Equations and Applications, 10, 379-397 [SON14] Stankovic, N., Olaru, S and Niculescu, S.I (2014), Further remarks on asymptotic stability and set invariance for linear delaydifference equations, Automatica , 50, 2191-2195 [UN09] Udpin, S and Niamsup, P (2009), New discrete type inequalities and global stability of nonlinear difference equations, Applied Mathematics Letters, 22, 856-859 [VVMV08] Vanbiervliet, J., Verheyden, K., Michiels, W and Vandewalle, S (2008), A nonsmooth optimisation approach for the stabilisation of time-delay systems, ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations, 14 (03), 478-493 [WZFL13] Wang, T., Zhang, C., Fei, S and Li, T (2013), Further stability criteria on discrete-time delayed neural networks with distributed delay, Neurocomputing, 111, 195-203 [Wi95] Wirth, F (1995), Robust stability of discrete-time systems under time-varying perturbations, PhD thesis, Bremen University, Bremen [WH94] Wirth, F and Hinrichsen, D (1994), On stability radii of infinite dimensional time varying discrete time systems, IMA Journal of Mathematical Control and Information, 11 (3), 253-276 [WSSC12] Wu, Z.G., Shi, P., Su, H and Chu, J (2012), Stability analysis for discrete-time Markovian jump neural networks with mixed time-delays, Expert Systems with Applications, 39, 6174-6181 [XLW02] Xia, Y., Leung, H and Wang, J (2002), A projection neural network and its application to constrained optimization problems, IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications, 49 (4), 447-458 [YZF10] Yu, J., Zhang, K and Fei, S., (2010), Exponential stability criteria for discrete-time recurrent neural networks with time-varying delay, Nonlinear Analysis: Real World Applications, 11, 207-216 [ZDG96] Zhou, K., Doyle, J.C and Glover, K (1996), Robust and optimal control, Vol 40, New Jersey: Prentice hall [ZLLL09] Zhou, T., Liu, Y., Li, X and Liu, Y (2009) A new criterion to global exponential periodicity for discrete-time BAM neural network with infinite delays, Chaos, Solitons & Fractals, 39, 332-341 127 [...]... nhiều ngành khoa học và kĩ thuật, các bài toán ổn định và ổn định vững của phương trình sai phân đã thu hút được nhiều sự quan tâm của các nhà nghiên cứu trên thế giới Lý thuyết tổng quan về ổn định của các phương trình sai phân tuyến tính và một số lớp phương trình sai phân phi tuyến (đặc biệt là các hệ dừng) đã được trình bày tương đối đầy đủ trong một số sách chuyên khảo như là [E05], [Gi07], [Go58],... một số lớp phương trình sai phân để nghiên cứu và viết luận án Tiến sĩ cho mình Mục tiêu chính của Luận án này là: - Trình bày một tiếp cận mới đối với các bài toán ổn định của các hệ phương trình sai phân phụ thuộc thời gian - Nghiên cứu các điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ mới cho tính ổn định mũ của các lớp hệ sau: Hệ phương trình sai phân thường phi tuyến phụ thuộc thời gian, hệ phương trình sai. .. liệu tham khảo, danh mục các công trình đã công bố của tác giả liên quan đến Luận án Nội dung chính của Luận án gồm 4 chương: - Chương 1 Kiến thức chuẩn bị - Chương 2 Ổn định của các hệ phương trình sai phân thường - Chương 3 Ổn định của các hệ phương trình sai phân có chậm - Chương 4 Ổn định của các hệ phương trình sai phân Volterra Chương 1 được dành để trình bày một số kiến thức cơ sở được sử dụng... ngừng Phương trình sai phân là kết quả tự nhiên thu được từ việc rời rạc hóa các phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng Lý thuyết phương trình sai phân và lý thuyết phương trình vi phân do vậy có mối liên quan rất chặt chẽ với nhau Các phương pháp số nhằm tính toán gần đúng các nghiệm của phương trình vi phân hoặc nghiên cứu các tính chất nghiệm của chúng dẫn đến việc nghiên cứu nghiệm của. .. và một tiếp cận mới (dựa trên Định lý Perron-Frobenius và nguyên lý so sánh nghiệm), Luận án trình bày một loạt các điều kiện đủ tường minh mới cho tính ổn định tiệm cận, ổn định mũ của các hệ phương trình sai phân thường, các hệ phương trình sai phân có chậm và các hệ phương trình sai phân Volterra Các kết quả của Luận án có ý nghĩa khoa học cao và là một đóng góp có ý nghĩa đối với lý thuyết ổn định. .. [SB04], [UN09]) Tuy nhiên, mỗi phương pháp tiếp cận nói trên đều có những hạn chế nhất định và thường chỉ phù hợp với một số lớp phương trình cụ thể Khác với các bài toán ổn định của các phương trình sai phân dừng, các bài toán ổn định của các phương trình sai phân phụ thuộc thời gian nói chung thường khó và phức tạp ngay cả đối với loại phương 11 Mở đầu trình tuyến tính phụ thuộc thời gian dạng đơn... ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN THƯỜNG Trong chương này chúng tôi trình bày một vài kết quả mới về tính ổn định của các hệ phương trình sai phân phi tuyến phụ thuộc thời gian tổng quát x(n + 1) = f n, x(n) , n ≥ n0 , (2.1) trong đó, f (·; ·) : Z+ × Rm → Rm là hàm cho trước Đặc biệt, chúng tôi cho một vài kết quả mới về các biên ổn định của các hệ phương trình sai phân thường chịu nhiễu phi... cho tính ổn định của các lớp hệ phương trình sai phân phụ thuộc thời gian, đặc biệt là lớp các phương trình phi tuyến phụ thuộc thời gian tổng quát là nhu cầu cấp thiết và có ý nghĩa khoa học cao Đây là một đề tài khó và thời sự, nó đòi hỏi người nghiên cứu phải làm việc nghiêm túc và nổ lực trong công việc suốt một thời gian dài Đây cũng là lí do chính thúc đẩy tôi chọn đề tài Về tính ổn định của một. .. Aizerman đối với các hệ phương trình sai phân Chương 3 trình bày một số tiêu chuẩn ổn định mũ tường minh cho các hệ phương trình sai phân có chậm (tuyến tính hoặc phi tuyến) phụ thuộc thời gian (Định lý 3.1.2, Định lý 3.1.4, Định lý 3.1.6) Các kết quả thu được trong chương này là mới ngay cả khi chúng được đặc biệt hóa cho các hệ tuyến tính (Định lý 3.1.6) Ngoài ra các Định lý 3.2.1, Định lý 3.2.4 cung... 2 nghiên cứu bài toán ổn định mũ của các hệ phương trình sai phân phi tuyến phụ thuộc thời gian chịu nhiễu Kết quả chính của chương này là Định lý 2.1.7, cho biên ổn định của các hệ ổn định chịu nhiễu phi tuyến Kết quả của Định lý 2.1.7 mở rộng một số kết quả cổ điển trong [HP05], [SCK97], [HS98] ra cho lớp nhiễu phi tuyến phụ thuộc thời gian Xa hơn thế, nó cho câu trả lời cho một Phỏng đoán loại Aizerman ... hàm F 22 Chương Ổn định hệ phương trình sai phân thường CHƯƠNG ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN THƯỜNG Trong chương trình bày vài kết tính ổn định hệ phương trình sai phân phi tuyến phụ... CHƯƠNG ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VOLTERRA 4.1 Sơ lược toán ổn định hệ phương trình sai phân Volterra 4.2 Ổn định hệ phương trình sai phân Volterra tuyến tính. .. vững phương trình sai phân thu hút nhiều quan tâm nhà nghiên cứu giới Lý thuyết tổng quan ổn định phương trình sai phân tuyến tính số lớp phương trình sai phân phi tuyến (đặc biệt hệ dừng) trình